Cálculo mental ultra rápido, 36ª edição, (s.d.).

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1

A

-CÁLCULO MENTAL

ULTRA RAPIQO

P O R

J O S É

C L O T E T

Das Escolas de Engenharia e Ciências Econômicas de Barcelona

E x - D o c e n l e d a U n i v e r s i d a d e d a m e s m a c i d a d e

36." EDIÇAO

OKMAT

D t O n A U Z A D O

Oficioiis Gráficas da LIVRARIA DO GLOBO Barcelhs, Bertaso Sr Cia. — Pôrto Alegre

5 ' 3

Os números governara o mwnúo.

i ' l a t a o

iA matemática é a rainha das ciên

cias e a aritmética é a rainha

d a s m a t e m á t i c a s .

( « a n s s

Fpiè''

A matemática é a honra do espíri

t o h u m a n o .

£ propriedade do Aator.

Froíi)c>5e a reprodaçao.

reíto o depósito como marcam as leis.

Todos os exemplares deste livro são numera

dos, e rubricados pelo autor cujos direitos de re

produção e adaptação já estão devidamente garan

t i d o s .

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POJC

P R E F Á C I O

Várias edições obrigadas pela procura de nossos

l i v r o s i n t i t u l a d o s :

" O C A L C U L t S T A M E N T A L R E L Â M P A G O " E

" M A L A B A R I S M O S M A T E M Á T I C O S "

foram impressas nos principais idiomas, entro os

quais o Chinês e o Japonês.

Encontrando-nos agora no Brasil c perante a

insistência com que o público requer a impressão

do mais interessante déles, na formosa e regia lín

gua de Camões, entregamos à luz da publicidade

e s t e l i v r o d e n o m i n a d o :

" C A L C U L O M E N T A L U L T R A - R A P I D O "

com exemplos fáceis e práticos, na espera de que

chame a curiosidade dos interessados, os quais cm

qualquer momento, substituindo nossos métodos pe

los que êles pretendam aplicar, encontrarão pela ma

neira simples, rápida e eficiente os resultados que

lhes possam interessar.

Precisamente queremos frisar que nao nos expli

camos como alguns autores de extensos tratados de

matemática; não dediquem eles mais espaço e aten

ção em consignar processos de calculo abreviado,

maximé quando expõem em suas obras, regras com

cxrande luxo de detalhes e aglomerações de casos

(seqüência deles) que, se alguma vez podem ser apli

cados, não justificam que outros métodos e proces

sos de tão grande utilidade e interesse na vida pra

tica e quotidiana como é o cálculo rápido, possa ser

relegado, preterido e superficialmente esboçado.

Assim sendo, este livro contém uma variedade

de aplicações de fórmulas para operar rapidamente,

e unicamente quando seja de absoluta necessidade,

explicaremos e formularemos a analise necessária de

demonstração dos resultados, pois precisamente aca

bamos de fazer referência a que os autores^ em geial

dedicam-se a explicar, analisar e discutir hipóteses e

regras sem preocupar-se em muitos casos de expoi

as aplicações práticas e rápidas que possam ter.

Por outra parte, cremos que o leitor, perfeitamente

versado e preparado nelas e em especial, àqueles

a quem possam ser precisos para aplicá-los ou pra

ticá-los desde que tenham vocação e gosto pessoal

para tais inquietudes espirituais; e isso significa cul

tura matemática, tudo o que nos induz a restringu

ou a omitir a parte analítica para não fazer extensa

e pesada esta obra.

Algumas vezes temos feito caso omisso da esti ita

linguagem de precisão verdadeiramente matemáti

ca, para que os recém iniciados ou os profanos pos

sam compreender-nos com mais facilidade, ^teiic o

usado às vezes também de formas de espressão

poderiam ser apontadas como inestéticas ou vulga

res, se não fizéssemos a observação do porque de tal

motivo a nosso ver poderoso.

A missão que nos impusemos ao publicar nossas

obras foi sempre de divulgação de regras, fórmu

las e procedimentos singelos, rápidos e efetivos, que

fossem interessantes a quem quer que tivesse de

operar com números e em qualquer classe de ma

nifestação que a êles se referissem.

Esta foi sempre nossa norma e nela

persevera-r e m o s .

Se conseguirmos interessar o leitor e ser-llie ae

utilidade no sentido de ampliar o caudal de seus

conhecimentos neste ramo, ficaremos plenamente sa

tisfeitos e compensados.

l . « P R O C E S S O

S O M A

E' comum na prática diária ouvir pessoas que

tenham que dedicar algum tempo a operações aritmé

ticas, queixarem-se do incômodo e embaralho que lhes

resulta o somar, pela falta de controle nas somas par

ciais e totais e a atenção ininterrupta que devem de

d i c a r a e l a s .

Para sanar esta dificuldade, podemos indicar-lhes

processos seguros e eficientes, com a vantagem de

que possam deixar a operação em qualquer momento

desenvolvida como esteja e continuá-la quando lhes

seja oportuno, sem necessidade de verificar as somas

parciais das colunas já calculadas nem começar nova

m e n t e t o d o s o s c á l c u l o s .

A seguir apresentaremos um exemplo prático,

tico em cada caso para poder fazer a compaiação,^ o

que permitirá compreender ao primeiro golpe de vi

ta o dispositivo da operação.

Controle oii desciivolviinento da operação.

T e r m l í i a r ã o d o s

Os que Tão em resultados iiurciais

c a d u c o l u i m . i m s c o l u n a s . 6 4 2 9 5 . 3 7 2 9 2 8 6 . 1 4 3 0 5 4 2 8 . 6 1 4 2 3 1 9 4 2 0 . 0 6 4 8 527965.43 3 1 2 1 8 5 . 6 0 oo 5 3 2 4 . 8 6 1 2 5 2 7 6 . 0 2 9 9 2 5 1 8 2 . 0 9

Para fazer a operação começaremos pela direita,

em cima ou em baixo dizendo;

1.'' coluna; começando eni baixo diremos: 2 -1- G

+ O -h 3 + 6 -1- 1 H- 4 + 7 = 29. escrevemos 9 como

terminação de um resultado parcial e vão 2, que escre

vemos na coluna dos que levamos para somar com a

segunda;

2." coluna: 2 que levamos -|- O -r S -r 6 + 4 O

_|_ 6 3 = 30, escrevemos o O nas parciais c le

vamos o 3 e marcamos a vírgula decimal,

3.^ coluna; 3 que levamos -1-0 + 4 -1- 5 + 5 + 0

+ 8 j_ g -|- 5 = 42, escrevemos o 2 nos resultados

parciais e levamos 4;

4.® coluna: 4 que levamos + 74-24-S-{-6u-.9

+ 2 + 8 -I- 9 = 48, escrevemos o S nas parciais e 'le"

v a m o s 4 ;

5.® coluna: 4 que levamos + 2-)-3 + l-|-9_|__^

+ 4 -f- 2 + 2 = 31, escrevemos o 3 nos parciais e le

v a m o s 3 ;

6.^ coluna; 3 que levamos 4-54-2 + 7-|-9_ug

-f- 4 = 35, escrevemos o 5 nos parciais e levamos

31 2 , e s

-7.® coluna: 3 que levamos -{- 2 + 1 -f q

crevemos o 2 (parciais) e levamos 1, e

8.® e última coluna: 1 que levamos -h 5

q u e e s c r e v e m o s n o s r e s u t a d o s p a r c i a i s .

Com êste processo de fácil compreensão, podere

mos deixar a operação em qualquer momento e tornar

a seguí-la quando seja necessário e sem ter que pro

ceder a verificação desde o começo, já que observando

as terminações nos resultados parciais vemos os que

levamos: então contando os números que temos cal

culados que correspondem às colunas, poderemos con

t i n u a r n a q u e s e g u e , s e m p o s s i b i l i d a d e d e e r r o s n e m

esquecimentos de classe alguma.

Também temos os resultados parciais que são: 29,

30, 42, 48, 31, 35, 12 e 9; mas somente escreveremos

a s u n i d a d e s d e l e s .

Uma vez colocado o resultado parcial (unidades)

debaixo de cada coluna correspondente, começando

pela direita ou pela esquerda, teremos o resultado, ou

seja, o total de 925182.09.

