Pirâmide Nível Fácil

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Pirâmide – 2016

Nível Fácil

1. (Unisc 2016) Em uma pirâmide regular, a base é um quadrado de lado q. Sabendo que as faces laterais dessa pirâmide são triângulos equiláteros, pode-se afirmar que o seu volume é a) q3 2 b) 3 q 2 6 c) q 2 2 d) 3 q 3 6 e) 3 q 3 3

2. (Uepa 2015) Leia o texto para responder à questão.

A arte é uma forma de expressão da racionalidade humana. O origami é uma técnica japonesa baseada em juntar módulos individuais de papel dobrando para criar prismas e cubos, conforme ilustra a figura abaixo.

Todas as pirâmides ilustradas na composição artística acima são tetraedros regulares de base triangular de aresta L1 dm ligados uns aos outros, por meio de suas arestas e mantendo suas bases sobre um mesmo plano. Nestas condições, a área total, em dm , de um desses 2 tetraedros regulares é: a) 2 2 b) 3 2 c) 3 d) 2 2 e) 2 3

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www.nsaulasparticulares.com.br Página 2 de 14 3. (Uel 2015) Na molécula do Metano (CH ), o átomo de carbono ocupa o centro de um ₄ tetraedro regular em cujos vértices estão os átomos de hidrogênio.

Considerando que as arestas do tetraedro regular medem 6 cm e que a altura mede 1

h 6,

3

 assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o volume desse tetraedro. a) 3 3 cm3

b) 18 2 cm3 c) 18 3 cm3 d) 36 2 cm3 e) 54 2 cm3

4. (Ufjf-pism 2 2015) Um monumento será construído no formato de uma pirâmide de base hexagonal regular.

Sabendo que a altura h do monumento é 4 m, a aresta lateral a mede 7 m, a aresta da base mede 4 6 m e desconsiderando possíveis perdas, determine:

a) a área ocupada pela base do monumento em metros quadrados.

b) a área mínima de espelhos necessária para cobrir completamente as laterais do monumento.

c) o volume desse monumento.

5. (Uece 2015) A medida da aresta de um tetraedro regular com altura igual a 5 metros é a) 5 2,5 m.

b) 5 1,5 m. c) 2 1,5 m. d) 3 2,5 m.

6. (Esc. Naval 2015) Em um polígono regular, cujos vértices A,B e C são consecutivos, a diagonal AC forma com o lado BC um ângulo de 30 . Se o lado do polígono mede

unidades de comprimento, o volume da pirâmide, cuja base é esse polígono e cuja altura vale o triplo da medida do lado, é igual a

a) 3 3 3 2 b) 2 3 3 2 c) 3 ₃ 2 d) 3 3 4 e) 3 3 3 3

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TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:

Utilize as informações a seguir para a(s) quest(ões) abaixo.

Uma artista plástica está criando uma nova obra, que será um quadro com alto relevo de formas geométricas. Para iniciar o projeto, ela desenhou o quadrado base da obra, mostrada abaixo.

Esse quadrado tem 40 cm de lado e o ponto P foi posicionado 8 cm para a direita e 8 cm para baixo do ponto A. Traçando a diagonal do quadrado e tomando o ponto P como vértice, ela construiu o triângulo em preto e, usando a simetria em relação à diagonal, ela construiu o triângulo em branco, com vértice no ponto Q.

Em seguida, reproduzindo esse quadrado base 16 vezes, ela construiu o quadro em relevo mostrado abaixo, elevando 2 tetraedros sobre cada quadrado base, cada um com altura de

6 cm em relação ao plano do quadrado base, conforme ilustra a figura a seguir.

