CAMPO ELÉTRICO
campo elétrico de cargas pontuais e distribuições contínuas de carga | lei de Gauss| capacidade
1. (08/11/2013) São dadas duas cargas 𝑞1 = 6 × 10−4𝐶 e 𝑞2= 1,2 × 10−3𝐶 a uma distância de 𝑑 = 30 𝑐𝑚.
1.1. Qual a energia necessária para formar este sistema de cargas.
1.2. A separação é alterada para 𝑑 = 80 𝑐𝑚. Calcule a variação da energia potencial elétrica.
1.3. Nas condições da alínea b) calcule a intensidade e direção do campo elétrico resultante no ponto localizado em (0,0; 0,40) m relativamente a um sistema de coordenadas com origem no ponto médio da separação das cargas e eixo-x definido pelas cargas.
2. (08/11/2013) Considerar o planeta Terra e uma nuvem (de carga positiva), área= 9 km2, como as placas de um condensador.
2.1. Determinar a capacidade deste condensador com nuvem a 600 m de altitude.
2.2. Calcular a energia máxima armazenada neste condensador sabendo que o campo elétrico de rutura dielétrica do ar é 3 × 106 𝑉/𝑚.
2.3. Valor máximo da massa de um corpo carregado com 𝑞 = −5 𝑚𝐶 que este condensador consegue suspender.
3. (08/01/2014) Uma esfera sólida isoladora, de raio R1 tem carga total Q1 uniformemente distribuída por todo o volume. Uma coroa esférica condutora com raio interno R2 e raio externo R3 (R1 < R2 < R3) é concêntrica com a esfera isoladora e tem uma carga total Q.
3.1. Determine a densidade de carga elétrica da esfera.
3.2. Determine o fluxo do campo elétrico através da superfície exterior R3.
3.3. Determine o vetor elétrico para todo o espaço.
3.4. Represente e justifique de forma clara a distribuição de carga na coroa esférica condutora
3.5. Liga-se um fio fino condutor entre a esfera e a coroa esférica. Determine, justificando, quais as alterações relativamente à alínea c) (campo em todo o espaço).
3.6. A coroa esférica é ligada à terra por um fio fino condutor, mantendo-se ligado o fio da alínea anterior. Determine, justificando devidamente, quais as alterações para a alínea anterior.
R1 R3
R2
4. (24/01/2014) Considere uma esfera condutora de raio R com uma carga total +Q. Concêntrica com esta esfera está uma coroa esférica condutora de raios interno R1 e
externo R2, com carga total nula, conforme mostra a figura.
4.1. Calcule o fluxo do campo elétrico através de uma superfície cúbica de aresta a=4R2, concêntrica com a esfera inferior.
4.2. Calcule o campo elétrico em todo o espaço.
4.3. Faça um esboço da distribuição de carga no sistema. Justifique.
4.4. Calcule a capacidade do sistema
4.5. Liga-se um fio fino condutor entre a esfera e a superfície interior da coroa. Calcule o potencial em todo o espaço.
5. (04/09/2013) Considere um plano isolador infinito com uma densidade de carga σ.
5.1. Calcule o campo elétrico em todo o espaço.
5.2. Considere agora que é colocado na vizinhança do plano anterior um outro, também isolador e infinito, com uma densidade de carga –σ, tal como mostra a figura. A distância entre os planos é d. Calcule novamente o campo em todo o espaço.
5.3 Calcule a capacidade do sistema. Justifique convenientemente o cálculo.
5.4 Considere que se introduz um material com constante dielétrica k entre os dois planos de carga. Discuta a alteração do campo elétrico e caracterize a distribuição de cargas no sistema.
6 . (21/11/2012) Considere uma esfera metálica de raio R1 com carga Q.
6.1 Calcule o campo elétrico em todo o espaço.
6.2 Suponha agora que a esfera é envolvida por uma coroa esférica metálica, sem carga e de raios interior R2 e exterior R3. Discuta a distribuição de cargas em todo o sistema (R1 < R2 < R3).
6.3 Calcule a capacidade do sistema.
6.4 Calcule a energia armazenada no campo elétrico no interior do condensador.
6.5 Considere que se pretende o espaço interior do condensador com um material de constante dielétrica ∈𝑟> 1. Calcule os novos valores da diferença de potencial elétrico entre as placas, capacidade e energia armazenada no condensador e compare estes valores com as duas alíneas anteriores, quando não havia qualquer dielétrico entre as placas. Comente os resultados obtidos.
