Universidade Federal da Bahia

(1)

Universidade Federal da Bahia

Instituto de Matem´atica

Programa de Pós-Graduação em Matemática Dissertação de Mestrado

Superf´ıcies M´ınimas:

Estimativa de Curvatura e Convergˆ

encia

Fabiana Alves dos Santos

Salvador-Bahia

(2)

Estimativa de Curvatura e Convergˆ

encia

Fabiana Alves dos Santos

Disserta¸c˜ao apresentada ao Colegiado

da Pós-Gradua¸cão em Matemática da

Universidade Federal da Bahia como

requisito parcial para obten¸c˜ao do

T´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

Salvador-Bahia

(3)

Santos, Fabiana Alves.

Superf´ıcies M´ınimas: Estimativa de Curvatura e Con-vergˆencia Salvador-BA, 2008.

Orientadora: Profa_{. Dr}a_{. Ana Lucia Pinheiro Lima (UFBA).}

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao curso de Pós-Gradua¸cão em

(4)

Estimativa de Curvatura e Convergˆ

encia

Fabiana Alves dos Santos

Disserta¸c˜ao apresentada ao

cole-giado do curso de P´os-Gradua¸c˜ao

em Matem´atica da Universidade

Federal da Bahia, como requisito

parcial para obten¸c˜ao do T´ıtulo

de Mestre em Matem´atica.

Aprovado em 10 de dezembro de 2008.

Banca examinadora:

Profa. Dra. Ana Lucia Pinheiro Lima - Orientadora (UFBA)

Prof. Dr. Jorge Herbert Soares de Lira (UFC)

(5)

(6)

A Deus pela for¸ca di´aria.

Aos meus pais e `as minhas irm˜as pelo apoio, confian¸ca e amor incondicional. `

A professora Ana Lucia pela orienta¸c˜ao, por ter acreditado em mim, por ter conduzido

o desenvolvimento deste trabalho com sabedoria e paciˆencia e por ter sempre me oferecido

o melhor.

Aos professores Jorge Herbert de Lira e Enaldo Vergasta por participarem da banca

examinadora deste trabalho e por suas sugest˜oes.

A todos os professores do Departamento de Matem´atica da Universidade Federal da

Bahia por aumentarem meu encantamento por esta ciˆencia. `

As minhas queridas amigas Eliane, ´Isis, Manuela e Vanessa pela amizade e apoio nos

´

ultimos seis anos. `

As amigas não matemáticas por compreenderem minha constante ausência e pela

presen¸ca nos momentos mais dif´ıceis e nos mais felizes.

Aos funcion´arios do IM, a Tonha e a Tonho por me animarem mesmo nos dias de

total desˆanimo. `

A minha av´o Pequena, tios, tias e primos pelo incentivo. Em especial `a tia Joana e

Adriana pelo acolhimento.

Ao colega João Paulo pela paciência em tirar todas as minhas dúvidas com o LA_TEX.

`

A Coordena¸c˜ao de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior (CAPES) pelo apoio

financeiro.

(7)

“Grande coisa é haver recebido do céu uma part´ıcula de sabedo-ria, o dom de achar a rela¸cão entre as coisas, a faculdade de as comparar e o talento de concluir.”

(8)

Neste trabalho, estudamos o artigo “On the Gauss Curvature of Non-Parametric

Minimal Surfaces”de R. Finn e R. Osserman, publicado no J. Analyse Math., em 1964,

que apresenta uma estimativa uniforme para a curvatura de Gauss de superf´ıcies m´ınimas

no espa¸co ambienteR3_{. Para estabelecer tal resultado estudamos o problema de Dirichlet}

para a equa¸cão dos gráficos m´ınimos e como consequência dessa estimativa apresentamos

um resultado de convergˆencia.

(9)

Abstract

On this work, we study the paper “On the Gauss Curvature of Non-Parametric

Mini-mal Surfaces”of R. Finn and R. Osserman, it was published at J. Analyse Math., in 1964,

this paper shows an uniform estimate to Gauss curvature of minimal surfaces en R3_{. To}

establish this result we study the Dirichlet problem to minimal graphs equation and like

consequence of this estimate we present a result of convergence.

(10)

Introdu¸c˜ao 9

1 Preliminares 11

2 Problema de Dirichlet para Gr´aficos M´ınimos 23

3 Estimativa de Curvatura 34

4 Convergˆencia de Superf´ıcies M´ınimas 46

Referˆencias Bibliogr´aficas 52

(11)

Introdu¸

c˜

ao

Este trabalho est´a baseado no artigo “On the Gauss Curvature of Non-Parametric Minimal Surfaces” de R. Finn e R. Osserman, publicado no J. Analyse Math., em 1964. Nesse artigo ´e dada uma resposta para a seguinte pergunta.

Se S é um gráfico m´ınimo em R3_{, definido sobre um disco que contém a origem, é}

poss´ıvel limitar a curvatura de Gauss deste gr´afico na origem?

A resposta ´e o teorema principal desta disserta¸c˜ao.

Teorema (Finn-Osserman) Se uma superf´ıcie m´ınima S ´e representada na forma

z =f(x, y) sobre o disco x2+y2 < R2, ent˜ao a curvatura de GaussK na origem satisfaz

|K_|< g(W) R2 ,

onde W =W(f) =p1 +_|∇f_|2 _e _g(W₎_{´e dado por}

g(W) = 1 2

µ

1 + 1

W2

¶2"

π 2 + tan

−1

Ãr

W2₋1 2

!#2

.

Além disso, no caso em que S tem plano tangente horizontal na origem, isto é, W = 1, então o valor π

2

2 de g(W)´e o melhor poss´ıvel.

Uma primeira resposta para esta quest˜ao foi estabelecida por Heinz, em [He]. O

resultado aqui estudado torna-se mais interessante por dar uma vis˜ao geom´etrica mais

clara da raz˜ao pela qual de fato existe uma limita¸c˜ao uniforme para a curvatura de Gauss

e por apresentar a melhor estimativa poss´ıvel no caso em que o plano tangente ´e horizontal.

Para mostrar tal limita¸c˜ao, R. Finn e R. Osserman utilizam a superf´ıcie de Scherk

como barreira para as demais superf´ıcies. Essa superf´ıcie atinge o valor extremo no caso

em que o plano tangente ´e horizontal.

Lembrando que a equa¸cão dos gráficos m´ınimos é uma equa¸cão diferencial parcial

el´ıptica, podemos então aplicar o princ´ıpio do máximo forte de Hopf para a solu¸cão da

equa¸c˜ao dos gr´aficos m´ınimos. Conseguimos, assim, uma valiosa ferramenta para

(12)

resolver problemas de unicidade. Utilizaremos algumas vers˜oes do princ´ıpio do m´aximo

para estabelecer nosso resultado. Ver Lema 1.6 e Teoremas 2.5 e 2.8.

No caso das superf´ıcies m´ınimas, temos que quanto menor a curvatura de Gauss

maior será o raio do disco do plano tangente sobre o qual a superf´ıcie é gráfico. Assim,

uma limita¸cão uniforme para a curvatura de Gauss é uma condi¸cão necessária para a

convergˆencia de superf´ıcies m´ınimas. A pr´oposito, ver Teorema 4.4.

Este trabalho consta de quatro cap´ıtulos. O Cap´ıtulo 1 apresenta uma s´erie de

re-sultados relevantes que ser˜ao utilizados no decorrer do trabalho, entre eles o Princ´ıpio

do Máximo para Gráficos M´ınimos, Lema 1.7 e a Descri¸cão Local da Interseçcão de

Su-perf´ıcies M´ınimas, Teorema 1.9.

No Cap´ıtulo 2, estudamos o problema de Dirichlet para a equa¸c˜ao das superf´ıcies

m´ınimas. Estudamos a existência e a unicidade de solu¸cões no caso em que a fun¸cão que

define o bordo ´e suave ou suave por partes, Teoremas 2.2, 2.3 e 2.5, e a unicidade de

solu¸c˜oes para o caso em que consideramos dados infinitos no bordo do dom´ınio, Teorema

2.8. Um exemplo deste tipo de superf´ıcie ´e a superf´ıcie de Scherk.

O Cap´ıtulo 3 consiste basicamente da demonstra¸c˜ao do Teorema 3.1, que ser´a dividida

em trˆes partes. Primeiro, lidamos com o caso particular quando a superf´ıcie tem plano

tangente horizontal na origem, Proposi¸c˜ao 3.2. Depois, o caso geral para qualquer posi¸c˜ao

do plano tangente, Proposi¸c˜ao 3.6. Por fim, mostramos que a constante g(W) ´e a melhor

poss´ıvel, Proposi¸c˜ao 3.7. Ademais, aplicamos o Teorema 3.1 para dar uma demonstra¸c˜ao

bastante simples do Teorema de Bernstein, Teorema 3.10.

No Cap´ıtulo 4, estudamos a convergˆencia de superf´ıcies m´ınimas. Primeiro,

estu-damos um resultado clássico para a convergência de gráficos m´ınimos, Teorema 4.1. E,

ent˜ao, aplicamos a estimativa de curvatura estabelecida no Teorema 3.1, conseguindo

(13)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Neste cap´ıtulo, citamos alguns resultados sobre superf´ıcies m´ınimas que ser˜ao

neces-sários para o desenvolvimento deste trabalho. Deduzimos a equa¸cão dos gráficos m´ınimos,

estabelecemos uma limita¸cão local uniforme para a área de gráficos m´ınimos e, além disso,

apresentamos o princ´ıpio do máximo e a descri¸cão local da interse¸cão entre superf´ıcies

m´ınimas. Apresentamos também um desenvolvimento básico das ferramentas de Equa¸cões

Diferenciais Parciais que nos será útil para a obten¸cão de alguns resultados. Um estudo

muito mais abrangente dessas ferramentas pode ser encontrado em [GT] ou [CH].

