1 Distribuições discretas de carga

Eletromagnetismo - Lista de Recuperação: Parte 1

Data para entrega: 16/07 (sugerida), 23/07 (limite)

1

Distribuições discretas de carga

O campo elétrico produzido por uma carga pontual q à uma distância r é E(r) = kq

r2rˆ (1)

onde ˆr é um vetor unitário que aponta da posição de q para o ponto r (o ponto onde estamos calculando E). Se pusermos uma carga q0 em r, a força que esta carga sofrerá será F = q0E.

Para os problemas abaixo, considere o seguinte sistema:

q1 q2 a a

‰

‰

(1) Esboce as linhas de campo para os seguintes casos: (a) q₁ = q2 = +q

(b) q1 = +q, q2= −q

(c) q1 = +2q, q2 = +q

(2) Para q1 = q2 = q, calcule o ponto ao longo da linha y = 0 onde E = 0. Explique porque

sua resposta faz sentido intuitivamente.

(3) Para q1= q2 = q, calcule o campo elétrico no ponto P1. Não se esqueça que E é um vetor

e portanto é fundamental analisar a sua direção e sentido, algo que pode ser feito usando argumentos de simetria.

(4) Repita o procedimento do exercício anterior para o caso onde q₁ = q e q2= −q.

(5) Para q₁ = 2q e q2 = q, calcule o campo elétrico no ponto P2. Dica: calcule primeiros as

componentes x e y de cada campo e em seguida calcule o campo total somando componente a componente.

2

Lei de Gauss

Fluxo elétrico

Para entender a lei de Gauss é necessário primeiro entender o conceito de fluxo de campo elétrico. Esse conceito foi “emprestado” da mecânica dos fluidos. Pense, por exemplo, num jato de ar atravessando uma certa superfície, como na figura (a) abaixo. O fluxo Φ é definido como sendo a quantidade de ar que passa pela superfície. Note que ele pode aumentar tanto aumentando a quantidade de ar, quanto aumentando a área. No entanto, podemos ter também uma situação como a da figura (b), onde a superfície escolhida está inclinada de um ângulo θ com relação à direção do fluxo. Para sanar este tipo de problema define-se a normal à superfície, ˆ

n, como um vetor unitário (módulo = 1), cuja direção é perpendicular à superfície.

A (a) n` Θ (b) Figura 2

Estas definições são válidas para qualquer campo, seja ele o fluxo de ar, seja ele o campo elétrico (sem dúvida, o conceito é muito mais abstrato no segundo caso). Uma possível definição de fluxo elétrico através de uma superfície S seria então:

Φ = (E · ˆn)A = EA cos θ (2)

Esta definição, apesar de aplicável em certos casos, possui um grande defeito: ela não leva em conta a possibilidade do campo elétrico mudar em magnitude e/ou direção ao longo da superfície. Ou, de forma equivalente, do campo ser constante mas a superfície ser irregular, com a normal ˆn mudando de um ponto para ponto.

Considere, por exemplo, o problema na figura 3 abaixo. O campo elétrico produzido pela carga q [vide. Eq. (1)] varia com 1/r2. Logo abaixo da carga e nas quinas da superfície, este valor será certamente diferente. Ou seja, a Eq. (2) não se aplica.

q

A

Figura 3

A idéia então é a seguinte: recortarmos nossa superfície em pequenos pedaços de área dA. Em cada pedaço tanto E quanto ˆn devem ser aproximadamente constantes e, portanto,

podemos aplicar a Eq. (2) para escrever o (pequeno) fluxo através desta pequena superfície: dΦ = (E · ˆn) dA

O fluxo total pode então ser obtido integrando esta equação ao longo da superfície S (lembre-se: integral = soma das partes):

Φ(S, E) = Z

S

E · ˆn dA (3)

Para ser enfático, eu escrevi Φ(S, E) para lembramos que é o fluxo através da superfície S devido ao campo E; cada S tem um fluxo; cada fluxo depende de E. Voltando para o caso da Fig. 2(a), se o campo for homogêneo ao longo da superfície obtemos

Φ = E Z

dA = EA

Note: R dA é simplesmente a soma dos pequenos pedaços de área dA, que é precisamente a área total (como os trapos numa colcha de retalhos).

