Estrategias para controle de pragas : sistemas p-fuzzy com controle hibrido

(1)

Departamentode MatemáticaAplicada

Estratégias para Controle de Pragas

Sistemas P-fuzzy com Controle Híbrido

Luiz Rafael dos Santos

Mestrado emMatemáticaAplicada

Orientador: Prof. Dr. RodneyCarlos Bassanezi

Estretrabalhocontoucom apoionanceiro daCAPES.

Campinas-SP

(2)

Sistemas P-fuzzy com Controle Híbrido

Este exemplar corresponde à redação nal

da tese devidamente corrigida e defendida

por Luiz Rafael dos Santos e aprovada

pelacomissãojulgadora.

Campinas,07 outubro de 2008.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Rodney Carlos Bassanezi(IMECC/UNICAMP)

Prof. Dr. AdilsonJosé VieiraBrandão (UFABC)

Prof. Dra. Rosana Suelida MottaJafelice(FAMAT-UFU)

Dissertação apresentada ao Instituto de

Matemática Estatística e Computação

Cientíca (IMECC), UNICAMP, como

requisitoparcialparaaobtençãodotítulo

(3)

Bibliotecária: Miriam CristinaAlves CRB8a /5094

Santos, LuizRafaeldos

Sa59e Estratégias paracontrole depragas: sistemas p-fuzzy comcontrole

híbrido / LuizRafael dosSantos Campinas, [S.P.: s.n.], 2008.

Orientador: RodneyCarlos Bassanezi.

Dissertação (mestrado) Universidade Estadual de Campinas,

Instituto deMatemática, Estatística eComputação Cientíca.

1. Biomatemática. 2. SistemasDifusos. 3. Pragas Controle.

I. Bassanezi, RodneyCarlos II. Institutode Matemática, Estatística

e Computação Cientíca III. Título

Título emInglês: Strategies for pests control: P-fuzzy systems withhybrid control

Palavras-chave eminglês (Key-words): 1. Biomathematics. 2. Fuzzysystems. 3. Pests control.

Áreade Concentração: Biomatemática.

Titulação: Mestre emMatemática Aplicada.

BancaExaminadora: Prof. Dr. RodneyCarlos Bassanezi(IMECC/UNICAMP)

Prof. Dr. AdilsonJosé VieiraBrandão (UFABC)

Prof. Dra. Rosana Suelida MottaJafelice (FAMAT-UFU)

Datada defesa: 01/09/2008

(4)

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Profs. Drs.

Prof.(a

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Dr(a

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BASSAJ'IEZI

r

, r

_j.

(5)

(6)

em que habitais. Suponhamos sejais sumidades

em inteligência neste planeta: nenhum direito

tendes de envaidecer-vos. Se Deus, em seus

desígnios, vos fez nascer num meio onde

pud-estes desenvolver avossa inteligência,éque quer

a utilizeis para o bem de todos; é uma missão

que vos dá, pondo-vos nas mãos o instrumento

comquepodeis desenvolver, por vossavez, as

in-teligências retardatárias e conduzi-las a ele.

Ferdinand, EspíritoProtetor (Bordeaux,1862)

De O Evangelho Segundo o Espiritismo,

cap. VII, it. 13,por Allan Kardec.

Cabe aqui citar novamente Pascal. `Só há

dois tipos de homens: os justos que se crêem

pecadores e os pecadores que se crêem justos.'

Masnunca sabemosemqualdessascategorianos

classicamos se soubéssemos, já estaríamos

na outra!

AndréComte-Sponville

(7)

Agradeço primeiramente Àquele que nos criou e inventou esta tão maravilhosa jornada chamada

vida.

Agradeçoaosmeuspais,MarliseeErico,quesempremeapoiarameacalmaramsuassaudades

paraqueeu pudesserealizar meus sonhos. Meu saudosopai nãopôdeveraqui na Terra estesonho

realizar-se,mastenhoplenacertezadequeacompanhou,atédemaisperto,meamparandoetorcendo

por mim. Obrigado por medarem umpouco davida devocês paraqueeu vivesse.

Não posso deixar de mencionar meus irmãos Gabriel, Lara e Luma que foram e continuam

sendograndescompanheiros dejornada. Umagradecimento especialàGorettieaRegiportambém

fazeremparteda família. Agradecimentostambém àVivie à Pretaquenasminhaschegadas eram

sempreasprimeirasa mereceber.

Agradeço especialmente àCarolina por tudoquejácompartilhamos; pormeauxiliarapassar

pelos 2 anos de viagens e de distância; por me amar cada vez mais; e por meincentivar a seruma

pessoa melhor. Te amomuito. Também afamília Bergmann por mereceber como umlhoemseu

lar.

Agradeço aos amigos e colegas quez em Campinas, ao pessoal da Unicamp, da Pensão dos

RatôesedoEducandário Eurípedes,quezeramminhavidalongedecasamaisamenaemuitomais

alegre. EmparticularagradeçoosamigosRoy,OlivâineeIltonpelasrisadascompartilhadasdurante

otempode convivência naPensão.

Aomeu orientador Rodneypelaamizadepermitida, pelos ensinosministrados e pela

oportu-nidadedocrescimento prossionale pessoal, agradeço profundamente.

Tambémagradeço atodososprofessoresdoIMECC quecontribuíram paraqueestetrabalho

serealizasse. Em especialobrigado àCidinha, àTâniaque sempreatenderam minhasnecessidades,

mesmoquandoeu já estava emBlumenau.

Por m agradeço a todos que de uma maneira ou de outra me auxiliaram para tornar esta

realização uma realidade e que não nominei aqui. Sou eternamentedevedor atodos, osdaqui e os

(8)

O objetivo deste trabalho é propor um modelo utilizando Sistemas Baseados em Regras Fuzzy

(SBRF)quepossacontrolar, dopontode vistateórico, umadeterminada espécie,consideradacomo

pragaemumalavouraouplantação. Faz-seprimeiroumaintrodução àTeoriadosConjuntosFuzzy,

bem como aossistemas especialistas fuzzy que utilizam regras de inferência, através do método de

inferênciade Mamdani e que utilizemo método de defuzzicação por centro de massa. Logo após,

sãoabordadosos conceitosde SistemasDinâmicos P-Fuzzy unie bidimensionaisdesenvolvidos por

Silva [24 ] e Cecconelo [7 ]. É proposto um novo tipo de Sistema Dinâmico P-fuzzy para modelar

a dinâmica populacional, de uma espécie ou de um sistema presa-predador, que leve em conta

fatoresextrínsecos da(s) espécie(s)envolvida(s). Estes fatoressãorepresentadospor umaCondição

Ambiental, que é denida e acoplada aos Sistemas P-fuzzy usuais. Ainda, usando um controlador

fuzzypropomos um sistemade controle híbrido comcontroladores biológicose químicos (biocidas)

em que as espécies que interagem estão sujeitas também às condições ambientais. Simulações e

experimentos computacionais feitos com o auxílio da Fuzzy Logic Toolbox do software Matlab são

(9)

The aim of this work is to propose determined model, using Fuzzy Rule-based Systems (FRBS),

wich can control, in a theoretical manner, a speciesconsidered a plage ina farming or plantation.

