Exerc´ıcio Escolar).

(1)

UFPE – ´ AREA II – Prof. Fernando J. O. Souza MA129 (c´ alculo 4) – 2012.2 – turmas Q3 e Q6

SIMULADO DA 3

^a

UNIDADE v. 0.6.5

Orienta¸ c˜ ao: Resolver as quest˜ oes em quatro sessões de 120 minutos cada, sem interrup¸c˜ ao nem distra¸c˜ ao, combinando t´ opicos diferentes em cada sessão. Dar solu¸c˜ oes leg´ıveis e justificadas, escrevendo os passos, detalhes e propriedades rele- vantes. Ler as respostas ou solu¸c˜ oes de uma sessão só depois dela. Pode ser usada uma tabela de transformadas de Laplace simples (como a do 2

⁰

Exerc´ıcio Escolar).

Quest˜ ao 1. Para cada fun¸c˜ao F (s) abaixo, calcular sua transformada de Laplace inversa f(t):

1.a. F (s) = e

⁻^3s

s + 4

(s − 2)

³

1.b. F (s) = 3e

⁻^2s

s

²

− 4

Quest˜ ao 2. Utilizando transformadas de Laplace, encontrar e simplificar a solu¸c˜ao expl´ıcita dos problemas abaixo

¹

para y(t):

2.a. y

^′′

(t) + y(t) = 2 u

π/2

(t) − 5δ

t − 3 π 2

; y(0) = 0, y

^′

(0) = 0;

2.b. t y

^′′

(t) − t y

^′

(t) + y(t) = 2; y(0) = 2, y

^′

(0) = − 1;

2.c. y

^′′

(t) + t y

^′

(t) − y(t) = 0; y(0) = 0, y

^′

(0) = 3;

2.d. y

^′′

(t) + 4 y(t) = 7 δ t − π

4 − 4 u

3π/2

(t); y(0) = 0, y

^′

(0) = 0;

2.e. y

^′′

(t) − y(t) =

2t , se t < 3;

0 , se t ≥ 3; y(0) = 0; y

^′

(0) = 2;

2.f. y(t) + 2 Z

t

0

cos (t − v)y(v) dv = e

⁻^t

;

2.g. y

^′

(t) − 2 Z

t

0

e

^(t⁻^v)

y(v) dv = t; y(0) = 2.

1

u

_c

( t ) = u

₀

( t − c ), onde c ∈ R, e u

₀

´e a fun¸c˜ ao-degrau de Heaviside, tamb´em denotada

por H e por u .

(2)

Quest˜ ao 3. Sejam as fun¸c˜oes f e g definidas em [0, 2] por:

f (x) =

x, se 0 ≤ x ≤ 1;

1, se 1 < x ≤ 2. g (x) =

x

²

, se 0 ≤ x ≤ 1;

0, se 1 < x ≤ 2.

3.a. Calcular a s´erie de Fourier associada a f

i

, extens˜ao ´ımpar de f , ao intervalo [ − 2, 2]. Simplificar a resposta;

3.b. Repetir o Item 3.a para f

p

, a extens˜ao par de f ao mesmo intervalo;

3.c. Repetir o Item 3.a para g

i

, a extens˜ao ´ımpar de g ao mesmo intervalo. A s´erie converge em x = 1 ? Em caso afirmativo, para qual valor ?

Quest˜ ao 4.

4.a. Calcular a transformada de Laplace da fun¸c˜ao peri´odica g de per´ıodo 1 determinada por:

g(x) = e

^t

se 0 < t < 1;

4.b. Calcular a série de Fourier para a fun¸cão periódica f de per´ıodo 2L determinada por:

f(x) = | x | se − L ≤ x ≤ L.

Quest˜ ao 5. Resolver os seguinte problemas de contorno:

5.a. y

^′′

(x) − y(x) = 1 − 2x, 0 < x < 1; y(0) = 0, y(1) = 1 + e;

5.b. Em termos de cada n´ umero real λ,

y

^′′

(x) + λ y(x) = 0, 0 < x < π; y

^′

(0) = 0, y(π) = 0.