Um último detalhe: olhe para a figura 2(b). Eu podia muito bem ter escolhido ˆn no outro sentido. Não há nada de errado com isso. De fato, todas as superfícies abertas padecem deste mal. O mesmo já não acontece com superfícies fechadas, pois nelas ou ˆn está apontando para fora ou para dentro; quando a superfície é aberta esta idéia de “para dentro” ou “para fora” não existe. Se você está na dúvida do que é uma superfície fechada ou uma superfície aberta, então lá vai: um saquinho de batatas fritas fechado é uma superfície fechada; depois de aberto, ele se torna uma superfície aberta! Para superfícies fechadas usamos sempre a mesma convenção:

Em superfícies fechadas, ˆn aponta sempre para fora da superfície. Quando falamos de superfícies fechadas colocamos um círculo na integral da Eq. (3):

Φ(S, E) = I

S

E · ˆn dA (4)

Ele serve para lembrar-nos de que S é fechada. Lei de Gauss

Enunciado: Dada uma superfície fechada S, então

Φ(S) = Qdentro de S 0

(5) Ou seja, o fluxo depende apenas da carga total dentro da superfície. Se a superfície não for fechada, não significa que o fluxo seja nulo; significa simplesmente que a lei de Gauss não nos diz nada (sempre podemos calcular o fluxo diretamente da definição na Eq. (4) — o que certamente pode ser uma conta bem difícil). A propósito, a constante ₀ está relacionada com a constante k da Eq. (1) através da relação k = _4π1

0.

Exemplo: na figura 4 abaixo uma esfera engloba duas cargas de −1 µC e 2 µC. Na figura (a) a superfície é fechada e podemos aplicar a Eq. (5) obtendo

Φ = 2 µC − 1 µC 0

= 1 µC 0

Note que a carga fora da superfície não contribui em nada: a idéia é que suas linhas de campo entram na esfera por um lado e saem pelo outro de tal forma que, no total, o fluxo é nulo. Já na figura (b) substituímos a esfera por outra com um orifício; a superfície agora é aberta e não podemos usar a Eq. 5. Conclusão: não podemos usar a lei de Gauss.

-1ΜC

2ΜC 10100_C

(a) Superfície fechada: Φ = Qdentro 0

.

-1ΜC

2ΜC 10100_C

(b) Superfície aberta: não sei dizer.

Figura 4: Lei de Gauss. O círculo representa uma esfera englobando as cargas −1 µC e 2 µC.

Usando a lei de Gauss para calcular E

O interessante da lei de Gauss [Eq. (5)], é que ela pode ser usada para calcular o campo elé-trico em situações especiais. Por “especiais”, eu quero dizer situações extremamente simétricas. Para ver isso, juntemos as Eqs (4) e (5):

I

S

E · ˆn dA = Qdentro de S 0

(6)

Em geral, dessa fórmula, pouco pode ser dito sobre E. Por exemplo (mudando completamente de assunto): se

5

Z

0

f (x) dx = 2,

qual é f ? Não há como saber; existem uma infinidade de curvas cuja área de 0 à 5 vale 2. Agora, se por alguma razão sabemos que f é constante, então teríamos

5 Z 0 f (x) dx = f 5 Z 0 dx = f (5 − 0) = 2 −→ f = 2 5

A mesma idéia se aplica ao nosso problema. O que devemos fazer para que E saia da integral na Eq. (6)? O campo elétrico é um vetor e, portanto, por “constante” realmente queremos dizer que tanto sua direção quanto sua magnitude não variem. Note: dado uma certa distribuição de cargas, nós sempre podemos inventar uma infinidade de superfícies de Gauss; se alguma delas é útil ou não, é outra história. O segredo então é escolher uma boa superfície de Gauss. Vejamos o significado de “boa” com um exemplo.

