Nodocumentocurricularpublicado em2001—CurrículoNacionaldo EnsinoBásico:Competênciasessen-ciais—noblocoNúmeroseCálculo sãoindicadasváriascompetências matemáticasqueosalunosdevem desenvolveraolongodostrêsciclos doEnsinoBásico.Nesteartigovamos
centrar- -nosna“aptidãoparaefectuarcálcu-losmentalmente,comosalgoritmos depapelelápisouusandoacalcula-dora,bemcomoparadecidirqualdos métodoséapropriadoàsituação” (DEB,p.60)procurandoconstruir umsigniicadopartilhadodomodode entenderestacompetênciaeanalisar asimplicaçõesqueessesigniicado podeteraoníveldaplaniicaçãodo trabalhodoprofessordo1ºCiclo. Começamosporanalisardoisexem- plosquecontextualizamumadiscus- sãosobreasdiiculdadesepotenciali-dadesdosalgoritmos.
Analisandodoisexemplos
Exemplo1.Umaprofessorado1º Ciclopediuaosseus13alunosde 4ºanoqueresolvessemaseguinte situação:
50007 – 19 =_______. Intencionalmente,estapropostanãofoi apresentadaapartirdequalquercon-texto.Todososalunosentenderam,e bem,quedeviamprocurardeterminaro valorexactodadiferençaentre50007e
19 .Também,todoseles,tentaramresol-verasituaçãopropostarecorrendoao algoritmo.Segundoasuaprofessora, todosdeveriamusaroseguinteprocedi-mento:“9para17,8evai1;1mais1,2;
2para10,8evai1…”
Aanálisedonúmeroderespostas
certas(7)podelevar-nosaconside-rarqueestaquestãoparecelevantar algumadiiculdadeaestesalunose quequasemetadedosalunostem, pelomenosemalgumassituações, diiculdadeemseguiroprocedimento quelhesfoiensinadopararesolveras contasdesubtrair.
Asrespostasdadaspelos6alunos queerraramacontaforam:
50008;5000098;50088;
56988;50018;50018. Respostascomoestassugerem queascriançasnãodesenvolveram umatendênciadeanteciparumares-postaedecontrolaraexactidãodo resultadoapartirdessaantecipação. Defacto,pensamosqueelestêma noçãodequedepoisdetirarem19de
50008devemobterumnúmeroinferior a50008.Noentanto,umavezque usamumprocedimentoqueapenas fazapeloaumpercursomecanizado nãopensamnosnúmerosenaope-raçãoedãoumarespostacegaeque correspondeaoresultadodaconta queizeram.
Exemplo2.Umadasquestõesdeum testeaplicadoacercade1000alunos de4ºanofoiadaFigura1.
Umadasindicaçõesexplícitasque lheseradadaantesdecomeçarema resolverotesteeraadeprocurarem mostrarcomoresolviamcadauma dasquestõeshavendo,noenunciado, espaçoparaofazerem(aoladode cadaperguntahaviaumespaçoem branco).
Umaanáliseestatísticadasrespostas dadasaestaquestão(ondeseconta-bilizouapenasonúmeroderespostas certas,erradasenãoresolvidas) permitiuveriicarqueestaperguntase revestiadealgumadiiculdade.
Algoritmosesentidodonúmero
JoanaBrocardo,LurdesSerrazinaeJean-MarieKraemer
OAndrétem50euros.Quantas galinhaspodecomprarcomeste dinheiro?
Figura1.
Navidadetodosos
dias,orecursoaosalgo-ritmostradicionaisécada
vezmenosimportante
Deentreosalunosqueresolveram oteste,escolhemos,aoacaso,duas turmasde4ºanoeanalisámosas respostasaestaquestão.Noquadro seguinte,resumimosasrespostas eosprocessosusadosporestes alunos(Tabela1).