1 2

2 . ° P R O C E S S O

-1 3 3 4 4 3 . 2 Ê s t e m é t o d o t a m b é m n o s p e r m i t e

deixar a operação em qualquer

momen-64295.37 to e continuá-la a vontade sem repetir

2 8 6 - 1 4 s o m a s p a r c i a i s .

5 4 2 8 . 6 1 E f e t i v a m e n t e d i r e m o s a s s i m : 319420.06

5 2 7 9 6 5 . 4 3 1 . ® c o l u n a : 2 + 6 - f - 0 + 3 + 6 - { - l

2185.60 -h 4 -[- 7 = 29; escrevemos o 9

debai-324.86 XQ como resultado da primeira coluna,

5276.02 e o 2 que são os que levamos acima na

segunda coluna, pois são décimas que

9 2 5 1 8 2 . 0 9 a g r e g a r e m o s m a r c a d a s c o m u m r i s c o n a

— parte inferior para diferençá-las da co

l u n a , e c o n t i n u a r e m o s d i z e n d o :

2 . ® c o l u n a ; 0 + S - l - 6 + 4 - { - 0 - f 6 - f l - f - 3 + 2

(as que levamos) são 30; colocamos o O de baixo da

segunda coluna como resultado parcial e o 3 que leva

mos e colocamos na terceira coluna para somá-lo com

as unidades dessa ordem; (depois de marcar a vírgula

das décimas) diremos;

3 . ® c o l u n a ; 6 - l - 4 - f 5 + 5 - [ - 0 - [ - S - } - 6 + 6 + 3

são 42, escrevemos o 2 debaixo e o 4 acima; agora,

4 . ® c o l u n a : 7 + 2 - | - 8 - f - 6 - 4 - 2 - f 2 - í - 8 - } - 9 + 4

(que levamos da coluna anterior) são 48; escrevemos

3 e vão 4 que colocamos acima da coluna das centenas

(a 4.® ordem neste caso representa dezenas porque tem

dois decimais); prosseguimos dizendo:

s- coluna; 2 + 3 + 1 + 9 + 4 + 4 + 2 + 2 + 4

são 31, escrevemos 1 e vão 3 que colocamos acima na

coluna seguinte continuando agora assim.

6,® coluna: 5 + 2 + 7 + 9 + 5 + 4 + 3 são 35,

escrevemos o 5 e vão 3 que colocamos acima das de

zenas de milhar; continuando agora na

7.^ coluna; 2 + l + 5 + 3é igual a 12, escreve

mos o 2 e vão 1 acima da ordem das centenas de milhar

dizendo depois na

S.'' e última colona: 5 + 3 + 1 é Igual a 9 que es

crevemos como final, sendo pois o resultado definitivo

925182,09, como no caso anterior.

3.- PEOCESSO

6 4 2 9 5 . 3 7 D e s e n v o l v e - s e p o r s o m a s p a r c i a i s

2 3 6 . 1 4 d e c a d a o r d e m , c u j o s r e s u l t a d o s s e c o

5 4 2 8 . 6 1 l o c a m a b a i x o d e c a d a c o l u n a e s o m a n

-3 1 9 4 2 0 . 0 6 d o d e p o i s e s t a s p a r c e l a s o b t e r e m o s o

5 2 7 9 6 5 . 4 3 t o t a l o u s e j a 9 2 5 1 S 2 . 0 9 c o m o p o d e - s e

2185.60 verificar observando o dispositivo

dês-3 2 4 . 8 6 t e c a s o .

5 2 7 6 . 0 2 C o m o f i n a l o r e s u l t a d o é o m e s m o

925182.09 que nos dois processos feitos.

2 9 2 8 3 9 4 4 2 7 3 2 9 8 925182.09 4 . " P E O C E S S O .

Uma operação de somar torna-se

muito dificultosa, quando a mesma ^

comprida demais, sendo mais prático di

vidir a mesma em frações, fazendo va

rias somas parciais que depois somam

se entre si para ter-se o resultado

total-Então vejamos:

Operação

4 2 8 7 6 . 8 7 6 3 2 8 5 4 . 3 2 1 2 8 6 5 . 0 6 2 7 6 4 2 8 . 3 5 2 4 2 8 . 0 3 3 4 2 . 6 8 5 2 7 . 1 0 2 4 6 8 2 . 3 7 6 5 4 2 . 8 0 6 5 7 . 3 2 5 2 9 . 0 0 8 4 3 7 6 . 5 5 2 8 7 3 8 . 6 2 5 3 2 8 7 . 8 1 4 2 1 6 3 7 . 4 5 6 2 1 7 3 . 2 4 1 6 5 0 9 4 7 . 5 7 E e s u l t a d o s P a r c i a i s 9 6 5 0 2 4 . 6 0 2 7 9 8 0 . 1 8 9 2 1 0 5 . 6 7 5 6 5 8 3 7 . 1 2 T o t a l 1 6 5 0 9 4 7 . 5 7

Desta maneira facilitamos a operação, cujo con

trole também está feito pelo método usual de soma.

Faremos a operação diretamente de baixo para

cima, dizendo na

S U B T R A Ç Ã O

Processo para fazer com nma só operação a subtração

de diyersos números de outros dÍTersos.

Um caso de utilidade prática que pode aplicar-se

com muita freqüência.

Sejam os números 428765, 32864, 2306 e 12457

como minuendo que representaremos em conjunto por

M, e os números 324132, 65827, 12, 328 e 12625 como

subtraendo que representaremos juntos por S e

dispo-1 2222 (ordens combinadas)

remos assim a operação:

1 2222 428765 ' M - ^ 3 2 8 6 4 2 3 0 6 1 2 4 5 7 ' 3 2 4 1 3 2 ' 6 5 8 2 7 S - - 1 2 328

. 12625

» c o m o m i n u e n d o _{4 7 6 3 9 2} c o m o s u b t r a e n d o

Diferença ou resto 73468

_{r e s u l t a d o} 4 0 2 9 2 4 7 3 4 6 8

112223 (ordens de complemento)

.16

l . t » c o l u n a : 5 + 8 - 1 - 2 - [ - 7 - ( - 2 = 2 4 e d i r e m o s :

de 30 restam 6 (subtraindo os 24 da próxima S.'' de

zena, 30 unidades). (Neste momento escrevemos na

parte de baixo e abaixo do último traço o número 3

que são as dezenas complementares) e continuamos

dizendo: 6 que restam + 7 (1.'' coluna abaixo no mi

nuendo) + 6 + 4 + 5 = 28, escrevemos o 8 como re

sultado abaixo entre os dois últimos traços e acima de

tudo no último traço, escrevemos o 2 (dezenas); ago

ra diremos 3 dezenas de baixo menos 2 de cima = 1

a favor da parte de baixo; esta dezena acrescentaremos

na 2.^^ coluna, assim, agora na

colunn diremos: 1 (diferença das dezenas des

ta ordem) + 2 + 2 + 1 + 2 + 3 são 11 e diremos:

restam 9 unidades (subtraindo 11 da próxima dezena 2).

(Neste momento escrevemos de baixo do último traço

o número 2 e continuamos dizendo: 9 que restam +

5_|_0 + 6 + 6 = 26, escrevemos o 6 como resultado

abaixo entre os dois últimos traços e agora acima de

tudo no último traço escrevemos o 2 e compulsamos

os valores das ordens de baixo com os de cima

do; 2 de baixo e 2 de cima se compensam ou se anulam,

e continuando a operação diremos na

3." coluna: 6 + 3 + 8 + 1 == ntinnamos

escrevemos 2 de baixo do último traço

escreve-no meio dizendo: 2 + 4 + 3 + ^"^ " rȒirpial

mos entre os traços de baixo o baixo e 2

e O 2 acima do último traço e direm

de cima se compensam; então passamos

4« coluna. Diremos; 2 + 5 + 4 — 11 ao próximo

'ii = 9 escrevemos 2 de baixo do último traço,

e contMos no meio dizendo 9 + 2 + 2 + 2 + 8

23 escrevemos entre os traços de baixo o 3 como re

sultado parcial e o 2 acima do último traço e diremos.