Exemplo: Considere uma carga pontual q na origem. Para calcularmos o campo produzido por essa carga, a boa superfície de Gauss, S, é uma superfície esférica de raio r centrada na origem. O campo produzido por q é radial, assim como a normal de S. Por isso, E · ˆn = E. Além disso, o campo depende apenas da distância r, que é a mesma ao longo de S. Com esses dois passos podemos escrever

Z E · ˆn dA = Z E dA = E Z dA = EA = E(4πr2)

Agora, e só agora, usamos a lei de Gauss [vide Eq. (6)]: E(4πr2) = Qdentro 0 = q 0 ∴ E = q 4π0r = kq r

Em geral a “boa” superfície de Gauss é tal que: (i) E k ˆn e (ii) E é constante ao longo de S.

Problemas

(1) (a) Considere um cubo de aresta a com uma carga q exatamente no seu centro. Calcule o fluxo através do cubo.

(b) Considere o problema da figura 5(a). Calcule o fluxo através da superfície. Vá com calma: a superfície é aberta e portanto a lei de Gauss não vale. Dica: use o resultado do item anterior e argumentos de simetria.

q a a a2 (a) Problema 1(b) -Q +Q -2Q S1 S2 S3 S4 (b) Problema 1(c) Figura 5: Problema 1

(c) Calcule o fluxo através das superfícies S1, . . . , S4 na figura 5(b). A figura representa

um corte transversal das superfícies, que são todas fechadas.

(d) (Desafio) Considere uma pirâmide com quatro faces e uma carga q colocada na sua base, exatamente no centro. Calcule o fluxo através de uma das faces da pirâmide. [O “desafio” não está na conta, que é muito simples; ele está no raciocínio: tente imaginar alguma superfície fechada tal que você possa usar argumentos de simetria.]

(2) Considere uma placa quadrada muito fina, de área A, espessura d (pequena) e carregada com uma carga q, assim como na figura 6 abaixo. A densidade superficial de carga é definida como sendo σ = _Aq (“quantos Coulombs por metro quadrado”). A placa é condutora fazendo com que as cargas se distribuam próximas às duas superfícies (inferior e superior) — não é necessário se preocupar com as laterais pois a placa é muito fina. Nos cálculos, suponha que a placa seja suficientemente grande para que efeitos de borda possam ser ignorados. (a) A superfície de Gauss pode ser tanto um cilindro quanto um paralelepípedo, contanto

que sejam perpendiculares à superfície da placa. Explique porque ambas as escolhas são equivalentes.

(b) O campo elétrico produzido pela placa vale (sendo ˆk um versor para cima)

E =        σ 20 ˆ k para z > d − σ 20 ˆ k para z < −d (7)

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

S1 S2

S3

Figura 6: Placa infinita condutora.

Obtenha este resultado usando uma superfície de Gauss disposta como a superfície S₁ na figura 6; ou seja, simétrica com relação ao centro da placa (“metade para cima e metade para baixo”). Qual o campo elétrico dentro da placa?

(c) Repita o cálculo usando a superfície S₂ na figura 6. O resultado deve ser o mesmo! (3) Suponha agora que substituímos esta placa por outra não condutora, carregada de forma

homogênea com uma densidade volumétrica de carga ρ. Seja d a espessura da placa. (a) Calcule o campo elétrico fora da placa (z > d) sem usar a lei de Gauss, apenas

relacio-nando σ com ρ na Eq. (7).

(b) Ainda se tratando da placa maciça não-condutora, calcule o campo elétrico dentro da placa (entre −d ≤ z ≤ d). Dica: use a lei de Gauss com a superfície S3 (figura 6).

(4) Considere duas placas paralelas como na figura abaixo; uma delas com densidade +σ e a outra com densidade −σ, separadas por uma distância d. Calcule o campo elétrico em todo o espaço.

+ + + + + + + + + +

- - -

3

Potencial eletrostático e energia potencial eletrostática

Comecemos esclarecendo algo muito importante:

Potencial eletrostático (V ) 6= Energia potencial eletrostática (U )

É a mesma distinção que fazemos entre campo elétrico e força elétrica. Um conjunto de cargas produz um campo elétrico E(r), uma entidade estranha que perambula pelo espaço; se colocamos uma carga q0 em um certo ponto do espaço, então a força que ela sofre é q0E(r).

