Representação de Circuitos Lógicos

Representac¸ ˜ao de Circuitos L ´ ogicos

• Formas de representação de um circuito lógico:

• Representação gráfica de uma rede de portas lógicas

• Expressão booleana

• Tabela verdade

• 3 representações são equivalentes:

• Dado um circuito representado de uma forma, obtemos as outras representações do circuito

Representac¸ ˜ao de Circuito L ´ ogico com Express ˜ao Booleana

• Expressão booleana de um circuito:

• Representa o valor do sinal lógico de saída do circuito em função do valor dos sinais lógicos de entrada

• Operações lógicas:

• NOT: complemento

• AND (•): multiplicação booleana (operador pode ser omitido)

• OR (+): adição booleana

• Precedência das operações lógicas: NOT, AND, OR

• Exemplos:

X = A + B + C + D Y = A • B • C • D Z = A • (B + C • D) W = A • (B + C • D)

K = A + B + C • D T = A B C + A B C + A C

Representac¸ ˜ao Gr ´afica de Circuito L ´ ogico

• Rede de portas lógicas interligadas

• Convenções:

• Em geral, sinais de entrada do lado esquerdo

• Em geral, sinais de saída do lado direito

• Em geral, sinais fluem da esquerda para direita

• Conexão entre fios: simbolizada por •

• Exemplo:

Representac¸ ˜ao de Circuito L ´ ogico com Tabela Verdade

• Tabela Verdade de um circuito lógico:

• Representa o valor do sinal lógico de saída do circuito

para todos os possíveis valores dos sinais lógicos de entrada

• Dado um circuito com n entradas, tabela verdade possui:

• Uma coluna para:

• Cada sinal de entrada do circuito

• Sinal de saída do circuito

• 2ⁿ linhas

• Convenção:

• Valores das entradas em “ordem crescente”

na sequência binária

• Exemplo:

Entradas Saída A B C A + B • C

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

Express ˜ao Booleana a partir de Circuito L ´ ogico

• Dado um circuito lógico, obter expressão booleana:

• Da esquerda da direita, escreve expressão booleana de cada porta lógica

• Exemplo: X = A • (B + C • D)

Exemplo: Express ˜ao Booleana a partir de Circuito L ´ ogico

Exemplo: Express ˜ao Booleana a partir de Circuito L ´ ogico

Circuito L ´ ogico a partir de Express ˜ao Booleana

• Dado uma expressão booleana, obter circuito lógico:

• Listar todos os sinais de entrada do lado esquerdo

• Colocar portas lógicas de acordo com precedência das operações

• Exemplo: X = A • B + B • C • D + A • C

Exemplo: Circuito L ´ ogico a partir de Express ˜ao Booleana

•

X = A • (B + C • D )

Exemplo: Circuito L ´ ogico a partir de Express ˜ao Booleana

•

Y = A • B + C • D

Exemplo: Circuito L ´ ogico a partir de Express ˜ao Booleana

•

Z = A B C D + A B C + B C D

Exemplo: Circuito L ´ ogico a partir de Express ˜ao Booleana

•

Z = A B C D + A B C + B C D

Tabela Verdade a partir de Express ˜ao Booleana

• Dado uma expressão booleana, obter tabela verdade:

• Montar tabela verdade

• Criar colunas para avaliar sub-expressões

• Avaliar expressão completa

• Exemplo: X = A • (B + C)

Entradas Auxiliares Saída

A B C A B + C A • (B + C)

0 0 0 1 0 0

0 0 1 1 1 1

0 1 0 1 1 1

0 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 1 0

1 1 0 0 1 0

1 1 1 0 1 0

Exemplo: Tabela Verdade a partir de Express ˜ao Booleana

Entradas Auxiliares Saída

A B C D X = A • (B + C • D)

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 0 1

0 1 1 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 0 1

1 1 1 0

1 1 1 1

Equival ˆencia de Circuitos

• 2 circuitos equivalentes:

• Produzem o mesmo valor de saída para os mesmos valores de entrada

• Determinar se 2 circuitos são equivalentes:

• Construir tabela verdade para os 2 circuitos

• Comparar valores das saídas

• Exemplo: X = A XOR B e Y = A • B + A • B

Entradas Saída Saída

A B X = A ⊕ B Y = A • B + A • B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Exemplo: Equival ˆencia de Circuitos

• Exemplo: X = A XOR B e Y = A • B + A • B

Exemplo: Equival ˆencia de Circuitos

• Circuitos são equivalentes ?

