Luís J.M. Amoreira Departamento de Física UBI. Primavera 2011

(1)

Breve introdu¸c˜

ao `

a ´

optica geom´etrica

Lu´ıs J.M. Amoreira

Departamento de F´ısica

UBI

Primavera 2011

´

_Indice

1 Introdu¸c˜ao 2

2 Reflex˜ao em espelhos planos 2

2.1 Propriedades da imagem reflectida num espelho plano . . . 3

3 Reflexão em espelhos esféricos 4 3.1 A aproxima¸cão paraxial . . . 5

3.2 Foco de um espelho esf´erico . . . 5

3.3 Imagem reflectida num espelho convexo . . . 7

3.4 Imagem reflectida num espelho cˆoncavo . . . 8

3.5 Imagens formadas por reflex˜ao — Resumo . . . 10

4 Refraçcão em superf´ıcies planas 11 5 Refraçcão em superf´ıcies esféricas 12 5.1 Focos de uma superf´ıcie refractora esférica. Potência dióptrica . . . 13

5.2 Posi¸c˜ao e caracter´ısticas das imagens refractadas . . . 15

5.3 Tra¸cado de raios . . . 17

5.4 Refraçcão em superf´ıcies esféricas — Resumo . . . 17

6 Lentes finas 18 6.1 Equa¸c˜ao das lentes . . . 19

6.2 Tra¸cado de raios e amplia¸c˜ao transversal . . . 21

6.3 Propriedades das imagens refractadas em lentes finas . . . 22

6.4 Refrac¸c˜ao em lentes finas — Resumo . . . 23

7 Sistemas ´opticos compostos 23 7.1 Objectos virtuais . . . 25

8 Instrumentos ´opticos 26 8.1 O olho humano . . . 26

8.2 A lente de aumento . . . 26

8.3 Microsc´opio composto . . . 26

(2)

1 Introdu¸

c˜

ao

Escrevo estas notas porque no manual recomendado para a disciplina de Elementos de F´ısica II (Halliday, Resnick e Krane, “F´ısica vol. 4”) é seguida uma conven¸cão de sinais para as distâncias medidas em sistemas ópticos que considero complicada de compreender e de aplicar e que, na minha opinião, será talvez abandonada. Espero com este esfor¸co produzir apontamentos que possam, neste cap´ıtulo de óptica geométrica, substituir o manual.

Estes apontamentos ocupam-se essencialmente com a determina¸cão das propriedades (posi¸cão, amplia¸cão, etc.) das imagens produzidas em sistemas ópticos simples constitu´ıdos por lentes e espelhos. Os pontos de partida para este estudo são a Lei

da Reflexão e a Lei de Snell, que já foram abordadas (e de-duzidas) nas aulas. Recapitulando muito brevemente estas leis, sabemos que quando um raio de luz incide na superf´ıcie de separa¸cão de dois meios diferentes, uma parte da energia luminosa é reflectida na superf´ıcie, e outra refractada (ver a figura). Se θ1, θ2e θ3forem, respectivamente, os ângulos

que o raio incidente, o raio refractado e o raio reflectido fazem com a normal à superf´ıcie no ponto de incidência, então verificam-se as seguintes

Figura 1

Lei da reflexão: Os raios incidente e reflectido e a normal à superf´ıcie no ponto de incidência pertencem ao mesmo plano e tem-se

θ1= θ3. (1)

Lei de Snell: Os raios incidente e refractado e a normal `a superf´ıcie no ponto de incidˆencia pertencem ao mesmo plano e tem-se

n1sin θ1= n2sin θ2, (2)

onde n1 e n2 são, respectivamente, os ´ındices de refraçcão do meio onde se propaga o raio

incidente e do de onde se propaga o raio refractado.

Um aspecto destas duas leis que vale a pena real¸car, porque será útil mais tarde, é que delas se deduz que o trajecto dos raios luminosos num sistema óptico é revers´ıvel. Com efeito, se invertermos o sentido dos raios de luz numa reflexão ou refraçcão, os mesmos ângulos, agora em papel inverso (o que era um ângulo de “entrada” é agora um ângulo de “sa´ıda”), continuam a satisfazer as eqs. (1) ou (2). Verifique-o!

2 Reflex˜

ao em espelhos planos

Consideremos um objecto pontual O, colocado a uma distˆancia do de um espelho plano (ver a figura). Alguns

raios de luz que dele emanam (em todas as direçcões) inci-dem no espelho e sofrem a´ı uma reflexão. De acordo com a eq. (1) os ângulos que as direçcões de incidência e de reflexão fazem com a normal à superf´ıcie do espelho são iguais. Consideremos três (ou mais) quaisquer destes raios que incidem no espelho. Constatamos que as direçcões dos raios reflectidos intersectam-se todas num ponto situado atrás do espelho. Assim, os raios reflectidos parecem, aos olhos de um observador, ter origem nesse ponto. Trata-se, pois, da imagem I do objecto O por reflexão no espelho.

Considera¸cões geométricas simples (recorrendo às pro-priedades de semelhan¸ca de triângulos ou à trigonome-tria básica) permitem-nos concluir que os objectos e as

Figura 2

suas

(3)

seja,

di = do,

e pertencem (objecto e imagem) a uma mesma normal `a superf´ıcie do espelho.

2.1 Propriedades da imagem reflectida num espelho plano

Consideremos agora a imagem formada por reflexão num espelho plano de um objecto extenso. Para simplificar (e seguindo um preceito de aplica¸cão universal em óptica geométrica), o objecto considerado é uma seta paralela ao espelho (ver a Figura 3). Sejam O e O0 _{os pontos extremos da}

seta e I e I0 as suas imagens.

Figura 3: Objecto e imagem numa reflex˜ao num espelho plano.

Posi¸c˜ao

Aproveitamos estudo simples para introduzir a conven¸cão de sinais que vamos seguir neste curso. Para especificar a posi¸cão do objecto e da imagem num problema de óptica, usamos um sistema de coordenadas cartesiano que tem a origem no centro do elemento óptico que estamos a considerar em cada momento (neste caso, temos apenas um elemento — o espelho — e a origem encontra-se assinalada pelo ponto V na figura); as posi¸cões à direita da origem tem coordenada horizontal positiva, as que se encontram à esquerda, têm-na negativa. De igual modo, as posi¸cões acima da origem têm coordenada vertical positiva, e as que se encontram abaixo têm-na negativa.

Assim, representando por o e i as coordenadas horizontais do objecto e da sua imagem, o facto de elas se encontrarem a iguais distˆancias do espelho (logo, da origem) traduz-se na equa¸c˜ao

i = −o (reflex˜ao num espelho plano). Amplia¸c˜ao transversal

´

E usual representar a altura do objecto (isto ´e, na Figura 3, a distˆancia O0_{O) por h e a da imagem}

por h0. Chama-se amplia¸c˜ao transversal de um sistema ´optico ao quociente entre a altura da imagem e a do objecto, ou seja,

A = h

0

h. (3)

Se o valor da amplia¸cão transversal é positivo, isso significa que o objecto e a imagem aparecem ambos do mesmo lado do eixo óptico: estão os dois acima, ou abaixo, do eixo. Nesse caso, dizemos (veja já a seguir) que a imagem é direita. Caso a amplia¸cão transversal seja negativa, então a imagem e o objecto estão orientados em sentido oposto e dizemos que a imagem é invertida.

Para a reflexão num espelho plano que estamos a estudar, como os pontos O e I (Figura 3) estão à mesma altura sobre o eixo e o mesmo sucede com os pontos O0 e I0, conclu´ımos que, neste caso, h = h0, ou seja,

(4)

Orienta¸c˜ao

O objecto e a sua imagem na reflexão num espelho plano estão ambos orientados no no mesmo sentido (as duas setas na Figura 3 estão as duas viradas para cima). Nesta situa¸cão, dizemos que a imagem é direita. Estudaremos em breve situa¸cões em que a imagem tem sentido inverso ao do objecto, caso em que dizemos tratar-se de uma imagem invertida.

