Curvatura Escalar, o Operador Linearizado e Aplica¸c˜oes

Curvatura Escalar, o Operador Linearizado e Aplica¸ c˜ oes

Ana Lucia Pinheiro Lima

A minha m˜` ae L´ucia Maria e ao Prof. Luis Roque

Agradecimentos

Ao meu querido orientador Prof. Hil´ario Alencar pelo muito que me ensinou e por ser exemplo de profissional a ser seguido, `a Prof<sup>a</sup>. Walcy Santos pelas valiosas con- tribui¸c˜oes dadas a este trabalho, aos Professores Marco Antˆonio Fernandes e Enaldo Vergasta pelo incentivo, paciˆencia e apoio, aos meus professores da UNEB, a Vivaldo e Marlene Pinheiro, a George Santos, ao Prof. Benedito Pontes, a Francisco Petr´ucio, Aryana Silva e Karoline Cavalcante, e aos colegas de Mestrado, em especial `a Juceli Cardoso, Eliana Silva e a Gilmar Veiga.

´ Indice

Introdu¸c˜ao 4

1 Preliminares 6

2 L₁ - O operador linearizado 13

3 Hipersuperf´ıcie completa, n˜ao-compacta, com curvatura escalar cons-

tante 23

4 Estimativa de altura 27

Bibliografia 33

Introdu¸ c˜ ao

Nesta disserta¸c˜ao consideraremosM uma hipersuperf´ıcie de dimens˜aon com cur- vatura escalar constante e imersa isometricamente no espa¸co Euclidiano.

Inicialmente, seja f : Mⁿ → R uma fun¸c˜ao de classe C². Assim, definimos o operador linearizadoLr por

L_r(f) = tr(T_r(Hess(f))),

onde T_r ´e a transforma¸c˜ao de Newton definida indutivamente por T₀ =I,

Tr =SrI−BTr−1,B ´e a segunda forma fundamental da imers˜ao eHess´e o hessiano da fun¸c˜aof.

Vale observar que os operadores L_r apareceram, n˜ao ainda na forma definida acima, no artigo de K. Voss [V], em 1956.

R. Reilly em 1973, relacionou o operador L_r com a derivada da (r + 1)-´esima fun¸c˜ao sim´etrica S_r+1 num trabalho sobre problemas variacionais (ver [R1]).

Em 1977, Cheng e Yau [CY1] se restringiram ao casor= 1 e escreveram o operador L₁ como

L₁(f) =

n

X

i,j=1

(nHδ_ij −h_ij)f_ij,

ou seja, em fun¸c˜ao da curvatura m´ediaH = ^S_n¹, dos coeficientesh_ij da segunda forma fundamental e dos coeficientesf_ij da Hessiana def. Nesse trabalho foram determina- das importantes propriedades do operadorL1 e uma aplica¸c˜ao dessas propriedades.

Rosenberg em [R2], 1993, mostrou que o operador L_r pode ser escrito como L_r(f) =div(T_r∇f).

Com isso, o operadorLr passou a ser visto como uma generaliza¸c˜ao do Laplaciano, pois parar = 0, L₀(f) = ∆f.

E bem conhecido o importante papel do Laplaciano no estudo das variedades´ m´ınimas (^S_n¹ =H1 = 0), ent˜ao espera-se (e estudos atuais vem confirmando este fato) que os operadoresL_rdesempenhem fun¸c˜ao semelhante no estudo das variedadesH_r+1- est´aveis.

Diante disso, damos aten¸c˜ao especial ao operador L1, pois assim, adquirimos t´ecnicas para estudarmos as hipersuperf´ıcies com curvatura escalar constante, objeto desse trabalho.

Portanto, o nosso objetivo ´e obter resultados sobre hipersuperf´ıcies com curvatura escalar S₂ constante no espa¸co Euclidiano, usando, como principal ferramenta nas demonstra¸c˜oes, as propriedades do operador L₁.

Mais precisamente, demonstraremos resultados obtidos, em 1977, por Cheng e Yau [CY1] e Rosenberg [R2], em 1993.

Teorema (Cheng-Yau). Seja M uma hipersuperf´ıcie no espa¸co Euclidiano, completa, n˜ao-compacta, com curvatura seccional n˜ao-negativa. Se a curvatura esca- lar de M ´e constante, ent˜ao M ´e um cilindro generalizado.

Teorema (Rosenberg). Seja M ⊂ Rⁿ⁺¹ uma hipersuperf´ıcie mergulhada com

∂M ⊂Rⁿ =Rⁿ×0. Se S₂ ´e constante positiva em M, ent˜ao a distˆancia m´axima de M ao hiperplano Rⁿ ´e

q2n(n−1) S2 .

A estrutura desta disserta¸c˜ao ´e a seguinte: no Cap´ıtulo 1, ser´a desenvolvido o conte´udo b´asico que possibilitar´a um bom entendimento dos cap´ıtulos posteriores.

O operador L₁ e suas propriedades s˜ao os assuntos tratados no Cap´ıtulo 2 e os re- sultados deste cap´ıtulo ser˜ao fundamentais nas demonstra¸c˜oes dos teoremas acima.

No Cap´ıtulo 3, enunciamos e provamos o Teorema de Cheng e Yau e no Cap´ıtulo 4 fazemos a demonstra¸c˜ao, com algumas modifica¸c˜oes da prova original, do Teorema de Rosenberg, uma vez que a nossa escolha da segunda forma fundamental da imers˜ao difere por um sinal da escolha feita por Rosenberg.

Cap´ıtulo 1 Preliminares

Neste primeiro cap´ıtulo, apresentaremos resultados b´asicos e fundamentais para um melhor entendimento deste trabalho.

Definiremos imers˜ao isom´etrica, segunda forma fundamental, hipersuperf´ıcie con- vexa e curvatura seccional.

Sejam Mⁿ e M^k variedades diferenci´aveis de dimens˜ao n e k = n+m, respecti- vamente. Denotaremos por T_pM, p ∈ M, o espa¸co dos vetores tangentes a M em p.

Uma aplica¸c˜ao diferenci´avel ϕ:M →M ´e uma imers˜ao sedϕp :TpM →T_ϕ(p)M

´e injetiva para todo p ∈ M. Se M tem uma estrutura Riemanniana, ϕ induz uma estrutura Riemanniana em M por hu, vi_p = hdϕ_p(u), dϕ_p(v)i_ϕ(p), u, v ∈ T_pM. Tal m´etrica ser´a denominadam´etrica induzida por ϕ. Nesta situa¸c˜ao,ϕpassa a seruma imers˜ao isom´etrica de M em M.

Consideraremos sempreM uma variedade Riemanniana e usaremos∇para deno- tar sua conex˜ao de Levi-Civita.

Se ϕ : M → M ´e uma imers˜ao, podemos afirmar que, para cada p ∈ M, existe uma vizinhan¸ca U ⊂ M de p, tal que ϕ(U) ⊂ M ´e uma subvariedade de M, isto ´e, temos uma vizinhan¸ca deϕ(p), U ⊂M, onde podemos definir um difeomorfismo que leva ϕ(U)∩U em um aberto do subespa¸co Rⁿ ⊂ R^k. Portanto, simplificaremos a nota¸c˜ao identificando cada pontop∈M com sua imagemϕ(p) e cada vetorv ∈T_pM com o vetordϕp(v)∈T_ϕ(p)M.

Atrav´es do produto interno definido em T_pM, podemos decompor o espa¸co tan- gente deM em p como a soma direta

T_pM =T_pM ⊕(T_pM)^⊥, onde (T_pM)^⊥ ´e o complemento ortogonal de T_pM em T_pM.

Tomando v ∈T_pM, podemos escrevˆe-lo como v =v^T +v^N, onde v^T ∈T_pM, v^N ∈(T_pM)^⊥.

Consideremos X, Y campos locais de vetores em M e X, Y as extens˜oes locais em M, respectivamente. Da´ı, temos a seguinte igualdade

∇_XY = (∇_XY)^T.

O nosso objetivo ´e definir a segunda forma fundamental da imers˜aoϕ:M →M. Para isto, introduziremos a aplica¸c˜ao bilinear sim´etrica B : χ(U)×χ(U) → χ(U)^⊥ dada por

B(X, Y) = ∇_XY − ∇_XY.

Aqui χ(U) (respectivamente, χ(U)^⊥) ´e o espa¸co dos campos de vetores (respecti- vamente, normais) de classe C^∞ em M, e U ⊂ M ´e uma vizinhan¸ca de p tal que ϕ(U)⊂M ´e uma subvariedade de M.

Sejam p ∈ M e η ∈ (T_pM)^⊥. A aplica¸c˜ao H_η : T_pM ×T_pM → R dada por H_η(x, y) =hB(x, y), ηi, x, y ∈T_pM ´e tamb´em uma forma bilinear sim´etrica.

Assim, podemos definir a forma quadr´atrica IIη em TpM dada por II_η(x) =H_η(x, x).

II_η ´e chamada asegunda f orma f undamental de f em p segundo o vetor normal η.

A aplica¸c˜` ao bilinear H_η associa-se uma aplica¸c˜ao linear auto-adjunta Q_η :T_pM →T_pM definida por

hQη(x), yi=Hη(x, y) =hB(x, y), ηi.

Q_η ´e chamado endomorf ismo de W eingarten.

Uma observa¸c˜ao importante ´e que tamb´em podemos designar a aplica¸c˜aoB como a segunda forma fundamental, tomando valores em (TpM)^⊥. Faremos uso desta nota¸c˜ao no decorrer do nosso trabalho.

A proposi¸c˜ao seguinte nos d´a uma rela¸c˜ao entre o endomorfismo de Weingarten e a derivada covariante.

Proposi¸c˜ao 1.1. Sejam ϕ:Mⁿ→M^n+m uma imers˜ao isom´etrica, p∈M, v ∈T_pM, η ∈(T_pM)^⊥ e N uma extens˜ao local de η normal a M. Ent˜ao,

Q_η(v) =−(∇_vN)^T.

P rova. Sejam v, w ∈ T_pM e V, W extens˜oes locais de v, w, respectivamente, e tangentes a M. Ent˜ao, hN, Wi= 0 e, portanto,

hQ_η(v), wi = hB(V, W)(p), Ni

= h∇VW − ∇VW, Ni(p)

= h∇_VW, Ni_p− h∇_VW, Ni_p

= h∇_VW, Ni_p

= −hW,∇_VNi_p

= h(−∇_VN)^T, Wi_p , para todow∈T_pM.

Os teoremas principais deste trabalho tratam do caso particular de imers˜oes cuja codimens˜ao ´e igual a 1, isto ´e, ϕ:Mⁿ → Mⁿ⁺¹. Neste caso, ϕ(M)⊂ M ´e chamada dehipersuperf´ıcie.

Sejam p ∈ M e η ∈ T_pM^⊥ tal que | η |= 1. Assim, o fato do endomorfismo de Weingarten Qη : TpM →TpM ser sim´etrico, garante a existˆencia de uma base orto- normal de vetores pr´oprios {e₁, ..., e_n} de T_pM com valores pr´oprios reais λ₁, ..., λ_n, ou seja, Q_η(e_i) = λ_ie_i, 1≤i≤n.

Para M =Rⁿ⁺¹ temos uma interessante interpreta¸c˜ao geom´etrica para Qη. Sejam N extens˜ao local de η, unit´aria e normal aM eSⁿ={x∈Rⁿ⁺¹;kxk= 1}

a esfera unit´aria de Rⁿ⁺¹. Definimos a aplica¸c˜ao normal de Gauss g : Mⁿ → Sⁿ transladando a origem do campo N, para a origem do Rⁿ⁺¹ e fazendo

g(q) =ponto f inal do transladado de N(q).

Como T_qM e T_g(q)(Sⁿ) s˜ao paralelos, podemos identific´a-los. Logo, vemos que dg_q :T_qM →T_qM ´e dada por

dg_q(v) = d

dt(N ◦c(t))_t=0 =∇_vN = (∇_vN)^T =−Q_η(v),

onde c: (−, )→M ´e uma curva com c(0) =q e c⁰(0) =v.

Portanto, −Q_η ´e a derivada da aplica¸c˜ao normal de Gauss.

Quando M e M est˜ao ambas orientadas, o vetor η ´e univocamente determinado se exigirmos que {e₁, ..., e_n} e {e₁, ..., e_n, η} sejam bases na orienta¸c˜ao de M e M, respectivamente. Quando isto ocorre, denominamos os e_i dire¸c˜oes principais e os λi =ki curvaturas principais deϕ.

Um fato relevante com rela¸c˜ao as curvaturas principais ´e que suas fun¸c˜oes sim´etricas s˜ao invariantes da imers˜ao.

Definimos ar-´esima curvatura m´edia Hr, r= 0,1, ...n, deM como sendo H_r= 1

c_rS_r, onde c_r = ⁿ_r

e S_r ´e a r-´esima fun¸c˜ao sim´etrica das curvaturas principais (k_i) da imers˜aoϕ, ou seja,

S_r = X

i1<...<ir

k_i1 ·...· k_ir .

Observe que,S₀ = 1 eS₁, S₂, e S_ns˜ao, a menos de fator constante, ascurvaturas m´edia,escalar eGauss−Kronecker, respectivamente.

Consideremos uma fun¸c˜aof ∈C^∞(M) e um campo qualquerX ∈χ(M). Defini- mos o gradientede f como o campo ∇f em M dado por

h∇f, Xi=Xf =df ·X, odivergente de X como a fun¸c˜aodiv:M →R definida por

divX =tr(Y → ∇_YX)

e o Laplacianode M como o operador ∆ :C^∞(M)→C^∞(M) dado por

∆f =div(∇f).

Agora, consideremos um referencial geod´esico {e₁, ..., e_n} em um aberto de M e um campoX escrito neste referencial comoX =Pn

i=1a_iE_i. Ent˜ao, podemos escrever ogradiente, divergente e o Laplacianonesse referencial como

∇f =

n

X

i=1

(e_i(f))e_i,

divX =

n

X

i=1

e_i(a_i),

∆f =

n

X

i=1

e_i(e_i(f)), respectivamente.

Usando as defini¸c˜oes de gradiente, divergente eLaplaciano, obtemos, para toda g ∈C^∞(M), a equa¸c˜ao

div(gX) =gdivX +h∇g, Xi. (1.1) Consideremos uma variedade compacta M com bordo∂M e um campoX em M. O Teorema da Divergˆencia (ver [S], p.192) afirma que

Z

M

divX dM = Z

∂M

hX, νidr, (1.2)

onde dM e dr s˜ao os elementos de volume de M e de ∂M, respectivamente, e ν ´e o campo de vetor unit´ario normal exterior ao ∂M, cuja dire¸c˜ao ´e oposta `a do vetor curvatura m´edia. Assim, se tomamos X = f∇h em (1.1) e usamos (1.2), temos a F´ormula de Green

Z

M

{f∆h+h∇f,∇hi}dM = Z

∂M

fh∇h, νidr (1.3)

para f, h∈C^∞(M).

Dizemos queM ´e uma variedade Riemanniana (geodesicamente)completase para todo p ∈ M, a aplica¸c˜ao exponencial, exp_p, est´a definida para todo v ∈ T_pM, isto

´e, se as geod´esicas γ(t) que partem de p est˜ao definidas para todos os valores do parˆametro t∈R.

Quando a variedade M ´e fechada e limitada diz-se que M ´ecompacta.

Nos resultados deste trabalho encontramos a express˜ao cl´assica: “variedades de curvatura constante”. Esta express˜ao designa as variedades Riemannianas simples- mente conexas, completas, de curvatura seccional constante.

Definamos ent˜ao curvatura seccional. Dados um pontop∈M e um subespa¸co bi- dimensionalσ⊂T_pM, o n´umero real K(x, y) =K(σ) = hR(x,y)x,yi

|x∧y|² , ondeR representa o tensor curvatura e {x, y}´e uma base qualquer deσ, ´e chamado curvatura seccional deσ em p.

Uma interpreta¸c˜ao geom´etrica da curvatura seccional nos diz que K(p, σ) ´e a curvatura Gaussiana em p de uma pequena superf´ıcie formada por geod´esicas de M que partem dep e s˜ao tangentes aσ.

Para uma hipersuperf´ıcieMⁿ ⊂Rⁿ⁺¹, a condi¸c˜ao an´aloga a ter curvatura Gaussiana positiva em p ´e a condi¸c˜ao que toda curvatura seccional em p ´e positiva; equivalen- temente, toda curvatura principal ter´a o mesmo sinal, ou ainda, a segunda forma fundamental B ´e positiva ou negativa definida e isto nos garante o fato, puramente geom´etrico, que M est´a situada em um lado do hiperplano tangente de M em p.

Dizemos ent˜ao que o fato de B ser positiva ou negativa definida, implica queM ´elo- calmente convexa e argumentos gerais mostram que um conjunto localmente convexo

´e, na verdade, convexo.

Dizemos que uma hipersurperf´ıcie mergulhada f : Mⁿ → Rⁿ⁺¹ ´e uma hipersu- perf´ıcie convexa quando ela est´a contida no bordo de um corpo convexo C ⊂ Rⁿ⁺¹. Por um corpo convexo entendemos um subconjunto C de Rⁿ⁺¹ tal que, dados dois pontosp, q ∈C, o segmento que liga p eq est´a contido em C .

Um dos fatos mais importantes para desenvolvimento deste trabalho ´e o operador L₁, definido no pr´oximo cap´ıtulo, ser el´ıptico. Antes vamos estabelecer algumas defini¸c˜oes.

Um operador L do tipo Lu=

n

X

i,j=1

a_ij ∂²u

∂x_i∂x_j +

n

X

i=1

b_i ∂u

∂x_i +cu ,

´e chamado operador diferencial de ordem dois, onde a_ij, b_i, c : U → R, i, j = 1, ...n, s˜ao fun¸c˜oes definidas em aberto U de Rⁿ.

Quando A(x) = (aij(x)) ´e sim´etrica e positiva definida, para todo x∈U, isto ´e,

n

X

i,j=1

a_ij(x)λ_iλ_j >0,∀x∈U e∀λ= (λ₁, ..., λ_n)∈Rⁿ− {0}, a express˜aoLu= 0 ´e chamada equa¸c˜aoel´ıptica de segunda ordem.

O princ´ıpio do m´odulo m´aximo para fun¸c˜oes hamˆonicas foi generalizado por E.

Hopf em 1927 para equa¸c˜oes diferenciais parciais el´ıpticas (ver[GT], p. 31).

Teorema 1.1 (E. Hopf). Seja Lu=

n

X

i,j=1

a_ij ∂²u

∂x_i∂x_j +

n

X

i=1

b_i∂u

∂x_i +cu,

onde u:U⊂Rⁿ→R´e uma fun¸c˜ao duas vezes diferenci´avel eb_i, c:U→Rs˜ao fun¸c˜oes localmente limitadas com c ≤ 0. Suponhamos que, para todo ponto p ∈ U, existem uma vizinhan¸ca V de p e constantes δ e positivas tais que

δ

n

X

i=1

λ²_i ≤

n

X

i,j=1

a_ij(x)λ_iλ_j ≤

n

X

i=1

λ²_i,

∀x∈ V e todo λ= (λ1, ..., λn)∈Rⁿ.

Se Lu≥0 em U e p ´e um ponto de m´aximo local n˜ao-negativo, ent˜ao u ´e constante em uma vizinhan¸ca de p.

O princ´ıpio da tangˆencia ´e uma aplica¸c˜ao desse resultado, e pode ser enunciado do seguinte modo:

Sejam M₁ⁿ, M₂ⁿ hipersuperf´ıcies orientadas em Mⁿ⁺¹, p ∈ M₁ⁿ ∩M₂ⁿ um ponto de tangˆencia e u₁, u₂ : U ⊂ T_pM₁ → R fun¸c˜oes definidas em uma vizinhan¸ca U da origem do plano tangente T_pM₁, cujos gr´aficos s˜ao vizinhan¸cas V₁ ⊂M₁ e V₂ ⊂ M₂ de p, respectivamente. Se u₁ e u₂ satisfazem uma mesma equa¸c˜ao diferencial parcial el´ıptica e u₁ ≤ u₂ em U, ent˜ao M₁ e M₂ coincidem em U.

Para finalizar este cap´ıtulo, enunciaremos um resultado obtido por Hartman e Nirenberg [HN] que ser´a usado na demonstra¸c˜ao do Teorema de Cheng e Yau, no Cap´ıtulo 3.

Teorema 1.2 (Hartman-Nirenberg). Sejam Mⁿ uma variedade Riemanniana com- pleta flat ef :Mⁿ→Rⁿ⁺¹ uma imers˜ao isom´etrica. Ent˜ao, f(M) ´e um cilindro sobre uma curva plana.

Cap´ıtulo 2

L ₁ - O operador linearizado

Neste cap´ıtulo faremos um estudo sobre o operador L₁. Inicialmente, usaremos a defini¸c˜ao dada por Cheng e Yau [CY1] , veremos queL1´e o caso particular, parar= 1, do operadorL_r definido por Rosenberg [R2] e demonstraremos algumas propriedades desse operador.

QuandoMⁿ´e uma hipersuperf´ıcie completa com curvatura seccional n˜ao-negativa no espa¸co Euclidiano, podemos escolher o campo de vetores normais N :M →Sⁿ⁺¹ de maneira que a segunda forma fundamental B seja positiva semi-definida.

Seja f : Mⁿ → R uma fun¸c˜ao de classe C². Definimos o operador L1 por (ver [CY1], p. 201)

L1(f) =

n

X

i,j=1

(nHδij−hij)fij , (2.1) onde H = ^S_n¹ ´e a curvatura m´edia deM, h_ij os coeficientes da segunda forma funda- mental, δ_ij delta de Kronecker e f_ij os coeficientes da matriz Hessiana de f.

Ao estudo das r-´esimas curvaturas m´edias est´a relacionada a Transforma¸c˜ao de NewtonT_r =S_rI−Sr−1B+...+(−1)^rB^r, que tamb´em pode ser definida indutivamente porT_r =S_rI−BTr−1, T₀ =I.

Proposi¸c˜ao 2.1. Seja T_r a Transforma¸c˜ao de Newton. Ent˜ao, s˜ao v´alidas as seguin- tes propriedades:

a) Tr(ei) = Sr(Bi)ei;

b) (r+ 1)S_r+1 =tr(BT_r) (F´ormula de Newton);

c) tr(T_r) = (n−r)S_r;

d) tr(T_rB²) =S₁S_r+1−(r+ 2)S_r+2; e) T_r ´e auto-adjunto.

Prova. Ver Lemma 2.1 [BC], p.279 para as quatro primeiras propriedades.

O fato do operador Tr ser auto-adjunto ´e conseq¨uˆencia dele ser polinˆomio em B.

Agora, definida a transforma¸c˜aoT_r, a maneira natural de escrever a defini¸c˜ao dada por Cheng e Yau para o operadorL₁ ´e

L1(f) = tr(T1Hess(f))

= tr((S1I−B)(Hess(f))).

Em 1993, Rosenberg (ver [R2], Theorem 4.1, p.225) estabeleceu a seguinte ex- press˜ao para o operador diferenci´avel linear de segunda ordem L_r,

Lr(f) =div(Tr∇f), r= 0,1, ..., n.

O operador L_r j´a havia aparecido em artigos de Voss [V] e Reilly [R1], associado a problemas variacionais e escrito como combina¸c˜ao das fun¸c˜oes sim´etricas S_r+1. O trabalho de Rosenberg [R2] teve grande importˆancia, pois o fato do operadorL_rpoder ser escrito como um divergente possiblitou o uso de muitos resultados j´a conhecidos.

Quando r = 1,

L₁(f) = div(T₁∇f) (2.2)

coincide com o operador de Cheng e Yau L₁(f) =

n

X

i,j=1

(nHδ_ij −h_ij)f_ij.

De fato, sabemos que

∇f =

n

X

i=1

f_ie_i e T₁ =S₁I−B =nHI −B, onde {e₁, ..., e_n}´e o referencial geod´esico.

Da´ı,

T₁∇f =

n

X

i=1

(nHI−B)f_ie_i

=

n

X

i=1

(nHf_ie_i−f_iBe_i). Como Be_i =Pn

j=1h_jie_j, temos

T1∇f =

n

X

i=1

nHfiei−fi n

X

j=1

hjiej

!

=

n

X

i,j=1

(nHδ_ij −h_ji)f_ie_j

=

n

X

i,j=1

(nHδ_ij −h_ij)f_ie_j

=

n

X

j=1 n

X

i=1

(nHδ_ij −h_ij)f_i

! e_j .

Assim,

div(T₁∇f) =

n

X

j=1 n

X

i=1

nH_jδ_ij−h_ijj

! f_i+

n

X

i,j=1

(nHδ_ij −h_ij)f_ij

=

n

X

j=1 n

X

i=1

nH_jδ_ij

! f_i−

n

X

i,j=1

h_ijjf_i+

n

X

i,j=1

(nHδ_ij −h_ij)f_ij

=

n

X

i,j=1

nHjδijfi−

n

X

i=1

nHifi+

n

X

i,j=1

(nHδij −hij)fij

=

n

X

i=1

nH_if_i−

n

X

i=1

nH_if_i+

n

X

i,j=1

(nHδ_ij −h_ij)f_ij

=

n

X

i,j=1

(nHδ_ij −h_ij)f_ij .

Portanto, conclu´ımos que

div(T₁∇f) =

n

X

i,j=1

(nHδ_ij −h_ij)f_ij .

Em um certo sentido, os operadores L_r generalizam o operador Laplaciano ∆, pois, parar = 0,

L₀(f) = div(T₀∇f)

= div(∇f)

= ∆f.

Vale observar que esses operadores s˜ao muito usados em estudos de hipersuperf´ıcies com r-´esima curvatura Hr constante.

Os resultados apresentados neste trabalho, a partir de agora, estar˜ao relacionados ao operador L₁.

DefinindoL1de um campo como sendo o campo cujas coordenadas s˜aoL1aplicado a cada uma das coordenadas do campo original, vamos agora calcularL₁(X) eL₁(N), onde X eN s˜ao o vetor posi¸c˜ao e o vetor normal de M, respectivamente.

Proposi¸c˜ao 2.2. Sejam X e N o vetor posi¸c˜ao e o vetor normal de M, respectiva- mente. Ent˜ao,

a) L1(X) = n(n−1)RN;

b) L₁(N) = (−S₁S₂+ 3S₃)N− ¹₂n(n−1)Pn

k=1R_ke_k.

Prova. Seja {e1, ...en} um referencial ortonormal emM. Ent˜ao,

∇_eiX =e_i. Da´ı,

X_ij =∇_ej∇_eiX =∇_eje_i =h_ijN, ou seja,

X_ij =h_ijN . (2.3)

Al´em disso,

N_i =

n

X

k=1

hN_i, e_kie_k+hN_i, NiN .

Sabemos que hN, e_ki = 0 e hN, Ni = 1. Dessas igualdades, conclu´ımos que hN_i, e_ki=−h_ki e hN_i, Ni= 0.

Assim,

N_i =−

n

X

k=1

h_kie_k . Logo,

Nij = −

n

X

k=1

hkijek−

n

X

k=1

hki∇ejek

= −

n

X

k=1

h_kije_k−

n

X

k=1

h_kih_kjN. (2.4)

Calculemos o valor de L1(X). Por (2.1), L₁(X) =

n

X

i,j=1

(nHδ_ij −h_ij)X_ij .

Substituindo o valor encontrado em (2.3), temos L₁(X) =

n

X

i,j=1

(nHδ_ij −h_ij)h_ijN

= (nH)²−

n

X

i,j=1

h²_ij

! N

= (

n

X

i=1

k_i)²−

n

X

i=1

k_i²

! N

= 2X

i<j

k_ik_j

! N

= (2S2)N . (2.5)

Visto que R = _n(n−1)² S₂, tamb´em podemos escrever L₁(X) como

L₁(X) = n(n−1)RN . (2.6)

Analogamente, calculamos o valor de L₁(N), substituindo a express˜ao (2.4) em (2.1), ou seja,

L₁(N) =

n

X

i,j=1

(nHδ_ij −h_ij)N_ij

=

n

X

i,j=1

(nHδ_ij −h_ij)(−

n

X

k=1

h_kije_k−

n

X

k=1

h_kih_kjN)

= −

n

X

i,j=1

(nHδ_ij −h_ij)(

n

X

k=1

h_kih_kj)N −

n

X

i,j,k=1

(nHδ_ij −h_ij)h_kije_k.

Usando Codazzi e a bilinearidade de B, L₁(N) = −

n

X

i,j=1

(nHδ_ij −h_ij)(

n

X

k=1

h_ikh_kj)N −

n

X

k=1

"

nH(nH)_k−

n

X

i,j=1

h_kijh_ij

# e_k

= −

n

X

i,j=1

(nHδ_ij −h_ij)(

n

X

k=1

h_ikh_kj)N −

n

X

k=1

1

2n(n−1)R_ke_k

= −

n

X

i,j,k=1

nHδ_ijh_ikh_kj +

n

X

i,j,k=1

h_ijh_ikh_kj

!

N − 1

2n(n−1)

n

X

k=1

R_ke_k

= (−nH kB k² +trB³)N − 1

2n(n−1)

n

X

k=1

R_ke_k.

Como trB³ =nH kB k² −¹₂n²(n−1)HR+ 3S₃, ver equa¸c˜ao (1) em [R1], temos L₁(N) =

−1

2n²(n−1)HR+ 3S₃

N −1

2n(n−1)

n

X

k=1

R_ke_k

= (−S₁S₂+ 3S₃)N − 1

2n(n−1)

n

X

k=1

R_ke_k.

Assim,

L₁(N) = (−S₁S₂+ 3S₃)N − 1

2n(n−1)

n

X

k=1

R_ke_k. (2.7)

Proposi¸c˜ao 2.3. Sejam X e N o vetor posi¸c˜ao e o vetor normal de M, respectivamente e seja v vetor fixo em Rⁿ⁺¹. Ent˜ao,

a) L₁(hX, vi) = n(n−1)RhN, vi;

b) L₁(hN, vi) = (−S₁S₂+ 3S₃)hN, vi − ¹₂n(n−1)Pn

k=1R_khe_k, vi . Prova. Afirmamos que L₁(hX, vi) =hL₁(X), vi. Com efeito,

L1(hX, vi) =

n

X

ij=1

(nHδij −hij)hX, viij

=

n

X

ij=1

(nHδ_ij −h_ij)hX_ij, vi

=

* _n X

ij=1

(nHδ_ij −h_ij)X_ij, v +

= hL₁(X), vi.

Ent˜ao, usando (2.5) e (2.6),

L₁(hX, vi) = h(2S₂)N, vi (2.8)

= hn(n−1)RN, vi

= n(n−1)RhN, vi. (2.9)

Usando (2.7), temos

L1(hN, vi) = (−S1S2+ 3S3)hN, vi −1

2n(n−1)

n

X

k=1

Rkhek, vi. (2.10) Uma propriedade importante do operador L₁ ´e o fato dele ser auto-adjunto.

Proposi¸c˜ao 2.4 ([CY1], Proposi¸c˜ao 1). Seja M uma variedade Riemanniana com- pacta e orient´avel. Ent˜ao, o operador L₁ ´e auto-adjunto.

P rova. Por (2.2) e usando o produto interno definido porhf, gi=R

Mf g dM para f, g:M →R, podemos afirmar que

hL₁(f), gi = hdiv(T₁∇f), gi

= hg, div(T₁∇f)i

= Z

M

gdiv(T₁∇f)dM .

FazendoX =T₁∇f em (1.1) e usando o Teorema da Divergˆencia (ver p.10), pois M ´e compacta sem bordo, conclu´ımos que

hL₁(f), gi = Z

M

gdiv(T₁∇f)dM

= Z

M

div(gT₁∇f)dM − Z

M

h∇g, T₁∇fidM

= −

Z

M

h∇g, T₁∇fidM . Agora, usando o mesmo argumento temos que

hf, L₁(g)i = hf, div(T₁∇g)i

= Z

M

f div(T₁∇g)dM

= Z

M

div(f T₁∇g)dM − Z

M

h∇f, T₁∇gidM

= −

Z

M

h∇f, T₁∇gidM . Como T1 ´e auto-adjunto, isto ´e,

h∇f, T₁∇gi=hT₁∇f,∇gi, temos a igualdade desejada, ou seja,

hL₁(f), gi=hf, L₁(g)i.

O resultado a seguir ´e uma desigualdade, Princ´ıpio do Mini-Max, para o operador L₁. A demonstra¸c˜ao desse fato usa uma estimativa para seu primeiro auto-valor (ver [C], p.16).

Proposi¸c˜ao 2.5([CY1], Proposi¸c˜ao 2). SejaL₁ um operador el´ıptico auto-adjunto de segunda ordem , possivelmente degenerado, definido em uma variedade M compacta com bordo. Seja f uma fun¸c˜ao positiva de classe C². Ent˜ao, para qualquer fun¸c˜ao g ∈C² n˜ao-negativa tal que g

∂M = 0, temos

− Z

M

gL₁g

≥ inf

M

−L₁f f

Z

M

g² −1

. (2.11)

P rova. Se g ´e identicamente nula nada temos a demonstrar. Ent˜ao, suponhamos g 6≡ 0 e notemos que precisamos apenas provar (2.11) assumindo que L₁ ´e el´ıptico n˜ao-degenerado. Caso contr´ario, podemos substituirL1 por L1+∆ e fazer→0.

Sejam λ o primeiro auto-valor e g_λ a primeira auto-fun¸c˜ao de L₁ sobre D com a condi¸c˜ao g_λ

∂D = 0.

E bem conhecido que´ λ≤

− Z

M

gL₁g Z

M

g^{2 −1}

eg_λ ´e positiva no interior de D.

Considere a fun¸c˜ao ^g_f^λ definida emD (temos ^g_f^λ

∂D = 0).

Nos pontos onde ^g_f^λ atinge seu m´aximo, podemos verificar que λ=−L₁g_λ

g_λ ≥ −L₁f f . Logo, provamos a seguinte estimativa:

− Z

M

gL₁g Z

M

g² −1

≥inf

M

−L₁f f

.

A condi¸c˜ao suficiente para o operador L₁ ser el´ıptico ´e dada pela proposi¸c˜ao se- guinte (ver[CY1], p.201).

Proposi¸c˜ao 2.6. Se S2 ´e constante positiva, ent˜ao L1 ´e el´ıptico.

P rova. ComoL₁(f) =Pn

i,j=1(nHδ_ij −h_ij)f_ij, temos a_ij =nHδ_ij −h_ij.

Visto que a segunda forma fundamental ´e diagonaliz´avel, basta analisarmos a_ij para i=j. Assim,

aj = nH −kj

= S₁−k_j.

Pela defini¸c˜ao de operador el´ıptico (ver p.11) devemos tera_j >0.

Para cada j, sabemos que S₁² =

n

X

j=1

k_j²+ 2S₂ > k_j², ou seja,

S₁²−k_j² >0.

Da´ı,

(S₁+k_j)(S₁−k_j)>0.

Supondo S₁ +k_j <0 e S₁−k_j < 0 e somando essas duas desigualdades, encon- tramos

2S₁ <0.

Logo, temos um absurdo, poisS₁ >0. Portanto,S₁−k_j >0 e, consequentemente, a_j >0, j = 1, ..., n.

Assim, quando S₂ ´e constante positiva, L₁ ´e um operador el´ıptico .

Esse resultado ´e fundamental na demonstra¸c˜ao dos teoremas principais deste tra- balho, pois o fato de L₁ ser um operador el´ıptico nos permite utilizar o princ´ıpio do m´odulo m´aximo (ver Teorema 1.1, p.12).

Cap´ıtulo 3

Hipersuperf´ıcie completa,

n˜ ao-compacta, com curvatura escalar constante

O objetivo deste cap´ıtulo ´e provar que, seM ´e uma hipersuperf´ıcie completa n˜ao- compacta no espa¸co Euclidiano, com curvatura seccional n˜ao negativa e curvatura escalar S₂ constante, M ´e um cilindro generalizado. Este resultado foi obtido por Cheng e Yau em [CY1].

A id´eia central da demonstra¸c˜ao deste resultado ´e provar que M ´e flat, isto ´e, provar queM possui curvatura escalar identicamente nula. Assim, poderemos aplicar o Teorema de Hartman e Nirenberg (Teorema 1.2, p.12) e concluir a demonstra¸c˜ao.

Enunciemos ent˜ao, o resultado de Cheng e Yau.

Teorema 3.1([CY1], Teorema 4).SejaMⁿuma hipersuperf´ıcie completa n˜ao-compacta no espa¸co Euclidiano Rⁿ⁺¹ com curvatura seccional n˜ao-negativa. Se a curvatura es- calar de M ´e constante, ent˜ao M ´e um cilindro generalizado.

P rova. Como M ´e completa, com curvatura seccional n˜ao-negativa, conclu´ımos queM ´e convexa (ver p.11).

No cap´ıtulo anterior (ver Proposi¸c˜ao 2.6, p.21) provamos o seguinte fato: se S₂

´e constante positiva, ent˜aoL₁ ´e el´ıptico. Ent˜ao, se tivermos L₁ el´ıptico degenerado, significa que em algum ponto deM,P

i6=jk_i = 0 para alguma curvatura principal k_i, ou seja, k_i = 0 para todo i6=j Assim, a curvatura escalar de M neste ponto ´e zero.

Quando a curvatura escalar de M ´e zero, M ´e flat e o resultado segue-se do Teorema de Hartman-Nirenberg (ver Teorema 1.2, p.12).

O fato da imagem da aplica¸c˜ao normal de Gauss de uma hipersuperf´ıcie convexa completa situar-se num hemisf´erio aberto, nos permite garantir a existˆencia do vetor unit´ario a no espa¸co Euclidiano tal que hN, ai ≥ 0, onde N ´e vetor normal em M (ver [W], p. 279).

Agora, afirmamos que se hN, ai = 0 em algum ponto de M, temos que hN, ai ´e identicamente nula.

Com efeito, calculemos o sinal de L₁(hN, ai).

L₁(hN, ai) = hL₁(N), ai

= −

n

X

j,l=1

(nHδjl−hjl)

n

X

i=1

hjihil

! hN, ai

= −n(n−1)R

n

X

i=1

h²_ijhN, ai.

Logo, L₁hN, ai ≤0.

Assim, nossa afirma¸c˜ao segue-se do princ´ıpio do m´ınimo aplicado `a equa¸c˜ao el´ıptica acima, ou seja, como L₁hN, ai ≤0 ehN, ai ≥0, se hN, ai assume seu m´ınimo (que ´e zero), ent˜ao hN, ai ser´a constante e igual a zero.

Conclu´ımos que, ou hN, ai´e sempre positiva ou hN, ai ≡0.

No segundo caso, diferenciando a equa¸c˜aohN, ai ≡ 0, obtemos k_ihe_i, ai ≡ 0 para todas as curvaturas principaisk_ie dire¸c˜oes principaise_i. ProjetandoaemM, obtemos o campo de vetores unit´arios P

iha, e_iie_i que ´e paralelo em M. Portanto, podemos retirar uma linha e continuar por indu¸c˜ao a prova do teorema.

Quandof =hN, ai´e estritamente positiva, aplicamos a Proposi¸c˜ao 2.5 (ver p.20), e garantimos que

− Z

M

gL₁g Z

M

g² −1

≥inf

M

Pn

j,l=1(nHδ_jl−h_jl)(Pn

i=1h_jih_il)hN, ai hN, ai

! ,

ou ainda,

− Z

D

gL₁g Z

D

g² −1

≥min

D n

X

j,l=1

(nHδ_jl−h_jl)(

n

X

i=1

h_jih_il)

!

(3.1) para toda fun¸c˜ao suave g com suporte compacto D.

Com as propriedades que M possui, ´e poss´ıvel afirmar (ver [W], Teorema 2, p.

280) queM ´e essencialmente um gr´afico sobre a e com isso, o conjunto Dr ={X;hX, ai ≤r}´e compacto para todo r >0.

Podemos aplicar a fun¸c˜ao g(p) = r− hX(p), ai em (3.1) substituindo D por D_r. Assim,

−R

Dr(r− hX, ai)L₁(r− hX, ai) R

Dr(r− hX, ai)² ≥min

Dr

n

X

j,l=1

(nHδjl−hjl)(

n

X

i=1

hjihil)

! .

Por outro lado, por (2.9), temos

−R

Dr(r− hX, ai)L₁(r− hX, ai) R

Dr(r− hX, ai)² = −R

Dr(r− hX, ai)(−hn(n−1)RN, ai) R

Dr(r− hX, ai)²

≤ R

Drrn(n−1)RhN, ai R

Dr(r− hX, ai)²

= rn(n−1)RR

DrhN, ai R

Dr(r− hX, ai)² . Seja D^r

2 ={X;hX, ai ≤ ^r₂}. Ent˜ao, em D^r

2 vale a seguinte desigualdade, r− hX, ai ≥r− r

2 , ou seja,

r− hX, ai ≥ r 2 . Da´ı,

rn(n−1)RR

DrhN, ai R

Dr(r− hX, ai)² ≤ rn(n−1)RR

DrhN, ai R

D^r

2

(₂^r)²

≤ rn(n−1)RR

Dr

r² 4

R

D^r

2

= 4n(n−1)Rvol(D_r) rvol(D^r

2) .

Portanto,

−R

Dr(r− hX, ai)L₁(r− hX, ai) R

Dr(r− hX, ai)² ≤4n(n−1)r⁻¹Rvol(D_r)[volD^r

2]⁻¹. (3.2)

O fato de M ser convexa tamb´em nos garante a existˆencia de constantes c₁ e c₂ tais que vol(D_r)≤c₁rⁿ+c₂ (ver [SY], p. 23-25). Isto implica que

lim inf

r→∞ r⁻vol(D_r)[volD^r

2]⁻¹ = 0, ∀ >0. (3.3) Combinando (3.1), (3.2) e (3.3), temos

infM n

X

j,l=1

(nHδ_jl−h_jl)

n

X

i=1

h_jih_il

!

= 0. (3.4)

Sejam k₁ e k₂ curvaturas principais tais que k₁k₂ ≥R. Ent˜ao,

n

X

k,l=1

(nHδkl−hkl)

n

X

i=1

hkihil

!

≥ k1k²₂+k2k₁²

≥ (k₁k₂)(k₁+k₂)

≥ k₁k₂p 2k₁k₂

≥ √

2R^3/2. (3.5)

Como R ´e constante, conclu´ımos de (3.4) e (3.5) que R = 0 e o resultado ´e conseq¨uˆencia imediata do Teorema de Hartmam-Nirenberg (Teorema 1.2, p.12).

Coment´ario. Em 1978, P. Hartman (ver [H1]) generalizou o resultado de Cheng e Yau para curvatura m´edia H_r constante positiva.

Teorema (Hartman). Seja M = Mⁿ uma variedade Riemanniana completa conexa com curvatura seccional n˜ao-negativa. Seja X : M → Rⁿ⁺¹ uma imers˜ao isom´etrica de classe C^∞ tal que X(M) possui a r-´esima curvatura m´edia satisfazendo H_r =c >0 para algum r, 1≤r≤n. Ent˜ao, M ´e um cilindro generalizado.

Cap´ıtulo 4

Estimativa de altura

O resultado apresentado neste cap´ıtulo ´e uma estimativa obtida por Rosenberg [R2], para a distˆancia m´axima dos pontos de M ao seu bordo, quando M ´e uma hipersuperf´ıcie mergulhada em Rⁿ⁺¹ com curvatura escalar S₂ constante positiva e bordo emRⁿ.

A demonstra¸c˜ao deste teorema ´e um bom exemplo de aplica¸c˜ao das propriedades do operador L₁.

Inicialmente, vamos demonstrar o resultado seguinte.

Proposi¸c˜ao 4.1. Se H₁, H₂,..., H_i s˜ao n˜ao-negativas, ent˜ao

H₁H_i+1 ≥ H_i+2 , (4.1)

para 0≤i≤n−2.

Prova. Sabemos que

H_i−1H_i+1 ≤ H_i², i= 1,2, ..., n−1 e

HiHi+2 ≤ H_i+1² , i= 0,1, ..., n−2 (4.2) s˜ao equivalentes (ver [HLP], p.104).

Para i= 0, temos, por (4.2) e a equa¸c˜ao de Gauss,

H₁²−H2 ≥0. (4.3)

Para i= 1, H₂ >0 (isto implica H₁ >0), temos, usando (4.2), que

H₁H₃ ≤H₂² , isto ´e, H₂ ≥ H₁H₃

H₂ . (4.4)

Agora, por (4.3) e (4.4),

H₁ ≥ H₂

H₁ ≥ H₁H₃ H₁H₂ = H₃

H₂, isto ´e,

H₁H₂−H₃ ≥0. (4.5)

Para i= 2 e H3 >0 (isto implica H1 >0, H2 >0), temos por (4.2),

H₂H₄ ≤H₃² , isto ´e, H₃ ≥ H₂H₄

H₃ . (4.6)

Agora, por (4.5) e (4.6), obtemos H₁ ≥ H₃

H2

≥ H₂H₄ H3H2

= H₄ H3

, isto ´e,

H₁H₃−H₄ ≥0.

Suponhamos que a proposi¸c˜ao vale para i=n−3, isto ´e,

H₁Hn−2−Hn−1 ≥0. (4.7)

Ent˜ao, para i=n−2 e Hn−1 ≥0 temos, por (4.2),

Hn−2Hn≤H_n−1² , ou seja, Hn−1 ≥ H_n−2H_n Hn−1

. (4.8)

Por (4.7) e (4.8), temos

H₁ ≥ Hn−1

H_n−2 ≥ Hn−2H_n

H_n−1H_n−2 = H_n H_n−1. Portanto,

H1Hn−1−Hn ≥0.

Teorema 4.1 ([R2], Teorema 6.1). Seja M ⊂ Rⁿ⁺¹ uma hipersuperf´ıcie compacta mergulhada com ∂M ⊂ Rⁿ = Rⁿ×0. Se S₂ ´e constante positiva, ent˜ao a distˆancia m´axima de M ao hiperplano Rⁿ ´e

q2n(n−1) S2 .

Prova. Inicialmente, consideremos uma hipersuperf´ıcie M em Rⁿ⁺¹, compacta, com S₂ constante positiva, como sendo o gr´afico de uma fun¸c˜ao X_n+1 definida num compacto deRⁿ tal que ∂M ⊂Rⁿ.

