Lista 2
MAT5734/MAT0501 — 2
◦SEMESTRE DE2017
SejaRum anel com16=0. Todos os m´odulosMs˜ao m´odulos sobreR`a esquerda.
Exerc´ıcio 1.
Mostre que0m=0e(−1)m= −mpara todosm∈M.
Exerc´ıcio 2.
Suponha queam=0para alguma∈Re algumm∈Mcomm6=0. Mostre quean˜ao tem o inverso a esquerda (i.e., n˜ao existeb∈Rtal queba=1)..
Exerc´ıcio 3.
SejaM=Rn, e sejaI1,I2, . . . ,Inos ideais deR. Mostre que os seguintes conjuntos s˜aoR-modulos.
(a) {(x1, . . . ,xn)|xi∈Ii}
(b) {(x1, . . . ,xn)|xi∈R,x1+x2+· · ·+xn=0}
Exerc´ıcio 4.
Para todo idealIemRdefine
IM={i1m1+· · ·+ikmk|ij∈I,mj∈M}
o conjunto de todas as somas finitas de elementos da formaimcomi ∈Iem∈M. Mostre queIM´e um submodulo emM.
Exerc´ıcio 5.
Mostre que o intersec¸˜ao de qualquer colec¸˜ao doas submodulos de umR-modulo ´e um submodulo.
Exerc´ıcio 6.
SejamN1⊆N2⊆. . . ´e cadeia dos submodulos emM. Mostre queS∞
n=1Nn´e um submodulo emM.
Exerc´ıcio 7.
SeN´e um submodulo deM, oaniquiladordeNemRdefinido como {a∈R|an=0para todosn∈N}. Mostre que o aniquilador deNemR´e um ideal.
Exerc´ıcio 8.
SeI´e um ideal deR, oaniquiladordeIemMdefinido como
{m∈M|im=0para todosi∈I}. 1
Mostre que o aniquilador deIemM´e um submodulo.
Exerc´ıcio 9.
SejaM´e um grupo abeliano, i.e. umZ-modulo. Podemos extender o ac¸˜ao deZpara receber umQ- modulo?
Exerc´ıcio 10.
SejamF=R,V=R2.
(a) SeT :R2→R2uma rotac¸˜ao por ˆanguloπ/2. Mostre queVe0s˜ao unicosF[x]-submodulos para esteT;
(b) Se T : R2 → R2 um projec¸˜ao para eixo-y. Mostre que V, 0, eixo-x, eixo-y s˜ao unicos F[x]- submodulos para esteT.
(c) SeT : R2 → R2 uma rotac¸˜ao por ˆanguloπ. Mostre que qualquer subespac¸o deV ´e umF[x]- submodulo para esteT;
Exerc´ıcio 11.
Mostre que o n´ucleo e a imagem de um homomorfismo entreR-modulos s˜ao submodulos.
Exerc´ıcio 12.
Sejam Aqualquer Z-modulo, aum elemento de Aenum inteiro positivo. Mostre que a aplicac¸˜ao ϕ: Z/nZ→Adado peloϕ(k) =¯ ka´e um homomorfismo entreZ-modulos se e somente sena= 0.
Mostre que HomZ(Z/nZ,A)=∼ An, ondeAn={a∈A|na=0}(i.e.An ´e aniquilador emAdo ideal (n)deZ).
Exerc´ıcio 13.
Descreva todosZ-modulo homomorfismos deZ/15ZaoZ/9Z.
Exerc´ıcio 14.
Mostre que HomZ(Z/nZ,Z/mZ)=∼ Z/(n,m)Z.
Exerc´ıcio 15.
SejaR um anel comutativo. Mostre que HomR(R,M) eMs˜ao isomorfos como R-modulos. [Dica:
Mostre que q.q. elemento em HomR(R,M)determina-se pelo seu valor em 1].
Exerc´ıcio 16.
SejaRum anel comutativo. Mostre que HomR(R,R)eRs˜ao isomorfos como an´eis.
Exerc´ıcio 17.
