Princípios de Controle Robusto

(1)

Prof. Tito Luís Maia Santos

ENGA71: An ´alise e Projeto de Sistemas de Controle

Departamento de Engenharia El ´etrica - DEE Universidade Federal da Bahia - UFBA

(2)

1

_{Introduc¸ ˜ao}

2

_{Revis ˜ao}

3

_{Descric¸ ˜ao de incertezas}

4

_{Requisitos de malha}

5

_{Problema de controle robusto}

6

_Exemplo

(3)

1

_{Introduc¸ ˜ao}

2

_{Revis ˜ao}

3

_{Descric¸ ˜ao de incertezas}

4

_{Requisitos de malha}

5

_{Problema de controle robusto}

6

_Exemplo

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Contextualizac¸˜ao

O que veremos na aula de hoje:

Revis ão de conceitos introdut órios (Crit ério de Nyquist, Margem de Ganho, Margem de Fase);

Requisitos de malha;

Problema de garantia de estabilidade robusta.

Refer ˆencias principais

M. Morari, E. Zafiriou, Robust Process Control, 1a_{edic¸ ˜ao, Prentice} Hall (1989).

(5)

Prof. Tito Luís Maia Santos Contextualizac¸˜ao

O que veremos na aula de hoje:

Revis ão de conceitos introdut órios (Crit ério de Nyquist, Margem de Ganho, Margem de Fase);

Requisitos de malha;

Problema de garantia de estabilidade robusta. Refer ˆencias principais

M. Morari, E. Zafiriou, Robust Process Control, 1a_{edic¸ ˜ao, Prentice}

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1

_{Introduc¸ ˜ao}

2

_{Revis ˜ao}

3

_{Descric¸ ˜ao de incertezas}

4

_{Requisitos de malha}

5

_{Problema de controle robusto}

6

_Exemplo

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Crit ´erio de Nyquist / Princ´ıpio do Argumento

Considere um contono fechadoσ: o mesmo deve iniciar num ponto x0e retornar ao mesmo ponto x0sem cruzar qualquer outro ponto

de contorno.

Deve-se definir o sentido do contorno (ponto inicial=ponto final).

Considere uma funç ão de transfer ência F(s): funç ão racional. Pode-se definir o mapeamento do contorno sujeito a F(s): σF(s).

(8)

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(10)

(11)

Princ´ıpio do Argumento ou Teorema de Cauchy

Considere uma funç ão racional F(s) e um contono fechado σ, o qual n ão passa por qualquer singularidade. Ent ão o contornoσ sujeito a F (s) envolver á a origem, sendo o n úmero voltas igual à diferença de zeros e polos de F(s), os quais pentencentem ao interior de sigma. Valores positivos mant ém o sentido do giro, valores negativos invertem o mesmo.

Caso exista alguma singularidade sobre o eixo imagin ´ario (“s= jω”), utiliza-se um desvio infinitesimal. Por exemplo, s= rejθ_{com r} _{→ 0 e}

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Princ´ıpio do Argumento ou Teorema de Cauchy

Considere uma funç ão racional F(s) e um contono fechado σ, o qual n ão passa por qualquer singularidade. Ent ão o contornoσ sujeito a F (s) envolver á a origem, sendo o n úmero voltas igual à diferença de zeros e polos de F(s), os quais pentencentem ao interior de sigma. Valores positivos mant ém o sentido do giro, valores negativos invertem o mesmo.

Caso exista alguma singularidade sobre o eixo imagin ´ario (“s= jω”), utiliza-se um desvio infinitesimal. Por exemplo, s= rejθ_{com r} _{→ 0 e}

(13)

Crit ´erio de Nyquist / Estabilidade em Malha Fechada

Condidere um sistema com realimentaç ão unit ária, sendo G(s) o processo a ser controlado e C(s) o controlador.

O sistema em malha fechada ´e dado por H(s) = C(s)G(s)

1+ C(s)G(s).

para garantir estabilidade, todas as ra´ızes de F(s) = 1 + C(s)G(s) devem pertencer ao semi-plano esquerdo.

