Sobre rigidez de hipersuperfícies completas

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEAR ´

A

CENTRO DE CIˆ

ENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´

ATICA

PROGRAMA DE P ´

OS-GRADUAC

¸ ˜

AO EM

MATEM ´

ATICA

C´ICERO PEDRO DE AQUINO

SOBRE RIGIDEZ DE HIPERSUPERF´ICIES

COMPLETAS

(2)

C´ICERO PEDRO DE AQUINO

SOBRE RIGIDEZ DE HIPERSUPERF´ICIES

COMPLETAS

Tese submetida à Coordena¸cão do Curso de Pós-Gradua¸cão em Matemática, da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para obten¸cão do grau de Doutor em Matemática.

´

Area de concentra¸c˜ao: Matem´atica.

Orientador:

Prof. Dr. Abdˆenago Alves de Barros.

(3)

.

Dados Internacionais de Cataloga¸cão na Publica¸cão Universidade Federal do Ceará

Biblioteca do Curso de Matem´atica

—————————————————————————————

A669s Aquino, C´ıcero Pedro de

. Sobre rigidez de hipersuperf´ıcies completas / C´ıcero Pedro de Aquino. . - 2011, 77 f.: enc. : 31 cm

. Tese(doutorado)-Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, . Departamento de Matemática, Programa de Pós-Gradua¸cão em . Matemática, Fortaleza, 2011.

. Area de Concentra¸c˜´ ao: Geometria Diferencial . Orienta¸c˜ao: Prof. Dr. Abdˆenago Alves de Barros

. 1. Geometria diferencial. 2. Hipersuperf´ıcies. 1. T´ıtulo.

. CDD 516.36

(4)

(5)

AGRADECIMENTOS

Gostaria de ser capaz de expressar em palavras a imensa gratidão que tenho por todos aqueles que contribu´ıram para que eu completasse com êxito essa etapa em minha vida. Em primeiro lugar agrade¸co a Deus pela permissão de chegar até aqui e por ser razão de tudo para mim. Aos meus pais Pedro Tomaz e Raimunda Maria agrade¸co imensamente por todo amor, carinho, aten¸cão e incentivo durante toda a minha vida. À minha esposa Jardênia Goes, por quem tenho um amor intr´ınseco, agrade¸co por toda a dedica¸cão, carinho, amor e compreensão durante este tempo. Sua presen¸ca ao meu lado, em todos os momentos, foi imprescind´ıvel para que eu chegasse até aqui.

Ao Prof. Abdênago Alves de Barros agrade¸co pelo voto de confian¸ca no meu trabalho, pela compreensão nos momentos em que estive ausente de minhas atividades acadêmicas por conta de problemas em minha vida pessoal e, sobretudo, pela ótima escolha do tema da minha tese que, além de ser muito motivador, ainda proporcionou uma excelente parceria de trabalho com o Prof. Henrique Fernandes de Lima, de quem tenho a honra de ser amigo e a quem agrade¸co fortemente pela colabora¸cão que resultou numa parte essencial desta tese. Precisamente, os cap´ıtulos 4 e 5 correspondem aos nossos primeiros trabalhos em parceria e foram obtidos durante duas visitas minhas ao Departamento de Matemática e Estat´ıstica da Universidade Federal de Campina Grande. Aproveito aqui a oportunidade para agradecer aos professores daquela institui¸cão pela hospitalidade nesse efêmero per´ıodo. Aos Professores Antonio Caminha, Renato Tribuzy, Rosa Chaves e Fer-nanda Camargo agrade¸co não apenas por terem aceito o convite para compor a banca da minha defesa, como também pelas valiosas sugestões e corre¸cões apontadas neste trabalho.

(6)

A presen¸ca de meus irmãos Renê Aquino e Antônio Aquino, este último acompanhado de sua esposa Marlene Lima e de sua filha Luana Lima de Aquino, em minha defesa foi para mim extremamente importante. A vocês agrade¸co não apenas por isto, mas por todo incondicional apoio, amizade e incentivo durante este tempo. Estas mesmas palavras eu estendo aos meus irmãos Fran¸ca, Marilene, Mariinha, Helena, Antonia e José Pedro.

Agrade¸co a Deus por ter convivido algum tempo com minha av´o materna Maria Domingas (madinha), a quem Deus chamou ao Seu encontro quando eu iniciava essa caminhada. Seus ensinamentos e sua conduta de vida s˜ao algo cada vez mais raro nesse mundo em que vivemos.

Aproveitando o ensejo proporcionado pelo comentário anterior, quero des-tacar aqui a minha gratidão a Deus por não apenas ter conhecido, mas me tornado genro de José Almir e Luzia Goes, cuja fam´ılia, em perfeita sintonia com os valores que me foram ensinados por meus pais, eu agrade¸co pelos bons momentos que compartilhamos nesse per´ıodo e também pelo apoio rec´ıproco demonstrado nos momentos dif´ıceis. Num desses momentos, compartilhando a dor de minha esposa pela perda de seu pai, recebi todo apoio e condi¸cões para prosseguir neste trabalho na cidade de Santa Luz-PI, onde esta tese foi escrita. Me faltam palavras para agradecer à Sra _{Etelvina por transformar}

um dos cômodos de sua casa num escritório onde eu pudesse continuar a reda¸cão desse texto e a Almir Filho e sua esposa Iratânia por me acolherem em sua casa durante mais de um mês.

Aos amigos do mestrado e doutorado da Pós-Gradua¸cão em Matemática da UFC, agrade¸co pelo conv´ıvio harmonioso durante esse tempo. Particu-larmente, aos amigos Flávio Fran¸ca e Jonatan Floriano agrade¸co também pela excelente parceria de trabalho nos anos iniciais do doutorado. Ao amigo Jobson Oliveira agrade¸co pela imensa paciência demonstrada em assistir às versões preliminares de alguns resultados desta tese.

`

A Profa_{. Maria Silvana que, mesmo distante, sempre esteve presente,}

agrade¸co pela amizade, apoio e incentivo constantes. `

A secretária Andrea Costa agrade¸co pela sua imensa simpatia e pela sua eficiência em resolver problemas de natureza acadêmica.

Ao Departamento de Matem´atica da Universidade Federal do Piau´ı, agra-de¸co pelo irrestrito apoio durante esses anos em que estive afastado.

`

(7)

“Percebo que o tempo já não passa Você diz que não tem gra¸ca amar assim Foi tudo tão bonito, mas voou pro infinito Parecido com borboletas de um jardim.

Agora vocˆe volta

E balan¸ca o que eu sentia por outro algu´em Dividido entre dois mundos

Sei que estou amando mas ainda n˜ao sei quem.

N˜ao sei dizer o que mudou Mas nada est´a igual

Numa noite estranha, a gente se estranha e fica mal Vocˆe tenta provar que tudo em n´os morreu

Borboletas sempre voltam E o seu jardim sou eu.”

Victor e Leo

Borboletas.

Let´ıcia

(8)

RESUMO

O propósito desta tese é obter teoremas de caracteriza¸cão de hipersu-perf´ıcies tipo-espa¸co completas isometricamente imersas num ambiente semi-Riemanniano mediante alguma restri¸cão sobre a aplica¸cão de Gauss ou so-bre as r-curvaturas médias destes objetos. Iniciamos nosso trabalho dando condi¸cões necessárias para garantir a umbilicidade de hipersuperf´ıcies imersas no espa¸co hiperbólico Hn+1 _{com aplica¸cão de Gauss prescrita. Em seguida,}

obtemos alguns resultados de unicidade de hipersuperf´ıcies completas com curvaturas de ordem superior limitadas num ambiente do tipo εR_×_etMn

su-pondo uma restri¸cão apropriada sobre o ângulo normal da hipersuperf´ıcie em questão. Na última parte deste trabalho, obtemos resultados tipo-Bernstein considerando gráficos verticais completos com curvatura média constante imersos num produto warped Riemanniano I _×f Mn_{, onde supomos uma}

conhecida condi¸c˜ao de convergˆencia sobre a curvatura seccional da fibraMn_.