2 de baixo e 2 de cima se anulam, e continuamos na

5> coluna dizendo: 1 -f 6 + 2 = 9, até a próxima

dezeuL (desta ordem) vai 1 então escrevemos 1 de baixo

do último traço e continuamos no meio operando as-

_{• .ij_i-|-3 + 2 = 7, que escrevemos entre os dois}

traços de baixo como resultado parcial e não escreve

mos mda acima do último traço (porque não tem or

dem superior): e agora 1 que temos abaixo no último

traço o agregaremos na

e última coluna dizendo: i + 3 = 4. de 4 a 10

vão 6, escrevemos 1 abaixo de tudo e continuamos;

g 4 = 10. Teríamos que pôr o O que não tem

signi-ficaçâo, porque 1 de baixo e 1 de cima se anulam; as

sim que fica resolvida a subtração dos tais números

numa só operação como tínhamos anunciado.

Como resultado definitivo, diferença ou resto, o

total é 73468.

Para comprovação vejamos o dispositivo dêste

cesso, onde fazemos a soma dos números 428765, 328 >

2306 e 12457 que formam um total de 476392 e que de

nominamos Minuendo, (M).

Depois, fazemos a soma, dos números 324132, 65827,

12, 328 e 12625 cujo total de 402924, classificamos como

subtraendo, (S).

Fazemos um traço, efetuando depois a subtração

Í T "

números 476392 e 402924 que nos dá uma diferença

o u r e s t o d e 7 3 4 6 S c o m o r e s u l t a d o fi n a l .

Neste exemplo, as ordens de complemento de bai

xo tem sido superiores ou iguais às ordens de cima.

Caso os de cima forem superiores aos de baixo, em

vez de somar a diferença, a subtrairemos e continua

mos a operação da mesma maneira q.ie o temos ex

plicado.

Para que não exista dificuldade na explicação da

quele caso, vamos expor um exemplo prático. Sejam

os números 3490S, 7954, 6420 e 297 como minuendo

(M) e 248, 28309 e 648, os do subtraendo (S).

A operação dispõe-se assim:

1 2 3 1 2 o r d e n s c o m b i n a d a s M = r 3 4 9 0 S

7954 [

6420 [ como minuendo

l 297 J

4 9 5 7 9 S = 2 4 8

2S309 i- como subtraendo — 29205

6 4 8

R e s t o 2 0 3 7 4 D i f e r e n ç a o u r e s t o 2 0 3 7 4

1 1 2 1 3

Diremos a continuação na

1.® coluna: S -f- 9 4- 8 = 25; de 25 a 30 (3." deze

na) vão 5, escrevemos o 3 (das dezenas) de baixo do

último traço e continuamos no meio assim: 5 -f 7 + o

-]-4 8 = 2-]-4, escrevemos o -]-4 como resultado parcial e

2 acima nas ordens e fazemos a diferença 3 — 2 = i

a favor da de baixo que somamos assim na

2 . ' ' c o l u n a : l - [ - 4 4 ~ 0 - ! - 4 = 9 ; d e 9 a 1 0 — 1 ,

escrevemos o 1 de baixo e continuamos no meio 1 + 9

+ 2 + 5 + O = 17, escrevemos o 7 como resultado par

cial e pomos 1 acima nas ordens, agora 1 ■— 1 se anu

l a m e c o n t i n u a m o s n a

3," coluna dizendo: 6 + 3 + 2 = 11; de 11 a 20

vão 9, escrevemos o 2 (representação de 20) de baixo

no último traço e continuamos no meio dizendo: 9 + 2

_|_ 4 -j- 9 _j- 9 = 33, escrevemos o 3 como resultado

parcial e pomos o outro 3 acima; agora bem, temos che

gado no caso que o número de cima é maior que o de

baixo, então procederemos assim: 3 que temos acima

e 2 abaixo a diferença é 1 a favor de cima. Neste caso

tiramos do primeiro número da 4.'' coluna 1 unidade

c o m o v e r e m o s n a

4." coluna dizendo: 8 — I = 7ede7al0 (deze

na) vão 3, escrevemos o 1 de baixo do último traço

e continuamos no meio assim: 3 + 6 + 7 + 4 = 20,

escrevemos o O como resultado parcial e colocamos o

2 acima no último traço, e outra vez o de cima é maioi

que o de baixo, diremos então 2 — 1 = 1 que pas

saremos subtraindo e operando como segue na

S.*" coluna e última: 2 — l = ledelalO vao

9, escrevemos o 1 abaixo de último traço e continua

mos no centro 9 + 3 = 12, cujo 2 escrevemos como

resultado final porque observamos que colocando o 1

e m c i m a a n u l a o 1 d e b a i x o .

A opertção está terminada.

CASO DE SUBTRAÇÃO INVERSA.

E' hábito pôr o mlnuendo em cima e o subtraendo

em baixo, mas como em alguns casos é conveniente

subtrair a parte superior da inferior, como ocorre no

consumo de luz, força, água, navegação ; pois se

anotamos diária ou mensalmente, o consumo, a dis

tância, etc.; teremos que, sempre a indicação ante

rior será menor e por conseguinte devemos subtrair da

parte superior (acima) para a inferior.

Veja-se pelo seguinte esquema, como se deve fazer:

P l ü 3j.cs A n o C o n f r o l C o n t a d o r C o n s o m o 2 2 J a n . 1 9 3 6 8 7 4 9 3 5 23 S t S t S 7 5 2 S 5 3 5 0 2 4 tt s s 8 7 5 8 3 6 5 5 1 25 S f S f 8 7 6 0 0 3 1 6 7 2R s t t t S 7 7 0 0 5 1 0 0 2 27 tt s s 8 7 7 3 4 8 3 4 3 28 s t tt 8 7 7 6 0 4 2 5 6

dando-nos o resultado 1." 350, a diferença entre o dia

anterior 874935 e o dia seguinte 875285 e assim su

cessivamente, em cada um dos dias que se seguem.

Também pode-se encontrar a diferença entre quan

tidades não conseqüentes subtraindo-as uma da outra.

2 1

O U T R O C A S O ,

Existem casos em que temos que subtrair vários

números de um número dado, então a operação pode

fazer-se simultaneamente. Vejamos um exemplo.

Tinhamos em caixa 22;500$000 réis. Pagamos 4

faturas, sendo a primeira de 600$000 réis, a segunda

de 1:150§000 réis, a terceira de 6:450^000 réis, e a

quarta 450$600 réis. Quanto ficou em caixa depois

dêstes pagamentos?

Dispõe-se assim a operação:

E m c a i x a

22:5008000

600S000

1:150$000 i Faturas

6 : 4 5 0 8 0 0 0

4508600

p a g a s .

1 3 : 8 4 9 8 4 0 0 l í q u i d o

depois da operação.

Operamos colocando os dois últimos zeros da es

querda no resultado e depois continuamos dizendo: de 6

a 10 vão 4, que escrevemos e levamos 1; agora, de 1

a 10 vão 9, que escrevemos e levamos 1; prosseguimos

dizendo; 1 -}- 5 -f 5 -h 5 = 16; de 16 a 20 vão 4, que

escrevemos e levamos 2, depois 2 que levamos, -{- 4

-|-4 1 6 = 17, que para 25 faltam 8, que escrevemos

e levamos 2; depois, 2 que levamos 4-6-h 1 = 9, que

até 12 vão 3, que escrevemos e levamos 1; agora de

1 a 2 vai 1 que escrevemos como último número do

resultado total que é o seguinte: 13:8498400.

IViULTiPLiCAÇÃO

A operação de multiplicar é a que admite mais

possibilidades de abreviação.

será de fácil compreensão, si se seguirem os casos

práticos que apresentaremos a seguir

É preciso que quem opere, procure descobrir e per

ceber as abreviações que sejam possíveis de aplicar nas

operações, transformações e desenvolvimentos que o

cálculo apresenta, o que na prática lhe será fácil de apli

car, "ipso facto", sem nenhuma espécie de esforço, re

dundando tudo isso em benefício do operador que em

pregará menos tempo, menos quantidade de números

e obterá os resultados com mais segurança.

Nossas mãos são uma máquina de multiplicar.

Efetivamente: representemos nossos dedos por nú

meros de acordo com os desenhos 1 e 2, isto é, o núme

ro 6 vem indicado pelo polegar, o número 7 pelo indi

cador, o número 8 pelo médio, o número 9 pelo anular

e o número 10 pelo mínimo. Tanto na mão direita

c o m o n a e s q u e r d a .

