MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL I

7

M

I

7. MEDIDAS DE TENCÊNCIA CENTRAL

Sendo a amostra um subconjunto representante da população, a amostragem é um fracionamento da amostra, ou seja, uma medida descritiva do conjunto de dados da amostra que fornece uma informação relevante em relação aos dados obtidos. Assim sendo a amostragem é uma medida.

Uma medida é considerada como uma função dos valores observados, podendo ser divididos em:

7.1 Medidas de localização

Também denominadas medidas de tendência central ou de posição, indicam um ponto central onde está localizada a maioria das observações, representando assim a posição central ou média mais provável para uma determinada distribuição de valores obtidos a partir de um conjunto de amostragem.

Para a obtenção deste valor, podem ser utilizadas ferramentas matemáticas como a média aritmética, moda, mediana entre outras funções matemáticas que conduzam ao valor central da distribuição.

MEDIDAS

A média aritmética simples conduz a um valor central de uma determinada distribuição numérica e é obtida a partir do somatório de todos os valores obtidos divididos pelo número de valores tomados. Em termos matemáticos,

O desvio na média é obtido a partir do somatório dos desvios parciais e, fornecerá uma faixa de valores para a variação máxima e mínima possível para o valor médio obtido. A expressão matemática para o desvio na média aritmética simples é dado pela expressão:

O resultado será representado pelo valor médio assoviado ao desvio na média:

Exemplo 1: Determine a média aritmética simples para o conjunto de dados abaixo:

{28, 29, 30, 33, 34, 35, 37, 39, 40}

Solução: para é desejado obter a média dos valores observados para a idade de uma determinada população a partir de uma amostragem realizada. Por ser simplesmente feito da seguinte forma para n=9 valores:

A forma adequada de realizar este trabalho é a partir da organização dos dados em uma tabela, onde cada coluna representará as etapas do processo matemático a ser realizado conforme visto na tabela seguinte:

n X n X X X X X X n i i n n

∑

∑

∑

O valor final obtido a partir do somatório arredondado é de 34 ± 4 anos para a média de idade determinada. O que significa que a média de idade é de 34 anos com variação de 4 anos para mais ou para menos. Por hora o desvio deve ser entendido apenas como uma variação nos valores. Posteriormente será estudado com maiores detalhes.

7.1.2 Média aritmética ponderada

A média aritmética ponderada considera que os valores parciais devem ser somados a partir de diferentes pesos conforme a sua participação na amostra. Assim, tomada uma observação X₁,X₂ +X₃,L,X_n−₁,X_n sendo que cada um dos

valores contribui com os fatores de a expressão matemática para a média ponderada considerando todos os fatores é:

Sendo que o desvio na média ponderado é dado pela expressão;

TABELA 1 - Média simples

n Xi Desvio |Xi - Média| 1 28 5,9 2 29 4,9 3 30 3,9 4 33 0,9 5 34 0,1 6 35 1,1 7 37 3,1 8 39 5,1 9 40 6,1 Média 33,889 3,457 n n k k k k k1, 2, 3,L, ₋₁+

∑

∑

∑

Exemplo 2: Determinar a média simples e ponderada dos valores abaixo e o desvio na média para ambos os casos, estabelecendo uma comparação entre ambos os resultados.

{28, 28,28, 28, 28, 29, 29, 30, 30, 33, 33, 34, 35, 37, 39, 40}

Solução: Desejo entender o valor central de uma distribuição amostral na qual foram obtidas as seguintes idades conforme a frequência de incidência de casos iguais. Para isso ser montada uma tabela separando as idades por frequência de incidência:

TABELA 2- Média aritmética

Simples Ponderada n Xi |Xi-Média| fi Xi.fi Fr 1 28 5,9 5 140 5 2 29 4,9 2 58 7 3 30 3,9 2 60 9 4 33 0,9 2 66 11 5 34 0,1 1 34 12 6 35 1,1 1 35 13 7 37 3,1 1 37 14 8 39 5,1 1 39 15 9 40 6,1 1 40 16 Média 34 3 16 31,8 0,1

Na tabela, comparando os valores da média simples e da ponderada, o que se tem é um valor que considera a contribuição individual de cada idade. Logo temos os valores M = 34 ± 3 anos para a média simples e 31,8 ± 0,1 anos para a média ponderada.