Nosso primeiro objetivo ser´a definir superf´ıcies m´ınimas emR3_{. Para isso, precisamos}

de alguns conceitos iniciais.

SejaS uma superf´ıcie regular de R3_{. Vamos supor ao longo do texto que a superf´ıcie}

S está orientada e denotar por N : S _→ S2 _{a sua aplica¸cão de Gauss. Ou seja,} _N _{é um}

campo normal e unit´ario definido sobre a superf´ıcie, de modo que, para cada pontop_∈S,

o plano tangente a S em p´e dado por

TpS ={v ∈R3;hv, N(p)i= 0}.

Dizemos que o conjunto imagem N(S) ⊂ S2 _{´e a} _{imagem esf´erica} _{da superf´ıcie e}

contém todas as dire¸cões que são perpendiculares à superf´ıcie. Portanto, sua área é uma

medida de quanto a superf´ıcie se curva em R3_.

Para cada ponto p _∈ S, a aplica¸cão N é diferenciável e a derivada da aplica¸cão de Gauss com respeito a um vetor v _∈TpS é dada por

dNp(v) =

d dt

¯ ¯

t=0N(α(t)),

(14)

onde α : I _→ S é uma curva qualquer em S tal que α(0) = p e α′(0) = v. Como N é unitário, isto é, hN(p), N(p)i = 1, temos que hdNp(v), N(p)i = 0, para todo v ∈ TpS.

Podemos ent˜ao identificarTpScomTpS2 e assim, a derivadadNpdeN emp∈Sdetermina

uma aplica¸c˜ao linear Ap :TpS →TpS definida por

Ap(v) =−dNp(v)

que ´e chamada endormorfismo de Weingarten deS.

Afirma¸cão 1.1. Para cada p_∈S, a aplica¸cão Ap é um aplica¸cão linear autoadjunta.

De fato, como Ap ´e linear, basta mostrar que hAp(e1), e2i = he1, Ap(e2)i para uma

base {e1, e2}deTpS. SejamX(u, v) uma parametriza¸c˜ao deSem pe{Xu(u, v), Xv(u, v)}

a respectiva base coordenada de TpS. Considerando o campo N(u, v) = (N ◦X)(u, v)

normal a TpS, temos que

Ap(Xu) =−dNp(Xu) =Nu e Ap(Xv) = −dNp(Xv) =Nv.

Agora, derivando as igualdades

hXu, Ni= 0 e hXv, Ni= 0

em rela¸c˜ao a v e a u, respectivamente, temos

hXuv, Ni+hXu, Nvi= 0 (1.1)

e

hXuv, Ni+hXv, Nui= 0. (1.2)

Subtraindo (1.2) de (1.1), temos

hXu, Nvi=hXv, Nui

isto ´e,

hAp(Xu), Xvi=hXu, Ap(Xv)i.

Logo Ap ´e autoadjunta em TpS.

O pr´oximo teorema diz que, dada uma aplica¸c˜ao linear autoadjuntaA:V _→V, onde

V ´e um espa¸co vetorial, existe uma base ortonormal de V tal que a matriz de A relativa

a esta base é uma matriz diagonal. Ele nos permitirá encontrar o máximo e o m´ınimo da

(15)

13

Teorema 1.2 (Teorema Espectral). Seja A : V _→ V uma aplica¸c˜ao linear autoadjunta,

onde V é um espa¸co vetorial de dimensão dois. Então existem uma base ortonormal {e1, e2}deV e números reaisk1, k2 tais que A(e1) =k1e1 eA(e2) =k2e2, isto é,e1, e2 são autovetores e k1, k2 são autovalores de A. Na base {e1, e2} a matriz de A é diagonal e os valores k1, k2 da diagonal,k1 ≥k2, são o máximo e o m´ınimo, respectivamente, da forma quadrática Q(v) =hA(v), vi sobre o c´ırculo unitário de V, isto é, sobre {v _∈V;|v_|= 1}.

Agora, para cada p _∈ S, aplicando o Teorema Espectral ao endomorfismo de

Wein-garten Ap, garantimos que existe uma base ortonormal {e1, e2}de TpS, tal que

Ap(e1) = k1e1 e Ap(e2) = k2e2.

Os autovalores de Ap, k1(p) e k2(p), s˜ao chamados curvaturas principais da superf´ıcie S

no ponto p.

Como dimS = 2, associados à aplica¸cão Ap existem dois invariantes algébricos, a

saber, o tra¸co e o determinante, que s˜ao de especial importˆancia em Geometria Diferencial.

Assim, a metade do tra¸co de Ap define a curvatura m´edia H da superf´ıcie S no ponto p

e seu determinante, a curvatura de Gauss K deS no ponto p, que s˜ao dados por

H(p) = 1

2tr(Ap) =

k1(p) +k2(p)

2

e

K(p) =det(Ap) =k1(p)k2(p).

Observamos que, se mudarmos a orienta¸c˜ao da superf´ıcie, o determinante n˜ao muda.

O tra¸co, contudo, muda de sinal.

No caso em que a superf´ıcie é o gráfico de uma fun¸cão u: Ω_→R_,_u_∈_Ck_{(Ω), k} _≥_2,

com Ω sendo um dom´ınio aberto deR2_{, temos as seguintes express˜oes para as curvaturas}

m´edia e de Gauss

H = 1 2

(1 +u2

x)uyy−2uxuyuxy + (1 +u2y)uxx

(1 +_|∇u_|2₎32

(1.3)

e

K = uxxuyy−u

2 xy

(1 +|∇u_|2₎2.

Uma superf´ıcie regular é ditam´ınima se a sua curvatura média é identicamente nula, isto é, k1(p) =−k2(p), para todo p∈S. Para o caso de gráficos, é necessário e suficiente

que, a fun¸c˜ao u satisfa¸ca

(16)

Originalmente a palavra m´ınima est´a relacionada com o seguinte problema proposto

pelo matem´atico J. L. Lagrange, em 1760: “Dada uma curva fechada C (sem

autoint-erse¸c˜oes), achar a superf´ıcie de ´area m´ınima que tem esta curva como fronteira”. Lagrange

apresentou este problema sumariamente, como um mero exemplo de um m´etodo, por ele

desenvolvido, para achar curvas ou superf´ıcies que minimizassem certas quantidades, tais

como ´area, comprimento e energia, entre outros.

Na verdade, superf´ıcies comH _≡0 são pontos cr´ıticos para o funcional área, não sendo

poss´ıvel garantir que s˜ao de fato um m´ınimo relativo e muito menos m´ınimo absoluto de

área. Se a superf´ıcie S é um m´ınimo relativo para o funcional área, ela será chamada de

estável e dizemos que a superf´ıcie S é minimizante para a área se a sua área for menor ou igual à área de qualquer outra superf´ıcie que tenha a mesma fronteira, ou seja, se for

um m´ınimo absoluto para o funcional ´area.

Supondo que a superf´ıcieS´e um gr´afico, vamos mostrar que o fato deSser um ponto

cr´ıtico para o funcional ´area ´e equivalente a H ≡0.

Para tanto utilizamos o Teorema da Divergˆencia, o qual ´e um resultado bastante geral

e muito importante. Ele reduz o c´alculo de uma integral ao longo de uma regi˜ao simples a

uma integral de linha ao longo de sua fronteira. Por regi˜ao simples, ou de Jordan, D_⊂S

entende-se uma região conexa cuja fronteira é uma curva fechada simples e cuja aderência,

em S, ´e homeomorfa a um disco plano fechado. Se a fronteira deDfor regular por partes,

D também se diz uma região poligonal. A seguinte versão do Teorema da Divergência

ser´a suficiente para as nossas necessidades. Sua demonstra¸c˜ao pode ser encontrada em

[MS], p. 192.

Chamamos de vetor conormal unit´ario em um ponto p do bordo de uma superf´ıcie S, e denotaremos por νu(p), um vetor unit´ario tal que

νu(p)∈TpS e νu(p)⊥Tp(∂S).

A componente de νu na dire¸c˜ao do eixo Oz ser´a denotada por (νu)3, ou seja, (νu)3 =

hνu, e3i, com e3 = (0,0,1).

Teorema 1.3 (Teorema da Divergˆencia). Seja X um campo de vetores tangentes em S,

e D_⊂S uma regi˜ao poligonal. Ent˜ao

Z

D

divXdσ=

Z

γh

X, ν_ids,

(17)

15

Seja D _⊂ S um dom´ınio em uma superf´ıcie regular S _⊂ R3_{. Uma} _{varia¸cão de} D é uma aplica¸cão X : (−ǫ, ǫ)×D_→R3 _{de classe}_C∞_{, para} _{ǫ >}_{0, tal que}

1. cada aplica¸cão Xt:D→R3 definida por Xt(p) = X(t, p) é uma imersão;

2. X0(D) =D.

Dizemos que uma varia¸c˜aofixa o bordo, ∂D, se, para todo p_∈∂D, Xt(p) = X0(p).

Denotamos por

ξ(p) = ∂Xt(p) ∂t

¯ ¯

t=0

o vetor varia¸c˜ao de Xt para p∈D.

Uma varia¸cão é dita normal se, para todop_∈D, o vetor varia¸cão é da forma

ξ(p) = f(p)N(p),

onde f :S _→R_{´e uma fun¸c˜ao} _C∞_.

Sejau: Ω_⊂R2 _→R _{uma fun¸cão de classe}_C2_{. A área do gráfico de} _u_{é dada por}

A(Graf(u)) =

Z

Ω

q

1 +u2

x+u2y dA=

Z

Ω

p

1 +|∇u_|2 _dA.

Ao longo do texto, usaremos a nota¸c˜ao W(u) =p1 +|∇u_|2_{. Assim,}

A(Graf(u)) =

Z

Ω

W(u)dA.