Podemos calcular com elas, fazendo operações de

multiplicação de dois números compreendidos entre 6

e 10, que são os que podemos representar com as mãos.

Para evitar dificuldades de compreensão, faremos

o desenvolvimento de vários casos práticos. Seja o pri

meiro multiplicar o número 7 por 8.

Tendo todos os dedos, das duas mãos, estendidos,

faremos tocar o indicador (7) da mão esquerda, com

o médio 8 da mão direita e fecharemos os dedos das

mãos, que sejam superiores aos 7 e aos 8 com que cal

culamos, ou sejam: 8, 9, e o 10 da mão esquerda e 9

e o 10 da mão direita- Os dedos que conservamos aber

tos tanto de uma mão como da outra ou sejam o 6, o 7

e o 8 da direita e o 6 e o 7 da esquerda são as dezenas

da operação, isto é, 5, que são iguais a 50 unidades. Cal

culadas as dezenas precisamos calcular as unidades, que

conseguiremos, observando os dedos que ficaram fecha

dos e que são 3 (8, 9 e 10) na mão esquerda e dois (9

€ 10) na mão direita e que multiplicaremos dizendo

2X3 igual 6 unidades que somadas com as 50 das 5 de

z e n a s a n t e r i o r m e n t e d i t a s , p e r f a z e m e m d e fi n i t i v o 5 6

u n i d a d e s , c o m o 7 X 8 q u e s ã o o s n ú m e r o s q u e m u l t i p l i

c á v a m o s .

O U T E O E X E M P L O .

Seja multiplicar

6X9-Estendidos todos os dedos da mão esquerda,

dei-zaremos aberto o dedo polegar e fecharemos o 7, 8, 9,

e o 1 0 .

Agora estendidos todos os dedos da mão direita,

deixaremos abertos 6, 7, 8 e 9 e fecharemos o 10 por

s e r s u p e r i o r.

2 4

Peito isto, faremos tocar o dedo 6 da mão esquer

da com o n.° 9 da mão direita e contaremos os dedos

que se acham abertos contando inclusive os dois quo

se tocam. Veremos que em conjunto são 5, que repre

sentam as dezenas da operação ou sejam 50 unidades,

mais a multiplicação dos dedos fechados que são 4 na

m ã o e s q u e r d a e u m n a d i r e i t a o u s e j a 4 X 1 i g u a l 4 ,

mais 50 que (representam as dezenas) são 54, de acordo

com o resultado de 6X9 que era o que pretendíamos de

m o n s t r a r .

3 I Ü L X I P L I C A R 1 0 X 1 0 .

Conservaremos todos os dedos de ambas as mãos

(direita e esquerda) abei'tos e diremos 10X10 igual

100, pois como não sobra nenhum dedo, êste é o resul

t a d o .

Quando se multiplica o número 10 por qualquer

dos números 6, 7, 8 ou 9, parece que não corresponde

à operação. Vejamos porque dá-se, isso:

Seja multiplicar

7X10-Estendida a mão esquerda, contaremos até 7 dei

xando aberto o dedo (polegar) e 7 (indicador) e fecha

remos o 8 (médio) o 9 (anular) e o 10 (mínimo). De

pois na mão direita contaremos até 10 deixando todos

os dedos abertos. Agora faremos tocar o 7 com o 10

6 contaremos os dedos abertos que são con]untamente

7, que representam as dezenas da operação e por conse

g u i n t e

7 0

u n i d a d e s .

^

Algum leitor possivelmente poderá dizer: como.

Já temos o resultado, e ainda temos que multipicar 3

dedos que estão fechados na mão esquerda (o 8. 9 e

10)' Efetivamente sobram 3 dedos fechados ^na es

querda, mas na direita há O dedos fechados; então 3X0

iguai O mais 70 das dezenas, da-nos como resultado

unidades. De maneira que esta regra é sem excepgao.

OUTnO EXEMPLO.

Miiltiplicar 10X6.

Como no caso anterior, tendo os dedos estendidos

farernos tocar o mínimo da esquerda com o polegar da

direita e fechando os dedos que restam da operação ou

se:am O na esquerda e 4 na direita (7, 8. 9 e 10) dlre

mos assim: cinco dedos estendidos da mão esquerda

ma.is 1 da direita são 6, ou sejam as dezenas que são

iguais a 60 unidades. Agora devemos procurar as uni

dades, multiplicando os dedos fechados, que são O na

mao esquerda e quatro na direita, com os quais dire

mos 0X4 são O unidades mais 60 que tínhamos achado

anteriormente, são definitivamente 60 unidades,

coinci-dindo com o resultado de 6X10.

Esta é somente uma simples curiosidade que dei

xamos à consideração dos nossos leitores.

Quando o multiplicando ou o multiplicador, ou os

dois pela sua vez teem zeros, multiplicam-se entre si

os algarismos significativos e juntam-se ao resultado

tantos zeros quantos teniia um dos fatores resp. ou os

dois fatores conjuntamente.

E x e m p l o s :

2 8 5 4

X 6 0 0 0 1 7 1 8 4 0 0 0 3 2 5 8 4 0 0 X 4 9 4 5 6 8 0 0 X 8 0 1 3 0 3 3 6 0 0 7 5 6 5 4 4 0 0 0

Se houver decimais, a vírgula passará para a di

r e i t a , t a n t a s c a s a s n o r e s u l t a d o q u a n t o s f o r e m o s z e r o s

do multiplicador.

Multiplicar quantidades pela unidade seguida de

z e r o s

-Para multiplicar quantidades pela unidade segui

da de zeros, juntam-se ao multiplicando tantos zex'os

q u a n t o s t e n h a o m u l t i p l i c a d o r.

E x e m p l o :

3 8 7 2 5 X 1 0 0 = 3 8 7 2 5 0 0

Sendo número decimal, a vírgula passará para a

direita tantas casas quantos zeros tiver o mutiplicador.

38725,1964X10000 = 387251964;

o u t r a ,

3 6 5 , 2 8 X 1 0 = 3 6 5 2 , 8

M U L T I P L I C A R P O R . 1

Multiplicar por 5 é o mesmo que multiplicar o nú

mero por 10 e dividir por 2.

1 0 1 0

E f e t i v a m e n t e 5 é i g u a l a — ; o u 5 = —

2 2

Por exemplo seja multiplicar 642X5.

Diremos 642 : 2 = 321 e agora multiplicando poi

10 que é o mesmo que acrescentar um zero, teremos

e m d e fi n i t i v o 3 2 1 0 .

MüLTIPLICAE por 50, 500, 5000, etc.

Como no caso anterior, operamos como se fôsse

mos multiplicar por 5 e acrescentamos ao resultado

tantos zeros quantos tenha o multiplicador. Efetiva

mente; dizemos que multiplicar por 5 é o mesmo que

multiplicar o n.° por 10 e dividí-lo por 2 ou também

dividí-lo por 2 e multiplicá-lo depois por 10.

Operemos agora como indicámos e vejamos um ca

so prático, que seja por exemplo: 5326X500. Teremos

53260 (acrescentamos um zero que é igual a multipli

car por 10) e dividindo por 2 temos:

5 3 2 6 0 V 2 2 6 6 3 0

e a g o r a , a c r e s c e n t a n d o o s d o i s z e r o s d o m u l t i p l i c a d o r

o b t e m o s o r e s u l t a d o d e 2 6 6 3 0 0 0 . M U L T I P L I C A R P O R 2 5 .

P o r i d ê n t i c a r a z ã o m u l t i p l i c a r p o r 2 5 é o m e s m o

que multiplicar um número por 100 e dividí-lo por 4;

p o r q u e t e m o s q u e 2 5 é i g u a l a 1 0 0 1 0 0

; o u 2 5 =

4 4

Exemplo: Multipliquemos pelo método abreviado

642856 por 25; aplicando a teoria de que 25 é igual a

100 : 4, temos 642856X100 igual 64285600 que dividi

do por 4 dá-nos:

64285600 : 4 = 16071400

cuja divisão verificamos dizendo: Vi de 6 ou, 6 : 4 da

1, que escrevemos como resultado e vão 2 que restam;

2 que restavam com 4 formam 24 que divididos por 4

2 8

dão-nos 6, que escrevemos e nào resta nada; assim di

remos: 2 : 4 é impossível, escrevemos pois O na or

dem do resultado, então juntamos o 2 ao 8 formando

28 que dividimos por 4 e dá 7, que escrevemos co

mo resultado © continuamos dizendo; 5 dividido por

4 dá 1, que escrevemos e vai 1 que com o 6 forma 16,

que ao dividir por 4 dá 4, que escrevemos, e a seguir

os dois zeros porque a 16 não sobra nada, e zero divi

dido por 4 dá zero, com o qual o resultado é de 16071400.