7. (Insper 2015) Para garantir o efeito visual que desejava, a artista plástica fez as faces dos tetraedros de material transparente e encheu com um líquido contendo material reflexivo. O volume de líquido necessário para encher todo o quadro é de, aproximadamente,

a) 45 litros. b) 47 litros. c) 49 litros. d) 51 litros. e) 53 litros. 8. (Mackenzie 2014) Se um tetraedro regular tem arestas de comprimento 6 m, então podemos afirmar que

a) a altura é igual a 3 3 m. b) a altura é igual a 3 6 m. c) a altura é igual a 4,5 m. d) o volume é igual a 27 3m .3 2 e) o volume é igual a 18 2 m .3

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www.nsaulasparticulares.com.br Página 4 de 14 9. (Uepa 2014) As pirâmides comunicam, ainda hoje, os valores culturais de uma das

civilizações mais intrigantes da humanidade. Foram construídas para a preservação do corpo do faraó. De acordo com a lenda de Heródoto, as grandes pirâmides foram construídas de tal modo que a área da face era igual ao quadrado da altura da pirâmide.

Texto Adaptado: “Contador”, Paulo Roberto Martins. A Matemática na arte e na vida – 2ª Ed. rev. – São Paulo: Editora Livraria da Física, 2011. Considere a pirâmide de base quadrada, cujo lado mede 2a, a altura H e altura da face h, construída segundo a lenda de Heródoto. Se S expressa a área da face da pirâmide, então é correto afirmar que:

a) S



a h a h .







b) S



h a h a .







c) S



a h



2. d) S



h a



2. e) Sa2h .2

Nível Médio

10. (Ufrgs 2016) Considere ABCDEFGH um paralelepípedo reto-retângulo conforme representado na figura abaixo.

Se as arestas do paralelepípedo medem 3, 6 e 10, o volume do sólido ACDH é a) 10. b) 20. c) 30. d) 60. e) 90.

11. (Ufjf-pism 2 2016) Na figura abaixo, ABCD é um tetraedro regular de lado e N é um ponto sobre a aresta AC tal que 2ANNC.

a) Calcule DN.

b) Calcule a área do triângulo BDN.

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www.nsaulasparticulares.com.br Página 5 de 14 12. (Ufpr 2016) Temos, abaixo, a planificação de uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triângulos equiláteros. Qual é o volume dessa pirâmide?

a) 16 3 cm .3 3 b) 3 16 3 cm . c) 32 cm .3 d) 32 2 cm .3 3 e) 3 64 cm . 3

13. (Ufsm 2015) Desde a descoberta do primeiro plástico sintético da história, esse material vem sendo aperfeiçoado e aplicado na indústria. Isso se deve ao fato de o plástico ser leve, ter alta resistência e flexibilidade. Uma peça plástica usada na fabricação de um brinquedo tem a forma de uma pirâmide regular quadrangular em que o apótema mede 10mm e a aresta da base mede 12mm. A peça possui para encaixe, em seu interior, uma parte oca de volume igual a 78mm .3 O volume, em mm , dessa peça é igual a 3

a) 1152. b) 1074. c) 402. d) 384. e) 306.

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:

Utilize o fragmento e as imagens abaixo como auxílio para responder à(s) quest(ões) a seguir. Existem variados tipos de blocos de concreto para o uso de contenção às ondas marinhas, em especial o Tetrápode – bloco criado na década de 1950 e utilizado no molhe leste da Barra Cassino (Rio Grande – RS). Constituído em concreto maciço, o bloco é disposto de um eixo central, no qual são tangentes quatro cones alongados (patas) e arredondados, distribuídos igualmente a 120 no espaço. Essas “patas” facilitam a conexão entre os blocos, tornando a estrutura mais estável. O centro de gravidade do Tetrápode encontra-se na união das quatro “patas”, o que dificulta o balanço e o rolamento da carcaça.

Imagens e Fragmento extraído de “Tipos de blocos de concreto para estrutura hidráulica de proteção às ondas marinhas e análise visual dos Tetrápodes da Barra de Rio Grande” (Adaptado). Disponível em: http://www.semengo.furg.br/2008/45.pdf Acesso: 10 abr. 2015.

14. (Ifsul 2015) Unindo-se as pontas dos eixos das 4 “patas”, forma-se um sólido geométrico chamado

a) Pirâmide Quadrangular Regular. b) Cilindro Equilátero.

c) Tetraedro Regular. d) Tronco de Pirâmide.