Palavras-chave: Espa¸co Hiperb´olico, Aplica¸c˜ao de Gauss, Produto Warped, ˆ

(9)

ABSTRACT

The purpose of this thesis is to obtain characterization theorems of com-plete spacelike hypersurfaces isometrically immersed in a semi-Riemannian ambient space under some restrictions on the Gauss mapping or about the

r-mean curvatures of these objects. We start our work by providing neces-sary conditions to ensure the umbilicity of immersed hypersurfaces in the hyperbolic space Hn+1 _{with prescribed Gauss mapping. Next, we obtain}

some uniqueness results of complete hypersurfaces with bounded higher or-der mean curvatures in a space εR_×_etMn where we suppose an appropriate

condition on the normal angle of the hypersurface. In the last part of this work, we obtain Bernstein-type results concerning to complete vertical graphs with constant mean curvature immersed in a a Riemannian warped product

I_×f Mn_{, where we suppose a well known convergence condition on the}

sec-tional curvature of the fibre Mn_.

(10)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 9

2 Preliminares 16

2.1 Variedades Lorentzianas . . . 16

2.2 Campos vetoriais conformes . . . 20

2.3 Produtos warped semi-Riemannianos . . . 23

2.4 Imers˜oes isom´etricas . . . 24

2.5 Equa¸c˜oes fundamentais . . . 25

2.6 Os tensores de Newton . . . 27

3 A aplica¸c˜ao de Gauss de hipersuperf´ıcies completas 31 3.1 Formas espaciais . . . 31

3.2 Fun¸c˜oes suporte . . . 34

3.3 Hipersuperf´ıcies com aplica¸c˜ao de Gauss prescrita em Hn+1 _{. . 36}

3.4 Um resultado na esfera Euclidiana . . . 46

3.5 Rigidez de cilindros Riemannianos . . . 48

4 Hipersuperf´ıcies em produtos warped semi-Riemannianos 53 4.1 C´alculo do Lr da fun¸c˜ao altura . . . 54

4.2 Resultados de unicidade em espa¸cos tipo-Steady State . . . 57

4.3 Resultados de unicidade em espa¸cos tipo-hiperb´olico . . . 61

5 Gráficos verticais num produto warped Riemanniano 65 5.1 Cálculo do Lr de uma fun¸cão tipo-suporte . . . 66

5.2 Gr´aficos verticais num produto warped . . . 71

5.3 Aplica¸c˜oes no espa¸co hiperb´olico . . . 75

(11)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜

ao

O estudo da geometria da aplica¸cão normal de Gauss de hipersuperf´ıcies tipo-espa¸co isometricamente imersas numa variedade semi-Riemanniana tem pro-fundas implica¸cões sobre a geometria da própria hipersuperf´ıcie e ocupa lugar de destaque na literatura. Podemos citar, por exemplo, a caracteriza¸cão dos hiperplanos espaciais como as únicas hipersuperf´ıcies tipo-espa¸co completas do espa¸co de Lorentz-Minkowski Rn+2

1 com curvatura média constante e tais que sua imagem pela aplica¸cão normal de Gauss esteja contida numa bola geodésica do espa¸co hiperbólico Hn+1_{, que foi obtida de maneira simultânea} e independente por R. Ayama [3] e Y.L. Xin [60]. Considerando este mesmo problema para o caso de uma hipersuperf´ıcie com um fim e possuindo uma curvatura média de ordem superior constante e não-nula, destacamos o re-sultado de H.F. de Lima em [31], no qual está provado que a hipersuperf´ıcie tem fim não-divergente. Com respeito ao caso Riemanniano, dentre os vários resultados interessantes, podemos citar o trabalho de D. Hoffman, R. Osser-man e R. Schoen [38], no qual os autores demonstraram que se a imagem da aplica¸cão de Gauss de uma superf´ıcie completa com curvatura média cons-tante em R3 _{está contida num hemisfério fechado de} _S2_{, então a superf´ıcie é} um plano ou um cilindro. Indicamos ao leitor o livro de Y. Xin [61] onde há uma se¸cão dedicada ao estudo da geometria da aplica¸cão normal de Gauss. Ainda no contexto Riemanniano, ressaltamos o trabalho de K. Nomizu e B. Smyth [50], no qual as esferas geodésicas estão caracterizadas como as únicas hipersuperf´ıcies completas da esfera Euclidiana Sn+1 _{que têm imagem pela}

aplica¸c˜ao de Gauss contida numa esfera geod´esica de Sn+1_.

(12)

1 Introdu¸c˜ao

do espa¸co hiperbólico mediante uma restri¸cão apropriada sobre sua imagem pela aplica¸cão normal de Gauss, usando como ferramentas a caracteriza¸cão das hipersuperf´ıcies tipo-espa¸co totalmente umb´ılicas do espa¸co de de Sitter, obtida por S. Montiel em [45], e o princ´ıpio do máximo de Omori-Yau (cf. [53] e [65]). Mais precisamente, provamos o seguinte resultado.

Teorema 1.1. Seja ψ : Σn _→_Hn+1 _{uma hipersuperf´ıcie completa}

isometri-camente imersa em Hn+1 _{com curvatura média constante} _H ₆_{= 0}_{. Suponha} queΣn _{está contida numa bola geodésica de} _Hn+1_{. Se a imagem da aplica¸cão}

de Gauss de Σn _{est´a contida numa hipersuperf´ıcie tipo-espa¸co e totalmente}

umb´ılica de Sn+1

1 , então Σn é uma esfera geodésica.

No contexto do resultado anterior, nosso próximo resultado explora a dualidade natural existente entre as folhea¸cões do espa¸co hiperbólico e do espa¸co de de Sitter por hipersuperf´ıcies totalmente umb´ılicas (cf. R. López e S. Montiel [43]). Em outras palavras, provamos o seguinte.

Teorema 1.2. Seja ψ : Σn _→ _Hn+1 _{uma hipersuperf´ıcie completa com}

cur-vatura média constante H, isometricamente imersa no espa¸co hiperbólico Hn+1_{. Assuma que} _Σn _{esteja entre duas horoesferas (hiperesferas)} deter-minadas por um vetor não-nulo a _∈ Rn+2

1 tipo-luz (tipo-espa¸co). Se N(Σ)

est´a contida numa hipersuperf´ıcie tipo-espa¸co e totalmente umb´ılica de Sn+1

1

determinada por a, ent˜ao Σn _{´e uma horoesfera (hiperesfera).}

No caso 2-dimensional, obtemos um resultado de rigidez impondo uma condi¸c˜ao sobre a curvatura seccional de uma superf´ıcie Σ2 _{imersa no espa¸co} hiperb´olico H3_{. Tal resultado foi obtido usando um argumento de}

paraboli-cidade devido a A. Huber [40].

Teorema 1.3. Seja ψ : Σ2 _→ _H3 _{uma superf´ıcie completa, orient´avel com}

curvatura Gaussiana n˜ao-negativa, isometricamente imersa em H3 _{e contida} na regi˜ao entre as horoesferas Lβ e Lτ, onde 0< β < τ. Suponha que N(Σ)

esteja contida no fecho do dom´ınio interior determinado pelo plano _L−β de

S3

1. Se a curvatura m´edia H de Σ2 satisfaz

H _≥ τ β ,

(13)

1 Introdu¸c˜ao

No artigo [50], K. Nomizu e B. Smyth caracterizaram as esferas geodésicas como as únicas hipersuperf´ıcies fechadas com curvatura média constante iso-metricamente imersas na esfera unitáriaSn+1 _{que têm imagem pela aplica¸cão}

normal de Gauss contida num hemisf´erio fechado de Sn+1_{. O nosso resultado}

seguinte é uma versão hiperbólica desse teorema. Nele seguimos a nomen-clatura introduzida por J.A. Aledo, L.J. Al´ıas e A. Romero em [7], onde os autores definem o que venha a ser um hemisfério do espa¸co de de Sitter.

Teorema 1.4. Seja ψ : Σn _→_Hn+1 _{uma hipersuperf´ıcie fechada com}

curva-tura média constanteH, isometricamente imersa no espa¸co hiperbólicoHn+1_. Se a imagem da aplica¸cão de Gauss de Σn_{está contida no fecho de um}

passa-do ou de um futuro cronol´ogico de Sn+1

1 , então Σn é uma esfera geodésica de

Hn+1_.

No caso de curvatura escalar constante, obtemos o seguinte resultado no contexto do teorema anterior.

Teorema 1.5. Seja ψ : Σn _→_Hn+1 _{uma hipersuperf´ıcie fechada com}

curva-tura escalar constante R> n(1₋n) isometricamente imersa em Hn+1_{. Se a} imagem da aplica¸c˜ao de Gauss de Σn _{estiver contida no fecho de um}

passa-do ou de um futuro cronol´ogico de Sn+1

1 , ent˜ao Σn ´e uma esfera totalmente

umb´ılica.