\

MULTIPLICAR POR 125.

Pelos sistemas expostos nos outros casos mult>

plicar um número por 125 é o mesmo que multicá-lo

por 1000 e dividí-lo por 8, porque

1 0 0 0

1 0 0 0

125 é igual a ou 125 =

E x e m p l o :

8

3 6 2 4 X 1 2 5

Aplicando o cálculo -^^^ínal

igual 3624000 e dividindo por dividindo os dois

453000 fazendo a ope Ç ^ ^ ^ 4,

escreve-primeiros algarismos P resultado; agora,

x n o s 4 c o m o 4 2 q u e d i v i d i d o p o r 8

os 4 que vao, com ^ ^ ^ formam 24

dá 5 que escrevemos também e não

q u e d i v i d i d o p o r o s t r ê s z e r o s r e s t a u

-r e s t a n a d a , p e o q u ^ ^ g é

la'-' Casos

é . S M . : " " « o

^ murnííSçL^^do

,. ■ ^^^tam-se-lhes as unidades de ordem inferior

ate .finalizar a operação. Se faz caso omiso do

al-a-t^se dezenas que na pratica

acos-t u m a - s e r i s c a r .

Vm caso prático conduzir-nos-á a melhor compre

ensão da forma de operar.

E x e m p l o :

2 6 5 3 7 X 1 6

4 2 4 5 9 2

Não demos importância ao número 1 e comecemos

dizendo: 6X7 igual 42, escrevemos o 2 e vão 4, que

com 6X3 igual 18 do segundo algarismo foi'mam 22

mais 7 do primeiro algarismo somam 29; escrevemos

o 9 e vão 2 que com 6X5 igual a 30 fazem 32 mais 3

do segundo algarismo formam 35; escrevemos 5 e vão

3 que com 6X6 igual 36, fazem 39, mais 5 do terceiro

algarismo fazem 44; escrevemos 4 e restam 4, que com

6X2 igual 12 fazem 16, mais 6 do quarto algarismo são

22; escrevemos 2 e vão 2 que com 2 do último algaris

m o f a z e m 4 q u e e s c r e v e m o s , d e m a n e i r a q u e o r e s u l

tado ou produto é de 424592.

2 . " C a s o :

QÜANBO O ALGARISMO DAS UNIDADES DO

MULTIPLICADOR E' A UNIDADE.

Paz-se a operação inversa.

E x e m p l o p r á t i c o :

2 8 4 7

X 4 1

1 1 6 7 2 7

Escrevemos primeiro 7 porque 1X7 igual a 7 e a

seguir diremos: 4X7 igual a 28, mais 4, (algarismo da

s u a e s q u e r d a ) , f a z e m 3 2 ; e s c r e v e m o s 2 e v ã o 3 , m a i s 4 X 4 i g u a l 1 6 e s ã o 1 9 , m a i s 8 f o r m a m 2 7 ; e s c r e v e m o s

7 e vão 2 que com 4XS igual 32, são 34, mais 2 formam

36; escrevemos 6 e vão 3 que com 2X4 igual 8, for

mam 11, que escrevemos, por ser o último número, dan

do em conseqüência como resultado 116727.

MULTIPLICAÇÃO POR 15.

Escreve-se o multiplicando seguido de um zero (o

que eqüivale a multiplicar i)or 10) junta-se a metade

dêste produto (que representa multiplicar por 5) sen

d o ê s t e o r e s u l t a d o .

Caso prático

2 1 7 4 8 6 X 1 5

2174860 (produto por 10)

-\-1 0 8 7 4 3 0 ( m e t a d e d e s t e p r o d u t o ) =

3262290 que é o resultado procurado.

multiplicação POIi 75

Para multiplicar por 75. juntem-se dois zeros

multiplicando e subtrai-se do produto a quarta parte

natural que ao juntar dois zeros, multiplicamos por

100 que e igual a quatro vezes 25 (4X25) e como 75

e Igual a três vezes 25 (3X25) devemos subtrair uma

vez (1X25) que é o valor do multiplicando.

Seja multiplicar o número:

641286 X 75 =

641286X100 = 64128600 = X 100

— V i 1 6 0 3 2 1 5 0 = — 2 5

R e s u l t a d o 4 8 0 9 6 4 5 0 = 7 5 X 6 4 1 2 8 6

MULTIPLICADOR que seja o número 9 ou diver

s o s B o v e s .

Acrescentam-se ao multiplicando tantos zeros quan

tos noves tem o multiplicador e se subtrai o multipli

cando do número assim formado. Exemplo:

6 2 4 8 X 9 =

6 2 4 8 0 — 6 2 4 8 = 5 6 2 3 2 . O u t r o :

3 4 2 7 6 5 X 9 9 9 =

3 4 2 7 6 5 0 0 0 — 3 4 2 7 6 5 = 3 4 2 4 2 2 2 3 5

Poderíamos concretizar tal processo em regra di

z e n d o q u e : q u a n d o t e m q u e m u l t i p l i c a r - s e u m a q u a n

tidade (multiplicando) por outra que seja toda formada

pelo algarismo 9, (multiplicador) escreve-se a primei

ra seguida de tantos zeros, quantos noves tem a segun

d a e s e s u b t r a i d o r e s u l t a d o o m u l t i p l i c a n d o .

3 2

É natural que assim suceda, porque acrescentar os

z e r o s , r e p r e s e n t a m u l t i p l i c a r p e l o n ú m e r o q u e r e p r e

sentam os noves mais 1; depois de multiplicar por esta

soma o número e subtrair o multiplicando, subtrai-se

ao resultado o mais 1, que representa em definitivo o

valor numérico das unidades noves que servem de mul

tiplicador, que nos exemplos mencionados são: (9-|-l)

= 10 para o 1." caso e (999-1-1) = 1000 para o segundo,

e naturamente, ao acrescentar os zeros, temos multi

plicado por (9-|-l) = 10 e por (999-{-l) == 1000, o que

representaria, como observamos, o multiplicador au

mentado de uma unidade, pela facilidade que se supõe

multiplicar pela unidade seguida de zeros.

Assim sendo: se depois subtraímos do resultado

obtido, o multiplicando, quer dizer, que das vezes que

o tomamos como somando (naqueles casos 9H-1 = 10

e 999-1-1 = 1000) subtraímos uma vez o multiplicando,

ficou então demonstrado, ao fazer dita operação, que

se toma somente 10 — 1 = 9 vezes e 1000 — 1 = 999,

que são os multiplicadores aplicados nos dois casos e

que nos deram resultados de conformidade com o que

propúnhamos obter.

Acrescentando 5 zeros ao número 15328764, o mul

tiplicamos por 100000 ou por (99999+1): o que é o mes

mo que tomá-lo como somando 100000 vezes. Assim

sendo: se nós multiplicarmos o número 15328764 X

99999, eqüivale a tomá-lo esta última quantidade de

vezes como somando e como 99999 é igual a 100000 1,

podemos já escrever como método de resolução do pro

blema 1532876400000 (cem mil vezes como somando)

15328764 (uma vez como tal) = 1532861071236 que

9 o verdadeiro resultado.

DECOUIPOSIÇÃO EM EATOEES

Qnando o multiplicando ou o multiplicador são pos

siTeis de decoinpor.se em dois ou mais fatores, efetua"

se a operação mais abreviadamente, multiplicando o

numero com o qual temos que operar por um dos fa

tores, o resultado pelo outro fator, êste último nelo ou

tro e assim sucessivamente até terminar com êles; en

tão dizemos: multiplica-se a quantidade por um dos

fatores, seu resultado pelo seguinte s assim sucessiva

mente até fazê-lo com todos os fatores em que foi de

composto o multiplicador e uma vez terminado de mul

tiplicar pelo último fator, o valor obtido será o

resul-tado da operação.