Exemplo: Equival ˆencia de Circuitos (cont.)

Entradas Auxiliares Saída Saída

A B C A•B + A•(B+C) + B•(B+C) B + A•C

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

Propriedades da ´ Algebra Booleana

• Propriedade comutativa

• Propriedade associativa

• Propriedade distributiva

• Identidades

• Teorema de De Morgan

Propriedade Comutativa

• Para OR:

A + B = B + A

• Para AND:

A • B = B • A

Propriedade Associativa

• Para OR:

A + (B + C ) = (A + B ) + C = A + B + C

• Para AND:

A • (B • C ) = (A • B) • C = A • B • C

Propriedade Distributiva

• Para OR:

A • (B + C ) = A • B + A • C

• Para AND:

A + (B • C ) = (A + B ) • (A + C )

Entradas Saída Saída

A B C A + (B • C) (A + B) • (A + C)

0 0 0 0 0

0 0 1 0 0

0 1 0 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 1 1

1 0 1 1 1

1 1 0 1 1

1 1 1 1 1

Lei do Elemento Neutro

• Para OR:

A + 0 = A

• Para AND:

A • 1 = A

Lei do Elemento Dominante

• Para OR:

A + 1 = 1

• Para AND:

A • 0 = 0

Lei da Idempot ˆencia

• Para OR:

A + A = A

• Para AND:

A • A = A

Lei do Complemento

• Para OR:

A + A = 1

• Para AND:

A • A = 0

• Para NOT:

A = A

Lei da Absorc¸ ˜ao

• Para OR:

A + A • B = A

Entradas Saída A B A + A • B

0 0 0

0 1 0

1 0 1

1 1 1

• Para AND:

A • (A + B ) = A

Entradas Saída A B A • (A + B)

0 0 0

0 1 0

1 0 1

1 1 1

Lei da Absorc¸ ˜ao

• Para OR:

A + A • B = A

A + A • B =

Elemento Neutro

A • 1 + A • B =

Distributiva

A • (1 + B ) =

Elemento Dominante

A • 1 =

Elemento Neutro

A

• Para AND:

A • (A + B ) = A

A • (A + B ) =

Distributiva

A • A + A • B =

Idempotência

A + A • B =

Elemento Neutro

A • 1 + A • B =

Distributiva

A • (1 + B ) =

Elemento Dominante

A • 1 =

Elemento Neutro

A

Lei da Identidade Auxiliar

• Para OR:

A + A • B = A + B

Entradas Saída Saída A B A + A • B A + B

0 0 0 0

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 1 1

• Para AND:

A • (A + B ) = A • B

Entradas Saída Saída A B A • (A + B) A • B

0 0 0 0

0 1 0 0

1 0 0 0

1 1 1 1

Lei da Identidade Auxiliar

• Para OR:

A + A • B = A + B

A + A • B =

Absorção

A + A • B + A • B =

Distributiva

A + B • (A + A) =

Complemento

A + B • 1 =

Elemento Neutro

A + B

• Para AND:

A • (A + B ) = A • B

A • (A + B ) =

Distributiva

A • A + A • B =

Complemento

0 + A • B =

Elemento Neutro

A • B

Lei de De Morgan

• Para OR:

A + B = A • B

Entradas Saída Saída A B A + B A • B

0 0 1 1

0 1 0 0

1 0 0 0

1 1 0 0

• Para AND:

A • B = A + B

Entradas Saída Saída A B A • B A + B

0 0 1 1

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 0

Lei de De Morgan

• Para OR:

A + B = A • B

A + B + C = A • B • C

• Para AND:

A • B = A + B

A • B • C = A + B + C

Simplificac¸ ˜ao de Circuitos L ´ ogicos

• Métodos de simplificação de circuitos:

• Aplicação das leis da Álgebra Booleana

• Mapa de Karnaugh

• Método Quine-McClusky

• Espresso

• Simplificação do circuito lógico:

• Obter circuito lógico equivalente ao original,

com menos portas lógicas ou portas lógicas mais simples

• Minimização do circuito lógico:

• Obter circuito lógico equivalente ao original, com o menor número de portas lógicas possível

Simplificac¸ ˜ao de Circuito usando Leis da ´ Algebra Booleana

• Exemplo:

AB + A(B + C ) + B(B + C ) =

Distributiva

AB + AB + AC + BB + BC =

Idempotência

AB + AC + BB + BC =

Idempotência

AB + AC + B + BC =

Absorção

AB + AC + B =

Comutatividade

AB + B + AC =

Absorção

B + AC

Simplificac¸ ˜ao de Circuito usando Leis da ´ Algebra Booleana

• Exemplo:

A • B + A • C + A • B • C =

De Morgan

(A • B ) • (A • C ) + A • B • C =

De Morgan

(A + B) • (A • C ) + A • B • C =

De Morgan

(A + B) • (A + C ) + A • B • C =

Distributiva

A • A + A • B + A • C + B • C + A • B • C =

Idempotência

A + A • B + A • C + B • C + A • B • C =

Absorção

A + A • C + B • C + A • B • C =

Absorção

A + B • C + A • B • C =

Absorção

A + B • C

Formas Padronizadas de Express ˜ oes Booleanas

• Toda expressão booleana pode ser convertida para formas padronizadas

• Objetivo:

• Facilitar a simplificação do circuito

• Formas padronizadas:

• Soma de Produtos

• Soma de Mintermos

• Produto de Somas

• Produto de Maxtermos

• ...

Soma de Produtos

• Soma de Produtos (SOP):

• Expressão booleana é soma (OR) de parcelas

• Cada parcela é produto (AND) de sinais de entrada ou seus complementos

• Exemplos:

• Expressões na forma SOP:

• A • B + A • B • C

• A • B + A • B • C + A • C

• A • B • C

• A + A • B • C + B • C • D

• Expressões não estão na forma SOP:

• A • (B + C • D) A • B • C + A • B

• (A + B) • (A + C)

Produtos de Somas

• Produtos de Somas (POS):

• Expressão booleana é multiplicação (AND) de fatores

• Cada fator é soma (OR) de sinais de entrada ou seus complementos

• Exemplos:

• Expressões na forma POS:

• (A + B) • (A + B + C)

• (A + B + C) • (C + D + E) • (B + C + D)

• A • (A + B + C)

• A + B + C

• Expressões não estão na forma POS:

• A • B + A • B • C

• (A + B + C) • (A + B)

Circuito L ´ ogico de uma Soma de Produtos

• Circuito lógico obtido a partir de expressão booleana na forma SOP:

• Portas NOT para os sinais de entrada

• Uma porta AND para cada parcela:

• Entradas: sinais de entrada ou seus complementos

• Saída: produto

• Uma porta OR:

• Entradas: produtos

• Saída: resultado da expressão booleana

• 2 níveis de lógica

• Exemplo:

Circuito L ´ ogico de um Produto de Somas

• Circuito lógico obtido a partir de expressão booleana na forma POS:

• Portas NOT para os sinais de entrada

• Uma porta OR para cada fator:

• Entradas: sinais de entrada ou seus complementos

• Saída: soma

• Uma porta AND:

• Entradas: somas

• Saída: resultado da expressão booleana

• 2 níveis de lógica

• Exemplo:

Mintermos e Maxtermos

• Dada uma função boolena com n sinais de entrada

• Mintermo:

• Corresponde a uma linha da tabela verdade

• Produto (AND) dos sinais de entrada:

• Se sinal é 1, sinal de entrada é usado diretamente

• Se sinal é 0, sinal de entrada é complementado

• Maxtermo:

• Corresponde a uma linha da tabela verdade

• Soma (OR) dos sinais de entrada:

• Se sinal é 0, sinal de entrada é usado diretamente

• Se sinal é 1, sinal de entrada é complementado

Exemplo: Mintermos e Maxtermos

Entradas Saída Termos

A B C X Mintermos Maxtermos

0 0 0 1 m₀ = A • B • C M₀ = A + B + C

0 0 1 0 m₁ = A • B • C M₁ = A + B + C

0 1 0 1 m₂ = A • B • C M₂ = A + B + C

0 1 1 1 m₃ = A • B • C M₃ = A + B + C

1 0 0 0 m₄ = A • B • C M₄ = A + B + C

1 0 1 0 m₅ = A • B • C M₅ = A + B + C

1 1 0 1 m₆ = A • B • C M₆ = A + B + C

1 1 1 1 m₇ = A • B • C M₇ = A + B + C

Soma de Produtos a partir da Tabela Verdade

• Dada a tabela verdade, obter expressão booleana na forma SOP:

• Expressão booleana:

• Soma (OR) de mintermos

das linhas da tabela verdade em que saída é 1

• Exemplo:

Entradas Saída

A B X

0 0 0

0 1 1 ⇒ m₁ = A • B

1 0 1 ⇒ m₂ = A • B

1 1 0

X = m₁ + m₂ = A • B + A • B

Produto de Somas a partir da Tabela Verdade

• Dada a tabela verdade, obter expressão booleana na forma POS:

• Expressão booleana:

• Produto (AND) de maxtermos

das linhas da tabela verdade em que saída é 0

• Exemplo:

Entradas Saída

A B X

0 0 0 ⇒ M₀ = A + B

0 1 1

1 0 1

1 1 0 ⇒ M₃ = A + B

X = M₀ • M₃ = (A + B) • (A + B)

Exemplo: Soma de Produtos (ou Soma de Mintermos)

Entradas Saída Mintermo

A B C X

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

m

₃

1 0 0 1

m

₄

1 0 1 0

1 1 0 1

m

₆

1 1 1 1

m

₇

X = m

₃

+ m

₄

+ m

₆

+ m

₇

= A • B • C + A • B • C + A • B • C + A • B • C

Exemplo: Produto de Somas (ou Produto de Maxtermos)

Entradas Saída Maxtermo

A B C X

0 0 0 0

M

₀

0 0 1 0

M

₁

0 1 0 0

M

₂

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 0

M

₅

1 1 0 1

1 1 1 1

X = M

₀

• M

₁

• M

₂

• M

₅

= (A + B + C ) • (A + B + C ) • (A + B + C ) • (A + B + C )

Exemplo: SOP e POS a partir da Tabela Verdade

Entradas Saída

A B C Y

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

Equival ˆencia de Circuitos: SOP e POS

Entradas Saída

A B X

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

SOP:

X = A • B + A • B

POS:

X = (A + B ) • (A + B)

A • B + A • B =

^?

^{(A + B) • (A + B)}

Entradas Auxiliares Saída Auxiliares Saída

A B A • B A • B A • B + A • B A + B A + B (A + B) • (A + B)

0 0 0 0 0 0 1 0

0 1 1 0 1 1 1 1

1 0 0 1 1 1 1 1

1 1 0 0 0 1 0 0

Equival ˆencia de Circuitos: SOP e POS

• SOP:

X = A • B + A • B

• POS:

X = (A + B ) • (A + B )

A • B + A • B =

^?

^{(A + B ) • (A + B)}

(A + B ) • (A + B) =

Distributiva

A • A + A • B + B • A + B • B =

Complemento

0 + A • B + B • A + 0 =

Elemento Neutro

A • B + B • A =

Comutatividade

A • B + A • B