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21. Um conjunto é formado por 18 números naturais distintos, dos quais 12 são ímpares e 7 são múltiplos de 3. A quantidade máxima de múltiplos de 6 que esse conjunto pode conter é: a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3 Resolução:
Vamos distribuir os 18 elementos citados em 2 conjuntos: M3 (múltiplos de 3) e I (ímpares)
No diagrama acima, os números representam as quantidades de elementos de cada região.
Um número múltiplo de 6 é necessariamente par, isto é, x ∉∉∉∉∉ I, e é obrigatoriamente múltiplo de 3, isto é, x ∈ M3. Assim, o número máximo de elementos nessas condições é 6.
Alternativa B
22. Se a e b são reais estritamente positivos, a equação x = 9a
x b
a −
, na variável x, admite uma única raiz real igual a 1 para valores de a e b tais que a + b é igual a:
a) 7/6 b) 19/3 c) 18/5 d) 17/3 e) 21/5 Resolução: Se x = 9ax b a − ∴ bx – 2 x a = 9a ∴ x2 – abx + 9a2 = 0
Como x = 1 é a única raiz, então: x2 – abx + 9a2≡ (x – 1)2 ∴ x2 – abx + 9a2 ≡ x2 – 2x + 1 ∴ ab 2 e 2 9a 1 ⎧ = ⎪⎪ ⎨ ⎪ = ⎪⎩ Se 9a2 = 1, então a = 13, pois a > 0. Portanto, b = 6 Então, a + b = 13 + 6 ∴ a + b = 193 Alternativa B 6 1 11 I M3 U há 7 múltiplos de 3 há 12 ímpares
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23. O produto de dois números inteiros aumenta 10 unidades quando o maior é diminuído de 10 unidades e o menor é aumentado de 10 unidades. Pode-se afirmar que a diferença entre o maior e o menor é um número:
a) quadrado perfeito b) par c) maior que 20 d) primo e) múltiplo de 3 Resolução:
Sejam os números a e b, com a > b. (a – 10) (b + 10) = ab + 10 ⇒ ⇒ ab + 10a – 10b – 100 = ab + 10 ⇒ ⇒ 10a – 10b = 110 ⇒
⇒ a – b = 11
Portanto, a diferença é um número primo.
Alternativa D
24. Numa seqüência numérica, cada termo, a partir do segundo, é obtido elevando-se ao quadrado o termo anterior e somando-se os algarismos do resultado obtido. Se o primeiro termo dessa seqüência é 11, o centésimo termo será igual a: a) 17 b) 16 c) 13 d) 21 e) 18 Resolução: a1 = 11 (112 = 121) a2 = (1 + 2 + 1) = 4 (42 = 16) a3 = (1 + 6) = 7 (72 = 49) a4 = (4 + 9) = 13 (132 = 169) a5 = (1 + 6 + 9) = 16 (162 = 256) a6 = (2 + 5 + 6) = 13
Percebemos que a partir do 4o termo, os de índice par são iguais a 13, e os de índice ímpar são iguais a 16.
Portanto, a100 = 13.
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25. Uma fotocopiadora concede um desconto de 10% no preço de cada cópia, para quantidades acima de 100, de um mesmo original. A cópia colorida custa cinco vezes mais que a cópia em PB. Um cliente pagou a importância de R$ 57,00 por 150 cópias PB e 30 cópias coloridas. O preço de cada cópia PB é: a) R$ 0,15 b) R$ 0,20 c) R$ 0,25 d) R$ 0,30 e) R$ 0,40 Resolução:
Vamos indicar o preço da cópia PB por x e o da cópia colorida por
5x. Equacionando, temos:
(150 . x . 0,9) + (30 . 5x) = 57 ⇒ 135x + 150x = 57
PB, descontando colorida, sem ⇒ x = 0,20
10% do valor direito a desconto
Alternativa B Obs.: o enunciado não deixa claro se o desconto promocional é ou
não aplicável ao conjunto de cópias coloridas, no caso de todas as cópias serem derivadas de um mesmo original. Assim, optamos pela leitura que encontra alternativa dentre as oferecidas.