C a s o p r á t i c o

Seja multiplicar: 258746X48

O número 48 pode decompor-se assim:

8 X 6

Opera-se da seguinte maneira:

258746 (multiplicando)

X 8 ( 1 . 0 f a t o r )

2 0 6 9 9 6 8

X 6 ( 2 . 0 f a t o r )

1 2 4 1 9 8 0 8

( 1 . 0 f a t o r ) 8 X 6 ( 2 . ° f a

t o r ) = 4 8 ; e n t ã o o n ú

m e r o d e v e z e s t o m a d o c o m o s o m a n d o f o i o m e s m o

6 o resultado tem que ser

o mesmo, assim como nos

casos em que houver mais

f a t o r e s .

3 4

MULTIPLICAÇÕES SIMPLIFICADAS.

Multiplicação de números compreendidos entre 10 e 20.

Com exemplos práticos compreendemos melhor co

m o s e f a z e m o s c á l c u l o s .

Seja multiplicar 15 X 13. Dispõe-se assim:

1 5 ( R i s q u e m o s o 1 d o m u l

X 1 3 t i p l i c a d o r . P o d e r í a m o s f a

z ê l o c o m o 1 d o m u l t i

-1 9 5 p l i c a n d o e s e r i a o m e s

m o ) .

Riscamos o número 1 do multiplicador e começa

mos a operação dizendo; 3X5 = 15, escrevemos 5 e

l e v a m o s 1 .

Agora dizemos: 1 que levamos mais 3 são 4 mais

15 igual a 19, que escrevemos antes do 5 e já temos o

resultado que é 195.

Multiplicaremos outro número, por exemplo: 19

XIS. Dispõe-se assim a operação:

1 9

X 18

3 4 2

(Risquemos o 1 do

m u l t i p l i c a d o r )

Paremos a operação dizendo: 8X9 — 72, escrevemos

o 2 e vão 7; faz-se a soma dos 7 que vão, mais 8 e são

15: mais 9 igual 24; escrevemos o 4 e levamos 2 e como

final, 2 que levamos mais 1 igual a 3 que escrevemos

tendo como resultado 342.

Tamhém para maior rapidez podemos dizer: SX9

«= 72, escrevemos o 2 e vão 7, mais 18 igual 25, mais

2 fnllil iTeTr" -ún.ero

-

-Mnltipllcação de números entre 10 e loo terminados

e m 1 .

Seja multiplicar 91XS1.

Dispõe-se a operação como segue;

9 1

X 8 1

7 3 7 1

Riscamos o número 1 do multiplicando ou do

mui-tiplicador, e escrevemos o 1 como unidade.

Dizemos agora, 8 mais 9 igual 17, escrevemos o 7

e vai 1. Prosseguimos dizendo: 8X9 =.72, mais 1 que

e s c r e v e m o s , t e n d o o r e s u l t a d o d e

7371, como se pode comprovar pelo método usual.

Multiplicação de números até 100 e que terminam em 5.

Multipliquemos 65X85.

D i s p õ e - s e a s s i m :

6 5

X 85

5 5 2 5 3 6

\

Multiplicamos primeiro 5X5, cujo resultado

escre-i^emos. Diremos então: 6 + 8-14 cuja metade é 7

agora 6X8 = 48+ 7 ditnq „ "^«caae e 7,

_{aicos = 55 que escrevemos à}

fiente de 25 para termos então o total: 5525

Devemos levar em conta também o seguinte: quan

do a soma das dezenas dos dois números não é

divi-sível por 2, (exata), escrevemos a metade igual e como

desprezamos 1, em lugar de ter por terminação 25, te

remos 75. (Neste caso o número 1 representa 50

uni-dades).

Vejamos um caso prático, para não deixar dúvidas

Seja multiplicar 75X85.

7 5

X 8 5

6 3 7 5

Dizemos 7 mais 8 igual a 15, cuja metade é 7 e vai

1 que desprezamos de momento. Agora 7x8 = 56 + 7

igual a 63 que escrevemos e agora como a metade de 7

mais 8 não era exata, escrevemos 75 em lugar de 25 que

colocamos na direita como no caso anterior.

C A S O E S P E C I A L .

Quando os números da multiplicação de dois alga

rismos terminados em 5 forem iguais, não será preci

so fazer a soma das dezenas e dividi-las por 2, senão

que acrescentaremos em uma unidade qualquer dos

fa-3 7 3 — C. M.

G8 88

*8

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3 "

B {"

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e p)

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: ^

FUNDAMENTO DA 3IÜLTIPLICAÇA0 ABREVIADA

A abreviação da multiplicação se baseia na multi

plicação de uma soma por outra.

Efetivamente, seja multiplicar (a+b) por (c+d),

ao desenvolver teremos ac-j-cb+ad+db

a + b

c - | - d

a c + c b + a d - f d b

que nos dá a parte do desenvolvimento da operação e

a concatenação das ordens. Efetivamente façamos apli

c a ç ã o

p r á t i c a

d e

m u l t i p l i c a r :

^

Observemos que 62 é igual a 60 + 2 que representa

remos 60 por a e 2 por b e que 84 é igual a 80 4 que i

representaremos 80 por c e 4 por d; então teremos:

a

b

í ;

62 -= 60+2 = (a+b)

X 84 = 80+4= (c+d)

c d

5208 = ac + cb + ad + db

N o c á l c u l o q u e s e g u e : a 6 0 C 8 0

abreviado operamos seguindo o grafico

a 6 0

c 8 0

b 2

d 4

Dizemos 4X2 = 8 ou seja db; 4x60 + S0x2 = 400

ou seja ad+cb e 80X60 = 4800 ou seja ac de modo que

somando temos 5208 = ac+cb+ad+db, que é o que uos

propúnhamos, demonstrar, pois estão contidas todas as

combinações obtidas na multiplicação de uma soma com

outra, feita anteriormente.

RECOMENDAÇÃO.

A dificuldade que uma pessoa acha querendo se

guir o método de multiplicação abreviada consiste em

continuar o fio que concatena toda a operação.

Naturalmente que o costume de somar os resulta

dos que em cada operação se verifica, põe obstáculos

ao não iniciado, fazendo-o perder muitas vezes a rela

ção das operações.

Porisso em cada operação é necessário, para acostu

mar-se, escrever os que se levam e ainda recomendamo.s

aos que se iniciam, que façam separadamonte as mul

tiplicações das diferentes ordens, juntando os que vão

e escrevendo o número correspondente no resultado e

os que se levam, no gráfico do movimento a que cor

responde.

Dêste modo se adquire hábito e prática da opera

ção que poderá ser feita por qualquer pessoa que quei

ra decorar êste método tão especial c de rapidez incrí

vel. Executa-se então com facilidade, com singeleza

e com menos esforço, que com o método conuimente

empregado.

Recomendamos também muita prática, para

poder-se fazer as somas de produtos, aumentados das

unída-l i

des que se levam; tornamos a dizer: o hábito e n

sistência facilitam extraordinàriamente, e quem se elZ'

cita, surpreende-se da facilidade com que o verifica

Se alguma vez se perder a orientação nos movi

mentos, e facil poder prosseguir sem necessidade de

repetir a operação; para isso basta contar as ordens

que se fizeram, o que se consegue contando os

movi-mentos executados, o que nos conduz a fixar rapida

mente a ordem onde devemos continuar a operação.

Os exemplos dados poderão servir de guia e comentário

ao que acabamos de expor.

MULTIPLICAR ENTRE SI DOIS NÚMEROS DE

T R Ê S A L G A R I S M O S .

Seja multiplicar 423X658.

T R Ê S C I F R A S

e aplicando a multiplicação abreviada veriimamoa a se

Dispõe-se a operação como segue:

4 2 3

X 6 5 8

2 7 8 3 3 4

cuja parte gráfica representamos a seguir:

4 2 3 6 5 8 4 2 3 + ce + Cf

^ifíca iiltíiianieníe

^ g r e g a r e m o s a o m o v i m e n t o .

de milhar tine agregaremos ao 4." movimento,

p de milhar qne agregaremos ao H." movimento,

ivei" terminado a operação,

.se pode controlar por caso.s priUico.s que seguem.

