Um Experimento de Oscilador Forcado Amortecido
AForcedDampedOscillatorExperiment
D. Tomasi
e E.C. Caparelli
EscueladeCienciayTecnologia,UniversidadNacionaldeGeneralSanMartin
Alem3901,1651SanAndres,BuenosAires,Argentina.
Recebidoem15/12/2000. Aceitoem26/01/2001
Estetrabalhoapresentaumexperimentoapropriado paraasaulasdelaboratorioques~ao
normal-menteoferecidasemcursos degraduac~ao. Este experimento estabaseadoemoscilac~oes forcadas
amortecidas de uma agulha magnetica e permitea observac~ao dofen^omeno deresson^ancia, que
ocorrequando afrequ^enciadocampomagnetico dependentedotempocoincide comafrequ^encia
deoscilac~oes livresdaagulhadeumabussola,queporsuavezdependedamagnetizac~aoedo
mo-mentodeinerciadaagulha. Asoscilac~oes daagulhaforammonitoradascomumasondaHalleum
microcomputador,eosresultadosexperimentaisforamcomparadoscomateoriaatravesdaanalise
deFourierdosdados. Estesresultadosapresentaramboaconcord^ancia comasprevis~oesteoricas.
Thisworkpresentsanexperimentsuitablefor intermediatelaboratoryinstruction,whichisbased
ontheforceddampedoscillationsofamagneticneedle. Thisallows theobservanceofaresonance
phenomenon,whichoccurswhenthefrequencyofthe timedependentmagnetic eldmatchesthe
frequencyoffreeoscillationsofthecompassneedlethatdependsonthemagnetizationandmoment
ofinertiaoftheneedle. ThecompassneedleoscillationsweremonitoredusingaHallsensoranda
PC.TheoryandexperimentwerecomparedusingaFourieranalysisofthedata. Theresultsarein
goodagreementwiththetheoreticalexpectations.
I Introduc~ao
O movimento de umoscilador harm^onicosimples tem
sido amplamente estudado em cursos de fsica
experi-mental devido a possibilidade de se utilizar dois
ins-trumentos simples: op^enduloeosistema massa-mola.
Estes estudos experimentais geralmente s~ao baseados
na medic~aodoperodo,apartirdoquals~aoderivados
os par^ametrosdin^amicos.
Nos ultimos anos varios experimentos foram
pro-postos para estudar o movimento de um oscilador
harm^onicosimplesforcadoamortecido[1-5]. Por
exem-plo,oscoe cientesdeviscosidadedoaredooleopodem
ser determinados a partir de oscilac~oes livres de uma
bolasustentadapor umamola[1,3].
Recentemente, devido ao aumento de capacidade
dos computadorespessoais(PC),aaquisic~aoeanalise
dosdadosforamincludosdentrodoarranjo
experimen-tal,tornando possvelfazer comparac~oesmais precisas
entre os dados experimentais e as previs~oes teoricas
[4,5].
Nestetrabalhoapresentamosumexperimento para
estudarasoscilac~oesforcadasamortecidasdaagulhade
uma bussola. A aquisic~aode dadosefeita atravesde
ummicrocomputadoreaanalisedeFouriereutilizada
paraestudaromovimentooscilatorio.
As duas sec~oes a seguir cont^em a teoria das
os-cilac~oesforcadasamortecidasdeumaagulhaimantada
eosdetalhesdoexperimento proposto.
II Teoria
A seguir vamos considerar uma agulha imantada
em uma regi~ao do espaco onde existem dois
cam-posmagneticosperpendiculares,umcampomagnetico
estatico,B
0 =B
0 ^
i,eumcampomagneticoharm^onico,
B 1 = B 1 cos!t ^
j, como ilustrado na Fig. 1, onde !
ea frequ^encia angular do campo harm^onico. O vetor
campomagneticototalBedadopelasuperposic~aodos
doiscamposepodeserescritocomo
B=(B
0 ;B
1
cos!t;0): (1)
O torque, B, devido a interac~ao magnetica entre
oscamposeomomentomagneticodaagulha,,e
res-ponsavelpelamudancadomomentoangulardaagulha,
L,naseguinte forma[6]
dL
dt
=B: (2)
onde
representa a derivada de segunda ordem do
^
angulo polar entre a agulha e B
0
, sendo I o
mo-mento deinerciadaagulha. Comoeusual,
considera-mos apenas pequenos desvios na posic~aode equilibrio
da agulha, o qual s~ao de nidos por sin . Neste
casoaEq. (3)setransformaemumaequac~aolinearde
segundaordem + B 0 I = B 1 I cos!t; (4)
Comotambemeusual,consideramosoprocessode
re-laxac~ao, induzido pelo atrito daagulha, que e
depen-dente davelocidade,incluindo termos de primeira
or-dem naequac~aolinear(4)
+ 2 T _ + B 0 I = B 1 I cos!t; (6)
onde o tempo de relaxac~ao, T, no termo de primeira
ordem , e uma constante temporal dodecaimento
ex-ponencialdasoluc~aohomog^eneadaEq.(6),queedada
por c H (t)=exp t T [Aexp(i! t)+Bexp( i! t) ]: (7) Aqui ! = q ! 2 0 1 T 2
eafrequ^encia naturaldas oscilac~oes amortecidas eA e B s~aocoe cientes constantes, que
est~ao associados as condic~oes iniciais (t = 0) e _
(t = 0). A soluc~ao geral da Eq. (6) e a soma das soluc~oes
homog^enea,(7), eparticular,queedadapor
p (t)= ! 2 1 T 2 [(! 2 0 ! 2 ) 2 T 2 +4! 2 ] (! 2 0 ! 2 )cos!t+ 2! T sin!t : (8) d
Figura1. Orientac~aodabussolaeoscamposmagneticos.