Usando um resultado cl´assico da teoria de campos conformes em varie-dades Riemannianas fechadas, obtemos uma extens˜ao do Teorema 2 de [50].

Teorema 1.6. Seja ψ : Σn _→ _Sn+1 _{uma hipersuperf´ıcie fechada}

isometri-camente imersa na esfera Euclidiana Sn+1 _{com curvatura escalar constante}

R =n(n₋1). Se a imagem da aplica¸c˜ao de Gauss deΣn _{estiver contida num}

hemisfério fechado de Sn+1_{, então} _Σn _{é uma esfera totalmente geodésica.}

Em [15], L.J. Al´ıas, A. Brasil e O. Perdomo caracterizam esferas geodésicas e toros de Clifford como as únicas hipersuperf´ıcies completas da esfera unitária

(14)

1 Introdu¸c˜ao

Teorema 1.7. Seja ψ : Σn _→ _Mn+1₍_c₎ _֒_→ _Rn+2

ν uma hipersuperf´ıcie

com-pleta com curvatura m´edia constanteH imersa isometricamente no ambiente

Mn+1 de curvatura seccional constante c_{∈ {−}1,0_}. Se la=λfa para algum

vetor n˜ao-nulo a _∈ Rn+2

ν e algum número real λ, então Σn é uma

hipersu-perf´ıcie totalmente umb´ılica ou

(i) Sk₍_̺₎_×Hn−k₍₋₁_/p_{1 +}_̺2₎_{, para algum} _{̺ >} ₀ _{e algum} ₁ _≤ _k _≤ _n₋₁_,

quando c=₋1;

(ii) Sk₍_̺₎_×Rn−k_, _{para algum} _{̺ >}₀ _{e algum} ₁_≤_k _≤_n₋₁_{, quando} _c_{= 0}_.

Na segunda parte desta tese, que corresponde ao cap´ıtulo 4, nosso objeto de estudo s˜ao hipersuperf´ıes completas com curvaturas de ordem superior

Hr limitadas, imersas numa classe de produtos warped semi-Riemannianos

que inclui o espa¸co hiperb´olico Hn+1 _{e o Steady State space} _Hn+1_{. Usando}

uma restri¸cão geométrica sobre a hipersuperf´ıcie e aplicando um princ´ıpio do máximo generalizado devido a A. Caminha e H.F. de Lima [26] obtemos nosso primeiro resultado de unicidade.

Teorema 1.8. Sejam Mn _{uma variedade Riemanniana completa e conexa}

com curvatura seccional n˜ao-negativa e ψ : Σn _{→ −}_R_×e

t Mn uma

hipersu-perf´ıcie tipo-espa¸co completa, com curvatura seccional n˜ao-negativa e menor do que ou igual a 1, e distante do infinito futuro de ₋R_×_et Mn. Suponha

que existam constantes positivas α e β tais que α _≤ Hr ≤ Hr+1 ≤ β, para

algum 0_≤r_≤n₋1. Se o ˆangulo hiperb´olico normal θ de Σn _satisfaz

coshθ _≤inf Σ

Hr+1

Hr

,

ent˜ao Σn _{´e um slice de} ₋_R_× etMn.

O teorema precedente tem como consequˆencia imediata o seguinte.

Corol´ario 1.9. Seja ψ : Σn _{→ H}n+1 _{uma hipersuperf´ıcie tipo-espa¸co}

com-pleta e distante do infinito futuro de_Hn+1_{. Suponha que exista uma constante}

real β tal que 1_≤H _≤β. Se o ˆangulo hiperb´olico normal θ de Σn _satisfaz

coshθ _≤inf Σ H,

(15)

1 Introdu¸c˜ao

No caso Riemanniano, obtemos uma vers˜ao dual do Teorema 1.8.

Teorema 1.10. Sejam Mn _{uma variedade Riemanniana completa e conexa}

com curvatura seccional nula e ψ : Σn _→_R_×

etMn uma hipersuperf´ıcie

com-pleta e conexa com curvatura seccional n˜ao-negativa e distante do infinito futuro de R_×_etMn. Suponha que existam constantes positivas α e β

satisfa-zendo α _≤Hr+1 ≤ Hr ≤β, para algum 0 ≤r ≤ n−1. Se o ˆangulo normal

θ de Σn _satisfaz

cosθ _≥sup Σ

Hr+1

Hr

,

ent˜ao Σn _{´e um slice de} _R_×e

tMn.

Usando o princ´ıpio do m´aximo generalizado de Omori-Yau, estabelecemos o seguinte resultado, que estende o Teorema 3.3 de H.F. de Lima [33].

Teorema 1.11. Sejam Mn _{uma forma espacial Riemanniana de curvatura}

seccional nula e ψ : Σn _→ _R_×

et Mn uma hipersuperf´ıcie completa e conexa

com segunda forma fundamental limitada e distante do infinito futuro de R_×_et Mn. Suponha que a curvatura m´edia H de Σn satisfaz α ≤ H ≤ 1,

para alguma constante positiva α. Se o ˆangulo normal θ de Σn _satisfaz

cosθ_≥sup Σ

H,

ent˜ao Σn _{´e um slice de} _R_× etMn.

No quinto cap´ıtulo deste trabalho estudamos gr´aficos verticais completos Σn _{imersos num produto warped Riemanniano} _I_×

fMn, onde supomos uma

condi¸c˜ao de convergˆencia sobre a fibra RiemannianaMn _{que foi estabelecida}

por S. Montiel em [48]. Usando um resultado devido a K. Akutagawa [4], provamos o seguinte.

Teorema 1.12. Seja Mn+1 = I _×f Mn um produto warped que satisfaz a

condi¸c˜ao de convergˆencia

KM ≥sup I

(f′2₋f f′′)

e cuja fibra Riemanniana Mn _{tem curvatura seccional n˜ao-positiva. Seja}

(16)

1 Introdu¸c˜ao

H e segunda forma fundamentalA limitada. Suponha queΣn _{est´a entre dois}

slices e que

0_≤H _≤inf Σ

f′

f . (1.1)

Se a fun¸c˜ao altura h de Σn _satisfaz

|∇h_|2 _≤α

inf

Σ

f′

f −H

β

, (1.2)

para algumas constantes positivas α e β, ent˜ao Σn _{´e um slice.}

Como consequência imediata da caracteriza¸cão dos modelos warped do espa¸co hiperbólico, os seguintes resultados são provados.

Corol´ario 1.13. Seja ψ : Σn _→ _Hn+1 _{um gr´afico vertical completo com}

curvatura média constante0_≤H _≤1e segunda forma fundamental limitada. Se Σn _{está entre duas horoesferas e sua fun¸cão altura} _h _satisfaz

|∇h_|2 _≤α(1₋H)β,

para constantes positivas α and β, ent˜ao Σn _{´e uma horoesfera.}

Corol´ario 1.14. Seja ψ : Σn _→_Hn+1 _{um gr´afico vertical completo com}

cur-vatura m´edia constante H e segunda forma fundamental limitada. Suponha que Σn _{est´a entre duas hiperesferas e que}

0_≤H _≤inf

Σ (tanht).

Se a fun¸c˜ao altura h de Σn _satisfaz

|∇h_|2 _≤αinf

Σ tanht−H β

,

para constantes positivas α e β, ent˜ao Σn _{´e uma hiperesfera.}

Corol´ario 1.15. Seja ψ : Σn _→ _Hn+1 _{um gr´afico vertical completo com}

curvatura m´edia constante0_≤H _≤1e segunda forma fundamental limitada. Se existir uma constante real C tal que a fun¸c˜ao altura h de Σn _satisfa¸ca

h_≤C₋log (1 +_hN, ∂ti),

e, al´em disso,

|∇h_|2 _≤α(1₋H)β,

(17)

1 Introdu¸c˜ao

Finalizamos este trabalho com o seguinte teorema que estabelece a rigidez dos slices de um espa¸co produto mediante uma restri¸c˜ao apropriada sobre o ˆangulo normal.

Teorema 1.16. Seja Mn+1 = I _×Mn _{um espa¸co produto, cuja fibra}

Rie-manniana Mn _{ou é isométrica a} _Sn _{ou é flat. Seja} _ψ _{: Σ}n _→ _Mn+1 _um

gráfico vertical completo com curvatura média constante H e segunda forma fundamental A limitada. Se o ângulo normal θ de Σn _satisfaz

cosθ _≥sup

1_{− |}A_|2,1

3

, (1.3)

ent˜ao Σn _{´e um slice.}

Segue imediatamente do resultado anterior o seguinte.