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www.nsaulasparticulares.com.br Página 6 de 14 15. (Uece 2014) Sejam X, Y e Z três pontos fixos distintos e não colineares, e P um ponto do espaço, vértice de uma pirâmide cuja base é o triângulo XYZ e cuja medida do seu volume é 3 m3. O conjunto de todos os pontos P que cumprem esta condição é formado por

a) duas retas paralelas. b) um plano.

c) dois planos.

d) exatamente dois pontos.

16. (Unifesp 2014) A figura indica uma pirâmide regular quadrangular reta cujas faces laterais são triângulos equiláteros. A aresta da base dessa pirâmide mede 12 cm.

Duas formigas, F1 e F2, partiram do ponto médio da aresta VA para o ponto médio da aresta

VC, sempre caminhando por faces, arestas, ou cruzando arestas. Dentre todos os caminhos possíveis ligando os dois pontos, a formiga F1 escolheu o mais curto deles. Já a formiga F2

escolheu o caminho mais curto dentre todos que passam pela base ABCD da pirâmide. Calcule:

a) a distância percorrida pela formiga F1.

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www.nsaulasparticulares.com.br Página 7 de 14 17. (Uerj 2014) Um quadrado ABCD de centro O está situado sobre um plano á. Esse plano contém o segmento OV, perpendicular a BC, conforme ilustra a imagem:

Admita a rotação de centro O do segmento OV em um plano perpendicular ao plano a, como se observa nas imagens:

Considere as seguintes informações:

- o lado do quadrado ABCD e o segmento OV medem 1 metro; - a rotação do segmento OV é de x radianos, sendo 0 x

2 π

  ; - x corresponde ao ângulo formado pelo segmento OV e o plano α ; - o volume da pirâmide ABCDV, em metros cúbicos, é igual a y.

O gráfico que melhor representa o volume y da pirâmide, em m3, em função do ângulo x, em radianos, é:

a) b)

c) d)

18. (Uepb 2014) O volume de um tetraedro regular de aresta 2 cm é igual a: a) 2cm3 3 b) 2cm3 3 c) 2 cm3 d) 1cm3 3 e) 3cm3 3

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Gabarito:

Resposta da questão 1: [B]

Desde que as faces laterais são triângulos equiláteros de lado q, segue que o apótema da pirâmide mede q 3.

2 Em consequência, sendo a medida do apótema da base igual a q

, 2 pelo Teorema de Pitágoras, segue que a altura da pirâmide mede q 2.

2 Portanto, a resposta é 3 2 1 q 2 q 2 q . 3  2  6 Resposta da questão 2: [C]

A área total de cada tetraedro é igual a

2 2 2

L  31  3 3 dm . Resposta da questão 3:

[B]

O volume do tetraedro regular de aresta 6cm é dado por

3 3 3 2 6 2 18 2 cm . 12  12  Resposta da questão 4: a) A área da base é dada por

2 2 3 (4 6) 3 144 3 m . 2   _

Observação: Os dados são inconsistentes. De fato, considerando o triângulo retângulo formado pela altura do monumento, uma aresta lateral e o respectivo raio r do círculo circunscrito à base, pelo Teorema de Pitágoras, vem

2 2 2

r 4 7  r 33.

Ora, segue que r . Contradição.

b) O apótema m do monumento é dado por

2 2 4 6 2 2 p 7 p 49 24 p 5 m. 2            

Desse modo, a área lateral do monumento é igual a

2 4 6 5 6 60 6 m . 2   

Observação: Pelo mesmo motivo da observação em (a), é possível obter outro resultado para a área lateral.

c) O volume do monumento é 1 144 3 4 192 3 m .3

3  

Observação: Pelo mesmo motivo da observação em (a), é possível obter outro resultado para o volume.

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www.nsaulasparticulares.com.br Página 9 de 14 Resposta da questão 5:

[B]

Sabendo que a altura de um tetraedro regular de aresta é dada por h 6, 3  temos 6 15 5 3 6 5 6 2 6 5 4 5 1,5 m.          Resposta da questão 6: [A]

Desde que BCA30 e ABBC, temos CAB30 . Em consequência, vem ABC120 e, portanto, a base da pirâmide é um hexágono regular de lado . Desse modo, sendo h3 a altura da pirâmide, seu volume é igual a

2 3 1 3 3 3 3 3 . 3 2   2 Resposta da questão 7: [D]

A área da base de cada tetraedro corresponde à metade da área do quadrado base, isto é,

2 2

1

40 800cm .