26. Uma prova consta de 4 testes com 5 alternativas cada, sendo uma única alternativa correta para cada teste. O número mínimo de alunos que deverão resolver essa prova para se ter certeza de que, pelo menos, dois deles fornecerão o mesmo gabarito é igual a:
a) 626 b) 375 c) 1025 d) 476 e) 21 Resolução:
O total de gabaritos, diferentes entre si, que podem ser feitos é: 54 = 625.
Então, se 626 alunos fizerem a prova, pelo menos dois deles, certamente, fornecerão o mesmo gabarito.
Alternativa A
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27. Cinco casais participam de um sorteio pelo qual serão escolhidas 4 pessoas. A probabilidade de que, entre os sorteados, haja exatamente 1 casal é igual a:
a) 3/7 b) 8/15 c) 5/7 d) 7/15 e) 4/7 Resolução:
Devemos escolher um casal qualquer e mais duas pessoas que não formem casal. Há 5 possibilidades de se escolher um casal qualquer. Para a escolha das duas pessoas restantes, temos 8 possibilidades para a primeira e restarão apenas 6 possiblidades para a segunda, uma vez que não podemos escolher o cônjuge do elemento que já foi selecionado.
Ao fazer isso, porém, estamos considerando ordem nos elementos escolhidos e, portanto, devemos dividir pela permutação do total desses elementos (que são dois).
Portanto, o total de casos favoráveis é: 5 . 8 62. = 120 O total de maneiras de se escolher 4 pessoas quaisquer no grupo de 5 casais é:
C10,4 = = 210 4! 6!10!
Então, a probabilidade de que, entre os sorteados haja exatamente 1 casal é igual a: 120 210 = 4 7 Alternativa E
28. Um capital, aplicado a juros compostos de 4% ao mês, dobra de valor em aproximadamente:
dados: log 2 = 0,301; log 5,2 = 0,716 a) 18 meses b) 16 meses c) 20 meses d) 14 meses e) 22 meses Resolução:
Temos que m = c (1 + i)t então 2c = c (1 + 0,04)t ⇒
(1,04)t = 2 ⇒ log (1,04)t = log 2 ⇒ t log 104 100 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = log 2 ⇒ t [ log 104 – 2 ] = log 2 ⇒ t = log (5,2 2 10)log 2. . −2 ⇒ t = log 5,2 log 2 1 2+log 2 + − ⇒ t = 0,7160,301+0,301 1− = 0,0170,301 ⇒
t ≅≅≅≅≅ 18 meses
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29. Com 1.570 km2de área total e 9.420 habitantes, o município de Triangulina possui 80% de sua superfície na zona rural e 60% de sua população concentra-se na área urbana. Sendo du e dr as densidades demográficas (em hab/km2) nas áreas urbana e rural, respectivamente, podemos afirmar que: a) du = 2 dr b) du = 3 dr c) du = 4 dr d) du = 5 dr e) du = 6 dr Resolução:
Organizando os dados numa tabela, teremos:
Calculando as densidades demográficas das duas áreas, vem:
dr = 0,4P0,8A → dr = 0,5 P A
du = 0,2A0,6P → du= 3 P A
Alternativa E
30. Triangulina tem esse nome porque sua forma se aproxima muito à de um triângulo. Se considerarmos a área urbana como o círculo inscrito nesse triângulo, poderemos concluir que o perímetro desse município é aproximadamente igual a:
Obs.: Utilize os dados da questão anterior.
a) 315 km b) 250 km c) 275 km d) 365 km e) 225 km Resolução:
Da questão anterior, sabemos que a área da zona urbana é: 20% . 1570 km2 = 314 km2.