Mesma idéia: um conjunto de cargas produz um potencial eletrostático V (r) tal que, ao co-locarmos uma carga q₀ num certo ponto, ela possuirá energia U = q₀V (r). Campo elétrico é força por unidade de carga. Potencial eletrostático é energia por unidade de carga.

O potencial eletrostático (ou “potencial” para os mais íntimos) produzido por uma carga pontual é

V (r) = kq

r (8)

Sua unidade é o Volt (V).

Dica de sucesso: “r” significa distância; ele é sempre um número positivo.

O potencial é sempre definido à menos de uma constante. Um potencial de 10100 V não significa nada. O importante é como o potencial varia de um ponto para o outro. Na fórmula (8) nós convencionamos tomar V (∞) = 0.

Se uma partícula de carga q0 se aproximar da partícula de carga q, a energia do sistema

será

U = q0V =

kq0q

r (9)

A unidade de energia é em Joules, como de costume. O que é interessante desta abordagem é o princípio da superposição: se alguma distribuição complicada de carga produz um potencial V (r) então, ao colocarmos uma carga q0 no ponto r, a energia dessa carga será sempre U =

q0V (r).

O potencial está intimamente relacionado com o fato do campo elétrico ser uma grandeza conservativa (na eletrostática). A figura 8 mostra o que isso significa: suponha que há um campo elétrico qualquer nessa região. Se levarmos uma carga q0 do ponto A ao ponto B sua energia

vai mudar. Ser conservativo significa que essa mudança não depende do caminho. Exemplo: o campo gravitacional é conservativo; a força de atrito não.

A B Caminho 1 Caminho 2

Acontece também que campo elétrico e potencial eletrostático estão intimamente relaciona-dos. Se soubermos o potencial então podemos calcular o campo através da relação

Ex= − ∂V ∂x Ey = − ∂V ∂y Ez = − ∂V ∂z (10)

De forma mais compacta escrevemos

E = −∇V = ∂V ∂x, ∂V ∂y, ∂V ∂z  (11) Esse é o gradiente de V . O triângulo de ponta-cabeça (chamado “nabla”) é para nos lembrar de ∆, diferença, derivada, etc. (eu não sei quem teve essa idéia, mas confesso que eu adoro esse símbolo).

Dica de sobrevivência: cuidado com o sinal de (-)!! O campo elétrico aponta de cargas positivas para cargas negativas. O potencial é maior perto de cargas positivas. O campo aponta de potencial maior para potencial menor. Se indo de x1 para x2 o potencial aumentou,

então o campo será proporcional ao negativo dessa mudança. Mais uma vez: cuidado com o sinal!

Por outro lado, se sabemos E podemos calcular o potencial integrando (derivadas e integrais são operações inversas).

V (B) − V (A) = −

B

Z

A

E · dl (12)

A idéia por trás dessa integral é: eu escolho um caminho, como na figura 8. Ao longo desse caminho há um vetor dl que me dá a direção desse caminho. Em cada ponto eu vejo o produto escalar de E com esse vetor e somo essas contribuições.

Problemas

(1) Voltemos à figura 1.

(a) Tomando o potencial eletrostático como sendo nulo no infinito, calcule o potencial nos pontos P1 e P2 para q1 = q e q2 = −2q. Assuma também que a = b. Onde o potencial

é maior?

(b) Suponha que um elétron seja trazido do infinito até o ponto P₁. Qual a sua energia potencial? E se ele tivesse sido trazido para o ponto P₂?

(2) Ainda falando da figura 1.

(a) Calcule a energia eletrostática armazenada no sistema em termos de q₁ e q₂.