Entretantodevidoaodecaimentoexpon^encialde
H (t),
para t T a soluc~ao gerale dominada pela soluc~ao
particular(8),cujaamplitudeapresentaum
comporta-mento resonanteem !
0
=! caracterizadopelafunc~ao
deLorentz 1 [(! 2 ! 2 ) 2 +(2!=T) 2 ] ; (9)
aqualatingeseuvalormaximopara!
0
=!,etemuma
largurade4!=T.
III Experimento
O objetivodesta sec~aoetestara teoriaacima usando
um arranjoexperimental simples, cujosresultados s~ao
apropriadosparaintroduzirofen^omeno deresson^ancia
magneticaaestudantes degraduac~ao.
O arranjo experimental esta mostrado na Fig. 2.
Ocampomagneticoestatico,B
0
,eproduzidoporuma
correntecontnuaI emumpardeHelmholtz,que
con-sistededuasbobinascircularesconstitudasde100
es-piras de cobre cada uma, com 24 cm de di^ametro e
separadas por uma dist^ancia de 12 cm. Estas
bobi-nasforamconectadasemserieparaproduzirumcampo
magneticouniformeemseuisocentro,dadopor
B 0 (0;0;0)= 8 0 N I 5 3=2 R ; (10)
ondeReoraiodasN espirase
0
eapermeabilidade
magnetica do vacuo. Estas bobinas est~ao orientadas
paraproduzirumcampomagneticoparaleloaocampo
Figura2. Oarranjoexperimentaldescritonotexto.
Ocampoharm^onicoB
1
,foiproduzidoporuma
cor-rentealternada(AC)tiposenoconduzidaemumparde
Helmholtz,similaraqueledescritoacima,feitocom200
espirasdecobrede10cmdedi^ametro. Esteparfoi
co-locadoperpendicularmenteaoparqueproduzocampo
B
0
. AcorrenteACnestasbobinasforamajustadaspara
minimizaraamplitudedasoscilac~oesforcadaspara
sa-tisfazer aexpress~ao sen. A agulhamagneticafoi
colocadanoisocentrodosistemaesuasoscilac~oesforam
monitoradasusandoumsensordecampomagnetico
ba-seadonoefeitoHall,oqualfoiposicionadoparamedira
componentexdocampomagnetico,comomostraaFig.
2. OsinaldasondaHallfoi ampli cado,digitalizadoe
adquiridousandooprogramaMPLIparaWindows 1
e
ummicrocomputador.
ComopodemosobservarapartirdaFig. 3b,a
com-ponentexdocampomagneticooscilaquandoacorrente
de(1;100;01)AeaplicadaaopardeHelmholtzque
produzocampoB
0
,oqualusandoaequac~ao(10)
cor-respondeaovalorde(8;260;08)Gauss. Nestecasoa
frequ^enciaangulardocampoB
1
foi colocadaem25.46
rad/s. Este dadofoi adquirido umminutodepois que
o campo B
1
foi ligado, para evitar o comportamento
transiente de frequ^encia natural !
caracterstico das
soluc~oeshomog^eneasdadaspela Eq. (7). Paravalores
maisaltosoumaisbaixosdeB
0
omovimentooscilatorio
daagulhaereduzidoenfatizandoocomportamento
res-sonantedaagulha,queesustentadopelateoriaacima.
A densidadeespectralA(),gra cadacomo func~aoda
frequ^encia na Fig. 3a, eosinal nafrequ^encia
domi-nante e foi obtida usando a transformada de Fourier
rapidadosdadosdaFig. 3b. Asetaobservadanesta
-gura,em=(4;05 0;02)Hz,correspondeafrequ^encia
deoscilac~oesforcadasdaagulhamagnetica.
Figura3. Oscilac~oesforcadasdeumaagulhamagnetica. [a]
SinallidopelasondaHallnodomniodefrequ^encias. [b]O
mesmonodomniotemporal.