Realidade

Quando analisámos a forma¸cão da imagem na reflexão num espelho plano (reveja a Figura 2), constatámos que os raios reflectidos parecem todos ter origem no ponto imagem I. É claro que isso não é verdade, uma vez que a luz nem sequer se propaga para trás do espelho. A posi¸cão da imagem é obtida pelo prolongamento dos raios reflectidos, criando a ilusão da sua localiza¸cão. Em situa¸cões como estas, dizemos que a imagem é virtual.

Noutras situa¸cões, que estudaremos a seguir, a imagem de um objecto está efectivamente localizada numa posi¸cão de onde emanam os raios de luz que chegam aos olhos dos observadores. Nessas situa¸cões dizemos que a imagem é real. Quando se coloca um écran na posi¸cão de uma imagem real (como acontece numa projeçcão de slides ou de cinema), ela é a´ı materializada. Obviamente, tal não pode ocorrer na reflexão num espelho plano, já que a imagem se situa atrás do espelho, onde não chega a luz.

3 Reflex˜

ao em espelhos esf´

ericos

Na análise da reflexão da luz, devemos distinguir dois tipos de superf´ıcies esféricas: as côncavas, quando a curvatura da superf´ıcie é para o lado de onde incide a luz, e as convexas, que têm a curvatura para o lado oposto àquele de onde a luz vem (veja a Figura 4). Um espelho esférico é

Figura 4: A reflex˜ao em espelhos cˆoncavos (esquerda) e convexos (direita).

uma por¸cão reflectora de superf´ıcie esférica (por exemplo, uma calote, se se tratar de um espelho circular). As caracter´ısticas mais óbvias (e mais relevantes para o estudo que se segue) desta superf´ıcie reflectora são (1) que todos os seus pontos se encontram à mesma distância (o raio) de um mesmo ponto (o centro da esfera a que pertence), e (2) que a sua normal, em cada ponto, contém também o centro (veja a Figura 5).

Figura 5: Centro de curvatura de espelhos esféricos côncavos (à esquerda) e convexos (à direita) e normal à superf´ıcie em cada ponto.

(5)

Dado um espelho esférico, escolhemos um ponto da sua superf´ıcie de forma mais ou menos arbitrária (mas é conveniente que seja um ponto próximo do centro geométrico do espelho), a que chamaremos vértice. A direçcão normal à superf´ıcie reflectora que contém o vértice chama-se eixo ´

optico do espelho. Convencionalmente, em esquemas para a análise de sistemas ópticos, desenha-se o eixo óptico em posi¸cão horizontal, e representa-se o espelho de tal forma que a luz incide vinda do lado esquerdo do diagrama.

Consideremos um raio de luz que incide num espelho côncavo num ponto Q segundo uma direçcão paralela ao eixo óptico e dele distanciada h (ver a figura ao lado). Este raio será reflectido numa direçcão que cruza o eixo óptico num ponto F , cuja posi¸cão pode ser determinado a partir da lei da reflexão. Seja α o ângulo que o raio incidente faz com a normal ao espelho no ponto de incidência, isto é com a direçcão do segmento de recta QC, onde C é o centro de

curvatura do espelho. Ent˜ao podemos escrever Figura 6

tan α = h CS tan 2α = h F S (4)

3.1 A aproxima¸

c˜

ao paraxial

A resolu¸cão destas equa¸cões para a determina¸cão da posi¸cão do ponto F não é nada simples. Mas, em quase todas as situa¸cões de interesse prático, a distância h é pequena quando comparada com o raio de curvatura do espelho (ou seja, o trajecto do raio incidente é muito próximo do eixo ´

optico). Nessas situa¸cões, então, o ângulo de incidência α é muito pequeno, o que permite fazer as seguintes substitui¸cões aproximadas:

tan α ' α tan 2α ' 2α

CS ' CV F S ' F V ,

com as quais o sistema da eq. (4) se reescreve como

α = h

CV

2α = h

F V, de onde se obtem facilmente

F V = CV

2 . (5)

Esta aproxima¸cão, que nos permitiu obter facilmente uma solu¸cão aproximada para o sistema da eq. (4), tem o nome de aproxima¸cão paraxial e será sempre usada nestes apontamentos.

3.2 Foco de um espelho esf´

erico

O ponto F , para onde são reflectidos os raios que incidem num espelho concâvo paralelamente ao eixo óptico, chama-se ponto focal ou foco do espelho. De acordo com a eq. (5), o foco situa-se no ponto médio do centro de curvatura e do vértice do espelho, qualquer que seja o valor de h (desde que seja suficientemente pequeno para que se justifique a aplica¸cão da aproxima¸cão paraxial, bem entendido). Note-se que, como o trajecto dos raios de luz na reflexão é revers´ıvel, raios de luz que tenham origem no foco (ou que simplesmente passem pelo foco) de um espelho côncavo são por ele reflectidos reflectidos em direçcões paralelas ao eixo óptico (veja a Figura 7).

(6)

Figura 7: O foco de um espelho esférico côncavo é o ponto para onde convergem raios que incidem paralelamente ao eixo óptico (direita). Inversamente, raios com origem no foco são reflectidos pelo espelho em direçcões paralelas ao eixo (direita).

Para espelhos convexos também se define um foco, já não como ponto para onde os raios de luz reflectidos convergem, porque os espelhos convexos não têm essa propriedade, mas sim como ponto de onde raios que incidem no espelho paralelos ao eixo parecem divergir. Com efeito, consideremos um raio para-lelo ao eixo de um espelho convexo num ponto situado a uma altura h. Seja α o ângulo que a direçcão de incidência faz com

a normal ao espelho nesse ponto (veja figura ao lado). Como no _{Figura 8}

estudo da reflexão num espelho côncavo, também aqui podemos escrever, impondo a aproxima¸cão paraxial,

α ' h

V C

2α ' h

V F, de onde resulta, tal como para a reflex˜ao no espelho cˆoncavo,

V F = V C 2 .

Assim, constatamos que, também para espelhos convexos, o foco se encontra no ponto médio entre o vértice e o centro de curvatura.

O foco dos espelhos convexos também se pode determinar considerando a situa¸cão inversa: raios que, depois de reflectidos, são paralelos ao eixo devem ter incidido no espelho dirigidos ao foco (veja a Figura 9).

Figura 9: O foco de um espelho esférico convexo é o ponto de onde parecem emanar os reflexos de raios que incidiram paralelamente ao eixo (esquerda), ou, equivalentemente, o ponto para onde se dirigem raios incidentes que são reflectidos paralelamente ao eixo.

Como resultado da reflexão num espelho côncavo, os raios reflectidos são sempre mais con-vergentes (ou menos dicon-vergentes) do que os incidentes. Por isso, os espelhos côncavos dizem-se convergentes.

(7)

3.3 Imagem reflectida num espelho convexo

Consideremos agora um objecto extenso (a convencional seta vertical) colocado em frente a um espelho convexo (veja a Figura 10). Em geral, não é tarefa muito simples encontrar em que direçcão um raio arbitrário com origem no ponto O é reflectido pelo espelho. Mas há três raios especiais para os quais essa determina¸cão é muito fácil. O primeiro destes raios é o que incide

Figura 10: Forma¸c˜ao da imagem reflectida num espelho esf´erico convexo.

no espelho paralelamente ao eixo. Já sabemos que esse raio é reflectido numa direçcão tal que, depois da reflexão, parece ter tido origem no foco do espelho. O segundo raio é aquele que incide no vértice do espelho. Nesse ponto, a normal à superf´ıcie espelhada é o eixo óptico, a partir do qual é fácil tra¸car o raio reflectido. O terceiro raio é aquele que vai dirigido ao centro de curvatura do espelho. Esse incide perpendicularmente, logo, é reflectido na mesma direçcão de incidência, mas em sentido oposto. Ora, os prolongamentos destes três raios intersectam-se todos no ponto I representado na Figura 10, que, assim, parece ser a origem de todos os raios que, tendo tido origem no ponto O, sofreram reflexão no espelho convexo. O ponto I é pois a imagem do ponto O por reflexão neste espelho. Uma constru¸cão em tudo semelhante permite demonstrar que o ponto I0é a imagem do ponto O0, de forma que a imagem do objecto extenso (seta O0O) é a seta I0I.

