Universidade Tecnológica Federal do Paraná. APS de Geometria Analítica e Álgebra Linear

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Minist´erio da Educa¸c˜ao

Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Campo Mourão

Wellington Jos´e Corrˆea e Sara Coelho da Silva

Nome:

APS de Geometria Anal´ıtica e ´Algebra Linear

1. Um carro move-se, em linha reta, 5 km na dire¸cão norte e, em seguida, também em linha reta, 5 km na dire¸cão leste. Qual foi o deslocamento do carro.

2. Sendo −→a = (4, 0, 3),−→b = (−2, 1, 5), determine:

(a) ||−→a || (b) −→a +−→b (c) −→a −−→b (d) 3−→b (e) 2 −→a + 5−→b

3. Na figura abaixo, representa-se um paralelep´ıpedo ABCDEFGH. Sendo −→u =−→AB, −→v =−−→AD e −→w =−→AE, exprima −→AG e−−→EC em fun¸c˜ao de −→u , −→v e −→w .

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5. Calcule a soma dos vetores indicados em cada figura abaixo

6. Na figura a seguir, os hex´agonos s˜ao regulares. Em cada caso, determine a soma dos vetores indicados.

7. Dados quatro pontos A, B, C, X e m um n´umero real tais que −−→AX = m−−→XB. Exprima −−→CX em fun¸c˜ao de −→CA,−−→CB e m.

8. Sejam OABC um tetraedro e X o ponto definido por −−→BX = m−−→BC. Exprima−−→OX e−−→AX em fun¸c˜ao de−→OA,−−→OB,−→OC, m.

9. Considere o hex´agono regular de arestas A, B, C, D, E e F . Exprima −→AB +−→AC +−−→AD + −→

AE +−→AF em termos de −→AO, onde O ´e o centro do hex´agono.

10. Prove que o segmento que une os pontos médios dos lados não-paralelos de um trapézio é paralelo às bases, e sua medida é a semi-soma das medidas das bases.

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11. Demonstre que as diagonais de um losango ABCD s˜ao perpendiculares. Nos exerc´ıcios a seguir, todas as coordenadas referem-se a uma base ortonormal positiva fixada.

12. Dados −→u = (2, 0, −3) e −→v = (1, 1, 1). Calcule em radianos, a medida angular entre −→u e −→v . 13. Determine x de modo que −→u = (x, 0, 3) e −→v = (1, x, 3) sejam ortogonais.

14. Obtenha a tripla de coordenada do vetor que tem norma √3, ´e ortogonal a (1, 1, 0) e a (−1, 0, 1) e forma ˆangulo obtuso com (0, 1, 0).

15. Sabendo que −→u +−→v +−→w = −→0 , ||−→u || = 3 2, ||−

→_{v || =} 1 2, ||−

→_{w || = 2, calcule −}→_{u ·−}→_{v +−}→_{v ·−}→_{w +−}→_{w ·−}→_{u .} 16. Prove a rela¸c˜ao de Euler: −→AB ·−−→CD +−−→BC ·−−→AD +−→CA · −−→BD = 0 quaisquer que sejam os

pontosA, B, C e D.

17. Calcule ||2u + 4v||2_{, sabendo que −}→_{u é unitário, ||−}→_{v || = 2 e a medida angular entre −}→_{u e −}→_v é 2π

3 radianos. 18. Prove que:

(a) ||−→u + −→v ||2 _{= ||−}→_{u ||}2_{+ 2 −}→_{u · −}→_{v + ||−}→_{v ||}2_.

(b) ||−→u + −→v || ≤ ||−→u || + ||−→v || (Desigualdade Triangular).

19. Em rela¸cão à base ortonormal positiva B = (−→i ,−→j ,−→k ), são dados −→u = (6, −2, −4) e −

→_{v = (−1, −2, 1). Calcule −}→_{u ∧ −}→_{v .} 20. A medida angular entre −→u e −→v ´e π

6 e suas normas s˜ao 2 e 3, respectivamente. Calcule ||−→u ∧ −→v ||.

21. Calcule a ´area do paralelogramo ABCD, sendo−→AB = (1, 1, −1) e −−→AD = (2, 1, 4). 22. Calcule um vetor ortogonal unit´ario a −→u = (1, 2, 3) e −→v = (−1, 1, 2).