AnintroductiontoFuzzySetsismadedaswellasmadedtoFuzzySystemswichusesinferencerules,

throughthe Mamdanimethod ofinferenceand thatusesCentroid asdefuzzication method. After

this,theconcepts of uniand bidimensional P-fuzzy Dynamic Systemsare studied and approached,

asdevelopedbySilva[24 ]andCecconelo[7]. WeproposeanewtypeofP-fuzzyDynamicSystem,to

modelthepopulationdynamics of one speciessystemor ofa prey-predator system,that takesinto

account extrinsic factorsof the speciesinvolved. Such factores arerepresented by anEnviromental

Condition wichisdenedandconnected totheusualP-fuzzy Systems. Finnaly,usingaFuzzy

Con-troller, we propose a system for hybrid control with biological and chemical (biocides) controllers

inwich the density of species arealso inuenced byenviromental conditions. Computational

sim-ulations and experiments are made withthe aidof Matlab Fuzzy Logic Toolbox and its results are

(10)

Introdução 1

1. Conceitos Básicosde Teoria Fuzzy 3

1.1. Introdução. . . 3

1.2. ConjuntosFuzzy . . . 4

1.3. Números Fuzzy . . . 7

1.4. Lógica Fuzzy . . . 9

1.4.1. Variáveis Lingüísticas eProposiçõesFuzzzy . . . 10

1.4.2. Conectivos Lógicos . . . 11

1.4.3. Relaçõese Produto CartesianoFuzzy . . . 12

1.5. Sistema BaseadoemRegras Fuzzy . . . 13

1.5.1. Fuzzicação . . . 14

1.5.2. Móduloda basede regras . . . 15

1.5.3. Módulode inferência fuzzy . . . 16

1.5.4. Módulode Defuzzicação . . . 17

1.6. Conclusão . . . 18

2. Sistemas P-Fuzzy 21 2.1. Introdução. . . 21

2.2. Sistemas DinâmicosP-fuzzy . . . 22

2.3. Sistemas P-fuzzyUnidimensionais. . . 23

2.3.1. Equilíbrio e Estabilidadede Soluções . . . 23

2.3.2. Crescimento Malthusiano . . . 26

2.3.3. Crescimento Inibido dotipoLogístico . . . 27

2.4. Sistemas P-fuzzyBidimensionais . . . 30

2.4.1. Estabilidade e Equilíbriode Soluções . . . 31

2.4.2. Modelode Kolmogorov. . . 33

2.4.3. Construindo aBase de RegrasparaPresa-Predador . . . 35

2.5. Conclusões . . . 40

(11)

3.1. Motivação . . . 43

3.2. Modelo Unidimensional . . . 44

3.2.1. Modelagem . . . 44

3.2.2. Contruindo a Base deRegras . . . 47

3.2.3. Experimentos Numéricos. . . 49

3.2.4. Consideraçõessobre o Modelo Unidimensional. . . 54

3.3. Modelo Bidimensional . . . 55

3.3.1. Modelagem . . . 55

3.3.2. Contruindo a Base deRegras . . . 58

3.4. Conclusão . . . 66

4. Controle de Pragas utilizando um SBRF 69 4.1. Motivação . . . 69

4.2. Modelo Unidimensional . . . 70

4.2.1. Modelagem . . . 71

4.3. Modelo BidimensionalHíbrido: Químico e Biológico . . . 83

4.3.1. Modelagem . . . 83

4.4. Conclusão . . . 94

5. Considerações Finais 97 5.1. TrabalhosFuturos . . . 98

5.1.1. Análise deEquílibriosdo Sistema P-fuzzy comCondiçãoAmbiental. . . 98

5.1.2. Aplicaçãodo Modelode CondiçãoAmbiental . . . 98

5.1.3. Controle Ótimo Fuzzy . . . 98

Referências Bibliográcas 99 A. Programas computacionais 101 A.1. Códigos-fonte para SistemaP-fuzzy . . . 101

A.1.1. Código-fonteemMatlab paraSistema P-Fuzzy

1D

. . . 101

2D

. . . 102

A.2. Códigos-fonte para SistemaP-fuzzy com CondiçãoAmbiental . . . 104

A.2.1. Código-fonte emMatlab paraSistema P-Fuzzy

1D

com

κ

. . . 104

2D

com

κ

. . . 105

A.3. Códigos-fonte para SistemaP-fuzzy Controlado . . . 107

(12)

A.3.2. Código-fonte emMatlabpara SistemaP-Fuzzy

2D

controlado . . . 108

1D

controlado com

κ

. . . 111

2D

controlado com

κ

. . . 113

B. Bases de Regras para Sistema P-fuzzy

2D

com

κ

117

B.1. Base de Regrascom CondiçãoAmbiental a partir Quadro 5 . . . 117

(13)

Astentativasdemodelaradispersãopopulacionaldeumaespécie,comointuitodecompreendersua

dinâmica remontam o século XIX. Os modelos pioneiros (Malthus, Verhulst, Lotka-Volterra) entre

outros utilizam-se de equações diferenciais determinísticas para predizer os estados das variações

populacionaisdestaespécie. Dadaacomplexidadedosfenômenosobservados,nemsempreépossível

bemdescrevê-lo apenascom ousodestasequções,principalmenteporque devemos estimar bemos

parâmtros para queassoluçõesrealmente façamsentido.

Por outro lado, Lofti Zadeh [28 ] publicou em 1965 seu famoso artigo que trazia uma nova

teoriade conjuntos a Teoria de Conjuntos Fuzzy. A Teoria dosConjuntos Fuzzy, ou Lógica Fuzzy

trabalhacomanoção dequeemmuitassituaçõesapertinência deumelemento aumconjuntodeve

serextendida.

Esta extensão vai de encontro com o sentido usual da palavra pertencer, sentido este da

lógicabinária que nos traz o Princípio do terceiro excluído que dizque um elemento ou pertence

a um conjunto, ou não pertence a ele, nunca ocorrendo outro caso [8]. Isso signica que agora

teremosumelemento que teráumgrau de pertinênciaao conjunto considerado.

AplicaçõesdaLógicaFuzzytemsurgidodesdeentãoemtodasasáreas dasciênciasaplicadas.

Em particular, Peixoto [22 ], Silva [24 ] e Cecconelo [7] utilizaram um Sistema Baseado em Regras

Fuzzy(SBRF)paramodelaradensidadepopulacionaldeumaespécieutilizandoregrasdeinferencia

do tipo Se ... então .... Estes sistemas são chamados Sistemas Puramente Fuzzy (doravante

P-fuzzy), por não utilizarem nenhum método clássico poderíamos dizer determinístico para

encontrarosestadosdasvariaçõesdestaspopulações. Nestesentido,umdosobjetivosdestetrabalho

éapresentarosSistemas DinâmicosP-fuzzy unidimensionaise bidimensionais.

Além disso, uma outra aplicação da lógica fuzzy, principalmente dos SBRF, é o controle de

sistemasdinâmicosounão. Ocontrole demáquinas,aimplementaçãode sistemasinteligentesentre

outrasaplicaçõestêmsido resolvidas atravésde sistemas fuzzy[2].

Com o crescimento do Agronegócio, a necessidade de controlar pragas em lavouras está em

constante aumento, haja vista os prejuízos que determinadas doenças tem causado à todo tipo

plantações. Quando adoençaé transmitidaporalgum vetor, principalmentequandoinseto,a larga

utilizaçãode produtos químicos é usada sem nenhumtipo de programa de coordenação [6 ]. Ouso

depredadoresnaturaisaindanãoestátãodisseminado, porémváriaspesquisastêmsidofeitasneste

sentido[17 ].

(14)

ummodelo teóricoquecontrole umapopulaçãode umapraga, usandoumsistemahíbrido queleve

emconta o controle químico eo predadornatural daespécie quesequer controlar.

Um outro objetivo deste trabalho é apresentar um Sistema Dinâmico P-fuzzy que leve em

conta fatoresextrínsecos dapopulaçãoquesequermodelar. Na práticaestesfatoresestão reunidos

emumavariávelchamadaCondição Ambiental,queirárepresentarestesestadosdoambiente.

Con-sideraremos estes fatores como sendo periódicos, e desta forma, o Sistema P-fuzzy proposto será

não-autonômo numcerto sentido, pois implicitamente dependerá dotempo. Estas condições

repre-sentam comoo ambiente afeta avariação de umadeterminada população.

Paraalcançarestesobjetivos,o trabalho foiorganizado da seguinte forma:

Capítulo 1: NestecapítuloapresentamososconceitosbásicosdalógicafuzzybemcomodosSistemas

Baseados em Regras Fuzzy, apresentando o Controlador de Mamdani. Este capítulo dará a

baseteóricapara oscapítulossubsequentes.

Capítulo 2: Mostramos neste capítulo os Sistemas Dinâmicos P-fuzzy uni e bidimensionais,

apre-sentandotambém condiçõesde existência eestabilidade de soluçõesdosmesmos.

Capítulo 3: AinuênciadeumaCondiçãoAmbientaléinseridanossistemasp-fuzzyunie

bidimen-sionais apresentados no capítulo anterior, neste capítulo. São feitos experimentos numéricos

quecontemplam vários tiposde condiçõesiniciais deste tipode sistema.