Se essa área corresponde a um círculo, temos: π r2 = 314 ⇒ 3,14 . r2 = 314 ⇒ r = 10 km. Finalmente, vem: AΔ = p . r 1570 = p . 10 ⇒ 2 p = 314 km Alternativa A r
zona rural zona urbana total Hab. 0,4 . P 0,6 . P P Área 0,8 . A 0,2 . A A du 6 dr ⎫ ⎪ ⎪ = ⎬ ⎪ ⎪⎭
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31. Os dois arcos da figura abaixo têm o mesmo raio igual a 6 cm e seus centros são os pontos B e C. A área hachurada mede, em cm2: a) 9 (2 3 – π) b) 6 (3 3 – π) c) 12 (π – 3) d) 8 (2π – 3) e) 6 (3π – 2 3) Resolução:
A área pedida é igual à área do triângulo retângulo subtraída das áreas dos dois setores circulares.
Temos: cos ˆB = ABCB = 126 = 12 ∴ ˆB = 60º Como  + ˆB + ˆC = 180º, concluímos que ˆC = 30º. Portanto, a área pedida é:
A = 1 2 . 6 . 12 . sen 60º – 30º 360º . π(6)2 – 60º 360º . π(6)2 A = 18 3 – 9π = 2 9(2 3− π)cm Alternativa A
32. Um quadrilátero ABCD está inscrito num círculo de diâmetro AC. Suas diagonais AC e BD são perpendiculares e se encontram num ponto P tal que AP = 2 cm e PC = 8 cm. O perímetro desse quadrilátero mede:
a) 24 cm b) 4 10 cm c) 2 10 cm d) 10 5 cm e) 12 5 cm Resolução:
De acordo com o enunciado, temos a seguinte figura:
O triângulo ABC é retângulo em B e é congruente ao triângulo ADC. Sejam AB AD x CB CD y = = ⎧ ⎨ = = ⎩
Pelas relações métricas no triângulo retângulo, temos: 2 2 x 2 10 x 2 5 y 4 5 y 8 10 . . ⎧ = ⎧ = ⎪ ⇒ ⎪ ⎨ ⎨ = ⎪ = ⎪⎩ ⎩ perímetro de ABCD = 2 (x + y) = 2 (2 5 + 4 5) = 12 5 Alternativa E 2 C P 8 2 A B D • 6 6 6 C A 8 P x B y • • 1 0
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33. As faces de um tetraedro regular ABCD são triângulos eqüiláteros de lado 6 cm. Os pontos M, N, P e Q são pontos médios das arestas AB, BC, CD e AD, respectivamente. Podemos afirmar que o quadrilátero MNPQ é:
a) um retângulo de perímetro 18 cm.
b) um retângulo não quadrado de área 12 cm2.
c) um paralelogramo não retângulo de perímetro 12 cm. d) um quadrado de área 9 cm2.
e) um quadrado de perímetro 9 cm.
Resolução:
Os segmentos MN, NP, PQ e QM são as bases médias dos triângulos das faces e portanto cada uma delas mede 62 = 3 cm. Os segmentos MP e QN são as distâncias entre os pontos médios de duas arestas reversas do tetraedro regular e portanto são congruentes entre si.
Então, o quadrilátero MNPQ possui 4 lados congruentes entre si e duas diagonais também congruentes entre si, o que nos permite concluir que se trata de um quadrado, cuja área mede 3 x 3 = 9 cm2.
Alternativa D
34. A cúpula de uma galeria de arte foi toda construída com barras metálicas de 2 m de comprimento, formando 1.452 triângulos eqüiláteros, como mostra a figura abaixo. Sabe-se que o polígono da baSabe-se é formado por 64 barras. O comprimento total de barras metálicas utilizadas é igual a: a) 4.292 m b) 4.356 m c) 4.420 m d) 4.510 m e) 4.632 m Resolução:
Cada um dos 1452 triângulos tem 3 lados e, logo, o total de arestas seria, em princípio: 1 . 452 x 3 = 4356 arestas
Porém, cada aresta participa de 2 triângulos diferentes (ou seja, de 2 faces).
Logo, corrigimos para: 4356
2 = 2178 arestas
Entretanto, as 64 arestas da base foram indevidamente divididas por 2; na verdade, elas não pertencem a duas faces.
