Faculdades Integradas Campograndenses
Professor: Rodrigo Neves Figueiredo dos Santos
Lista 4 de Exercícios de Lógica Matemática
1. Numa gaveta há 6 meias pretas e 6 meias brancas. Qual é o número mínimo de meias a se retirar (no escuro) para garantir que:
a) As meias retiradas contenham um par da mesma cor? b) As meias retiradas contenham um para de cor branca?
2. Considere a afirmação: “Em um grupo de n pessoas pode-se garantir que três delas aniversariam no mesmo mês”. O menor valor de n que torna verdadeira essa afirmação é:
a) 3 b) 24 c) 25 d) 36
3. (FCC - PETROBRÁS/2001) Numa sala estão 100 pessoas, todas elas com menos de 80 anos de idade. É FALSO afirma que pelo menos duas dessas pessoas
a) nasceram num mesmo ano. b) nasceram mesmo mês.
c) nasceram num mesmo dia da semana. d) nasceram numa mesma hora do dia. e) têm 50 anos de idade.
4. Quantos estudantes devem ter numa turma para garantir que pelo menos dois estudantes possuam a mesma nota no exame final, se a nota do exame varia entre 0 e 100 pontos?
5. Se tivermos um grupo de 13 pessoas, então com certeza duas delas fazem aniversário no mesmo mês e se grupo aumentar para 32 pessoas, podemos afirmar também que existem no mínimo duas pessoas que fazem aniversário no mesmo dia? 6. Um dos laboratórios de informática da empresa “Discrete Math”, possui 60 máquinas gerenciadas pelo Windows XP, 35 pelo Linux Ubuntu, 45 pelo Macintosh e 25 pelo sistema operacional do Google. Sabendo que Rodrigo foi contratado para ser o responsável do laboratório, em seu primeiro dia de trabalho, foi solicitado a ele a inicialização do menor número de máquinas possíveis em que
a) Seja garantido que pelo menos 10 máquinas inicializadas fossem gerenciadas pelo mesmo sistema operacional.
b) Seja garantido que pelo menos 23 máquinas inicializadas fossem gerenciadas pelo mesmo sistema operacional.
c) Seja garantido que pelo menos 12 máquinas ligadas fossem gerenciadas pelo Windows XP.
a) Se afirme com certeza, que ele tomou pelo menos 3 garrafas da mesma marca?
b) Se afirme com certeza, que ele tomou pelo menos 10 garrafas da mesma marca?
c) Se afirme com certeza, que ele tomou pelo menos 5 garrafas de Skol? d) Quantas e quais são as gavetas identificadas no problema?
8. Em um bosque há 180 árvores. Sabe-se que cada árvore tem pelo menos 30 folhas e que nenhuma árvore tem mais de 200 folhas. Pode-se concluir que:
a) existe pelo menos uma árvore com 200 folhas b) o número médio de folhas por árvore é 115 c) existe alguma árvore com 115 folhas
d) o número total de folhas é certamente maior que 6000
e) existem pelo menos duas árvores com o mesmo número de folhas
9. Em um recipiente há 40 picolés: 4 de maracujá, 6 de manga, 10 de creme e 20 de chocolate. Retirando-os aleatoriamente do recipiente, qual é o número mínimo de picolés que devem ser retirados para que se possa estar certo de que foram retirados pelo menos três picolés: de mesmo sabor?
a) 4 b) 9 c) 12 d) 23 e) 39
E de cada sabor? a) 4
b) 9 c) 12 d) 23 e) 39
10. Ana guarda suas blusas em uma única gaveta em seu quarto. Nela encontram-se sete blusas azuis, nove amarelas, cinco pretas, nove verdes e dez vermelhas. Uma noite, no escuro, Ana abre a gaveta e pega algumas blusas. O número mínimo de blusas que Ana deve pegar para ter certeza de ter pegado ao menos 4 blusas da mesma cor é:
a) 6 b) 4 c) 2 d) 8 e) 16
11. Um estudante guarda 30 meias que formam 5 pares marrons, 5 pares brancos e 5 pares pretos em uma gaveta. As 30 meias ficam totalmente misturadas. Quando quer um par de meias da mesma cor ele as retira da gaveta uma a uma tateando no escuro e depois verifi-cando se formam um par certo. Nessas condições:
a) Para ter um par de pretas são necessárias 22 tentativas. b) Para obter um par da mesma cor são suficientes 5 tentativas.
c) Para obter um par de cor marrom são necessárias mais de 2 tentativas. d) A certeza de se obter um par de brancas ou pretas só se tem com 12 tentativas.