SejaA1,A2, . . . ,AnosR-modulos, eBios submodulos emAi. Mostre que (A1× · · · ×An)/(B1×. . .Bn)= (A∼ 1/B1)× · · · ×(An/Bn).
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Exerc´ıcio 18.
SejaIideal `a esquerda deRenum inteiro positivo. Mostre
Rn/IRn =∼ R/IR×. . .R/IR (n vezes).
Exerc´ıcio 19.
SejaI um ideal nilpotente num anel comutativo R. SejamM,Ns˜ao R-modulos eϕ : M → N um homomorfismo dosR-modulos. Mostre que se a aplicac¸˜ao induzidaϕ¯ :M/IM→N/IN´e sobrejetiva assimϕ´e sobrejetiva.
Exerc´ıcio 20.
Mostre que se os conjuntosXeYtem a mesma cardinalidade, assim os m´odulos livresF(X)eF(Y)s˜ao isomorfos.
Exerc´ıcio 21.
Suponha queRum anel comutativo. Mostre queRn =∼ Rm se e somente sen = m. [Dica: Aplica o Exer. 18 comIideal maximal deR].
Exerc´ıcio 22.
SejaN um submodulo deM. Mostre que se ambos M/NeN s˜ao finitamente gerados assim M ´e finitamente gerado.
Exerc´ıcio 23.
UmR-moduloM´e chamadoirredut´ıvelseM 6= 0e se0eMs˜ao ´unicos submodulos deM. Mostre queM6= 0´e irredut´ıvel se e somente seM6= 0eM´e um modulo c´ıclico. Descreva todosZ-modulos irredut´ıveis.
Exerc´ıcio 24.
Mostre que seM1,M2 s˜ao modulos irredut´ıveis assim qualquer homomorfismo n˜ao nulo entre eles ´e isomorfismo. Mostre que isso implica que EndR(M)´e um anel com divis˜ao.[Dica: Considere n´ucleo e imagem]. (o resultado acima chama-seLema de Schur).
Exerc´ıcio 25.
SejaRum anel comutativo, eN,M,LosR-modulos. Mostre os seguintes isomorfismos dosR-modulos:
a) HomR(N×L,M)=∼ HomR(N,M)×HomR(L,M).
b) HomR(M,N×L)=∼ HomR(M,N)×HomR(M,L).
Exerc´ıcio 26.
SejaR um anel comutativo eF um modulo livre de posto finito. Mostre o seguinte isomorfismo dos R-modulos HomR(F,R)=∼ F.
Exerc´ıcio 27.
SejaRum anel comutativo e sejaFum modulo livre de poston. Mostre que HomR(F,M)=∼ M×· · ·×M (nvezes). [Dica: Use Exerc´ıcios 15 e 26].
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Exerc´ıcio 28.
Para todo idealIdeMsejaIMdefinido como em Exercicio 4. SejamJ1, . . . ,Jkos ideais emR. Mostre que a aplicac¸˜ao
M→M/J1M×. . .M/JkM
m7→(m+J1M, . . . ,m+JkM),
´e um homomorfismo dosR-modulos com n´ucleoJ1M∩ · · · ∩JkM.
Exerc´ıcio 29.
Em notac¸˜ao do Exerc´ıcio acima, suponha que os ideaisJ1, . . . ,Jks˜ao comaximais (i.e.,Ji+Jm =R, se i6=m). Mostre que
M/(J1. . .Jk)M=∼ M/J1M× · · · ×M/JkM.
[Dica:Segue a prova do Teorema Chinˆes do Resto para an´eis].
Exerc´ıcio 30.
SejamMumZ-moduloZ×Z×. . ., eR=EndR(M). Defineϕ1,ϕ2∈Rpelo ϕ1(a1,a2,a3, . . .) = (a1,a3,a5, . . .)
ϕ2(a1,a2,a3, . . .) = (a2,a4,a6, . . .)
(a) Mostre que{ϕ1,ϕ2}´e base livre doR-moduloR.
(b) Use (a) para provar queR=∼ R2.
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