Analisandoestesresultadospodemos salientarváriosaspectos.Emprimeiro lugar,parajustiicarasrespostasque apresentam,osalunosouusamum algoritmoounãousamnada.Natu-ralmentequeistonãosigniicaque osalunosquenãoapresentamopro-cessoqueseguirampararesolvero problemanãotenhamusadonenhum processo.Mas,pelomenosaparente-mente,nãosentemanecessidadede exprimirporescritooraciocínioque usam.
Emsegundolugar,apesardaconsi-deraçãoanterior,nãopodemosdeixar
Sentidos Procedimentosusados Nºalunos Respostasdadas
Estruturar50empartesde
12 50 : 12 51 4105
2 7
“Fazer“50 Adiçãosucessiva
12 + 12 = 24 24 + 12 = 36 36 + 12 = 48
4 4
Sentidoincorrecto Adição
12 + 15
1 27
Subtracção
50 – 12
4 38
Multiplicação 12×5
1 600
Divisão
120 : 30
1 23
Nãoapresentamomodo
comochegaramàresposta Nãoapresentamomodocomochegaramàresposta 32 448(preço4galinhas)
1 50(grandezainicial)
2 12(valorde1grupo)
2 2
2 3
1 600
Nãoapresentamnenhumaresolução 4
Totalalunos 36 33%derespostascorrectas
desalientarque19dos36alunos recorramaumalgoritmopararesol-veresteproblema,ouseja,revelam nãosercapazesdedecidirseuma determinadasituaçãorequerousode umcálculoexactooudeumcálculo aproximado(aspectoquenosparece muitoimportanteequeédestacado emváriosdocumentos(DEB,2001; Abrantes,SerrazinaeOliveira,1999). Pensamosque,no4ºano,osalunos jádeveriamsercapazesdeverque
5galinhasnãopodiaser,umavez que5×1 = 5.Depoispodiam experimentarcom4.Parasaberque 4×12 = 4,esperamosqueoleitor concordeconnoscoereconheçaque ninguémdeveprecisardoalgoritmo damultiplicação.
Finalmente,apesardarelativapopula-ridadedousodoalgoritmo(19alunos em36resolvemoproblemausando
Tabela1.
umalgoritmo)apenas9conseguem obter,atravésdele,umarespostacor-rectaparaoproblema.Algunsdestes alunosparecemtersériasdiiculdades emterumanoçãominimamenterazo- áveldaordemdegrandezadoresul-tadoquedevemobteraodividir50por
12 —adoisalunosdá7,aoutrodá
105!Osoutros,parecemevidenciar umaescolhanãopensadadosdados doproblemaedacontaquepodem usar.
Osalgoritmos:queproblemas,
quepotencialidades?
Vantagensdosalgoritmos
pretadascomosigniicandoqueconsi-deramososalgoritmoscomoalgode nocivoequenãodeveserincluídono ensinodaMatemática.Pelocontrário, estamosconscientesdeváriaspoten-cialidadesimportantesdosalgoritmos: —generalidade:oalgoritmoéválido
paraquaisquernúmeros.Para calcular52 – 27usoasmesmas regrasqueparacalcular
52007978 – 354756.
—eicácia:umalgoritmopodesempre conduziraumarespostacerta,ou seja,desdequeseusembemas regras,temosacertezadechegar aumresultadocerto.
Poroutrolado,aprocuraeutilização deprocedimentosalgorítmicoséuma facetaimportantedaMatemática. Semqueissosigniiquequeoseu ensinoselimiteafocarosprocedi- mentosetécnicasrotineiros,seque-remosproporcionaraosalunosuma verdadeiraexperiênciamatemática nãopodemosignorarosalgoritmos.
Diiculdadesdosalunos
UmestudorealizadoporKamiie Dominick(1998)permite-noster umaideiadosefeitosdaaprendi-zagemdosalgoritmos.Trêsgrupos dealunosresolveramproblemasde adição/subtracção:1)“grupodosnão algoritmos”(nãoconheciamosalgo-ritmos);2)“grupodosalgoritmos” (tinhamaprendidonaescolaosalgo- ritmos);e3)grupoquetinhaapren-didoalgunsalgoritmosemcasa,mas nãonaescola.
