Mat 234 Medida e integrac¸˜ao - Lista 5
Sylvain Bonnot Exerc´ıcio 1. Mostre queG(x):=R
R−{0} sen(tx)
t(1+t2)dt´e diferenci´avel. DetermineG(0)eG0(0). Mos- tre:
xG0(x) =
Z
R
2t.sen(tx) (1+t2)2 dt Exerc´ıcio 2. Mostre queΓ(t+1) =t.Γ(t)ondeΓ(t):=R
(0,∞)e−xxt−1dxparat>0.
Exerc´ıcio 3. Mostre que para qualquerα>0a func¸˜aox7→senx(x)3e−αx´e integr´avel em(0,∞) e de integral cont´ınua emα.
Exerc´ıcio 4. Seja fnuma sequˆencia de func¸˜oes mensur´aveis positivas Lebesgue-integr´aveis emR, convergindo quase-sempre para uma func¸˜ao fe tal queR
fn→R
f. Sejagn:=min(fn,f). Mostre quelimR
gn=R
f e quelimR
|fn− f|=0.
Exerc´ıcio 5. Seja fnuma sequˆencia de func¸˜oes mensur´aveis integr´aveis emR, convergindo q.t.p para uma func¸˜ao f integr´avel. Mostre que as seguintes proposic¸˜oes s˜ao equivalentes:
(a) limnR∞
−∞|fn− f|=0 (b) limnR∞
−∞|fn|=R∞
−∞|f|
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