23. Prove que se −→u + −→v + −→w =−→0 , prove que −→u ∧ −→v = −→v ∧ −→w = −→w ∧ −→u .

24. Calcule o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores −→u = (1, 0, 1), −→v = (2, 1, 2) e −

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25. Fa¸ca o que lhe for solicitado:

(a) Verifique que o triângulo retângulo cujos vértices são A(3,3), B(0,1) e C(1,6) é retângulo em A.

(b) Calcule a proje¸c˜ao do cateto AB sobre a hipotenusa BC.

(c) Determine o pé da altura do triângulo relativo ao vértice A (sugestão: seja P (x, y) o pé da altura relativa ao vértice A, então, −−→BP = proj

−→ BA −−→ BC.) 26. Prove que:

(a) proj−→_u −→v = −→v se, e somente se, −→u //−→v .

(b) proj−→_u −→v = −→u se, e somente se, (−→v − −→u ) ⊥ −→u . (c) Se A, B e C s˜ao pontos distintos e proj−→

AC −→

AB = −→AC, então o triângulo ABC é retângulo (diga, neste caso, qual é a hipotenusa).

27. (a) Sejam −→u = (−1, −3, 1), −→v = (1, 0, 1) e −→w = (2, 1, 1). Calcule [−→u , −→v , −→w ].

(b) A medida angular entre os vetores unitários −→u e −→v é 30◦_{, e o vetor −}→_{w , de norma 4, é}

ortogonal a ambos. Calcule [−→u , −→v , −→w ].

28. Prove que quaisquer que sejam −→u , −→v e −→w , vale a igualdade −→u ∧ −→v · −→w = −→u · −→v ∧ −→w . 29. Prove que (−→u ∧ −→v ) · (−→w ∧ −→t ) = − →_{u · −}→_w −→_{u ·} −→_t − →_{v · −}→_w −→_{v ·} −→_t

30. Sejam A = (1, 2, 3) e −→u = (3, 2, 1), escreva equa¸cões da reta que contém A e é paralela a −→u , nas formas vetorial, paramétrica e simétrica. Supondo que o sistema de coordenadas seja ortogonal, obtenha dois vetores diretores unitários dessa reta.

31. Escreva uma equa¸cão vetorial e equa¸cões paramétricas do plano π, utilizando as informa¸cões dadas em cada caso.

(a) π contém A = (1, 2, 0) e é paralelo aos vetores −→u = (1, 1, 0) e −→v = (2, 3, −1). (b) π contém A = (1, 1, 0) e B = (1, −1, −1) e é paralelo ao vetor −→v = (2, 1, 0).

(c) π cont´em os pontos A = (1, 0, 1), B = (2, 1, −1) e C = (1, −1, 0). 4

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32. Se a reta r ´e descrita pelo sistema    a1x + b1y + z c1+ d1 = 0 a2x + y b2+ z c2+ d2 = 0

em que a1, b1, c1 e a2, b2, c2 não são proporcionais, o sistema acima é dito equa¸cão da reta r na forma planar.

Desse modo, obtenha as equa¸c˜oes na forma planar para as seguinte retas:

(a)            x = 1 − λ y = 2 + 2 λ z = 3 + λ (b)            x = 2 y = 1 + λ z = 1 + λ

Sugestão: isole λ em uma das equa¸cões e obtenha as outras variáveis tendo um sistema do tipo acima.

33. Obtenha uma equa¸c˜ao vetorial da reta r a partir de suas equa¸c˜oes planares.

(a)    x + 2y + 3z − 1 x − y + 2z = 0 (b)    x + y + z − 1 = 0 x + y − z = 0 (c)    x = 3 2x − z + 1 = 0

34. Estude a posi¸c˜ao relativa das retas r e s.

(a) r : X = (1, −1, 1) + λ (−2, 1, −1) s :    z + y = 3 x + y − z = 6 (b) r :    x − y − z = 2 x + y − z = 0 s :    2x − 3y + z = 5 x + y − 2z = 0 (c) r := x + 1 2 = y 3 = z + 1 2 s : X = (0, 0, 0) + λ (1, 2, 0) (d) r := x + 3 2 = y − 1 4 = z s :    2x − y + 7 = 0 x + y − 6z = −2 35. Obtenha uma equa¸c˜ao geral do plano π em cada caso.

(a) π contém A = (1, 1, 0) e B = (1, −1, −1) e é paralelo a −→u = (2, 1, 0). (b) π contém A = (1, 0, 1) e B = (2, 1, −1) e C = (1, −1, 0).