(b) Se q₁ e q₂ tem o mesmo sinal (ambas positivas ou ambas negativas) a energia deve ser positiva. Se eles tem sinais opostos, a energia deve ser negativa. Explique intuitiva-mente o que isso significa. Arguintuitiva-mente em termos do trabalho que você (ou um agente externo) teve que realizar para montar o sistema dessa forma. Em cada caso, o que acontece com as cargas se o “mecanismo de sustentação” que as mantém no lugar por alguma razão se romper?

(c) Um átomo de hidrogênio possui um próton e um elétron. Seria uma situação parecida com a da figura 1 quando q₁ = e e q2 = −e (onde e = 1, 6 × 10−19 C). A energia

eletrostática armazenada vale −2, 18 × 10−18 J; ela é negativa. As cargas se atraem e portanto deve existir algum “mecanismo de sustentação” que impede o próton e o elétron de colidirem um com o outro; ele é conhecido como princípio da incerteza de Heisenberg e é um fenômeno puramente quântico que não pode ser explicado através da

física clássica. É interessante notar que essa relação entre “atração” e “energia negativa” é na verdade a uma regra geral (vale para moléculas, sólidos, etc):

Estados ligados da matéria possuem energia negativa.

Qual o trabalho que você tem que realizar para ionizar o átomo de hidrogênio; ou seja, separar o próton do elétron? (Nenhuma conta necessária)

(d) Agora pense no núcleo de um átomo, por exemplo o urânio. Esqueça momentaneamente dos elétrons e pense somente nos prótons e nêutrons empacotados no núcleo. Seguindo o raciocínio do item anterior, para que essas partículas no núcleo possam estar num estado ligado (ou seja, empacotadas) a energia deve ser negativa. Mas, a energia ele-trostática armazenada no núcleo é positiva ou negativa? Explique.

O “mecanismo de sustentação” neste caso é outro (também advindo da mecânica quân-tica) e vai pelo nome de força nuclear. A idéia é que esta força é extremamente forte, mas só age quando as partículas estão muito próximas umas das outras. Se você “que-brar” o efeito dessa força nuclear, restará somente a repulsão entre os prótons, que será enorme. Conclusão: a energia liberada numa reação nuclear é eletrostática; a bomba nuclear devia realmente se chamar “bomba de Coulomb”!

(3) Considere o sistema da figura 7. Faça um gráfico do potencial em função de z. Dica: parta do campo E e use a Eq. (12) que, por simetria, se reduz aR E dz.

(4) Use r = px2_{+ y}2_{+ z}2 _{na Eq. (8) e use a Eq. (10) para obter E =} kq

r2r. Dica: o vetorˆ unitário ˆr sempre pode ser construído dividindo r pelo seu módulo: ˆr = r_r.

Neste caso o campo e o potencial são radiais; ou seja, só dependem da distância à carga. Mostre que nesta situação também é possível calcular o campo através da relação

E = −dV

drrˆ (para campos radiais) (13)

(5) A figura abaixo ilustra o potencial em função de x. Ele é constante em y e z e obedece a relação V (x) = 3x3− 7x, para x em metros e V em Volts. Calcule as três componentes do campo elétrico, Ex, Ey e Ez. -2 -1 1 x -10 -5 5 VHxL = 3x3-7x

4

Capacitores

Capacitância é a habilidade de um sistema de armazenar carga. Para duas placas paralelas, o campo entre elas é E = σ/0. A diferença de potencial é |∆V | = Ed, onde d é a separação

entre as placas. Lembrando que σ = Q/A, onde Q é a carga em uma das placas (a carga total das duas é zero) e A é a área, então

|∆V | = d A0

Q

Veja: |∆V | ∝ Q; a capacitância (C) é a constante de proporcionalidade, mas escrita ao contrá-rio:

Q = C|∆V | (14)

Escolha um sistema; o corpo humano por exemplo. Se submetermos uma pessoa a uma diferença de potencial |∆V | então a carga que ficará armazenada na pessoa é Q = C|∆V | (cansei de digitar |∆V |; vou começar a escrever somente V , combinado?).

