Uma memória é uma função total de identificadores para valores inteiros: se x=y

(1)

1 Semˆ antica Denotacional

Semântica denotacional é um estilo de semântica que visa dar modelos matemáticos para lin- guagens de programa¸cão (por isso ela também é chamadasemântica matemática). Significados de programas são definidos como sendo elementos de alguma estrutura matemática apropriada.

Um comando de IMP, por exemplo, dado um estado inicial, produz um estado final, ou não termina. Podemos então dizer que comandos de IMP denotam fun¸cões parciais entre estados que, por sua vez, são representados como fun¸cões de identificadores de variáveis para inteiros.

Objetos Semânticos. Num primeiro momento é suficiente assumir que as estruturas ma- temáticas apropriadas para a semântica denotacional de IMP são simplesmente conjuntos.

Representa¸c˜ao da mem´oria(1)

• Uma memória é uma fun¸cão total de identificadores para valores inteiros:

σ, σ⁰, σ₁, σ₂. . .∈Ident→Z

• Σ≡Ident→Z

• σ[x7→n] ´e o mesmo que σ, exceto que mapeia xpara n

• Nota¸c˜ao:

σ[x7→n](y) =

(n se x=y σ(y) caso contr´ario

Um estado (ou uma memória) é um mapeamento pertencente ao conjunto de fun¸cõesIdent→Z e vamos assumir que essas fun¸cões são totais, ou seja que todo identificador possui um valor inteiro associado a ele na memória. Por conveniência, de agora em diante vamos nos referir ao conjuntoIdent→Zpelo nome Σ e usamos σ,σ⁰ . . .como meta-variáveis para elementos de Σ.

Portanto, para IMP temos:

Objetos Semˆanticos para IMP (2)

• Os significados de elementos de Aexp ? fun¸c˜oes totais pertencentes a Σ→Z

• Os significados de elementos de Bexp ?

fun¸c˜oes totais pertencentes a Σ→B ondeB={verdadeiro,falso}

(2)

• Os significados de elementos de Com ? fun¸c˜oes parciaispertencentes a Σ*Σ

Exerc´ıcio 1.1 Explique porque os significados de expressões aritméticas da linguagem IMP são (i) fun¸cões pertencentes a Σ → Z e não simplesmente elementos de Z e (ii) porque são fun¸cões totais

Exerc´ıcio 1.2 Explique porque os significados de expressões booleans da linguagem IMP são (i) fun¸cões pertencentes a Σ→Be não simplesmente elementos deBe (ii) porque são fun¸cões totais.

Exerc´ıcio 1.3 Explique porque os significados de comandos da linguagem IMP são fun¸cões pertencentes a Σ→Σ e (ii) porque são fun¸cões parciais.

Exerc´ıcio 1.4 Como podemos transformar as fun¸cões que são significados de comandos da linguagem IMP em fun¸cões totaispertencentes a Σ→Σ

Fun¸cões auxiliares. As seguintes fun¸cões serão usadas na defini¸cão da semântica denotacional de IMP: +,−,×,=,≤,¬,∨e ∧. Observe, que esses s´ımbolos são sobrecarregados. O contexto de uso dirá se eles são operadores (sintáticos) da linguagem IMP ou se são os nomes das fun¸cões matemáticas.

Fun¸cões Semânticas Fun¸cões semânticas definem o mapeamento entre a sintaxe é a semântica.

Em geral, temos uma fun¸cão semântica para cada categoria sintática. Os nomes das fun¸cões semânticas são tradicionais em semântica denotacional.

Fun¸c˜oes Semˆanticas (3)

A semântica denotacional de IMP é dada através de três fun¸cões semânticas A[[·]]∈Aexp→(Σ→Z)

B[[·]]∈Bexp→(Σ→B) C[[·]]∈Com→(Σ*Σ) Paraa∈Aexp,b∈Bexp ec∈Com temos:

A[[a]]∈Σ→Z B[[b]]∈Σ→B C[[c]]∈Σ*Σ E, paraσ∈Σ:

A[[a]]σ∈Z B[[b]]σ∈B

C[[c]]σ∈Σ caso C[[c]]σfor definido

(3)

1.1 Tentativa de defini¸ c˜ ao atr´ aves da formula¸ c˜ ao de propriedades

Equa¸cões Semânticas A defini¸cão das fun¸cões semânticas, e portanto a defini¸cão do significado matemático de constru¸cões de IMP, consiste de um conjunto de equa¸cões semânticas.