Capítulo 4: Estecapítulo têm oobjetivo de apresentarumSBRF quecontrole ossistemas p-fuzzy

mostrados noscapítulos anteriores. Novamente sãofeitassimulaçõesnuméricas paramostrar

arobustez dosistemae suacapacidade de controlarumadeterminada praga.

Por msão feitas asconsiderações nais e conclusõessobre o trabalho, bemcomo são

apre-sentados trabalhosfuturos relacionadose pretendidos.

Também sãoanexados ao trabalho osprogramas computacionais utilizados paraa realização

(15)

Conceitos Básicos de Teoria Fuzzy

1.1. Introdução

Quando é necessário tomar uma decisão no mundo real, o ambiente no qual se deseja arbitrar, os

objetivosaserem alcançados, asrestrições ouasconseqüencias daspossíveis açõesnemsempresão

precisas. Normalmente tem-seutilizadoaprobabilidadeparalidarcomtaisimprecisões. Noentanto

emmuitoscasosaimprecisãonãoéresultadodaaleatoriedadedofenômenoaserestudado,massim

pertencente a própria natureza domesmo [4].

Porexemplo,vamossuporquequeremosclassicarpessoasdeumconjuntocomosendojovem

ou idoso e estabelecemos que um indivíduo será considerado idoso quando tiver idade igual ou

superior à

60

anos. Nossa classicação estaria correta quando, por conta de nossa nota de corte

dissermosquealguém que tenha

59

éjovem?

Estetipodesituaçãotambémocorrecomtodotipodeclassicaçãoqueutilizaadjetivoscomo

largo,pequeno,importante, sério, aproximado, etc. Notamos também aqui que estesadjetivos não

sãoeventos aleatórios,massim sãoinerentes aespecicidadedo fenômenoa ser classicado.

Assim,emcontrastecomanoção declasses ouconjuntos emmatemática binária, emnosso

diaadiaapertinênciaounão deumelemento aumconjuntonão édecidida,precisaoucrisp. Nem

tudoo quevemosé pretooubranco. Hámuitos casos degradaçõesdecinza,entreosopostos preto

ebranco(Veja [16]).

(16)

foramempreendidosesforçosqueresultaramnacriaçãodeumateoriadeconjuntosapropriada. Esta

teoria foi chamada de Teoria dos Conjuntos Fuzzy, ou Lógica Fuzzy, que tem crescido

considerav-elmente em nossos dias, tanto do ponto de vista teórico como de aplicações em diversas áreas do

conhecimento, sobretudo em tecnologia.

A palavra inglesa fuzzy tem o signicado de incerto, vago, impreciso, subjetivo, nebuloso,

difuso, etc. Porém, nenhuma dessas traduções é tão el ao sentido amplo dado pela palavra fuzzy

em inglês. Esta teoria teve suas bases formalizadas por L. A. Zadeh [28] no seufamoso artigo de

1965.

1.2. Conjuntos Fuzzy

Podemos dizer que um conjunto fuzzy é uma classe de objetos cujas fronteira entre aqueles que

pertencem ao conjunto eaqueles quenão pertencemnão éconhecida ou o é,parcialmente.

Para obter a formalização matemática deste tipo de conjunto, Zadeh baseou-se no fato de

que qualquer conjunto clássicopode ser bem descrito através de umafunção chamada função

car-acterística

χ : X −→ {0; 1}

, tal quesendo

A

umsubconjunto de umuniverso

X

,paratodo

x ∈ X

vale

χ

A

(x) =











1,

se

x ∈ A.

0,

casocontrário.

Assim,por exemplo,setomarmos o conjunto dosnúmeros pares,teremos queafunção

carac-terística de

P

,paratodo

n ∈ N

,é dada por:

χ

P

(n) =











1,

se

n

for divisível por

2. 0,

caso contrário.

Portanto,

χ

P

(4) = 1

e

χ

P

(11) = 0

.

Istoposto, propõe-se queanoção desubconjunto fuzzyédadaampliando-seocontra-domínio

(17)

emquestão. Formalmente estaarmação podeserbemcaracterizada pelaseguintedenição.

Denição 1.1 (Subconjunto Fuzzy). Um subconjunto fuzzy

F

de um conjunto clássico

X

é

carac-terizado por uma função

µ

F

: U −→ [0, 1]

, chamada função de pertinência do subconjunto fuzzy

F

.

A denição1.1acima estabelece basicamente queumsubconjunto fuzzy

F ⊂ X

,

independen-tementedaimprecisãodesuasfronteiras,podesercompletamentedenidobastandoassociaracada

elemento

x ∈ X

umvalorentre

0

e

1

,o qualrepresenta o graude pertinência de

x

aosubconjunto

F

.

Além disso, segundo esta denição, cada subconjunto clássicode

X

é umsubconjunto fuzzy

em

X

,onde a função de pertinência é a função característica do subconjunto, isto é,os Conjuntos

Clássicossão casos particulares de Conjunto Fuzzy. Mais ainda,

µ

F

(x) = 1

e

µ

F

(x) = 0

indicam,

respectivamente, a pertinência e não pertinência total do elemento

x

em

F

.

Denição1.2 (SubconjuntoFuzzy Normal). Dizemos queumsubconjunto fuzzy

F ⊂ X

énormalse

existe

x ∈ X

talque

µ

A

(x) = 1

.

Exemplo1.3. Suponhaquequeiramosentãodescrevercomconjuntosfuzzyadensidadepopulacional

dedeterminada pragaemuma plantação, de formaa classicá-la comosendo alta. Poderíamos ter

umsubconjunto fuzzy da densidade populacional de pragas em uma determinada lavoura descrito

pelaseguinte função de pertinência

µ

A

(x) =











0

se

x ≤ 10,

x−10

70

se

10 < x ≤ 80,

1

se

80 < x < 100.

,

dondepodemosconcluirqueumalavouraquetenha50%desuasfolhagensinfectadasterá

µ

A

(50) =

0.57

,o quesignica queelaserá considerada umacontaminação alta comgraude pertinência

0.57

. Oconjunto

A

é normal, dado queinfestaçõescom maisde 80% sãoconsideradas alta comgrau de

(18)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 Densidade Populacional (%)

Grau de PertinÃªncia

Alta

Figura1.1.:Subconjuntofuzzydedensidadedeinfestaçãoemumaplantação.

Aseguirvamosextenderasprincipaisoperaçõessobreconjuntosclássicosparaconjuntosfuzzy.

Para issosejam

A

e

B

subconjuntos fuzzyde

X

.

Denição 1.4(União). A uniãoentre

A

e

B

éosubconjunto fuzzyde

X

cujafunção depertinência

é dada por

µ

_(A∪B)

(x) = sup

x∈X

{µ

A

(x), µ

B

(x)}.

Denição 1.5 (Intersecção). A intersecção entre

A

e

B

é o subconjunto fuzzy de

X

cuja função de

pertinência édada por

µ

_(A∩B)

(x) = inf

x∈X

{µ

A

(x), µ

B

(x)}.

Denição 1.6 (Complementarde subconjuntos fuzzy). Ocomplementar de

A

é o subconjunto fuzzy

A

0 _{⊂ X}

cujafunção de pertinência édada por

µ

A

0 (x) = 1 − µ

_A

(x),

∀x ∈ X.

Através da denição de Complementar, poderemos obter a partir do Exemplo 1.3 , a função

(19)

µ

B

(x) = 1 − µ

A

(x) =











1

se

x ≤ 10,

80−x

70

se

10 < x ≤ 80,

0

se

x > 80.

Assim, uma infestação de 50% será considerada Alta com grau de pertinência

0.57

e Baixa

comgraude pertinência

0.43

.

Denição 1.7 (Igualdade). Os subconjuntos fuzzy

A

e

B

de

X

são iguais se suas funções de

pert-inência coincidem,isto é,se

µ

A

(x) = µ

B

(x)

para todo

x ∈ X

.

1.3. Números Fuzzy

Comonossoobjetivo émodelarumproblemaconcreto,escolheremoscomonossoconjunto universo,

ou domínio, o conjunto dos números reais (

R

). Estes conjuntos fuzzy serão chamados de números

fuzzy. Para entendê-los formalmenteprecisamos dealgumas denições.

Denição 1.8 (

α

-nível). Seja

F

um subconjunto fuzzy de

X

e

α ∈ [0, 1]

. O

α

-nível de

F

é o

subconjunto clássicode

X

denido por

[F ]

α

= {x ∈ X : µ

F

(x) ≥ α}

para

0 < α ≤ 1.

