Conjuntos Enumer´aveis e N˜ao-Enumer´aveis

Jo ˜ao Antonio Francisconi Lubanco Thom ´e Bacharelado em Matem ´atica - UFPR

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Prof. Dr. Fernando de ´ Avila Silva (Orientador) Departamento de Matem ´atica - UFPR

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Resumo

O Objetivo deste trabalho ´e obter t ´ecnicas de caracterizac¸ ˜ao de conjuntos finitos e infinitos, para que assim seja poss´ıvel estudar a enumerabilidade de alguns conjuntos

num ´ericos, como por exemplo o conjunto dos n ´umeros Alg ´ebricos e Transcendentes.

Introduc¸ ˜ao

No estudo da Teoria de Conjuntos, um dos fatores pelo qual estamos interessados

´e a cardinalidade, que consiste, no caso finito, no n ´umero de elementos que determi- nado conjunto possui. J ´a no caso infinito, como n ˜ao podemos contar seus elementos,

´e necess ´ario classific ´a-los de acordo com a sua enumerabilidade, ou seja, se com determinado conjunto for poss´ıvel construir uma bijec¸ ˜ao entre os n ´umeros naturais, dizemos que sua cardinalidade ´e o ℵ ₀ . A partir dos estudos de Gregor Cantor, essa definic¸ ˜ao de cardinalidade foi definida e constatou-se que: conjuntos infinitos podem possuir diferentes cardinalidades, como por exemplo os conjuntos n ˜ao-enumer ´aveis, em particular o conjunto dos n ´umeros reais R . Desta forma, o intuito deste artigo ´e estudar maneiras de classificar conjuntos em finitos ou infinitos, e posteriormente nos questionarmos sobre suas cardinalidades, onde iremos estudar t ´ecnicas para conjun- tos enumer ´aveis e n ˜ao-enumer ´aveis.

Conjuntos finitos e infinitos

Quando observamos a natureza, podemos classificar diversos eventos em grupos

ou conjuntos, e assim realizar sua contagem, de modo que os dados obtidos sem-

pre ser ˜ao finitos. Este processo de contagem ´e realizado associando a cada numero

natural um ´unico elemento do conjunto e por fim tomando o maior natural obtido. In-

trinsecamente estamos construindo uma func¸ ˜ao bijetora entre um subconjunto finito

dos n ´umeros naturais, que denotaremos por I _n , e o conjunto em estudo que denotare-

mos por X. Ou seja, a enumerac¸ ˜ao de um conjunto X est ´a condicionada a construc¸ ˜ao

de uma func¸ ˜ao f : I _n ⊂ N −→ X que seja bijetora. Isso motiva a seguinte definic¸ ˜ao.

Definic¸ ˜ao 1. Um conjunto X chama-se finito quando ´e vazio ou quando existe, para algum n ∈ N , I _n = {p ∈ N ; p ≤ n}, de modo que ϕ : I _n −→ X ´e uma bijec¸ ˜ao.

Exemplo 1. O conjunto dos zeros de um polin ˆomio da forma p(x) = a _n x ⁿ +· · ·+a ₁ x+a ₀

´e finito.

Definic¸ ˜ao 2. Um conjunto X chama-se infinito quando n ˜ao ´e finito. Mais explicita- mente, X ´e infinito quando n ˜ao ´e vazio, e al ´em disso seja qual for n ∈ N , n ˜ao existe uma bijec¸ ˜ao ϕ : I _n −→ X.

Exemplo 2. Os conjuntos N , Z , Q e R s ˜ao conjuntos infinitos.

Possuindo as definic¸ ˜oes acima, podemos agora enunciar alguns resultados que possam nos ajudar a mostrar que um conjunto seja finito, ou infinito.

Teorema 1. Seja A ⊂ I _n . Se existir uma bijec¸ ˜ao f : I _n −→ A, ent ˜ao A = I _n .