Corol´ario 1.17. Seja ψ : Σn _→ _Rn+1 _{um gr´afico vertical completo com}

curvatura m´edia constante e curvatura escalar R limitada inferiormente. Se o ˆangulo normal θ de Σn satisfaz

cosθ _≥sup

1 + R,1

3

,

(18)

Cap´ıtulo 2

Preliminares

O objetivo deste cap´ıtulo é fixar a nota¸cão a ser usada e estabelecermos alguns resultados que serão imprescind´ıveis para o desenvolvimento deste trabalho. Indicamos ao leitor a referência [54] para maiores detalhes.

2.1 Variedades Lorentzianas

Nesta se¸cão, apresentaremos alguns fatos básicos da teoria de variedades de Lorentz. Para tanto, iniciamos com a seguinte defini¸cão.

Defini¸c˜ao 2.1. Sejam V um espa¸co vetorial real de dimens˜ao finita n e

b =_h , _i:V _×V _→R _{uma forma bilinear e sim´etrica. Dizemos que} _b _´e (i) Positiva definida, quando _hv, v_i>0 para todo v _∈V _{\ {}0_}.

(ii) Negativa definida, quando _hv, v_i<0 para todov _∈V _{\ {}0_}.

(iii) Não-degenerada, quando _hv, w_i= 0 para todo w_∈V implicar v = 0. Dizemos ainda que um subespa¸co W de V é não-degenerado quando a res-tri¸cão b|W×W :W ×W →R for não-degenerada.

Um importante conceito ´e o de ´ındice de uma forma bilinear sim´etrica b :

V _×V _→R _{que ´e definido como sendo a maior dimens˜ao de um subespa¸co}

W de V de modo que b|W×W seja negativa-definida. Denotaremos por νb o

(19)

2.1 Variedades Lorentzianas

Sejam b uma forma bilinear sim´etrica sobre V e W um subespa¸co de V. O complemento ortogonal W⊥ _de_W _em _V _{´e definido por}

W⊥ =_{v _∈V : _hv, w_i= 0 ; _∀w _∈W_}.

Os seguintes resultados, que s˜ao importantes propriedades inerentes a uma forma bilinear e sim´etrica, podem ser encontrados em B. O’Neill (cf. [54], Lemas 1.19, 1.22 e 1.23).

Lema 2.2. Sejam b uma forma bilinear simétrica sobre o espa¸co vetorial de dimensão finita V e W um subespa¸co de V. Então:

(i) b ´e n˜ao-degenerada se, e somente se, sua matriz com respeito a uma (e portanto a toda) base deV for invert´ıvel;

(ii) Se W é não-degenerado então (W⊥₎⊥ ₌_W _e

dim(V) = dim(W) + dim(W⊥) ;

(iii) W ´e n˜ao-degenerado se, e somente se, V = W _⊕W⊥_{. Em particular,}

W é não-degenerado se, e somente se, W⊥ _{for não-degenerado.}

Defini¸cão 2.3. Sejab=_h , _iuma forma bilinear simétrica e não-degenerada sobre o espa¸co vetorial real V. Dizemos que v _∈V _{\ {}0_} é:

(i) Tipo-tempo, quando _hv, v_i<0; (ii) Tipo-luz, quando _hv, v_i= 0; (iii) Tipo-espa¸co, quando _hv, v_i>0.

De maneira similar, um subespa¸co n˜ao-degenerado W de V ´e tipo-tempo, tipo-luz ou tipo-espa¸co, quando ocorrer_hw, w_i<0,_hw, w_i= 0 ou_hw, w_i>0 para todo w _∈ W, respectivamente. Seja v _∈ V _{\ {}0_} um vetor tipo-tempo ou tipo-espa¸co. Definimos o sinal εv de v pondo

εv = h

v, v_i

|hv, v_i|.

A normadev _∈V ´e definida por _|v_|=pεvhv, vi. Dizemos quev ´e um vetor

unit´ario se_|v_|= 1. ´E poss´ıvel mostrar que V admite uma base _{e1, . . . , en}

(20)

i, j _{∈ {}1, . . . , n_}, onde εi denota o sinal de ei (cf. [54], Lema 2.24). Desse

modo, a expansão ortonormal de v _∈V com respeito à base _{ei}é dada por

v =

n

X

i=1

εihv, eiiei.

Sejam b : V _×V _→ R _{uma forma bilinear sim´etrica e n˜ao-degenerada com}

νb = 1 e T ={u∈ V; hu, ui<0}. Para cada u ∈ T, definimos o cone

tipo-tempo (ou cone tipo-temporal) de V contendo u por C(u) =_{v _{∈ T}; _hu, v_i<0_}.

Lema 2.4. Sejam v, w_{∈ T}. Ent˜ao:

(i) O subespa¸co _{v_}⊥ _{´e tipo-espa¸co e} _V ₌_span_{_v_{} ⊕}_span_{_v_}⊥_{. Assim,} _T

´e a uni˜ao disjunta de C(v) e C(₋v);

(ii) _|hv, w_{i| ≥ |}v_||w_|, com igualdade se, e somente se,v ewforem colineares;

(iii) Se v _∈ C(u) para algum u _{∈ T}, ent˜ao w _∈ C(u) _{⇔ h}v, w_i < 0. Portanto, w_∈C(v)_⇔v _∈C(w)_⇔C(v) = C(w).

Defini¸cão 2.5. Um tensor métrico sobre uma variedade diferenciável M é um 2₋tensor covariante e simétrico g sobre M, tal que gp é não-degenerada

para todo p _∈ M. Uma variedade semi-Riemanniana M é um par (M , g), onde M é uma variedade diferenciável e g = _h , _i é um tensor métrico de ´ındice constante sobre M.

Observando que o ´ındice νg : M → N ´e uma fun¸c˜ao semi-cont´ınua

inferi-ormente, segue que ele ´e constante nas componentes conexas de M. Por simplicidade, denotaremos o par (M , g) por M. O tensor m´etrico g de M

ser´a denotado por _h , _i e ν representar´a o ´ındice de g.

Sejamp_∈M ev, w_∈TpM tais que o subespa¸co 2−dimensional deTpM,

por eles gerado seja n˜ao-degenerado. ´E imediato do item (i) do Lema 2.2 que

hv, v_ihw, w_{i − h}v, w_i2 ₆= 0.

Isto fundamenta a seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 2.6. Sejam M uma variedade semi-Riemanniana, p_∈M e σ um subespa¸co 2₋dimensional n˜ao-degenerado de TpM. A curvatura seccional de

M segundo σ ´e o n´umero

K(σ) = hR(v, w)v, wi

hv, v_ihw, w_{i − h}v, w_i2,

(21)

Defini¸c˜ao 2.7. Dizemos que a variedade semi-Riemanniana M tem curva-tura seccional constante quando, para cada p _∈ M, K(σ1) = K(σ2) para quaisquer subespa¸cos n˜ao-degenerados σ1 e σ2 em TpM.

Observa¸cão 2.8. O teorema de Schur nos assegura ainda que se M tem curvatura seccional constante e dim(M)_≥3, então o valor de K(σ)também independe do ponto p_∈M escolhido.

´

E poss´ıvel mostrar que se M tem curvatura seccional constantec, ent˜ao seu tensor de curvatura R se expressa como (cf. [54], Corol´ario 3.43)

R(X, Y)Z =c[_hX, Z_iY _{− h}Y, Z_iX], (2.1) para todos X, Y, Z _∈X₍_M_).

Uma variedade semi-Riemanniana de ´ındice ν = 0 ´e simplesmente uma va-riedade Riemanniana. Quando ν = 1, M ´e denominada uma variedade Lo-rentziana (ou espa¸co-tempo).

Defini¸cão 2.9. Seja M uma variedade Lorentziana. Uma aplica¸cão _C, que associa a cada p _∈ M um cone tipo-tempo _C(p) em TpM, é suave quando,

para cadap_∈M, existem uma vizinhan¸ca abertaU depeV _∈X₍_U₎_{, tais que}

V(q) _{∈ C}(q) para todo q _∈ U. Quando uma tal aplica¸cão _C existe, dizemos que M é temporalmente orientável.

Proposi¸cão 2.10. Uma variedade LorentzianaM é temporalmente orientável se, e somente se, existir um campo vetorial tipo-tempo K _∈X₍_M₎_.

Demonstra¸c˜ao. Suponha que exista um campo de vetores tipo-tempo K de-finido sobre M. Seja _C :M _→T M a aplica¸c˜ao definida por

C(p) =C(K(p)).