Acomparaçãodosresultadospermite fazerduasobservações:
—o“grupodosnãoalgoritmos”apre- sentou,naglobalidade,amaiorper-centagemderespostascorrectas;
—osalunosdo“grupodosalgo-ritmos”queerraramoresultado apresentaramrespostasbem menosrazoáveisdoqueasrespos-tasincorrectasdadaspelosalunos do“grupodosnãoalgoritmos”.
SegundoKamiieDominick(1998)os algoritmossãoprejudiciaisporque:(1) encorajamascriançasadesistirdo seuprópriopensamento,istoé,uti-lizamumprocedimentorotineiroque pareceimpedi-lasdepensar,como podeconcluir-sedosexemplosapre- sentadosantes;(2)fazem-nasesque-ceroquejásabemsobreovalor deposiçãonaescritadosnúmeros, impedindoodesenvolvimentodosen-tidodonúmero,comoéindicadono CurrículoNacional—compreensão globaldonúmeroedasoperações. KamiieDominickreferemtambém quequandoascriançasinventamos seusprópriosprocedimentosfazem--noindodaesquerdaparaadireita,ao passoquenosalgoritmostêmdeo fazeraocontrário.Porexemplo,para calcular366 + 199.
Quandoutilizamoalgoritmo
366 +199 565
oqueamaiorpartedascriançasfazé:
6 + 9 = 15,colocamo5esobra1 1 + 6 + 9 = 16,colocamo6esobra
o1 1 + 3 + 1 = 5
Aopassoquequandosãocapazesde pensarporsipróprias,inventandoos seusprópriosprocedimentos,fazem:
300 + 100 = 400;60 + 90 = 150;
6 + 9 = 15
—>400 + 150 + 15 = 565
ou
366 + 199 = 300 + 200 + 65 = 565
Usarpercebendoumalgoritmo? “Ascriançastêmdiiculdadenosalgo-ritmosporquenãopercebemoque estãoafazer”.Estaéumadasideias queváriasvezesouvimosacolegas professorasdo1ºciclo.Seráqueé assim?Emprimeirolugar,propomos quecadaumseinterroguesobrea
compreensãoqueusapararealizarum algoritmo.Porexemplo,continuando nasoperaçõeselementares,analise-mosoquepoderáterdeocorrerà nossamenteparausarumalgoritmo percebendo.
1)Comecemospelatarefaapresen-tadanoiníciodoartigo:
50007 – 19 =_____ Seusarmosoalgoritmoqueos13 alunosde4ºanoaprenderamteríamos depensardeummodomuitoseme-lhanteaoseguinte:
—comode7nãopossotirar9,tenho deusarapropriedadedeinvari- ânciadorestoesomardezunida-desaoaditivoeumadezenaao subtractivo.Assim,faço9para17e
2para0;
—mascomode0nãopossotirar2 tenhoqueadicionar100unidades aoaditivoe1 centenaaosubtrac-tivo.Assimfaço2para10e1para
0; —mas….
Pensoquetodosconcordamos quenenhumdenósfazisto.Oque usamoséumconjuntoderegrasnão pensadasqueadquirimosàcusta deumagrandeprática.Usamos, também,umprocedimentoexpedito —oevaium—quenosajudaa mecanizaroprocesso.Noentanto, elenãopodeserfundamentadodo pontodevistamatemático—defacto nãovainada—e,porisso,oseuuso nãoenvolvenenhumacompreensão. 2)Quandocalculamos3427 : 16pelo algoritmotradicionaléprecisoperce-berqualonúmeroquemultiplicado por16éomaispróximode3247. Paraisso,osalunostêmdeconstruir atabuadado16(Tabela2).