Demonstrac¸ ˜ao. Usaremos induc¸ ˜ao em n. O resultado ´e ´obvio para n = 1. Suponha- mos que ele seja v ´alido para um certo n e consideremos uma bijec¸ ˜ao f : I _n+1 −→ A.

Ponhamos a = f (n + 1). A restric¸ ˜ao de f a I _n fornece uma bijec¸ ˜ao f

: I _n −→

A − {a}. Se tivermos A − {a} ⊂ I _n , ent ˜ao, pela hip ´otese de induc¸ ˜ao, concluiremos que A − {a} = I _n onde a = n + 1 e A = I _n+1 . Por ´em, se A − {a} ⊂ I _n ent ˜ao deve se ter n + 1 ∈ A − {a}. Neste caso, existe p ∈ I _n+1 tal que f(p) = n + 1. Ent ˜ao definiremos uma nova bijec¸ ˜ao g : I _n+1 −→ A pondo g(x) = f (x) se x 6= p e x 6= n + 1, enquanto g(p) = a, g(n + 1) = n + 1. Agora, a restric¸ ˜ao de g a I _n nos dar ´a uma bijec¸ ˜ao g

: I _n −→ A − {n + 1}. Evidentemente, A − {n + 1} ⊂ I _n . Logo, pela hip ´otese de induc¸ ˜ao, A − {n + 1} = I _n , donde A = I _n+1 .

Corol ´ario 1. N ˜ao pode existir uma bijec¸ ˜ao f : X −→ Y de um conjunto finito X sobre um parte pr ´opria Y ⊂ X.

Demonstrac¸ ˜ao. Com efeito, sejam X finito e Y ⊂ X uma parte pr ´opria. Existem n ∈ N e uma bijec¸ ˜ao ϕ : I n −→ X. Ent ˜ao o conjunto A = ϕ ⁻¹ (Y ) ´e uma parte pr ´opria de I n . Chamemos de ϕ _a : A −→ Y a bijec¸ ˜ao obtida por restric¸ ˜ao de ϕ a A. Se existisse uma bijec¸ ˜ao f : Y −→ X, a composta g = ϕ ⁻¹ ◦ f ◦ ϕ _a : A −→ I _n seria tamb ´em uma bijec¸ ˜ao, contrariando o Teorema 1.

Segue do Corol ´ario 1, que para provar que determinado conjunto ´e infinito, basta mostrar que existe uma bijec¸ ˜ao com uma parte pr ´opria. Assim, consideremos o conjunto dos n ´umeros naturais N , para provar que ´e infinito, tomemos o conjunto P = {2, 4, 6 · · · } dos n ´umeros pares. Temos que P ⊂ N , e considere f : N −→ P , dada por f(n) = 2n, ´e f ´acil ver que f ´e bijetora, e consequentemente segue do Co- rol ´ario 1 que N n ˜ao pode ser finito, portanto N ´e infinito.

Teorema 2. Se X ´e um conjunto finito ent ˜ao todo subconjunto Y ⊂ X ´e finito. O n ´umero de elementos de Y n ˜ao excede o de X e s ´o ´e igual quando Y = X.

Demonstrac¸ ˜ao. Basta provar o teorema para o caso em que X = I _n . Isso ´e claro para n = 1 pois as ´unicas partes de I ₁ s ˜ao ∅ e I ₁ . Suponhamos o teorema demonstrado para I _n e consideremos um subconjunto Y ⊂ I _n+1 . Se for Y ⊂ I _n ent ˜ao, pela hip ´otese de induc¸ ˜ao, Y ser ´a um conjunto finito cujo n ´umero de elementos ´e ≤ n e, portanto,

≤ n + 1. Se por ´em, n + 1 ∈ Y ent ˜ao Y − {n + 1} ⊂ I _n e consequentemente existe

uma bijec¸ ˜ao φ : I _p −→ Y − {n + 1}, com p ≤ n. Definiremos ent ˜ao uma bijec¸ ˜ao ϕ : I _p+1 −→ Y , pondo ϕ(x) = φ(x) para x ∈ I _p e ϕ(p + 1) = n + 1. Segue-se que Y ´e finito e seu n ´umero de elementos n ˜ao excede p + 1. Como p ≤ n, temos p + 1 ≤ n + 1.

Resta apenas mostrar que se Y ⊂ I _n tem n elementos ent ˜ao Y = I _n . Isto por ´em ´e claro pois, pelo Corol ´ario 1, n ˜ao pode haver uma bijec¸ ˜ao de I _n sobre sua parte pr ´opria Y .

Corol ´ario 2. Seja f : X −→ Y uma func¸ ˜ao injetiva. Se Y for finito ent ˜ao X tamb ´em ser ´a. Al ´em disso, o n ´umero de elementos de X n ˜ao excede o de Y .

Demonstrac¸ ˜ao. De fato, f define uma bijec¸ ˜ao de X sobre sua imagem f(X), a qual ´e finita, por ser uma parte do conjunto Y . Al ´em disso, o n ´umero de elementos de f(X), que ´e igual ao de X, n ˜ao excede o de Y .

Corol ´ario 3. Seja g : X −→ Y uma func¸ ˜ao sobrejetiva. Se X for finito ent ˜ao Y tamb ´em ser ´a. Al ´em disso, o n ´umero de elementos de Y n ˜ao excede o de X.

Demonstrac¸ ˜ao. Como g ´e sobrejetiva, temos que g possui inversa a direita, isto ´e, existe uma func¸ ˜ao f : Y −→ X tal que g ◦ f = id _Y . Ent ˜ao g ´e inversa `a esquerda de f e, portanto, f ´e uma func¸ ˜ao injetiva de Y no conjunto finito X. Segue do Corol ´ario 2 que Y ´e finito e seu n ´umero de elementos n ˜ao excede o de X.

Os resultados que acabamos de enunciar para conjuntos finitos fornecem, por ex- clus ˜ao, resultados sobre conjuntos infinitos. Como nosso maior interesse est ´a no estudo da enumerabilidade de conjuntos infinitos, deixaremos para enunciar estes fa- tos como ferramentas da pr ´oxima sec¸ ˜ao. A Figura 1 fornece um diagrama de alguns conjuntos infinitos importantes para nosso estudo.

Figura 1: Diagrama dos Conjuntos Num ´ericos.

Conjuntos Enumer ´aveis

At ´e este momento, enunciamos alguns resultados para comparar dois conjuntos

finitos referente a quantidade de seus elementos, por meio do uso de func¸ ˜oes. Agora,

podemos ir al ´em e nos questionar sobre o caso de conjuntos infinitos, ser ´a que po-

demos adaptar os resultados obtidos no caso finito para o infinito? Para responder

essa pergunta, primeiramente ´e necess ´ario distinguir conjuntos infinitos em dois ca-

sos: Infinitos Enumer ´aveis e Infinitos N ˜ao-Enumer ´aveis, comec¸aremos pela definic¸ ˜ao

do primeiro.

Definic¸ ˜ao 3. Um conjunto X ´e dito enumer ´avel quando ´e finito, ou quando existe uma bijec¸ ˜ao f : N −→ X. No segundo caso, X ´e dito infinito enumer ´avel.

Exemplo 3. O conjunto P = {2, 4, 6, · · · } dos n ´umeros pares ´e enumer ´avel. Basta tomarmos a bijec¸ ˜ao f : N −→ I dada por f(n) = 2n. A lista formada a partir da func¸ ˜ao f pode ser expressa da seguinte maneira:

1 2 3 4 5 6 7 · · · n · · ·

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ · · · ↓ · · · 2 4 6 8 10 12 14 · · · 2n · · ·

Exemplo 4. O conjunto Z = {· · · , −2, −1, 0, 1, 2, · · · } dos n ´umeros inteiros ´e enu- mer ´avel. Para isso, podemos definir uma bijec¸ ˜ao f : N −→ Z , de modo que:

f (n) =

( _n−1

2 , para n ´ımpar

− ⁿ ₂ , para n par

A lista formada a partir da func¸ ˜ao f, pode ser expressa da seguinte maneira:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 · · · 2n 2n+1 · · ·

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ · · · ↓ ↓ · · ·

0 -1 1 -2 2 -3 3 -4 4 · · · -n n · · · Teorema 3. Todo subconjunto X ⊂ N ´e enumer ´avel.

Demonstrac¸ ˜ao. Se X ´e finito, nada h ´a para demonstrar. Caso contr ´ario, enumeramos os elementos de X pondo x ₁ = menor elemento de X , e supondo definidos x ₁ <

x ₂ < · · · < x _n , escrevemos A _n = X − {x ₁ , · · · , x _n }. Observando que A _n 6= ∅, pois X

´e infinito, definimos x _n+1 = menor elemento de A _n . Ent ˜ao X = {x ₁ , x ₂ , · · · , x _n , · · · }.

Com efeito, se existisse algum elemento x ∈ X diferente de todos os x _n , ter´ıamos x ∈ A _n para todo n ∈ N . Logo x seria um n ´umero natural maior do que todos os elementos do conjunto infinito {x ₁ , · · · , x _n , · · · }, contrariando o Corol ´ario 2.

Teorema 4. Todo subconjunto de um conjunto enumer ´avel ´e enumer ´avel.

Demonstrac¸ ˜ao. Seja X um conjunto enumer ´avel, logo existe ϕ : N −→ X bijec¸ ˜ao, de modo que ϕ(n ₁ ) = x ₁ , ϕ(n ₂ ) = x ₂ , . . . , ϕ(n _i ) = x _i , . . . . Agora, tomemos A ⊂ X com A = X \ {x ₁ , x ₂ , . . . , x _i , . . . } e Y ⊂ N , de modo que Y = N \ {n ₁ , n ₂ , . . . , n _i , . . . }. Assim, temos que φ : Y −→ A ´e bijetora e portanto como Y ⊂ N , segue do Teorema 3 que Y ´e enumer ´avel, e consequentemente existe ψ : N −→ Y bijetora. Logo, tomando (φ ◦ ψ) : N −→ A, temos que (φ ◦ ψ) ´e bijetora, e assim A ´e enumer ´avel.

Corol ´ario 4. Se Y ´e enumer ´avel e ϕ : X −→ Y ´e injetiva, ent ˜ao X ´e enumer ´avel.

Demonstrac¸ ˜ao. Seja Y enumer ´avel, ent ˜ao existe f : N −→ Y bijetora. Desta forma, como ϕ ´e injetiva, tomemos a restric¸ ˜ao de Y a Im(ϕ) = A. Ent ˜ao, segue que φ : X −→

A ´e bijetora, e como Y ´e enumer ´avel, temos que pelo Teorema 4, A ⊂ Y enumer ´avel.

Portanto, existe g : N −→ A bijetora, e assim (φ ⁻¹ ◦ g) : N −→ X ´e bijec¸ ˜ao, disto segue que X ´e enumer ´avel.

Teorema 5. Seja X um conjunto enumer ´avel. Se f : X −→ Y ´e sobrejetiva, ent ˜ao Y ´e

enumer ´avel.

Demonstrac¸ ˜ao. Com efeito, para cada y ∈ Y podemos escolher um x = g(y) ∈ X tal que f(x) = y. Isto define uma aplicac¸ ˜ao g : Y −→ X tal que f(g(y)) = y para todo y ∈ Y . Segue-se da´ı que g ´e injetiva. Pelo Corol ´ario 4, Y ´e enumer ´avel.

Teorema 6. Sejam X, Y conjuntos enumer ´aveis. O produto cartesiano X × Y ´e enu- mer ´avel.

Demonstrac¸ ˜ao. Existem func¸ ˜oes injetivas ϕ : X −→ N e ψ : Y −→ N . Logo g : X × Y −→ N × N dada por g(x, y) = (ϕ(x), ψ(y)) ´e injetiva. Assim sendo, pelo Corol ´ario 4, basta provar que N × N ´e enumer ´avel. Para isso, definimos a func¸ ˜ao f : N × N −→ N , onde f(m, n) = 2 ^m 3 ⁿ . Pela unicidade da decomposic¸ ˜ao em fatores primos, f ´e injetiva, de onde fornece uma bijec¸ ˜ao de N × N sobre o conjunto enumer ´avel f ( N × N ) ⊂ N .

O Teorema 6 nos diz que para uma quantidade finita de conjuntos enumer ´aveis, o produto cartesiano ainda ser ´a enumer ´avel, entretanto para o caso infinito isso n ˜ao ocorre, ou seja dados infinitos conjuntos enumer ´aveis, n ˜ao necessariamente o produto cartesiano ser ´a enumer ´avel.

Corol ´ario 5. O conjunto dos n ´umeros racionais ´e enumer ´avel.

Demonstrac¸ ˜ao. Seja Z ^∗ o conjunto dos inteiros n ˜ao nulos, desta forma, temos que Z ^∗ ⊂ Z , que ´e enumer ´avel como j ´a vimos. Portanto, segue do Teorema 4 que Z ^∗ tamb ´em ´e enumer ´avel. Agora, seja ϕ : Z × Z ^∗ −→ Q , com ϕ(p, q) = ^p _q , temos que pelo Teorema 6, Z × Z ^∗ ´e enumer ´avel, e assim como ϕ ´e sobrejetiva, segue pelo Teorema 5 que Q ´e enumer ´avel.

Figura 2: Procedimento de listagem do conjunto dos n ´umeros racionais.

A Figura 2 fornece uma maneira intuitiva de listarmos os n ´umeros racionais, de modo a obter uma bijec¸ ˜ao com os n ´umeros naturais. Desta forma, seguindo as indicac¸ ˜oes das setas formamos a seguinte sequ ˆencia:

1 , 2 , 1 2 , 1

3 , 3 , 4 , 3 2 , 2

3 , 1 4 , · · ·

Corol ´ario 6. A reuni ˜ao de uma fam´ılia enumer ´avel de conjuntos enumer ´avel ´e enu- mer ´avel.

Demonstrac¸ ˜ao. Com efeito, dados X ₁ , X ₂ , · · · , X _n , · · · enumer ´aveis, existem sobrejec¸ ˜oes f ₁ : N −→ X ₁ , f ₂ : N −→ X ₂ , · · · , f _n : N −→ X _n , · · · . Tomando X = ^{S ∞} _n=1 X _n , definimos a sobrejec¸ ˜ao f : N × N −→ X pondo f(m, n) = f _n (m). O caso de uma reuni ˜ao finita X = X ₁ ∪ · · · ∪ X _n reduz-se ao anterior porque ent ˜ao X = X ₁ ∪ · · · ∪ X _n ∪ X _n ∪ · · · .

Conjuntos n ˜ao-enumer ´aveis

At ´e o momento, vimos alguns resultados para conjuntos enumer ´aveis infinitos, que em suma s ˜ao conjuntos que podem ser postos em bijec¸ ˜ao com os n ´umeros naturais.

Desta forma, surge o seguinte questionamento: Conjuntos infinitos possuem a mesma cardinalidade, ou ”tamanho”? Em outras palavras, para qualquer conjunto infinito, ´e poss´ıvel obter uma bijec¸ ˜ao com os naturais? Veremos que existem conjuntos infinitos com cardinalidade maior do que o conjunto dos n ´umeros naturais, como veremos.

Mas para isso, segue a seguinte definic¸ ˜ao.

Definic¸ ˜ao 4. Um conjunto X ´e dito n ˜ao-enumer ´avel quando n ˜ao ´e poss´ıvel obter uma bijec¸ ˜ao de X com o conjunto dos n ´umeros naturais.

Exemplo 5. Considere o conjunto de todas as listas infinitas enumer ´aveis, que se pode formar utilizando apenas os algarismos 0 e 1, como por exemplo:

0 0 0 0 0 0 0 0 · · · 1 1 0 0 0 1 1 1 · · · 0 1 0 1 1 1 0 1 · · ·

O conjunto de todas essas listas de zeros e uns ´e n ˜ao enumer ´avel. Para isso, considere S = {s ₁ , s ₂ , · · · , s _n , · · · } o conjunto de todas as sequ ˆencias infinitas enu- mer ´aveis s _i com i ∈ N , formadas a partir da combinac¸ ˜ao dos n ´umeros 0 e 1. Desta forma, queremos construir uma sequ ˆencia infinita enumer ´avel s tal que s / ∈ S, portanto considere o primeiro termo da sequ ˆencia s ₁ , e fac¸amos o primeiro termo da sequ ˆencia s diferente deste. Agora considere o segundo termo da sequ ˆencia s ₂ , e fac¸amos o segundo termo da sequ ˆencia s diferente dele, e assim sucessivamente. Desta forma teremos que s 6= s ₁ 6= s ₂ 6= · · · 6= s _n 6= · · · , para todo n ∈ N .

Portanto, acabamos de construir uma sequ ˆencia infinita enumer ´avel s a partir da

combinac¸ ˜ao de zeros e uns, tal que s / ∈ S, e assim temos que S ´e n ˜ao enumer ´avel. A

construc¸ ˜ao da sequ ˆencia s pode ser melhor compreendida a partir da Figura 3.

Figura 3: Argumento da Diagonal de Cantor.

Este argumento, em que se constr ´oi um novo elemento de uma sequ ˆencia a partir do modelo descrito acima ´e conhecido como Diagonal de Cantor, e utilizaremos est ´a ferramenta para a demonstrac¸ ˜ao do seguinte teorema.

Teorema 7. O intervalo (0, 1) dos n ´umeros reais ´e n ˜ao enumer ´avel.

Demonstrac¸ ˜ao. Suponha que o intervalo (0, 1) seja enumer ´avel, desta forma existe ϕ : N −→ (0, 1) bijec¸ ˜ao, e assim podemos listar todos os valores entre (0, 1) de modo que ϕ(i) = x _i , ∀i ∈ N , como descrito abaixo:

x ₁ = 0, x ₁₁ x ₁₂ x ₁₃ . . . x ₂ = 0, x ₂₁ x ₂₂ x ₂₃ . . . x 3 = 0, x ₃₁ x 32 x 33 . . .

.. . .. .

x j = 0, x _j1 x j2 x j3 . . .

.. . .. .

Agora, vamos tomar um n ´umero k ∈ (0, 1) com k = 0, k ₁ k ₂ k ₃ . . . . Ainda mais, vamos impor que k ₁ 6= x ₁₁ , k ₂ 6= x ₂₂ , . . . , k _j 6= x _jj , . . . . Em outras palavras, queremos que k _i 6= x _ii , ∀i ∈ N . Assim, temos que k ∈ (0, 1), por ´em k 6= x _i , ∀i ∈ N , e portanto existe um n ´umero no intervalo (0, 1) que n ˜ao est ´a listado por ϕ, uma contradic¸ ˜ao. Logo, o intervalo (0, 1) ´e n ˜ao enumer ´avel.

Corol ´ario 7. O conjunto dos n ´umeros reais ´e n ˜ao enumer ´avel.

Demonstrac¸ ˜ao. Seja R o conjunto dos n ´umeros reais, e suponha que R ´e enumer ´avel.

Assim, pelo Teorema 4, todo subconjunto X ⊂ R ´e enumer ´avel. Por ´em, pelo Teorema 7, o intervalo (0, 1) ´e n ˜ao enumer ´avel, uma contradic¸ ˜ao. Assim o conjunto R dos n ´umeros reais ´e n ˜ao enumer ´avel.

Corol ´ario 8. O conjunto dos n ´umeros irracionais ´e n ˜ao enumer ´avel.

Demonstrac¸ ˜ao. Seja R − Q o conjunto dos n ´umeros irracionais, e suponha que R − Q ´e enumer ´avel. Desta forma, como o conjunto Q dos n ´umeros racionais ´e enumer ´avel e R = Q ∪( R − Q ), segue do Teorema 6 que R ´e enumer ´avel, uma contradic¸ ˜ao. Portanto, o conjunto dos n ´umeros irracionais ´e n ˜ao enumer ´avel.

Veja que a partir dos resultados demonstrados, podemos concluir que nem todos os infinitos s ˜ao iguais. Ou seja, tanto o conjunto dos n ´umeros naturais N quanto o conjunto dos n ´umeros reais R s ˜ao infinitos, por ´em, como vimos, n ˜ao existe uma bijec¸ ˜ao entre estes conjuntos. Portanto o infinito que diz respeito aos conjunto dos n ´umeros reais ´e maior do que o infinito que diz respeito ao conjunto dos n ´umeros naturais.

N ´ umeros Alg ´ebricos e Transcendentes

Outros dois conjuntos infinitos de nosso interesse, ser ˜ao os conjuntos dos n ´umeros alg ´ebricos e dos n ´umeros transcendentes, esses que s ˜ao disjuntos e a partir da uni ˜ao formam o conjunto dos n ´umeros reais. Desta forma, iniciemos com a seguinte definic¸ ˜ao.

Definic¸ ˜ao 5. Um n ´umero real x ´e dito alg ´ebrico se existem inteiros a ₀ , a ₁ , . . . , a _n , n ˜ao todos nulos, tais que:

a _n x ⁿ + a n−1 x ⁿ⁻¹ + · · · + a ₁ x + a ₀ = 0

Exemplo 6. Considere o polin ˆomio p(x) = x ² − x, fazendo p(x) = 0 temos que x ₁ = 0 e x ₂ = 1 s ˜ao ra´ızes de p(x), portanto 0 e 1 s ˜ao n ´umeros alg ´ebricos.

Teorema 8. O conjunto dos n ´umeros alg ´ebricos ´e enumer ´avel.

Demonstrac¸ ˜ao. Seja P ⁿ ( Z ) o conjunto de todos os polin ˆomios de coeficientes inteiros com grau no m ´aximo n. Agora, tomemos a func¸ ˜ao:

ψ : Z ⁿ⁺¹ −→ P ⁿ ( Z ) Tal que,

(a _n , a n−1 , . . . , a ₁ , a ₀ ) 7→ ψ(a _n , a n−1 , . . . , a ₁ , a ₀ ) = a _n x ⁿ + a n−1 x ⁿ⁻¹ + · · · + a ₁ x + a ₀ Desta maneira, ψ ´e bijetiva. Agora, como Z ´e um conjunto enumer ´avel, e Z ⁿ⁺¹

´e o produto cartesiano finito de Z , temos que pelo Corol ´ario 6 , Z ⁿ⁺¹ ´e enumer ´avel.

Al ´em disso, como ψ, em particular, ´e sobrejetiva, segue do Teorema 5 que P ⁿ ( Z ) ´e

enumer ´avel.

Agora, seja P ( Z ) o conjunto dos polin ˆomios de qualquer grau, ou seja:

P ( Z ) =

∞

[

n=1

P ⁿ ( Z )

Como P ⁿ ( Z ) ´e enumer ´avel, e de acordo com o Teorema 6, a reuni ˜ao de conjuntos enumer ´aveis ´e enumer ´avel, segue que P ( Z ) ´e enumer ´avel. Por fim, consideremos a func¸ ˜ao:

ϕ : P ( Z ) −→ ^[

p∈P (Z)

R p

De modo que, ϕ associa a cada polin ˆomio q ∈ P ( Z ), o conjunto de suas ra´ızes R _q ∈ ^S R _p . Desta forma, temos que ϕ ´e sobrejetiva, e portanto pelo Teorema 5, o conjunto:

[

p∈P( Z )

R _p

´e enumer ´avel.

Agora queremos analisar a enumerabilidade do conjunto dos n ´umeros transcen- dentes, para isso precisamos inicialmente defini-los.

Definic¸ ˜ao 6. Dizemos que um n ´umero α ´e transcendente quando ele n ˜ao ´e alg ´ebrico.

Isto ´e, n ˜ao existe polin ˆomio p(x) com coeficientes inteiros tal que α seja soluc¸ ˜ao de p(x).

Corol ´ario 9. O conjunto dos n ´umeros transcendentes ´e n ˜ao enumer ´avel.

Demonstrac¸ ˜ao. Por definic¸ ˜ao, temos que R = ( alg ´ebricos ) ∪ ( trancendentes ). As- sim, suponha que o conjuntos dos n ´umeros transcendentes seja enumer ´avel. Desta forma ter´ıamos que R deveria ser enumer ´avel, pois o conjuntos dos n ´umeros alg ´ebricos

´e enumer ´avel segundo o Teorema 8, e segue do Corol ´ario 6 que a uni ˜ao de conjun- tos enumer ´aveis ´e enumer ´avel. Logo, chegamos `a um absurdo, pois como vimos, R ´e n ˜ao enumer ´avel. Portanto, o conjuntos dos n ´umeros transcendentes ´e n ˜ao enu- mer ´avel.

A mesma observac¸ ˜ao feita para os n ´umeros reais e naturais, pode ser aplicada para os n ´umeros alg ´ebricos e transcendentes. Tendo em vista que usualmente esta- mos mais familiarizados com os n ´umeros alg ´ebricos, devido ao fato de serem ra´ızes de polin ˆomios, os resultados apresentados nos mostram uma vis ˜ao contra intuitiva, no sentido de existirem mais n ´umeros transcendentes do que alg ´ebricos, mesmo que n ˜ao os conhec¸amos.

Por exemplo, considere a reta real. Agora tome os n ´umeros alg ´ebricos e os pinte

de amarelo, agora considere os n ´umeros transcendentes, e os pinte de vermelho,

ap ´os realizar estes passos o resultado obtido ser ´a a reta real colorida de vermelho,

devido a n ˜ao enumerabilidade dos n ´umeros transcendentes. Este racioc´ınio pode ser

esboc¸ado, de maneira simplista, na Figura 4.

Figura 4: Dispers ˜ao dos n ´umeros alg ´ebricos e transcendentes na reta real.

Refer ˆencias

[1] LIMA, Elon An ´alise Real. Volume 1. 8. ed. Rio de Janeiro: IMPA (Colec¸ ˜ao Ma- tem ´atica Universit ´aria), 2004.

[2] LIMA, Elon Curso de An ´alise. Volume 1. 14. ed. Rio de Janeiro: IMPA (Projeto Euclides), 2014.

[3] RUDIN, Walter. Princ´ıpios de An ´alise Matem ´atica. Rio de Janeiro: Ao Livro T ´ecnico, 1971.

[4] GONC ¸ ALVES, Mirian; GONC ¸ ALVES, Daniel. Elementos da An ´alise. Flo-

rian ´opolis. 2. ed, 2012.