(1)Exerc´ıcio 1

(1)

Exerc´ıcio 1. SeA⊂X, mostre que a fam´ılia de todos os subconjuntos deX que cont´em A, mais o conjunto vazio∅, forma uma topologia em X. Descreva as opera¸c˜oes de fecho e interior. Qual a topologia resultante quandoA=∅ eA=X?

Exerc´ıcio 2. Dizemos que um subconjuntoAdeR²éradialmente abertose contém um segmento aberto em cada dire¸cão de todos seus pontos. Mostre que a cole¸cão de todos conjuntos radialmente abertos forma uma topologia emR². Compare esta topologia com a topologia usual. O plano com esta topologia é conhecido comoplano radial.

Exerc´ıcio 3 (O problema de Kuratowski*). Considere a cole¸cão de todos subconjuntosA de um espa¸co topológicoX. As opera¸cões de fecho A7→A e complementarA7→X−A=A^c são fun¸cões nesta cole¸cão nela mesma.

(a) Mostre que come¸cando de um dado conjunto A, podemos formar no m´aximo 14 conjuntos distintos aplicando estas duas opera¸c˜oes sucessivamente.

(b) Encontre um subconjunto A de R(com a topologia usual) para o qual o número máximo de 14 é obtido.

Exerc´ıcio 4. A∩B=A∩B?

Exerc´ıcio 5. Se(X, d)é um espa¸co métrico eTd é a topologia induzida ded, mostre queA={x∈ X;d(x, A) = 0}, em qued(x, A) := infa∈Ad(x, a).

Exerc´ıcio 6. Seja (X, d) um espa¸co métrico e Td a topologia induzida da métrica d. Mostre que a bola fechada B(x₀, ) = {x ∈ X;d(x, x₀) ≤ } é fechada em Td. Mostre que nem sempre B(x₀, ) = B(x₀, ). De fato, tome = 1 na métrica usual de X = {(x, y) ∈ R²;x²+y¹ = 1} ∪ {(x,0)∈R²; 0≤x≤1}.

Exerc´ıcio 7. Dê um exemplo de uma sequência A₁,A₂,. . . de conjuntos fechados em um espa¸co topológicoX tal que sua união não é fechada.

Exerc´ıcio 8. Mostre que a interse¸cão de topologias em X é uma topologia emX. Isto é, seTα é uma topologia emX,α∈J, entãoT :=T

α∈JTα´e uma topologia.

Exerc´ıcio 9. Mostre que a união de duas topologias não necessariamente é uma topologia. Entre- tanto, mostre que existe uma menor topologia que contém ambas.

Observe que dos Exerc´ıcios anteriores segue que as topologias num dado conjunto X formam um conjunto parcialmente ordenado.

Exerc´ıcio 10. SejaX ={a, b, c} e considere

T1={∅, X,{a},{a, b}} e T2={∅, X,{a},{b, c}}.

Encontre a menor topologia contendoT1 e T2 e a maior topologia contida emT1 eT2.

Exerc´ıcio 11(O plano de Moore). SejaΓ ={(x, y)∈R²; y≥0}o semiplano superior. Tomemos uma topologia emΓ em que as vizinhan¸cas básicas de(x, y)são os discos abertos usuais (tomando a devida interse¸cão quando o disco não está contido emΓ) e seP = (x, y)é tal quey= 0então as vizinhan¸cas básicas são a fam´ılia de conjuntos{P} ∪A, em queAé um disco aberto contido emΓ que tangencia o eixoxemP.

(2)

(a) Verifique que esta ´e uma topologia emΓ.

(b) Compare esta topologia com a topologia usual do semiplano, isto ´e, a topologia de subespa¸co induzida de R².

(c) Descreva as opera¸c˜oes de fecho e interior em Γ.

O semiplano com esta topologia ´e conhecido como oplano de Moore.

Exerc´ıcio 12. Para um pontox do plano, consideremos como vizinhan¸cas básicas dex como os conjuntos{x} ∪A, em queA é um disco aberto de raio arbitrário com um número finito de retas passando porxremovidas.