2  Portanto, como são 2 16 32 tetraedros, segue o volume de líquido necessário para encher todo o quadro é

3 1 32 800 6 51.200cm 51L. 3      Resposta da questão 8: [E]

A altura do tetraedro regular é igual a 6 6 2 6 m,

3  e seu volume é 3 3 6 2 18 2 m . 12  Resposta da questão 9: [B]

De acordo com a lenda de Heródoto, segue que SH .2 Por outro lado, pelo Teorema de Pitágoras, vem

2 2 2 2 2

h H a h S a

S (h a)(h a).

    

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[C]

O volume V da pirâmide será dado por:  1 _b

V A h,

3 onde A é a área da base da pirâmide e h é a altura. b Logo: 2 1 3 10 V 6 30cm 3 2      Resposta da questão 11:

a) Seja M o ponto médio de AC. Desde que 2 AN NC e ADC é um triângulo equilátero de lado , temos DM 3 2  e MN AM AN 2 3 . 6     

Portanto, do triângulo retângulo DMN, pelo Teorema de Pitágoras, vem

2 ₂ 2 2 2 2 2 2 3 DN DM MN DN 2 6 28 DN 36 7 DN . 3   _{ }    _ _  _{ }    

(11)

www.nsaulasparticulares.com.br Página 11 de 14 b) É fácil ver que o triângulo BDN é isósceles. Se P é o ponto médio de BD, então, pelo

Teorema de Pitágoras, segue que

2 ₂ 2 2 2 2 2 2 7 BN BP NP NP 3 2 19 NP 36 19 NP . 6   _{ }   _ _  _{ }      Em consequência, a resposta é 2 1 (BDN) BD NP 2 1 19 2 6 19 . 12        Resposta da questão 12: [D]

Observe a figura a seguir:

h L 3 h 4 3 h 2 3

2 2

    

Observe a figura abaixo:

 

2

 

₂ 2 2 2 2 h H r  2 3 H  2  H 2 2 cm Portanto, 2 2 3 pir. pir. L H (4) 2 2 32 V V 2 cm 3 3 3      

(12)

[E]

Cálculo da altura da Pirâmide: h2 62 102 h8mm

Volume da peça como diferença do volume da pirâmide e o volume da parte oca.

peça pirâmide 2 peça 3 peça V V 78 1 V 12 8 78 3 V 306mm        Resposta da questão 14: [C]

Os triângulos OWX, OXY, OYZ, OZW, OZX e OWY são congruentes entre si pelo caso LAL. Portanto, a pirâmide formada é um tetraedro regular.

Resposta da questão 15: [C]

Para que o volume permaneça 3m3, as distâncias dos pontos P ao plano(XYZ) deverão ser iguais, pois representam as alturas das pirâmides. Portanto, qualquer ponto P deverá pertencer a um dois planos paralelos e equidistantes do plano (XYZ).

(13)

www.nsaulasparticulares.com.br Página 13 de 14 Resposta da questão 16: a) 12 3 h 6 3 2 AC 2h 12 3     Logo, 12 3 MN 6 3cm . 2   b) AH cos 60 AH 3cm 6 MH cos 60 MH 3 3 6         MENE12 3 3 3  9 3 3 Logo, (9 + MN2(9 3 3) 2(9 3 3) 2 Portanto, MN (9 3 3) 2 MN (3 3) 3 2 m      

(14)

[A]

Seja h a altura da pirâmide logo, h 1 sen(x) e volume da pirâmide será dado por:

2

1 sen(x)

V(x) 1 sen(x)

3 3

   

Logo, o gráfico que representa a variação do volume será dado pela

Função y V(x) sen(x), para 0 x .

3 2      Resposta da questão 18: [D]

Fórmula para o volume de um tetraedro regular de aresta a:

3 a 2 V 12   Considerando a 2 cm, temos: 3 3 a 2 2 2 4 1 V . 12 12 12 3      