LogoM é temporalmente orientável. Reciprocamente, seja_C uma orienta¸cão temporal de M. Assim, como _C é suave, cada ponto p _∈ M possui uma vizinhan¸ca U em M, onde está definido um campo de vetores tipo-tempo

KU, com KU(q) ∈ C(q), para cada q ∈ U. Considere agora {Uα} uma

cobertura de M formada por abertos Uα que cumprem esta condi¸c˜ao e {fα}

uma parti¸c˜ao da unidade estritamente subordinada a _{U_α}. Com isto, o campo vetorial

K =X

α

fαKUα

(22)

2.2 Campos vetoriais conformes

Observa¸cão 2.11. A proposi¸cão anterior nos permite concluir que é indi-ferente nos referirmos à fun¸cão suave _C ou ao campo vetorial tipo-tempoK. Logo, quando M for temporalmente orientável, a escolha de uma aplica¸cão

C como acima, ou de um campo vetorial tipo-tempo K a ela correspondente, ser´a denominada uma orienta¸c˜ao temporal para M.

Sejam _C uma orienta¸c˜ao temporal para M e V _∈ X₍_M_{). Se} _V₍_q₎_{∈ C}₍_q₎

(₋V(q) _{∈ C}(q)) para todo q _∈ M, dizemos que V aponta para o futuro

(aponta para o passado). ComoK´e uma orienta¸c˜ao temporal paraM, temos, pelo item (iii) do Lema 2.4, que um campo vetorial tipo-tempo V sobre M

aponta para o futuro (passado) se, e somente se, _hV, K_i<0 (_hV, K_i>0).

2.2 Campos vetoriais conformes

SejaMn+1 uma variedade semi-Riemanniana com tensor m´etricog. Dizemos que um campo vetorial K _∈X₍_M_{) ´e} _conforme _quando

LKg = 2φ g , (2.2)

para alguma fun¸c˜ao suaveφ :Mn+1 _→R_{, onde} _L_K _{denota a derivada de Lie}

na dire¸cão do campo K. A fun¸cão φé denominada fator conforme deK. No contexto Riemanniano, uma questão de bastante relevância em mea-dos do século passado, foi a tentativa de vários geômetras de provar que uma variedade Riemanniana compacta e orientada Mn _{de dimensão} _n _≥ _3,

ad-mitindo uma m´etrica de curvatura escalar constante e munida de um campo conforme deve ser isom´etrica a uma esfera Euclidiana Sn₍_r_{). Nesse intuito,}

muitos resultados interessantes foram obtidos. Indicamos ao leitor o livro de K. Yano [64], onde há uma coletânea de tais resultados. Embora rele-vantes progressos tenham sido feitos nessa dire¸cão, o matemático japonês N. Ejiri respondeu negativamente à esta conjectura construindo uma variedade compacta com uma métrica de curvatura escalar constante e munida de um campo conforme que não é sequer homeomorfa a uma esfera (cf. Teorema 3.4 de [34]).

(23)

Lema 2.12. Se uma variedade Riemanniana completa Σn _{com dimens˜ao}

n _≥ 2, tensor métrico g e curvatura escalar R admite uma fun¸cão não-constante ρ tal que

Hessρ= 1

n(∆ρ)g e L∇ρR = 0,

então Σn _{é isométrica a uma esfera Euclidiana} _Sn₍_r₎_.

O seguinte resultado, devido a D-S Kim, S-B Kim, Y.H. Kim e S-H Park [41], fornece uma caracteriza¸c˜ao interessante de hipersuperf´ıcies total-mente umb´ılicas em um ambiente semi-Riemanniano de curvatura seccional constante, a qual responde afirmativamente a rec´ıproca de um teorema devi-do a R. Sharma e K. L. Duggal [58].

Lema 2.13. Seja Σn _{uma hipersuperf´ıcie conexa isometricamente imersa}

num ambiente semi-Riemanniano Mn+1(c) de curvatura seccional constante

c. Suponha que Mn+1 possui um campo conforme K de modo que sua proje¸c˜ao K⊤ _{sobre o fibrado tangente de} _Σn _{seja um campo conforme em}

Σn_{. Então, uma das afirma¸cões seguintes é verdadeira:}

(i) Σn _{´e totalmente umb´ılica;}

(ii) a restri¸c˜ao de K a Σn _{´e um campo tangente a} _Σn_.

Voltando ao contexto geral, exibiremos agora uma classe particular de va-riedades semi-Riemannianas que ´e dada pelas vava-riedades Lorentzianas Mn+1

conformemente estacion´arias, no sentido de que M possui um campo de vetores tipo-tempo e conformeK, ou seja, tal que _LKg = 2φ g ,para alguma

fun¸cão suave φ :M _→R_{, onde} _g ₌_h _, _i_{é o tensor métrico de} _M_{. Segue da}

defini¸cão da derivada de Lie de campos de vetores e do seu caráter tensorial que um campo K _∈X₍_M_{) é conforme se, e somente se,}

h∇VK, W_i+_hV,_∇WK_i= 2φ_hV, W_i,

para quaisquer V, W _∈ X₍_M_{). Um campo vetorial conforme} _K_{, com fator}

conforme φ, ´e dito fechado quando sua 1-forma correspondente for fechada. Isto ´e equivalente a

∇XK =φX, (2.3)

(24)

O resultado que enunciaremos agora ´e devido a S. Montiel (cf. [47], Pro-posi¸c˜ao 1). Nele percebemos o quanto a presen¸ca de um campo conforme e fechado influi na geometria de uma variedade. Em termos mais precisos, temos o seguinte.

Proposi¸c˜ao 2.14. Seja (Mn+1,_h , _i)uma variedade Lorentziana munida de um campo de vetores tipo-tempo K _∈ X₍_M₎ _{conforme e fechado com fator}

conforme φ. Ent˜ao

(a) A distribui¸c˜ao n-dimensional _D definida em Mn+1 por

p_{7→ D}(p) = _{v _∈TpM;hK(p), vi= 0}

determina uma folhea¸cão _F(K) tipo-espa¸co de codimensão 1, a qual é orientada por K. Além disso, as fun¸cões _hK, K_i, divK e Kφ são constantes em cada folha conexa de _F(K);

(b) O campo unit´ario tipo-tempo ν definido por ν =K/_|K_| em M satisfaz

∇νν = 0 e ∇uν =

φ

|K_|u, se hu, νi= 0.

Portanto, o fluxo do campo ν é um fluxo geodésico normalizado tipo-tempo o qual leva homoteticamente folhas de _F(K)em folhas de_F(K), sendo cada folha de _F(K) totalmente umb´ılica com curvatura média constante _H=₋φ/_|K_|.

Observa¸cão 2.15. No caso em que Mn+1 é uma variedade Riemanniana munida com um campo conforme, fechado e não-trivial K, é poss´ıvel mostrar que o conjunto

Z(K) =_{p_∈M; K(p) = 0_}

(25)

2.3 Produtos warped semi-Riemannianos

Apresentaremos neste par´agrafo uma classe particular de variedades semi-Riemannianas naturalmente munidas com um campo vetorial conforme. Para isto, sejam Mn _{uma variedade Riemanniana conexa e orientada,} _I _⊂ _R _um

intervalo e f : I _→ R _{uma fun¸c˜ao suave e positiva. Considere a variedade}

diferenci´avel produto Mn+1 =I_×Mn_{. Sejam}_π

I e πM as proje¸c˜oes sobre os

fatores I e Mn_{, respectivamente. Em} _M _{definamos a m´etrica}

hu, v_ip =ε_h(πI)∗u,(πI)∗vi+f2(p)h(πM)∗u,(πM)∗vi

para todo p _∈ M e todos u, v _∈ TpM, onde ε = ε∂t. A variedade

semi-Riemanniana assim obtida ser´a representada por

Mn+1 =εI _×f Mn.

Denotaremos por

∂t= (∂/∂t)(t,x), (t, x)_∈I_×Mn _{o campo unit´ario e tangente a}_εI_×

fMn. ´E poss´ıvel mostrar

que o campo vetorial

K = (f _◦πI)∂t

´e conforme e fechado e seu fator conforme ´ef′_◦_π

I, onde ′ denota a deriva¸c˜ao

com respeito a t_∈I (cf. [47] e [48]).