Defini¸c˜oes(4)

• As equa¸c˜oes semˆanticas podem ser escritas na forma A[[a]]σ = . . . B[[b]]σ = . . . C[[c]]σ = . . .

• ou, usando a nota¸c˜ao lambda, na forma

A[[a]] = λσ∈Σ. . . . B[[b]] = λσ∈Σ. . . . C[[c]] = λσ∈Σ. . . . Tanto A[[a]]σ=. . .comoA[[a]] =λσ∈Σ. . . .possuem a mesma leitura:

”a denota¸cão da expressãoaé a fun¸cão que, dada uma memóriaσ . . .”

”a denota¸cão da expressãobé a fun¸cão que, dada uma memóriaσ . . .”

”a denota¸cão do comandocé a fun¸cão que, dada uma memóriaσ . . .”

Equa¸cões Semânticas para Expressões Aritméticas (5)

O significado de uma expressão aritmética é uma fun¸cão em Σ→Zdefinida como segue:

A[[n]]σ =n (EqN)

A[[x]]σ =σ(x) (EqId)

A[[a1+a2]]σ=A[[a1]]σ+A[[a2]]σ (Eq+) A[[a1-a2]]σ=A[[a1]]σ−A[[a2]]σ (Eq-) A[[a₁*a₂]]σ=A[[a₁]]σ×A[[a₂]]σ (Eq*) Exerc´ıcio:

A[[x + (5 * 4)]]σ = A[[x]]σ+A[[5∗4]|σ (Eq+)

= σ(x) +A[[5∗4]|σ (EqId)

= σ(x) +A[[5]|σ×A[[4]|σ (Eq∗)

= σ(x) + (5×4) (EqN, EqN)

= σ(x) + 20

Note que a defini¸cão do significado de expressões booleanas faz uso da fun¸cão de atribui¸cão de significado para expressões aritméticas:

(4)

Equa¸cões Semânticas para Expressões Boolenas(6)

B[[t]]σ =t (EqB)

B[[a₁=a₂]]σ =A[[a₁]]σ=A[[a₂]]σ (Eq=) B[[a₁<a₂]]σ =A[[a₁]]σ < A[[a₂]]σ (Eq<)

B[[¬b]]σ =¬B[[b]]σ (EqNeg)

B[[b1∧b₂]]σ=B[[b1]]σ∧B[[b2]]σ (EqAnd) B[[b1∨b₂]]σ=B[[b1]]σ∨B[[b2]]σ (EqOr)

Segue abaixo a defini¸cão da denota¸cão de comandos. O significado do comando while exige cuidados e será visto mais adiante:

Equa¸c˜oes Semˆanticas para Comandos(7)

O significado de um comando ´e uma fun¸c˜ao em Σ*Σ definida como segue

C[[skip]]σ = σ (EqSkp)

C[[x:=a]]σ = σ[x7→A[[a]]σ] (EqAtr) C[[c₁;c₂]]σ = C[[c₂]](C[[c₁]]σ) (EqSeq) C[[if b then c1 else c2]]σ = seB[[b]]σent˜aoC[[c1]]σsen˜ao C[[c2]]σ (EqIf)

C[[while b do c]] = . . . (EqWh)

Segue abaixo um exemplo no qual é calculado o significado matemático de um comando utilizando as equa¸cões acima:

(5)

Exemplo (8)

C[[x:=1;(skip;y:=2)]]σ = C[[skip;y:=2]] (C[[x:=1]]σ) (EqSeq)

= C[[skip;y:=2]]σ[x7→A[[1]]σ] (EqAtr)

= C[[skip;y:=2]]σ[x7→1] (EqN)

= C[[y:=2]] (C[[skip]]σ[x7→1]) (EqSeq)

= C[[y:=2]]σ[x7→1] (EqSkp)

= σ[x7→1][y7→A[[2]]σ[x7→1]] (EqAtr)

= σ[x7→1][y7→2] (EqN)

