1
Oscilações Forçadas
Considere o caso de um corpo de massa m suspenso por uma mola e submetido a uma força
F F
msen t
.Na posição de equilíbrio, P = k est
Figura 1 – A figura mostra um oscilador na posição vertical sujeito a uma força restauradora com uma amplitude Fm e uma freqüência angular = f.
A equação de movimento, chamando de x o deslocamento do corpo a partir de sua posição de equilíbrio:
)
(
em
sen t P k x F
x m
F
Ou
t sen F kx x
m
m
Essa é uma equação diferencial não homogênea, cuja solução é uma soma da solução da equação homogênea:
t sen C t C
t x kx
x
m 0
H( )
1cos
0
2
0com uma solução particular xp(t) que varia com a mesma função da força aplicada. Também é chamada de solução permanente pois durará com a aplicação da força externa.
Já a solução homogênea denomina-se termo transiente, pois é de curta duração.
) ( ) ( )
( t x t x t x
H
p ( )
m p m
m x k x F sen t x t x sen t
Lembramos aqui que
m
k
0 é a freqüência natural do sistema.
Para encontrarmos xm substituímos na equação não homogênea
( ) ( ) cos
p m p m
x t x sen t x t x t
( )
2p m
x t x sen t
Assim, teremos:
2 2
(
0)
m m
x F
m
1 0 2 0 2 2
0
( ) cos
( )
Fm
x t C t C sen t sen t
m
Se introduzirmos uma força externa a um sistema, variável periodicamente, o sistema vibrará com a mesma freqüência que a da força. Esse movimento é chamado de oscilação forçada. Em geral, a amplitude desse movimento é relativamente pequena, mas se a freqüência da força coincidir com a freqüência natural de oscilação (dos modos normais) a amplitude poderá ficar muito grande.
Sendo m a deflexão máxima produzida por uma força Fm sobre uma viga, mostre que:
2
0
1
mx
mOcorrerá ressonância quando = 0 (A freqüência da força externa é igual à freqüência natural do sistema).
Figura 2 – Ilustração da ressonância em um sistema forçado, quando a freqüência natural f0 coincide com a freqüência da força aplicada f.
Ressonância
No caso em que a freqüência da força for exatamente igual à de um modo normal, e supondo inexistir atrito ou qualquer outra força dissipativa, a força externa continuaria a fornecer energia ao sistema e a amplitude cresceria indefinidamente. Em qualquer sistema real, sempre há dissipação de energia, mas a
“resposta” (a amplitude da oscilação forçada) do sistema é
2
máxima quando a freqüência da força é igual a uma das freqüências dos modos normais. Esse comportamento é chamado de ressonância.
Sendo assim:
0 0
f f
Exemplos de Ressonância em sistemas
Um exemplo muito comum é quando empurramos o balanço de uma criança. Dá-se o nome de ressonância mecânica. O balanço é um pêndulo cuja única freqüência natural depende de seu comprimento.
Dando uma série de empurrões igualmente espaçados, cuja freqüência é igual a do balanço, o movimento torna-se muito grande.
O fenômeno de ressonância pode ser demonstrado com o auxílio das ondas longitudinais criadas no ar por um diapasão. Se dois diapasões idênticos forem colocados a uma certa distância um do outro e um deles for ativado, o outro começa a ser ouvido no momento em que o primeiro é subitamente amortecido. Se colocarmos um pedaço de cera ou massa de modelar em um dos diapasões, a freqüência deste será alterada a ponto de destruir a ressonância. Fenômeno semelhante pode ser demonstrado com o piano. Com o pedal de amortecimento puxado, de modo que os abafadores deixem as cordas vibrarem livremente, canta-se uma nota contínua junto ao piano. Quando se pára de cantar, o piano parece continuar a tocar a mesma nota. As ondas sonoras da voz excitam vibrações nas cordas cujas freqüências naturais estão próximas (nos tons ou sobretons) das da nota cantada inicialmente.
As cordas esticadas possuem muitas freqüências naturais vibração. Analogamente, uma ponte é capaz de vibrar com certas freqüências naturais, tornando-se perigoso quando um agente externo provoque sobre ela força com uma freqüência de oscilação igual à natural.
O corpo de um instrumento musical como um violão é um exemplo de uma caixa de ressonância. As vibrações da corda entram em ressonância com a estrutura da caixa de madeira amplificando o som e acrescentando vários harmônicos, fornecendo o timbre característico do instrumento. Sem o corpo, o som da corda seria fraco e insosso. Em uma guitarra a ressonância é substituída, parcialmente, por efeitos eletrônicos.
Para uma corda de comprimento L, as freqüências produzidas serão:
,...
3 , 2 , 2 1
n
L f
nnv
Denomina-se a frequência mais baixa de fundamental:
L f v
1
2
A freqüência fundamental denomina-se primeiro harmônico. As outras são denominadas de sobretons (2f1,3f1,4f1,...,). Sobretons cujas freqüências são números inteiros da fundamental formam a chamada série harmônica. A freqüência fundamental f1 é chamada de primeiro harmônico. A freqüência 2f1 é o primeiro sobretom ou segundo harmônico. A freqüência 3f1 é o segundo sobretom ou o terceiro harmônico e assim por diante.
Conta-se que um regimento de Napoleão entrou marchando em uma ponte e a freqüência do compasso da marcha, por azar, coincidiu com a freqüência natural de vibração da ponte. Ocorreu a ressonância e a ponte passou a oscilar com grande amplitude e desabou. A partir desse desastre os soldados passaram a quebrar o passo sempre que atravessam alguma ponte.
Outro exemplo interessante, envolvendo ressonância mecânica, aconteceu em uma ponte nos Estados Unidos, configurando o maior incidente desse porte. A ponte suspensa de Tacoma, localizada no estado de Washington, caiu devido a força oscilante provocada por uma ventania de 70km/h. Em 1º de julho de 1940, a ponte foi aberta ao público e rapidamente ganhou o apelido de "Galloping Gertie" (Gertie galopante) devido a seu comportamento oscilante mesmo sob a ação de ventos fracos. Em 7 de novembro, depois de quatro meses após sua inauguração, o vão central (com 1,9 km de extensão) começou a oscilar em modo transverso, com uma freqüência de 36 Hz e uma amplitude de 1,5 pés. Nos minutos seguintes, o aparecimento de um modo de vibração torsional (de 14 Hz) em dois segmentos da ponte, determinou o colapso final. A ponte foi construída dentro das normas mais rígidas e com a melhor tecnologia disponível na época. Cientistas do Instituto de Tecnologia da Califórnia mostraram com a ajuda do túnel de vento que o colapso aconteceu devido à ressonância causada pelo vento através de um mecanismo de formação de vórtices. Uma vez que a ponte começou a ondular, o aparecimento dos vórtices laterais compôs o movimento que partiu a estrutura.
Inicialmente, a ponte começou a vibrar em modos longitudinais, isto é, ao longo de seu comprimento;
aí apareceram os chamados "modos torsionais", nos quais a ponte balançava para os lados, se torcendo simultaneamente. Na ressonância, a amplitude desses modos torsionais aumentou e a ponte entrou em colapso.
A ressonância óptica também pode ocorrer entre átomos de um gás a baixa pressão e ondas luminosas emitidas por uma lâmpada que contém os mesmos átomos. Assim, a luz de uma lâmpada de sódio pode fazer com que os átomos de sódio de um recipiente de vidro brilhem com a luz amarela característica dessa substância.
Figura 3 – Ponte de Tacoma Narrows, em Tacoma, Washington, inaugurada em 1 de julho de 1940, nos EUA e derrubada pelo vento, devido a entrar em ressonância, em 1 de novembro de 1940. Veja só a situação do carro do .
3
A sintonia de rádio é um exemplo de ressonância elétrica. Quando giramos o dial faz-se com que a freqüência natural de uma corrente alternada, no circuito receptor, se torne igual à freqüência das ondas da emissora que se deseja captar.
As ondas de rádio e TV que viajam no espaço tem uma freqüência característica de vibração. E a onda de cada emissora tem uma freqüência própria, diferente da freqüência das demais emissoras. Os rádios antigos tinham um botão - o dial - para "sintonizar" as emissoras.
Atualmente, com os sistemas digitais, os botões não são de girar e sim de apertar. Sintonizar uma emissora significa fazer seu receptor de rádio ou TV entrar em ressonância com a onda da emissora. Modifica-se freqüência natural de vibração do circuito eletrônico de seu receptor mudando-a pelo toque. Essa vibração não é mecânica, como nas molas, mas uma rápida variação nas correntes elétricas que percorrem o circuito. Na ressonância, o receptor "capta" energia da onda de rádio ou TV com eficiência máxima e o sinal da emissora é reproduzido pelo receptor. As ondas das outras emissoras, com freqüências diferentes, não estão em ressonância com o receptor e passam sem interagir com ele.
Algumas pessoas sentem enjôo ao viajar de carro por causa da ressonância entre as vibrações de baixa freqüência do carro e seus órgãos digestivos, estômago e intestinos. O remédio para essas pessoas é beber ou comer algo. Isso mudará a freqüência natural desses órgãos internos e não causará a ressonância.
Termo de desbalanceamento
Muitas vezes, a força máxima é dada pela equivalência em massa desbalanceada em relação a um eixo de rotação de raio R.
Assim, se tivermos um motor girando com uma freqüência f, teremos para freqüência angular:
2 f
A força centrípeta é dada por:
2 cp
F m v
R
Como:
v R
2
F
cp m R
Na maioria dos casos, a vibração é um fenômeno indesejável, sendo causa de quebra de peças, geração de ruídos, transmissão de forças às fundações das máquinas, etc. Nesse caso, procuramos minimizar os seus efeitos através do isolamento de vibrações, que consiste na colocação de uma suspensão (molas e amortecedores) entre a máquina e o solo. Tal suspensão pode ser ativa ou passiva. Dizemos que a suspensão é ativa quando a vibração é gerada pelo próprio sistema mecânico e, nesse caso, desejamos reduzir a vibração transmitida por ele para a base (fundação). É o caso, por exemplo, de prensas mecânicas que geram vibrações e as transmitem, através do solo, para as demais máquinas nas proximidades. Por outro lado, dizemos que a suspensão é passiva quando a vibração é gerada no meio ambiente e desejamos reduzir a vibração vinda da base para o sistema mecânico. É o caso, por exemplo, das vibrações geradas pelas irregularidades da estrada e que são transmitidas à carroceria de um automóvel.
Se o centro de massa de um corpo rígido em rotação não coincidir com o centro de rotação, dizemos que o sistema está desbalanceado.
Muitas vezes, a força máxima é dada pela equivalência em massa desbalanceada em relação a um eixo de rotação de raio R.
Assim, se tivermos um motor girando com uma freqüência f, teremos para freqüência angular:
2 f
A força centrípeta é dada por:
2 cp
F m v
R
Como:
v R
2
F
cp m R
4
Exercícios
1. Um cilindro de 5 kg está suspenso por uma mola de constante igual a 320 N/m e está submetido a uma força periódica vertical
F F
m sen t
, ondem
14
F N
. Determine a amplitude do movimento do cilindro para(a) = 6 rad/s e (b) = 12 rad/s.
2. Um cilindro de massa m suspenso de uma mola de constante k está sob a ação de uma força periódica vertical de módulo
F F
m sen t
. Determine a faixa de valores de para os quais a amplitude de vibração excede duas vezes a deflexão estática produzida por uma força de moduloF
m.3. No Problema 2 determine a faixa de valores de para os quais a amplitude de vibração é menor que a deflexão estática produzida por uma força de módulo constante
F
m.4. Um pêndulo simples de comprimento /está preso a um cursor C, que é forçado a deslocar-se horizontalmente de acordo com a relação
C m
x sen t
. Determine a faixa de valores de para a qual a amplitude do movimento da massa exceda 2m. (Suponha que m é pequeno em comparação ao comprimento l do pêndulo.)5. No Problema 4, determine a faixa de valores de para a qual a amplitude do movimento da massa seja maior que 3 m .
6. Um motor de 125 kg é suportado por uma viga leve horizontal. O desbalanceamento do rotor é equivalente a uma massa de 25 g localizada a 200 mm do eixo de rotação. Sabendo que a deflexão estática da viga devida ao peso do motor é 6.9 mm, determine
(a) a velocidade (em rpm) em que ocorrerá a ressonância
(b) a amplitude do estado estacionário do motor na freqüência de 720 rpm.
7. Resolva o Problema 6 supondo que o motor de 125 kg seja suportado por um conjunto de molas tendo uma constante total de 50 kN/m.
8. Quando se aumenta lentamente a velocidade de um motor, suportado por molas, de 300 para 400 rpm, a amplitude de vibração devida ao desbalanceamento do
rotor decresce continuamente de 1.95 mm para 1.02 mm.
Determine a velocidade para a qual ocorrerá ressonância.
9. Para o motor considerado no problema anterior, determine a velocidade do motor a qual a amplitude de vibração é 2.54 mm.
m
F F sen t
.
10. Um motor de 9 kg é suportado por quatro molas, cada uma de constante 20 kN/m. O motor é forçado a mover-se verticalmente e a amplitude observada de seu movimento é de 1.2 mm a uma velocidade de 1 200 rpm. Sabendo que a massa do rotor é 2.5 kg, determine a distância entre o centro de massa do rotor e o eixo da árvore.
11. No Problema anterior, determine a amplitude do movimento vertical do motor a uma velocidade de
(a) 450 rpm, (b) 1600 rpm (c) 900 rpm.
12. A barra AB está rigidamente presa à carcaça de um motor de velocidade constante. Quando um cursor de massa m é colocado sobre a mola, observa-se que vibra com amplitude de 10 mm. Quando dois cursores, cada um de massa m, são colocados sobre a mola, a amplitude observada é de 12 mm. Que amplitude de vibração deve ser esperada quando três cursores, cada um de massa m, forem colocados sobre a mola? (Obtenha duas respostas.)
5
13. Resolva o Problema 12 supondo que a velocidade do motor é mudada e um cursor tem amplitude de 12 mm e dois cursores têm uma amplitude de 4 mm.
14. Três cilindros idênticos A, B e C estão suspensos por meio de arranjos de molas idênticas que se prendem numa barra DE, como ilustrado. A barra DE, move-se verticalmente acordo com a relação
m
y sen t
. Sabendo que as amplitudes da vibração dos cilindros A e B são 0.0381 m e 0.0191 m, respectivamente, determine a amplitude de vibração de C.15. Resolva o Problema 15, supondo que as amplitudes de vibração dos cilindros Ae B são 0.0203 m e 0.0305 m, respectivamente.
16. Um motor de velocidade variável está rigidamente preso à viga BC. Quando a velocidade de rotação do motor é menor que 750 rpm ou maior que 1 500 rpm um pequeno objeto colocado em A permanece em contato com a viga. Para frequências entre 750 rpm e 1 500 rpm, observa-se que o objeto dança e efetivamente perde contato com a viga. Determine a velocidade angular guiar em que ocorrerá ressonância.
A
17. Um disco de massa m está preso ao ponto médio de um eixo vertical que gira com uma velocidade angular . Denotando por k a constante de elasticidade do sistema para movimento horizontal do disco e por e a excentricidade do disco em relação ao eixo, mostre que a deflexão do centro do eixo pode ser escrita na forma:
2
1
2e p
r
p
18. Um disco de massa igual a 20 kg está preso, com uma excentricidade e = 0.25 mm, no ponto médio de um eixo vertical AB que gira com velocidade angular constante. Sabendo que uma força estática de 150 N deflete o eixo de 0.4 mm, determine
(a) a velocidade angular para a qual ocorre ressonância e
(b) a deflexão r do eixo quando f = 1200 rpm.
19. A amplitude do movimento da massa do pêndulo mostrado na figura é 60 mm quando a amplitude do movimento do cursor C é 15 mm. Sabendo que o comprimento do pêndulo é l = 900 mm, determine os dois valores possíveis da frequência do movimento horizontal do cursor C.
xCmsen t C
l
x
20. Considere o sistema indicado na figura. A amplitude do movimento da esferazinha é 12 mm para l = 750 mm e 17 mm para l = 500 mm. Determine a frequência e a ampitude do movimento horizontal do cursor C.
21. Um pequeno reboque com massa total de 272 kg é suportado por duas molas, cada uma de constante 17,5 kN/m. O reboque é puxado sobre uma estrada cuja superfície pode ser aproximada por uma curva senoidal de 38.1 mm de amplitude e 4.88 m de comprimento de onda (isto é, a distância vertical de uma crista a um cavado é de 76.2 mm). Determine
(a) a velocidade em que ocorrerá ressonância, e (b) a amplitude de vibração do reboque a uma velocidade de 64.4 km/h.
- 4,88 m -
22. Sabendo que a amplitude de vibração do reboque do Problema 20 não deve exceder 19.1 mm, determine a menor velocidade com que o reboque pode ser tracionado sobre a estrada.
6
Vibrações Livres de Corpos Rígidos
A análise das vibrações de um corpo rígido ou de um sistema de corpos rígidos que possui um único grau de liberdade é análoga à análise das vibrações de um ponto material. Uma variável apropriada, como uma distância x ou um ângulo , é escolhida para definir a posição do corpo o sistema de corpos, e escreve-se uma equação relacionando esta variável e sua derivada segunda em relação ao tempo t. Se a equação obtida for da mesma forma que:
2 2
2 0
0
d x x
dt
a vibração considerada será um movimento harmônico simples. O período e a freqüência da vibração poderão, então, ser obtidos identificando-se 0 e substituindo na equação.
Em geral, um modo simples de se obter a equação anterior é considerar que o sistema das forças externas é equivalente ao sistema das forças efetivas, traçando um diagrama do corpo para um valor arbitrário da variável e escrevendo a equação do movimento apropriada. Recordemos que nosso objetivo é a determinação do coeficiente da variável x ou
02, não a determinação da variável em si ou das derivadas. Fazendo este coeficiente igual a
02, obtemos a freqüência angular da qual o período T e a freqüência f pode ser determinados. O método que acabamos de delinear pode ser utilizado para analisar vibrações que sejam de fato representadas por um movimento harmônico simples, ou vibrações de pequena amplitude que possam ser aproximadas a um movimento harmônico simples. Como um exemplo, determinemos o período de pequenas oscilações da placa de lado L que está suspensa do ponto médio O de um dos lados. Consideremos aplaca numa posição arbitrária definida pelo ângulo que a linha OG forma com a vertical e tracemos um diagrama para indicar que o peso P da placa e as componentes Rx e Ry da reação em O são equivalentes aos vetores maN e maT e ao momento.Como a velocidade angular e a aceleração angular da placa são iguais, respectivamente, e , os módulos dos dois vetores são, respectivamente,
m b
em b
2, enquanto o momento é I Q. Em aplicações anteriores deste método, tentamos sempre que possível supor o sentido correio para a aceleração. Aqui, porém, devemos supor o sentido positivo para
e
afim de obter uma equação da forma do oscilador harmônico. Conseqüentemente, a aceleração angular
será suposta positiva no sentido anti-horário, ainda que esta suposição não seja obviamente realística.Igualando os momentos em relação a O, escrevemos:
Aplicando o teorema dos eixos paralelos:
_____2
O G
I I m OG
Lembrando que:
2 2
1
G
12
aseI m b h
ase
2 b b
2 h b
2 2
1 2 2
G
12
I m b b
ou
1 8
22
212 3
G G
I m b I m b
Substituindo na equação
_____2
O G
I I m OG
para
_____
OG b
, teremos:2 2
2 2
2 2 3
3 3
O
m b m b I m b m b
5
2 O3
I m b
Assim, se aplicarmos a equação do movimento, relativa à translação e rotação de um corpo rígido:
Soma das forças externas é igual ao produto da massa pela aceleração (2a Lei de Newton):
1 N
i R
i
F m a
Soma dos momentos das forças externas em relação ao eixo de rotação O é igual ao produto do momento de inércia IO em relação a esse ponto multiplicado pela aceleração angular:
1 iO N
F O
i
I
P b sen I
O
7
5
2m g b sen 3 m b
5
23 m b m g b sen 0
3 0
5
g sen
b
Para ângulos pequenos:
sen
3 0
5 g
b
2 2
3 0
5
d g
dt b
Comparando com:
2 2
2 0
0
d x x
dt
Vemos que a freqüência angular de vibração é dada por:
2
3
5 g
b 3 5
g
b
E o período:
2 5
2 3
T T b
g
Assim, os passos para resolver um problema de vibração de corpo rígido consistem em:
Identificar o centro de oscilação O e as forças externas, juntamente com os pontos de aplicação de cada força externa identificada no corpo rígido.
Resolver a equação:
1 iO N
F O
i
I
Consiste em:
1) fazer a soma de todos os toques das forças externas em relação ao centro de oscilação O.
2) Calcular o momento de inércia IO do corpo rígido em relação ao ponto de oscilação O multiplicando pela aceleração angular
Quando necessário, utilizar o teorema dos eixos paralelos:
_____2
O G
I I m OG
Escrever a equação na forma:
2 2 1
iO
0
N
F O
i
I d A
dt
Ou
2
0
2 2 2 1
iO
0
N
F O
i
I d
dt
Assim:
2
A T
Exemplo 1 – Um cilindro de peso P e raio r está suspenso por um laço de corda, como mostra a figura.
Uma extremidade da corda está presa diretamente a um suporte rígido, enquanto a outra extremidade está presa a uma mola de constante elástica k. Determine o período e a freqüência de vibração do cilindro.
B
r
B T0 T
r A
x B P a
1 iO N
F O
i
I
Escolhendo o ponto O = A teremos:
1
iA
2
N
F A A
i
I T r P r I
Aplicando o teorema dos eixos paralelos:
_____ 2
2
A O A
2
I I M AO I M R M R
2
2 22
T R P R M R M R
2 3
22 T r P r M r
Antes da deformação:
0 0 0
2 T T P T P
Após a deformação:
0
2
2
T T k P k r
0
2
2
T T k P k r
8
2 2 3
22 2
P M r
k r r P r
2
2
3
4 2
r P k r P r M r
2
2
3
4 2
k r M r
8 3
k
m
2
8 8
3 3
k k
m m
2 3
2 8
T T m
k
1 8
2 2 3
f f k
m
Exemplo 2 – Um disco cicular, pesando 100N e de raio 0.2m, está suspenso por um arame como ilustrado.
O disco é girado (torcendo, portanto, o arame) e em seguida liberado; o período de vibração de torção é de 1.93 s. Supondo que o momento do binário exercido pelo arame é proporcional ao ângulo de torção, determine
(a) a constante de torção do arame,
(b) o momento de inércia baricêntrico da engrenagem e
(c) a velocidade angular máxima alcançada pela engrenagem quando é girada de 900 e liberada.
0.2m
Momento de torção:
M
o K
K: constante de torção do arame.
1 iO N
F O
i
I
0
o
K
I
2
2
2
o
K K
I m R
2
22 2
T T m R
K
2
1 2
2 2
f f K
m R
Exemplo 3 – Determine o período de pequenas oscilações de um cilindro de raio r que rola sem escorregar no interior de uma superfície curva de raio R.
r R (1) G
m
(2)
Energia potencial na posição (1):
1
( ) 1 cos
p m
E P h P R r
2
1 cos 2
2sen 2
Para pequenos ângulos, essa aproximação será utilizada. Então:
1
2
2
m
E
p P R r
Quando a esfera estiver na posição mais baixa, sua energia cinética será dada por:
2
2 2
1 1
2
m2
mE
c mv I
Como:
m m
v R r
m m
R r
r
Exemplo 4 – Um fio homogêneo dobrado na forma de um triângulo equilátero de lado l = 250 mm é posto a oscilar com pequena amplitude. Determine o período das pequenas oscilações
(a) quando o fio estiver suspenso por um vértice e (b) pelo ponto médio de um dos seus lados.
9
30° 30°
θ + 30°
30°- θ
θ
1 iO N
F O
i
I
1 2 3
1 iO O O O
N
F P P P
i
1
30 30
2 2
iO
N F i
l l
P sen P sen
P sen h
30 30 cos cos30
sen sen sen
30 30 cos cos30
sen sen sen 3
h l 2
1
2 cos 30 3
2 2
iO
N F i
P sen l P sen l
1
3 3
2 2
iO
N F i
P sen l P sen l
1
iO
3
N F i
m g l sen
1 2 3
O O O O
I I I I
1 2
2 O O
3
I I m l
3 3
2
2 2
O G O
12
I I m OG I m l m h
3
2 2
3
12 2
O
m l l
I m
3
2 2 2 2 2
3 9 10
12 4 12 12 12
O
m l m l m l m l m l
I
3
5
2 O6
I m l
1 2 3
2 2 2
5
3 3 6
O O O O
m l m l m l I I I I
2 2 2 2
2 2 5 9
6 6 6 6
O
m l m l m l m l
I
3
2 O2 I m l
1 iO N
F O
i
I
3
22 3
m l m g l sen
2
3 0
3 2 m g l m l sen
2 3 0
3 g
l
2
2 3 2 3
3 3
g g
l l
6.731
rads
2 0.933
T s
Aplicação do Princípio da Conservação da Energia.
Quando um ponto material de massa m está em movimento harmónico simples, a resultante F das forças exercidas sobre o ponto material tem módulo proporcional ao deslocamento x medido a partir da posição de equilíbrio O e está dirigida sempre para O;
escrevemos F = - kx. Notamos que F é uma força conservativa e que a correspondente energia potencial é
1
2V 2 k x
, onde V é suposto igual a zero na posição de equilíbrio x=0. Como a velocidade do ponto material é igual adx
dt x
sua energia cinética é1
2T 2 m x
e podemos afirmar que a energia total do ponto material se conserva escrevendo:2 2
1 1
constante
2 2
T V k x m x
Colocando 2
k
m
onde é a frequência angular de vibração, temos:2 2 2
=constante x x
A equação acima é característica do movimento harmónico simples e pode ser obtida diretamente de multiplicando-se ambos os termos por 2x e integrando.