(a) Verifique que esta ´e uma topologia emR². (b) Compare-a com a topologia usual do plano.

(c) Podemos trocar, na defini¸c˜ao das vizinhan¸cas, a quantidade “finito” por “enumer´avel”?

Defini¸cão 1. Um conjuntoAdo espa¸co topológicoX é ditonunca densoemX se seu fecho não contém nenhum aberto diferente do vazio.

Defini¸cão 2. Um ponto x é dito isolado se o conjunto {x} é aberto e um conjunto D é dito discretoemX se cada d∈D tem uma vizinhan¸caU emX tal queU∩D={d}

Exerc´ıcio 13. Considerando as defini¸c˜oes acima, mostre que:

(a) Se (X, d)é um espa¸co métrico sem pontos isolados, então o fecho de um conjunto discreto em X é nunca denso em X.

(b) Em qualquer espa¸coX, a fronteira de um conjunto aberto ´e sempre fechada e nunca denso.

(c) Reciprocamente, todo fechado nunca denso ´e a fronteira de um conjunto aberto.

(d) Em um espa¸co métrico (X, d), a fronteira de um conjunto aberto é o conjunto dos pontos de acumula¸cão de algum conjunto discreto. Obs: Segundo o Willard este item necessita o Axioma da Escolha e é dif´ıcil.

Exerc´ıcio 14.Mostre que as trˆes fam´ılias de subconjuntos definidas abaixo s˜ao bases para topologias emR:

(a) B={(a, b);a < x < b};

(b) B⁰ ={[a, b);a≤x < b};

(c) Seja K={1/n;n∈N}e considere B⁰⁰={(a, b);a < x < b} ∪ {(a, b)−K;a < x < b}.

A topologia gerada pela baseBé a topologia usual da reta, obtida através da rela¸cão de ordem total. A topologia gerada por B⁰ é conhecida comotopologia do limite inferior (ou reta de Sorgenfrey) e denotaremos Rl ao referir à Rcom esta topologia. Já a topologia gerada por B⁰⁰é chamada deK-topologiaem Re será denotada por RK.

Exerc´ıcio 15. Mostre que as topologias deR^l eR^K s˜ao estritamente mais finas que a topologiaR.

(3)

Exerc´ıcio 16. Mostre que as topologias deR^l eR^K não são comparáveis.

Exerc´ıcio 17. Considere as seguintes topologias emR: (a) T1, a topologia usual;

(b) T2, a topologia deRK;

(c) T3, a topologia do complementar finito;

(d) T4, a topologia do limite superior, que tem como base intervalos da forma “(a, b]”;

(e) T5, a topologia que tem como base intervalos da forma “(−∞, a)”.

Para cada par, determine qual ´e mais fina que qual.

Exerc´ıcio 18. EmRl determine o fecho de cada um dos conjuntos abaixo:

(a) Q;

(b) {1/n; n∈N};

(c) {−1/n;n∈N};

(d) Z.

Exerc´ıcio 19. SejaY um subespa¸co deX. Mostre que seY é fechado em X eF é fechado emY, então F é fechado emX.

Exerc´ıcio 20. Mostre que A ⊂ X é fechado se e somente se A contém todos seus pontos de acumula¸cão.

Exerc´ıcio 21. Sejam X um conjunto qualquer e T1, T2 duas topologias em X. Mostre que a identidadeid: (X,T1)→(X,T2), x7→id(x) =x, ´e cont´ınua se, e somente se, T2 ´e mais fina que T1.

Exerc´ıcio 22(!). SejamX um conjunto qualquer eϕ:P(X)→ P(X)uma aplica¸c˜ao no conjunto das partes deX. Considere as propriedades abaixo e resolva os itens a seguir:

(i) ϕ(∅) =∅ eϕ(X) =X;

(ii) A⊂ϕ(A);

(iii) ϕ²(A) =ϕ(ϕ(A)) =ϕ(A);

(iv) ϕ(A∪B) =ϕ(A)∪ϕ(B).