Considere uma fun¸c˜ao η : Ω _⊂ R2 _→ R_, _η _∈ _C2_{(Ω), tal que} _η _{se anula no bordo de}

Ω. Assim, a varia¸c˜ao X : (−ǫ, ǫ)×Ω→R3 _{dada por}

X(t,(x, y)) = (x, y, u(x, y) +tη(x, y))

´e uma varia¸c˜ao de Graf(u) que fixa o bordo.

A área do gráfico de (u+tη)(x, y) é

A(Graf(u+tη)) =

Z

Ω

p

1 +|∇u+t_∇η_|2 _dA.

Assim,

d dt

¯ ¯

t=0A(Graf(u+tη)) =

Z

Ω

h∇η,_∇u+t_∇η_i

p

1 +_|∇u+t_∇η_|2 dA

¯ ¯

t=0,

o que nos d´a

d dt

¯ ¯

t=0A(Graf(u+tη)) =

Z

Ω

h∇u,_∇η_i

(18)

Por outro lado,

div

µ

η ∇u W(u)

¶

=

¿

∇u W(u),∇η

À +ηdiv µ ∇u W(u) ¶ . (1.5)

Substituindo (1.5) em (1.4), temos

d dt

¯ ¯

t=0A(Graf(u+tη)) =

Z

Ω

·

div

µ

η ∇u W(u) ¶ −ηdiv µ ∇u W(u) ¶¸ dA. (1.6)

Aplicando o Teorema da Divergˆencia em (1.6) e lembrando que η|∂Ω ≡ 0 conclu´ımos que

d dt

¯ ¯

t=0A(Graf(u+tη)) = −

Z Ω ηdiv µ ∇u W(u) ¶ dA.

Portanto, Graf(u) ´e um ponto cr´ıtico para o funcional ´area se, e somente se,

− Z Ω ηdiv µ ∇u W(u) ¶

dA= 0, para todo η.

Ou seja, se, e somente se, u satisfaz

div

µ

∇u W(u)

¶

= 0. (1.7)

Agora, div µ ∇u W(u) ¶ = µ ux W(u) ¶ x + µ uy W(u) ¶ y

= (1 +u

2

x)uyy−2uxuyuxy + (1 +u2y)uxx

(1 +|∇u_|2₎32

. Portanto, div µ ∇u W(u) ¶

= 0 se, e somente se,

(1 +u2x)uyy −2uxuyuxy+ (1 +u2y)uxx = 0, (1.8)

o que, pela igualdade (1.3), equivale a H _≡0 sobre o gr´afico de u.

Com isto mostramos que Graf(u) ser um ponto cr´ıtico para o funcional ´area ´e

equiv-alente a H _≡0 sobre o gr´afico de u.

A equa¸cão (1.8) é chamada equa¸cão dos gráficos m´ınimos (EGM) e a equa¸cão (1.7) é

a sua forma divergente.

Nosso objetivo agora é mostrar que o gráfico de uma fun¸cão satisfazendo a EGM

sobre um dom´ınio convexo Ω⊂R2_{, não só é um ponto cr´ıtico para o funcional área, mas}

´e na verdade a superf´ıcie de menor ´area dentre todas em R3 _{de mesmo bordo, ou seja,}

(19)

17

Proposi¸cão 1.4. Todo gráfico m´ınimo é estável.

Demonstra¸c˜ao. Considere ω uma 2-forma sobre Ω×R _{que, para quaisquer campos de}

vetores X, Y _∈R3_{, ´e dada por}

ω(X, Y) = det(X, Y, N),

onde

N = (−ux,−uy,1)

W(u) .

Observe que, para a base canˆonica

½ ∂ ∂x, ∂ ∂y, ∂ ∂z ¾

deR3_{, temos}

ω µ ∂ ∂x, ∂ ∂y ¶ = 1

W(u)det

    

1 0₋ux

0 1−uy

0 0 1

    = 1 W(u),

ω µ ∂ ∂y, ∂ ∂z ¶ = 1

W(u)det

    

0 0 ₋ux

1 0 −uy

0 1 1

   

=

−ux

W(u) e ω µ ∂ ∂x, ∂ ∂z ¶ = 1

W(u)det

    

1 0 ₋ux

0 0 ₋uy

0 1 1

    = uy

W(u).

Da´ı,

ω = dx∧dy+uydx∧dz−uxdy∧dz W(u)

que ´e o elemento de ´area de Graf(u).

Al´em disso,

dω =

"µ

−ux

W(u)

¶

x

+

µ

−uy

W(u)

¶

y

#

dx_∧dy_∧dz

= ₋ · ∂ ∂x µ ux W(u) ¶ + ∂ ∂y µ uy W(u) ¶¸

dx_∧dy_∧dz

= ₋ · div µ ∇u W(u) ¶¸

dx_∧dy_∧dz.

Uma vez que u ´e uma solu¸c˜ao da EGM, conclu´ımos que

dω =−

· div µ ∇u W(u) ¶¸

(20)

Logo, a forma ω ´e fechada, ou seja, existe uma 1-forma α tal que dα =ω.

Agora, dados quaisquer vetores unit´arios ortogonais X, Y num ponto (x, y, u(x, y)),

temos

|ω(X, Y)|=|det(X, Y, N)|=|hX_∧Y, N_{i| ≤ |}X_∧Y_||N_{| ≤}1

e a igualdade ocorre se, e somente se, X_∧Y ´e paralelo a N, isto ´e, se, e somente se,

X, Y _∈T(x,y,u(x,y))Graf(u).

SeS _⊂Ω_×R_{´e uma outra superf´ıcie tal que}_∂S ₌_{∂Graf(u), como} _ω_{´e o elemento de}

´area de Graf(u) e ω ´e uma forma fechada, temos pelo Teorema de Stokes, [EL], p. 488,

que A(Graf(u)) = Z Graf(u) ω = Z ∂Graf(u) α= Z ∂S α = Z S ω ≤ ¯ ¯ ¯ ¯ Z S ω ¯ ¯ ¯ ¯≤ Z S |ω_{| ≤}

Z

S

1 = A(S),

ou seja,

A(Graf(u))_≤A(S). (1.9)

Isto mostra que gráficos m´ınimos são m´ınimos relativos para o funcional área, isto é,

gráficos são estáveis. ¥

Vamos agora estabelecer uma limita¸cão local uniforme para a área de gráficos m´ınimos,

essa limita¸cão é uma condi¸cão necessária para os resultados de convergência de superf´ıcies

m´ınimas que ser˜ao estabelecidos no Cap´ıtulo 4.

Afirma¸cão 1.5. Existe uma limita¸cão local uniforme para a área de gráficos m´ınimos.

De fato, se Ω _⊂ R2 _{cont´em um disco de raio} _{r, denotado por} _D_r_{, considere uma}

bola Br em R3 que intercepta Graf(u) e tem como proje¸c˜ao Dr. Ent˜ao, uma vez que

∂Br∩Graf(u) divide ∂Br em duas componentes das quais pelo menos uma tem ´area no

m´aximo igual a A(S

2₎

2 r

2_{, sendo} _S2 _{´e a esfera unit´aria em} _R3_{, temos de (1.9) a seguinte}

estimativa

A(Br∩Graf(u))≤

A(S2₎

2 r

2_,

o que prova a afirma¸c˜ao.

Agora vamos supor que o dom´ınio Ω ´e convexo, e vamos garantir que um gr´afico

(21)

19

proje¸c˜ao P :R3 _→_Ω_×R _{que leva cada ponto} _x_∈ R3 _{no ponto mais pr´oximo de Ω}_×R_.

Observe que P restrita a Ω×R_{´e a identidade.}

Sejam S _⊂ R3 _{uma outra superf´ıcie regular, com} _∂S ₌ _{∂Graf(u) e} _S′ ₌ _P_(S).

Claramente A(S′₎ _≤_{A(S), pois} _S′ _⊂_Ω_×_R _e _S _{pode se estender al´em de Ω}_×_R_{. Al´em}

disso, ∂S′ =∂S =∂Graf(u). Ent˜ao, aplicando (1.9) aS′, temos

A(Graf(u))_≤A(S′)_≤A(S).

Conclu´ımos assim, que gr´aficos m´ınimos sobre dom´ınios convexos s˜ao m´ınimos

abso-lutos para o funcional ´area.

Umaequa¸cão diferencial parcial é uma expressão que relacionanvariáveisx1, x2, . . . , xn,

uma fun¸c˜ao u(x1, x2, . . . , xn) e um n´umero finito de suas derivadas parciais. A ordem de

uma EDP é a ordem da maior deriva¸cão que ocorre na equa¸cão.

Consideraremos EDP’s de segunda ordem represent´aveis na forma

n

X

i,j=1

aij

∂2_u

∂xi∂xj

+

n

X

i=1

bi

∂u ∂xi

+cu=d,

onde aij, bi, c e d s˜ao fun¸c˜oes de classe C∞ somente de x= (x1, x2, . . . , xn), definidas em

Ω⊂Rn_{, e a matriz (a}

ij) ´e sim´etrica, ou seja,aij =aji.

Podemos representar essa equa¸c˜ao porLu=d, sendo queL´e o operador definido por

n

X

i,j=1

aij

∂2 ∂xi∂xj

+

n

X

i=1

bi

∂ ∂xi

+c

Se a matriz (aij) é positiva, isto é, se seus auto-valores são todos não-nulos e têm

todos o mesmo sinal, então L será dito el´ıptico em Ω. Como o determinante de uma matriz independe da base na qual ela está escrita, no caso onde n é par, a defini¸cão de

operador el´ıptico ´e equivalente ao fato do determinate da matriz (aij) ser positivo. O

operador L ser´a uniformemente el´ıptico se existir uma constanteλ >0 tal que

2

X

ij

aij(x)ξiξj ≥λ|ξ|2

para todo ξ = (ξ1, . . . , ξn) pertencente ao Rn e para todo x em Ω, o que significa que a

matriz (aij) tem menor auto-valor maior ou igual a λ.