Dicas para problemas de contorno. Abaixo, damos uma base para as autofun¸c˜oes de X

^′′

(x) = − λ X(x) com 0 ≤ x ≤ L (logo, o autovalor é − λ) que satisfazem as respectivas condi¸cões de contorno (abaixo, n é natural):

Para X

^′

(0) = 0 = X

^′

(L), X

_n

(x) = cos n π x L

para n > 0, λ

_n

= n π L

2

; e X

0

(x) = 1 para λ

0

= 0;

Para X(0) = 0 = X(L), X

n

(x) = sen n π x L

para n > 0, λ

n

= n π L

2

.

(3)

Quest˜ ao 6. Considere-se a EDP do calor com as condi¸c˜oes dadas abaixo:







u

_t

= u

_xx

para 0 < x < 1 e t > 0,

u(0, t) = 10 e u(1, t) = − 8 para t > 0, u(x, 0) = 0 para 0 ≤ x ≤ 1.

6.a. Escrever o problema que descreve a fun¸cão estado estacionário v(x), e calculá-la;

Pelo método da separa¸cão de variáveis para EDPs, calcular a fun¸cão tran- siente w(x, t) e a solu¸cão u(x, t) = v (x) + w(x, t). Para tanto:

6.b. Escrever o problema que descreve w(x, t) e, então, reescrever a EDP e as condi¸cões homogêneas para w(x, t) como dois problemas com EDOs (uma, em x, e a outra, em t);

6.c. Calcular a solu¸cão w(x, t) da EDP submetida às condi¸cões homogê- neas, expressando-a como uma série formal (as dicas podem ser usadas);

6.d. Assumindo a convergˆencia da s´erie, calcular seus coeficientes.

Quest˜ ao 7. Considere-se a EDP do calor com as condi¸c˜oes dadas abaixo:







u

t

= u

xx

para 0 < x < 1 e t > 0, u

^′

(0, t) = 0 = u

^′

(1, t) para t > 0, u(x, 0) = sen(2 π x) para 0 ≤ x ≤ 1.

7.a. Reescrever a EDP e as condi¸c˜oes homogˆeneas como dois problemas com EDOs (uma, em x, e a outra, em t);

7.b. Calcular a solu¸cão u(x, t) da EDP submetida às condi¸cões homogê- neas, expressando-a como uma série formal (as dicas podem ser usadas);

7.c. Assumindo a convergˆencia da s´erie, calcular seus coeficientes.

(4)

Quest˜ ao 8. Considere-se a EDP da onda modificada, submetida `as condi-

¸c˜oes dadas abaixo:







u

tt

+ 4 u = u

xx

para 0 < x < 1 e t > 0, u(0, t) = 0 = u(1, t) para t > 0,

u

_t

(x, 0) = 0 e u(x, 0) = 12 sen(3 π x) − 8 sen(4 π x) para 0 < x < 1.

8.a. Pelo método da separa¸cão de variáveis para EDPs, reescrever a EDP e as condi¸cões homogêneas como dois problemas com EDOs (uma, em x, e a outra, em t);

8.b. Calcular a solu¸cão u(x, t) da EDP submetida às condi¸cões homogê- neas, expressando-a como uma série formal (as dicas podem ser usadas);

8.c. Assumindo a convergˆencia da s´erie, calcular seus coeficientes.

Quest˜ ao 9. Considere-se o seguinte problema:







u

_xx

+ u

_yy

= 0, 0 < x < a, 0 < y < b u

y

(x, 0) = 0, u

y

(x, b) = f (x), 0 < x < a u

x

(0, y) = 0, u

x

(a, y) = 0, 0 < y < b Suponha-se que f (0) = 0 e R

L

0

f (x)dx = 0. Usando o método de separa¸cão de variáveis, calcular a solu¸cão u(x, t) seguindo o roteiro abaixo:

9.a. Para solu¸c˜oes do tipo u(x, y) = X(x)Y (y), encontrar as equa¸c˜oes que expressam o problema acima em termos de X(x) e Y (y);

9.b. Impondo as condi¸c˜oes de contorno, calcular X(x) e Y (y);

9.c. Usando o princ´ıpio da superposi¸c˜ao, escrever u(x, y) como uma s´erie

e expressar os coeficientes dela em fun¸c˜ao de f .

(5)

SOLU ¸ C ˜ OES PARA ITENS SELECIONADOS

1.a: F (s) = e

⁻^3s

s + 2 · 2 !

(s − 2)

⁽²⁺¹⁾

Das regras 12 e 11 aplicadas, respectivamente, `as 1

^a

e 2

^a

parcelas com n = a = 2 e c = 3, temos f (t) = u

3

(t) + 2e

^2t

t

²

.

1.b: F (s) = 3e

⁻^2s

s

²

− 2

²

= e

⁻^2s

· 3 2 · 2

s

²

− 2

²

Da Regra 7 com a − 2, temos que:

L

⁻¹

3 2 · 2 s

²

− 2

²

(t) = 3

2 senh(2t) Disto e da Regra 13 com c = 2, segue-se que: f (t) = 3

2 u

2

(t) · senh(2(t − 2)).

2.a: s

²

Y (s) − s y(0) − y

^′

(0)

+ Y (s) = 2 e

⁻^(πs/2)

s − 5 e

⁻^(3πs/2)

, onde aplica- mos as regras 18 (n = 2 e f = y), 12 (c = π/2) e 17 (c = 3π/2). Logo:

Y (s) = 2 e

⁻^(πs/2)

s(s

²

+ 1) − 5 e

⁻^(3πs/2)

s

²

+ 1. Denotemos por g(t) uma fun¸c˜ao tal que G(s) = 1

s(s

²

+ 1) = 1 + s

²

− s

²

s(s

²

+ 1) = 1 + s

²

s(s

²

+ 1) − s

²

s(s

²

+ 1) = 1 s − s

s

²

+ 1 , expan- são em fra¸cões parciais que também podemos obter resolvendo um sistema de equa¸cões lineares para os coeficientes do formato genérico da expansão para este caso. Das regras 1 e 6 (a = 1), temos que g (t) = 1 − cos (t). Das regras 5 (a = 1) e 13 (1 é fun¸cão constante), obtemos que:

y(t) = 2 u

π/2

(t) ·

1 − cos t − π

2 − 5 u

3π/2

(t) · sen

t − 3π 2

∴

y(t) = 2 u

π/2

(t) · (1 − sen (t)) − 5 u

3π/2

(t) · cos (t).

Resolu¸ c˜ ao alternativa por convolu¸ c˜ ao: Denotemos por h(t) uma fun-

¸c˜ao tal que H(s) = e

⁻^(πs/2)

s(s

²

+ 1) = e

⁻^(πs/2)

s · 1

s

²

+ 1 Pelo teorema da convolu¸c˜ao (Regra 16) e as regras 12 (c = π/2) e 5 (a = 1), conclu´ımos que h(t) =

Z

t 0

sen (t − v) u

_π/2

(v) dv.

Para 0 ≤ t ≤ π/2: u

π/2

(v) = 0 para todo v em [0, t), donde h(t) = 0;

(6)

Para t > π/2: h(t) = Z

t

0

sen (t − v) u

π/2

(v) dv = Z

π/2

0

sen (t − v) ✘✘ u

π/2

✘✘ (v) dv+

Z

t π/2

sen (t − v) u

π/2

(v) dv = Z

t

π/2

sen (t − v) dv = Z

t−t

t−^π

2

− sen (w) dw = Z

t−^π

2

0

sen (w) dw = − cos (w)

t−^π

2

w=0

= cos (0) − cos (t − π

2 ) = 1 − sen (t).

Combinando os resultados, temos que h(t) = u

π/2

(t) · (1 − sen (t)).

2.b. [Nagle et al.] Se¸c˜ao 7.5, Exerc´ıcio 36: por escrito.