R R2
R1
+Q
-
7 . (01/02/2013) Considere um cilindro isolador e maciço, de raio R1 e comprimento L, carregado uniformemente com carga Q.
7.1 Na aproximação de que L>>R1, calcule o campo elétrico em todo o espaço.
7.2 Considere agora que envolve o bloco de material anterior com uma coroa cilíndrica condutora e descarregada e de raios interior R2 (>R1) e exterior R3. Analise a distribuição de cargas nesta última coroa justificando convenientemente.
7.3 Suponha, agora, que o cilindro é condutor. Calcule a capacidade do sistema.
8. (07/09/2011) Considere a superfície esférica isoladora, de raio R, carregada, centrada na origem representada esquematicamente na figura. A sua densidade superficial de
carga é σ. Considere uma carga pontual +Q colocada sobre o eixo dos y, em R/2.
8.1 Determine a carga sobre a superfície esférica.
8.2 Determine o valor total do fluxo do campo elétrico através de um cubo de aresta a (a=6R) centrado na esfera.
8.3 Determine o campo elétrico no ponto P1, sobre o eixo dos xx’, sendo x1=2R. Represente-o graficamente.
8.4 Determine o potencial no ponto P1.
9(12/01/2011) Considere uma esfera condutora de raio R carregada com uma carga +Q.
9.1 Determine, justificadamente, o vetor campo elétrico em todo o espaço.
9.2 Considere agora que coloca um plano isolador infinito com uma densidade superficial de carga +σ a uma distância d (d>R) do centro da esfera.
9.2.1 Determine o campo elétrico no centro da esfera criado apenas pelo plano.
9.2.2 Indique o valor do campo total no mesmo ponto, justificando claramente a sua resposta.
9.3 Se 𝑑 ≫ 𝑅, determine a força eléctrica entre a esfera e o plano.
9.4 Como se alteraria a resposta à alínea b) se a esfera fosse isoladora com a carga uniformemente
L
R1 R2 R3
+Q
x y
P1
10 (12/01/2011) Considere uma esfera condutora de raio R1 isolada no espaço.
10.1 Determine a capacidade C da esfera.
10.2 Considere agora que envolve a esfera anterior com uma superfície esférica de raio R2 e espessura desprezável. Na situação em que R2-R1≪R2 determine a capacidade do novo sistema.
Justifique claramente a sua resposta.
11 (17/11/2010) Considere uma carga elétrica pontual positiva q. Próximo desta carga e a uma distância d é colocada uma esfera condutora de raio R (R=d/2) e carga total nula.
11.1 Determine o valor do fluxo do campo elétrico através de um cubo de aresta a (a=3R) centrado na esfera.
11.2 Diga justificadamente como se distribui a carga na esfera (pode fazer um esboço).
11.3 Considere agora que liga à terra a parte da esfera diametralmente oposta à que se encontra junto da carga pontual. Indique, justificadamente, qual a carga final da esfera.
11.4 Nas condições da alínea anterior, determine o campo elétrico a uma distância b do centro da esfera (b≫R). (Se não resolveu a alínea anterior considere que a carga elétrica da esfera é Q).
11.5 Suponha que se desliga a esfera da terra e depois se retira a carga q. Determine o campo 𝐸⃗ em todo o espaço.
12 (23/01/2007) Três esferas condutoras de raio R carregadas com QA=-4q, QB=-2q e QC=4q. Primeiro colocam-se em contacto as esferas A e C. Seguidamente colocam-se em contacto as esferas C e B.
Quais os processos de eletrização utilizados?
12.1 Qual a carga resultante em B?
12.2 Calcule o campo elétrico criado pela esfera B em todo o espaço.
12.3 Considere um condutor carregado eletricamente com uma cavidade no interior. Explique em que consiste o efeito de blindagem electroestático.
13 (08/11/2007) Considere uma carga elétrica pontual positiva q. Próximo desta carga, e a uma distância d, é colocada uma esfera condutora de raio R (R<<d) e carga total nula.
13.1 Determine o valor do fluxo do campo elétrico através de um cubo de aresta a=3R centrado na esfera.
13.2 Diga, justificadamente, como se distribui a carga na esfera.
13.3 Considere agora que liga à terra a parte da esfera diametralmente oposta à que se encontra junto da carga pontual. Indique, justificando como se redistribui a carga.
13.4 Nas condições da alínea anterior determine o campo elétrico a uma distância b>> d da esfera.
13.5 Suponha que desliga a esfera da terra, e depois retira a carga q. Determine o campo elétrico em todo o espaço.
13.6 Suponha que não desliga a esfera da terra e depois retira a carga q. Prove que o campo elétrico é nulo em todo o espaço.