(a) SeX ´e um espa¸co topol´ogico, mostre que o operador que levaA7→A satisfaz as propriedades acima.

(b) Seϕsatisfaz(i)−(iv)mostre que a cole¸c˜aoα={X−ϕ(A);A∈ P(X)} define uma topologia em X.

Exerc´ıcio 23. Mostre que seA é subespa¸co de Y e Y é subespa¸co de X, então a topologia de A induzida como subespa¸co de X é a mesma que a topologia de Acomo subespa¸co de Y.

Exerc´ıcio 24. Considere X com duas topologias T e T⁰ tais que T ⊆ T⁰. Se Y ⊆ X, o que podemos dizer da topologia do subespa¸co de Y quando esta ´e induzida porT ouT⁰?

(4)

Exerc´ıcio 25. Mostre que a fam´ılia enumer´avel

{(a, b)×(c, d); a < b ec < d s˜ao racionais}, forma uma base para a topologia usual deR².

Exerc´ıcio 26. Seja L uma reta no plano. Descreva a topologia induzida emLcomo subespa¸co de Rl×Re de Rl×Rl. Qual delas coincide com a topologia usual?

Exerc´ıcio 27. Mostre que a topologia da ordem do dicion´ario em R² coincide com a topologia produto deRd×R, em que Rd denota R com a topologia discreta. Compare esta topologia com a topologia usual deR².

Exerc´ıcio 28. Dizemos queF:X×Y →Z écont´ınua em cada variávelse para cada y0∈Y ex0∈X as fun¸cõesg:X →Z e h:Y →Z definidas porg(x) =f(x, y0)eh(y) =h(x0, y)forem cont´ınuas. Mostre que seF é cont´ınua, então é cont´ınua em cada variável.

Exerc´ıcio 29. SejaF:R²→Rdefinida por F(x, y) =

xy/(x²+y²), se(x, y)6= (0,0), 0, se(x, y) = (0,0).

(a) Mostre queF ´e cont´ınua em cada vari´avel.

(b) Descreva a fun¸c˜ao g(x) =F(x, x).

(c) Mostre que F n˜ao ´e cont´ınua.

Exerc´ıcio 30. Sejam(X, d_X)e (Y, d_Y)dois espa¸cos m´etricos. Mostre quef:X →Y ´e cont´ınua se, e somente se, para todox∈X e >0dado, existe δ >0 tal que

d_X(x, y)< δ=⇒d_Y(f(x), f(y))< .

Defini¸cão 3. Se V é um espa¸co vetorial sobre o corpoK(K=RouC), uma norma emV é uma aplica¸cão k · k:V →R satisfazendo:

(Ni) kxk ≥0 para todo xekxk= 0se, e s´o se,x= 0.

(Nii) kαxk=|α| · kxk, para todo αex.

(Niii) kx+yk ≤ kxk+kyk, para todo x, y.

A dupla(V,k · k)´e chamada de espa¸co vetorial normado.

Exerc´ıcio 31. Seja (V,k · k) um espa¸co vetorial normado. Mostre que d:V ×V → R dada por d(x, y) =kx−ykdefine uma métrica emV. Isto é, todo espa¸co vetorial normado é espa¸co métrico.

Assim, a topologia induzida em V pela norma ´e a mesma que a induzida pela m´etrica definida acima.

Exerc´ıcio 32. Sek · k1ek · k2 são duas normas emV, mostre que as topologias induzidas por elas coincide se, e somente se, elas são equivalentes, isto é, existem constantes C1 e C2 tais que

C1kxk2≤ kxk1≤C2kxk2, para todo x.

(5)

Exerc´ıcio 33(!). SeV é um espa¸co vetorial normado sobreK(K=RouC), mostre que as fun¸cões elementares de soma e multiplica¸cão por escalar são cont´ınuas. Isto é, mostre que+ :V ×V →V, (u, v)7→u+v, e·:K×V →V,(α, u)7→αu, são cont´ınuas.

Exerc´ıcio 34. Se X é um espa¸co métrico, mostre que o espa¸co C^∗(X) das fun¸cões cont´ınuas e limitadas de X emR, isto é, C^∗(X) ={f:X →R;f é cont´ınua e limitada}é um espa¸co vetorial normado com a norma do supremo: kfk= sup{|f(x)|;x∈X}. Lembre que se f, g∈C^∗(X), então (f+g)(x) =f(x) +g(x)e(f·g)(x) =f(x)·g(x).

Exerc´ıcio 35. Denotemos porX eX⁰ um mesmo conjunto com duas topologias T e T⁰ e consideremos a identidadei:X⁰→X. Mostre que:

(a) ié cont´ınua se, e somente se,T⁰ é mais fina queT. (b) ié um homeomorfismo se, e somente se,T⁰=T.

Exerc´ıcio 36. Sejam x₀ ∈ X e y₀ ∈ Y fixados. Mostre que as aplica¸cões f:X → X ×Y e g:Y →X×Y, dadas porf(x) = (x, y0) eg(y) = (x0, y) são imersões.

Exerc´ıcio 37. Se a < b, mostre que o subespa¸co(a, b)deR´e homeomorfo ao subespa¸co(0,1) de R. Idem para [a, b]homeomorfo a[0,1].

Exerc´ıcio 38. Mostre que a composi¸c˜ao de homeomorfismos ´e um homeomorfismo.

Exerc´ıcio 39. Mostre que “ser uma sequência convergente” é um invariante topológico.

Defini¸c˜ao 4. Sejam(X,≤)e(Y,)dois espa¸cos ordenados. Dizemos que uma fun¸c˜ao f: X→Y

é um isomorfismo de ordemsef é bijetora e a≤b em X se, e só se,f(a)f(b)em Y. Exerc´ıcio 40. Mostre que seX e Y são totalmente ordenados ef:X →Y é um isomorfismo de ordem, entãof é um homeomorfismo. (Considerando a topologia da ordem emX e Y.)

Defini¸cão 5. Sejam X e X_α, α∈ J, espa¸cos topológicos. Dizemos que uma cole¸cão de fun¸cões {f_α:α∈J},f:X →X_α,separa pontos de fechados de X se sempre que B é um fechado de X ex6∈B, existeα∈J para o qual fα(x)6∈fα(B).

Exerc´ıcio 41. Mostre que a cole¸cão de fun¸cões cont´ınuas {fα:α∈J} separa pontos de fechados emX se, e somente se, a cole¸cão dos conjuntosf_α⁻¹(V), com V aberto de Xα, formam uma base para a topologia deX.

Conclua que se as fun¸cões cont´ınuas{fα:α∈J}separam pontos de fechados, então a topologia emX é a topologia fraca induzida porfα.

Exerc´ıcio 42. Mostre que se X é T1 e {fα : α ∈ J} é uma fam´ılia de fun¸cões cont´ınuas que separam pontos de fechados, então a fun¸cão avalia¸cão e:X→Q

Xα´e uma imers˜ao.

Exerc´ıcio 43. Mostre que seX é um espa¸co de Hausdorff finito então A⁰ =∅, para todoA⊂X. Exerc´ıcio 44. Mostre que seX é finito e Hausdorff, então a topologia deX é a topologia discreta.

Exerc´ıcio 45. Mostre que X ´e Hausdorff se, e somente se, a diagonal ∆ = {(x, x);x ∈ X} ´e fechada emX×X.

(6)

Exerc´ıcio 46(!). SejamX um espa¸co topológico com uma rela¸cão de equivalência∼,Xe o conjunto das classes de equivalências, π: X→Xe a aplica¸cão que leva cada xem sua classe de equivalência [x]. DefinaT ={U ⊂Xe;π⁻¹(U)é aberto deX}. Resolva os itens abaixo:

(a) T ´e uma topologia emXe, chamada detopologia quociente.

(b) Se Y é um espa¸co topológico, f: Xe →Y é cont´ınua se, e só se,f◦πé cont´ınua.

(c) Xe éT₁ se, e só se, cada classe de equivalência é fechada.

Exerc´ıcio 47. Mostre que:

(a) Todo espa¸co na topologia da ordem ´e Hausdorff.

(b) O produto de dois espa¸cos de Hausdorff ´e Hausdorff.

(c) O produto cartesiano qualquer de espa¸cos de Hausdorff ´e Hausdorff.

(d) Um subespa¸co de um espa¸co de Hausdorff ´e Hausdorff.

Exerc´ıcio 48. Mostre que X todo subconjunto finito de X ´e fechado se, e somente se, para todo parx6=y existem abertosx∈U ey∈V para os quaisx6∈V ey6∈U. Obs: Dizemos que X ´eT1

se qualquer um (logo ambos) dos itens acima acontece. Veja que U eV n˜ao s˜ao necessariamente disjuntos.

Exerc´ıcio 49. Mostre que X é T₁ se, e somente se, todo subconjunto de X é a interse¸cão dos abertos que o contém.

Exerc´ıcio 50. Mostre queR^ω=R^Rnão é metrizável com a topologia das caixas.

Exerc´ıcio 51.Mostre que seJé um conjunto não enumerável de ´ındices, entãoR^Jnão é metrizável (na topologia produto).

Exerc´ıcio 52. Seja X um conjunto eT e T⁰ duas topologias em X tais que T⁰ ⊃ T. Se um dos espa¸cos ´e Hausdorff (regular ou normal) o que isto implica ao outro?

Defini¸cão 6. Umapseudo-métrica no conjunto X é uma fun¸cão ρ:X×X →Rque satisfaz:

(ρi) ρ(x, y)≥0;

(ρii) ρ(x, y) =ρ(y, x);

(ρiii) ρ(x, z)≥ρ(x, y) +ρ(y, z).

Repare que numa pseudo-métrica seρ(x, y) = 0, então não é necessário quex=y!

Exerc´ıcio 53. Mostre que se(X, ρ)é pseudo-métrico, então as bolas abertas (análogas as de uma métrica) são base para uma topologia emX. Esta topologia é chamada de topologia induzida emX pela pseudo-métrica ρ.

Exerc´ıcio 54. Seja(X, ρ)um espa¸co pseudo-m´etrico. Responda os itens a seguir:

(a) Defina a rela¸cão ∼ em X pondo x ∼ y se ρ(x, y) = 0 e mostre que ∼ é uma rela¸cão de equivalência.

(7)

(b) SejaX^∗o conjunto das classes de equivalências deX por∼, isto é, o quocienteX/∼. Defina ρ^∗ em X^∗ por ρ([x],[y]) = ρ(x, y), mostre que ρ^∗ é bem-definida e, ainda mais, define uma métrica em X^∗.

(c) Se h:X →X^∗ é a aplica¸cão x7→h(x) = [x], então um conjunto AdeM é fechado (aberto) se, e só se,h(A)é fechado (aberto) emX^∗.

Exerc´ıcio 55. Sef:X →Ré qualquer fun¸cão, mostre que a distância ρf(x, y) =|f(x)−f(y)|é uma pseudo-métrica em X. Mostre que se (X, ρ) é pseudo-métrico, então a fun¸cão f é cont´ınua se, e somente se, cada aberto em(X, ρf)é aberto em(M, ρ).

Exerc´ıcio 56. Mostre que uma pseudo-métrica ρ em X é métrica se, e somente se, a topologia gerada porρé T₀.

Exerc´ıcio 57. Mostre queX ´eT₀se, e somente se, para quaisquerx,y distintos e para quaisquer bases de vizinhan¸casB_x dexe B_y dey, tivermos queB_x6=B_y.

Defini¸cão 7. Umabase para fechadosno espa¸co topológicoX é uma fam´ılia F de fechados de X tais que qualquer fechado pode ser escrito como a interse¸cão de elementos de F.

Exerc´ıcio 58 (!). Mostre que F ´e uma base para fechados para alguma topologia de X se as propriedades abaixo s˜ao satisfeitas:

(a) Sempre queF1, F2∈ F, então F1∪F2 é uma interse¸cão de elementos deF;

(b) \

F∈F

F =∅.

Exerc´ıcio 59. Mostre que F ´e uma base para fechados de X se, e somente se, a fam´ılia dos complementares deF formam uma base para a topologia de X.

Exerc´ıcio 60 (A topologia de Zariski). Denotemos porP a cole¸cão de todos polinômios reais de nvariáveis reais e, dado P ∈ P, seja Z(P) ={(x1, . . . , x_n)∈Rⁿ:P(x₁, . . . , x_n) = 0}.

(a) Mostre que{Z(P);P ∈ P}´e uma base para os fechados de uma topologia deRⁿ, chamada de topologia de Zariski.

(b) Mostre que a topologia de Zariski éT1 mas não éT2.

(c) Mostre que se n= 1a topologia de Zariski coincide com a topologia do complementar finito.

Se n >1elas diferem.

Exerc´ıcio 61. Mostre que toda topologia da ordem ´e regular.

Exerc´ıcio 62(*). Mostre que todo espa¸co totalmente ordenado ´e normal na topologia da ordem.

Exerc´ıcio 63. Mostre que se Q

Xα é Hausdorff (regular, ou normal ou completamente regular) então cada X_α é Hausdorff (regular, ou normal ou completamente regular). (Assuma que X_α é não-vazio.)

Defini¸cão 8. Um espa¸coX é ditocompletamente normal se cada subespa¸coY deX é normal.

(8)

Exerc´ıcio 64. Mostre que X é completamente normal se, e somente se, dado par A e B de conjuntos separados deX (isto significa que A∩B =∅ eA∩B =∅) existem abertos disjuntosU eV tais que A⊂U e B⊂V. [Sugestão: SeX é completamente normal, considereX−(A∩B).]

Exerc´ıcio 65. Sejam X e Y dois espa¸cos topológicos de Hausdorff e suponha que X seja 1ô enumerável.

(a) Mostre quef:X→Y é cont´ınua se, e somente se, para toda sequência (xn)n∈N convergente em X, tivermos(f(xn))n∈N é sequência convergente emY. Observe que este resultado é um pouco mais geral que “sequencialmente cont´ınua sse cont´ınua”.

(b) Mostre que o resultado anterior não é verdadeiro se não supormos queX eY são Hausdorff.

Exerc´ıcio 66. Mostre que seX é Hausdorff eA,B são compactos disjuntos deX, então existem abertos disjuntosU eV tais que A⊂U eB⊂V.

Exerc´ıcio 67. Mostre que todo espa¸co compacto de Hausdorff ´e normal.

Exerc´ıcio 68. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico e para A ⊂ X defina f: X → R pondo f(x) = d(x, A) = inf{d(x, a);a∈A}. Mostre quef ´e cont´ınua.

Exerc´ıcio 69. Mostre que todo espa¸co m´etrico ´e normal.

Exerc´ıcio 70. Se (X, d) é métrico e F é fechado de X, mostre que x ∈ F se, e somente se, d(x, F) = 0.

Exerc´ıcio 71(Um caso particular do Lema de Jones). SejaX um espa¸co topológico separável. Se existeD discreto fechado tal que|D|=ℵ1 (a cardinalidade do cont´ınuo ou dos reais), entãoX não

´eT₄.

Exerc´ıcio 72(Lema da sub-base de Alexander). SejamX um espa¸co topológico eS uma sub-base para a topologia deX. Mostre que se toda cobertura por elementos deS admite subcobertura finita, então X é compacto.

Exerc´ıcio 73. Mostre que X ´e compacto se, e somente se, toda cobertura formada por abertos b´asicos admitir subcobertura finita.

Exerc´ıcio 74. Caracterize os compactos discretos.

Exerc´ıcio 75. Mostre que a reta de Sorgenfrey,Rl, n˜ao ´e compcata.

Exerc´ıcio 76. Seja X um espa¸co topológico de Hausdorff. Mostre que X é localmente compacto se, e somente se, para todox∈X eU vizinhan¸ca de X, existe aberto V tal quex∈V ⊂V ⊂U e V é compacto.

Defini¸cão 9. Seja X um espa¸co de Hausdorff. Dizemos que o espa¸co de Hausdorff Y é uma compactifica¸cão de X se X é um subespa¸co denso de Y e Y é compacto. Dizemos que uma compactifica¸cãoY é umacompactifica¸cão de Alexandroffse Y =X∪ {x}, com x6∈X. Exerc´ıcio 77. Com respeito a compactifca¸cões, responda os itens abaixo:

(a) Mostre que seX é Hausdorff e admite compactifica¸cão Y, entãoX é completamente regular.

(9)

(b) Seja X localmente compacto e defina Y =X∪ {x}, com x6∈X. Defina a topologia TY de forma queTX ⊂ TY e todo {x} ∪(X\K)∈ TY, em que K⊂X é compacto. Mostre que Y é uma compactifica¸cão de Alexandroff deX.

(c) Suponha que existe compactifica¸c˜ao de AlexandroffY para o espa¸co de HausdorffX. Mostre queX ´e localmente compacto.

(d) Conclua que um espa¸co de Hausdorff ´e localmente compacto se, e somente se, admite uma compactifica¸c˜ao de Alexandroff.

Exerc´ıcio 78. ConsidereRl a reta de Sorgenfrey e resolva os itens abaixo:

(a) Mostre queRl×Rl é completamente regular, mas não é normal.

(b) Mostre que existe K compacto de Hausdorff tal queRl×Rl⊂K.

(c) Conclua que nem todo subespa¸co de espa¸co normal ´e normal.

(d) Generalize o resultado anterior: Todo subespa¸co completamente regular que não é normal gera um exemplo de espa¸co normal com um subespa¸co não normal.

Exerc´ıcio 79. Consideremos o espa¸co das sequˆencias de n´umeros reais limitadas, l∞(R) = {x= (x_n)_n∈_N;x_n∈Re sup_n|xn|<∞}.

(a) Mostre quel_∞´e um espa¸co vetorial normado, com a normakxk_∞= sup_n|xn|.

(b) Mostre que a bola fechada centrada em 0e raio1 n˜ao ´e compacta.

Exerc´ıcio 80. Considere o espa¸co cartesiano Q

α∈JXα e fixe x0= (xα)α ∈Q

Xα. Mostre que o conjuntoD={y∈Q

Xα;y e xdiferem no máximo em um número finito de coordenadas}é denso emQX_α.

Exerc´ıcio 81. Mostre que “ser conexo”´e um invariante topol´ogico.

Exerc´ıcio 82. Mostre que seX é um espa¸co topológico completamente regular, conexo e com mais de um ponto, então|X| ≥ |R|.

Exerc´ıcio 83. Seja (A_n)_n∈_N uma fam´ılia de conexos tais que A_n∩A_n+1 6=∅, para todo n ∈N. Mostre queS

n∈NA_n ´e conexo.

Exerc´ıcio 84. Mostre queQn˜ao ´e conexo.

Exerc´ıcio 85. Mostre que(R×R)\(Q×Q)´e conexo.

Exerc´ıcio 86. Mostre que seE⊂Rⁿ é um conjunto enumerável qualquer, entãoRⁿ\E é conexo.

Exerc´ıcio 87(Teorema da Alfândega). SejamA⊂X ef: [0,1]→X uma fun¸cão cont´ınua tal que f(0)∈A ef(1)6∈A. Existe um pontot∈[0,1]tal quef(t)∈∂A. Dica: Lembre que∂A=A\Aô. Exerc´ıcio 88. SeAé um subconjunto aberto e conexo do espa¸co vetorialV, mostre queAé conexo por caminhos.

Exerc´ıcio 89. Considere Y ={0,1} com a topologia discreta (Y pode ser um conjunto qualquer com dois pontos). Mostre queX é conexo se, e somente se, não existe fun¸cão f: X→Y cont´ınua e sobrejetora.