Posi¸c˜ao da imagem

Seja, mais uma vez h a altura do objecto (ou seja, a distância O’O) e o a sua coordenada hori-zontal (de acordo com a conven¸cão que introduzimos, o < 0). Da mesma maneira, sejam h0 e i respectivamente a altura e a coordenada horizontal da imagem. Então, analisando a Figura 10, podemos escrever tan α = h O0_V = h0 I0_V tan β = h V F = h0 I0_F

Destas duas igualdades obtemos h0/h = V I 0 O0_V = i −o e h 0_{/h =} I0F V F = f − i f , de onde resulta −i o = f − i f , ou seja, −if = of − oi.

Dividindo esta equa¸c˜ao por oif e reorganizando os termos obtemos 1 i + 1 o = 1 f, (6)

(8)

que é a chamada equa¸cão dos espelhos. Veremos mais tarde que ela se aplica também a espelhos côncavos. Como deve ser óbvio, esta equa¸cão é válida para espelhos planos: nesse caso, o raio de curvatura da superf´ıcie é infinito, logo, 1/f = 0 e resulta então apenas o = −i, resultado que já deduzimos anteriormente.

Amplia¸c˜ao transversal

Tal como no caso da reflex˜ao em espelhos planos, a amplia¸c˜ao transversal define-se como o quoci-ente entre a altura da imagem e a do objecto, ou seja,

A = h

0

h.

Como vimos na dedu¸cão da eq. (6), esta razão é igual à razão V I0_/O0_{V . Ent˜}_{ao podemos tamb´}_em

escrever

A = −i o.

Usando a equa¸c˜ao dos espelhos para escrever i como fun¸c˜ao de o, obtemos

A = − f

o − f.

Tratando-se de um espelho convexo, o foco encontra-se à direita do vértice, logo f > 0. Assim, o denominador da fraçcão no lado direito desta equa¸cão é negativo e maior em módulo do que f . Logo, a amplia¸cão trasnversal da imagem reflectida por um espelho convexo é positiva e menor do que 1.

Orienta¸c˜ao

Uma vez que a amplia¸c˜ao transversal tem valor positivo, a imagem reflectida num espelho convexo ´

e direita. Realidade

Tal como para a reflexão em espelhos planos, a imagem reflectida num espelho convexo forma-se atrás do espelho, onde não chegam os raios de luz. Logo, ela só pode ser uma imagem virtual.

3.4 Imagem reflectida num espelho cˆ

oncavo

Caso 1: o objecto est´a atr´as do centro de curvatura

A Figura 11 ilustra a geometria da forma¸cão da imagem reflectida num espelho côncavo. Os raios de luz originados no ponto O reflectidos no espelho cruzam-se todos (os três representados e outros que considerássemos) no ponto I, ou seja, parecem ter a´ı origem aos olhos de um observador. Assim, este ponto é a imagem do ponto O por reflexão no espelho côncavo.

Podemos repetir a an´alise feita antes para os espelhos convexos. Note que

tan α = h f − o = −h0 −f tan β = h −o = −h0 −i,

onde, como antes, o, i e f são respectivamente as coordenadas horizontais do objecto, da imagem e do foco (agora são todas negativas, porque estes elementos estão todos à esquerda do vértice), h

(9)

Figura 11: Forma¸cão da imagem por reflexão num espelho côncavo.

´

e a altura do objecto e h0 (agora negativo) é a altura da imagem. De cada uma destas expressões deduzimos duas fórmulas para a amplia¸cão transversal

h0 h = f f − o (7) h0 h = − i o, (8)

de onde resulta a igualdade

f f − o = − i o, ou seja f o = −if + io. Dividindo esta express˜ao por iof obtemos, por fim,

1 i + 1 o = 1 f, (9)

fórmula em tudo semelhante à que obtivemos na análise da reflexão em espelhos convexos [eq. (6)]. A imagem reflectida é agora real, já que definida pelos próprios raios reflectidos, e não pelos seus prolongamentos atrás do espelho. Ela é também, claramente, invertida e reduzida (uma vez que |i| < |o|). Mas estas propriedades da imagem reflectida num espelho côncavo não são universais, dependem da posi¸cão do objecto. Há três situa¸cões a distinguir: (1) quando o objecto está a uma distância do espelho superior ao seu raio de curvatura (o < −R = 2f ), situa¸cão que acabámos de estudar; (2) quando o objecto está situado entre o centro de curvatura e o foco do espelho (2f < o < f ); (3) quando o objecto está entre o foco e o espelho (f < o < 0).

Não vamos repetir a análise que fizemos há pouco agora para os casos 2 e 3 (mas o leitor deve fazê-lo!). Apresentamos apenas os diagramas de raios para essas situa¸cões e algumas constata¸cões. Caso 2: o objecto encontra-se entre o centro e o foco do espelho

(10)

Caso 3: o objecto encontra-se entre o foco e o espelho

Imagem virtual, direita, ampliada

3.5 Imagens formadas por reflex˜

ao — Resumo

• Foco de um espelho esférico: raios de luz que incidem num espelho côncavo paralelamente ao eixo óptico são reflectidos em direçcões que convergem para o foco; raios de luz que incidem num espelho convexo paralelamente ao eixo óptico são reflectidos em direçcões que divergem do foco.

• O foco de um espelho encontra-se sobre o eixo óptico, no ponto médio entre o vértice e o centro de curvatura (f = r/2)

• Representam-se os diagramas de raios com a luz incidindo do lado esquerdo.

• As coordenadas horizontais são consideradas positivas para posi¸cões à direita do espelho, e negativas em caso contrário.

• As coordenadas verticais são consideradas positivas para posi¸cões acima do eixo óptico e negativas para posi¸cões abaixo desse eixo.

• Dadas as três regras anteriores, a coordenada do foco de um espelho côncavo é negativa, a do de um espelho convexo é positiva

• As coordenadas horizontais da imagem (i), do objecto (o) e do foco do espelho (f ) relacionam-se atrav´es da equa¸c˜ao dos espelhos

1 i + 1 o = 1 f

• A amplia¸cão transversal é o quociente entre a altura do objecto e a da imagem (considerada negativa se for invertida, de acordo com a conven¸cão de sinais). Pode também ser calculada pelo simétrico do quociente entre a coordenada horizontal da imagem e a do objecto:

A = h

0

h = −

i o.

• Quando a amplia¸cão é positiva, a imagem é direita; quando a amplia¸cão é negativa, a imagem ´

e invertida. Quando a amplia¸cão tem módulo maior do que um, a imagem é ampliada; quando o módulo da amplia¸cão é menor do que um, a imagem é reduzida.