Denição 1.9 (Suporte). Seja

F

umsubconjunto fuzzy de

X

, osuporte de

F

,o qual sedenotapor

supp(F )

,éo subconjunto de

X

cujoselementos têmgrau de pertinência nãonulosem

F

,isto é,

supp(F ) = {x ∈ X : µ

F

(x) > 0}.

Usaremos a notação

F(R)

para denotar a família de subconjuntos fuzzy de

R

, no qual os

α

-níveis sãodadospor:

(20)

[F ]

0 = supp F

sãocompactos enão vazios.

Agorapodemos denirumnúmero fuzzy.

Denição1.10(Númerofuzzy). Umsubconjuntofuzzy

F ⊂ R

échamadodenúmerofuzzysesatisfaz

àsseguintescondições:

(

i

) F

é umsubconjunto fuzzy normal;

(

ii

)

Todosos

α

-níveis de

F

sãointervalos fechadosde

R

;

(

iii

)

Osuportede F,

supp F = {x ∈ R : µ

A

(x) > 0}

,élimitado.

Oconjunto fuzzy

A

denidopelafunção de pertinência em formade triângulo

µ

A

(x) =











x−a

b−a

se

a < x ≤ b,

c−x

c−b

se

b ≤ x < c,

0

casocontrário

.

satisfaz aspropriedades de umnúmero fuzzy eé denominado número fuzzy triangular. Usaremos a

notação

A = [a/b/c]

pararepresentá-lo,emque

µ

A

(a) = µ

A

(c) = 0

e

µ

A

(b) = 1

.

Nomesmosentido,oconjuntofuzzy

B

,cujafunçãodepertinênciatemaformadeumtrapézio

e édada por

µ

B

(x) =











x−a

b−a

se

a ≤ x < b,

1

se

b ≤ x ≤ c,

d−x

d−c

se

c < x ≤ d,

0

caso contrário

.

também satisfaz as propriedades da Denição 1.10 e é chamado número fuzzy trapezoidal. Será

(21)

1 4,2

3,8

4

(a) Númerofuzzytriangular

A = [3.8/4/4.2]

.

11

14

17

20

1

(b) Númerofuzzytrapezoidal

B = [11/14/17/20]

.

Figura1.2.:Exemplosdenúmerofuzzy.

Exemplo1.11. Em muitas oportunidades tem-sea necessidade deutilizar algum tipo deimprecião

nodiaadia. Quandosequer,porexemplo,marcarumencontrocomoutrapessoa,diz-secomumente,

encontro-tepor volta das

4

horas. Por voltade 4horas éumnúmero fuzzy,quepode serdenotado

por

ˆ

4

ou porsuafunção de pertinência

µ

4

,aqual pode sercaracterizada pelaseguinteequação

µ

4 (x) =











x−3.8

2

se

3.8 < x ≤ 4,

4.2−x

2

se

4 ≤ x < 4.2,

0

casocontrário

.

Note-se que o número fuzzy

ˆ

4

é um número simétrico (Vide Figura 1.2(a) ) e poderia ser

entendido como emtorno de4.

1.4. Lógica Fuzzy

Umsistema lógico é um conjunto de axiomas e regras de inferência que visam representar

formal-mente umraciocínio válido. A lógica clássicatrabalha com proposições quesão ou verdadeiras ou

falsase sebaseia na teoriaclássica de conjuntos. Além disso, a lógica é ummétodo de estudo que

sepropõe emprocurar compreendera verdade.

Na lógica fuzzy, por sua vez, tendo como base a teoria de conjuntos fuzzy, uma proposição

(22)

inferirpor verdades mesmoquese tenhaqueabrir mãode algumgraude certeza.

Em nossa tentativa de modelar os fenômenos que nos cercam existem situações nas quais a

dicotomia verdadeiro falso não é suciente para representá-los. Nestes casos, a lógica fuzzy é útil,

pois é capaz de traduzir em termos matemáticos as informações contidas em frases expressas em

linguagem natural,cheiade imprecisões.

Nessesentido, construir umamaneira de fazer inferências e tomar decisões mesmo em

ambi-entesimprecisos é altamente necessário.

1.4.1. Variáveis Lingüísticas e Proposições Fuzzzy

Uma variável lingüística

X

em um universo

U

é aquela cujos valores são subconjuntos fuzzy, que

correspondem por sua vez a termos lingüísticos. Podemos dizer que uma variável lingüística é um

substantivo enquanto seus valoressão adjetivos.

Porexemplo,chuva éumavariávellingüísticaquepodeassumirosatributos(valores)Fraca,

Média, Forte. (Figura1.3)

0

20

40

60

80

100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 Chuva

Grau de Pertinencia

Fraca

Media

Forte

Figura1.3.:Variávellingüísticaintensidadedechuva emmmdechuva.

Em nosso trabalho, por querermos modelar fenômenos biológicos em particular, os valores

assumidospelasvariáveis serão númerosfuzzy,nosquaisouniversode discursoserá oconjunto dos

(23)

As sentenças em que aparecem variáveis lingüísticas juntamente com seus valores subjetivos

sãochamadas proposição fuzzy. Elassãodo tipo:

SeESTADO,então AÇÃO

1.4.2. Conectivos Lógicos

Parasetraduzirmatemáticamenteumaproposiçõesfuzzyfaz-senecessáriodenirconvenientemente

osconectivosE e OU,já queumestado pode comportar maisde umavariável.

Para tanto utilizaremos os operadores t-norma e t-conorma, os quais denotamos

respectiva-mentepor

∧

e

∨

eosdeniremos a seguir.

É importantesalientarque nateoria clássicade conjuntos, quando temosdois conjuntos

A

e

B

quaisquer, sedissermosqueumelemento

x

estáem

A

E estáem

B

,a informaçãofornecida é a deque

x

está naintersecção de

A

e

B

.

Demaneiraanáloga,associa-seintersecçãode conjuntosfuzzyparamodelaroconectivo fuzzy

E.Vejamos

Denição1.12 (t-norma). Ooperadorbinário

∧ : [0; 1] × [0; 1] −→ [0; 1]

é umat-norma,sesatisfaz:

(

i

)

Comutatividade:

x ∧ y = y ∧ x;

(

ii

)

Associatividade:

x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z

;

(

iii

)

Monotonicidade: se

x ≤ u

e

y ≤ v

,então

x ∧ y ≤ u ∧ v

;

(

iv

)

Condições deFronteira:

∧(1, x) = 1 ∧ x = x

e

∧(0, x) = 0 ∧ x = 0

.

Exemplo1.13. São exemplosde t-norma[2]:

(

i

) x ∧

1 y = min{x; y}

;

(

ii

) x ∧

2 y = x · y

;

(24)

Domesmo modo, o conectivo OU, ao ser utilizado do ponto de vista da lógica clássica, na

sentença

x

está em

A

`OU'

x

está em

B

signica que oelemento

x

está na união de

A

e

B

. Daí

agir-se demodoanálogo paraseconstruir oconceito det-conorma.

Denição 1.14 (t-conorma). O operador binário

∨ : [0; 1] × [0; 1] −→ [0; 1]

é uma t-conorma, se

satisfaz:

(

i

)

Comutatividade:

x ∨ y = y ∨ x;

(

ii

)

Associatividade:

x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z

;

(

iii

)

Monotonicidade: se

x ≤ u

e

y ≤ v

,então

x ∨ y ≤ u ∨ v

;

(

iv

)

Condições de Fronteira:

∨(1, x) = 1 ∨ x = x

e

∨(0, x) = 0 ∨ x = 0

.

Exemplo 1.15. São exemplosde t-conorma [2 ]:

(

i

) x ∨

1 y = max{x; y}

;

(

ii

) x ∨

2 y = min{1; x + y}

;

(

iii

) x ∨

3 y = x + y − xy

.

Aseguir veremos o conceitode relações e de produto cartesiano fuzzy. Estas idéiasauxiliam

a formalizarmatematicamentea lógicafuzzy.

1.4.3. Relações e Produto Cartesiano Fuzzy

O conceito de relação em matemática é formalizado a partir da teoria de conjuntos. Uma relação

clássicaindicaseháounão algumaassociação entredoisobjetos. Neste sentido, umarelaçãofuzzy,

estende este conceito e além de indicar se há ou não tal associação, mostra também o grau desta

relação.

