UM MODELO GARCH E A CORRELAÇÃO IMPLÍCITA:
ASSOCIAÇÃO DOS RETORNOS DO IBOVESPA
COM OUTROS ÍNDICES AMERICANOS
André Assis de Salles
Depto. de Engenharia Industrial – Escola Politécnica / UFRJ e-mail: asalles@ind.ufrj.br
The technological advancements have been allowing the increase of informational efficiency and the integration of the global capital market, thus generating the need to foresee the association among several capital markets, particularty among the returns of the international stock market indexes. One of the important research areas in capital market literature has been heteroscedasticity models. This study presents a methodology to forecasting the comovement relationships of the international equity market: a generalized autoregressive conditional heterocedasticity model, estimate via Markov chain Monte Carlo, to determine the implied correlation. This methodology is applied to check the correlation between the monthly returns of the Brazilian stock market, that is the Sao Paulo Stock Exchange, among the other important stock exchange in the American continent, from the period of significant growth of the Brazilian stock market, january 1994, trough september 2000.
Keywords: GARCH Model; Markov Chain Monte Carlo; Implied Correlation.
1. INTRODUÇÃO
Nos últimos anos, com a globalização, as economias dos países em desenvolvimento, ou seja as economias emergentes, vêm experimentando um processo de integração, ou de absorção, pelas economias de países desenvolvidos, ou seja de economias industrializadas. Isto tem se verificado facilmente, ou de forma mais evidente, nos sistemas financeiros, em particular nos mercados de capitais. Uma forma de se observar esse fenômeno no mercado de capitais, destarte o conceito de integração ser mais amplo que o da associação entre os mercados, é verificar a evolução do grau de associação entre os retornos dos mercados de ações, representados pela variação dos índices de lucratividade das ações negociadas nesses mercados. Atualmente os problemas econômicos de qualquer nação, integrada ao mercado global, podem afetar outras nações. Deve-se destacar que entre os principais indicadores adiantados, de qualquer economia de mercado, está a performance do mercado de capitais e, em particular do mercado de ações. Importante para os agentes econômicos envolvidos em negociações de ativos financeiros, ou em atividades de planejamento, ter previsões acuradas da associação do mercado, no qual sua atividade de produção está primeiramente associada, com outros mercados que possam estar passando, ou correm o risco de passar, por problemas econômicos, como por exemplo problemas cambiais, com tem acontecido mais recentemente. Pode-se antever, e até procurar evitar, crises como as do México, da Rússia, e da Argentina se existirem tanto
mensuração do grau de associação dos retornos de ativos com os mercados de capitais contíguos com essas economias. Assim justifica-se o desenvolvimento de métodos de mensuração da associação entre os mercados de ações brasileiro e os mercados internacionais, seja com o objetivo de verificar a evolução recente ou para prever futuros possíveis contágios da economia brasileira com outras economias.
Este trabalho tem por objetivo desenvolver, sob a ótica da inferência Bayesiana, e aplicar, a dados reais, um modelo ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity), a partir da generalização do modelo apresentada por BOLLERSLEV (1986), para construção de um coeficiente de correlação implícita. O trabalho está estruturado da seguinte maneira: a seguir, na seção 2 é apresentada a metodologia utilizada neste trabalho; na seção 3 são descritas as amostras utilizadas; na seção 4 são apresentados os resultados obtidos; e na seção 5 são feitos os comentários finais.
2. METODOLOGIA
A determinação do coeficiente de correlação, entre retornos de ativos financeiros, nem sempre é uma tarefa simples. O coeficiente de correlação linear pressupõe normalidade dos retornos, pressuposto, em se tratando de séries de retornos diários, difícil de ser assumido. Além disso, como aceito pela totalidade dos pesquisadores da área de finanças, as séries de retornos de ativos financeiros apresentam heteroscedasticidade. No entanto pode se obter o coeficiente de correlação de forma simples, a partir do estudo da volatilidade de, somente, três séries de retornos: dos dois ativos financeiros envolvidos e de uma formada pela diferença entre os retornos desses dois ativos.