Quandoε=₋1, a variedadeM obtida pela constru¸cão anterior é denomi-nada, de acordo com a nomenclatura introduzida por L.J. Al´ıas, A. Romero e M. Sánchez em [10], um espa¸co-tempo de Robertson-Walker Generalizado (GRW). A geometria desse espa¸co tem propriedades bastante interessantes. Por exemplo, em [10] os autores provaram que se o espa¸co-tempo ₋I_×f Mn

admite uma hipersuperf´ıcie tipo-espa¸co compacta, ent˜ao necessariamente a fibra RiemannianaMn_{deve ser compacta. Nessa mesma dire¸c˜ao, A.L.}

Albu-jer e L.J. Al´ıas demonstraram que se ₋R_×etMn admite uma hipersuperf´ıcie

tipo-espa¸co completa e distante do infinito futuro deste espa¸co, no sentido da hipersuperf´ıcie estar abaixo de um slice, ent˜ao a fibraMn_{deve ser completa(}

cf. Lema 7 de [5] ).

(26)

2.4 Imers˜oes isom´etricas

2.4 Imers˜

oes isom´

etricas

Sejam (Mn_{, g}_{) uma variedade Riemanniana e (}_Mn+1_{, g}_{) uma variedade}

semi-Riemanniana. Uma imersão isométrica ψ :Mn _→_Mn+1 _{é uma imersão que}

satisfaz a condi¸c˜ao ψ∗_g ₌ _g_{. Por simplicidade, denotaremos os tensores} m´etricos de M eM pelo mesmo s´ımbolo _h, _i.

Defini¸cão 2.16. Uma imersão isométrica ψ : Σn _→ _Mn+1 _{de uma}

varie-dade diferenciável n-dimensional Σ em uma variedade Lorentziana (n+ 1) -dimensional M é dita uma hipersuperf´ıcie tipo-espa¸co se a métrica induzida em Σn _{pela imersão} _ψ _{for uma métrica Riemanniana. Neste caso, dizemos}

ainda que a imers˜ao ψ ´e Riemanniana.

Proposi¸c˜ao 2.17. SejaΣn_{uma hipersuperf´ıcie tipo-espa¸co de uma variedade}

Lorentziana temporalmente orientada Mn+1. Ent˜ao Σn _{admite um campo}

vetorial unit´ario, normal e suave N _∈X₍_M₎⊥_{, apontando para o futuro. Em}

particular, Σn _{´e orient´avel.}

Demonstra¸cão. Como M é temporalmente orientável, existe um campo K _∈

X₍_M_{) de vetores tipo-tempo. Observe que, para todo} _p _∈ _Σn_{, o conjunto}

dos vetores tipo-tempo v _∈ TpM ´e formado pela uni˜ao disjunta dos cones

temporais C(K(p)) e C(₋K(p)).

Em cada p _∈ Σn_{, considere um vetor unit´ario} _N₍_p₎ _∈ _T

pΣ⊥. Como

N(p) ´e tipo-tempo, podemos supor, sem perda de generalidade, que N(p)_∈

C(K(p)). Feito isto, temos definido um campo vetorial normal e unit´arioN

sobre Σn _{que aponta para o futuro. Vamos mostrar que o campo} _N _{´e suave.}

Para isto, fixe um pontop_∈Σn_{e seja}_{_e

1, . . . , en}um referencial m´ovel sobre

uma vizinhan¸ca aberta e conexaU depem Σn_{. Logo ˜}_N ₌_K₋Pn

i=1hK, eiiei ´e suave e normal a Σn _em _U _{e temos ainda}

hN ,˜ N˜_i=_hN , K˜ _i=_hK, K_{i −}

n

X

i=1

hK, eii2.

Observe que _hK, K_i=Pn

(27)

2.5 Equa¸c˜oes fundamentais

2.5 Equa¸c˜

oes fundamentais

No que segue, ψ : Σn _→ _Mn+1 _{denotar´a uma imers˜ao Riemanniana de uma}

variedade diferenci´avel n-dimensional Σn _{numa variedade Riemanniana}

ori-entada ou numa variedade Lorentziana (n+ 1)-dimensional temporalmente orientada, sendo que cada caso ficar´a claro no contexto.

Quando o espa¸co ambienteM for Riemanniano, iremos supor sempre que Σn _{é orientável, o que, pela Proposi¸cão 2.17, é uma hipótese desnecessária}

quando M for uma variedade Lorentziana temporalmente orientada. Em ambos os casos, N representar´a o campo unit´ario e normal que orienta Σn_.

Denotaremos por_∇e_∇ as conex˜oes de Levi-Civita de Σn _e_M_,

respecti-vamente. ´E poss´ıvel mostrar que_∇XY = (∇XY)⊤, para todosX, Y ∈X(Σ),

onde ( )⊤ _{denota a componente tangencial de um campo de vetores ao} longo de Σn_{. A} _{segunda forma fundamental} _{da imersão} _ψ _{é a aplica¸cão}

α :X_(Σ)_×X_(Σ) _→X⊥_{(Σ) que cumpre a condi¸c˜ao}

∇XY =∇XY +α(X, Y),

para todos X, Y _∈ X_{(Σ). Observe que sendo} _α _{uma forma} _D_(Σ)₋_bilinear

e sim´etrica, obtemos um campo A : X_(Σ) _→ X_{(Σ) de operadores lineares}

auto-adjuntos Ap : TpΣ → TpΣ, denominados operadores de Weingarten da

imers˜ao ψ, definindo

hAX, Y_i=_hα(X, Y), N_i.

´

E imediato verificar que

AX =_−∇XN e α(X, Y) = εNhAX, YiN,

onde X e Y s˜ao campos tangentes a Σn_{. Temos ainda que o tensor de}

curvatura R de Σn _{´e definido como a aplica¸c˜ao} _R _: _X_(Σ)_×_X_(Σ)_×_X_(Σ) _→

X_{(Σ) dada por}

R(X, Y)Z =_∇Y_∇XZ_{− ∇X}_∇YZ+_∇[X,Y]Z,

onde [ , ] denota o colchete de Lie.

(28)

2.5 Equa¸c˜oes fundamentais

Proposi¸cão 2.18. Seja ψ : Σn _→ _Mn+1 _{uma imersão isométrica. Se} _R

e R denotam os respectivos tensores de curvatura de Σn _e _M_{, ent˜ao, para}

quaisquer campos de vetores X, Y, Z _∈X_(Σ)_{, temos que}

(i) (Equa¸c˜ao de Gauss)

R(X, Y)Z = (R(X, Y)Z)⊤+εN[hAX, ZiAY − hAY, ZiAX]. (2.4)

(ii) (Equa¸c˜ao de Codazzi)

(R(X, Y)N)⊤ = (_∇XA)Y −(∇YA)X. (2.5)

Um caso particular da proposi¸c˜ao anterior ´e dado pelo seguinte.

Corolário 2.19. Seja ψ : Σn _→ _Mn+1₍_c₎ _{uma imersão isométrica, onde}

Mn+1(c) ´e um ambiente de curvatura seccional constante c. Ent˜ao, para todos X, Y, Z, W _∈X_(Σ) _temos

hR(X, Y)Z, W_i = c[_hX, Z_ihY, W_{i − h}X, W_ihY, Z_i]

+ εN[hAX, ZihAY, Wi − hAX, WihAY, Zi], (2.6)

onde R ´e o tensor de curvatura de Σn_{, e}

(_∇XA)Y = (∇YA)X. (2.7)

Observa¸cão 2.20. Nas condi¸cões do Corolário 2.19, temos que o tensor de Ricci de Σn é dado por

RicΣ(X, Y) = c(n₋1)_hX, Y_i+εN(hAX, Yitr(A)− hAX, AYi),

para todos X, Y _∈X_(Σ)_{. Por meio de uma contra¸c˜ao m´etrica, temos ainda}

que a curvatura escalar (n˜ao-normalizada) R de Σn _satisfaz

R =cn(n₋1) +εN n2H2− |A|2

,

onde H = εN

(29)

2.6 Os tensores de Newton

Seja ψ : Σn _→ _Mn+1 _{uma imers˜ao Riemanniana. Denotemos por} _A _o

ope-rador de Weingarten de Σn _{associado ao campo unit´ario e normal} _N

glo-balmente definido em Σn_{. Associado ao operador} _A _existem _n _invariantes

alg´ebricos Sr, que s˜ao obtidos mediante a igualdade

det(tI ₋A) =

n

X

i=1

(₋1)iSitn−i,

sendo S0 = 1 por defini¸cão. É fácil ver que se λ1, . . . , λn denotam os

auto-valores (ou curvaturas principais) de A, ent˜ao, para 1_≤r _≤n, temos

Sr =

X

i1<···<ir

λi1· · ·λir.