O conceito matemático de relação fuzzy é formalizado a partir do produto cartesiano usual

entreconjuntosclássicos,estendendoafunçãocaracterísticadeumarelaçãoclássicaparaumafunção

(25)

Denição 1.16. Uma relação fuzzy

R

sobre

U

1 × U

2 × . . . ×U

n

é qualquer subconjunto fuzzy de

U

1 × U

2 × . . . ×U

n

. Assim, uma relação fuzzy

R

é denida por uma função de pertinência

ϕ

R

:

U

1 ×U

2 × . . . ×U

n

−→ [0, 1]

.

Se o produto cartesiano for formado por apenasdois conjuntos,

U

1 ×U

2

,a relação é chamada

defuzzy binária sobre

U

1 ×U

2

.

Apartirdestesconceitos,poderemosdeniroprodutocartesiano fuzzy. Estadenição seráde

grandeimportânciaparaacontruçãodoscontroladoresfuzzy,basedosSistemasBaseadosemRegras

Fuzzy. Tecnicamente, esta operaçãoé similar àintersecção de conjuntos fuzzy(Denição 1.5 ),com

adiferençadequeno nestecasoo conjunto universonão necessariamenteéo mesmo. Formalmente

temosaDenição1.17 quesegue.

Denição1.17. Oprodutocartesianofuzzydossubconjuntosfuzzy

A

1 , A

2 , . . . , A

n

de

U

1 , U

2 , . . . , U

n

,

respectivamente, é arelaçãofuzzy

A

1 ×A

2 × · · · × A

n

,cujafunção de pertinência édada por

ϕ

A

1 ×A

2 ×...×A

n

(x

1 , x

2 , . . . , x

n

) = ϕ

A

1 (x

1 ) ∧ ϕ

A

2 (x

2 ) ∧ . . . ∧ ϕ

A

n

(x

n

),

onde

∧

representa o mínimo.

1.5. Sistema Baseado em Regras Fuzzy

Vamos utilizaragoraosconceitos aquivistospara construirumsistemaquedealguma formaemule

asaçõesedecisõeshumanas,porémcom umcaráter maisformal.

UmSistemaBaseadoemRegrasFuzzy(SBRF)éumsistemaqueseutilizadalógicafuzzypara

produzirsaídasparacadaentradafuzzy. Em nossosestudosutilizaremosumtipoespecialdeSBRF

chamadoControladorFuzzy. Aparticularidadedoscontroladoresfuzzyéquecadasaídarepresentava

a ação correspondente à condição ou entrada do SBRF. O que se tenta fazer é reproduzir um

Controlador Humano, levando-se emconta que asações humanas sãoem geral execuçãode tarefas

queseguem umasequência de ordenslinguísticas, traduzidas por umconjunto de regras.

Os controladores fuzzy comandam astarefas por meio de termos da linguagem usual. Neste

(26)

traduzi-dos por conjuntos fuzzy, são utilizados para transcrever a base de conhecimentos através de uma

coleção de regras fuzzy, denominadabase de regras fuzzy.

A partir dessa base de regras obtem-se a relação fuzzy, a qual produzirá a saída (resposta,

ação)paracadaentrada(estado,condição). Porexemplo,Seestivermuitofrio,entãocoloquemuita

roupa.

Um controlador fuzzy é composto de basicamente quatro módulos: o fuzzicador, a base de

regras, o método de inferência e o defuzzicador. O esquema do controlador pode ser visto na

Figura 1.4 . A estrutura dos controladores fuzzy permite a transformação do domínio de nossos

fenômenos(comumente osnúmerosreais) parao domíniodosconjuntos fuzzy,atravésdosnúmeros

fuzzy. Apartirdeentãoéutilizadoummétododeinferênciafuzzynasregraspré-estabelecidas para

quesejatomada umadecisão. Por msefaza transformaçãoinversa paraomundo realda decisão

escolhida. Vamos analisarcada móduloem particular.

Módulode Fuzzicação Basede Regras Módulode Inferência Fuzzy Módulode Defuzzicação

Figura1.4.:Esquemageraldeumcontroladorfuzzy.

1.5.1. Fuzzicação

Neste módulo cada entrada do sistema é transformada em um conjunto fuzzy, ou seja, se

x ∈ R

n

é uma entrada do sistema, o fuzzicador associa a esta entrada uma função de pertinência

µ

x

(a)

,

ou em outros termos, associa um número fuzzy

x ∈ F(R

ˆ

n

₎

. Em muitos casos, a função

µ

x

(a)

é a

(27)

1.5.2. Módulo da base de regras

Este pode ser considerado como um módulo que faz parte do núcleo do controlador fuzzy. Ele é

compostopelas proposições fuzzye cada umadestasproposiçõesédescrita na formalingüística

Se

x

1

é

A

1

e

x

2

é

A

2

e

· · ·

e

x

n

é

A

n

então

y

1

é

B

1

e

y

2

é

B

2

e

· · ·

se

y

m

é

B

m

,

onde

A

i

e

B

i

são conjuntos fuzzy que representam termos lingüísticos das variáveis de entrada e

saída,respectivamente. A expressão

x

i

é

A

i

signica que

µ

A

i

(x

i

) ∈ [0; 1]

. É aqui queas variáveis,

agora lingüísticas, e suas classicações (adjetivos) são catalogadas e, em seguida, modeladas por

funçõesde pertinência. A combinação destasregras éque geraumasaída

y ∈ F(R

ˆ

m

₎

. OQuadro 1

ilustraumabase deregras generalizada.

R

1

: Proposição fuzzy

1

ou

R

2

... ... ... ... . ou

R

r

Quadro1:Formageraldeumabasederegrasfuzzy.

Podemos estabelecer a idéia, embora de forma simplicada, que os controladores fuzzy são

sistemasespecialistas paraosquaiscada proposição fuzzy tema forma

Secondição,entãoação,

emque cada condição e cada ação são estados assumidospor variáveis lingüísticas quesão por

suavezmodeladasporconjuntosfuzzy. Osconjuntosfuzzyquecompõemacondição sãochamados

antecedentes e osquecompõem aação são chamados conseqüentes.

Nestemóduloéqueasinformaçõesdofenômenoasermodeladosãoutilizadasparasedenira

basede regras. Issopor que,paracada estadodosistema, denidoaprioripelostermoslingüísticos

da variável de entrada, deve se ter uma regra que o contemple. Desta forma quanto mais termos

(28)

Com isso, quanto melhorse conhece o fenômeno, mais fácil será a tarefa de construir a base

de regras. O auxílio de um especialista é útil a interação com o especialista é facilitada haja vista

a basede regras utilizar termos lingüísticos. Issosignica quemesmo portanto mesmoalguém sem

conhecimentos matemáticos sobre lógicafuzzypodeauxiliarna construçãodasregras.

Umnúmeromaiorderegrastambémpode,decertomodo,facilitarrepresentaçãodabasepara

contemplar melhorasinformaçõesmatemáticas que sequerrepresentar.

1.5.3. Módulo de inferência fuzzy

É neste estágio quepara cada valor assumido pelas variáveis de entrada são determinados, através

da basede regras,osvaloresdasvariáveis de saída.

Comovimos assentenças dabasede regrassãoligadaspor conectivos: E eOU.Ométodode

inferência traduz estasregras matematicamente, por meio das t-norma e t-conorma, gerando para

cada regra umasaída.

O método de inferência utilizado neste trabalho é conhecido como método de inferência de

Mamdani oumétodo MAX-MIN.Este métodosegue oseguinteprocedimento [2 ]:

1. Emcadaregra

R

j

,dabasederegrasfuzzy,acondicionalSe

x

é

A

j

então

y

é

B

j

émodelada

pelaaplicação

∧

(mínimo);

2. Adota-seat-norma

∧

(mínimo)para oconectivo lógicoe;

3. Paraoconectivológicoou adota-seat-conorma

∨

(máximo)queconectaasregrasfuzzyda

basede regras.

Formalmente, a relaçãofuzzy

R

é o subconjunto fuzzy de

X × Y

cuja função de pertinência

é dada por

µ

R

(x, y) = max

1≤i≤r

(µ

R

i

(x, y)) = max

1≤i≤r

[µ

A

j

(x) ∧ µ

B

j

(y)],

(1.1)

onde

r

é onúmero deregras quecompõemabasede regrase,

A

j

e

B

j

sãoossubconjuntosfuzzyda

regra

j

. Cadaumdosvalores

µ

A

j

(x)

e

µ

B

j

(y)

sãointerpretados comoosgrauscomque

x

e

y

estão

(29)

Parailustrar como funciona o método de inferência de Mamdani, vamos utilizar duasregras

genéricas que têm duas entradas e uma saída (Quadro 2) e mostrar a inferência gracamente na

Figura1.5.

R

1 :

Se

x

é

A

1

e

y

é

B

1

então

z

é

C

1 R

2 :

Se

x

é

A

2

e

y

é

B

2

então

z

é

C

2

Quadro2:RegrasgenéricasparaocontroladordeMamdani.

B

2 y

o

x

o

A

1 A

2 B

1 :

R

1 Se x é A e y é B Então z é C

1

1 Se x é A e y é B Então z é C

2

2 R

₂

:

1 C

C

2 (

A

₂

) ,

min{

x

o

B

2 (

y

o

) }

=

β

1 C

α

=min{

C

1 (z)

,

α

}

1 C

α

C

2 β

C

2 β

00000

11111

000000

111111

000000

111111

000000

111111

00000

11111

0000000

1111111

0

1

1 min

x

y

z

y

z

= max {

y^

.

,

=min{

A

1 (

x

o

)

,

B

1 ( )

y

o

}

α

(z)

(z)=min{ C

₂

(z)

,

β

}

,

}

Figura1.5.:MétododeMamdani.

1.5.4. Módulo de Defuzzicação

O papel do defuzzicador é converter a saída dada pelo módulo de inferência, que é umconjunto

fuzzy, em um número crisp (real) que bem o represente. Apesar de existirem muitos métodos de

defuzzicação, utilizaremossempreo métodode centro degravidade ou centróide.

Estemétodoéparecidocomumamédiaaritméticaparadistribuiçãodedados,comadiferença

queospesossãoosvalores

µ

C

(z

i

)

queindicamograudecompatibilidadedovalor

z

i

comoconceito

(30)

Ocentrodegravidade dáentãoamédiadasáreasdetodasasgurasquerepresentamosgraus

depertinênciade umsubconjunto fuzzy. Entretodososmétodosde defuzzicaçãoeleéopreferido.

Paraumdomínio discretotemos

G(C) =

n

X

i=0

z

i

µ

C

(z

i

)

n

X

i=0

µ

C

(z

i

)

.

Paradomínio contínuoé dado por

G(C) =

Z

R

yµ

C

(y)dy

Z

R

µ

C

(y)dy

.

(1.2)

e pode servistona Figura1.6 .

ϕ

B

u

G(B)

B

Figura1.6.:Defuzzicadorcentrodegravidade

G(C)

1.6. Conclusão

Neste capítuloapresentamos asprincipais noçõesda teoria de conjuntos fuzzy,bemcomo de lógica

fuzzy, em particular de Sistemas Baseados em Regras Fuzzy (SBRF) necessárias para podermos

estudar os sistemas p-fuzzy bemcomo para seremutilizadas noscontroles de pragas determinados

porregras fuzzy.

Pudemos perceber que um SBRF pode ser entendido como uma função

f : R

n

_{−→ R}

m

,

(31)

diversasmaneirasparatermosrespostasdeacordocomnossosestados. Emparticular,nestetrabalho

utilizaremo-lodeduasmaneirasdiferentes. Nocapítulo2oSBRFdeterminaadinâmicapopulacional

dos chamados sistemas p-fuzzy. Já no capítulo 3, utilizando-se de uma extensão do que terá sido

vistonocapítuloanterior, paracriar usandoa SBRF.Paranalizar,nocapítulo 4utilizaremosesta

metodologia para determinar a maneira de utilização de um pesticida em uma plantação, com o

(32)

Sistemas P-Fuzzy

2.1. Introdução

Para se fazer modelos matemáticos de fenômenos em que as variáveis de estado estão sujeitas a

variações ao longo do tempo tem se utilizado largamente as equações diferenciais e de diferenças

determinísticas. Paraqueo modelosejacoerente faz-se necessárioumgrandeconhecimento das

re-laçõesentreasvariáveisesuasvariações,basedasequaçõesacimareferidas. Sãoestesconhecimentos

quepermitema escolhadasfunçõesquerelacionarão asvariaçõese o estadodasvariáveis.

Asequações diferenciais e dediferenças determinísticas sãouma ferramenta poderosapara a

modelagem de fenômenos cujasvariáveis de estado estão sujeitas a variações temporais. Contudo,

estetipodeferramentasóéecientequandoseconhecebemasrelaçõesexistentesentreasvariáveise

asvariações. Maisqueisso,essasrelaçõesoufunçõespossuemparâmetrosquenemsempresãofáceis

de se mensurar. Além dissopode ser que as relações existentes entre as variáveis e suas variações

sejam apenas parcialmente (nebulosamente) conhecida, o que torna a modelagem determinística

menosatraente.

Mais ainda, os parâmetros das equações de diferenças ou dasdiferenciais precisam ser

men-surados ou estimados, o que quase sempre é uma tarefa fastidiosa, já que faz-se necessária, na

maioriadoscasos, acoleta de muitos dadosparaseconseguirqueestesparâmetros descrevambem

ofenômeno a sermodelado.

(33)

subje-tividades[18 ],estasnãoestão relacionadasdiretamente asrelaçõesentrevariáveise variaçõeso que

torna sem utilidade nestescasos. Isso advémdo fato de estasequaçõesserem oriundas de modelos

determinísticos. Asubjetividade comportadapelasequaçõesfuzzysereferemàsimprecisõesdos

es-tadosiniciais dasvariáveis ounelas mesmas(fuzziness demográca) e/ounosparâmetros (fuzziness

ambiental), situaçõesqueemgeral estão presentes emequaçõesde dinâmicas populacionais [1].

Nestecapítuloapresentaremosossistemasdinâmicosp-fuzzy,quenadamaissãoquesistemas

iterativos baseados em regras fuzzy, isto é, um SBRF iterativo. Os sistemas p-fuzzy incorporam

informações subjetivas tanto nas variáveis quanto nasvariaçõese suasrelações com asvariáveis, o

queostorna umaferramenta útil emfenômenosparcialmente desconhecidos [9 ].

2.2. Sistemas Dinâmicos P-fuzzy

Denominamos Sistema Dinâmico P-fuzzy ao sistemaiterativo











x

_k+1

_{= F (x}

_k

₎

x

₀

_{∈ R}

n

(2.1) em que

F (x

k

) = x

k

+ ∆(x

k

)

. Aqui

∆(x

k

) ∈ R

n

é chamado variação e é obtido através da saída

defuzzicadade umSistema BaseadoemRegras Fuzzy,no caso, umcontroladorde Mamdani. Um

sistemap-fuzzy énadamaisdoqueumaequaçãodediferenças

x

k+1

− x

k

= ∆(x

k

)

esuaarquitetura

pode servista naFigura2.1 .

Controlador

Fuzzy

Modelo Matemático

x

_k+1

=

x

k

+

∆

x

k

∆

x

_k

k

x

Figura2.1.:ArquiteturadeumSistemaP-fuzzy.

(34)

algumapraga,comointuitodecontrolá-la. Vamosveraquialgunstiposdemodelosdecrescimento,

tanto para sistemasunidimensionais, nosquaisa pragaéconsiderada sozinha noseuhabitat, como

sistemas bidimensionais do tipo presa-predador, nos quais a presa é a praga que é considerada

interagindocomalgum predador natural.

2.3. Sistemas P-fuzzy Unidimensionais

Os sistemas p-fuzzy unidimensionais são equações de diferenças em uma dimensão, com base no

sistema(2.1 ),onde

n = 1

,i.e.,











x

k+1

= x

k

+ ∆

x

(x

k

)

x

0 ∈ R

,

(2.2)

emque

∆

x

(x

k

)

édado por umSBRF.

2.3.1. Equilíbrio e Estabilidade de Soluções

Semprequeestamosestudandoequaçõesquedescrevemfenômenos,sobretudobiológicos,édesejável

quesaibamos quandoassoluçõesencontradaspornosso modelosãopontosde equilíbriodosistema

bem como o tipo de comportamento destas soluções. Para que possamos fazer isso em sistemas

p-fuzzy unidimensionaisenunciaremos alguns resultados propostos por Silva[24 ].

Denição2.1(Equilíbrio). Dizemosqueumnúmeroreal

x

?

éumponto deequilíbrio dosistema(2.2)

se

x

?

= x

k

= x

k+1

⇐⇒ ∆(x

k

) = 0.

(2.3)

Para estudarmos a existência de equilíbrio de sistemas p-fuzzy, estabeleceremos as seguintes

denições.

Denição2.2 (SubconjuntosSucessivos). Seja

A =

A

i

1≤i≤k

,

k ∈ N

,umafamília desubconjuntos fuzzy normais associados a variável lingüística

x

. Dizemos que

A

é uma família de subconjuntos

fuzzy sucessivossesatiszerem:

(

i

)

k

[

i=1

(35)

(

ii

) supp(A

i

) ∩ supp(A

i+1

) 6= ∅

;

(

iii

) supp(A

i

) ∩ supp(A

j

) = ∅

,se

|i − j| ≥ 2

;

(

iv

)

Dados

x

¯

e

x

ˆ

com

µ

A

i

(¯

x) = µ

A

i+1

(ˆ

x) = 1

então

x < ˆ

¯

x

.

Acondição(i)estabelecequeabasederegras devecobrirtodoouniversoemquesetrabalha,

ou seja,

∀x ∈ U ; ∃A

i

⊂ A

tal que

µ

A

i

(x) 6= 0

. A condição (iv) da denição acima, mostra-nos que

os elementos têm grau de pertinência máximo a um único número fuzzy. As Figuras 2.2 e 2.5 são

exemplosde famíliasde subconjuntosfuzzy sucessivos.

Aexistênciadeequilíbrioestáassociadaàmudançadesinaldasaída

∆(x)

dosistemap-fuzzy.

Esta mudança está, por sua vez, diretamente relacionada com a existência de oposição semântica

nosconseqüêntes da basede regras[2 ]. Formalmente temosaseguintedenição.

Denição 2.3(ConjuntoeRegiãoViáveisdeEquilíbrio). Seja osistemap-fuzzy (2.2) cujabasetenha

antecedentes e conseqüentes familías sucessivas de subconjuntos fuzzy,

A

i

1≤i≤k

1

e

B

j

1≤j≤k

2

.

Se paraalgum

i

existirem

x, ¯

ˆ

x ∈ supp(A

i

∪ A

i+1

)

talque

∆(ˆ

x) · ∆(¯

x) < 0

,então

A

?

_{= A}

i

∩ A

i+1

é denominado conjunto viávelde equilíbrio e

supp(A

?

₎

éumaregião viável deequilíbrio.

Apartir destadenição veremosque é necessárioqueexista umconjunto viávelde equilíbrio

nos antecedentes da base de regras paraque o sistema p-fuzzy admita um estado de equilíbrio

x

?

.

Estas regras terãoo seguinteformato

R

i

:

Se

x

é

A

i

então

∆(x)

é

B

i

R

i+1

:

Se

x

é

A

i+1

então

∆(x)

é

B

i+1

;

emque

supp(B

i

) ⊂ R

+

e

supp(B

i+1

) ⊂ R

−

ou

supp(B

i

) ⊂ R

−

e

supp(B

i+1

) ⊂ R

+

.

Teorema2.4. Seumsistemap-fuzzy

S

admiteumconjuntoviáveldeequilíbrio

A

?

,com

supp(A

?

_{) 6=}

∅

,então existe pelo menos um estado de equilíbrio na região viável de equilíbrio

supp(A

?

₎

,isto é,

∃x

?

_{∈ supp(A}

?

₎

talque

∆(x

?

_{) = 0}

. Demonstração. Consulte [24].

(36)

A unicidade de ponto de equilíbrio exige algumas restrições nos conjuntos sucessivos que

determinam os termos lingüísticos do conjunto p-fuzzy. Estas restrições são dadas pelo teorema

abaixo.

Teorema2.5. Sejam

supp(A

?

_{) = supp(A}

i

∪A

i+1

) = (a

i+1

1 ; a

2 i

)

aregiãoviáveldeequilíbrio,

µ

A

i

, µ

A

i+1

monótonasem

supp(A

?

₎

eainda

a

i

_{, a}

i+1

taisque

µ

A

i

(a

i

_{) = µ}

A

i+1

(a

i+1

_{) = 1}

. Se

a

i

_{≤ a}

i+1

1

e

a

i+1

_{≥ a}

i

2

então

x

?

é únicoem

supp(A

?

₎

. Demonstração. Consulte[24 ].

Paraanálisede estabilidade lembramos queum sistemap-fuzzy é umaequação de diferenças

dadapor

x

k+1

= x

k

+∆(x

k

) = F (x

k

)

. Bastaanalisarmosovalorde

F

0 (x

?

)

. Assimse

−1 < F

0 (x

?

) <

1

teremos estabilidade do sistemap-fuzzy e instabilidade caso contrário. Conforme sepode ver em Silva [24 , pg.6667],

x

?

pode ser:

(

i

)

assintoticamente estável comconvergênciamonótona, se

∆

0 _(x

?

_{) ∈ (−1; 0)}

;

(

ii

)

assintoticamente estável comconvergênciaoscilatória, se

∆

0 (x

?

) ∈ (−2; −1)

;

(

iii

)

neutralmenteestável, se

∆

0 _(x

?

_{) = 0}

ou

∆

0 _(x

?

_{) = 2}

;

(

iv

)

instável se

∆

0 _(x

?

_{) /}

_{∈ [−2; 0]}

. Como

∆(x

?

₎

é dadapeladefuzzicaçãodo tipo centrodemassa, (veja Seção1.5.4 ), emquea

Equação(1.2 ) é umafunção diferenciável, estevalorpodeser calculadonumericamente [24].

Paraseencontrar o valor de

x

?

,no caso doTeorema 2.5 , temos dois casos. Oprimeiro deles

é quando as funções de pertinência dos conjuntos fuzzy que compõe a região viável de equilíbrio,

µ

A

i

e

µ

A

i+1

sãomonótonase simétricas,istoé,

µ

A

i

(x) = µ

A

i+1

(−x)

. Conformenoscoloca Silva[24,

Proposição 2.1, p. 24], se este for o caso, o ponto de equilíbrio estará na intersecção entre

µ

A

i

e

µ

A

i+1

.

Se este não for o caso, Cecconelo desenvolveu um algoritmo que aproxima numericamente o

valor de

x

?

. O algoritmo em questão utiliza o fato de que encontrar a solução numérica de

x

?

é

equivalente a encontrar o minimizador de

k∆(x)k

já que

∆(x

?

_{) = 0}

. (Para mais detalhes veja [7,

(37)

2.3.2. Crescimento Malthusiano

No intuito de modelar a dinâmica populacional de uma praga, vamos pensar primeiramente no

princípio malthusiano decrescimento populacional:

A variação deuma populaçãoé proporcional a populaçãoem cadainstante.

Esteprincípio determina que a variação populacional crescena medida em quecresce a

pop-ulação. Quando utilizamos equações diferenciais para descreveresta população,suasolução nosdá

umcrescimento exponencial. Édeseesperarqueomodelop-fuzzy tenhaomesmocomportamento.

Vamos denir as variáveis lingüísticas população

(x

k

)

e variação

(∆(x

k

))

em que

x

k

será a

entradae

∆(x

k

)

seráa saídado sistemana interação

k

.

Deniremos tanto para população quanto para variação os termos linguísticos

T

x

= T

∆(x)

=

{

Baixa (

B

), Média (

M

) e Alta (

A

)

}

. O que ira mudará neste caso será o suporte (

supp

) de cada um dos conjuntos de entrada e saída. As funções de pertinência para cada termo lingüístico das

variáveis estão naFigura 2.2.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 Populacao

Grau de Pertinencia

B

M

A

(a) Funçõesdepertinênciadaentrada.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 Variacao

Grau de Pertinencia

B

M

A

(b)Funçõesdepertinênciadasaída.

Figura2.2.:Funçõesdepertinênciaparaentradaesaídadosistemap-fuzzycomcrescimento

malthusiano.

Abasederegras destemodeloestánoQuadro3. Estabaserepresenta exatamenteoprincípio

malthusiano enunciado acima, já quedetermina que quanto maior (ou menor) for uma população,

maior(ou menor)serásuavariaçãoabsoluta. AtrajetóriadapopulaçãoestáilustradanaFigura2.3

(38)

R

1 :

Se apopulaçãoébaixa

(B)

entãoavariaçãoébaixa

(B)

R

2 :

Se apopulaçãoémédia

(M )

entãoavariaçãoémédia

(M )

R

3 :

Se apopulaçãoéalta

(A)

entãoavariaçãoéalta

(A)

.

Quadro3:Basederegrasparamodelarcrescimentomalthusiano.

0

5

10

15

20

25

30

35

0

50

100

150

200

250 Tempo

Populacao

Figura2.3.:Trajetóriadeumapopulaçãoatravésdosistemap-fuzzydotipomalthusiano(base

deregrasdoQuadro3)com

x

0 = 2

.

2.3.3. Crescimento Inibido do tipo Logístico

Omodelomalthusiano,emborasejaumparadigmana históriadosmodelos matemáticos para

pop-ulaçõeshomogeneamente distribuídas,nãoéobservadona realidade,anão seremumcurtoperíodo

de tempo, se a população inicial é baixa. Há fatores que impedem uma população de crescer

ex-ponencialmente tais como disputa por espaço, alimentação, competição com outros indivíduos da

mesmaedeoutrasespécies,etc. Assimháumaespéciedelimiar,denominadocapacidadedesuporte

(

k

), no qual a população tende a se estabilizar. Desta forma quando a população está acima da

capacidade de suporte

k

, o número de indivíduos da espécie diminui

(∆(x) < 0)

. Por outro lado

quandoo número de indivíduos estáabaixo de

k

asua quantidade aumenta

(∆(x) > 0)

. Mais que

(39)

ser vistonaFigura 2.4 .

Figura2.4.:Campodevariações: (

→

)variaçãopositiva;(

←

)variaçãonegativa.

Oprimeiromodelo,denominadologístico,quelevaemcontaainibiçãodocrescimento

popula-cional foipropostoporVerhulst[19 , pg. 3],quecolocou emseumodeloumprocessoauto-limitante.

No entanto háoutros que também levamem conta estelimiar e sãochamados logistícos, por conta

do tipo desoluçõesque sãoencontradas apartir dasequações diferenciaisque osdescrevem. Deste

ponto de vistao comportamento podeser determinado por

dx

dt

= f (x)

(2.4)

emque

x

é o número de indivíduosdapopulação e

f

temasseguintespropriedades:

(

i

)

Se

x > k

então

f (x) < 0

;

(

ii

)

Se

x < k

então

f (x) > 0

.

Oestabelecimentode

f

deformasatisfatórianemsempreéfácil,emespecialquandoadinâmica

populacionaléparcialmenteconhecida. Umaconseqüênciaadvindadestasituaçãoéqueacapacidade

de suporte

k

também será parcialmente conhecida. Logo não podemos determinar com exatidão o

momento emque

f

muda desinal. Poroutrolado,porexemplopodemos saber,atravésdoprocesso

de modelagem, que quando o número de indivíduos de uma população é altíssimo a população

decresce.

Para construírmos o modelo p-fuzzy para populações com crescimento inibido, continuamos,

comonocasomalthusianocomumaentrada(população

x

)eumasaída(variação

∆(x)

). Noentanto,

ostermoslingüísticos quedescreverãoasvariáveis e obviamentea basederegras serão diferentes.

Utilizaremosostermoslingüísticos

T

x

= {

Baixa (

B

),Média Baixa (

M B

),Média (

M

), Média

Alta (

M A

), Alta (

A

), e Altíssima (

AT

)

}

com o objetivo de determinar subjetivamente os estados

(40)

Damesmaformaostermoslingüísticos

T

∆(x)

= {

Baixa Negativa (

BN

),Baixa Positiva (

BP

),

MédiaPositiva (

M P

) e Alta Positiva (

AP

)

}

representarãoosestadosassumidospelavariável

vari-ação. Asfunçõesdepertinência estão ilustradasnaFigura 2.5 .

0

50

100

150

200

250

300

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 Populacao

Grau de Pertinencia

B

MB

M

MA

A

AT

(a)Funçõesdepertinênciadaentrada.

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 Variacao

Grau de Pertinencia

BN

BP

MP

AP

(b)Funçõesdepertinênciadasaída.

Figura2.5.:Funçõesdepertinênciaparaentradaesaídadosistemap-fuzzycomcrescimento

inibidodotipologístico.

Note-se que enquanto a população apenas foi dividida de forma diferente através de outros

termoslingüísticos,a variação além deserdividida diferentemente, tem funçõesde pertinência com

suportestantopositivosquanto negativos. Estasituaçãoestádeacordocomosmodelos

determinís-ticosinibidosclássicos comoosde Verhulst,Motrolle seus derivados [10 ].

O modelo proposto por Verhulst, como já dissemos, propunha um limitador intrínseco no

crescimento populacional. Em outras palavras,quandotemosumapopulaçãobaixa o crescimento é

igualao modelo exponencial, positivo. Quando temosumapopulação média, ocrescimento ainda é

positivo, porém com intensidade menor. Quando a população se torna alta ou muito alta é que o

processo de limitaçãocomeça a operar, fazendoo crescimento populacional passar de positivo para

negativo. Estes tipos de hipóteses são bem descrita por regras fuzzy. A base de regras fuzzy que

utilizamospara modelareste tipo defenômeno está noQuadro 4.

Astrajetórias (soluções)da população, esboçadasna Figura2.6,mostra-nos que

independen-tementedo ponto inicial,a população tendeaumponto de equilíbrio,no caso

x

?

_{= 254.3503}

. Para

(41)

R

1 :

Se apopulaçãoébaixa

(B)

entãoavariaçãoébaixapositiva

(BP )

R

2 :

Se apopulaçãoémédiabaixa

(M B)

entãoavariaçãoémédiapositiva

(M P )

R

3 :

Se apopulaçãoémédia

(M )

entãoavariaçãoéaltapositiva

(AP )

R

4 :

Se apopulaçãoémédiaalta

(M A)

entãoavariaçãoémédiapositiva

(M P )

R

5 :

Se apopulaçãoéalta

(A)

entãoavariaçãoébaixapositiva

(BP )

R

6 :

Se apopulaçãoéaltíssima

(AT )

entãoavariaçãoébaixa negativa

(BN )

Quadro4:Basederegrasparamodelaravariaçãodapopulaçãodotipologístico.

Estamos tentando procurar

x

?

tal que

∆(x

?

_{) = 0}

. Para tanto primeiro podemos facilmente

vericar que os antecedentes da base de regras proposta para o modelo logístico se encaixam na

denição de subconjuntos sucessivos. Além disso há em nossa base de regras (Quadro 4 ), entre as

regras

R

4

e

R

5

, oposição semântica como conseqüentes destas, isto é,

∃x

1 , x

2 ∈ (A ∪ AT )

tais que

∆(x

1 ) · ∆(x

2 ) < 0

. Destaforma se

I

?

_{= (A ∩ AT )}

,

supp(I

?

_{) = (225; 275) 6= ∅}

é região viável de equilíbrio. Pelo

Teorema 2.4existeentão

x

?

_{∈ (225; 275)}

, ponto de equilíbriodo sistemap-fuzzy emquestão.

Mostremosagoraque

x

?

é único. Defatotemosque

µ

A

e

µ

AT

sãomonótonasem

supp(I

?

_{) =}

supp(225; 275)

. Além disso,

µ

A

(225) = µ

AT

(275) = 1

e

∀q ∈ (A ∩ AT )

temosque

225 < q < 275

. EstashipótesessatisfazemoTeorema2.5demonstrandoque

x

?

éúnico. Paramostrarque

x

?

_{= 250}

utilizamo-nosdo algoritmoproposto por Cecconello, cujo idéia foiesboçadaanteriormente.

2.4. Sistemas P-fuzzy Bidimensionais

UmSistemaP-fuzzyBidimensional,tomandoporbaseaequação (2.1) ,podeserdescritoatravésdo