Como a variância da diferença de duas variáveis é dada por:
2 2 2 2cov(x,y) y x y x− =σ +σ − σ ⇒ σx2 y =σx2 +σy2 −2σxσyρxy − . [ 1 ]
Assim tem-se que o coeficiente de correlação pode ser determinado pela seguinte fórmula:
y x y x y x xy σ σ σ σ σ ρ 2 2 2 2 − − + = . [ 2 ]
Com isto pode-se obter o coeficiente de correlação ρxy a partir das variâncias de x , y
e x – y. Associando o coeficiente de correlação obtido a partir desta fórmula a volatilidade implícita, obtida por intermédio do modelo de precificação de Black & Scholes, ALEXANDER (1996) denomina o coeficiente obtido, desta forma, de correlação implícita. Alternativamente, utilizando-se a Teoria de Carteiras, pode-se montar portfolio, de variância mínima, com apenas dois ativos e utilizar os percentuais de participação do montante de recursos em cada ativo na fórmula da variância da soma ponderada dos retornos, ou na do portfolio com os dois ativos, como o trabalho desenvolvido por KELLY (1994) para uma quantidade maior de ativos.
A determinação da correlação através da fórmula, citada anteriormente, permite a utilização dos inúmeros modelos de volatilidade disponíveis na literatura de finanças: modelos de volatilidade implícita; modelos de volatilidade estocástica; modelos ARCH desenvolvidos a partir do importante trabalho de ENGLE (1982); modelos GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity) desenvolvidos por BOLLERSLEV (1986); e outros modelos tais como IGARCH (Integrated GARCH), AGARCH (Asymmetric GARCH), EGARCH (Exponential GARCH) (ver BOLLERSLEV et al. (1994)).
Neste trabalho a opção foi por um modelo GARCH(1,1) desenvolvido a partir da descrição de AKGIRAY (1989), apresentado adiante:
~ ( ; ) 2 1 t t t t D Normal R − µ σ [ 3 ] 2 1 2 2 1 1 0 2 1 − − − + + = + = t t t t t e bR a σ α α α σ µ onde,
Rt = retorno mensal no período t ,
Dt-1 = informações disponíveis até o período t – 1 , e
et = (Rt −a−bRt−1).
O modelo [ 3 ], acima, foi estimado para as séries de retornos mensais dos índices de lucratividade através da inferência Bayesiana, determinando-se as seguintes distribuições para os parâmetros do modelo:
) 1 , 0 ( ~ ) 1 , 0 ( ~ ) 1 ; 0 ( ~ ) 2 , 0 ; 1 ( ~ ) 2 , 0 ; 01 , 0 ( ~ 2 1 0 Uniforme Uniforme Uniforme Normal b Normal a α α α
Na inferência Bayesiana procura-se obter a distribuição posteriori de parâmetros de interesse, dado o conhecimento das variáveis relevantes para determinado modelo, ou seja., após o conhecimento das informações sobre as variáveis. Algumas características da distribuição posteriori são necessárias para feitura de inferências, tais como: média, moda, percentis, etc... Para obtenção da posteriori, e solução dos modelos aqui descritos, são necessários, em geral, métodos numéricos. Os métodos baseados em amostragem são os que têm merecido maior atenção dos pesquisadores, principalmente os métodos de Monte Carlo via cadeias de Markov – métodos de MCMC. Na última década métodos baseados em MCMC vêm sendo utilizados na inferência Bayesiana permitindo a solução de
uma distribuição de interesse através da simulação de uma cadeia de Markov. Existem algumas formas de construção dessas cadeias, uma das mais utilizadas é o amostrador de Gibbs.
Para um maior conhecimento das técnicas de MCMC para inferência Bayesiana, em particular o amostrador de Gibbs, pode-se recorrer a GAMERMAN (1997) e GILKS et al. (1998). Os modelos utilizados neste trabalho foram estimados via amostrador de Gibbs, utilizando-se o software BUGS (“Bayesian Inference Using Gibbs Sampler” ), na versão WinBUGS 1.3 de abril de 2000, elaborado por SPIEGELHALTER & THOMAS & BEST (2000). Outra alternativa para estimação de modelos GARCH, em um enfoque Bayesiano, pode ser vista em BAUWENS & LUBRANO (1996).
Além dos coeficientes de correlação, obtidos pela metodologia descrita anteriormente, foram calculados neste trabalho, para efeito de comparação, as correlações mensais históricas, ou seja, coeficientes obtidos para o período t com um conjunto de n informações disponíveis até o período t –1. Mantendo-se assim o enfoque preditivo dos coeficientes de correlação determinados neste trabalho.