E,paraalémdisso,têmdecompreen-derovalordeposiçãorepresentado pelosdiferentesalgarismos,come-çandoporverquecom34centenas podemfazer2centenasdegruposde
16,
Tabela2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3427 16
3200 200
0227 10
160
067 + 4
64 214
4
Fazerasubtracçãopara34centenas, verdepoisqueaindasobram22 deze-nasoquedáparafazer1dezenade gruposde16,obtendodestemodoo quociente.
Noentanto,ninguémestáapensar emtudoistoquandofazdeumaforma rotineiraoalgoritmo.Écomcerteza importanteeédaessênciadaprópria matemáticaaaquisiçãoderotinase todosnósquandoutilizamososalgo-ritmosnãoofazemospercebendo, maséprecisoqueascriançastenham oportunidadeparapensarsobreos números.
Calcularpensandononúmero,
nasoperaçõesenassuasrela-ções
Umaalternativaaousoquaseobri-gatóriodoalgoritmopararesolveros problemasouexercíciosnuméricos éadeestabelecerqueosalunos podemescolherosseuspróprios processos:podemfazerdesenhos, podemconcretizarasituaçãousando diferentestiposdemateriais,podem inventarestratégias.Estaopçãotem sidoveiculadadediversasformasno nossopaíseéhojeumdosargumen-tosqueouvimosrepetircomalguma frequênciaquandosequestionao ensinofocadonosalgoritmos. Emboranumafaseinicialdaaprendiza- gemdaMatemáticaorecursoàrepre-sentação,pormeiodedesenhos,das situaçõesproblemáticaspropostas aosalunosejaumimportantemeio decompreenderasoperaçõeseas relaçõesnuméricas,elanãoéuma estratégiapotenteparatrabalharcom númerosgrandes.Deixarqueum alunorecorrasempreaumdesenho pararesolverumproblemaélimitador dasuacompreensãodosnúmerose
dasoperaçõeseimpedeodesenvol-vimentodecompetênciasimportantes paralidarcomsituaçõesmaiscomple-xas,ouque,simplesmenteenvolvam ocálculocomnúmerossuperioresa
20.
Aanálisedaspotencialidadesdos materiaismanipulativosécomplexa (ver,porexemplo,Gravemeijer, 1991)epensamosserumpontoem queaindanãoserelectiubastante nonossopaís.Umaquestãoque pensamossercrucialéopapeldos materiaisnaformaçãodanoçãodos númerosedasoperaçõesenodesen-volvimentodeformasmaisoumenos algoritmizadasdecálculo.Assim,os materiaistêmumpapelintermediário entrearealidadeconcretaeasua representaçãomentale/ouentreas operaçõesconcretasdessarealidade easoperaçõesmatemáticas.Utilizar materiaisconcretosparaaprendera subtrairdevedesenvolverumaforma deraciocinaredecalcularquecor-respondeàformamaisabstractade resolveroproblema.Porexemplo, utilizarblocosunitárioscomamesma corbloqueiaocálculointeligenteuma vezqueincentivaacontagem1a1 emvezdecentraraatençãonautiliza-çãoderelaçõesentreosnúmeros. Darliberdadeaosalunosparainventar assuasprópriasestratégiaseproce-dimentoséumaopçãopedagógica quepodeserimportante.Defacto, váriasinvestigaçõesmostramque ascriançasinventamedesenvolvem estratégiasparalidarcomproblemas numéricos(porexemplo,Fusonetal., 1997).