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36. Estude a posi¸cão relativa de r e π e, quando forem transversais, obtenha o ponto de inter-seçcão P. (a) r : X = (1, 1, 0) + λ (0, 1, 1) π : x − y − z = 2 (b) x − 1 2 = y = z π : (3, 0, 1) + λ (1, 0, 1) + µ (2, 2, 0) (c) r :    x − y + z = 0 2x + y − z − 1 = 0 π : X = µ 0,1 2, 0 ¶ + λ µ 1, −1 2, 0 ¶ + µ (0, 1, 1) (d) r : X = (1, 0, 1) + λ (2, 1, 3) π : x + y + z = 20 (e) X = (0, 1, 1) + λ (2, 1, −3) π : X = (1, 0, 0) + λ (1, 0, 0) + µ (0, 1, 1) (f) r : x 3 = y − 1 2 = z − 3 8 π : 2x + y − z − 6 = 0 (g) r : X = (2, 3, 1) + λ (1, −1, 4) π : X = (−4, −6, 2) + λ (2, 1, 3) + µ (3, 3, 2) 37. Estude a posi¸cão relativa dos planos π1 e π2.

(a) π1 : X = (1, 1, 1) + λ (0, 1, 1) + µ (−1, 2, 1) π2 = (1, 0, 0) + λ (1, −1, 0) + µ (−1, −1, −2) (b) π1 : X = (4, 2, 4) + λ (1, 1, 2) + µ (3, 3, 1) π2 = (3, 0, 0) + λ (1, 1, 0) + µ (0, 1, 4)

(c) π1 : 2x − y + 2z − 2 = 0 π2 : X = (0, 0, 1) + λ (1, 0, 3) + µ (−1, 1, 1) 38. Determine a intersec¸c˜ao dos planos π1 e π2.

(a) π1 : x + 2y + 3z − 1 = 0 π2 = x − y + 2z = 0 (b) π1 : x + y + z − 1 = 0 π2 = x + y − z = 0

(c) π1 : x + y + z − 1 = 0 π2 = 2x + 2y + 2z − 1 = 0 (d) π1 : x + y + z − 1 = 0 π2 = 3x + 3y + 3z − 3 = 0

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39. Verifique se as retas r e s s˜ao ortogonais ou perpendiculares. (a) r : X = (1, 2, 3) + λ (1, 2, 1) s : X = (2, 4, 4) + λ (−1, 1, −1) (b) r : x + 3 = y = z 3 s : x − 4 2 = 4 − y −1 = −z (c) r : x − 1 2 = y − 3 5 = z 7 s : X = (1, 3, 0) + λ (0, −7, 5) (d) r : X = (2, 3, 0) + λ (−2, −5, 1) s : X = (0, 0, 2) + λ (−1, 1, 3)

40. Obtenha uma equa¸cão vetorial da reta s que contém P e é perpendicular a r, onde P = (2, 6, 1) e r : X = (−3, 0, 0) + λ (1, 1, 3).

41. Obtenha um vetor normal ao plano π contém A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 1) e C = (1, 2, 3). 42. Obtenha uma equa¸cão geral do plano que contém o ponto (1, 1, 2) e é paralelo ao plano de

equa¸c˜ao x − y + 2z + 1 = 0.

43. Verifique se r : X = (0, 0, 4) + λ (1, −1, 1) e π : (1, 2, 3) + λ (1, 2, 1) + µ (1, 0, 1) s˜ao perpen-diculares. 44. Verifique se π1 : (1, −3, 4) + λ (1, 0, 3) + µ (0, 1, 3) e π2 : (0, 0, 0) + λ (1, 1, 6) + µ (1, −1, 0) s˜ao perpendiculares.

Respostas:

1. 5√2 2. (a) 5 (b) (2,1,8) (c) (6,-1,-2) (d) (-6,3,15) (e) (-2,1,5) 3. −→AG = −→u + −→v + −→w . −−→EC = −→u + −→v − −→w .

4. No primeiro e no terceiro tetraedros, −−→AD. No segundo −→0 . No ´ultimo, −→AC.

5. (a) −→AF (b) −→BL (c) −→AF 6. (a) −→EA (b) −→F C (c) −→F C (d) −−→OD 7. −−→CX = 1 1 + m −→ CA + m 1 + m −−→ CB.