3. DADOS UTILIZADOS
Foram coletados, no software Economática, cotações mensais de fechamento em US$, de janeiro de 1986 até agosto de 2000, dos seguintes índices, de lucratividade de ações, representando os mercados de ações norte-americano, do México, da Argentina e do Brasil:
• NASDAQ - índice de lucratividade da Bolsa de Valores da Nasdaq;
• DJI ( Dow Jones Industrial ) - índice de lucratividade do mercado de ações dos EUA; • IPyC - índice de lucratividade da Bolsa de Valores da Cidade do México;
• MERVAL - índice de lucratividade da Bolsa de Valores de Bueno Aires; • IBOVESPA - índice de lucratividade da Bolsa de Valores de São Paulo. Com essas informações foram calculados os retornos mensais da seguinte forma:
= −1 ln t t t R R R . [ 4 ]
E com os retornos foram estimadas séries de variâncias, com o modelo GARCH descrito na seção anterior. A partir daí foram calculadas as correlações implícitas, para o período de janeiro de 1994 até setembro de 2000, e correlações, aqui designadas como históricas, para o mesmo período, tomando n = 60 observações. A escolha do início do período em 1994 se deve ao fato de que a partir desse ano o volume financeiro, do mercado de ações brasileiro, com abertura da economia, iniciada nos primeiros anos da década de 90, e com a implementação do programa de privatizações, começa ser significativo, quando comparado com outros mercados internacionais. Isto é, o mercado de capitais brasileiro começa a receber uma grande soma de recursos do exterior.
4. RESULTADOS OBTIDOS
Os resultados serão mostrados a seguir por intermédio de gráficos.
Gráfico 1: correlações implícitas do Ibovespa com outros índices
No gráfico 1, acima, pode-se observar que no período estudado o coeficiente de correlação implícita capta os problemas da economia internacional. A evolução dos coeficientes mostra, por exemplo, que a associação entre os retornos do IBOVESPA com o IPyC, índice representativo do mercado acionário o México, diminui durante o início da crise mexicana, final de 1994 e início de 1995, retomando os patamares anteriores após a ajuda norte-americana ao México. De 1996 até outubro de 1998, o coeficiente de correlação indica uma associação forte do mercado brasileiro com o mercado mexicano, não apresentando sinais de fragilidade durante a crise asiática, o que deve ser melhor estudado. Mas com a crise russa, a partir do segundo semestre de 1998, e a desvalorização do real no período seguinte, início de 1999, o mercado mexicano se desassocia do mercado brasileiro de ações. -0,60 -0,40 -0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20
jan/94 jul/94 jan/95 jul/95 jan/96 jul/96 jan/97 jul/97 jan/98 jul/98 jan/99 jul/99 jan/00 jul/00
Ibvsp-DowJones Ibvsp-Nasdaq Ibvsp-IPyC Ibvsp-Merval
Ibvsp-DowJones 0,49 0,48 0,42 0,67 0,62 0,82 0,72 0,40 0,59 Ibvsp-Nasdaq 0,47 0,45 0,27 0,52 0,55 0,46 0,55 -0,04 0,72 Ibvsp-IPyC 0,42 0,60 0,40 0,72 0,77 0,71 0,81 0,52 0,78 Ibvsp-Merval 0,43 0,55 0,52 0,69 0,73 0,61 0,80 0,63 0,37 jan/94 out/94 jul/95 abr/96 jan/97 out/97 jul/98 abr/99 jan/00
Como se pode observar, no gráfico 1, o comentário sobre a evolução dos coeficientes de correlação implícita entre o mercado brasileiro e o mercado mexicano de ações podem ser estendidos as séries dos outros coeficientes estudados.
Gráfico 2: correlações históricas do Ibovespa com outros índices
Deve-se destacar que a correlação do IBOVESPA com o índice da NASDAQ foi quase sempre menor dentre os demais coeficiente estudados, e a correlação negativa no período conturbado da economia brasileira no início de 1999. Neste período a associação do IBOVESPA com o índice MERVAL é a que menos apresenta variações bruscas, apesar das do aumento da volatilidade, e por conseguinte diminuição da correlação, provocada pelas crises no período. Da observação geral do gráfico 1, pode-se inferir que a associação entre os principais mercados americanos se mantém, quase sempre, em patamares acima de 0,5 , o que pode se designar como algo acima do moderado.