• A imagem reflectida num espelho convexo ´e sempre virtual, direita e reduzida

• As propriedades da imagem reflectida num espelho cˆoncavo variam com a distˆancia do ob-jecto ao espelho:

– objecto atr´as do centro: imagem real, invertida, reduzida

– objecto entre o centro e o foco: imagem real, invertida, ampliada – objecto entre o foco e o espelho: imagem virtual, direita, ampliada

(11)

• Ta¸cado de raios

1. raios de luz que incidem no espelho paralelamente ao eixo óptico são reflectidos em direçcões que convergem para o foco (espelhos côncavos) ou que divergem do foco (espelhos convexos)

2. Raios de luz que incidem em direçcões que contêm o foco são reflectidos paralelamente ao eixo óptico

3. Raios de luz que incidem no espelho numa direçcão que contém o centro de curvatura são reflectidos na mesma direçcão (mas em sentido oposto, é claro)

4 Refrac¸

c˜

ao em superf´ıcies planas

Quando olhamos a paisagem através de uma janela de vidro ou quando vemos peixes nadando num lago ou num aquário, a luz vinda dos objectos que observamos sofre um (ou mais) processos de refra¸cão no vidro da janela ou na superf´ıcie da água, antes de chegar aos nossos olhos. Por isso, aquilo que observamos são as imagens refractadas dos objectos e não os objectos em si. Quase sempre, a posi¸cão onde observamos a imagem não é aquela onde se encontra o objecto. No que se segue, vamos ocupar-nos com o estudo da posi¸cão e das propriedades das imagens refractadas, come¸cando pela situa¸cão mais simples, em que a refraçcão se faz numa superf´ıcie plana.

Consideremos então dois meios com ´ındices de refraçcão n1 e n2 separados por uma superf´ıcie plana. Esses dois meios

podem ser, por exemplo, vidro e ar. Consideremos um objecto (a j´a proverbial setinha) no interior do meio com ´ındice n1, que

´

e observado a partir do meio com ´ındice n2 e consideremos,

para concretizar a discuss˜ao e os diagramas, que n1 > n2 (ver

a figura). Quando atravessam a superf´ıcie que separa os dois meios, os raios de luz s˜ao refractados, verificando-se a lei de Snell,

n1sin θ1= n2sin θ2.

Figura 12

A imagem refractada da extremidade da setinha objecto (o ponto O, na figura), é um ponto I de onde parecem emanar os os raios de luz que chegam ao meio 2. Consideremos os dois raios com origem em O representados na figura: um incide perpendicularmente na superf´ıcie refractora, o outro segundo uma direçcão que faz com a normal um ângulo θ1. O primeiro, dado que incide

perpendicularmente, é refractado mantendo a sua direçcão; o segundo é desviado afastando-se da normal (uma vez que considerámos, para concretizar, que n1 > n2). As direçcões dos dois raios

refractados intersectam-se no ponto I, que ´e ent˜ao a imagem do ponto objecto O.

Note-se que a posi¸cão do ponto I depende da direçcão do segundo raio considerado. Logo, nem todos os raios com origem em O são refractados segundo direçcões que parecem ter origem em I. Assim, a posi¸cão da imagem refractada depende da direçcão de observa¸cão. Mas, se restringirmos a nossa aten¸cão aos limites de validade da aproxima¸cão paraxial (ou seja, considerando apenas raios perpendiculares, ou quase perpendiculares, à superf´ıcie refractora), obtemos facilmente uma expressão para a posi¸cão da imagem. Com efeito, a lei de Snell, nos termos da aproxima¸cão paraxial (em que os ângulos envolvidos são pequenos, logo, é válida a aproxima¸cão sin θ ' θ), resume-se a

n1θ1= n2θ2. (10)

Por outro lado, da figura obtemos as igualdades seguintes tan θ1=

h

−o tan θ2=

h −i,

onde, como no estudo dos espelhos, o e i representam as coordenadas horizontais, medidas a partir de uma origem situada na superf´ıcie refractora, do objecto e da imagem, respectivamente. Estas

(12)

igualdades, nos termos da aproxima¸c˜ao paraxial, simplificam-se como θ1= − h o θ2= − h i, de onde se deduz que

oθ1= iθ2,

e substituindo aqui a vers˜ao aproximada da lei de Snell [eq. (10)], obtemos n2o = n1i,

equa¸cão que reescrevemos numa forma diferente, por razões que se tornarão claras daqui a pouco: n2

i −

n1

o = 0. (11)

Esta equa¸cão permite-nos calcular a posi¸cão da imagem refractada numa superf´ıcie plana, na aproxima¸cão paraxial. Note-se que, nesta aproxima¸cão, a amplia¸cão transversal tem o valor 1 (esse facto foi até usado na dedu¸cão). Como se pode verificar na figura, ou por inspeçcão da eq. (11), quando n1> n2, a imagem situa-se mais perto da superf´ıcie do que o objecto. Este efeito é posto

em evidˆencia na Figura 13.

Figura 13: Refraçcão da luz na superf´ıcie da água. Como a imagem de cada ponto submerso do cabo da colher está mais próxima da superf´ıcie do que o respectivo ponto, o cabo da colher parece ter um ângulo, apesar de ser rectil´ıneo.

5 Refrac¸

c˜

ao em superf´ıcies esf´

ericas

Analizemos agora a refraçcão em superf´ıcies esféricas, como o que acontece quando a luz entra ou sai de uma lente ou quando vemos um peixe que nada no interior de um aquário esférico.

Sejam então dois meios 1 e 2, com ´ındices de refraçcão respectivamente n1e n2(por exemplo, ar

e vidro), separados por uma superf´ıcie esférica. Para concretizar ideias, consideremos um objecto no meio 1, observado a partir do meio 2. Conforme a concavidade ou convexidade da superf´ıcie refractora e a rela¸cão entre os valores dos ´ındices de refraçcão dos dois meios, a superf´ıcie pode ser convergente ou divergente. Uma vez que, nos processos de refraçcão, os raios de luz se aproximam da normal quando penetram num meio de ´ındice de difraçcão superior, deduzimos facilmente que, se a superf´ıcie refractora fôr côncava e o ´ındice de refraçcão do meio onde a luz penetra for superior ao daquele que ela abandona, então a superf´ıcie refractora é divergente. Considera¸cões semelhantes permitem-nos compreender as restantes situa¸cões, todas resumidas na Figura 14

(13)

Figura 14: Convergência ou divergência de superf´ıcies refractoras esféricas. Se o meio de incidência tem ´ındice de difraçcão inferior ao do meio para onde se dá a refraçcão, então uma superf´ıcie convexa é convergente e uma côncava é divergente (diagramas da linha de cima). Se a rela¸cão de ordem entre os ´ındices for a inversa, então as superf´ıcies convexas são divergentes e as côncavas convergentes (diagramas da linha de baixo).

5.1 Focos de uma superf´ıcie refractora esf´

erica. Potˆ

encia di´

optrica

Consideremos um raio de luz que incide numa superf´ıcie refractora esférica segundo uma direçcão paralela ao eixo óptico1_{, n˜}_{ao muito afastada dele. O raio difractado n˜}_{ao ´}_{e, em geral, paralelo ao}

eixo óptico; logo, a sua direçcão intersecta esse eixo. Dentro da validade da aproxima¸cão paraxial, qualquer raio que incida paralelamente ao eixo óptico é refractado numa direçcão que cruza o eixo ´

optico num mesmo ponto, chamado foco secundário da superf´ıcie. Esse ponto pode estar à frente ou atrás do vértice, consoante a superf´ıcie é convergente ou divergente (veja a Figura 15).

Consideremos agora um raio que incide na superf´ıcie refractora de tal modo que é refractado paralelamente ao eixo óptico. O ponto onde a direçcão do raio incidente se cruza com o eixo óptico chama-se o foco primário da superf´ıcie (veja a Figura 15).

Figura 15: Pontos focais de superf´ıcies convergentes (esquerda) e de superf´ıcies divergentes (di-reita).