2.c. [Nagle et al.] Se¸c˜ao 7.5, Exerc´ıcio 38 por escrito.

2.d. Semelhante ao 2.a.

2.e. Quest˜ao 2 no arquivo simulado 3-2e-v1 0.pdf com o seguinte erratum:

onde se lˆe “Os termos com C e D podem ser combinados como um termo 2

s

²

(s

²

− 1) ”,

leia-se “Os termos com C e D podem ser combinados como um termo 2

(s

²

− 1) ”.

2.f: Pelo teorema da convolu¸c˜ao (Regra 16) e as regras 6 (a = 1) e 2 (a = − 1), conclu´ımos que:

Y (s) + 2 s

s

²

+ 1 Y (s) = 1

s − ( − 1) ∴ s

²

+ 1 + 2s

s

²

+ 1 Y (s) = 1 s + 1 ∴ Y (s) = s

²

+ 1

(s + 1)

³

= A

s + 1 + B

(s + 1)

²

+ C (s + 1)

³

∴

s

²

+ 1 = A(s + 1)

²

+ B(s + 1) + C = As

²

+ (2A + B)s + (A + B + C) ∴ A = 1, B = − 2, C = 2 ∴ Y (s) = 1

s + 1 − 2 1

(s + 1)

⁽¹⁺¹⁾

+ 2

(s + 1)

⁽²⁺¹⁾

∴ Pelas regras 2 (a = − 1) e 11 (a = − 1 e n = 1 e 2 respectivamente):

y(t) = e

⁻^t

(1 − 2t + t

²

) ∴ y(t) = e

⁻^t

(t − 1)

²

.

2.g: [Nagle et al.] Se¸c˜ao 7.7, Exerc´ıcio 22: por escrito.

(7)

3.a. O fato de f

i

ser fun¸c˜ao ´ımpar j´a nos diz que f

i

s´o possui termos em sen nπx

2 , ou seja

∞

X

n=1

b

n

sen nπx 2

, onde b

n

= 1 2

Z

2

−2

f

i

(x) sen nπx 2

dx.

Sendo o produto de fun¸c˜oes ´ımpares uma fun¸c˜ao par, obtemos a primeira igualdade abaixo. Sendo f

i

uma extens˜ao de f , que est´a definida em [0, 2], obtemos a segunda:

b

n

= 6 2 6 2

Z

2 0

f

i

(x) sen nπx 2

dx =

Z

2 0

f(x) sen nπx 2

dx = Z

1

0

x sen nπx 2

dx + Z

2

1

sen nπx 2

dx =

− 2

nπ x cos nπx 2

1 x=0

− Z

1

0

− 2

nπ cos nπx 2

dx + − 2

nπ cos nπx 2

2 x=1

=

− 2 nπ

✟ ✟ ✟ ✟ ✟ ✟

cos nπ 2

− 0

+ 4

n

²

π

²

sen nπx 2

1 x=0

+ − 2 nπ

cos

nπ 6 2 6 2

− ✟ ✟ ✟ ✟ ✟ ✟

cos nπ 2

= 4

n

²

π

²

h

sen nπ 2

− ^❳❳ sen (0) ^❳❳ i + − 2

nπ ( − 1)

ⁿ

∴ b

n

= 4

n

²

π

²

sen nπ 2

+ ( − 1)

ⁿ⁺¹

2 nπ onde a primeira parcela se reescreve de v´arios modos, contribuindo apenas quando n ´e ´ımpar: sen nπ

2 =







0, se n ´e par;

1, se n − 1 ´e m´ ultiplo de 4;

− 1, sen˜ao (n − 3 ´e m´ ultiplo de 4).