Tum-a, concatenando oral ou meiitulmente todas as tn-flens que

porque as diferentes ordens na colucar.-ão dos

f u n d a m e n t o d a M U L T I P L I C A c ã / - » A r , „ « T -

_{"^"-ICAÇaO abreviada para TRês}

C I F R A S

Seja: 423 X 6õS = (a + b + c) (d + e + f). Desenvolve-se a oi:

guiate disposição:

a -j- b + c

) e r a ç a o p o r l e t r a s e t e r n o » ; - i

_{mos. ad + as + at + bd+be + M + cd + ce + cl, e amioauao ^ maltiplicacão abreviada veriticamoB a}

4 2 3 = 400 +20 + 3 a + b + 400 4-20 + 3 = uma soma l . J Y X X X 1 ) 5 8 — 2 7 8 8 3 4 600 + 50 + S = outra soma = A f s 600 + yO + S ( l e i u m a s o m a X o u t r a s o m a d + e + f C U J O G s y u e m a d e a p l i c a ç ã o é 4 0 0 r 6 0 0 e o p e r a n d o d i s s e m o s : • i X h = S X 2 0 + 5 0 X 3 = 8 X 400 + GOO X 3 + 50 X 20 = 5 0 X 4 0 0 + 6 0 0 X 2 0 = : I 2 0 0 0 = a e + b d 6 0 0 X 4 0 0 = 2 4 0 0 0 0 = a d 2 4 = c : f 3 1 0 = b C + c e C O O O = a f + c d + b e c s o m a n d o L e m o s : ^78331 = ad + ae + af + bd + be + b£+ cd V C l a g r e g a r e m o s a o 2 . " m o v i m e i i l o .

levamos 3 (luc são conlenas (jue agregurtmios un

e s c r e v e m o s • » e

.) line niiii i;»,"in.eiius (jue agregm ininí.-> "• movinienlo.

levamos G que são unidades de milluii' que agregaremos ao 4. movimeiilo.

_{" dezenas de millmr que agregaremos ao 5." movimento.}

o que demonstra se terem feito todas as combinações nas ordens da multiplicação c cuja aplicação ao mõtodo rajiido oral ou mental o ratilica ])lMiiiinoiile

Vejamos a seguir:

1.^ Movimento funidades) = 3 x 8 = 24, escrevemo.s o 1 e levamos 2 quo são dezenas (jue

S.M*) " (dezenas) = levamos 2 (do 1." movimento) + 8 X 24-.5x3 = 33, escrevemo.s o 3 e

" feenteuas) = levamos 3 (do 2." movimento) + 8 X 4 + 6 X 3 + 5 X 2 = 63.

5 ' fe último mo

de maneira que

bem üb.servemofi que por êste método se opera com todas as fases de combinação

entram na operação.

Para certificar-se disso é mister prestar atenção nos valores (ordens) que vão tendo os númeios no seu (lese ..

(') Ao lazer a multiplicação dos números ims esquemas, deixamos de considerar os zeros das quantidades maicadas nus ftgurus. porque

dos parciais, ao eserevê-los totalizados, (com os que vão), correspondem aos seus verdadeiios va ores.

■ centenas) = levamos 3 (do 2.° movimento) + 8 X 4 + 6 X 3 + 5 X 2 = 63. escrevemo.s e /-.vcuu.., ..uc «maaae.s ne „

luuWadeB de milhdl-)= levamos 6 (do 3." movimento) + 6 x ■! + 6 X 2 = 3S. escrevemos o S e levamos 3 cue são detenas de milhar cue

movimeuto (dezenas de milhar) =. levamos 3 (do d.- movimento, + G X 1 = 27, cue escrevemos i„teg,-almeute 27 por have.' .uátieos

ue o resultado nesta operação rápida, está de acôrclo tom o demonstrado aiiteriornieiite e """ oral ou mentalmente

OOS ene por êste método se onera eom todos as fases de combinação dimanantes da mnlt.pl.caçac de nma soma por out,a, c-„.cate"a...lo

q u e s e g u e m . T a m -t o d a s a s o r d e n s q u e

resulta-Começando a calcular, diremos pelo primeiro sinal

gráfico; 8X3 = 24, escrevemos como resultado 4 e vão

2: agora, 2 que vão, mais 8X2 =« 16, formam 18, mais

e temos em conjunto o desenvolvimento do

segundo sinal gráfico ou sejam 33; escrevemos o 3

como resultado e vão 3; continuamos dizendo: 3 que

vão, mais 8X4 = 32, formam 35, mais 6X3 = 1S são

53, mais 2X5 = 10 (que completa o terceiro sinal grá

fico) formam um total de 63; escrevemos 3 e vão 6;

agora 6 que vão, mais 4X5 = 20, são 26, mais 6X2 ■=

12, são 38, escrevemos 8 e vão 3 (4-° sinal gráfico) e

dizemos: 3 que vão, mais 6X4 igual 24, são 27, que es

crevemos integralmente como resultado do produto por

ser o fim do quinto sinal gráfico e da operação, sendo

tal resultado 278334.

/

multiplicação PE BOIS NÚMEROS BE

a l g a r i s m o s .

_ Vamos multiplicar 1456x2378. Dispõe-,

r a ç a o c o m o s e g u e :

si)õe-se a

opG-1 4 5 6

X 2 3 7 8

3 4 6 2 3 6 8

Os gráficos da operação são da forma seguinte:

4 5 4 5 4 5 6 5

2 X 5

=

3 6 ; e s c r e v e m o s 3 7 8 7 8

T e n d o n ó s j á d e s e n v o l v i d o a n t e r i o r m e n t e d o i s

e x e m p l o s , e s t e s e r á d e f á c i l c o m p r e e n s ã o , e l i m i n a n d o

m u i t a s e x p l i c a ç õ e s , i m p r e s c i n d í v e i s n e s t e s c a s o s .

Começaremos dizendo: 8X6 = 48; escrevemos S e

vão 4, agora 4 mais 8X5 = 40 e são 44, mais 7X6 =

42, são 86; escrevemos 6 e vão 8; agora, 8 mais 8X4 =

32 são 40, mais 3X6 = 18 são 58. mais 7X5 = 35 for

mando em conjunto 93; escrevemos 3 e vão 9; 9 que

vão, mais 8X1 = 8 são 17, mais 2X6 = 12 são 29, mais

7X4 = 28 são 57, mais 3X5 = 15 forma 72; escreve

mos 2 e vão 7; 7 que vão, mais 7X1 = 7, são 14, mais

10, são 24, mais 3 X 4 = 12 que foiunani

6 e vão 3; 3 que vão, mais 3X1

= 3 são 6, mais 2X4=8 são 14; escrevemos 4 e vai

1 e agora 1. mais 2X1 = 2 são 3. que escrevemos como

final por não levar nada e haver terminado os sinais

de maneira que o produto definitivo é 3462368.

8

t f

\

MULTIPLICAÇÃO ABREVIADA DE NÚMEROS DE

5 A L G A R I S M O S .

Seja multiplicar 52631X91487.

Dispõe-se assim:

5 2 6 3 1 X 91487 4 8 1 5 0 5 2 2 9 7

Vejamos como se desenvolve a operação com os grá

fi c o s d a m e s m o ;

1 . ° M o v i m e n t o

dizemos 7X1 = 7 que escrevemos e não vai nada.

2 . ° M o v i m e n t o

, 3

- f O p o r u â o l e v a r m o s

n a d a d o 1 . ° m o v i m e n t o .

8 7

Dizemos agora, 7X3 = 21, mais 8X1 igual 29, es

crevemos 9 como segundo algarismo do resultado e vão

2 que transportamos ao valor do:

S.° MoTÍmento

6 3 1

+ 2 que vão do 2.® tnvto.

Dizemos assim: 7X6 = 42, mais 2 que vão do 2.°

mvto. igual 44, + 4X1 = 4 e formam 48, + 8X3 = 24,

que fazem 72; escrevemos 2 e vão 7 que levamos como

c o m p o n e n t e d o ;

4 . ° M o v i m e n t o

4 - 7 q u e v ã o d o 3 . °

m v t o .