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8. −−→OX = (1 − m)−−→OB + m−→OC. −−→AX = −−→OA + (1 − m)−−→OB + m−→OC. 9. 6−→AO

10. Basta mostrar que −−→MN = 1 2(

−→

AB +−−→DC) para obter que ||−−→MN || = 1 2(||

−→

AB|| + ||−−→DC||). 11. Observando que ||−−→AD|| = ||−−→BC|| e−→BA = −−→AB, ´e suficiente verificar que −→AC · −−→BD = 0. 12. θ = arccos(− 1/√39). 13. x = −9 14. −→x = (1, −1, 1)

15. −13

4 . Para tanto, aplique o produto escalar com −

→_{u , −}→_{v e −}→_{w na equa¸c˜ao vetorial dada.} 16. Use por exemplo que −→BA =−−→BC +−→CA. 17. 52.

18. (a) Use ||−→u + −→v ||2 _{= (−}→_{u + −}→_{v ) · (−}→_{u + −}→_{v ).}

(b) Calcule ||−→u + −→v ||2 _{como acima e use Cauchy-Schwarz.} 19. (−10, −2, −14).

20. 3.

21. √62

22. √1

35(1, −5, 3).

23. Basta aplicar o produto vetorial com −

→_{u , −}→_{v e −}→_{w na equa¸c˜ao vetorial dada.} 24. 3. 25. (b) 1 2 √ 26 (c) P ¡₁ 2,72 ¢

26. Use a defini¸cão de proje¸cão ortogonal. Para o item (c), use o item (b). A hipotenusa é AB.

27. (a) 1 (b) 2

28. Use a comutatividade do produto escalar e a defini¸c˜ao de produto misto.

29. Recorra ao exerc´ıcio anterior para obter uma express˜ao que ´e igual ao valor do referido determinante.

30. Use conceitos pertinentes ao produto misto.

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31. Forma vetorial: X = (1, 2, 3) + λ (3, 2, 1); Forma sim´etrica: x − 1 3 = y − 2 2 = z − 3 1 Forma param´etrica: r :            x = 1 + 3 λ y = 2 + 2 λ z = 3 + λ

(λ ∈ R); Vetores diretores unit´arios: ±√1

14(3, 2, 1) .

32. (a) Forma vetorial: X = (1, 2, 0) + λ (3, 2, 1) + µ (1, 1, 0);

Forma paramétrica:            x = 1 + λ + 2 µ y = 2 + λ + 3 µ z = −µ (λ, µ ∈ R). (b) Forma vetorial: X = (1, 1, 0) + λ (0, 2, 1) + µ (2, 1, 0); Forma paramétrica:            x = 1 + 2 µ y = 1 + 2λ + µ z = λ (λ, µ ∈ R). (c) Forma vetorial: X = (1, −1, 0) + λ (−1, −2, 1) + µ (0, 1, 1); Forma paramétrica:            x = 1 − λ y = −1 − 2 λ + µ z = λ + µ

(λ, µ ∈ R). (Foram usados o ponto C e os

vetores−−→BC e −→CA.) 33. (a)    x + z − 4 = 0 y − 2z + 4 = 0 (b)    x = 2 y = z 34. (a) X = (−2, 0, 1) + λ (7, 1, −3) (b) X = (−1/2, 0, 1/2) + λ (−1, 1, 0) (c) X = (3, 2, 7) + λ (0, 1, 0)

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35. (a) Paralelas distintas.

(b) Concorrentes em P = (1, −1, 0).

(c) Reversas.

(d) Coincidentes (r = s) 36. (a) x − 2y + 4z + 1 = 0 (b) 3x − y + z − 4 = 0 37. (a) r e π s˜ao transversais; P = (1, 0, −1).

(b) r e π são paralelos. (c) r está contida em π. (d) Concorrentes em P = (7, 3, 10) (e) Concorrentes em P = (0, 1, 1) (f) Paralelas distintas. (g) r está contida em π. 38. (a) São iguais.

(b) S˜ao transversais. (c) r e π s˜ao paralelos. 39. (a) r :            x = −2 + 7 λ y = λ z = 1 − 3 λ (b) r :              x = λ y = 1 2 − λ z = 1 2

(c) Os planos s˜ao paralelos. (d) π1∩ π2 = π1 = π2 40. (a) Perpendiculares.

(b) Perpendiculares.

(c) Perpendiculares.

(d) São ortogonais, mas não perpendicu-lares. 41. s : X = (1, 0, 1) + λ (1, 0, −1). 42. (1, 0, 0). 43. x − y + 2z − 4 = 0. 44. Não. 45. Não. Bom trabalho!!! 10