12. Entre 100 pessoas, quantas pelo menos nasceram no mesmo mês?
13. Quantas pessoas devemos tomar, em um grupo, no mínimo, de modo a que possamos garantir que 15 delas nasceram no mesmo dia da semana?
14. Qual é o menor número de estudantes que se deve ter em um curso para garantir que pelo menos 6 irão receber a mesma nota, sabendo que as possíveis notas são A, B, C, D e E?
15. Quantas pessoas têm que estar presentes em uma sala para garantir que duas delas têm o último nome começando com a mesma letra?
16. Uma floresta tem mais de um milhão de árvores. Nenhuma árvore tem mais de 300.000 folhas em sua copa. Pode-se concluir que:
a) Certamente existem árvores com mesmo total de folhas nesta floresta. b) Somente por acaso haverá arvores com copas de igual total de folhas nesta floresta.
c) Certamente existem árvores com menos de 300000 folhas em sua copa. d) O número médio de folhas nas copas é de 150000.
e) Nada do que foi dito pode ser concluído com os dados apresentados.
17. Sobre 20 caixas de laranjas sabemos que cada caixa contém pelo menos 52 e, no máximo, 68 laranjas. Pode-se afirmar que:
a) Existe uma caixa com 60 laranjas.
b) Existem 3 caixas com o mesmo número de laranjas. c) Existem 2 caixas com o mesmo número de laranjas. d) 2 caixas têm sempre números diferentes de laranjas. e) Existe uma caixa com mais de 52 laranjas
18. Em uma festa comparecem 790 pessoas. Podemos ter certeza que entre os presentes:
a) Existem pessoas que aniversariam em 29 de fevereiro, em anos bissextos. b) Existem dois que não aniversariam no mesmo dia.
c) Existem pelo menos dois que aniversariam no mesmo dia. d) Existem mais de dois que aniversariam no mesmo dia. e) Nenhum aniversaria no mesmo dia que outro
20. Em uma sapataria existem 200 botas de tamanho 41, 200 botas de tamanho 42, e 200 botas de tamanho 43. Dessas 600 botas, 300 são para o pé esquerdo e 300 para o direito. Prove que existem pelo menos 100 pares de botas usáveis.
21. Em um grupo de 20 pessoas, a probabilidade de que nele haja pelo menos duas pessoas nascidas num mesmo mês é igual a:
A) 12% B) 60% C) 80% D) 100% E) 300%
22. Prove que dados sete inteiros positivos, existem dois cuja soma ou a diferença um múltiplo de 10.
24. Argumente que em toda reunião com 10 pessoas existem 3 que se conhecem mutuamente ou 4 que se desconhecem mutuamente.
25. Em um grupo de 29 hobbits existem alguns deles que falam a verdade e os outros que sempre mentem. Em um certo dia de primavera, todos eles se sentaram ao redor de uma mesa, e cada um deles falou que seus dois vizinhos eram mentirosos.
a) Prove que pelo menos 10 hobbtis falavam a verdade. b) E possível que exatamente 10 deles falem a verdade?
26. (OBM – 1997) Um professor de Matemática propôs o seguinte problema para seus alunos: "Marquem 6 pontos sobre uma circunferência. Eu quero que vocês pintem o maior número de cordas determinadas por estes pontos, de modo que não existam quatro dos pontos um quadrilátero com todos os lados coloridos."
a) Edmilson encontrou uma solução correta colorindo exatamente 12 cordas. Exiba uma maneira de como fazer isto;
b) Gustavo Afirmou ter encontrado uma solução na qual pintara 13 cordas. Mostre que a solução de Gustavo não está correta.
27. (OBM – 1999) Um reino é formado por dez cidades. Um cidadão muito chato foi exilado da cidade A para a cidade B, que é a cidade do reino mais longe de A. Após um tempo, ele foi expulso da cidade B para a cidade C do reino mais longe de B. Sabe-se que a cidade C não é a mesma cidade A. Se ele continuar sendo exilado dessa maneira, é possível que ele retorne à cidade A?