O princípio da conservação de energia fornece um caminho conveniente para a determinação do período de vibração de um corpo rígido ou de um sistema de corpos rígidos que possuem um único grau de liberdade, uma vez que tenha sido estabelecido que o movimento é harmónico simples, ou que possa ser aproximado por um movimento harmónico simples.
Escolhendo uma variável apropriada, tal como uma
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distância x ou um ângulo θ, consideremos duas posições particulares do sistema:
1. O deslocamento do sistema é máximo; temos T1 = O e V1, pode ser expresso em função da amplitude xm ou θm (escolhendo V = 0 na posição de equilíbrio).
2. O sistema passa por sua posição de equilíbrio;
temos V2 = 0 e T2, pode ser expresso em função da velocidade máxima
x
mou
m.Em seguida consideramos que a energia total o sistema se conserva e escremos:
1 1 2 2
T V T V
Lembrando que, para o movimento harmónico simples:
m m
x x
Exercícios
1. A barra homogênea de 3,00 kg mostrada na figura está presa a uma mola de constante k = 900 N/m. Se a extremidade da barra é abaixada de 25 mm e então solta, determine
(a) o período de vibração e
(b) a máxima velocidade da extremidade A.
0.75m
1.25m
2. A barra homogênea de 5,44 kg está presa a uma mola de constante k = 525 N/m.A extremidade B da barra for abaixada de 12,7 mm e, então, solta, determine
(a) o período de vibração e (b) a máxima velocidade de B.
b = 0.533m 0.914m
3. Uma barra AB de 5.44 kg está rebitada a um disco homogêneo de 4.35 kg. Uma Corrêa prende-se à borda do disco e a uma mola que mantém a barra em repouso, horizontalmente.
0.762 m
A B
C k = 4.38kN/m D
Se a extremidade A da barra for abaixada de 38.1 mm e então solta, determine:
(a) de quanto será o período.
(b) a máxima velocidade da extremidade A.
4. Um cilindro homogêneo de 5,00 kg pode rolar sem escorregar num plano inclinado e está preso a uma mola AB, como indica a figura.
Se o centro do cilindro for deslocado de 10 mm, plano abaixo, a partir do seu ponto de equilíbrio e, então, solto, determinar (a) qual será o período de vibração (b) a máxima velocidade do centro do cilindro.
5. Uma correia, passando pela periferia de um disco de 12 kg, está presa a um cilindro de 4 kg e a uma mola de constante k = 500 N/m, como indica a figura. O cilindro é abaixado de 75 mm, a partir de sua posição de equilíbrio e, então, é solto. Determine (a) o período de vibração e (b) a máxima velocidade do cilindro. Suponha que o atrito é suficiente para impedir o escorregamento da correia sobre o disco.
6. No Problema 5, determine:
(a) a freqüência de vibração e (b) a máxima tensão entre em S e C.
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7. A barra homogênea de 5,44 kg está presa a uma mola de constante k = 525 N/m. A extremidade A da barra for abaixada de 12,7 mm e, então, solta, determine
(a) o período de vibração e (b) a máxima velocidade de A.
8. No Problema 2, determine:
(a) o valor de b para o qual ocorre o máximo o de vibração e
(b) o valor desse período.
9. Uma barra homogênea AB de 3,00 kg está presa a uma mola de constante 900 N/m, como indica a figura. Coloca- se em A um bloquinho C de 0,50 kg.
(a) Se a idade A for então abaixada de o (pequeno) e, a seguir, for solta, determine o período de vibração.
(b) Determine o máximo valor permissível de o para que bloco C não perca o contato com durante todo o movimento.
0.75m
1.25m
10. Uma barra de massa m e comprimento /está suspensa por duas molas, cada uma de constante k. Determine a freqüência de vibração se a barra for
(a) deslocada verticalmente e, solta e
(b) girada de um pequeno ângulo em torno de um eixo horizontal passando por G e, abandonada
(c) Determine a razão b/l para a qual as freqüências calculadas nos itens (a) e (b) são iguais.
G
B 12
b
12b
1
2
l
12
l
11. Uma placa quadrada homogênea de massa m é mantida num plano horizontal por um pino em B e está presa em A a uma mola de constante k. Desloca-se ligeiramente o vértice A e a seguir abandona-se a placa. Determine o período do movimento subseqüente.
12. Um pêndulo composto e definido como uma placa rígida que oscila em torno de um ponto fixo O, chamado centro de suspensão. Mostre que o período de oscilação de um pêndulo composto é igual ao período de um pêndulo simples de comprimento OA, onde a distância de A ao centro de massa G é
k
2GA r
. O ponto A é definido como o centro de oscilação e coincide com o centro de percussão definido no Problema 17.66.13. Mostre que, se o pêndulo composto considerado no Problema 12, está suspenso em A ao invés de O, o período de oscilação é o mesmo que antes e o novo centro de oscilação está localizado em O.