Assim, restauramos 32 arestas ao total: 2178 + 32 = 2210 arestas Finalmente, como cada delas mede 2 metros, vem:
2210 x 2 = 4420 metros
Alternativa C Obs.: apesar da interpretação dos dados conduzir a uma resposta
(alternativa C), a construção descrita no enunciado não é conceitualmente possível. Afinal, seis triângulos equiláteros sempre podem ser coplanares.
N P C A M B D Q
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35. Três cidades designadas por 1, 2 e 3 são interligadas por estradas de rodagem, sendo d (i, j) = 10 (i + j) a distância entre as cidades i e j, (i ≠ j), em quilômetros. Uma empresa estimou que o custo de transporte por quilômetro, para ir da cidade i até a cidade j é dado por C (i, j) = 2i + j , (i ≠ j). Segundo essa estimativa, assinale o percurso mais econômico entre os apresentados abaixo:
a) 1 → 2 → 3 b) 1 → 3 → 2 c) 2 → 1 → 3 d) 2 → 3 → 1 e) 3 → 1 → 2 Resolução:
Calculando os preços dos percursos, temos: 1 → 2 → 3: d(1; 2) . C(1; 2) + d(2; 3) . C(2; 3) = 30 . 4 + 50 . 7 = 470 1 → 3 → 2: d(1; 3) . C(1; 3) + d(3; 2) . C(3; 2) = 40 . 5 + 50 . 10 = 700 2 → 1 → 3: d(2; 1) . C(2; 1) + d(1; 3) . C(1; 3) = 30 . 5 + 40 . 5 = 350 2 → 3 → 1: d(2; 3) . C(2; 3) + d(3; 1) . C(3; 1) = 50 . 7 + 40 . 9 = 710
Logo, o percurso mais econômico é o 2 →→→→ 1 →→ →→→→ 3.
Alternativa C
36. Para estudar a variação do comprimento L de uma mola em função da força F aplicada a uma de suas extremidades, um pesquisador dispunha dos resultados de apenas 3 medições, representados pelos pontos A, B e C do gráfico abaixo:
Considerou, então, que essa variação poderia ser aproximada a uma variação linear, através da reta que passa pelos pontos médios de AB e BC. O coeficiente angular dessa reta é igual a:
a) 0,5 b) 0,4 c) 0,7 d) 0,6 e) 0,8 Resolução:
Sejam M e N pontos médios dos segmentos AB e BC
respectivamente.
Como MN // AC então o coeficiente angular da reta MN é igual ao da reta AC, portanto: mMN = mAC = 7 – 24 – 1 =35 = 0,6
Alternativa D
• •
M
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37. A segunda linha da tabela abaixo mostra os valores (em kWh) apresentados por um medidor de consumo de energia elétrica, sempre no mesmo dia de cada mês. A terceira linha mostra alguns dos valores cobrados pela companhia fornecedora (em reais).
Meses março abril maio junho julho agosto Leitura 12028 12110 12220 12290 12300 12410 Conta (R$) 102,60 98,40
Sabe-se que nos meses de maio e julho não foi possível realizar a leitura e as contas foram calculadas pela média aritmética dos valores cobrados nos 2 meses anteriores. Quando isso acontece, a diferença (a mais ou a menos) é compensada na conta do próximo mês em que haja leitura. Admitindo-se que o preço do kWh se manteve constante em todo esse período e que não existem outras taxas cobradas, podemos concluir que o valor da conta do mês de agosto foi de:
a) R$ 112,00 b) R$ 87,00 c) R$ 36,00 d) R$ 68,00 e) R$ 124,00 Resolução:
* o valor cobrado em maio, mês em que não houve leitura, corresponde ao valor médio cobrado em março e abril:
102,60 98,40 2
+
= 100,50
** o valor cobrado em junho corresponde a 108,00, mais 7,50 que ficaram pendentes no mês de maio.
***o valor cobrado em julho, mês em que não houve leitura, corresponde ao valor médio cobrado em maio e junho:
100,50 115,50 2 +
= 108,00
Finalmente, em agosto, o valor a ser pago corresponde a 132,00, menos 96,00 de crédito referente ao pagamento (a mais) efetuado em julho: 132,00 – 96,00 = 36,00
Alternativa C
38. Curiosamente, no período de 2000 a 2005, os números de nascimentos e óbitos, num certo município, tiveram variações lineares, como mostra o gráfico abaixo:
Podemos afirmar que a população desse município, durante esse período:
a) teve um aumento de 2.000 pessoas. b) teve um decréscimo de 3.000 pessoas. c) permaneceu a mesma.
d) teve um aumento de 1.600 pessoas. e) teve um decréscimo de 2.400 pessoas.
