Mecanismos Online

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Mecanismos Online

Fabio Alexandre Campos Tisovec

Instituto de Matemática e Estatística - Universidade de São Paulo

June 17, 2013

Fabio Alexandre Campos Tisovec Mecanismos Online

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Caracterização do Problema

Problemas considerados:

Conjunto de jogadores varia ao longo do tempo.

Conjunto de possíveis decisões futuras não é conhecido a priori.

Exemplos:

Venda de passagens aéreas onde compradores surgem ao longo do tempo.

Alocação de recursos computacionais a processos que surgem ao longo do tempo.

Leilão de espaço de anúncios em portais de busca.

Alocação de tarefas dentre um grupo de trabalho cujos integrantes mudam ao longo do tempo.

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Abordagem Utilizada

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Abordagem Utilizada

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Abordagem Utilizada

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Mecanismo

Dados instantes discretos de tempoT ={1,2, . . .}, um mecanismo faz uma sequencia de decisõesk = (k¹,k², . . .), ondek^t representa a decisão tomada no instantet.

T pode ser ilimitado ou não.

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Caracterização dos Jogadores

Mecanismo trata os jogadores subdividindo-os em tipos.

Para cada jogadori, sejaθ_i = (a_i,d_i,w_i)∈Θseu tipo, onde:

Θé o conjunto de todos os possíveis tipos de jogadores.

a_i representa o momento de chegada do jogadori no jogo.

d_i representa o momento de saída do jogadorido jogo.

w_i representa a valoração do jogadori, e é invariante a todos os eventos que ocorrem fora do intervalo[a_i,d_i].

θi define uma função de valoraçãov_i = (θi,k^[aⁱ^,t^])∈R, t∈[a_i,d_i].

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Mecanismo Online com Revelação Direta

Sejaω∈Ωo conjunto de eventos estocásticos que ocorrem no ambiente e que não estão sub o controle nem do mecanismo, nem dos jogadores. Sejaω^t as

informações conhecidas no momentotde tais eventos, ω^t ∈Ω^t,Π_t∈TΩ^t = Ω.

Sejaθ^t o conjunto dos jogadores que fazem seu lance no instantet.

Sejah^t = (θ¹, . . . , θ^t;ω¹, . . . , ω^t;k¹, . . . ,k^t−1)∈H^t o estado do mecanismo no instantet, onde H^t é o conjunto de todos os possíveis estados no instantet.

SejaK(h^t)o conjunto de todas as decisões possíveis no instantet e sejaI(h^t)o conjunto de todos os jogadores ativos no instantet.

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Mecanismo Online com Revelação Direta

Um Mecanismo Online com Revelação DiretaM = (π,x) restringe cada jogador a fazer um único lance informando seu tipo e define uma política de decisãoπ={π^t},t ∈T e uma política de pagamentox ={x^t},t ∈T, onde a decisão

π^t(h^t)∈K(h^t)é tomada com base no estadoh^t e o pagamento x_i^t(h^t)∈Ré coletado de cada agentei ∈I(h^t).

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Lances com Falsidade Limitada

SejaC(θ_i)⊆Θo conjunto de possíveis lances do jogador i, cujo tipo real éθ_i.

Um modelo que satisfazlances falsos sem chegadas prematurasimplica que para um jogador

i,C(θ_i) ={θˆ_i = (ˆa_i,dˆ_i,wˆ_i) :a_i ≤ˆa_i ≤dˆ_i,wˆ_i ∈W}.

Um modelo que satisfazlances falsos sem saídas atrasadasimplica que para um jogador

i,C(θ_i) ={θˆ_i = (ˆa_i,dˆ_i,wˆ_i) : ˆa_i ≤dˆ_i ≤d_i,wˆ_i ∈W}.

Um modelo que satisfaz ambas as restrições é ditocom restrições razoaveis de falsidade nos lances.

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Mecanismo Online à Prova de Estratégia (Induz à Verdade)

Sejaθ−i = (θ1, . . . , θi−1, θi+1, . . .).

Sejap_i(θ, ω) = Σ_t∈Tx_i^t.

Um mecanismo online é à prova de estratégia dado lances com falsidade limitada se:

v_i(θ_i, π(θ_i, θ_−i⁰ , ω))−p_i(θ_i, θ_−i⁰ , ω)≥ v_i(θi, π(ˆθi, θ_−i⁰ , ω))−p_i(ˆθi, θ_−i⁰ , ω),

∀θˆ_i ∈C(θ_i),∀θ_i,∀θ⁰_−i ∈C(θ−i),∀θ_−i,∀ω ∈Ω.

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Domínios Online de um Único Valor

SejaL_i ={l_i¹,l_i², . . .}um conjunto composto por conjuntos de items que o jogadoritem interesse.

Em um domínio online de um único valor, cada jogadori é definido porθ_i = (a_i,d_i,(r_i,L_i)),r_i ∈R, ondeθ_i define a função de valoraçãov_i(θ_i,k) =

ri,∃j∈N,t∈[a_i,di]|l_i^j⊆k_i^t 0,cc

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Valor Crítico

SejaD_i(π(θ_i, θ−i, ω))∈ {0,1}tal que vale 1 se a políticaπtoma alguma decisão interessante para o jogadori, ou zero caso contrário.

O valor crítico para o jogadori, dadoθ_i = (a_i,d_i,(r_i,L_i)), uma políticaπem um domínio de valor único eθ_−i eωfixos, é definido como:

v_(a^c

i,di,Li)(θ−i, ω) =n

minr_i⁰|Di(π((ai,di,(r_i⁰,Li)),θ−i,ω))=1

∞,cc

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Monotonicidade

Uma políticaπé monotônica se

((D_i(π((a_i,d_i,(r_i,L_i)), θ−i, ω)) =1)∧(r_i >v_(a^c

i,di,Li)(θ−i, ω))) =⇒ (D_i(π((a_i,d_i,(r_i⁰,L_i)), θ−i, ω)) =1),∀r_i⁰ >r_i,∀θ_−i,∀ω∈Ω.