Podemos utilizar um contorno para mapear F(s) = 1 + C(s)G(s). Alternartivamente, podemo considerar

F(s) = 1 + C(s)G(s) = 1 + B(s) A(s) =

A(s) + B(s) A(s)

A(s) + B(s) = 0 define polos de malha fechada e A(s) = 0 define polos de malha aberta.

(14)

As ra´ızes de A(s) = 0 s ˜ao conhecidas;

Nenhuma raiz de A(s) + B(s) = 0 pode pertencer ao semi-plano direito para assegurar a estabilidade.

O n úmero de voltas na origem de um contorno sujeito a F(s) = 1 + C(s)G(s) pode ser obtido analisando o n úmero de voltas em torno do ponto−1 deste contorno sujeito a C(s)G(s). Nv = Z − P sendo Nv o n úmero de voltas em torno de−1 do

contorno do semi-plano direito sujeito a C(s)G(s), P o n ´umero de ra´ızes de A(s) = 0 no semi-plano direito e Z o n ´umero de polos de malha fechada no semi-plano direito.

(15)

Margens de Estabilidade

Estabilidade Relativa 1

A estabilidade relativa est á associada às poss´ıveis variaç ões nos coeficientes da equaç ão caracter´ıstica que mant ém a estabilidade do sistema em malha fechada.

Estabilidade Relativa 2

A estabilidade relativa ser á definida em funç ão da proximidade com os pontos cr´ıticos da curva de resposta em frequ ência ou curva polar. Pontos−1 + 0j ou 0dB∡180o_.

(16)

Margem de Ganho

´

E o inverso do m ódulo de G(jω) na frequ ência em que o ângulo de fase mede 180o_{. Representa a quantidade de ganho necess ária para tornar}

o sistema inst ´avel.

Definindo a frequ ˆencia de crusamento de fase (ωcf) como a

frequ ˆencia na qual ∡G(jωcf) = 180o, a margem de ganho em valor

absoluto pode ser calculada por:

M.G. = 1

G(jωcf)

(17)

Prof. Tito Luís Maia Santos Margem de Fase

Margem de Fase

´

E a quantidade que mede o quanto o ˆangulo de fase ∡G(jω) “excede” −180o_{na frequ ˆencia em que}_{|G(jω)| = 1.}

Definindo a frequ ˆencia de crusamento de ganho (ωcg) como a

frequ ˆencia na qual|G(jωcg)| = 1, a margem de fase em radianos

por unidade de tempo pode ser calculada como M.F . = 180o_{+ ∡G(jω}

cg)

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1

_{Introduc¸ ˜ao}

2

_{Revis ˜ao}

3

_{Descric¸ ˜ao de incertezas}

4

_{Requisitos de malha}

5

_{Problema de controle robusto}

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_Exemplo

(19)

Representac¸˜ao de incertezas: Robust Process Control

Incertezas aditivas

Seja uma fam´ılia de plantas LTI representada por Π = {P : |P(jω) − Pn(jω)| ≤ ℓa}. Ent ˜ao, qualquer elemento deΠ deve obedecer

P(jω) = Pn(jω) + ℓa(jω) com

ℓa≥ |ℓa(jω)|. Descric¸ ˜ao de incertezas multiplicativas

Se considerarmosℓa(jω) = Pn(jω)ℓm(jω), teremos Π = P: P(jω) − Pn(jω) Pn(jω) ≤ ℓm . Neste case, qualquer elemento deΠ deve obedecer

P(jω) = Pn(jω)[1 + ℓm(jω)]

com

(20)

Representac¸˜ao de incertezas: Robust Process Control

Incertezas aditivas

Seja uma fam´ılia de plantas LTI representada por Π = {P : |P(jω) − Pn(jω)| ≤ ℓa}. Ent ˜ao, qualquer elemento deΠ deve obedecer

P(jω) = Pn(jω) + ℓa(jω) com

ℓa≥ |ℓa(jω)|. Descric¸ ˜ao de incertezas multiplicativas

Se considerarmosℓa(jω) = Pn(jω)ℓm(jω), teremos Π = P: P(jω) − Pn(jω) Pn(jω) ≤ ℓm . Neste case, qualquer elemento deΠ deve obedecer

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Prof. Tito Luís Maia Santos 1

_{Introduc¸ ˜ao}

2

_{Revis ˜ao}

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_{Descric¸ ˜ao de incertezas}

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_{Requisitos de malha}

5

_{Problema de controle robusto}

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_Exemplo

(22)

Sistema considerado

Os sinais n(t), dy(t) e du(t) s ão perturbações externas normalizadas. Tipicamente n(t) representa o ru´ıdo de medição de altas frequ ências. Em geral, dy(t) e du(t) t êm componentes relevantes de baixas frequ ências.