Determinemos a posi¸cão dos focos de uma superf´ıcie refractora. Para tal consideramos um raio que incide na superf´ıcie paralelamente ao eixo óptico (ver a Figura 16, à esquerda). Examinando a figura, obtemos as seguintes igualdades:

tan α2= h2 r tan θ2= h2 f2 ,

onde f2 representa a coordenada horizontal do ponto F2, medida a partir de uma origem situada

no vértice da superf´ıcie. Impondo agora a aproxima¸cão paraxial, estas fórmulas escrevem-se na

1_{O v´}_{ertice, o centro de curvatura e o eixo ´}_{optico de uma superf´ıcie refractora esf´}_{erica definem-se da mesma}

(14)

Figura 16: Diagramas para a determina¸cão da posi¸cão do foco secundário (esquerda) e primário (direita). forma α2= h2 r θ2= h2 f2 , de onde resulta rα2= f2θ2. (12)

Por outro lado, a Lei de Snell determina que

n1sin α2= n2sin β2,

ou seja, nos termos da aproxima¸c˜ao paraxial,

n1α2= n2β2. (13)

Por fim, sendo β2 e θ2 dois ângulos internos de um triângulo e sendo α2 o ângulo externo do

terceiro v´ertice, temos

θ2= α2− β2. (14)

Substituindo a eq. (14) na eq. (12), obtemos

(f2− r)α2= f2β2;

substituindo agora aqui α2dado pela eq. (13) resulta

n2− n1

n2

f2= r,

equa¸c˜ao que reescrevemos como

n2

f2

= n2− n1

r . (15)

Seguindo um procedimento em tudo semelhante, obtemos uma fórmula para a determina¸cão da posi¸cão do foco primário F1:

n1 f1 = n1− n2 r = − n2 f2 . (16)

Note-se que, se n2 > 11, então f1 < 0 (o que significa que F1 está à esquerda da superf´ıcie) e

f2 > 0 (ou seja, F2 está à direita da superf´ıcie). Estes factos estão de acordo com as ilustra¸cões

qualitativas da Figura 15.

Veremos adiante que outros sitemas ópticos (na verdade, todos os sistemas ópticos) podem ser caracterizados pela existência destes dois focos. Ao inverso da coordenada horizontal do foco secundário chama-se potência dióptrica:

P = 1

f2

.

A unidade da potência dióptrica, no Sistema Internacional, é o m−1, a que, neste contexto da ´

(15)

5.2 Posi¸

c˜

ao e caracter´ısticas das imagens refractadas

Posi¸cão da imagem — fórmula da refraçcão em superf´ıcies esféricas Vamos agora deduzir uma expressão para o cálculo da posi¸cão

da imagem refractada numa superf´ıcie esférica. Consideremos, mais uma vez, dois meios 1 e 2, separados por uma superf´ıcie esférica com raio r e um objecto com altura h, situado no meio 1 e observado a partir do meio 2. A figura ao lado ilustra esta situa¸cão para o caso em que a superf´ıcie é convexa e convergente.

Seja h0 a coordenada vertical da extremidade da seta imagem Figura 17

(|h0| ´e a altura da imagem) e f2, i e o as coordenadas horizontais respectivamente do foco

se-cundário, da imagem e do objecto. Da análise da figura, aceitando a aproxima¸cão paraxial, obtemos as igualdades n1α = n2β (17a) α = h −o, β = −h0 i (17b) θ = h f2 = −h 0 i − f2 (17c) Da última destas equa¸cões obtemos

h0

h = −

i − f2

f2

; (18)

divindindo as duas equa¸c˜oes (17b) uma pela outra, resulta h0 h = β α i o; usando agora a eq. 17a), vem

h0 h = n1 n2 i o. (19)

As duas equa¸c˜oes (18) e (19) podem agora ser igualadas, obtendo-se n1if2= −n2oi + n2of2.

Dividindo esta equa¸c˜ao por oif2, resulta

n2 i − n1 o = n2 f2 .

Por fim, substitu´ımos aqui a expressão que encontrámos para a posi¸cão do foco secundário [eq. (15)], resultando a fórmula da refraçcão em superf´ıcies esféricas:

n2 i − n1 o = n2− n1 r . (20)

Esta fórmula foi deduzida considerando uma superf´ıcie refractora convexa convergente (ou seja, com o meio onde a luz entra com maior ´ındice de refraçcão do que o daquele que a luz abandona). No entanto a sua validade é geral, ficando ao cargo do leitor verificá-lo nos restantes casos. Aliás, ela é até válida para a refraçcão em superf´ıcies planas: nesse caso, devemos tomar r → ∞, e a eq. (20) reduz-se à que deduzimos para a refraçcão em planos, a eq. (11).

Aten¸cão: o manual escolhido (Halliday Resnick e Krane, “F´ısica”) segue uma conven¸cão de sinais diferente e, por isso, apresenta uma fórmula diferente para a refraçcão em superf´ıcies esféricas, na qual o termo n1/o aparece a somar, e

não a subtrair. Os alunos da disciplina podem aplicar a fórmula que preferirem (desde que a apliquem correctamente, é claro).

(16)

Caracter´ısticas da imagem refractada

A amplia¸c˜ao transversal de uma imagem refractada, dada pelo quociente entre as coordenadas verticais do ponto imagem e do ponto objecto, pode ser calculada com a eq. (19), que aqui reescrevemos:

A =n1 n2

i o.

O valor da amplia¸cão pode ser usado para determinar se a imagem é ampliada ou reduzida (con-forme o seu módulo é maior ou menor do que a unidade) e se é direita ou invertida (conforme o seu sinal é positivo ou negativo).

Tal como sucede na reflexão em espelhos esféricos, também aqui devemos distinguir as situa¸cões em que a refraçcão é convergente daquelas em que é divergente. É importante recordar (ver a Figura 15), quando a refraçcão é convergente o foco secundário situa-se no meio onde se propaga a luz refractada e o foco primário naquele onde se propaga a luz incidente; quando a refraçcão é divergente, esta disposi¸cão dos focos inverte-se.

Consideremos primeiro a primeira situa¸cão, isto é, a refraçcão numa superf´ıcie convergente. Neste caso, o objecto (de onde partem os raios incidentes) encontra-se do mesmo lado que o foco primário, ou seja, f1 e o têm o mesmo sinal. Então, a razão x = o/f1 é positiva. Substituindo

o = xf1 na equa¸c˜ao das superf´ıcies refractoras [eq. (20)], obtemos

n2 i = x 1 − x f1 n1

[usou-se aqui também a eq. (16)], e substituindo este resultado na fórmula da amplia¸cão da eq. (19) resulta

A = 1

1 − x.

Esta fórmula permite-nos determinar o valor da amplia¸cão (logo, a orienta¸cão e a amplia¸cão da imagem) quando a superf´ıcie é convergente. Devemos considerar três situa¸cões:

1. O objecto está entre o foco primário e a superf´ıcie. Neste caso, o < f1, logo x < 1. Então A > 1, ou seja, a imagem é ampliada

e direita. Por outro lado, como a amplia¸cão é positiva, cons-tatamos que a imagem é formada do lado do objecto; logo, é

definida pelos prolongamentos dos raios refractados, e n˜ao pelos raios em si. Ela ´e, assim, uma imagem virtual.

2. O objecto está mais afastado que o foco primário, mas a uma distância do espelho inferior ao dobro da distância desse foco, isto é 2f1 < o < f1 (recorde que o e f1 são negativos). Então

1 < x < 2, logo A < −1: a imagem é ampliada e invertida. Além disso, como a amplia¸cão é negativa, a imagem forma-se

no lado oposto ao do objecto. Assim, a sua posi¸cão é definida pela interseçcão dos raios de luz refractada, ou seja, é real.

3. O objecto está a uma distância da superf´ıcie refractora supe-rior ao dobro da distância que separa o foco primário dessa superf´ıcie. Então x > 2, −1 < A < 0: a imagem é reduzida e invertida. Tal como no caso anterior, também aqui a imagem é real.

Consideremos agora o caso de uma superf´ıcie divergente. Nesse caso, o foco primário está à frente da superf´ıcie, logo, f1> 0. Assim,

a razão x = o/f1 é agora negativa. A amplia¸cão A = 1/(1 − x) é

consequentemente sempre positiva e menor do que a unidade (note que 1 − x com x negativo ´e maior do que 1): a imagem formada

(17)

Figura 18: Passos na constru¸cão de um diagrama de raios para estudar a refra¸cão em superf´ıcies convergentes (à esquerda) e divergentes (à direita) [considera-se que o meio de incidência têm ´ındice de refraçcão inferior]. A imagem formada numa refraçcão divergente é sempre reduzida, direita e virtual. No exemplo ilustrado à esquerda, a imagem é invertida, reduzida e real, porque o objecto encontra-se a uma distância da superf´ıcie superior ao dobro da primeira distância focal (o < 2f1).

a que se encontra o objecto. Como no caso 1 das superf´ıcies convergentes, tamb´em aqui a imagem ´

e virtual.