Semântica com fun¸cões totais. O tratamento formal fica mais simples se lidar somente com fun¸cões totais. Podemos adicionar o elemento⊥(lido ”bottom”, ou ”indefinido”) ao conjunto Σ para representar indefini¸cão. Escrevemos Σ⊥para nomear o conjunto Σ∪ {⊥}. Ao invés de dizermos que os significados de comandos pertencem ao conjunto de fun¸cões parciais de Σ para Σ dizemos que pertencem ao conjunto de fun¸cões totais de Σ para Σ⊥. E, finalmente, como o comandoc₁ emc₁;c₂ pode não terminar, dizemos que os significados de comandos pertencem ao conjunto de fun¸cões totais Σ⊥ →Σ⊥. Essas fun¸cões são estritas, ou seja se aplicadas a⊥ produzem⊥.

Lifting - trabalhando com fun¸c˜oes totais (9)

• Σ⊥= Σ∪ {⊥}

• ⊥ representa a indefini¸c˜ao

• C[[c]] ´e agora fun¸c˜ao total em Σ⊥→Σ⊥

• Exemplo :

C[[(while true do c);c₂]]σ = C[[c₂]](C[[while true do c]]σ)

= C[[c₂]]⊥

= ⊥

Significado do Comando while Como fica a equa¸c˜ao para o comando while? Podemos come¸car lembrando que o significado do comando while b do c ´e equivalente ao significado do comando

if b then (c;while b do c) else skip.

Logo

(6)

Significado do comando while? (10) C[[while b do c]]σ =C[[if b then (c;while b do c) else skip]]σ

= seB[[b]]σent˜aoC[[c;while b do c]]σsen˜aoC[[skip]]σ (EqIf)

= seB[[b]]σent˜aoC[[while b do c]](C[[c]]σ) sen˜aoC[[skip]]σ (EqSeq)

= seB[[b]]σent˜aoC[[while b do c]](C[[c]]σ) sen˜aoσ (EqSkp)

Ou seja:

[[while b do c]]σ = se [[b]]σent˜ao [[while b do c]]([[c]]σ) sen˜aoσ ou, usandoWpara [[while b do c]]:

Wσ = se [[b]]σseW([[c]]σ) sen˜aoσ

Contudo a equa¸c˜ao

C[[while b do c]]σ = seB[[b]]σ então C[[while b do c]](C[[c]]σ) senão σ (EqWhV1) não é suficiente para definir o significado de comandoswhile, e a razão é simples: ao contrário das demais equa¸cões para a linguagem – que definem explicitamente uma única fun¸cão de Σ⊥→ Σ⊥ dado um comando – está equa¸cão (como veremos nos exerc´ıcios abaixo), dado um comando while espec´ıfico, pode ter várias solu¸cões. O significado do comando é, com certeza, uma dessas solu¸cões, mas a equa¸cão acima, por si só, não indica qual delas.

Equa¸cões e Defini¸cões - Revisão(11)

• Dado um universoU, uma equa¸c˜ao define um elemento de U quando ela – possui solu¸c˜ao emU, e

– a solu¸cão é única

• Se uma equa¸cão possui mais de uma solu¸cão, ela não define um elemento de U

• Uma propriedade adicional pode ser adotada para apontar uma das solu¸c˜oes como sendo o elemento definido

Equa¸cões e Defini¸cões - Revisão(12)

• Exemplos:

– x=x+ 1 não possui solu¸cão, seja lá qual for o universo

(7)

– x= 3x−4 possui o natural 2 como uma única solu¸cão emN, logo essa equa¸cão define xcomo sendo o natural 2

– 2x² = 8 possui duas solu¸cões emR: 2 e−2, logo ela por si só não define nenhum número real

Exerc´ıcio 1.5 Considere o comandowhile x 6= 0 do x:=x-2

• Obtenha a equa¸c˜ao associada a esse comando No que segueW ≡ [[while(x6= 0)do x:=x−2]]:

Wσ = se [[x6= 0]]σent˜aoW([[x:=x−2]]σ) sen˜aoσ (EqWhV1)

= se [[x]]σ6= [[0]]σent˜aoW([[x:=x−2]]σ) sen˜aoσ (EqDif)

= seσ(x)6= [[0]]σent˜aoW([[x:=x−2]]σ) sen˜aoσ (EqId)

= seσ(x)6= 0 ent˜aoW([[x:=x−2]]σ) sen˜aoσ (EqN)