Para efeito deste exame, esta resposta seria satisfatória devido à comple- xidade dela para a experiência esperada dos estudantes. Em todo caso, um exemplo básico de reescritura, constru´ıdo caso a caso, é: particionamos os

´ımpares positivos em 4k − 3 e 4k − 1, onde k é inteiro positivo (eles corres- pondem aos casos que dão 1 e − 1 acima). Já os pares positivos são da forma 2k. Simplificando as expressões, obtemos a série abaixo, onde a ´ ultima das três parcelas do termo geral é a contribui¸cão dos pares positivos:

∞

X

k=1

2(4k − 3)π + 4 (4k − 3)

²

π

²

sen

(4k − 3)πx 2

+ 2(4k − 1)π − 4 (4k − 1)

²

π

²

sen

(4k − 1)πx 2

− 1

kπ sen (kπx)

(8)

3.b. O fato de f

p

ser fun¸c˜ao par j´a nos diz que f

p

s´o possui termos em cos nπx

2 e constante, ou seja a

0

2 +

∞

X

n=1

a

n

cos nπx 2

, onde

a

0

= 1 2

Z

2

−2

f

p

(x) dx e, para n > 0, a

n

= 1 2

Z

2

−2

f

p

(x) cos nπx 2

dx. Sendo o produto de fun¸c˜oes ´ımpares uma fun¸c˜ao par, obtemos a primeira igualdade abaixo. Sendo f

p

uma extens˜ao de f, que est´a definida em [0, 2], obtemos a segunda:

a

0

= 6 2 6 2

Z

2 0

f

p

(x) dx = Z

2

0

f(x) dx = Z

1

0

x dx+

Z

2 1

1 dx = x

²

2

1 x=0

+ x

2 x=1

= 1

2 − 0 + 2 − 1 = 3

2 ∴ a

0

= 3

2 e, analogamente para n > 0, a

_n

= 6 2

6 2 Z

2

0

f

_p

(x) cos nπx 2

dx = Z

2

0

f(x) cos nπx 2

dx = Z

1

0

x cos nπx 2

dx +

Z

2 1

cos nπx 2

dx = 2

nπ x sen nπx 2

1 x=0

− Z

1

0

2 nπ sen nπx 2

dx + 2

nπ sen nπx 2

2 x=1

= 2

nπ

✟ ✟ ✟ ✟ ✟ ✟

sen nπ 2

− 0

+ 4

n

²

π

²

cos nπx 2

1 x=0

+ 2 nπ

" ❍

❍

❍ ❍

❍

sen

nπ 6 2 6 2

−

✟ ✟ ✟ ✟ ✟ ✟

sen nπ 2

#

= 4

n

²

π

²

h cos nπ 2

− cos (0) i

∴ a

n

= 4 n

²

π

²

h cos nπ 2

− 1 i

, se n > 0. Mas:

cos nπ 2

=







0, se n ´e ´ımpar;

1, se n ´e m´ ultiplo de 4;

− 1, sen˜ao (ou seja, se n − 2 ´e m´ ultiplo de 4). ∴ cos nπ

2 − 1 =







− 1, se n ´e ´ımpar;

0, se n ´e m´ ultiplo de 4;

− 2, senão. Um modo de se escrever esta série é:

3 4 − 4

π

²

∞

X

k=1

1 (2k − 1)

²

cos

(2k − 1)πx 2

+ 1

2 cos ((2k − 1)πx)

3.c. O cálculo da série é semelhante ao do Item 3.a. Pelo teorema de Diri- chlet, a série converge, em x = 1, para a média dos seguintes limites laterais:

x

lim

→1⁻

g

i

(x) = lim

x→1⁻

g(x) = lim

x→1⁻

x

²

= 1

²

= 1 e

lim g

_i

(x) = lim g(x) = lim 0 = 0, ou seja, ela converge para 1/2 em x = 1.

(9)

4.a. [Nagle et al.] Se¸c˜ao 7.6, Exerc´ıcio 22: por escrito.

4.b. Por escrito.

5.a. [Nagle et al.] Se¸c˜ao 10.2, Exerc´ıcio 5: por escrito.

5.b. [Nagle et al.] Se¸c˜ao 10.2, Exerc´ıcio 10: por escrito.