Escolheremos o vetor N normal a M, tal que Nn+1 ≤ 0. Observe que com esta escolha, o operadorL₁ ´e el´ıptico positivo definido.

Sejam H_i as i-´esimas fun¸c˜oes curvaturas m´edias deM, definidas por S_i = ⁿ_i H_i. E conhecido que (ver [HLP]),´

Hi−1Hi+1 ≤ H_i² (1 ≤ i < n), (4.9) H₁ ≥H₂^1/2 ≥ H₃^1/3 ≥...≥H_i^1/i, (4.10) quando H₁, H₂,..., H_i s˜ao n˜ao-negativas.

Agora, observe que podemos reescrever a desigualdade (4.1) em fun¸c˜ao das Si, isto ´e,

(n−i−1)S₁S_i+1−n(i+ 2)S_i+2 ≥ 0, (4.11) i≤n−2.

Assim, como S₂ ´e constante positiva em M, temos H_i >0 para i≤2 e, portanto, podemos usar a desigualdade (4.11) com i= 1, ou seja,

(n−2)S₁S₂−3nS₃ ≥ 0 (4.12)

Definamos a fun¸c˜aof =

S2

c2

¹₂

X_n+1+N_n+1, onde c₂ = ⁿ₂ .

Baseado nos resultados do Cap´ıtulo 2, iremos calcular o valor de L₁ aplicado `a fun¸c˜ao f definida acima.

Podemos escrever f como o produto

S2

c2

¹₂

X+N,(0, ...,0,1)

. Assim,

L₁(f) = L₁ *

S₂ c₂

¹₂

X+N,(0,0, ...,0,1) +!

= L₁ *

S₂ c₂

¹₂

X,(0,0, ...,0,1) +

+hN,(0,0, ...,0,1)i

! .

Como L₁(hX, vi) =hL₁(X), vi eL₁(hN, vi) =hL₁(N), vi , obtemos L₁(f) = L₁

* S₂ c₂

¹₂

X,(0,0, ...,0,1) +

+hN,(0,0, ...,0,1)i

!

= S₂

c₂ ¹₂

hL₁(X),(0,0, ...,0,1)i+hL₁(N),(0,0, ...,0,1)i.

Substituindo os valores encontrados em (2.8) e (2.10) e observando que R_k = 0 quando S₂ ´e constante, obtemos

L₁(f) = S₂

c₂ ¹₂

hL₁(X),(0,0, ...,0,1)i+hL₁(N),(0,0, ...,0,1)i

= S2

c₂ ¹₂

h2S₂N,(0,0, ...,0,1)i+h(−S₁S₂+ 3S₃)N,(0,0, ...,0,1)i

= S2

c₂ ¹₂

(2S₂N_n+1+ (−S₁S₂+ 3S₃)N_n+1)

=

"

S2 2 S2

c₂ ¹₂

−S1

! + 3S3

# Nn+1

=

"

S₂ 2 S₂

c₂ ¹₂

−S₁

! +

n−2 n

S₁S₂−

n−2 n

S₁S₂+ 3S₃

# N_n+1

=

"

S₂ 2 S₂

c2

¹₂

−S₁+S₁− 2 nS₁

!

−

(n−2)S₁S₂−3nS₃ n

# N_n+1.

Portanto, usando (4.12) e o fato que Nn+1 ≤0, L₁(f) ≥ S₂ 2

S₂ c₂

¹₂

− 2 nS₁

! N_n+1.

Como S₁ e S₂ s˜ao n˜ao-negativas, temos, por (4.2), que

S2

c2

¹₂

≤ ^S_n¹. Conclu´ımos ent˜ao que L₁(f)≥0.

Por outro lado, por hip´otese,∂M ⊂Rⁿ=Rⁿ×0. Logo, X_n+1

∂M = 0 e, portanto, f

∂M ≤0.

Como o operador L₁ ´e el´ıptico, o Princ´ıpio do M´aximo nos garante que f atinge seu m´aximo no interior deM somente se f for constante, o que n˜ao ´e o caso. Ent˜ao, o m´aximo de f ´e n˜ao positivo, da´ıf ≤0 em toda M, ou seja,

S₂ c₂

¹₂

Xn+1+Nn+1 ≤0 emM.

Portanto,

S₂ c₂

¹₂

X_n+1 ≤ −N_n+1 ≤1, isto ´e,

Xn+1 ≤ c2

S₂ ¹₂

.

Consideremos agora,M hipersuperf´ıcie compacta, mergulhada, com∂M ⊂Rⁿ. A conclus˜ao do teorema ser´a uma aplica¸c˜ao da id´eia da prova do princ´ıpio de reflex˜ao de Alexandrov a M(ver [A]). Com efeito, consideremos um hiperplano Q paralelo a Rⁿ cuja interse¸c˜ao com M ´e vazia. Fazendo Q se aproximar paralelamente da hipersuperf´ıcie Rⁿ temos um novo plano Q₁ (transladado de Q) tocando M num primeiro ponto. Quando fazemos Q₁ deslizar (sempre na mesma dire¸c˜ao) para um posi¸c˜ao Q₂, temos que a reflex˜ao em rela¸c˜ao a Q₂ da parte de M que se encontra acima deste hiperplano, localiza-se no interior da regi˜ao limitada porM e pela regi˜ao na hipersuperf´cie Rⁿque ´e limitada pela fronteira deM (isso ´e conseq¨uˆencia imediata do princ´ıpio da tangˆencia), ou seja, a parte deM acima deQ₂ ´e um gr´afico. Podemos usar este argumento at´e que a reflex˜ao da parte acima do hiperplano transladado toque a hipersuperf´ıcieRⁿ, onde est´a o bordo deM. Isso ocorre, exatamente, quando o hiperplano transladado divide a altura de M em duas partes iguais. Com isso, garantimos que a parte de M acima de tal hiperplano ´e gr´afico, e pelo resultado acima, com altura m´axima

c2

S2

¹₂

. Ent˜ao, a altura m´axima deM ser´a 2 c2

S2

¹₂ .

Coment´arios. Heinz em [H2], 1955, obteve estimativa de altura para gr´afico de curvatura m´edia constante emRⁿ⁺¹, al´em disso, como o objetivo desse trabalho ´e tra- tar das hipersuperf´ıcies com curvatura escalar constante, particularizamos oTeorema de Rosenberg para r = 1, mas o resultado vale parar = 0,1, ..., n−1. Assim,

Teorema (Rosenberg). Seja M ⊂ Rⁿ⁺¹ hipersuperf´ıcie compacta, mergulhada, com ∂M ⊂Rⁿ. Se S_r+1 ´e constante positiva em M, ent˜ao a distˆancia m´axima de M para o hiperplano Rⁿ ´e 2_c

r+1

Sr+1

_r+1¹

, onde c_r+1 = _r+1ⁿ .