1 4 8 7

e continuamos dizendo: 7X2 = 14 mais 7 que vão do

3.® mvto. 21, mais IXI = 22 mais 8X6 -= 48 e formam

70, mais 4X3 = igual 12 e são 82; escrevemos 2 e le

v a m o s 8 a o

5 . ° M o v i m e n t o

s

2

6

3

'

4- 8 que vão do

4 . ® m v t o .

0

1 4

8 " ' '

7 - 35 mais 8 que vão do 4.° mvto. 43,

e a«.no.. 7X5 "f8X2

-4 X 6 - 2 -4 e . « . v e « o .

C.® Movimento 5 2 6 3 4 - 9 c l u e v ã o d o 5 . ® m v t o . 9 1 4 6

Agora dizemos 8X5 = 40, mais 9 que vão do 5.®

mvto. igual 49, mais 9X3 = 27 e formam 76, mais 4X2

= 8 e são 84, mais 1x6 = 6 e são 90; escrevemos O e

vão 9 que levamos ao:

7 . ® M o v i m e n t o

5 2 6

4- 9 quo levamos do 6.®

m v t o .

9 1 4

6 continuamos dizendo: 4X5 igual 20, mais 9 que vão

do 6.® mvto. 29 mais 9X6 igual a 54 e formam 83, mais

1X2 são 2 total 85, escrevemos 5 e vão 8 que levamos ao

8 . ® M o v i m e n t o

5 2

4- 8 que levamos do 7.®

m v t o .

Seguimos assim: 1X5 igual a 5, mais 8 que leva

mos do 7.® mvto. são 13, mais 9X2 igual a 18 e formam

31, escrevemos 1 e vão 3 que levamos ao último ou seja:

9 . ° M o T Í m e n t o

5

+ 3 que levamos do 8.®

m v t o .

Dizemos: 9X5 igual a 45, mais 3 que vão do 8.*^

mvto. 48, que escrevemos integralmente, por ter fina

l i z a d o t o d a a c o n c a t e n a ç ã o d o s e l e m e n t o s p a r a o p e r a r,

s e n d o o r e s u l t a d o o q u e s e g u e : 4 8 1 5 0 5 2 2 9 7 .

OPEEAÇOES QUAííDO A QUANTIDADE DOS ALGARISMOS DO

MULTIPLICANDO E DO MULTIPLICADOR, E' DESIGUAL.

C a s o p r á t i c o . S e j a m u l t i p l i c a r 1 2 3 x 4 5 ; t e m o s 1 2 3 X 4 5 5 5 3 5 L ® M o v i m e n t o 1 2 3 X 4 5 e d i z e m o s 6 X 3 m o v i m e n t o .

= 1 5 e s c r e v e m o s

6 e levamos 1, que passa ao

2 . ® M o v i m e n t o 1 2 3 X 4 5 3 5 e d i z e m o s 5 X 2 = 10 mais 1 que l e v a m o s 1 1 m a i s 4 X 3 = 1 2 q u e somam 23, es c r e v e m o s 3 e v ã o 2 ( q u e p a s s a m a o 3 . ® m o v i m e n t o ) . 3 . ® M o Ti n i e n t o ^5 1 2 3 X 45 3 5 d i z e m o s 5 X 1 = 5 mais 2 que le v a m o s 7 m a i s 4X2 = 8 que so mam 15, escre vemos 5 6 vai 1. ( q u e p a s s a a o 4 . ® m o v i m e n t o ) . 4 . ® e ú l t i m o m o v i m e n t o 1 2 3 X 4 5 5 3 5 d i z e m o s 4 X 1 = 4 mais 1 que le

vamos são 5 que e s c r e v e m o s c o

m o ú l t i m o n ú m e r o d o r e s u l

tado que é 5535

VÁRIOS AXiGARISMOS COMO MULTIPLICANDO E TRÊS

COMO MULTIPLICADOR.

C a s o p r á t i c o . 4 1 2 5 6 X 3 7 8 1 5 5 9 4 7 6 8 1 . " M o T Í D i e n t o . 8 d i z e m o s 6 X 8 = 4S, escrevemos 8 e l e v a m o s 4 q u e t r a n s p o r t a m o s a o 2 . ® m o v i m e n t o . f>A.

Resultado parcial ao terminar o 1." movimento 8.

2 . ° M o v i m e n t o . ( f .

'Cf.

e c o n t i n u a m o s d i

z e n d o ; 8 X 5 = 4 0 mais 4 que vão do 1.® mvto. = 44 mais

7 X 6 = 4 2 q u e s o m a m 8 6 » e s c r e v e

mos 6 e vão 8 que levamos ao 3.°

mo-v i r a e n t o .

Parciais do resultado ao terminar o 2." movimento 68.

5 0

i

:)

3.® Morimento a g o r a 8 X 2 = 1 6 m a i s 8 q u e v ã o d o 2 . " m v t o . = 2 4 m a i s 3 X 6 = 4 2 m a i s 7X5 igual 77, es c r e v e m o s 7 e v ã o 7 q u e l e v a m o s a o 4 . ® m o v i m e n t o . "p.?

Parciais do resultado ao terminar o 3.® movimento 768.

4 . ® S l o v i m c n t o e 'r«?.v c o n t i n u a m o s d i z e n d o : 8 X 1 = 8 m a i s 7 q u e v ã o d o 3 . ® m o v i m e n t o = 1 5 m a i s 3 X 5 = 3 0 mais 7X2 Igual '1-1, e s c r e v e m o s 4 o v ã o 4 q u e l e v a m o s a o 5 . ® m o v i m e n t o . P a r c i a i s d o r e s u l t a d o a o t e r m i n a r o 4 . ® m o v i m e n t o 4 7 6 8 . M o v i m e n t o . a g o r a : S X 4 = 3 2 m a i s 4 q u e v ã o d o 4 . ® m o v i m e n t o = 3 6 m a i s 3 X 2 = 4 2 mais 7X1 = 49, es c r e v e m o s O © v ã o 4 q u e t r a n s p o r t a m o s a o 6 . ® m o v i m e n t o . '4.Í

Parciais do resultado ao terminar o 5.® movimento 94708.

6.® Movimento.

fCv^

ò®-x\^'

■«'/ e c o n t i n u a m o s d i z e n d o : 7 X 4 = 2 8 mais 4 que vão do 5.® movimento 32 m a i s 3 X 1 i g u a l 3 e são 35, escreve mos 5 e vão 3 que

levamos ao 7.® mo

v i m e n t o .

Parciais do resultado ao terminar o 6.® movimento 5947G8.

7.® e último movimento. T o t a l 1 5 5 9 4 7 6 8 . O U r e s u l t a d o a o t e r m i n a r a g o r a : 3 X 4 = • 1 2 m a i s 3 q u e v ã o d o 6 . ® m o v i m e n t o = 1 5 q u e e s c r e v e m o s í n t e g r o p o r t e r t e r m i n a d o t o d a a c o n c a t e n a ç ã o d e o r d e n s . o 7 . ® e ú l t i m o m o v i m e n t o V

DIVEBSOS ALGARISMOS POR QUATRO

S e j a : 9 2 3 0 4 5 X 1678 154886510 1 . ® M o v i m e n t o , 4 . 0 ^ D i z e m o s 5 X 8 = 1 0 e s c r e v e m o s o O e v ã o 4 q u e l e v a m o s a o s e g u n d o m o v i m e n t o . 2 . ® M o v i m e n t o . a g o r a S X 4 m a i s 4 ( q u e v â o d o 1 . ® m o v i m e n t o ) s ã o 3 6 , m a i s 7 X 5 = 7 1 , )> escrevemos o 1 e vão 7 q u e l e v a m o s a o 3 . ® m o v i m e n t o . 0 - ^

Parece multo complicada a manipulação dos números na for

ma que acabamos -de expor. Mas não é assim, tendo um pouco

de bábito e prática, resulta mais cômodo e rápido, que pelo mé

todo comum, como poderão comprovar nossos leitores si se de

cidirem a operar por este método, tão prático, singelo e abreviado.

3 . ® M o v i m e n t o .

Agora 8X0 mais 7 (que

v ã o d o 2 . ® m o v i m e n t o ) s ã o 7 , m a i s 6 X 5 = 3 7 , m a i s 7 X 4 = 6 5 . e s c r e v e m o s 5 e v ã o 6 q u o l e v a m o s a o 4 . ® m o v i m e n t o . 5 2 4 - C. M. 5 3