14. Uma placa rígida oscila em torno de um ponto fixo O. Mostre que o período mínimo de oscilação ocorre quando a distância r do ponto O ao centro de massa G é igual a
k
.12
15. Algumas dificuldades aparecem quando se usa um pêndulo simples ou composto determinação experimental da aceleração da gravidade g. No caso do pêndulo simples, o fio verdadeiramente desprovido de massa, enquanto no caso do pêndulo composto, torna-se localizar exatamente o centro de massa. Neste último caso a dificuldade pode ser contornada se um pêndulo reversível ou de Kater. Constróem-se dois pontos de apoio A e B não-simétricos em relação ao centro de massa e mede-se a distância l com grande precisão. Ajusta-se a do contrapeso D de modo que o período de oscilação t quando se usa o ponto de suspensão A é idêntico o período de oscilação quando se usa B. Mostre que t é igual ao de pêndulo ideal de comprimento l e que:
2 2
4 l
g
.16. Determine o período de pequenas oscilações de uma placa homogênea semicircular de raio r quando
(a) suspensa por A.
(b) quando suspensa por B.
17. Uma barra homogênea de comprimento l pode oscilar em torno de uma articulação A localizada a uma distância c do seu centro de massa G.
(a) Determine a freqüência de pequenas oscilações se c = l/2.
(b) Determine um segundo valor de c para o qual a freqüência das pequenas oscilações é a mesma que a encontrada na parte a.
18. Para a barra considerada no Problema 19.42, determine
(a) a distância c para que a freqüência de oscilação seja máxima e
(b) o correspondente período mínimo.
19. Um fio homogêneo dobrado na forma de um
triângulo equilátero de lado l = 250 mm é posto a oscilar com pequena amplitude. Determine o período das pequenas oscilações
(a) quando o fio estiver suspenso por um vértice e (b) pelo ponto médio de um dos seus lados.
20. Duas barras delgadas e homogêneas, cada uma de massa m estão soldadas na forma de um T, como indica a figura. Determine a freqüência de pequenas oscilaçóes do sistema.
A
l
B
C D 2l 2l
21. Remove-se temporariamente a pá AB do gerador a vento mostrado na figura. Impede-se o gerador de se mover em torno de y mas as três pás restantes, rigidamente ligadas, podem oscilar em torno de x.
Supondo que cada pá seja equivalente a uma barra de 36.6 m de comprimento, determine o período das pequenas oscilações, na ausência de vento.
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22. Observou-se que o período de pequenas oscilações em torno de A, da biela, é de 1.06 s. Sabendo que a distância ra é 170mm. determine o raio de giração baricêntrico da figura.
ra
rb
23. Uma biela é suportada por um gume no ponto A; o período das pequenas oscilações, observado, é de 0.895 s. A biela é então invertida e suportada pelo gume no ponto B, e o período das pequenas oscilações, observado, é de 0.805. Sabendo que ra + rb = 270 mm, determine:
(a) a localização do centro de massa G, (b) o raio de giração baricêntrico k.
24. e 25. Um disco de raio r pode oscilar em torno do eixo AB a uma distância b do centro de massa G, como indica a figura,
(a) Determine o período de pequenas oscilações para b = r.
(b) Determine um segundo valor de b para o qual o período de oscilação é igual ao obtido na parte (a).
26. Observa-se um período de 3.60 s para as oscilações angulares do giroscópio de 750 g. suspenso por um arame como ilustrado. Sabendo que o período obtido quando uma esfera de aço de 60 mm de diâmetro é suspensa da mesma forma, raio de giração baricêntrico do rotor (massa específica do aço = 7.85 x 103 kg/m3 ).
27. Suspende-se uma barra de 6 kg por meio de um fio de aço que constante torsional k = 1,75 N • m/rad.
Dá-se à barra um giro de 180° em torno da vertical e, então, solta-se o sistema. Determine
(a) o período de oscilação e
(b) a máxima velocidade da extremidade A da barra.
28. Uma placa fina e circular de raio resta suspensa por três arames comprimento h, igualmente espaçados em torno do perímetro da placa. Determine o oscilação quando
(a) a placa é girada de um pequeno ângulo em torno de um eixo vertics por seu centro de massa e liberada e
(b) é dada uma pequena translação horizontal à seguida, é liberada.
29. Resolva o Problema 28 supondo que r = 750 mm e h = 600 mm.
30. Um disco uniforme de 0.254 m de raio e 8.16 kg de massa está preso a um eixo vertical que é rigidamente preso em B. Sabe-se que o disco gira de 3°
quando um momento estático de 4,52 N • m é aplicado ao mesmo. Se o disco é girado de 8° e em seguida liberado, determine
(a) o período da vibração resultante e
(b) a velocidade máxima de um ponto na borda do disco.
31. Uma peça de aço fundido é rigidamente parafusada ao disco do Prob. 19.55. Sabendo que o período da vibração de torção do disco e da peça é 0,90 s, determine o momento de inércia da peça fundida em relação ao eixo AB.
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32. Determine o period do pêndulo simples de comprimento l.
33. Observa-se que as molas de um automóvel expandem-se 0.20 m a partir de uma posição de relaxamento, quando o veículo é levantado por diversos guinchos. Supondo que cada mola suporta uma parcela igual do peso do automóvel, determine a frequência das vibrações livres do veículo.
34. Utilizando o método da Seção 19.6, resolva o Problema 19.3.
35. Utilizando o método da Seção 19.6, resolva o Problema 19.4.
36. Um arame homogéneo de comprimento 2l, dobrado conforme a ilustração, oscila em torno do pino B.
Denotando por τ0 o período de pequenas oscilações quando β = 0, determine o ângulo β para que o período de pequenas oscilações seja 2τ0.