5.3 Tra¸

cado de raios

Para se determinar a posi¸cão e as caracter´ısticas da imagem refractada por tra¸cado de raios, come¸camos por calcular as posi¸cões dos dois focos (primário e secundário, usando as eqs. (15) e (16). Em seguida, representamos num diagrama (desenhado à escala o mais cuidadosamente poss´ıvel) a superf´ıcie refractora, o eixo óptico, o objecto e os dois focos; desenhamos um raio com origem no objecto que incida paralelamente ao eixo óptico: esse raio será refractado numa direçcão que passa pelo foco secundário; desenhamos agora um raio com origem no objecto que incide na superf´ıcie numa direçcão que contenha o foco primário: esse raio será difractado paralelamente ao eixo óptico. O ponto onde as direçcões dos dois raios se intersectam é a imagem refractada. A Figura 18 ilustra o procedimento para uma superf´ıcie convergente (à esquerda) e outra divergente (à direita).

Podemos testar a qualidade do diagrama analisando a trajectória de raios que incidem perpen-dicularmente à superf´ıcie. Esses raios são refractados mantendo a sua direçcão (já que o ângulo de incidência, medido relativamente à normal, é neste caso zero), e essa direçcão deve conter o ponto imagem, como acontece com todos os raios com origem no objecto. Assim, a recta que une oo objecto e a sua imagem deve ser perpendicular à superf´ıce refractora.

Por fim, depois determinada a posi¸cão da da imagem, estimamos a distância que a separa da superf´ıcie e a sua altura medindo os comprimentos respectivos com uma régua e fazendo a transforma¸cão de escala apopriada.

5.4 Refrac¸

c˜

ao em superf´ıcies esf´

ericas — Resumo

• Focos de uma superf´ıcie refractora esférica: raios que incidem numa superf´ıcie refractora paralelamente ao eixo óptico vão ser refractados em direçcões que intersectam o eixo óptico num ponto chamado foco secundário (F2); raios que são refractados em direçcões paralelas

ao eixo óptico incidem na lente segundo uma direçcão que contém o foco primário (F1)

• A conven¸cão de sinais é a mesma que foi usada para espelhos: posi¸cões à esquerda da superf´ıcie refractora têm coordenada horizontal negativa, posi¸cões à sua direita teem-na

(18)

positiva; posi¸cões acima do eixo óptico têm coordenada vertical positiva, posi¸cões abaixo teem-na negativa.

• Coordenadas dos focos (note que já não ficam no ponto médio entre o centro de curvatura e o vértice): n2 f2 = n2− n1 r n1 f1 = −n2− n1 r • Potência dióptrica da superf´ıcie:

P = 1

f2

`

A unidade de potência (m−1) dá-se, em óptica, o nome dioptria.

• Equa¸cão das superf´ıcies esféricas: n2 i − n1 o = n2− n1 r = n2 f2 = −n1 f1 • Amplia¸cão: a =h 0 h = n1 n2 i o

• A imagem refractada numa superf´ıcie divergente ´e sempre reduzida, direita, virtual • A imagem refractada numa superf´ıce convergente pode ser de diferentes tipos:

– objecto a uma distˆancia superior ao dobro da do foco prim´ario (o < 2f1): imagem

invertida, reduzida, real

– objecto mais afastado do que o foco prim´ario, mas a uma distˆancia inferior ao dobro da do foco (2f1< o < f1): imagem invertida, ampliada, real

– Objecto entre o foco e a superf´ıcie (o > f1): imagem direita, ampliada, virtual

• Tra¸cado de raios

1. Raios que incidem na superf´ıcie paralelamente ao eixo óptico, são refractados em di-reçcões que contêm o foco secundário.

2. Raios que incidem na superf´ıcie segundo direçcões que contêm o foco primário são refractados paralelamente ao eixo óptico

6 Lentes finas

Uma lente é um peda¸co de material transparente (vidro ou plástico, em geral) limitado por duas superf´ıcies (as faces da lente), em geral com forma esférica. O eixo óptico da lente é uma linha que une os centros de curvatura das duas faces (ver a Figura 19).

Figura 19: Eixo ´optico, centros de curvatura e raios de uma lente bi-convexa (esquerda) e cˆ oncavo-convexa (direita).

(19)

Figura 20: Perfis poss´ıveis para lentes convergentes (em cima) e divergentes(em baixo).

Quando a luz atravessa uma lente, dão-se dois processos de refraçcão: um à entrada, quando a luz entra para o interior da lente, e um outro à sa´ıda. Para compreendermos o efeito que a lente tem sobre a propaga¸cão da luz, devemos pois analisar estes dois processos. Em princ´ıpio, podemos fazê-lo aplicando a lei de Snell no estudo de cada refraçcão.

Um pouco de reflexão considerando a lei de Snell convence-nos de que uma lente com faces planas e paralelas não tem um efeito apreciável sobre a trajectória dos raios de luz que nela incidem2_{. Caso as duas faces da lente sejam tais que a lente ´}_{e mais espessa no seu centro (onde}

passa o eixo óptico) do que na periferia, a lente é convergente e, ao contrário, se a lente for mais fina no centro do que na periferia, então ela é divergente. A Figura 20 ilustra diferentes perfis poss´ıveis para lentes convergentes e divergentes.

Mas, se pretendermos determinar a posi¸cão e as caracter´ısticas da imagens formadas por re-fraçcão em lentes, a aplica¸cão directa da lei de Snell leva a cálculos muito complicados. Em vez disso, analisamos separadamente as duas refraçcões. A luz proveniente do objecto refracta-se na superf´ıcie anterior da lente, o que origina uma imagem, cuja posi¸cão e caracter´ısticas já sabemos determinar. Esta imagem pode ser real ou virtual mas, para todos os efeitos, a trajectória dos raios de luz resultantes da refraçcão é em tudo semelhante à de raios originários de um objecto com as dimensões, posi¸cão e orienta¸cão dessa imagem. Assim, a imagem resultante da refraçcão na su-perf´ıcie anterior vai servir como objecto para a refraçcão na superf´ıcie posterior (ver a Figura 21).

Figura 21: Determina¸cão da imagem refractada numa lente: a imagem da refraçcão na face anterior (esquerda) serve de objecto para a refraçcão na face posterior (direita).

6.1 Equa¸

c˜

ao das lentes

Consideremos uma lente, com duas faces esféricas de raios r1 e r2. Seja ne o ´ındice de refraçcão

do meio exterior `a lente (quase sempre ar) e ni o do material que constitui a lente (quase sempre

vidro). Seja d a distância entre os vértices (isto é, os pontos onde o eixo óptico intersecta as superf´ıcies) das duas faces da lente. Consideremos a luz que incide na lente proveniente de um objecto situado à esquerda, a uma |o| do vértice da primeira face. De acordo com a equa¸cão das superf´ıcies refractoras, a primeira refraçcão (a que ocorre na primeira superf´ıcie) produz uma

(20)

imagem cuja posi¸c˜ao ´e dada por ni i0 − ne o = ni− ne r1 , (21)

onde i0, o e r1 s˜ao as coordenadas horizontais da imagem, do objecto e do centro de curvatura,

relativamente a uma origem situada no vértice da superf´ıcie onde se dá a refraçcão, ou seja, neste caso, no da face anterior da lente.

Agora a imagem formada na primeira refraçcão vai servir como objecto para a segunda. Ora, a coordenada horizontal deste objecto, relativamente a uma origem situada no vértice da segunda, ´

e

o0= i − d.