Resolução:
O total de nascimentos e o total de óbitos podem ser calculados como somas de progressões aritméticas.
Daí, sendo d a diferença entre estes totais, temos: d = (total de nascimentos) – (total de óbitos)
d =
(
7000 11000)
6 –(
9000 10000)
6 2 2 + . + . d = – 3000 Alternativa B meses leitura consumo valor correto conta março 12028 — — 102,60 abril 12110 8 2 98,40 98,40 maio 12200 9 0 108,00 100,50* junho 12290 9 0 108,00 115,50** julho 12300 1 0 12,00 108,00*** agosto 12410 110 132,00 36,00espm – 06/07/2008 cpv – especializado na espm
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39. O imposto de renda devido é calculado através da tabela progressiva, aplicando-se um percentual (alíquota) ao valor do rendimento líquido e deduzindo-se uma parcela. Essa parcela existe para eliminar os saltos na passagem de uma faixa de rendimento para outra.
Faixa de rendimento Alíquota Parcela a deduzir
até 18 000 isento —
de 18 000 a 32 000 15% x
acima de 32 000 25% y
Na tabela hipotética acima, a soma dos valores x e y deverá ser igual a: a) 4.700 b) 5.900 c) 6.700 d) 7.200 e) 8.600 Resolução:
A parcela a deduzir x equivale a 15% do valor isento de até 18000, ou seja, x = 18000 . 0,15 = 2700.
A parcela a deduzir y equivale a 25% do valor isento de até 18000, mais a diferença 25% – 15% = 10% da 2a faixa de rendimento, ou seja, y = 0,25 . 18000 + 0,10 . (32000 – 18000) = 5900 Portanto x + y = 2700 + 5900 = 8600
Alternativa E
40. O polinômio P (x) = ax3 – bx2 + (2a – b) x + a – 1 é divisível por x2 – 1. O valor de a – b é: a) 0 b) 2 c) –2 d) 1 e) –1 Resolução: Se P(x) = ax3 – bx2 + (2a – b) x + a – 1 é divisível por x2 – 1 então, P(1) = P(–1) = 0 P(1) = a(1)3 – b(1)2 + (2a – b) (1) + a – 1 = 0 ⇒
a – b + 2a – b + a – 1 = 0 (I)
P(–1) = a(–1)3 – b(–1)2 + (2a – b) (–1) + a – 1 = 0 ⇒
– a – b – 2a + b + a – 1 = 0 (II)
Adicionando (I) a (II) temos: – 2b + 2a – 2 = 0 ∴ a – b = 1
Alternativa D
COMENTARIO DA PROVA DE MATEMÁTICA
Mais uma vez, a prova da ESPM optou por uma prova focada na interpretação de enunciados e baseada em questões direcionadas a aplicações matemáticas, em detrimento de questões teóricas e abstratas, o que é elogiável.
Em relação à prova do semestre passado, notamos a maior pertinência dos assuntos exigidos, tendo em vista os conteúdos de Matemática que serão utilizados nos cursos aos quais a avaliação se destina.
Entretanto, acreditamos que, mais uma vez, o trabalho de cálculo envolvido na resolução das questões não é condizente com o tempo proposto. Além disso, a quantidade de questões de nível complexo, em relação à quantidade de questões de resolução imediata, é bastante alta, o que torna a prova não equilibrada e acaba por tornar a avaliação pouco discriminante quanto aos candidatos bem e mal preparados. Afinal, numa prova composta predominantemente por testes difíceis, um candidato menos preparado pode ter sido favorecido pela possibilidade do acerto aleatório.