Consideremosoexemplo368 + 208. Quandoascriançastêmliberdadede escolherassuasprópriasestratégias, agrandemaioriadosalunosutiliza doismétodos.Oprimeiroconsisteem decomporosnúmeros,adicionaros gruposerecomporapartirdosresul-tados:
368 = 300 + 60 + 8; 208 = 200 + 8 300 + 200 = 500 ; 60 + 0 = 60;
8 + 8 = 16 500 + 60 +16 = 576
Osegundométodoconsisteem somar208a368 saltandonasequên-cianumérica:
368 + 200 = 568; 568 + 8 = 576
Aoperação368 + 198fazapeloaos mesmosmétodos.Mas,nestecaso, onúmero198convidaumaminoriade criançasatransformar368 + 198em
368 + 200eacompensarretirando
2aoresultado.“É568 – 2 = 566”. Estemétodoémaissoisticadouma vezquesebaseianautilizaçãodas relaçõesentreasrelaçõesnuméricas, ouseja,
—naequivalênciadasadições: 368 + 198 = 368 + 200 – 2,logo
566;
—assubtracções:
70 – 36 = 70 – 35 – 1,logo34; —asadiçõeseassubtracções: 22 – 18 = 4,porque18 + 4 = 22. Nestesentido,ocálculoportrans-formaçãoémaiselaboradodoponto devistamatemático(maisformal) queasformasdecálculosequencial (emlinha)edecimalondeasrelações numéricasutilizadassóservempara encurtaraomáximooscálculorea-lizadosnointeriordoprocedimento utilizado.
ComoreferemFosnoteDolk(2001), parasercapazdecalcularusandoo sentidodonúmeronãobastadispor deumalistagemdeestratégias.É precisocomeçarporolharparaos números,sercapazdeestabelecer relaçõesquepossamderivardelese jogarcomessasrelações.
Qualseráentãoodesaioquese colocaaoprofessorparaconseguir ajudarosseusalunosadesenvolvero sentidodonúmero?
Pensamosqueodesaioéfácilde perceber,noentanto,émaisdifícilde realizar.Aideiaconsisteemcriaras condiçõesquepermitamàscrianças desenvolver,elasprópriasedesdeo iníciodaescolaridade,osinstrumen- tosquelhespermitaminventar,for-malizarelexibilizarprogressivamente métodosetécnicasdecálculoade-quadosàresoluçãodosproblemas colocadospelavidadetodososdias. E,navidadetodososdias,orecurso aosalgoritmostradicionaisécada vezmenosimportanteeapelamaisà capacidadedeestimaredecalcular demodolexível.
desenvolvimentodeprocedimen-tosdecálculo.Adicionaresubtrair desenvolve-seapartirdacontagem dequantidades;multiplicaredividira partirdaestruturaçãodessasquan-tidadesemgruposequipotentes. Contareestruturardesenvolvem-se emligaçãocomanoçãoqueascrian-çasconstroemdessasquantidades, dessesnúmerosedoquefazemcom essasquantidadeseessesnúmeros. Énestasactividadescomobjectos concretosequeenvolvemaexplora-çãodesituaçõesdavidadetodosos diasquenascemasrepresentações mentaismaisprimitivasdosnúmeros edasoperaçõeseénelasquese enraízaaquiloaquechamamossen-tidodonúmero.
Asegundacondiçãoconsisteemligar estruturalmenteodesenvolvimento demétodosedetécnicasdecálculo àconstruçãodosnúmeros,dasua organizaçãoedasuaestruturaçãoe àreconstruçãodonossosistemade numeraçãodeposição.Sãoasdesco-bertasdasestruturasdosnúmerose, comotal,asrelaçõesentreosnúme- rosquegeramadescobertadaspos- sibilidadesdeexploraressasestrutu-raserelações.Se8é5 + 3ese9é
5 + 4,8 + 9é5 + 5 + 3 + 4,logo
10 + 7.Ese80é50 + 30e90é ……,80 + 90,sópodeser100 + 70. Aterceiracondiçãoderivanatural-mentedasduasprimeiras:retardar aaprendizagemdosalgoritmospara poderdarpossibilidadeaosalunosde aperfeiçoaroseusentidodonúmero parapoderaceitarodesaiodosalgo-ritmos.