Quanto as correlações históricas pode-se observar, no gráfico 2, que os coeficientes não captam as crises na economia internacional, mencionadas nos parágrafos anteriores. No período que envolve a crise russa e a crise na economia brasileira, época da
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80
jan/94 jul/94 jan/95 jul/95 jan/96 jul/96 jan/97 jul/97 jan/98 jul/98 jan/99 jul/99 jan/00 jul/00 Ibvsp-DowJones Ibvsp-Nasdaq Ibvsp-IPyC Ibvsp-Merval
Ibvsp-Dow Jones 0,22 0,24 0,47 0,43 0,39 0,19 0,37 0,59 0,60 0,63
Ibvsp-Nasdaq 0,23 0,23 0,42 0,36 0,31 0,10 0,26 0,47 0,33 0,42
Ibvsp-IPyC 0,07 0,17 0,28 0,33 0,36 0,33 0,54 0,67 0,65 0,72
Ibvsp-Merval 0,15 0,17 0,30 0,24 0,51 0,42 0,49 0,66 0,70 0,66
desvalorização do real, os coeficientes apresentam uma elevação o que incompatível com o aumento da volatilidade provocadas pelas citadas crises. Assim como instrumento de predição os coeficientes de correlações históricas podem apresentar uma distância da realidade.
5. COMENTÁRIOS FINAIS
Através do coeficiente de correlação implícita, salvo alguns períodos, a associação entre os mercados se apresenta de acordo com a crescente globalização e integração entre os mercados de capitais dos países estudados. O que não se verifica nas séries dos coeficientes de correlação histórica.
Um dos problemas do estudo da correlação do mercado de ações brasileiro com outros mercados está na utilização do Ibovespa, que devido as distorções quase sempre apresentadas por esse índice, sua representatividade tem sido questionada por participantes do mercado de ações. O índice IBX tem surgido como uma alternativa até que se construa e dissemine outros índices. Sendo assim os resultados apresentados podem ser melhorados com a utilização de um novo índice, o que sugere outros trabalhos dobre o tema. A utilização da teoria de carteiras também deve ser estudada para a utilização em indicadores de associação entre os mercados de ações internacionais. Enfim outros métodos devem ser investigados de forma a se obter melhores indicadores da associação futura, e se estudar a evolução da correlação entre os mercados, mesmo com a indicação da eficácia do método aqui apresentado.
Deve-se destacar o enfoque preditivo do modelo GARCH e sua utilização na previsão das associações entre os mercados. O que para os modelos desenvolvidos sob a ótica Bayesiana não é uma novidade. A implementação de métodos Bayesianos em modelos de finanças traz algumas vantagens, como por exemplo: a utilização da distribuição preditiva como distribuição futura dos retornos dos ativos financeiros; a possibilidade de se trabalhar respeitando a variabilidade dos parâmetros envolvidos nos modelos, no caso dos modelos dinâmicos; a facilidade para o tratamento da heterocedasticidade; e a utilização de distribuições alternativas a normal para distribuição dos retornos dos ativos financeiros. Assim é grande a motivação para o uso da inferência Bayesiana em finanças.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
AKGIRAY, V., 1989, “Conditional Heteroscedasticy in Time Series of Stock Returns: Evidence and Forecast”, Jounal of Business, vol. 62, No. 1, pp. 55-80.
ALEXANDER, C., 1996, The Handbook of Risk Management and Analysis, Chichester, John Wiley & Sons.
BAUWENS, L., LUBRANO, M., 1996, Bayesian Inference on Garch Models Using the Gibbs Sampler, Core Discussion Paper, Center for Operations Research & Econometrics – Universite Catholique de Louvain.
BOLLERSLEV, T., 1986, “Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity”, Journal of Econometrics, 31, pp. 307-327.
ENGLE, R. F., 1982, “Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation”, Econometrica, 50, No. 4, pp. 987-1007. GAMERMAN, D., 1997, Markov Chain Monte Carlo: Stochastic simulation for Bayesian
inference, London, Chapman & Hall.
GILKS, W. R., RICHARDSON, S., SPIEGELHALTER, D. J., 1996, Markov Chain Monte
Carlo in Practice, Boca Raton, Chapman & Hall/CRC.
KELLY, M., 1994, “Stock answer”, Risk, 7, No. 8, pp. 40-43.
SPIERGELHALTER, D., THOMAS, A., BEST, N., 2000, User Manual WinBUGS:
