Universidade Tecnológica Federal do Paraná. 1 ā Lista de Geometria Analítica e Álgebra Linear. (a) A + B (b) A C (c) B D (d) A (e) A t

(1)

Minist´erio da Educa¸c˜ao

Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Campo Mourão

Wellington Jos´e Corrˆea

Nome:

1a

¯Lista de Geometria Anal´ıtica e ´Algebra Linear

1. Sejam as matrizes A =   1 2 3 2 1 −1   , B =   −2 0 1 3 0 1   , C =      −1 2 4      e D = ³ 2 −1 ´ . Encontre:

(a) A + B (b) A · C (c) B · D (d) −A (e) At

2. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrˆaneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa ´e dada pela tabela:

Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo

Moderno 5 20 16 7 17

Mediterrˆaneo 7 18 12 9 21

Colonial 6 25 8 5 13

(a) Se ele construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrˆaneo e colonial, respectiva-mente, quantas unidades de cada material ser˜ao empregadas?

(b) Suponha que agora os pre¸cos por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 reais. Qual o pre¸co unit´ario de cada tipo de casa? (c) Qual o custo total do material empregado?

(2)

3. Ana e Beto estão planejando comprar frutas para a próxima semana. Cada um deles quer comprar algumas ma¸cãs, tangerinas e laranjas, porém, em quantidades diferentes. A tabela 1 mostra o que eles pretendem comprar. Nas proximidades existem duas bancas de frutas -a de S-am e -a do Téo - cujos pre¸cos est˜-ao -apresent-ados n-a t-abel-a 2. Qu-anto g-ast-ar˜-ao An-a e Beto para fazer suas compras em cada uma das duas bancas?

Ma¸c˜as Tangerinas Laranjas

Ana 6 3 10

Beto 4 8 5

Tabela 1: Quantidade de frutas de Beto e Ana

Tabela 2 Sam T´eo Ma¸c˜a $0,10 $0,15 Tangerina $0,40 $0,30 Laranja $0,10 $0,20

Tabela 2: Pre¸cos das frutas nas Bancas de Sam e T´eo

4. Explique por que em geral, (A ± B)2 _{6= A}2_{± 2 · A · B + B}2 _{e A}2_{− B}2 _{6= (A + B) · (A − B) .}

5. Seja A =    1 1 0 1  

 . Obtenha uma f´ormula para An. Quanto ´e A2011_?

6. Seja A =      0 1 1 0 0 1 0 0 0    

. Calcule A2 e A3. Generalize para matrizes n × n.

7. Se A =    a b c d  

, ent˜ao A ser´a invers´ıvel se det A = ad − bc 6= 0, caso em que

A−1 ₌ 1 det A ·    d −b −c a   

(3)

Deste modo, ache as inversas de A =    1 2 3 4    e B =    12 −15 4 −5  

, se elas existirem usando a f´ormula acima.

8. O Teorema de Laplace é muito útil no cálculo de determinantes de matrizes de ordem n ≥ 2: O determinante de uma matriz quadrada A = (aij)n × n, com n ≥ 2 pode ser obtido da seguinte forma:

(i) Fixando a coluna j, temos det A = n X

i=1

aij · Cij;

(ii) Fixando a linha i, temos det A = n X

j=1

aij · Cij,

onde Cij é denominado cofator da matriz A, dado por Cij = (−1)i+j det Aij, no qual Aij é a matriz obtida de A pela elimina¸cão da i-ésima linha e da j-ésima coluna.

Do exposto acima, use o teorema de Laplace para resolver os seguintes determinantes:

(a)      3 0 −2 2 5 −3 1 −4 4      _(b)         3 −1 1 1 2 3 4 −1 0 0 2 0 −1 0 2 3         (c)         0 2 0 4 2 1 0 2 0 0 −3 1 1 1 0 1         9. Seja Tθ =    cos θ −sen θ sen θ cos θ  

. Chamamos Tθ de matriz ortogonal (caso real). Calcule:

(a) T0 (b) Tθ1 · Tθ2 (c) (Tθ)

−1

10. Resolva os sistemas lineares abaixo achando as matrizes ampliadas linha reduzidas `a forma escada. (a)                  2x − y + 3z = 11 4x − 3y + 2z = 0 x + y + z = 6 3x + y + z = 4 (b)            x + 2y − 3z = −1 3x − y + 2z = 7 5x + 3y − 4z = 2 (c)            x + y − z = 0 2x + 4y − z = 0 3x + 2y + 2z = 0 3

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(d)            −4z + y − v = 1 2x − 3y − 6z + 2v − 5w = 3 v − 3w = 2 (e)                  x + y + w = 0 x + z + w = 2 y + z − w = −3 x + y − 2w = 1

11. Em um sistema homogêneo, isto é, o sistema de m equa¸cões e n incógnitas cujos termos independentes, bi, são todos nulos. Um exemplo desse sistema, é o item (c) do exerc´ıcio precedente. Neste caso, só há duas possibilidades:

(i) A única solu¸cão é a trivial, isto é, todas as incógnitas são nulas. (ii) O sistema admite infinitas solu¸cões distintas da trivial.

Sendo assim, encontre os valores de k ∈ R, tais que o sistema homogˆeneo            2x − 5y + 2z = 0 x + y + z = 0 2x + k z = 0 tenha uma solu¸c˜ao distinta da trivial (x = y = z = 0).

12. Determine a inversa das matrizes abaixo:

(a) A =      1 0 2 2 −1 3 4 1 8      (b) A =      1 2 −4 −1 −1 5 2 7 −3     

13. Fa¸ca o balanceamento das rea¸c˜oes:

(a) N2O5 → NO2 + O2 (decomposi¸c˜ao t´ermica do N2O5)

(b) HF + SiO2 → SiF4+ H2O (dissolu¸c˜ao do vidro em HF )

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Respostas:

1. (a)    −1 2 4 5 1 0    (b)    15 −4    (c) Imposs´ıvel (d)    −1 −2 −3 −2 −1 1    (e)        1 2 2 1 3 −1        2. (a) h 146 526 260 158 388 i (b)        492 528 465        (c) R$11.736,00 3. Sam T´eo Ana $2,80 $3,80 Beto $4,80 $4,00

4. Porque em geral o produto de matrizes n˜ao ´e comutativo.

5. An ₌    1 n 0 1    . A2011 =    1 2011 0 1    6. Temos que A2 ₌      0 0 1 0 0 0 0 0 0      e A 3 _{= 0}

3 × 3. De modo geral, neste caso, se a ordem de A

for n, ent˜ao, An _{= 0} n × n. 7. A−1 ₌    −2 1 3 2 − 1 2  

. B n˜ao ´e invers´ıvel.

8. (a) det A = 18 (b) det A = −70 (c) det A = −12 9. (a) I (b)    cos θ −sen θ sen θ cos θ    (c) Tθ1+θ2 (d) T−θ 5

(6)

10. (a) x = −1, y = 2, z = 5. (b) N˜ao existe solu¸c˜ao.

(c) x = y = z = 0. (d) Infinitas solu¸c˜oes. (e) x = 3, y = −8 3, z = −2 3, w = − 1 3. 11. k = 2. 12. (a)      −11 2 2 −4 0 1 6 −1 −1      (b)      −16 −11 3 −7 2 5 2 − 1 2 −5 2 −32 12      13. (a) 2 N2O5 → 4 NO2+ O2 (b) 4 HF + SiO2 → SiF4+ 2 H2O (c) (NH4)2CO3 → 2 NH3+ H2O + CO2 Bom trabalho!!!