(23)

Func¸˜ao de sensibilidade

O efeito da variaç ão de P(s) com relaç ão à Y(s)

R(s) = F (s)H(s) = F (s)

P(s)C(s) 1+ P(s)C(s) pode ser estudado atrav és da funç ão de sensibilidade

S(s) , ∂H(s) ∂P(s) H(s) P(s)

O filtro de refer ˆencia F(s) n ˜ao afeta o comportamento da malha de controle.

(24)

R(s) = F (s)H(s) = F (s)

S(s) , ∂H(s) ∂P(s) H(s) P(s)

(25)

R(s) = F (s)H(s) = F (s)

S(s) , ∂H(s) ∂P(s) H(s) P(s) −1 =C(s)[1 + P(s)C(s)] − C(s)[C(s)P(s)] [1 + P(s)C(s)]2 P(s) H(s) = C(s)P(s) [1 + P(s)C(s)]2 1 H(s)= 1 1+ P(s)C(s)

(26)

Func¸˜ao complementar de sensibilidade

S(s) pode ser utilizado para avaliar o efeito de variac¸ ˜oes em P(s)

S(s) , 1

1+ P(s)C(s)

Por outro lado,C(s) = H(s) é complementar à função de sensibilidade pois S(s) + C(s) = 1 + P(s)C(s) = 1

(27)

A relaçãoS(s) + C(s) = 1 imp õe um compromisso. Notar que Y(s) N(s) = C(s), Y(s) Dy(s) = S(s), Y(s) Du(s) = P(s)S(s).

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1

_{Introduc¸ ˜ao}

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_{Revis ˜ao}

3

_{Descric¸ ˜ao de incertezas}

4

_{Requisitos de malha}

5

_{Problema de controle robusto}

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_Exemplo

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Prof. Tito Luís Maia Santos Objetivo

Definir um controlador C(s), baseado num modelo Pn(s), que seja est ´avel ao controlar qualquer planta P(s) que pertenc¸a a Π.

(30)

Estabilidade Interna

Definiç ão:Um sistema de controle é est ável internamente se um sinal limitado, injetado em qualquer ponto do sistema, gera uma sa´ıda limitada em todos os outros pontos.

Equivalente a testar a BIBO estabilidade par-a-par do sistema abaixo Y(s) U(s) = " _P_n_(s)C(s) 1+Pn(s)C(s) Pn(s) 1+Pn(s)C(s) C(s) 1+Pn(s)C(s) − Pn(s)C(s) 1+Pn(s)C(s) # Rf(s) Du(s)

(31)

Prof. Tito Luís Maia Santos Estabilidade Interna

Definiç ão:Um sistema de controle é est ável internamente se um sinal limitado, injetado em qualquer ponto do sistema, gera uma sa´ıda limitada em todos os outros pontos.

Equivalente a testar a BIBO estabilidade par-a-par do sistema abaixo Y(s) U(s) = " _P_n_(s)C(s) 1+Pn(s)C(s) Pn(s) 1+Pn(s)C(s) C(s) 1+Pn(s)C(s) − Pn(s)C(s) 1+Pn(s)C(s) # Rf(s) Du(s)

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Estabilidade Interna

Considere o sistema abaixo: Y(s) U(s) = " _P_n_(s)C(s) 1+Pn(s)C(s) Pn(s) 1+Pn(s)C(s) C(s) 1+Pn(s)C(s) − Pn(s)C(s) 1+Pn(s)C(s) # Rf(s) Du(s)

j á temos as seguintes condiç ões necess árias para garantir estabilidade robusta:

i) C(s) n ão pode apresentar zeros de fase n ão-m´ınima que s ão p ólos inst áveis de P(s);

ii) C(s) n ão pode apresentar p ólos inst áveis que s ão zeros de fase n ão-m´ınima de P(s);

iii) As ra´ızes de 1+ Pn(s)C(s) devem pertencer ao semi-plano esquerdo.