6. Por escrito.

7. Resolvido na aula de exerc´ıcios de 08/04/2013. No final, h´a uma s´erie de Fourier em cossenos para ser calculada.

8. 





u

tt

+ 4 u = u

xx

para 0 < x < 1 e t > 0, u(0, t) = 0 = u(1, t) para t > 0,

u

t

(x, 0) = 0 e u(x, 0) = 12 sen(3 π x) − 8 sen(4 π x) para 0 < x < 1.

8.a. Devido à linearidade da EDP, buscamos solu¸cões não-triviais dela no formato u(x, t) = X(x)T (t) que satisfa¸cam as condi¸cões homogêneas. Assim, X(x)T

^′′

(t) + 4X(x)T (t) = X

^′′

(x)T (t) ∴ X

^′′

(x)

X(x) = T

^′′

(t) + 4T (t)

T (t) nos pontos (x, t) tais que X(x) 6 = 0 e T (t) 6 = 0. Assim, uma fun¸cão de x e uma fun¸cão de t são iguais, donde se conclui que elas são iguais a uma constante − λ.

Portanto:

X

^′′

(x) + λ X (x) = 0 para 0 < x < 1, (1) T

^′′

(x) + (4 + λ) T (t) = 0 para t > 0. (2) Como n˜ao desejamos T ≡ 0, as condi¸c˜oes de contorno X(0)T (t) = u(0, t) = 0 e X(1)T (t) = u(1, t) = 0 traduzem-se por:

X(0) = 0 = X(1). (3)

Como n˜ao desejamos X ≡ 0 , a condi¸c˜ao inicial X(x)T

^′

(0) = u

t

(x, 0) = 0 traduz-se por:

T

^′

(0) = 0. (4)

Com isto, (1) e (3) definem um problema de contorno em X(x), enquanto

(2) e (4) definem um problema em T (t).

(10)

8.b. Das dicas fornecidas, o problema descrito por (1) e (3) tem solu¸cões não-nulas dadas pelos m´ ultiplos não-nulos de X

n

(x) = sen (µ

n

x), autofun-

¸c˜oes do autovalor − λ

_n

= − µ

²_n

, onde µ

_n

= nπ para n ´e inteiro positivo.

8.c. Aplicando, a (2), os valores λ

n

encontrados para λ no Item 8.b, obtemos a equa¸c˜ao caracter´ıstica r

²

+ 4 + λ

n

= 0 ∴ r

²

= − (4 + λ

n

) = − (4 + µ

²_n

) < 0 ∴ r = ± i p

4 + µ

²_n

= ± i ν

n

, denotando por ν

n

= p

1 + µ

²_n

> 0 ∴

T (t) = A cos (ν

n

t) + B sen (ν

n

t) ∴ T

^′

(t) = − ν

n

A sen (ν

n

t) + ν

n

B cos (ν

n

t).

Da condi¸c˜ao (4), temos que 0 = T

^′

(0) = ν

n

[ − A · 0 + B · 1] = ν

n

B. Mas ν

n

> 0 ∴ B = 0 ∴ T (t) = A cos (ν

n

t), e há solu¸cões não-triviais, m´ ulti- plas não-nulas de T

n

(x) = cos (ν

n

t). Combinando linearmente as solu¸c˜oes u

n

(x, t) = X

n

(x)T

n

(t) para formarmos uma série formal como limite de tais somas parciais, e assumindo a convergência da série, temos a solu¸cão formal:

u(x, t) =

∞

X

n=1

c

n

u

n

(x, t) =

∞

X

n=1

c

n

sen (nπ x) cos √

4 + n

²

π

²

t .

Mas

∞

X

n=1

c

n

sen (nπ x) · 1 = u(x, 0) = sen(3 π x) − 8 sen(4 π x) ∴ c

n

= 0 para todo n > 0 exceto c

3

= 1 e c

4

= − 8. Logo:

u(x, t) = sen (3π x) cos √

4 + 9π

²

t

− 8 sen (4π x) cos 2 √

1 + 4π

²

t .

9. Por escrito.