Conlitoscausadospela
mudança
Quandoosprofessoresdo1ºciclo tentammodiicarasuapráticade acordocomascondiçõesenuncia-dasnopontoanterior,podemterde enfrentar,pelomenos,trêsconlitos: osmanuaisnãotêmestaperspec-tiva,ospaisconsideramqueensinar matemáticaéensinarascontas,a formaçãodeprofessoresnãotemcor-respondidoaestasexigências. Relativamenteaosmanuaiséreal- menteverdadequemuitosdelescon-tinuamaincluirdesdecedoaescrita naformadealgoritmomesmoquando
elanãofaznenhumsentido,comoéo casodaadiçãodenúmerosrepresen-tadosapenasporumalgarismo. Emrelaçãoaospaisénormalqueeles tenhamumaconcepçãodamatemá-ticacorrespondenteàssuasvivências enquantoalunosdesteníveldeesco-laridade.Éprecisoconversarcom elessobreoquesepretendecomo ensinodamatemáticahoje,deforma quecompreendamqueasexigências dehojenãosãoasdoseutempoe tomemconsciênciadascompetências quesepretendemdesenvolver. Noquedizrespeitoàformaçãode professores,nuncae,cadavezmais hojeemdia,aformaçãoinicialdepro- fessoresfoiconsideradacomoade-quadaparaoexercíciodaproissãoad eternum,poisaescolaevolui.Afor- maçãoinicialdeveseraquelaimpres-cindívelparacomeçaraensinarcom aconsciênciadequeéprecisocon-tinuaraformaçãoquerpelarelexão ediscussãocomoscolegassobreo quesepassanassalasdeaula,quer pelaparticipaçãoemacçõesdefor-maçãomaisformais.Emúltimaanálise osprofessoresdevemteriniciativa começando,porexemplo,aquestio-naraqualidadedosmanuais,discutir oquedeveseromanualeteruma atitudecríticasobrealgoquesaiuda cabeçadealguémenuncafoitestado pelosprofessoresnasaladeaula.
Relexãoinal
Sequeremosdesenvolveracom-petênciaenunciadanoiníciodeste artigo,istoé,a“aptidãoparaefectuar cálculosmentalmente,comosalgo-ritmosdepapelelápisouusandoa calculadora,bemcomoparadecidir qualdosmétodoséapropriadoàsitu- ação”nãopodemoscontinuaratraba-lharapenasosalgoritmos.
Comoquisemosmostraraolongo desteartigo,nanossaperspectiva,os algoritmoscontinuamaserintroduzi-dosaosalunosmuitocedonãolhes dandooportunidadeparadesenvolver osentidodonúmeroepensarde ummodocríticosobreosentidodas operações,tendocomoconsequência onãodesenvolvimentodeoutras estratégiasdecálculo.Trabalharas operaçõesintroduzindoestratégias
decálculomental,tendoporbase acomposiçãoedecomposiçãodos números,utilizandoascaracterísticas deestarmosalidarcomumsistema denumeraçãodeposição,parece-nos umatarefacrucialafazerantesda introduçãodosalgoritmosformais.Os paisdevemseresclarecidossobre osobjectivosquesepretendem.Se compreenderemqueoimportanteé queascriançasaprendamalidarcom osnúmeroseasoperaçõesdeum modosigniicativoesaibamresolver problemasterão,comcerteza,uma atitudecolaborante.
Osprofessorestêmdefazerumauti-lizaçãocríticadosmanuaisesempre quepossívelfazerumaselecçãocrite- riosadosmesmos.Paraissoéfunda- mentalotrabalhoemequipadepro-fessoresdomesmoanooudamesma escola,relectindoemconjunto,tendo comobaseosproblemasconcretos quesurgemnaprática.Destemodo têmnoçãodassuasnecessidades, vãoidentiicandoaquempodem recorrereenvolvem-seemformação comsentido.
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