Disto segue imediatamente que

S₁2 =_|A_|2+ 2S2.

Defini¸cão 2.21. Para cada 0_≤r_≤n, a r-ésima curvatura médiaHr de Σn

´e definida por

n r

Hr =εrNSr. (2.8)

Vale ressaltar aqui que as curvaturas m´edias de ordem superior cumprem

H_j2 _≥Hj−1Hj+1,

para todo 1 _≤ j _≤ n₋1. Caso ocorra a igualdade para r = 1 ou algum 1 < r < n com Hr+1 6= 0, temos λ1 = · · · = λn ( cf. Proposi¸c˜ao 1 de [24],

veja tamb´em Teorema 51 de [37]). Essas desigualdades s˜ao conhecidas como

desigualdades de Newton.

(30)

Enunciamos agora outro fato relevante cuja demonstra¸c˜ao pode ser en-contrada em A. Caminha [23] (cf. tamb´em Lema 4.1 de [8]).

Lema 2.22. Seja ψ : Σn _→ _Mn+1 _{uma imers˜ao isom´etrica. Se} _S

2 ´e

cons-tante em Σn_{, ent˜ao}

S₁2(_|∇A_|2 _{− |∇}S1|2)≥2S2|∇A|2.

Em particular, se S2 ≥0, ent˜ao |∇A|2− |∇S1|2 ≥0.

Quando Mn+1 tem curvatura seccional constante c, segue da equa¸c˜ao de Gauss (2.6) que a curvatura escalar R de Σn _{e a curvatura} _H

2 se relacionam mediante a express˜ao

R =n(n₋1)(c+εNH2). (2.9)

Usando o operador de Weingarten A de uma imers˜ao Riemanniana ψ : Σn_→_Mn+1_{, podemos definir, para cada 0}_≤_r_≤_n_{, os} _{tensores de Newton}

Pr :X(Σ)→X(Σ)

pondo P0 =I e para 1 ≤r≤n

Pr =εrNSrI−εNAPr−1, (2.10)

onde I :X_(Σ)_→X_{(Σ) ´e o operador identidade.}

O teorema de Cayley-Hamilton nos assegura que Pn = 0 e n˜ao ´e dif´ıcil

verificar quePr´e um operador auto-adjunto que comuta comA, para todor.

Logo, se _B=_{e1, . . . , en}´e uma base que diagonalizaA em p∈Σn, ent˜ao B

tamb´em diagonalizaPr emp. Note ainda que se escrevermosAei =λiei para

todo i e denotarmos por Ai a restri¸c˜ao de A ao subespa¸co h ei i⊥ ⊂ TpΣ,

então é fácil mostrar que Prei =εrNSr(Ai)ei, onde

Sr(Ai) =

X

1≤j1<···<jr≤n

j1,...,jr6=i

λj1· · ·λjr.

(31)

Proposi¸c˜ao 2.23. Seja ψ : Σn_→_Mn+1 _{uma imers˜ao Riemanniana.}

Deno-tando por cr = (n−r) n_r

= (r+ 1) _r₊₁n

, temos

(a) tr(Pr) = εrN

Pn

i=1Sr(Ai) =εrN(n−r)Sr =crHr;

(b) tr(APr) =εrN

Pn

i=1κiSr(Ai) =εrN(r+ 1)Sr+1 =εNcrHr+1;

(c) tr(A2_P

r) =εrN

Pn

i=1κ2iSr(Ai) = εrN S1Sr+1−(r+ 2)Sr+2;

(d) tr(Pr◦ ∇XA) =εrNh∇Sr+1, Xi, para todo X ∈X(Σ).

Associado a cada tensor de Newton Pr temos um operador diferencial

linear de segunda ordem Lr :C∞(Σ)→ C∞(Σ), dado por

Lr(f) = tr(PrHessf). (2.11)

No caso em quer= 0, temos L0(f) = ∆f, onde ∆ denota o operador de Laplace-Beltrami de Σn_{. Seja} _{_E

1, . . . , En} um referencial ortonormal local

em Σn_{. Usando as propriedades da deriva¸c˜ao covariante de tensores, temos}

que

divΣ(Pr(∇f)) = n

X

i=1

h(_∇EiPr)(∇f), Eii+

n

X

i=1

hPr(∇Ei∇f), Eii,

onde divΣ(Z) denota a divergˆencia de um campo vetorialZemX_{(Σ). Usando}

agora que Pr ´e auto-adjunto, concluimos da igualdade anterior que

divΣ(Pr(∇f)) =h DivPr,∇f i+Lr(f)

Consequentemente, quando o espa¸co ambiente M tem curvatura seccional constante, segue que DivPr= 0 ( cf. [11] e [55]), e, portanto

Lr(f) = divΣ(Pr(∇f)).

Sejam ϕ : R _→ R _e _f _{: Σ}n _→ R _{fun¸c˜oes suaves. Segue diretamente da}

defini¸c˜ao que

(32)

A seguinte f´ormula foi obtida por A. Caminha em [23].

Proposi¸cão 2.24. Seja x : Σn _→ _Mn+1₍_c₎ _{uma imersão isométrica, onde}

Mn+1(c) é um ambiente de curvatura seccional constante c. Se _{e_k} é um referencial ortonormal em Σn_{, então}

Lq(Sr) = Lr−1(Sr+1) +

X

k

tr_{[Pq(∇ekPr−1)−Pr−1(∇ekPq)](∇ekA)}

+ c[tr(APr−1)tr(Pq)−tr(Pr−1)tr(APq)]

+ tr(A2Pr−1)tr(APq)−tr(APr−1)tr(A2Pq) ,

(33)

Cap´ıtulo 3

A aplica¸c˜

ao de Gauss de

hipersuperf´ıcies completas

Neste cap´ıtulo, que essencialmente corresponde ao artigo [17] em colabo-ra¸c˜ao com H.F. de Lima, provaremos alguns resultados de rigidez de hiper-superf´ıcies completas Σn_{, com curvatura m´edia constante, imersas}

isometri-camente no espa¸co hiperb´olicoHn+1_{, no espa¸co Euclidiano}Rn+1 _{ou na esfera}

Euclidiana Sn+1_{. Nossos resultados ser˜ao obtidos mediante alguma restri¸c˜ao}

sobre a imagem da aplica¸cão normal de Gauss de tais hipersuperf´ıcies ou sobre a dependência linear entre as fun¸cões suporte associadas à imersão em questão. A menos que se diga o contrário, todas as hipersuperf´ıcies conside-radas neste cap´ıtulo são conexas e orientáveis.

3.1 Formas espaciais

No que segue, Mn+1(c) denotar´a uma variedade Riemanniana completa e simplesmente conexa com curvatura seccional constante c. Para ν _{∈ {}0,1_}, denotaremos por Rn+2

ν o espa¸co vetorialRn+2 munido do produto escalarh,i

definido por

hv, w_i=

n+1 X

i=1

viwi+ (−1)νvn+2wn+2

para quaisquer v, w _∈ Rn+2_{. O espa¸co} _Rn+2

(34)

3.1 Formas espaciais

já que poderemos utilizar a estrutura vetorial do ambiente no qual o espa¸co hiperbólico estará imerso como uma hipersuperf´ıcie.

Seja ̺ uma constante positiva. Com a métrica induzida pela inclusão, é poss´ıvel mostrar que o subconjunto

Hn+1

̺ =

p_∈Rn+2

1 ;hp, pi=−̺2, pn+2 ≥1

é uma variedade Riemanniana (n+ 1)-dimensional, completa e simplesmente conexa com curvatura seccional constante₋1/̺2_{. Isto então nos fornece, pelo} teorema de classifica¸cão de Cartan, um modelo para o espa¸co hiperbólico de curvatura₋1/̺2, denotado porHn+1₍₋₁_/̺2_{). Por simplicidade denotaremos}

o espa¸co hiperb´olico (n+ 1)-dimensional de curvatura seccional₋1 simples-mente por Hn+1_.

´

E f´acil ver ainda que o espa¸co tangente a Hn+1 _{em um ponto} _p_∈Hn+1 _´e

dado por

TpHn+1 =

v _∈Rn+2

1 ; hv, pi= 0 .

Observe ent˜ao que, para cada p _∈ Hn+1_{, temos a seguinte decomposi¸c˜ao} Rn+2

1 = TpHn+1 ⊕ span{p}. Al´em disto, este modelo nos fornece uma

descri¸cão geométrica bastante interessante das hipersuperf´ıcies totalmente umb´ılicas do espa¸co hiperbólico que, como sabemos, são obtidas pela inter-seçcão de um hiperplano de Rn+2

1 com Hn+1.