7.1.3 Média aritmética geométrica

A média geométrica considera que para cada valor de um item da amostra existe uma relação exponencial que equivale ao seu peso amostral. Logo, tomados os valores de uma observação X₁,X₂,X₃,L,X_n−₁,X_n sendo que cada um

dos valores contribui com os fatores de a expressão matemática para a média geométrica fica é definido por:

n n k k k k k₁, ₂, ₃,L, −₁, n n k n k n k n k k k g i i n n X X X X X X M

∏

n n k k k k k₁, ₂, ₃,L, −₁,

Algumas observações a cerca da média geométrica:

- A média geométrica de um dado conjunto de números é sempre menor u igual à média aritmética deste mesmo conjunto de números.

- Sendo os valores dos pesos iguais, ou seja, a expressão fica reduzida a:

-A média também poder ser determinada a partir da expressão logarítmica,

Para e

Exemplo 3: Determinar a média simples, ponderada e geométrica dos valores abaixo e, estabelecer uma comparação entre os resultados.

{28, 28,28, 28, 28, 29, 29, 30, 30, 33, 33, 34, 35, 37, 39, 40}

Solução: Queremos a comparação entre a média geométrica e a média ponderada dos valores obtidos para a idade de uma população. Logo:

TABELA 3- Comparação entre as médias simples, ponderada e geométrica.

Simples Ponderada Geométrica

n Xi |Xi-Média| fi Xi.fi Fr X fi 1 28 5,9 5 140 5 17210368,0 2 29 4,9 2 58 7 841,0 3 30 3,9 2 60 9 900,0 4 33 0,9 2 66 11 1089,0 5 34 0,1 1 34 12 34,0 6 35 1,1 1 35 13 35,0 7 37 3,1 1 37 14 37,0 8 39 5,1 1 39 15 39,0 9 40 6,1 1 40 16 40,0 Produto 974383285547900000000000,0 Média 33,9 3,5 16 31,8 0,1 31,6 n n k k k k k1 = 2 = 3 =L= ₋₁ = n n i n n n g X X X X X X_i M

∏

∑

n n k k k k k₁ = ₂ = ₃ =_L= ₋₁ = n n k k k k k1, 2, 3,L, −1,

A média harmônica é aplicada quando as grandezas observadas são inversamente proporcionais como, por exemplo, velocidade e tempo, custo em relação à compra etc. No cálculo é considerado que o valor total da amostra é dividido pela soma de todos os pesos divididos pelo valor referidos de uma observação. A expressão matemática para a média harmônica fica definida como:

para e

Sendo n a frequência absoluta, e para todo Xi > 0

Uma consideração importante a respeito da média harmônica é que o valore relacionado com ela nunca é superior a média geométrica ou a média aritmética.

Para o caso particular onde os valores dos pesos são iguais, ou seja, a expressão fica reduzida a:

Exemplo 4: Determinar a média simples, ponderada, geométrica e harmônica do conjunto de dados abaixo,

{28, 28,28, 28, 28, 29, 29, 30, 30, 33, 33, 34, 35, 37, 39, 40}

Queremos a comparação entre a média simples, geométrica, a média ponderada e a média aritmética dos valores obtidos para a idade de uma população. Novamente, a forma mais rápida e segura é a elaboração de uma tabela com os valores a serem determinados e cada cálculo feito de