B
l l
β β
A C
37. Sabendo que l = 750 mm e β = 40°, determine o período de oscilação do arame dobrado.
38. Um fio homogêneo foi dobrado na forma de um quadrado de lado l está preso em A por uma junta esférica. Determine o período de pequenas oscilações do quadrado,
(a) no plano
(b) numa direção perpendicular ao quadrado.
39. Resolva o problema anterior supondo o quadrado suspenso por um de seus vértices.
40. Um disco homogéneo de raio C está preso em A por meio de uma junta esférica. Determine a frequência das oscilações de pequena amplitude
(a) no plano do disco e
(b) numa direção perpendicular ao disco.
41. Observa-se que quando um peso de 35.6 N está preso à borda de um volante de 1.83 m de diâmetro, o período das pequenas oscilações do volante é 22 s.
Despreze o atrito no eixo e determine o momento de inércia baricêntrico do volante.
42. Usando o método da Seção 19.6, resolva o Problema 19.45.
43. A barra homogénea ABC de 2.27 kg está preso a duas molas como indica a figura. Dá-se um pequeno deslocamento à extremidade Ce se libera o sistema. Determine a frequência de vibração da barra.
44. Resolva o problema anterior considerando-se que as molas foram permutadas, de modo que kB = 700 N/m e kC = 525 N/m.
45. Solda-se a barra AB de 5 kg a um disco homogéneo de 8 kg. Uma mola de nstante 450 N/m encontra-se presa ao disco, mantendo a barra na posição mostrada na figura. Desloca-se ligeiramente a extremidade B e libera-se o sistema. Determine o período de vibração da barra.
0.120 mm 0.500 mm
C A B
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46. Para o sistema considerado no Problema 45, determine a constante da mola para a qual o período de vibração da barra é 1.5 s.
47. A barra delgada AB de massa m está presa a dois cursores de massas desprezíveis. Sabendo que o sistema repousa num plano horizontal e está em equilíbrio na posição ilustada determine o período de vibração se se deslocar ligeiramente o cursor A e, então, se liberar o sistema.
48. Os discos A e fitem massas de 3 kg e 8 kg, respectivamente. Um pequeno bloco C de massa igual a 750 g está preso à borda do disco B. Supondo que não haja escorregamento entre os discos, determine o período das pequenas oscilações do sistema.
90 mm
150 mm
49. Dois discos homogéneos de 5 kg estão ligados a unia barra AB de 8 kg, como indica a figura.
Sabendo que a constante da mola é 4 kN/m e que os discos rolam sem escorregar, determine a frequência de vibração do sistema.
50. A barra AB de Q kg está parafusada ao disco de 12 kg. Sabendo que o disco rola sem escorregar, determine o período de pequenas oscilações do sistema.
51. A barra AB de 1.81 kg está parafusada ao disco de 0.127 m de raio, como indica a figura. Sabendo que o disco rola sem escorregar, determine o peso do disco para o qual o período das pequenas oscilações do sistema é 1.5 s.
Q
52. Três barras idênticas estão ligadas como ilustrado. Se
b
34l determine a freqüència das pequenas oscilações do sistema.53. Para o sistema considerado no problema anterior, determine
(a) a distância b para a qual a frequência de oscilação é máxima e
(b) o valor dessa freqüência.
54. Uma barra homogênea de comprimento L é sustentada em A por uma junta e por um fio vertical CD.
Deduza uma expressão para o período de oscilação da barra se se desloca ligeiramente a extremidade B e então se libera o sistema.
55. Resolva o Problema 54 considerando L = 3.00 m. b = 2.50 m e h = 2.00.
56. Uma semi-seção de um tubo encontra-se sobre um plano horizontal. Gira-se a peça de um pequeno ângulo e então se libera o sistema. Supondo rolamento sem escorregar. Determine o período de oscilação.
57. Uma barra delgada de comprimento l está suspensa por dois arames verticais de comprimento h cada um, localizado a uma distância 1/2b do centro de massa G. Determine o período de oscilação quando
(a) a barra é girada de um pequeno ângulo em torno de um eixo vertical que passa por G e liberada e
(b) é dada uma pequena translação horizontal à barra ao longo de AB e liberada.
16
58. Quando um corpo submerso se desloca através de um fluido, o fluido move-se torno do corpo e assim, adquire energia cinética. No caso de uma esfera em movimento num fio ideal, a energia cinética total adquirida pelo fluido e
1
24 V
; onde é a massa específica do fluído V o volume da esfera e avelocidade. Considere uma superfície esférica oca de 5 N e raio 0.075 m. que é mantida submersa num tanque de água por uma mola de constante 600 N/m.
(a) Desprezando o atrito do fluido, determine o período de vibração da superfície esférica quando deslocada verticalmente e em seguida liberada,
(b) Resolva o item a, supondo que o tanque é acelerado para cima com uma aceleração constante de 3 m/s2 .
59. Uma fina placa de comprimento l repousa sobre um semicilindro de raio r. Deduza uma relação para o período de pequenas oscilações da placa.
60. Faça uma pesquisa sobre a vibração equivalente que destrui a ponte abaixo, indicando os modos vibracionais que causaram a destruição da ponte.