Aplicando de novo a equa¸cão das superf´ıcies refractoras mas agora à refraçcão na face posterior, obtemos ne i − ni o0 = ne− ni r2 , ou seja, ne i − ni i0_{− d} = ne− ni r2 , (22)

Fazemos agora uma aproxima¸cão que simplifica imenso esta análise: consideremos que a espesssura da lente, d, é desprezável face aos raios de curvatura das suas faces. A esta aproxima¸cão chama-se aproxima¸cão das lentes finas. As lentes mais comuns (as dos óculos, ou as dos instrumentos ´

opticos mais vulgares) são de facto finas, de forma que esta aproxima¸cão não restringe muito a aplicabilidade dos resultados que viermos a obter.

Considerando ent˜ao apenas lentes finas, para as quais d ' 0, reescrevemos a eq. (22) como ne i − ni i0 = ne− ni r2 . Mas, substituindo aqui ni/i0 dado pela eq. (21), obtemos

1 i − 1 o = ni− ne ne 1 r2 − 1 r1 . (23)

Uma lente, como qualquer sistem óptico, pode ser caracterizada pelos seus dois focos, o foco primário e o foco secundário. Recordo que o foco primário é o ponto onde se intersectam o eixo óptico e as direçcões dos raios incidentes que são refractados paralelamente ao eixo óptico, e que o foco secundário é o ponto onde se intersectam o eixo óptico e as direçcões dos raios refractados que incidiram paralelamente ao eixo óptico. Consideremos um objecto à esquerda da lente, infinitamente afastado. Os raios de luz que dele chegam à lente incidem nela paralelamente, e são refractados em direçcões que intersectam o eixo óptico no foco secundário, que é então a imagem deste objecto. Assim, subtituindo o = −∞ e i = f2 na eq. (23) obtemos uma expressão

para a posi¸c˜ao do foco secund´ario: 1 f2 =ni− ne ne 1 r2 − 1 r1 . (24)

De igual modo, consideremos agora um objecto pontual situado sobre o foco primário. Então os raios que incidam na lente em direçcões que contenham a posi¸cão deste objecto são refractados pela lente em direçcões paralelas ao eixo óptico, ou seja, convergem (e formam a imagem) no infinito. Substituindo agora na eq. (23) o = f1e i = ∞, obtemos

1 f1 = −ni− ne ne 1 r2 − 1 r1 . Comparando estas duas igualdades, conclu´ımos que

(21)

ou seja, os dois focos de uma lente estão à mesma distância da lente, um de cada lado. Define-se distância focal de uma lente como a posi¸cão do seu foco secundário, isto é,

f = f2.

Substituido f = f2na eq. (23) e tendo em conta a eq. (24), obtemos, por fim, a equa¸c˜ao das lentes

1 i − 1 o = 1 f. (26)

Aten¸cão: o manual escolhido (Halliday Resnick e Krane, “F´ısica”) segue uma conven¸cão de sinais diferente e, por isso, apresenta uma fórmula diferente para a refraçcão em superf´ıcies esféricas, na qual o termo n1/o aparece a somar, e

não a subtrair. Os alunos da disciplina podem aplicar a fórmula que preferirem (desde que a apliquem correctamente, é claro).

6.2 Tra¸

cado de raios e amplia¸

c˜

ao transversal

Podemos também determinar a posi¸cão da imagem refractada por uma lente por métodos geom´ e-tricos, com um diagrama de raios, que se constrói do mesmo modo que para superf´ıcies refractoras, ou seja, considerando as defini¸cões dos focos. No caso das lentes finas, a constru¸cão dos diagramas até é mais simples porque os dois focos encontram-se à mesma distância da lente, um de cada lado.

Come¸camos por representar no diagrama o eixo ´optico, o objecto, a lente3_{e os seus dois focos}

(que são equidistantes da lente). Se se trata de uma lente convergente, o foco secundário deve ser marcado à direita da lente e o foco primário à sua esquerda (do lado em que se deve colocar, por conven¸cão, o objecto; se, pelo contrário, a lente é divergente, o foco secundário deve ficar do lado esquerdo e o primário do lado direito da lente. Em seguida, tra¸camos um raio com origem no objecto que incide na lente paralelamente ao eixo óptico; este raio é refractado numa direçcão que passa no foco secundário. Por fim, tra¸camos outro raio com origem no objecto que incide na lente segundo uma direçcão que passa no foco primário; este raio é refractado paralelamente ao eixo óptico. O ponto onde as direçcões dos dois raios refractados se cruzam é o ponto imagem.

Até aqui, o procedimento é, como se vê, em tudo idêntico ao seguido no tra¸cado de raios para superf´ıcies refractoras. Com lentes, no entanto, dispomos de um raio adicional. No centro da lente, as duas faces são paralelas (porque ambas são a´ı perpendiculares ao eixo óptico. Assim, para um raio que incida no centro de uma lente com espessura desprezável, tudo se passa como se incidisse numa lente de faces planas e paralelas; logo, não um tal raio não sofre nenhum desvio, ou seja, atravessa a lente rectilineamente.

A Figura 22 ilustra os diagramas de raios para lentes convergentes e divergentes.

Figura 22: Diagramas de raios para a refraçcão em lentes convergentes (à esquerda) e divergentes (à direita).

Foquemos agora a nossa aten¸cão no primeiro diagrama (o da esquerda) da Figura 22, mais concretamente dos triângulos rectângulos definidos pelas duas extremidades do objecto e pelo

3_{Aproveito para introduzir uma conven¸}_c˜_{ao de nota¸}_c˜_{oes: nos diagramas de raios, ´}_{e costume representar uma lente}

convergente por um tra¸co vertical com setas viradas para fora nos seus extremos ( ) e as divergentes por um tra¸co vertical com setas viradas para dentro ( ).

(22)

vértice da lente (um), e pelas duas extremidades da imagem e pelo vértice (o outro). Estes dois triângulos são obviamente semelhantes, de forma que podemos escrever

h −o=

h0 i ,

onde h e h0 s˜ao respectivamente as alturas do objecto e da imagem e o e i s˜ao as suas respectivas coordenadas horizontais. Reordenando os termos, obtemos

h0

h =

i o.

Mas o quociente entre a altura da imagem e do objecto é a amplia¸cão transversal. Então a expressão da amplia¸cão das imagens refractadas em lentes é

A = i

o. (27)

6.3 Propriedades das imagens refractadas em lentes finas

Lentes divergentes

Como já vimos, o foco secundário das lentes divergentes situa-se à esquerda da lente, ou seja, f ≡ f2 < 0. Assim, a razão x = o/f é positiva (é o quociente entre dois números negativos).

Podemos exprimir i como fun¸c˜ao de o e f , resolvendo a equa¸c˜ao das lentes [eq. (26)] em onde a i, obtendo-se

i = of o + f

Substituindo esta igualdade na express˜ao da amplia¸c˜ao transversal [eq. (27)], vem

A = f o + f = 1 1 + o/f = 1 1 + x.

Mas, como acabámos de constatar, para lentes divergentes o quociente x = o/f é positivo, de forma que a amplia¸cão resulta positiva e menor que a unidade. A imagem refractada numa lente divergente é, pois, direita e reduzida. Além disso, como a amplia¸cão é positiva, i e o têm o mesmo sinal, ou seja, a imagem forma-se do lado da lente onde se encontra o objecto. Assim, a sua posi¸cão é definida pelo prolongamento dos raios refractados para o lado da incidência, e não pelos raios refractados em si, isto é, trata-se de uma imagem virtual.