Figura4.Amplitudedasoscilac~oesforcadascomofunc~aoda
intensidadedeB
0
.Ocrculocheiorepresentaovalordopico
dosinallidopelasondaHallnodomniodasfrequ^encias. A
linharepresentaumajustedeLorentzdosdados.
A Fig. 4 mostra ovalor maximo dadensidade
es-pectralcomofunc~aodeB
0
,quandoeusadabaixa
am-plitudedo campoB
1
,defrequ^encia =(3;630;01)
Hz, para forcar o oscilador magnetico. A resson^ancia
daagulhatorna-seevidente,nesta gura,pelopico
ob-servadoemB
0
=6;3Gauss. Esta guratambem
mos-traumacurvadeLorentzparaeste conjuntodedados
comparandoa teoriacom os resultadosexperimentais
[vejaEq. (9)]. Alarguradopicoressonanteencontrado
nestacurvaede(0;150;04)Gauss.
a agulha magnetica. Nesta condic~ao de resson^ancia a
frequ^encianaturaldeoscilac~oesestarelacionadacoma
intensidade docampo magneticoestaticoB
0
pela Eq.
(5).
Para explorar mais detalhadamente a validade da
Eq.(5), repetimos o procedimento acima para
encon-trar ovalordocampomagneticoquemaximizaa
am-plitudedasoscilac~oesdaagulha,utilizandovalorespara
afrequ^encia deB
1
quevariamdesde1a4Hz. A Fig.
5mostraos valoresde ! 2 0 eos valoresmedidosde B 0 .
A depend^encia linear entre ! 2
0 e B
0
, observado nesta
gura, esta de acordo com a Eq. (5), e fornece um
suporteexperimentalparaateoria.
Figura 5. Frequ^encia de ress^onancia como func~ao da
in-tensidadedeB0. Ocrculo cheio corresponde aoquadrado
dafrequ^enciadeB1quemaximizaaamplitudedeoscilac~ao
dadaporB0. Alinharepresentaumajustelineardosdados.
A raz~ao =I, que e uma propriedade da agulha
magnetica, foi obtida a partir de uma regress~ao
li-near destes dados, cujainclinac~ao da curvaresultante
e =I =(812) G 1
s 2
. A largura dopico de
res-son^ancia, usadopara fazer a Fig. 5, n~ao depende da
intensidadedocampoB
0
,conformeeesperadoapartir
dateoria.
O conhecimento do valor de =I nos permite
fa-zer uma estimativa do tempo derelaxac~aoda agulha,
usando a largurado pico de resson^ancia e aEq. (9),
obtendo-seT =(72)s.
Parafazer umamedidadireta deT,pulsamosuma
correnteconstantenabobinadeHelmholtzqueproduz
o campo B
1
em lugar de utilizar uma corrente
alter-nada do tipo seno, utilizada anteriormente. Quando
epulsadaacorrentenestabobinaocampoestaticoB
1
produzumdeslocamentoangularnaagulhadabussola,
e quando esta corrente e desligada a agulha volta ao
Figura6. Oscilac~oes amortecidasdaagulhamagnetica. [a]
OsinallidopelasondaHallnodomniodasfrequ^encias. [b]
omesmonodomniodotempo.
A Fig. 6bmostra o campo magneticodepend^ente
do tempo gerado pelo movimento da agulha quando
B
0
=(6;550;05)GausseocampoestaticoB
1 e
des-ligado. Nesta gurapodemosverqueaamplitudedas
oscilac~oesdaagulhamostraumdecaimentoexpon^encial
para um tempo derelaxac~aoT =(81) sde acordo
comEq. (7). Nota-sequeestamedidadiretadeT esta
de acordocomoresultado jaobtidousando alargura
dopicoderesson^ancia.
A densidade espectral na Fig. 6a corresponde ao
sinal em frequ^encia e foi obtida a partir da
transfor-madadeFourierrapidadosdadosqueseencontramna
Fig. 6b,analogamente ao casoanterior. Ounico pico
observado noespectro para =3;63 Hzemais largo
queopicoobservadonaFig. 3adevidoaodecaimento
exponencialdosinalnaFig. 6b. Ovalordafrequ^encia
paraasoscilac~oesamortecidas!
eproximaa!
0 neste
caso,devidoaograndevalordeT.
IV Conclus~oes
zado para produzir umfen^omeno ressonante,
apropri-ado para introduzir alunosde graduac~aoao fen^omeno
da resson^ancia. O experimento proposto requer ouso
de bobinas que possuem uma geometria simples para
produzirocampomagneticonecessario.
Oprincipalaspectodaspequenasoscilac~oesdauma
bussolaforamestudadospelaaquisic~aodigitaleanalise
de Fourier dos dados. Os resultados experimentais
est~aodeacordocomateoria.
Agradecimentos
Agradecemos ao Dr A. Valda pelos frutferos
co-mentarios que nos encorajaram aescrevereste
traba-lho.
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