Capacitância é uma propriedade do sistema. Todos os objetos tem uma. Ela depende da composição do objeto e de sua geometria. Para o caso das placas paralelas obtemos

C = A0

d (15)

Intuição: tente carregar uma placa. As cargas se repelem, se elas pudessem elas não estariam ali. Em outras palavras:

Você deve realizar trabalho para carregar um capacitor

Vemos que C aumenta com a área. Isso é intuitivo: se aumentamos a área damos mais espaço para as cargas se distribuírem, diminuindo a repulsão entre elas. Portanto conseguimos colocar o mesmo Q com um V menor. Por outro lado, a capacitância diminui se d aumenta. Temos dois efeitos à considerar: (1) a repulsão das cargas dentro de cada placa (as cargas + se repelindo em uma e as − na outra) e (2) a atração das cargas entre as placas. Há uma competição. Suponha que d seja muito grande; ou seja, cada placa está praticamente isolada. A repulsão dentro de cada placa é muito intensa; adicionar cargas é uma tarefa difícil e a capa-citância será pequena. Agora pense em d muito pequeno; apesar da repulsão com suas vizinhas de placa, cada carga sente uma forte atração com as cargas da outra placa. Apaziguamos a repulsão; C aumenta.1

Alguns outros tópicos que eu não vou explicar em detalhe (veja no livro):

• A energia armazenada no capacitor é U = 1 2QV = 1 2 Q2 C = 1 2CV 2 ₍₁₆₎

1_{Eu fiquei pensando em alguma analogia mas até agora não consegui nenhuma que não possuísse fortes}

defeitos (todas as analogias tem defeito; se não tivessem não seriam analogias). Eis o que eu consegui até o momento; se você pensar em algo melhor me avise: Adolescentes no baile; meninos de um lado, meninas do outro e um vazio entre eles. Atração entre grupos; repulsão entre membros do mesmo grupo. Prefiro não entrar em detalhe sobre os possíveis pontos fracos na analogia.

• Se entre as placas há um material dielétrico com constante dielétrica κ então a capacitância se torna

C = A0κ

d (17)

A constante 0se torna uma nova constante  = 0κ. Inserir um dielétrico sempre aumenta

a capacitância; κ é sempre maior do que 1. • Associação em série: 1 C = 1 C1 + 1 C2 + . . . • Associação em paralelo: C = C1+ C2+ . . . Problemas

(1) (a) Dois sistemas tem C₁ e C₂ = 4C1. Eles tem a mesma separação e não possuem um

dielétrico entre eles. Calcule a razão entre as áreas.

(b) Dois sistemas tem C1 e C2 = C1/2. Eles tem a mesma separação e a mesma área.

Um está preenchido com um dielétrico e o outro não. Qual está preenchido com um dielétrico?

(c) Dois capacitores C1 e C2 estão sob uma mesma diferença de potencial. A separação

entre as placas de C1 é o dobro da separação entre as placas de C2. Qual possui uma

energia armazenada maior. Faça o cálculo e também explique a intuição por trás do resultado.

(2) Um capacitor de placas paralelas é carregado com uma carga Q₀ e um potencial V₀ através de uma bateria que é subsequentemente removida. Em seguida, a separação entre as placas é reduzida pela metade. O que acontece (responda de forma quantitativa) com

(a) a carga nas placas do capacitor? (b) o campo elétrico entre as placas?

(c) a energia armazenada no sistema? (d) o potencial

(e) Qual o trabalho que você teve que realizar ao diminuir a distância das placas pela metade?

(3) Um capacitor de placas paralelas é carregado com uma carga Q₀ e um potencial V₀ através de uma bateria que não é subsequentemente removida, mas permanece ligada ao sistema. Em seguida, a separação entre as placas é reduzida pela metade. O que acontece (responda de forma quantitativa) com

(a) a carga nas placas do capacitor? (b) o campo elétrico entre as placas?

(c) a energia armazenada no sistema? (d) o potencial

(e) Qual o trabalho que você teve que realizar ao diminuir a distância das placas pela metade?

(4) Considere os sistemas da figura abaixo (vide lista 2). Explique porque é correto pensar no sistema da figura (a) como uma associação em paralelo e no sistema da figura (b) como uma associação em série de capacitores.