Estamos interessados no princ´ıpio do m´aximo para equa¸c˜oes el´ıpticas de segunda

ordem, classifica¸c˜ao que engloba a EGM deduzida anteriormente. Este resultado ´e muito

importante para o estudo de problemas de unicidade para superf´ıcies m´ınimas. Ele foi

(22)

Teorema 1.6. Seja L um operador uniformemente el´ıptico em um dom´ınio Ω. Assuma que Lu_≥0 para uma fun¸c˜ao u_∈C2_(Ω)_{. As seguintes afirma¸c˜oes valem.}

1. Se c_≡0 e u atinge seu máximo no interior de Ω, então u é constante;

2. Se c _≤ 0 e u atinge seu máximo em Ω e esse máximo é não-negativo, então u é constante.

Uma versão deste princ´ıpio para gráficos m´ınimos é dada pelo seguinte lema.

Lema 1.7 (Princ´ıpio do M´aximo para Gr´aficos M´ınimos). Sejam Ω _⊂ Rn−1 _{um aberto}

conexo e 0∈ Ω. Se u, v : Ω →R _{são solu¸cões da EGM com} _u _≤_v _e _{u(0) =}_v(0)_{, então}

u=v.

Demonstra¸c˜ao.Sendo que

∇u W(u) −

∇v W(v) =

W(v)∇u−W(u)∇v+W(v)∇v −W(v)∇v W(u)W(v)

= W(v)(∇u− ∇v) + (W(v)−W(u))∇v W(u)W(v)

= ∇(u−v) W(u) −

(W(u) +W(v))(W(u)−W(v)) (W(u) +W(v))W(u)W(v) ∇v

= ∇(u−v) W(u) −

h∇(u₋v),_∇(u+v)_i

(W(u) +W(v))W(u)W(v)∇v,

e como u ev satisfazem a EGM, temos

0 = div

µ

∇u W(u)−

∇v W(v)

¶

= div

µ

∇(u−v) W(u)

¶

−div

µ

h∇(u−v),∇(u+v)i

(W(u) +W(v))W(u)W(v)∇v

¶

.

Fazendow=u₋v, α= ∇(u+v)

(W(u) +W(v))W(u)W(v) e β = 1

W(u), temos

0 = div(β_∇w)₋div(_h∇w, α_i)_∇v)

= _h∇β,_∇w_i+βdiv(_∇w)_{− h∇}(_∇w, α),_∇v_{i − h∇}w, α_idiv(_∇v)

= βdiv(_∇w)_{− h∇}(_h∇w, α_i),_∇v_i+_h∇β₋αdiv(_∇v),_∇w_i.

Da´ı, conclu´ımos que w satisfaz uma equa¸c˜ao do tipo

0 =

2

X

i,j

aijwxixj +

2

X

i

(23)

21

Como os coeficientesaij dependem deW(u) eW(v) ent˜ao, para |∇u|e|∇v|

suficien-temente pequenos, podemos encontrar λ >0 tal que

λ_|x_|2 _≤

2

X

ij

aijxixj,

para todo x_∈ Ω_\(0,0). Logo, podemos aplicar o Teorema 1.6 `a fun¸c˜ao w. Assim, como

w=u₋v _≤0 e w(0) =u(0)−v(0) = 0 conclu´ımos que w assume um m´aximo interior e

portanto w_≡0 em Ω, ou seja, u_≡v em Ω. ¥

Como superf´ıcies são localmente escritas como gráficos de fun¸cões, este lema tem

como consequˆencia imediata o Princ´ıpio do M´aximo para Superf´ıcies M´ınimas, que

enun-ciaremos agora.

Corolário 1.8 (Princ´ıpio do Máximo para Superf´ıcies M´ınimas). Se S1 e S2 ⊂ R3 são

superf´ıcies m´ınimas completas conexas (sem bordo), S1∩S2 6= ∅ e S2 est´a acima de S1, ent˜ao S1 =S2.

O pr´oximo teorema diz como deve ser a vizinhan¸ca de um ponto de tangˆencia entre

duas superf´ıcies m´ınimas. Para demonstra¸c˜ao ver [CM], p. 103.

Dizemos que duas superf´ıcies S1 e S2, com um ponto p em comum, tˆem um contato de ordem n em pse existem parametriza¸c˜oes X1(u, v) e X2(u, v) empdeS1 eS2,

respec-tivamente, tais que todas as suas derivadas parciais de ordem menor ou igual a n ₋1

coincidem em p.

Teorema 1.9(Descri¸c˜ao Local para a Interse¸c˜ao de Superf´ıcies M´ınimas). Suponha que as

superf´ıciesS1, S2 ⊂R3 são m´ınimas, conexas, sem autointerse¸cões, que não coincidem em um conjunto aberto. Então, a interse¸cão de S1 e S2 é transversal exceto em um conjunto de pontos isolados E. Dado x _∈ E existem um inteiro n _≥2 e uma vizinhan¸ca de x em

U onde a interse¸c˜ao consiste de 2n arcos mergulhados que se encontram transversalmente em x.

O inteiron do teorema acima ´e a ordem de contato entre as duas superf´ıcies.

Apresentaremos a seguir um corolário que será essencial na demonstra¸cão dos

resul-tados de convergˆencia do Cap´ıtulo 4. Usaremos a seguinte nota¸c˜ao.

Sejam Ω _⊂ R2 _{um aberto e} _u _∈ _C∞_{(Ω). Dado um multi-´ındice} _α _{= (a, b), com}

a, b_∈N_{∪ {}₀_}_{, definimos a}_{α-´ezima derivada parcial de} _u_por

Dαu=

∂|α|_u

(24)

Este colorário nos dá uma limita¸cão uniforme para as derivadas parciais de fun¸cões

cujo gráfico apresenta curvatura média H pelo menos C1_{. Ele é consequência de uma}

s´erie de resultados e pode ser encontrado em [GT], p. 407.

Corolário 1.10. Sejam Ω um dom´ınio em Rm _e _u _{uma fun¸cão em} _C2_(Ω) _{cujo gráfico}

tem curvatura m´edia H _∈ Ck_(Ω)_, _k _≥ ₁_{. Ent˜ao} _u _∈_Ck+1_(Ω) _{e, para cada} _x_∈ _Ω _{e cada} multi-´ındice α com |α_|=k+ 1, temos

|Dαu(x)|< C,

com C =C(m, k, |H_|k,Ω, d, sup|u|), d=dist(x, ∂Ω).

Observe que no caso das superf´ıcies m´ınimas temos H _≡ 0, logo H _∈ C∞(Ω) e portanto, o resultado vale para todo multi-´ındice.

Por raz˜oes de completude enunciaremos a seguir o teorema de Sard, que nos diz que,

dada fun¸c˜ao diferenci´avel u : Ω → R _{as singularidades de} _{u, ou seja, os pontos onde}

o gradiente de u se anula, formam um conjunto de medida nula. Por isto, podemos

considerar, sem perda de generalidade, que todos os pontos de u(Ω) ⊂ R _{s˜ao valores}

regulares de u. Sua demonstra¸c˜ao encontra-se em [Mi], p. 10.

Teorema 1.11 (Sard). Sejam Ω⊂R2 _{um dom´ınio e} _u_{: Ω}_→_R _{uma fun¸c˜ao} _C∞_{. Ent˜ao}

o complementar do conjunto dos valores regulares de u tem medida nula em R_.

As solu¸cões da EGM são fun¸cões anal´ıticas, por isso podemos aplicar a elas o Princ´ıpio

da Extens˜ao Anal´ıtica, o qual nos assegura que, se duas superf´ıcies m´ınimas coincidem

em um aberto, elas ser˜ao iguais. Para demonstra¸c˜ao, ver [Li], p. 111.

Teorema 1.12 (Princ´ıpio da Extens˜ao Anal´ıtica). Sejam f, g : U _⊂ C _→ C _fun¸c˜oes

anal´ıticas, onde U é um aberto conexo. As seguintes afirma¸cões são equivalentes.

(i) f _≡g em U.

(ii) Existe z0 ∈U tal que, para todo n≥0, f(n)(z0) =g(n)(z0).

(25)

Cap´ıtulo 2

Problema de Dirichlet para Gr´

aficos

M´ınimos

Neste cap´ıtulo estudaremos princ´ıpios do m´aximo que determinam a unicidade de

solu¸c˜oes para o problema de Dirichlet para a EGM nos casos em que a fun¸c˜ao que define

o bordo da superf´ıcie ´e suave, suave por partes ou assume valores infinitos. Os teoremas

deste cap´ıtulo aparecem, numa vers˜ao mais geral, em [Pi].

Seja Ω um dom´ınio limitado de R2_{, com bordo} _{∂Ω suave por partes. O} _{problema de}

Dirichlet em R3 _{para a EGM em Ω consiste em determinar uma fun¸c˜ao} _u_{: Ω} _→ R _que,

no dom´ınio Ω, satisfaz a EGM

Lu= div

µ

∇u W(u)

¶

= 0,

e que em ∂Ω assume valores de uma fun¸cãof :∂Ω→R_dada _{a priori}_{. Seja} Fuma classe de fun¸cões suaves por partes definidas de ∂Ω em R_{. O problema de Dirichlet é dito} _bem

posto para valores no bordo na classe F se existe uma ´unica solu¸c˜ao para este problema, qualquer que seja f em F.

O problema de Dirichlet para a EGM em Ω ´e bem posto se, e somente se, Ω ´e

convexo. No caso em que o dom´ınio não é convexo, sempre existe uma fun¸cão f para a

qual o problema de Dirichlet é não solúvel, ver [Ni].

O problema de Dirichlet para a EGM está relacionado ao chamado problema de Plateau, que fundamenta-se em determinar uma superf´ıcie m´ınima cujo bordo é uma dada curva fechada sem autointerse¸cões. Esses dois problemas são equivalentes se no

problema de Plateau exigirmos que a superf´ıcie seja gr´afico.

(26)

Quando Ω _⊂ R2 _{´e um aberto convexo tal que o bordo de Ω ´e uma curva suave por}

partes, temos que o bordo de Ω ×R _´e _{mean-convex suave por partes}_{. Isto ´e,} _∂Ω_×R

é formado por um número finito de superf´ıcies suaves, com ângulo entre elas menor ou

igual a π, cada uma com curvatura m´edia n˜ao-negativa com respeito ao vetor normal

apontando para dentro. A existˆencia de solu¸c˜ao mergulhada para o problema de Plateau

quando a curva do bordo ´e homotopicamente nula foi dada por W. Meeks III e S.-T.-Yau,

em [MY1] e [MY2]. Eles afirmam que Ω_×R_{´e uma boa barreira para resolver o problema}

de Plateau.

Teorema 2.1 (Meeks-Yau). Seja M uma 3-variedade Riemanianna completa com bordo

mean-convexo suave por partes. Seja Γ uma curva fechada simples em ∂M que é homo-topicamente nula em M. Então existe um disco mergulhado S _⊂ M, com ∂S = Γ, que minimiza área dentre todos os discos com o mesmo bordo.

Em 1930, T. Radó mostrou que esta solu¸cão é gráfico quando seu bordo é gráfico

sobre uma curva plana convexa.

Teorema 2.2 (Rad´o). Seja S uma superf´ıcie m´ınima compacta em R3 _{cujo bordo ´e uma}

curva de Jordan que é projetada difeomorficamente sobre uma curva convexa _{C ⊂ {}z = 0_}. Então S é gráfico sobre o dom´ınio Ω delimitado por C.

Demonstra¸c˜ao. Uma vez que _C ´e convexa, podemos usar planos como barreiras para

concluir que S está contida no cilindro sólido Ω×R_{. Suponha por absurdo que} _S _não

é gráfico, ou seja, que existem pontos a, b em S com a mesma proje¸cão sobre Ω e com

z(a)> z(b). Isto significa que existet0 >0 tal que z(a) =t0+z(b). Como S ´e limitada,

podemos considerar a superf´ıcie transladada S +t1e3 que n˜ao toca S. Em particular,

z(a)< z(b) +t1 deve acontecer.

Fazemost1 variar continuamente at´e que ocorra o primeiro ponto de contato entre as

superf´ıcies S+te3 e S, para algum t. Como t ≥z(a)−z(b) >0, este ponto de contato

n˜ao pode estar no bordo das superf´ıcies, ou seja, o ponto de contato ocorre no interior

de ambas as superf´ıcies, o que contradiz o Lema 1.7. Assim, conclu´ımos que S ´e gr´afico

sobre Ω. _¥

Usando a vers˜ao do princ´ıpio do m´aximo para superf´ıcies com bordo, mostra-se que

ué suave em toda parte, isto é, que o vetor normal a S não é horizontal em ponto algum

(27)

25

O resultado de Rad´o pode ser enunciado considerando o bordo da superf´ıcie projetado

paralelamente sobre um plano P qualquer. Al´em disso, o resultado se estende ao caso

em que a proje¸cão, em vez de ser paralela, é central, isto é, em vez de considerarmos

a interseçcão de P com um cilindro que contém o bordo da superf´ıcie, consideramos a

interseçcão de P com um cone que contém o bordo.

O pr´oximo teorema garante que, quando a curva ´e suave por partes, ou possui

seg-mentos verticais, e sua proje¸cão sobre algum plano é convexa, então a solu¸cão do problema

de Plateau ´e um gr´afico sobre o interior de Ω

Teorema 2.3. Seja Ω um dom´ınio convexo limitado do plano. Considere um conjunto

finito de pontos E ={P1, . . . , Pk} no bordo de Ω, de modo que ∂Ω−E seja formado por curvas suaves. Seja Γ_⊂∂Ω_×R_{, curva} _C1 _{por partes tal que} _Γ_{∩ {}_P_i_×R_}_, _i_{= 1, . . . , k}_,

é um segmento de reta. Então existe um gráfico m´ınimo em Ω com valores cont´ınuos em

∂Ω₋E.

Demonstra¸c˜ao. Como ∂(Ω× R_{) ´e mean-convexo, pelo Teorema 2.1 existe um disco}

m´ınimo mergulhado S _⊂ D_×R _{com bordo Γ. Vamos mostrar que tal} _S _{´e um gr´afico}

sobre Ω.

Afirma¸cão 2.4. Para todo ponto p no interior de S, o plano TpS não é vertical.

Suponha, por absurdo, que existe p _∈ int(S) tal que π = TpS ´e vertical. Ent˜ao π

possui uma base _{e3, v}, com e3 = (0,0,1) e v um vetor horizontal tal que|v|= 1.

Como transla¸c˜oes s˜ao isometrias deR3_{, podemos transladar}_S_{de modo que tenhamos}

p_{∈ {}z = 0_}. Sabemos que existe uma ´unica reta r de_{z = 0_} passando porp na dire¸c˜ao

de v. Pela convexidade de Ω, a reta r intersecta∂Ω em exatamente dois pontos.

Por outro lado, o planoπ também é uma superf´ıcie m´ınima emR3 _{e, como} _π _e_S _são

tangentes em p, usando o Teorema 1.9, podemos garantir que em uma vizinhan¸ca de p a

interseçcão I entreπ eS é formada por, no m´ınimo, quatro arcos partindo dep.

Suponhamos inicialmente que dois destes arcos se intersectam no interior de S,

for-mando um curva fechada α. Como α_⊂ S_∩π e S ´e um disco, conclu´ımos que existe um

disco DS ⊂ S cujo bordo ´e α. Caso o disco DS fosse plano ter´ıamos S ≡ π, absurdo.

Logo DS não é plano e então, existe um ponto q∈DS tal que a distãncia entre DS e πé

(28)

Seja R a regi˜ao convexa do dom´ınio Ω _⊂ R2 _{limitada por} _r _e _∂_{Ω que cont´em a}

proje¸c˜ao do ponto q_∈DS e seja β =∂R∩∂Ω. Fixando um pontoy∈β, parametizamos

esta curva por β : [₋1,1]_→Ω,ondeβ(0) =y e β(1), β(₋1) são os pontos da interseçcão

de r com ∂Ω.

Consideremos a folhea¸c˜ao deRdada por F =_{βt}0≤t≤1, sendoβt: [0,1]→R o ´unico

segmento de reta em R ligando os pontos β(t) e β(−t).

b(-1)

W

R

b(1) q

.

r

b_t 0

Ent˜ao, fazendo t variar de 0 a 1, existe um t0 <1, tal que a superf´ıcie plana βt0 ×R toca o disco DS ⊂S no ponto q ∈int(S). Isto implica, pelo Lema 1.7, que S =βt0 ×R. Absurdo.

Como S ´e uma superf´ıcie com bordo Γ, as curvas do conjunto fechado I formado

pela interseçcão das superf´ıcies S e π se estendem até Γ, ou seja, não se acumulam

no interior de Ω. Temos dois casos a considerar. O primeiro ´e quando duas ou mais

curvas se encontram num mesmo ponto do bordo ou intersectam o bordo num mesmo

segmento vertical. Ent˜ao, teremos novamente um disco DS ⊂S com bordo contido emπ.

Observemos que DS conterá pontos ou até segmentos do bordo de S. De modo análogo

ao feito anteriormente, podemos encontrar faixas βt×R, onde βt s˜ao segmentos de retas

de Ω, que tocam DS num primeiro ponto interior, gerando uma contradi¸c˜ao.

A outra possibilidade ocorre quando as curvas de I intersectam ∂S em pontos

dis-tintos, com proje¸c˜oes tamb´em distintas. Nesse caso, existem pelo menos quatro pontos

distintos em (P(∂S∩π))∩∂Ω, onde P : Ω×R _→ _{Ω ´e a proje¸c˜ao vertical. Mas, como}

vimos antes, ∂Ω_∩π =_{β(1), β(₋1)_}. Temos ent˜ao uma contradi¸c˜ao. Provamos assim a

afirma¸c˜ao.

No entanto, pode existir um disco cujo plano tangente nunca ´e vertical no interior de

Ω e ainda assim este disco n˜ao ser um gr´afico sobre int(Ω). Para isto acontecer, basta que

o plano tangente seja vertical em um segmento de reta de ∂Ω×R_{. Vamos mostrar que}

(29)

27

De fato, com S ´e um disco mergulhado, S separa o cilindro s´olido Ω_×R _{em duas}

componentes conexas. Como S é orientável, pela Afirma¸cão 2.4, podemos assumir que

o campo de vetores normais N aponta para cima em todos os pontos do interior de S.

Suponha que existem dois pontos consecutivos q1 e q2 na intersec¸c˜ao de int(S) com uma

reta vertical de Ω_×R_{. Por hip´otese,} _N_(q₁_{) e} _N_(q₂_{) apontam para cima em Ω}_×R_{. Em}

particular, o vetor−N(q1) aponta para baixo. Mas, comoq1 eq2 s˜ao pontos consecutivos

de int(S) e est˜ao numa mesma reta, os vetores ₋N(q1) e N(q2) devem apontar para a

mesma componente de Ω ×R_{. Mas isto ´e um absurdo e provamos assim que} _S _{´e um}

gr´afico sobre Ω. ¥

Sejau uma fun¸cão cujo gráficoS é m´ınimo sobre um dom´ınio Ω⊂R2 _com _{∂Ω suave}

por partes. Se C é um arco em Ω eν é um normal unitário a C em R2_{, definimos o} _fluxo

de u ao longo de C, para tal escolha de ν, como sendo

Fu(C) =

Z

C

¿

∇u W(u), ν

À

ds,

onde ds ´e o comprimento de arco de C.

Como ∇u

W(u) ´e um campo limitado e

Z

Ω

div

µ

∇u W(u)

¶

= 0, restringindo a fun¸c˜ao uao

dom´ınio limitado por uma curva C no interior de Ω e considerando a extens˜ao do vetor

conormal `as curvas no interior do dom´ınio, podemos definir o fluxo ao longo de uma curva

C _⊂Ω e escolher ν como o vetor conormal exterior a C.

A unicidade das solu¸c˜oes dadas pelos teoremas anteriores segue da seguinte vers˜ao

princ´ıpio do m´aximo.

Teorema 2.5 (Princ´ıpio do M´aximo Geral). Sejam Ω _⊂ R2 _{um dom´ınio limitado e}

E =_{P1, . . . , Pk} ⊂ ∂Ω um conjunto finito. Suponha que ∂Ω−E é formado por arcos suaves Ck. Sejamun : Ω→R, n = 1,2solu¸cões da EGM que se estendem continuamente em cada arco Ck. Se u1 ≤u2 em ∂Ω−E, então u1 ≤u2 em Ω.

Demonstra¸c˜ao.Suponha, por absurdo, que existe p_∈Ω tal queu1(p)> u2(p). Logo

(u1 −u2)(p) >0 e, denotando por u a fun¸c˜ao u1−u2, o conjunto U={p ∈Ω; u(p) >0}

é não-vazio. Podemos assumir que u1 < u2 sobre e ∂Ω−E depois de uma transla¸cão,

se necess´ario, de Graf(u1). Pelo Teorema 1.11, podemos supor, ap´os fazer uma pequena

transla¸cão, se necessário, que as curvas contidas em ∂U = _{p _∈ Ω; u(p) = 0_} não têm

(30)

Considere uma curva γ _⊂ ∂U. Ent˜ao γ n˜ao se acumula em Ω. De fato, se γ se

acumulasse em Ω, existiria um ponto p=γ(t0)∈Ω e uma sequˆencia {pn}n ⊂γ tais que

{pn}n converge parap em Ω mas n˜ao converge em γ. Assim, existe uma curvaβ ⊂Ω tal

que β(t0) = p e β liga p aos pontos pn, para todo n, e, como β′(t0) e γ′(t0) n˜ao podem

ser paralelos, _{β′(t0), γ′(t0)} formam uma base de R2. Como u

¯ ¯

γ ≡ 0, em particular,

u(pn) = 0 para todo n, temos (du)p(β′(t0)) = (du)p(γ′(t0)) = 0 e, consequentemente,

(du)p ≡ 0. Assim, a igualdade h∇u(p), vi = (du)p(v), para todo v ∈ R2, implica que ∇u(p) = 0, o que n˜ao pode ocorrer.

Pelo Lema 1.7, γ n˜ao pode se fechar em Ω. Assim, γ se estende at´e o bordo de Ω.

Como u é uma fun¸cão cont´ınua e supomos u1 < u2 em ∂Ω−E, então γ deve ir para E.

Afirmamos que de cada Pi ∈ ∂U∩E deve partir um n´umero par de curvas. De fato

considerando, sem perda de generalidade, que∂U_∩E ={P1, P2}e supondo, por absurdo,

que existe um n´umero ´ımpar de curvas partindo de Pi, temos que tais curvas ligam P1 a

P2 e dividem Ω em um número par de regiões nas quais u é alternadamente positiva e

negativa, o que nos leva a concluir que ter´ıamos uma regi˜ao delimitada por uma dessas

curvas e por um peda¸co do bordo de Ω onde useria positiva. Absurdo, pois u ´e cont´ınua

e em ∂Ω₋E temos u <0 e a afirma¸c˜ao ´e verdadeira.

u>0

u=0 u<0

u<0 P

1

P₂ u<0

W

Consequentemente, existe um dom´ınio conexo Ue _⊂ Ω, com ∂Ue _⊂ (∂U_∪E). Sejam

ǫ > 0, pequeno, e Ue_ǫ _⊂ eUo dom´ınio formado pela uni˜ao do conjunto de todos os pontos

em ∂Ue cuja distância a Pi ∈(eU∩E) é maior queǫ, junto com arcos de circunferênciaCǫi

(31)

29

W

Ci

e U

~

e

Como ui,i= 1,2, satisfaz div

µ

∇ui

Wi

¶

= 0 em Ω, com Wi =W(ui), temos

Z

e

Uǫ

div

µ

∇u1

W1 − ∇u2

W2

¶

= 0.

Pelo Teorema da Divergˆencia, isto implica que

Z

∂Ueǫ

¿

∇u1

W1 − ∇u2

W2

, ν

À

= 0, (2.1)

onde ν ´e o vetor normal exterior a∂Ue_ǫ.

Afirma¸c˜ao 2.6.

¿

∇u1

W1 − ∇u2

W2

,_∇u1− ∇u2

À

= 1

2(W1+W2)||N1−N2||

2_,

com Ni =

µ

∇ui

Wi

, 1 Wi

¶

, i= 1,2, sendo o vetor normal ao gr´afico de ui.

De fato,

1

2(W1+W2)||N1 −N2||

2 ₌ 1

2(W1+W2)hN1−N2, N1 −N2i = 1

2hW1N1−W2N2+W2N1−W1N2, N1−N2i =_hW1N1−W2N2, N1−N2i

−1

2hW1N1−W2N2+W1N2−W2N1, N1−N2i =_hW1N1−W2N2, N1−N2i −

1

2(W1−W2)hN1+N2, N1−N2i.

Como hN1+N2, N1−N2i=||N1||2− ||N2||2 = 0, temos

1

2(W1+W2)||N1 −N2||

2 ₌

hW1N1−W2N2, N1−N2i

=

¿

(−∇u1,1)−(−∇u2,1),

µ

−∇_Wu1 1 , 1 W1 ¶ − µ

−∇_Wu2 2 , 1 W2 ¶À = ¿

(∇u2− ∇u1,0),

µ

∇u2

W2 − ∇u1

W1

, 1 W1 −

1 W2

¶À

=

¿

∇u1− ∇u2,∇

u1

W1 − ∇u2

W2

À

(32)

o que prova a afirma¸c˜ao.

Como Wi ≥ 1 vale

1

2(W1 +W2) ≥ 1 e, denotando ∂Ueǫ −(∪iC

i

ǫ) por αǫ, temos que

|∇u_{| 6}= 0 em αǫ. A Afirma¸c˜ao 2.6 implica que

¿

∇u1

W1 − ∇u2

W2

,_∇u

À

>0 em αǫ. (2.2)

Por outro lado, como_∇u₆= 0, u_≡0 emαǫ e u >0 em eUǫ, o vetor∇u aponta para o

interior de Ueǫ e, consequentemente, ∇ué um múltiplo negativo deν em αǫ. Além disso,

por (2.2) temos que _¿

∇u1

W1 − ∇u2

W2

, ν

À

<0 em αǫ,

e

Z

αǫ

¿

∇u1

W1 − ∇u2

W2

, ν

À

≤δ <0. (2.3)

Sobre _∪iCǫi temos

¯ ¯ ¯ ¯ Z

∪iCǫi

¿

∇u1

W1 − ∇u2

W2

, νÀ¯¯¯_¯_≤

Z

∪iCǫi

¯ ¯ ¯ ¯

¿

∇u1

W1 − ∇u2

W2

, νÀ¯¯¯_¯_≤

Z

∪iCǫi

2 = 2l(ǫ),

ondel(ǫ) ´e o comprimento de_∪iCǫi. Mas,l(ǫ) vai para zero quandoǫvai para zero. Assim,

quando ǫ ´e suficientemente pequeno, temos

¯ ¯ ¯ ¯ Z

∪iCǫi

¿

∇u1

W1 − ∇u2

W2

, νÀ¯¯¯_¯>0

e, junto com (2.3), conseguimos

¯ ¯ ¯ ¯ Z

∂Ue_ǫ

¿

∇u1

W1 − ∇u2

W2

, νÀ¯¯¯_¯>0,

o que contradiz (2.1). Concluimos ent˜ao que u1 ≤u2 em Ω. ¥

Em 1966, H. Jenkins e J. Serrin [JS], estabeleceram condi¸c˜oes para que exista solu¸c˜ao

do problema de Dirichlet para a EGM quando consideramos dados infinitos no bordo do

dom´ınio de defini¸c˜ao. Um exemplo de tal superf´ıcie ´e a superf´ıcie de Scherk, que assume

valores +_∞ ou_−∞ alternadamente no bordo de um quadrado.

Seja Ω ⊂ R2 _{um dom´ınio relativamente compacto, isto ´e Ω tem fecho compacto em}

R2_{, o que denotamos por Ω} _⊂⊂ R2_{. Suponhamos que} _{∂Ω cont´em dois conjuntos de}

segmentos de reta A1, . . . , Ak e B1, . . . , Bl de maneira que, nem dois segmentos de

reta Ai, nem dois segmentos Bj tˆem pontos finais em comum. A parte restante de ∂Ω

(33)

31

u : Ω_→R _{uma solu¸c˜ao da EGM tal que} _u¯¯

∂D ´e limitado e denotemos o gr´afico de u por

S.

O lema a seguir nos fala a respeito do fluxo de u ao longo dos segmentos de reta de

∂Ω e será usado na demonstra¸cão da unicidade de solu¸cões para o problema de Plateau

quando os dados do bordo s˜ao infinitos.

Lema 2.7. Sejam A _⊂ ∂Ω um segmento de reta e {un}n uma sequˆencia de solu¸c˜oes da

EGM em Ω, cont´ınuas em Ω_∪A. Para cada n, denote por νn o vetor conormal unitário exterior ao bordo do gráfico de un. Se {un}n diverge para o infinito em subconjuntos compactos de A e permanece uniformemente limitado em subconjuntos compactos de Ω, então

lim

n→∞

Z

A

(ν3)nds =kAk.

O pr´oximo teorema, garante que, se existe uma solu¸c˜ao para o problema de Dirichlet

para a EGM quando os valores do bordo são infinitos, então ela será única.

Teorema 2.8 (Princ´ıpio do M´aximo para Dados Infinitos no Bordo). Sejam un: Ω→R,

n = 1,2, solu¸c˜oes da EGM, assumindo os valores +_∞ em cada Ai, _−∞ em cada Bj, e os mesmos valores cont´ınuos em cada arco convexo Cs. Ent˜ao u1 =u2 em Ω, a menos de uma constante se _{Cs}=∅.

Demonstra¸c˜ao.Suponha, por absurdo, queu=u1−u2 6= 0. Temos duas possibilidades

para os conjuntos u− =_{p _∈ Ω;u(p)< 0_} e u+ = _{p_∈ Ω;u(p) >0_}: ou são ambos não vazios, ou pelo menos um deles é vazio.

Suponha, inicialmente, que u− e u+ são não vazios. Seja ǫ > 0 suficientemente pequeno tal que Ωǫ ={p∈Ω;u(p)> ǫ} 6=∅ e ∂Ωǫ é regular, isto é,∇u(p)6= 0 para todo

p_∈∂Ωǫ. A existˆencia deste ǫ ´e garantida pelo Teorema 1.11.

Como u1 eu2 s˜ao solu¸c˜oes da EGM, temos que

Z

∂Ωǫ

¿

∇u1

W1

(p)₋∇u2 W2

(p), ν(p)

À

ds = 0, (2.4)

onde ν ´e o normal exterior a∂Ωǫ.

Por outro lado, comou_≡0 em_{Cs}, podemos decompor∂Ωǫem trˆes poss´ıveis partes.

A primeira parte de∂Ωǫ, que chamaremos de Ω1, est´a contida em Ω e, como∇u(p)6= 0 em

(34)

para algumk <0. Ent˜ao, pela Afirma¸c˜ao 2.6,

¿

∇u1

W1

(p)₋ ∇u2 W2

(p), ν(p)

À

6

= 0 e n˜ao muda

de sinal em Ω1, Portanto,

Z

Ω1

¿

∇u1

W1

(p)− ∇_Wu2 2

(p), ν(p)

À

ds₆= 0. (2.5)

A segunda parte de ∂Ωǫ est´a contida em

S

i,j{Ai, Bj}. Sejam ν o vetor conormal

unitário horizontal exterior em ∂(Ωǫ × {t}), onde Ωǫ × {t} é o transladado de Ωǫ até a

altura t_∈R_{, e}_N_n_{(p) =}

µ

−∇_Wun n

(p), 1 Wn

(p)

¶

,n= 1,2, o vetor normal unit´ario ao gr´afico

de un. Ent˜ao, como ν ´e horizontal, temos que

hNn(p), ν(p)i=

¿

−∇_Wun n

(p), ν(p)

À

sobre ∂(Ωǫ× {t}), para cada t. Denotemos por Sn, n = 1,2, o gr´afico de un. Seja νn o

vetor conormal exterior a ∂(Sn),n = 1,2, em cada segmento de reta horizontal Ai× {t}.

Como os vetores Nn(p), ν(p), νn(p) e e3 são todos unitários e ν(p) é ortogonal a e3, o

fato de Nn(p) ser ortogonal a νn(p), implica que o ˆangulo θ formado entre e3 e νn(p) ´e

igual ao ˆangulo entre ν(p) e Nn(p). Por isso, paran = 1,2, temos

hNn(p), ν(p)i= sin(θ) = hνn(p), e3i.

Assim,

Z

S

i,j{Ai,Bj}

¿

∇un

Wn (p), ν(p) À ds = Z S

i,j{Ai,Bj}

− hNn(p), ν(p)ids

=

Z

S

i,j{Ai,Bj}

− hνn(p), e3ids

=

Z

S

i,j{Ai,Bj}

−(ν3)nds.

Set ´e suficientemente grande, o Lema 2.7 implica ent˜ao que

Z

S

i,j{Ai,Bj}

¿

∇un

Wn

(p), νn(p)

À

ds=₋X

i

kAik −

X

j

kBjk, n= 1,2,

e ent˜ao _Z

S

i,j{Ai,Bj}

¿

∇u1

W1

(p)₋∇u2 W2

(p), ν(p)

À

= 0. (2.6)

A parte restante de ∂Ωǫ é composta de alguns vértices de ∂Ω e esta não contribui

para a integral.

Assim, por (2.5) e (2.6), temos que

Z

∂Ωǫ

¿

∇u1

W1

(p)₋ ∇u2 W2

(p), ν

À

6

(35)

33

o que contradiz (2.4).

Se ou u− _ou _u+ _{´e vazio, transladamos o gr´afico de} _u

1 at´e que o conjunto Ue = {p ∈

Ω;u(p) = 0_}seja n˜ao vazio e∂Ue seja regular. Agora∂eU_{∩ {}Cs}=∅e, utilizando o mesmo

argumento do caso anterior, chegamos novamente a uma contradi¸c˜ao.

Logo, u´e constante e, como u_≡0 em _{Cs}, temos que u≡0, ou seja, u1 =u2. ¥

Com o mesmo tipo de argumento, pode-se mostrar este teorema para o caso em que

(36)

Estimativa de Curvatura

Neste cap´ıtulo apresentaremos uma estimativa para a curvatura de Gauss de um

gr´afico m´ınimo definido sobre um disco x2 +y2 < R2 estabelecida por R. Finn e R.

Osserman, [FO], em 1964 e, como consequˆencia deste resultado, apresentamos uma

de-mosntra¸c˜ao do Teorema de Bernstein. O resultado principal ´e o seguinte.

Teorema 3.1. Se uma superf´ıcie m´ınima S ´e representada na forma z =f(x, y) sobre o

disco x2+y2 < R2, ent˜ao a curvatura de Gauss K de S na origem satisfaz

|K_|< g(W)

R2 , (3.1)

onde W =W(f) =p1 +_|∇f_|2 _e _g(W₎_{´e dado por}

g(W) = 1 2

µ

1 + 1

W2

¶2"

π 2 + tan

−1

Ãr

W2₋1 2

!#2

. (3.2)

Al´em disso, no caso em que S tem plano tangente horizontal na origem, isto ´e, quando

W = 1, ent˜ao o valor π 2

2 de g(W)´e o melhor poss´ıvel.

A fun¸cão g(W) acima é obtida ao encontrarmos uma limita¸cão para a curvatura

de Gauss da superf´ıcie de Scherk. Esta superf´ıcie ter´a papel fundamental na prova do

resultado, pois a nossa estratégia será comparar a curvatura de Gauss de um gráfico

m´ınimo qualquer com a curvatura de Gauss de um determinado ponto da superf´ıcie de

Scherk, dessa forma, ela servir´a como barreira para aplicarmos o princ´ıpio do m´aximo.

A norma do endomorfismo de WeingartenAp ´e dada por

|Ap|2 =tr(Ap(Ap)t) = k1(p)2+k2(p)2.

(37)

35

No caso das superf´ıcies m´ınimas, temos a igualdade

|Ap|2 =tr(Ap(Ap)t) =k1(p)2+k2(p)2 = 2k1(p)2 =−2K(p).

Portanto, no caso de superf´ıcies m´ınimas, uma limita¸c˜ao para a curvatura de Gauss ´e

equivalente a uma limita¸c˜ao para a norma do endomorfismo de Weingarten. E, como

veremos no pr´oximo cap´ıtulo, quanto menor a norma do endomorfismo de Weingarten,

maior o raio sobre o qual uma superf´ıcie ´e gr´afico sobre o seu plano tangente. Este

resultado ´e estabelecido no Lema 4.1.

Primeiro, faremos a prova do teorema no caso particular onde a superf´ıcie tem plano

tangente horizontal na origem. Depois, para qualquer posi¸c˜ao do plano tangente. E, por

fim, mostraremos que a constante do primeiro caso ´e a melhor poss´ıvel.

Come¸caremos estabelecendo alguns resultados sobre a superf´ıcie de Scherk que ser˜ao

´

uteis a seguir. A superf´ıcie de Scherk é o gráfico da fun¸cão

Ψ(x, y) = log(cos(y))₋log(cos(x)) (3.3)

sobre o quadrado

Q=n_|x_|< π

2, |y|< π 2

o

. (3.4)

A superf´ıcie de Scherk assume os valores +_∞ e _−∞ em lados opostos do quadrado Q e

possui uma reta vertical sobre os v´ertices de Q. Como

Ψx(x, y) = tan(x), Ψy =−tan(y)

e

Ψxx(x, y) = sec2(x), Ψxy(x, y) = 0, Ψyy(x, y) =−sec2(y), (3.5)

o gradiente de Ψ ´e dado por

∇Ψ(x, y) = (tan(x),tan(y)), ∇Ψ(0,0) = 1 (3.6)

e, em cada parte compacta de Q, o gradiente de Ψ tem norma limitada. Tamb´em,

W2Ψ(x, y) = 1 +_|∇Ψ_|2 _{= 1 + tan}2_{(x) + tan}2_{(y) =} _sec2_{(x) + sec}2_(y)₋_1, _(3.7)

e a curvatura de Gauss do gr´afico de Ψ ´e dada por

K(x, y) =₋sec

2_{(x) sec}2_(y)

(38)

Neste texto, a superf´ıcie de Scherk sempre será representada como gráfico da fun¸cão

Ψ(x, y).

A Proposi¸cão seguinte nos dá uma estimativa para a curvatura de Gauss de gráficos

m´ınimos que tˆem plano tangente horizontal na origem.

Proposi¸c˜ao 3.2. Seja f(x, y) uma solu¸c˜ao da EGM, definida sobre o discox2+y2 < R2,

cujo gradiente se anula na origem. Ent˜ao a curvatura de Gauss K na origem satisfaz

|K_|< π

2

2R2. (3.9)

Observa¸c˜ao 3.3. Lembrando que toda superf´ıcie pode ser localmente escrita como um

gr´afico, este resultado quer dizer que: dados S uma superf´ıcie m´ınima, p um ponto de S

e R o raio do maior disco de TpS sobre o qual S é gráfico, então a curvatura de Gauss

K de S em p satisfaz (3.9).

Demonstra¸c˜ao. Considere a fun¸c˜ao u1(x, y) =

1

λf(λx, λy), λ > 0. A fun¸c˜ao u1 est´a definida sobre o disco de raioR1 =

R

λ e também é uma solu¸cão da EGM pois ao aplicarmos uma homotetia a uma superf´ıcie m´ınima encontraremos uma outra superf´ıcie m´ınima.

Al´em disso, temos K1 =λ2K.

Se K = 0, então a desigualdade (3.9) é trivial. Caso contrário, tome λ tal que

tenhamos |K1|= 1 na origem. Suponha, por absurdo, que |K| ≥

π2 2R2.

Como λ2_|_K_| ₌_|_K_1| _{= 1, temos} 1

λ2 ≥

π2

2R2 o que ´e equivalente a

R2

λ2 ≥

π2

2 , ou seja, R2

1 ≥

π2

2 . Logo, o disco de raio R1 contém o quadrado Q sobre o qual a superf´ıcie de Scherk está definida. Considere a fun¸cão

u(x, y) = u1(x, y)−Ψ(x, y)

definida sobre o quadrado Q. Como transla¸c˜oes s˜ao isometrias de R3_{, podemos supor,}

sem perda da generalidade, que f(0,0) = 0, assim u(0,0) = 0. Como, por hip´otese,

o gradiente de f se anula na origem e, usando (3.6), garantimos que o gradiente de Ψ

tamb´em se anula na origem, temos que as superf´ıcies s˜ao tangentes. Assim, o gradiente de

u também se anula na origem. Além disso, ambos os gráficos satisfazem K(0,0,0) =₋1.

Como as duas superf´ıcies tˆem as mesmas curvaturas m´edia e de Gauss na origem,

conclu´ımos que as curvaturas principais tamb´em coincidem na origem. Rotacionando, se

(39)

37

Desta forma, ambas ter˜ao a mesma segunda forma fundamental, ou seja, para todo (x, y)_∈

R2 _temos

II_(0,0)1 (x, y) = x2u1xx(0,0) + 2xyu1xy(0,0) +y

2_u

1yy(0,0)

= x2Ψxx(0,0) + 2xyΨxy(0,0) +y2Ψyy(0,0) =II(0,0)2 (x, y).

Tomando, em particular, os vetores v1 = (1,0), v2 = (0,1) e v3 = (1,1), conclu´ımos que

todas as segundas derivadas de u1 e Ψ coincidem na origem.

Assim, u junto com seu gradiente e suas segundas derivadas se anulam na origem.

Logo, o Teorema 1.9 nos diz que existe n _≥ 3 tal que, numa vizinhan¸ca da origem,

a interseçcão das superf´ıcies, ou seja, o conjunto onde a fun¸cão u se anula, consiste

de 2n arcos partindo da origem. Estes arcos dividem Q em 2n setores nos quais u ´e

alternadamente positiva e negativa.

u<0

u<0 u<0 u>0

u>0

Q

Vamos examinar dois de tais arcos. Suponhamos que estes arcos se intersectam no

interior do quadrado Q. Neste caso, ter´ıamos dois gr´aficos m´ınimos com o mesmo bordo.

Mas, isso não acontece devido ao Lema 1.7. De fato, o princ´ıpio do máximo para gráficos

m´ınimos implica que u_≡ 0 na regi˜ao delimitada por estes arcos, e ent˜ao o Teorema 1.12

garante que u _≡0 em Q. Isso ´e um absurdo, uma vez que ter´ıamos uma superf´ıcie igual

`a de Scherk em Q que se estende al´em de Q. Esses arcos podem encontrar outro ponto

de tangˆenciaq entre as superf´ıcies, se ao encontrarem entes pontos eles formam um disco,

novamente, pelo princ´ıpio do m´aximo, temos um absurdo. Se n˜ao formarem um disco

fechado, de q partem, pelo menos, mais trˆes arcos e dessa forma, os arcos se estendem at´e

o bordo de Q, mais precisamente para os v´ertices de Q, pois nos demais pontos do bordo

de Q temos Ψ =±∞, enquantou ´e finita.

Temos ent˜ao mais de seis arcos indo para quatro v´ertices. Logo, dois ou mais arcos

(40)

pela curva formada pela uni˜ao de dois destes arcos, chegamos novamente a u_≡ 0 em Q,

um absurdo. Portanto, nossa hip´otese de absurdo ´e falsa e |K_|< π

2R2. ¥

O lema a seguir estabelece uma rela¸c˜ao entre as segundas derivadas de uma solu¸c˜ao da

EGM com a curvatura de Gauss do seu gr´afico e suas primeiras derivadas. Ser´a utilizado

na demonstra¸c˜ao do pr´oximo resultado, para encontrarmos a ordem de contato entre um

gr´afico m´ınimo qualquer e a superf´ıcie de Scherk.

Lema 3.4. Se f : Ω_⊂R2 _→R_{´e uma solu¸c˜ao da EGM no dom´ınio} _Ω_{, tal que em algum}

ponto p _∈ Ω temos fxy = 0, fxx ≥ 0, fyy ≤ 0, ent˜ao os valores de fxx e fyy em p s˜ao unicamente determinados por fx, fy e pela curvatura de Gauss K.

Demonstra¸c˜ao. Usando a hip´otese fxy(p) = 0, podemos relacionar as derivadas de

f(x, y) e a sua curvatura de Gauss no pontop pelas equa¸c˜oes

  

 

fxxfyy =KW4

(1 +f_x2)fyy+ (1 +fy2)fxx = 0.

Resolvendo este sistema nas vari´aveis fxx e fyy e utilizando a condi¸c˜ao fxx ≥ 0 e

fyy ≤0, encontramos

fxx(x, y) = W2

s

−K(1 +f 2 x)

1 +f2 y

e

fyy(x, y) =−W2

s

−K(1 +f 2 y)

1 +f2 x

,

ou seja, fxx e fyy s˜ao unicamente determinados por fx, fy e K. ¥

O pr´oximo resultado nos d´a uma estimativa para a curvatura de Gauss K em um

ponto qualquer da superficie de Scherk e nos ajudar´a a estimar a curvatura de Gauss de

um gr´afico m´ınimo qualquer.

Lema 3.5. Num ponto arbitr´ario da superf´ıcie de Scherk a curvatura de GaussK satisfaz

a desigualdade

|K_{| ≤} g(W)

r2 , (3.10)

em que g(W)é dada por (3.2) e r=r(x, y) é a maior distância entre a proje¸cão de pem

(41)

39

Demonstra¸cão. Observe primeiro que, como a fun¸cão sec2_{(x) é par, temos de (3.7) e}

(3.8) que os valores deW eK s˜ao sim´etricos com respeito aos eixos Ox e Oy, logo podemos

restringir nossa aten¸c˜ao aos pontos do primeiro quadrante.

Para limitar o valor de |K_|, vamos inicialmente encontrar o m´aximo da fun¸c˜ao

sec2_{(x) sec}2_{(y) sobre a curva sec}2_{(x) + sec}2_{(y) = 1 +}_W2_{, para um valor fixo de} _W_.

Apli-cando o m´etodo do multiplicador de Lagrange, temos que o ponto cr´ıtico de sec2_{(x) sec}2_(y)

sobre a curva sec2_{(x) + sec}2_{(y) = 1 +}_W2 _{acontece no ponto (x}

0, y0) onde existe λ tal que

∇(sec2(x) sec2(y)) =λ_∇(sec2(x) + sec2(y))

ou, de modo equivalente,

2 sec2(x0) sec2(y0)(tan(x0),tan(y0)) = 2λ(sec2(x0) tan(x0),sec2(y0) tan(y0)).

Isso que nos d´a λ = sec2(x0) = sec2(y0). Al´em disso, sec2(x0) + sec2(y0) = 1 +W2.

Logo 2λ = 1 +W2, o que implica que sec2_(x 0) =

1 +W2

2 . Este ´e de fato um ponto de m´aximo, pois, para qualquer (x, y)∈R2_{, temos}

sec2(x) sec2(y)_≤ (sec

2_{(x) + sec}2_(y))2

4 =

·

1 +W2 2

¸2

.

Assim, para um valor fixo de W, temos de (3.8) que

|K_{| ≤} 1 4

µ

1 + 1

W2

¶2

, (3.11)

com a igualdade ocorrendo na diagonal.

Para pontos (x, y) no primeiro quadrante, temos

r2(x, y) = ³x+π 2

´2

+³y+π 2

´2

.

Novamente aplicando o m´etodo do multiplicador de Lagrange, ´e poss´ıvel ver que

esta fun¸cão também assume seu máximo sobre a curva sec2_{(x) + sec}2_{(y) = 1 +} _W2_,

para W fixo, no ponto em que x = y. Mas, nestes pontos, temos tan2_{(x) = tan}2_{(y) =}

1 2(tan

2_{(x) + tan}2_{(y)) =} 1

2(W

2₋_{1), e assim}

r2(x, y) = 2³x+ π 2

´2

= 2

"

π 2 + tan

−1

Ãr

W2₋₁

2

!#2

. (3.12)

Multiplicando (3.12) por (3.11), temos ao longo de cada curva ondeW ´e constante,

|K_|r2 _≤ 1 2

µ

1 + 1 W2

¶2Ã

π 2 + tan

−1

r

W2₋1 2

!2