14 (08/11/2007) Doze cargas pontuais (q=+2C) foram colocadas nas posições das horas num relógio circular de raio a = 1 m.
14.1 Qual é a força exercida por este sistema de cargas sobre uma carga pontual Q = 1C colocada no centro do relógio?
14.2 Qual é o vetor força no caso anterior, se a carga elétrica colocada na posição das 7 horas for substituída por uma carga negativa (q7=-2C).
15 (18/11/2009) Três cargas pontuais, duas negativas e uma positiva, estão colocadas ao longo do eixo dos xx nos pontos x=a, x=0 e x=-a, na configuração da figura seguinte. O valor absoluto de cada carga é Q.
15.1 Determine a força que acuta sobre a carga –Q, colocada em x=0.
15.2 A partir do resultado anterior determine o campo elétrico em x=0, devido às cargas colocadas em x=a e x=-a.
15.3 Qual é o trabalho, que é necessário realizar no transporte da carga –Q, desde o infinito até x=0, na presença das cargas -Q em x=a e +Q em x=-a?
15.4 Determine a energia potencial das três cargas.
15.5 Qual a variação da energia potencial deste sistema de cargas, quando a carga –Q, colocada em x=0, é deslocada para a posição x=2a, pelo caminho indicado na figura (arco de circunferência a tracejado)?
16 (18/11/2009) Na figura está representada, esquematicamente uma coroa esférica condutora carregada, com raio interior Ri, raio exterior Re, e carga total +2Q. No centro desta foi colocada uma carga pontual – Q.
16.1 Determine o fluxo do campo elétrico através da superfície do paralelepípedo representado na figura a tracejado.
16.2 Calcule o campo elétrico em todo o espaço, na ausência da carga
-Q
+2Q
+Q - Q -Q
-a 0 a 2a x
y
16.3 Uma carga –Q foi colocada no centro da coroa, em conformidade com a figura. Esboce a distribuição de carga na coroa, depois de atingido o equilíbrio electroestático. Represente as linhas de força do campo elétrico em todo o espaço.
16.4 Repita a alínea anterior se a superfície exterior da coroa for ligada à terra.
17 (08/01/2010) Uma esfera condutora de raio r1=1m tem uma carga inicial Q=5109C. A esfera é ligada, por meio de um fio condutor a outra esfera condutora, de raio r2=0.5cm, inicialmente descarregada.
17.1 Diga o que sucede à carga inicial quando se ligam as duas esferas.
17.2 Determine a carga em cada uma das esferas em função de Q, r1, r2. Justifique.
17.3 Determine o potencial elétrico em cada esfera.
17.4 Determine o campo elétrico à superfície da esfera maior e faça um esboço das linhas de campo do sistema.
18 (27/01/2010) Considere a superfície esférica isoladora de raio R, carregada, centrada na origem, representada na figura. A sua densidade superficial de carga é σ. Considere uma carga pontual +Q, colocada sobre o eixo dos yy’, em R/2.
18.1 Determine a carga sobre a superfície esférica.
18.2 Determine o valor do total do fluxo do campo elétrico através de um cubo de aresta a (a=5R) centrado na esfera.
18.3 Determine o campo elétrico no ponto P1, sobre o eixo dos xx´, sendo x1=R/2.
18.4 Determine o potencial no ponto P1.
19 (28/11/2007) Três cargas pontuais (q=+2μC) foram colocadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado a=2m.
19.1 Calcule a energia necessária para formar este sistema de cargas.
19.2 Calcule o potencial elétrico no centro do triângulo.
19.3 Substituindo apenas uma carga como se pode obter potencial nulo no centro do triângulo?
19.4 Na situação da alínea c) o campo elétrico não é nulo no centro do triângulo. Justifique a afirmação.
+Q
x y
P1
r
1r
2d>>r
1,r
2+Q R
Re Ri 20 (19/11/2008) A partícula A, com carga QA=+10 μC, e a partícula B, com carga QB=-10 μC, estão
colocadas no eixo –x a 10 cm da origem, na configuração da figura abaixo. Considere ainda uma coroa esférica condutora com raio interior Ri=1cm e raio exterior Re=1,2cm com carga total nula.
20.1 Calcule o campo e o potencial elétrico na origem na ausência da coroa esférica.
20.2 Repita a alínea anterior se a coroa esférica condutora, com carga total nula, for colocada centrada na origem.
20.3 Esboce a distribuição de carga na coroa depois de atingido o equilíbrio electroestático. (Note que se trata de material condutor)
20.4 Determine o fluxo do campo elétrico que atravessa uma segunda superfície esférica centrada na origem e raio de 12 cm.