= seσ(x)6= 0 ent˜aoW(σ[x7→[[x−2]]σ]) sen˜aoσ (EqAtr)

= seσ(x)6= 0 ent˜aoW(σ[x7→[[x]]σ−[[2]]σ]) sen˜aoσ (EqSub)

= seσ(x)6= 0 ent˜aoW(σ[x7→σ(x)−[[2]]σ]) sen˜aoσ (EqId)

= seσ(x)6= 0 ent˜aoW(σ[x7→σ(x)−2]) sen˜aoσ (EqN)

Usandoσ⁰ ≡ σ[x7→σ(x)−2] a equa¸c˜ao fica:

Wσ= seσ(x)6= 0 ent˜aoWσ⁰ sen˜aoσ

• Verifique se as fun¸cõesg1 eg2 definidas abaixo são solu¸cões dessa equa¸cão:

g1σ=

(σ[x7→0] seσ(x) ´e par eσ(x)≥0

⊥ caso contr´ario

g2σ=







σ[x7→0] seσ(x) é par eσ(x)≥0 σ1 seσ(x) é par eσ(x)<0 σ2 seσ(x) é ´ımpar

ondeσ1eσ2 podem ser estados quaisquer ou⊥

Verifica¸cão seg₁é solu¸cão da equa¸cão acima:

(8)

g1σ = seσ(x)6= 0 ent˜aog1σ⁰ sen˜aoσ

= seσ(x)6= 0 então (separ(σ⁰(x))∧σ⁰(x)≥0 entãoσ⁰[x7→0] senão⊥) senãoσ

= seσ(x)6= 0 então (separ(σ(x)−2)∧σ⁰(x)≥0 entãoσ⁰[x7→0] senão⊥) senãoσ

= seσ(x)6= 0 então (separ(σ(x))∧σ⁰(x)≥2 entãoσ⁰[x7→0] senão⊥) senãoσ

= seσ(x)6= 0 então (separ(σ(x))∧σ(x)−2≥0 entãoσ[x7→0] senão⊥) senãoσ

= seσ(x)6= 0 então (separ(σ(x))∧σ(x)≥2 entãoσ[x7→0] senão⊥) senãoσ

= seσ(x)6= 0 então (separ(σ(x))∧σ(x)≥2 entãoσ[x7→0] senão⊥) senãoσ[x7→0]

= separ(σ(x))∧σ(x)≥0 ent˜aoσ[x7→0] sen˜ao⊥

= g₁σ

Verifica¸cão se g2é solu¸cão da equa¸cão acima:

g2σ = seσ(x)6= 0 ent˜aog2σ⁰ sen˜aoσ

= se σ(x)6= 0entao (se par(σ⁰(x))∧σ⁰(x)≥0 entao σ⁰[x7→0]senao se par(σ⁰(x))∧σ⁰(x)<0entao σ₂ senao σ₃) senao σ

= se σ(x)6= 0entao (se par(σ(x))∧σ(x)≥2entao σ[x7→0]senao se par(σ(x))∧σ(x)<2 entao σ2 senao σ3) senao σ[x7→0]

= se par(σ(x))∧σ(x)≥0entao σ[x7→0]senao se par(σ(x))∧σ(x)<0entao σ2 senao σ3)

= g2σ

• Qual das duas fun¸c˜oes,g1 oug2deve ser o significado do comando while acima?

Exerc´ıcio 1.6 Considere o comandowhile true do skip.

• Escreva a equa¸cão associada ao comando e explique por quetodasas fun¸cões em Σ⊥→ Σ⊥ são solu¸cões para esta equa¸cão.

• Qual dessas fun¸c˜oes ´e o significado deste comando?

Exerc´ıcio 1.7 Considere o comandowhile ¬(x=0) do skip.

• Escreva a equa¸c˜ao correspondente ao comando while acima;

(9)

• Verifique se as fun¸cõesg₁ e g₂ abaixo são solu¸cões desta equa¸cão g₁σ=

(⊥ seσ(x)6= 0 σ seσ(x) = 0 g₂σ=

(σ3 seσ(x)6= 0 σ seσ(x) = 0

• Qual dessas fun¸c˜oes ´e o significado do comando?

• Certifique-se de que a fun¸cão gdefinida abaixo não é solu¸cão da equa¸cão acima gσ=⊥ para todoσ ∈Σ

Exerc´ıcio 1.8 Considere o comandowhile ¬(x=0) do x:=x-1.

• Escreva a equa¸c˜ao associada a esse comando.

• Verifique se fun¸cões definidas abaixo são solu¸cões dessa equa¸cão:

g1σ=⊥ para todoσ∈Σ g₂σ=

(σ[x7→0] seσx≥0

⊥ seσx <0 g₃σ=

(σ[x7→0] seσx≥0 σ seσx <0

g₄σ=σ[x7→0] para todoσ ∈Σ g5σ=σ para todoσ∈Σ

• Qual dessa fun¸c˜oes ´e o significado do comando while acima?

1.2 Voltando a tentativa de defini¸ c˜ ao pela formula¸ c˜ ao de propriedades

Observe, pelos exerc´ıcios da se¸cão 1.1, que há uma rela¸cão de ordem entre as solu¸cões de uma equa¸cão baseada na “quantidade” de informa¸cão que cada uma expressa. Formalmente podemos definir essa rela¸cão de ordem da seguinte maneira:

Defini¸c˜ao de menor (13)

• Considere o seguinte rela¸c˜ao ordemv entre fun¸c˜oes deΣ⊥→Σ⊥:

f vg⇐⇒ ∀σ f σ=⊥ ∨ f σ=gσ (1.1)

• Nessa ordem uma fun¸cão com “menos informa¸cão” é dita menor.

(10)

ou seja, quandof é definida,g também é definida e produz o mesmo resultado do que f. Em todos exemplos acima, a solu¸cão correspondente ao significado do comando sempre foi a menor solu¸cão (dada a rela¸cão de ordem acima).

Formulamos ent˜ao a seguinte hip´otese:

Hipótese - o significado é a menor solu¸cão(14)

o significado de um comando while é a menor solu¸cão da equa¸cão C[[while b do c]]σ = seB[[b]]σ então C[[while b do c]](C[[c]]σ) senão σ

Exerc´ıcio 1.9 Ordene as solu¸cões das equa¸cões dos exerc´ıcios anteiores utilizando a defini¸cão de ordem dada acima.

1.3 Equa¸ c˜ oes de Ponto Fixo

Até agora, usando somente a nossa intui¸cão e alguns exemplos, levantamos a hipótese de que o significado de comando while deve ser a menor solu¸cão da equa¸cão para o comando while associada associada. Mas como obter/calcular essa menor solu¸cão?

Para come¸car vai ser necessário colocar a equa¸cão (EqWhV1) no formato geral de equa¸cão de ponto fixo. Equa¸cões de ponto fixo são aquelas que podem ser colocadas no seguinte formato geralx=f(x). Uma solu¸cão para uma equa¸cão de ponto fixox=f(x) é dita ponto fixo def.

Equa¸cão no formato de equa¸cão de ponto fixo(15) A equa¸cão

C[[while b do c]]σ = seB[[b]]σ então C[[while b do c]](C[[c]]σ) senão σ no formato geral de equa¸cão de ponto fixo, fica:

[[while b do c]] =F ([[whileb do c]])

onde F ∈(Σ⊥→Σ⊥)→(Σ⊥→Σ⊥) ´e definido como:

F g=λσ∈Σ⊥.se [[b]]σ ent˜aog([[c]]σ) sen˜aoσ

Sendo assim a nossa hip´otese a cerca do significado de qualquer comando while pode ser reescrita nas seguintes formas equivalentes:

Hipótese - o significado é a menor solu¸cão (II)(16)

• O significado de um comando while é a menor solu¸cão da equa¸cão abaixo, ou ainda

• O significado de um comando while ´e o menor ponto fixo de F da equa¸c˜ao abaixo

(11)

[[while b c]] =F ([[whileb c]])

onde: F ∈(Σ⊥→Σ⊥)→(Σ⊥ →Σ⊥)´e definido como:

F g=λσ∈Σ.se [[b]]σ ent˜aog([[c]]σ) sen˜aoσ

Outra forma equivalente de formular a nossa hip´otese faz uso da seguinte nota¸c˜ao empregada para se referir ao menor ponto fixo de F: fixF ou ainda, µ F

Hip´otese (III)(17) [[while b c]] =fixF

onde: F ∈(Σ⊥→Σ⊥)→(Σ⊥ →Σ⊥)´e definido como:

F g=λσ∈Σ.se [[b]]σ ent˜aog([[c]]σ) sen˜aoσ

Exerc´ıcio 1.10 Reescreva as equa¸cões dos comandos while dos exemplos/exerc´ıcios das se¸cões anteriores colocando-as no formato geral de equa¸cão de ponto fixo.

1.4 Calculando menor ponto fixo

Para obter o menor ponto fixo de F come¸camos aplicando F a fun¸cão totalmente indefinida de Σ⊥ → Σ⊥ e assim aplicamos F sucessivamente a cada resultado obtido anteriormente. A idéia é que, acada aplica¸cão de F obtemos uma fun¸cão de Σ⊥ → Σ⊥ com mais informa¸cão e, eventualmente, obtemos uma fun¸cão que é ponto fixo de F (ou seja que é o significado do comando while).

Exemplo 1(18)

Considerewhile x 6= 0 do x:=x-2. O funcionalF associado a esse comando ´e:

F g=λσ∈Σ. seσ(x)6= 0 ent˜aogσ[x7→σ(x)−2] sen˜aoσ Usandoσ⁰ no lugar deσ[x7→σ(x)−2] temos:

F g=λσ∈Σ. seσ(x)6= 0 ent˜aogσ⁰ sen˜aoσ

Calculando F⁰(⊥),F¹(⊥), F²(⊥),. . .:

Exemplo 1(19)

(12)

F⁰(⊥) =_def⊥

F¹(⊥) =F(⊥)

=λσ∈Σ.seσ(x)6= 0 ent˜ao ⊥(σ⁰) sen˜ao σ

=λ.σ ∈Σ.seσ(x)6= 0 ent˜ao ⊥_Σ_⊥ sen˜ao σ[x7→0]

=λ.σ ∈Σ.seσ(x) = 0 ent˜ao σ[x7→0] sen˜ao ⊥_Σ_⊥ F²(⊥) =F(F¹(⊥))

=λσ∈Σ.seσ(x)6= 0 ent˜ao (F¹⊥)σ⁰ sen˜ao σ

=λσ∈Σ.seσ(x)6= 0 então (se σ⁰(x) = 0 então σ⁰[x7→0] senão ⊥_Σ_⊥) senãoσ

=λσ∈Σ.seσ(x)6= 0 então (se σ(x) = 2 entãoσ[x7→0] senão⊥_Σ_⊥) senão σ

=λσ∈Σ.seσ(x) = 0∨σ(x) = 2 ent˜aoσ[x7→0] sen˜ao ⊥_Σ_⊥

F³(⊥) =F(F²(⊥))

=. . .

=λσ∈Σ.seσ(x) = 0∨σ(x) = 2∨σ(x) = 4 ent˜ao σ[x7→0] sen˜ao ⊥_Σ_⊥ . . .

Exemplo 1(20)

• Com cada aplica¸c˜ao de F a “informa¸c˜ao” cresce e temos a seguinte cadeia:

F⁰(⊥)vF¹(⊥)vF²(⊥)vF³(⊥)v · · ·

• Intuitivamente, no “limite” da cadeia acima temos g=λσ∈Σ.

(σ[x7→0] separ(σ(x))∧x≥0

⊥ caso contr´ario representa a fun¸c˜ao que

– ´e ponto fixo deF (verifique isso)

– corresponde ao significado do comando while

Exemplo 2(21)

(13)

Considerewhile x>0 do x:=x-1. O funcionalF associado a esse comando ´e o seguinte:

F g=λσ∈Σ.seσ(x)>0 ent˜aogσ[x7→σ(x)−1] sen˜aoσ Usandoσ⁰ paraσ[x7→σ(x)−1] temos:

F g=λσ∈Σ.seσ(x)>0 ent˜aogσ⁰ sen˜aoσ

Exemplo 2(22) F⁰(⊥) =_def ⊥

F¹(⊥) =F(⊥)

=λσ∈Σ.seσ(x)>0 ent˜ao ⊥σ⁰ sen˜ao σ

=λ.σ∈Σ.se σ(x)>0 ent˜ao ⊥_Σ_⊥ sen˜ao σ F²(⊥) =F(F¹(⊥))

=λσ∈Σ.seσ(x)>0 ent˜ao (F¹⊥)σ⁰ sen˜ao σ . . .