Lentes convergentes

Para lentes convergentes, o foco secund´ario encontra-se `a direita da lente; logo, f ≡ f2 > 0. A

razão x = o/f é agora negativa. Assim, considerando a fórmula para a amplia¸cão que deduzimos no parágrafo anterior, A = 1/(1 + x), devemos agora distinguir as três seguintes possibilidades:

• o objecto encontra-se entre o foco e a lente (o > −f ). Neste caso, −1 < x < 0 e a amplia¸c˜ao ´

e então maior do que a unidade. Assim, neste caso a imagem é direita e ampliada. Para além disso, a imagem forma-se do lado do objecto e, portanto, é virtual.

• o objecto encontra-se a uma distância da lente superior à distância focal, mas inferior ao dobro da distância focal (−2f < o < −f ). Agora, temos A < −1, ou seja, a imagem é invertida e ampliada. Por outro lado, ela forma-se do lado da lente oposto àquele onde se encontra o objecto; logo, é real

• o objecto encontra-se a uma distância da lente superior ao dobreo da distância focal (o < −2f ). Temos agora −1 < A < 0: a imagem é invertida, reduzida e real.

(23)

Figura 23: Diagramas de raios para uma lente convergente quando o objecto se encontra entre a lente e o foco (à esquerda), quando o objecto se encontra a uma distância da lente compreendida entre uma e duas distâncias focais (ao centro) e quando o objecto se encontra a uma distância da lente superior a duas distâncias focais (à direita).

6.4 Refrac¸

c˜

ao em lentes finas — Resumo

• Os dois focos de uma lente fina encontram-se a igual distˆancia do seu centro, um de cada lado.

• Para lentes convergentes, o foco primário encontra-se do lado da incidência da luz e o foco secundário do lado oposto. Para lentes divergentes, é ao contrário.

• Raios que incidem na lente paralelamente ao eixo óptico são refractados em direçcões que passam no foco secundário. Raios que incidem na lente segundo direçcões que passam no foco primário são refractados paralelamente ao eixo óptico. Raios que incidem no centro da lente não sofrem qualquer desvio quando atravessam a lente, mantâm a sua direçcão. • Coordenadas dos focos de uma lente

n1 f1 = −ni− ne ne 1 r1 − 1 r2 , n2 f2 =ni− ne ne 1 r1 − 1 r2 ,

onde se verifica a conven¸c˜ao de sinais (cartesiana) a que aderimos, nie nes˜ao respectivamente

os ´ındices de refraçcão do material de que é composta a lente e do meio exterior e r1 e r2

são, respectivamente (e a aten¸cão que ordem é importante!), os raios de curvatura das faces de entrada e de sa´ıda da luz na lente.

• Distância focal de uma lente é a coordenada horizontal do foco secundário: f ≡ f2.

• Equa¸c˜ao das lentes:

1 i − 1 o = 1 f. • Amplia¸c˜ao A = i o

7 Sistemas ´

opticos compostos

Sistemas ópticos compostos são sistemas que são constitu´ıdos por vários elementos ópticos (lentes, espelhos, superf´ıcies) e não por um único, como os que até agora temos vindo a estudar. Nesta seçcão vamos estudar as propriedades das imagens produzidas por estes sistemas.

Na verdade, já estudámos nestes apontamentos um exemplo de sistemas ópticos compostos. Com efeito, descrevemos as lentes finas como duas superf´ıcies refractoras esféricas. A abordagem

(24)

que usámos para o estudo das lentes como um sistemas de duas superf´ıcies é o molde com que se estudam todos os sistemas ópticos compostos. Consiste em considerar separadamente cada um dos elementos, e em usar a imagem produzida por cada um como objecto para a forma¸cão da imagem no seguinte.

´

E mais fácil perceber isto seguindo um exemplo. Consideremos o sistema óptico esquematizado na Figura 24, constitu´ıdo por duas lentes (convergentes, mas isso é um detalhe agora irrelevante) com distâncias focais f e f0, situadas a uma distância d uma da outra. Para determinarmos

Figura 24: Um sistema óptico composto por duas lentes com distâncias focais f e f0 situadas a uma distância d uma da outra.

as propriedades das imagens formadas por refraçcão nas duas lentes do sistema, consideramos primeiro o efeito da primeira lente e depois o efeito da seguunda lente, tomando como objecto a imagem produzida pela primeira. Em termos do tra¸cado de raios, as duas fases deste processo estão esquematizadas na Figura 25.

Figura 25: Como determinar a posi¸cão da imagem refractada num sistema de duas lentes: a imagem produzida por refraçcão na primeira lente serve de objecto para a refraçcão na segunda.

Algebricamente, o processo consiste no mesmo: determina-se a posi¸cão da imagem refractada na primeira lente e essa imagem será o objecto para a refraçcão na segunda. Assim, se o for o valor da coordenada horizontal do objecto, medida relativamente à primeira lente, então o valor, i1 da coordenada horizontal (medida ainda relativamente à primeira lente) da imagem refractada

nessa lente ´e dada por

1 i1 −1 o = 1 f.

A coordenada horizontal desta posi¸cão (que será agora a do objecto para a refraçcão na segunda lente), medida relativamente à segunda lente é

o2= i1− d,

onde, recordo, d é a distância entre as duas lentes. A imagem refractada na segunda lente do objecto que consiste na imagem do objecto original refractada na primeira lente tem então uma posi¸cão, medida relativamente à segunda lente, dada de novo pela lei das lentes:

1 i − 1 o2 = 1 f0.

(25)

A amplia¸cão transversal da imagem refractada pelas duas lentes é, como sempre, a razão entre a altura da imagem (final) e a do objecto:

A = h

0

h.

Mas podemos multiplicar e dividir o segundo membro desta igualdade pela altura da imagem intermédia, isto é daquela que se forma por refraçcão na primeira lente apenas. Representando essa altura por h00, temos

A = h

0

h00

h = A2A1,

onde A1 e A2 são as amplia¸cões da primeira e da segunda refraçcões, respectivamente.

7.1 Objectos virtuais

Pode ocorrer que a imagem refractada pela primeira lente se situe à direita da segunda lente, como mostra a Figura 26. Nesse caso, dizemos que o objecto para a refraçcão na segunda lente é um objecto virtual.

Figura 26: Exemplo de um objecto virtual: a imagem refractada na primeira lente est´a situada `a direita da segunda lente.

Do ponto de vista algébrico, um objecto virtual distingue-se dos objectos reais apenas por terem coordenada horizontal positiva (ao contrário de todos os que considerámos até agora, que eram todos reais). Mesmo estando o objecto intermédio à direita da segunda lente, a equa¸cão das lentes continua válida, pelo que a podemos continuar a usar também nestes casos. Ou seja, numa abordagem algébrica o procedimento é exactamente o mesmo, quer o objecto seja real, quer seja virtual.

Mas como fazer o tra¸cado de raios com um objecto virtual? O problema é como determinar em que direçcões são refractados os raios que tra¸cámos para definir a posi¸cão da imagem refractada na primeira lente, e que encontram a segunda lente antes de a formarem. Para o raio que incidiu na primeira lente após ter passado no foco primário da primeira (ou, no caso das lentes divergentes, após ter incidido na primeira lente numa direçcão que continha o seu foco primário), a questão é trivial, uma vez que este raio incide na segunda lente paralelamente ao eixo óptico. Ele é refractado pela segunda lente numa direçcão que contem o seu foco secundário.

Por outro lado, um outro raio refractado pela primeira lente tem um comportamento fácil de prever quando atravessa a segunda lente: o raio que incide nela exactamente no centro. Este raio não é desviado pela segunda lente, de forma que continua o seu caminho até atingir o ponto onde se encontra a imagem refractada pela primeira lente. O ponto onde estes dois raios (o que incide na segunda lente paralelamente ao eixo óptico e o que incide no seu centro) se intersectam é local onde se forma a imagem refractada no conjunto das duas lentes (veja a Figura 27).

(26)

Figura 27: Como determinar a posi¸c˜ao da imagem refractada numa lente de um objecto virtual: considera-se um raio que incida na lente paralelamente ao eixo ´optico e outro que incida no centro da lente.