(33)

Prof. Tito Luís Maia Santos An ´alise de Robustez Imag Real −1 A B C(jω)Pn(jω)(1 + ℓm(jω)) C(jω)Pn(jω)

O vetor que ligaP(jω)C(jω)a−1 ´e v (jω) = 1 + P(jω)C(jω). O vetor que ligaPn(jω)Cn(jω)a−1 ´e vn(jω) = 1 + Pn(jω)C(jω).

Se a dist ância entre A e B (mesma freq ü ência) é menor do que a dist ância entre A e−1, ent ão B n ão cruza o ponto −1.

(34)

An ´alise de Robustez Imag Real −1 A B C(jω)Pn(jω)(1 + ℓm(jω)) C(jω)Pn(jω) Matematicamente: |C(jω)Pn(jω)[1 + ℓm(jω)] − C(jω)Pn(jω)| < |1 + C(jω)Pn(jω)|, ∀ω > 0 Assim,

(35)

(36)

Observac¸ ˜oes

A condic¸˜ao de estabilidade robusta |ℓm(jω)| < 1+ C(jω)Pn(jω) C(jω)Pn(jω) , ∀ω > 0 pode ser expressa como

||C(s)ℓm(s)||∞, sup ω

|C(jω)ℓm(jω)| < 1 ondeC(s) = P(s)C(s)/(1 + P(s)C(s)).

Ela é conservadora uma vez que n ão se considera a informação da fase. Ela é condição suficiente e necess ária para a estabilidade robusta da fam´ılia de plantasΠ.

(37)

An ´alise via pequeno ganho

C r e udu dy y Pn M M + + + + ⇓ ℓ ℓ Note que M(s) = − Pn(s)C(s) 1+ Pn(s)C(s) = −C(s) ⇒ |C(jω)ℓ(jω)| = |M(jω)ℓ(jω)| < 1, ∀ω

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1

_{Introduc¸ ˜ao}

2

_{Revis ˜ao}

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_{Descric¸ ˜ao de incertezas}

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_{Requisitos de malha}

5

_{Problema de controle robusto}

6

_Exemplo

(39)

Prof. Tito Luís Maia Santos Projeto IMC

Considere um sistema dado por

P(s) = 1

(s + 1)(0.5s + 1)(0.25s + 1)(0.125s + 1) Um modelo de ordem reduzida ´e escolhido como

Pn(s) = 1 (1.15s + 1)(0.8s + 1), com ℓm(s) = 0.5s (0.5/1.4)s + 1 10−3 10−2 10−1 100 101 102 103 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

(40)

Controlador IMC

Escolheu-se para o caso robusto Hd(s) = Y(s) R(s) = 1 (0.5s + 1)2 e C(s) = 1 (0.3s + 1)2 Escolheu-se sem considerar o problema de robustez

Hd(s) = Y(s) R(s) = 1 (0.5s + 1)2 e C(s) = 0.6s + 1 (0.3s + 1)3 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 |lm| lbm |1/Fr1| |1/Fr2|

(41)

Prof. Tito Luís Maia Santos Projeto IMC

Resposta para o caso nominal P(s) = Pn(s)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 0.5 1 1.5

(42)

Projeto IMC

Resposta com o efeito do erro de modelagem.

0.5 1 1.5

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Prof. Tito Luís Maia Santos 1

_{Introduc¸ ˜ao}

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_{Revis ˜ao}

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_{Descric¸ ˜ao de incertezas}

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_{Requisitos de malha}

5

_{Problema de controle robusto}

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_Exemplo

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O que vimos na aula de hoje?

Requisitos de malha podem ser formulados atrav és das funç ões S(s) e C(s).

Faz-se necess ´ario obter um compromisso entre os requisitos. O Teorema do Pequeno Ganho permite estabelecer um crit ´erio para assegurar a estabilidade robusta (robustez).