21 (28/01/2009) Três cargas pontuais q1=-q (no ponto (0,0)), q2=+q (no ponto (a,0)) e q3=-q (no ponto (a,a)), estão situadas nos vértices de um quadrado de lado a.
21.1 Calcule o campo elétrico no vértice sem carga.
21.2 Calcule o potencial elétrico no mesmo ponto da alínea anterior.
21.3 Qual é o trabalho para trazer uma carga +q de um ponto muito afastado até ao vértice sem carga?
21.4 Qual o trabalho para colocar o sistema das quatro cargas (-q,+q,-q,+q) nos vértices do quadrado?
22 (12/07/2007) Considere uma esfera condutora de raio R com carga total +Q. Concêntrica com esta esfera está uma coroa esférica condutora de raio interno Ri e externo Re, com carga total nula, conforme se mostra na figura.
22.1 Calcule o fluxo do campo elétrico através de uma superfície cúbica de aresta a=4Re, concêntrica com a esfera interior.
22.2 Calcule o campo elétrico em todo o espaço.
22.3 Calcule o potencial elétrico em todo o espaço.
22.4 Faça um esboço da distribuição de carga do sistema, justificando.
22.5 Calcule a capacidade do sistema.
22.6 Suponha que liga a superfície exterior da coroa esférica à terra.
Diga como se distribui a carga no sistema e como se alteraria a resposta à alínea a).
QA
y
QB
x O
Ri
Re
+q +σ
a
b
P1
z
x y
23 (07/09/2009) Considere um plano infinito isolador carregado com densidade de carga uniforme +σ(C/m2) e uma carga pontual também positiva +q, na configuração mostrada na figura. A distância entre a carga e plano é h.
23.1 Enuncie a lei de Gauss para o campo electroestático.
23.2 Determine o vetor campo elétrico em todos os pontos do espaço, ao longo da rectal que passa na carga e é perpendicular ao plano. Justifique com cálculos.
23.3 Determine o potencial elétrico em todo o espaço, sabendo que o potencial do plano é V0.
23.4 Qual o significado físico do resultado da alínea anterior para pontos muito distantes do plano?
23.5 Calcule a força exercida pela carga sobre o plano (Sugestão: Use a 3ª lei de Newton).
23.6 Considere que a carga q tem massa m e que o plano representa a superfície terrestre.
Determinar a equação do movimento da carga, sabendo que em t=0s a carga está em repouso à distância h do plano.
24 (09/01/2008) Um plano infinito carregado positivamente com densidade superficial de carga +σ constante está no plano YOZ e uma carga pontual positiva +q está sobre o eixo dos x, em (a,0,0).
24.1 Determinar o campo elétrico no ponto P1, devido à carga pontual.
24.2 Determinar o campo elétrico no ponto P1, devido ao plano.
24.3 Determine o campo elétrico devido ao sistema carga+plano.
24.4 Colocou-se uma carga negativa –q em P1. Determine a força elétrica que acuta nessa carga.
24.5 Determine o trabalho necessário para colocar a carga –q no ponto P1, na ausência do plano.
+q
+σ
h
25 Considere um conjunto de três cargas elétricas pontuais, conforme mostra a figura.
25.1 Determine o campo elétrico total nos pontos O e P.
25.2 Qual é a força elétrica exercida sobre a carga –q devido à presença das outras?
25.3 Verifique que se d >>a o campo elétrico no
ponto P é praticamente igual ao que seria criado por uma carga pontual +q colocada no ponto O.
Justifique o facto.
26 (23/11/2008) Uma carga elétrica de 4C encontra-se fixa no espaço.
26.1 Determine o trabalho necessário para trazer uma carga de -5C desde um ponto muito distante até à distância de 0.5 m da carga fixa.
26.2 O trabalho realizado é positivo ou negativo. Justifique, indicando o significado físico do resultado.
27 (19/10/2005) Considere uma esfera condutora de raio R com uma carga total Q.
a. Enuncie a lei de Gauss para o campo electroestático e escreva a sua expressão matemática.
b. Determine o campo elétrico E dentro e fora da esfera.
c. Considere agora que se aproxima (sem tocar) uma carga –q da esfera e em seguida liga à terra a face oposta da esfera, como mostra a figura.
i.Diga justificadamente qual o campo elétrico no centro da esfera.
ii.Qual a carga total da esfera. Justifique.
- q R
+q
- q
O +q
a
x y
a a
d
P