∑

∑

∑

TABELA 3- Média aritmética

Simples Ponderada Geométrica Harmônica

n Xi |Xi-Média| fi Xi.fi Fr X fi fi/Xi

1 28 5,9 5 140 5 17210368,0 0,179 2 29 4,9 2 58 7 841,0 0,069 3 30 3,9 2 60 9 900,0 0,067 4 33 0,9 2 66 11 1089,0 0,061 5 34 0,1 1 34 12 34,0 0,029 6 35 1,1 1 35 13 35,0 0,029 7 37 3,1 1 37 14 37,0 0,027 8 39 5,1 1 39 15 39,0 0,026 9 40 6,1 1 40 16 40,0 0,025 Produto 974383285547900000000000,0 Média 33,9 3,5 16 31,8 0,1 31,6 31,3

1) Dados dois números quaisquer, a média aritmética simples e a média geométrica deles são respectivamente 20,5 e 20. Quais são estes dois números?

Solução: Existem dois números, X e Y sendo que:

A solução está na resolução do sistema de equações. Optando pelo método da substituição, tem-se que:

Substituindo X na equação do Y isolado, tem-se a equação do segundo grau:

Para ela resolvida temos que:

Y pode assumir dois valores e não podemos definir qual é o verdadeiro, entretanto substituindo em separado na equação para X, vem que:

O que mostra que os números procurados são 25 e 16.

2) A média aritmética simples de 4 números pares distintos, pertencentes ao conjunto dos números inteiros não nulos é igual a 44. Qual é o maior valor que um desses números pode ter?

Solução: como a média indica um valor central que é 44, existe um valor maior que é o máximo e valores menores. Se o valor médio tende ao lado do maior e, pegando como os três primeiros números pares diferentes de zero, no caso 2, 4 e 6 o quarto número necessariamente deve ser o maior número possível na média. Logo,      = = = + = 20 . 5 , 20 2 Y X Mg Y X M       = ⇒ = ⇒ = = − = ⇒ − ⋅ = ⇒ = + = X Y X Y Y X Mg Y X Y X Y X M 400 20 20 . 41 2 5 , 20 5 , 20 2 2    = = = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ± − = − ± − = 25 ' ' 16 ' ) 1 ( 2 ) 400 ( ) 1 ( 4 41 41 2 4 2 2 Y Y a ac b b Y 0 400 41 2 _{+ − =} −Y Y 16 25 41 25 16 41 = − = = − = X X 164 12 176 4 44 12 44 4 6 4 2+ + + _{= ⇒ + = ⋅ ⇒ = − =} x x x

3) Obter a média aritmética, geométrica, harmônica e ponderada dos valores 1,1,1, 4, 16 e 4:

Solução: em forma de ROL {1,1,1,4,4,16} Para média simples, fazer:

5 , 4 6 27 6 16 4 4 1 1 1+ + + + + _{= =} = M Para média ponderada, fazer:

5 , 4 6 27 6 1 16 2 4 3 1⋅ + ⋅ + ⋅ _{= =} = p M

Para média geométrica, fazer:

2,5198 256 16 4 1 6 6 3_⋅ 2 _⋅ 1 _{= ≈} = g M Para média harmônica, fazer:

1,6842 3,5625 6 16 1 4 2 1 3 6 _{= ≈} + + = h M

4) A média das notas dos 50 alunos de uma classe e 7,7. Se considerarmos apenas as notas dos 15 meninos, a nota média é igual a 7. Qual a média das notas se considerarmos apenas as meninas?

Solução: Como é proposta uma diferença entre a quantidade de meninos e meninas (15 meninos, logo 35 meninas) para os 50 alunos, a única possibilidade é que estas quantidades sejam fatores de ponderação. Logo a média total refletirá a média das médias ponderadas pela quantidade de cada gênero de aluno. Logo,

7 , 7 50 15 7 35+ ⋅ ₌ ⋅ = ⋅ + ⋅ = M N f H f M p M M H 8 35 105 385 35 15 7 50 7 , 7 7 , 7 50 7 15 35+ ⋅ _{= ⇒ =} ⋅ − ⋅ ₌ − ₌ ⋅ M M