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Lema 1

Lema 1.

Dada uma política monotônica, o valor crítico do jogador i independe do valor r_i e aumenta monotonicamente em

intervalos sucessivamente mais apertados de chegada e saída.

Demonstração.

Fixeθ_−i, ω ∈Ω. Assuma por contradição quea⁰_i ≥a_i,d_i⁰ ≤d_i, porémr_i⁰<r_i, onder_i⁰ =v_(a^c0

i,d_i⁰,L_i)(θ−i, ω)er_i =v_(a^c

i,d_i,L_i)(θ−i, ω).

Nestas condiçõesD_i(π((a_i,d_i,(r_i,L_i)), θ−i, ω)) =0, mas D_i(π((a⁰_i,d_i⁰,(r_i,L_i)), θ−i, ω)) =1, contradizendo a monotonicidade.

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Lema 1

Lema 1.

Dada uma política monotônica, o valor crítico do jogador i independe do valor r_i e aumenta monotonicamente em

intervalos sucessivamente mais apertados de chegada e saída.

Demonstração.

Fixeθ_−i, ω ∈Ω. Assuma por contradição quea⁰_i ≥a_i,d_i⁰ ≤d_i, porémr_i⁰<r_i, onder_i⁰ =v_(a^c0

i,d_i⁰,L_i)(θ−i, ω)er_i =v_(a^c

i,d_i,L_i)(θ−i, ω).

Nestas condiçõesD_i(π((a_i,d_i,(r_i,L_i)), θ−i, ω)) =0, mas D_i(π((a⁰_i,d_i⁰,(r_i,L_i)), θ−i, ω)) =1, contradizendo a monotonicidade.

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Teorema 1

Teorema 1.

É possível implementar uma política monotônica que induz à verdade em um domínio de valor único em conjuntos de interesse conhecidos e com restrições razoaveis de falsidade nos lances.

Demonstração.

Defina a política de pagamento onde x_i^t(h^t) =

v^c

(ˆai,diˆ,Li)(ˆθ−i,ω),se(Di(π(ˆθi,θˆ−i,ω))=1)∧(t=ˆdi) 0,cc

Fixeθ_i, θ−i, ω∈Ωe assuma que o jogadori fala a verdade em seu lance.

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Teorema 1

Teorema 1.

É possível implementar uma política monotônica que induz à verdade em um domínio de valor único em conjuntos de interesse conhecidos e com restrições razoaveis de falsidade nos lances.

Demonstração.

Defina a política de pagamento onde x_i^t(h^t) =

v^c

(ˆai,diˆ,Li)(ˆθ−i,ω),se(Di(π(ˆθi,θˆ−i,ω))=1)∧(t=ˆdi) 0,cc

Fixeθ_i, θ−i, ω∈Ωe assuma que o jogadori fala a verdade em seu lance.

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Teorema 1

Demonstração - caso a).

Se a políticaπ não toma nenhuma decisão interessante para o jogadori, isto implica quev_(a^c

i,d_i,L_i)(θ−i, ω)>r_i.

Neste caso, a única forma deste jogador passar a ser alocado (receber alguma decisão interessante) é trocar seu lance para algumθ_i⁰ = (a_i,d_i,(r_i⁰,L_i)),r_i⁰>r_i, porém esta alteração implica que o jogadori terá utilidade negativa caso passe a ser alocado.

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Teorema 1

Demonstração - caso b).

Se a políticaπ toma alguma decisão interessante para o jogadori, isto implica que sua utilidade é não-negativa, pois v_(a^c

i,d_i,L_i)(θ−i, ω)≤r_i.

Além disso, pelo Lema 1 seu valor crítico e, por decorrência, sua utilidade independem de seu valorr_i, portanto não é possível ao jogadoriaumentar sua utilidade declarando algum θˆ_i 6=θ_i.

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Resultados

Lema 2.

Em um domínio de valor único em conjuntos de interesse conhecidos, qualquer mecanismo online para agentes racionais necessariamente deve coletar pagamentos equivalentes aos valores críticos de cada jogador alocado.

teorema 2.

Em um domínio de valor único em conjuntos de interesse conhecidos e com restrições razoaveis de falsidade nos lances, qualquer políticaπ que induz à verdade e que não paga

jogadores não alocados precisa necessariamente ser monotônica.

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Resultados

Lema 2.

Em um domínio de valor único em conjuntos de interesse conhecidos, qualquer mecanismo online para agentes racionais necessariamente deve coletar pagamentos equivalentes aos valores críticos de cada jogador alocado.

teorema 2.

Em um domínio de valor único em conjuntos de interesse conhecidos e com restrições razoaveis de falsidade nos lances, qualquer políticaπ que induz à verdade e que não paga

jogadores não alocados precisa necessariamente ser monotônica.

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Algoritmo

Considere que a cada instante de tempo há exatamente um item à venda.

Seja um lance do jogadoridefinido porθî = (â_i,dˆ_i,wˆ_i),wˆ_i ∈R, necessariamente feito no instantet = â_i.

(i) A cada instante de tempo, aloque o item ao jogador não alocado com o maior lance, decidindo empates ao acaso.

(ii) Cada jogador paga seu valor crítico no momento de sua partida.

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Referências

Algorithmic Game Theory, Noam Nisan, Tim Roughgarden, Eva Tardos, Vijay V Vazirani, Cambridge University Press.