=λσ∈Σ.







σ seσ(x)≤0 σ[x7→0] seσ(x) = 1

⊥_Σ_⊥ seσ(x)>1

F³(⊥) =F(F²(⊥)) =· · ·=λσ∈Σ.







σ seσ(x)≤0

σ[x7→0] seσ(x) = 1∨σ(x) = 2

⊥_Σ_⊥ seσ(x)>2

F⁴(⊥) =F(F³(⊥)) =· · ·=λσ∈Σ.







σ seσ(x)≤0

σ[x7→0] seσ(x) = 1∨σ(x) = 2∨σ(x) = 3

⊥_Σ_⊥ seσ(x)>3

Exemplo 2(23)

• Com cada aplica¸c˜ao deF a “informa¸c˜ao” cresce:

F⁰(⊥)vF¹(⊥)vF²(⊥)vF³(⊥)v · · ·

(14)

• Intuitivamente, no “limite” da cadeia acima, temos a seguinte fun¸c˜ao:

λσ∈Σ.

(σ seσ(x)≤0 σ[x7→0] seσ(x)>0 representa a fun¸c˜ao que

– ´e ponto fixo deF (verifique isso)

– corresponde ao significado do comando while

Exemplo 3(24)

Considere o comandowhile x>0 do skip. O funcionalF associado a esse comando é o seguinte F g=λσ∈Σ_⊥.seσx >0 entãogσ senãoσ

CalculandoF⁰(⊥),F¹(⊥),F²(⊥),. . .

F⁰(⊥) =def ⊥ F¹(⊥) =F(⊥)

=λσ∈Σ.seσ(x)>0 ent˜ao⊥(σ) sen˜aoσ

=λσ∈Σ.seσ(x)>0 ent˜ao⊥_Σ sen˜aoσ F²(⊥) =F(F¹(⊥))

=λσ∈Σ.seσ(x)>0 ent˜ao (F¹(⊥))(σ) sen˜aoσ

=λσ∈Σ.seσ(x)>0 então (seσ(x)>0 então⊥Σsenãoσ) senãoσ

=λσ∈Σ.seσ(x)>0 ent˜ao⊥Σ sen˜aoσ F³(⊥) =F(F²(⊥))

=. . .

=λσ∈Σ.seσ(x)>0 ent˜ao⊥Σ sen˜aoσ F⁴(⊥) =F(F³(⊥))

=. . .

=λσ∈Σ.seσ(x)>0 ent˜ao⊥Σ sen˜aoσ . . .

(15)

Exemplo 3 - continua¸c˜ao(25)

• Neste caso obtemos um ponto fixo para F j´a na terceira aplica¸c˜ao.

• Observe que a fun¸c˜ao

λσ∈Σ⊥.se σ(x)>0 ent˜ao⊥_Σ sen˜aoσ obtida dessa forma :

– ´e o menor dentre os pontos fixos de F

– corresponde ao significado do comando while x>0 do skip

Tendo em vista os exemplos anteriores podemos refinar a nossa hip´otese sobre o significado do comando while para

C[[while b do c]] = limite superior de cadeia F⁰(⊥)vF¹(⊥)vF²(⊥)vF³(⊥)v · · · Observa¸c˜ao: os termos limite superior e cadeia ser˜ao precisamente definidos mais adiante.

Veremos tamb´em que uma cadeia pode ter mais do que um limite superior e que estamos interessados no menor limite superior. Logo

C[[while b do c]] = menor limite superior de cadeiaF⁰(⊥)vF¹(⊥)vF²(⊥)vF³(⊥)v · · · De agora em diante vamos escrever

∞

G

n≥0

Fⁿ(⊥)

para menor limite superior de cadeia F⁰(⊥) v F¹(⊥) v F²(⊥) v F³(⊥) v · · ·. Assim reescrevemos a hip´otese acima para

C[[while b do c]] =

∞

G

n≥0

Fⁿ(⊥)

Exerc´ıcio 1.11 Calcule o significado dos seguintes comandos:

• while x6= 0 do x:= x - 1

• while ¬ (x = 0) do x:=x - 1

• while true do skip