Exibiremos agora a aplica¸c˜ao de Gauss N destas hipersuperf´ıcies e o correspondente operador de WeingartenA. Para tanto, fixea_∈Rn+2

1 e defina a fun¸c˜ao suave ha:Hn+1 →Rpondoha(p) = hp, ai.Para uma constante real

τ, considere Σn₌_h−1

a (τ). Não é dif´ıcil verificar que se p∈Σn, então |∇ha(p)|2 =τ2+ha, ai,

onde _∇ denota o gradiente de uma fun¸cão em rela¸cão à métrica de Hn+1_.

Portanto, Σn_{será uma hipersuperf´ıcie completa e orientável de}_Hn+1 _sempre que τ2₊_h_{a, a}_i_>_{0. Neste caso, o campo unitário e normal a Σ}n_{é dado por}

N(p) = ∇ha

|∇ha|

(p) = p 1

τ2₊_h_{a, a}_i(a+τ p). (3.1) Portanto, o operador de Weingarten Ada imers˜ao Σn_֒_→_Hn+1_{, associado ao} campo ₋N, ´e dado por

AX = _p τ

(35)

3.1 Formas espaciais

para todo X _∈X_(Σ).

Outra importante subvariedade de Rn+2

1 é o espa¸co de de Sitter (n+ 1)-dimensional, que é definido como a hiperquádrica

Sn+1

1 =

p_∈Rn+2

1 ;hp, pi= 1 que, com a m´etrica induzida pela inclus˜ao Sn+1

1 ֒→ Rn1+2, ´e uma variedade de Lorentz com curvatura seccional constante 1. Este espa¸co tem interes-santes propriedades e sua geometria tem sido bastante estudada por diversos autores, veja [4], [36], ou [49] por exemplo.

Observamos ainda queRn+2

0 nada mais ´e do que o espa¸co EuclidianoRn+2 e o subconjunto

Sn+1 ₌_{_p_∈Rn+2

0 ;hp, pi= 1},

é a esfera Euclidiana (n+ 1)-dimensional de curvatura seccional constante 1. Em [45], S. Montiel respondeu afirmativamente à conjectura de Goddard (cf. [36]) no caso compacto, isto é, neste trabalho ficou provado que todas as hipersuperf´ıcies fechadas (compactas sem bordo), tipo-espa¸co e com curva-tura média constante em Sn+1

1 s˜ao esferas totalmente umb´ılicas. Al´em disto, o autor caracterizou as hipersuperf´ıcies tipo-espa¸co totalmente umb´ılicas de

Sn+1

1 , mostrando que tais hipersuperf´ıcies s˜ao obtidas como interse¸c˜ao de um subespa¸co afim de Rn+2

1 com Sn1+1. Deste modo, se ψ : Σn → Hn+1 ´e uma hipersuperf´ıcie tipo-espa¸co e totalmente umb´ılica em Sn+1

1 , ent˜ao

ψ(Σn)_{⊂ L}τ ={p∈S1n+1;hp, ai=τ},

para algum vetor unit´ario ou tipo-luz a _∈ Rn+2

1 e alguma constante real τ satisfazendo τ2 _> _h_{a, a}_i_{. De acordo com o car´ater causal de} _a_{, temos as} seguintes possibilidades:

(1) seaé um vetor unitário e tipo-tempo, então_Lτ é isométrico a uma esfera

n-dimensional de curvatura seccional 1

τ2_{+ 1};

(2) se a é um vetor não-nulo e tipo-luz, então _Lτ é isométrico ao espa¸co

Euclidiano n-dimensional;

(3) se aé um vetor unitário e tipo-espa¸co, então _Lτ é isométrico ao espa¸co

hiperb´olico n-dimensional de curvatura seccional ₋ 1

(36)

3.2 Fun¸c˜oes suporte

Considere agora uma hipersuperf´ıcie ψ : Σn _→ _Mn+1₍_c₎_֒_→ _Rn+2

ν

isome-tricamente imersa num ambiente Mn+1 de curvatura seccional constante c. Denotaremos por A o operador de Weingartein associado ao campo unit´ario normal N globalmente definido em Σn_{. Observe que o campo vetorial} _N

define uma aplica¸c˜ao

N : Σn _{→ S}n+1,

onde _Sn+1 _{denota o espa¸co de de Sitter} _Sn+1

1 ou as esferas Euclidianas Sn e

Sn+1_{, conforme seja}_c₌₋_1,_c_{= 0 ou} _c_{= 1, respectivamente. Esta aplica¸c˜ao}

será chamada deaplica¸cão de Gauss de Σn_{. Um dos propósitos neste cap´ıtulo}

´e estudar a geometria da imagemN(Σ) da aplica¸c˜ao de Gauss de Σn_e

deter-minar sob que condi¸c˜oes podemos caracterizar uma hipersuperf´ıcie em Mn+1

por meio da imagem de sua aplica¸c˜ao normal de Gauss.

Veja que se _∇0_,_∇ _e _∇ _{denotam as respectivas conex˜oes de Levi-Civita} de Rn+2

1 , M

n+1

(c) e Σn _{temos que as equa¸c˜oes de Gauss e Weingarten s˜ao}

dadas, respectivamente, por

∇0XY =∇XY +hAX, YiN −chX, Yiψ (3.2)

e

AX =_−∇XN =_−∇0

XN, (3.3)

para quaisquer campos de vetores tangentes X, Y _∈X_(Σ).

3.2 Fun¸c˜

oes suporte

Fixemos um vetor a _∈ Rn+2

ν . Definiremos agora duas fun¸c˜oes naturalmente

associadas a uma imers˜ao isom´etrica ψ : Σn_→_Mn+1₍_c₎_֒_→_Rn+2

ν pondo

la =hψ, ai e fa=hN, ai,

ondeN denota o campo unit´ario e normal globalmente definido em Σn_{. Estas}

fun¸cões são denominadas fun¸cões suporte associadas a ψ. Um cálculo direto nos permite concluir que

∇la =a⊤ e ∇fa=−A(a⊤),

ondeAé o operador de Weingarten associado aN ea⊤_{denota a componente} tangencial de a ao longo da imersão ψ, isto é

(37)

3.2 Fun¸c˜oes suporte

Usando as equa¸c˜oes de Gauss e Codazzi, ´e poss´ıvel mostrar facilmente que _∇X∇la = faAX −claX e ∇X∇fa = −faA2X +claAX −(∇a⊤A)(X),

para todo X _∈X_{(Σ). Da primeira equa¸c˜ao, segue imediatamente que}

|Hessla|2 =|A|2fa2−2ncHfala+nl2a (3.5)

Al´em disto, temos ainda que

∆la =nHfa−cnla (3.6)

e

∆fa =−|A|2fa+cnHla−nh∇H, a⊤i, (3.7)

onde H ´e a curvatura m´edia de Σn_.

Em geral, temos o seguinte resultado, que pode ser encontrado em H. Rosenberg [55] (veja tamb´em Lema 5.2 de [20]), entretanto, por completude, incluiremos aqui a sua prova.

Proposi¸c˜ao 3.1. Seja ψ : Σn _→_Mn+1₍_c₎ _֒_→ _Rn+2

ν uma hipersuperf´ıcie

ori-entável isometricamente imersa na forma espacial Mn+1 de curvatura sec-cional constante c. Então, para as fun¸cões fa e la anteriormente definidas,

temos

(i) Lr(la) = (r+ 1)Sr+1fa−c(n−r)Srla;

(ii) Lr(fa) =Lr+1(la)−divΣ(Sr+1∇la).

Demonstra¸c˜ao. (i) Considere um referencial ortonormal local _{E1, . . . , En}

em Σ. ComoHn+1 _{´e um espa¸co de curvatura seccional constante, ent˜ao para}

0_≤r < n, teremos

Lr(la) = divΣ(Pr∇la) = n

X

i=1

h∇EiPr(a

⊤₎_{, E}

ii, (3.8)

onde usamos na ´ultima igualdade que _∇la = a⊤. Da deriva¸c˜ao covariante

de tensores e usando que _∇EiPr ´e um operador auto-adjunto para cada i ∈

{1, . . . , n_}, segue de (3.8) que

Lr(la) = n

X

i=1

ha⊤, _∇EiPr

(Ei)i+ n

X

i=1

hPr ∇Eia

⊤

(38)

3.3 Hipersuperf´ıcies com aplica¸c˜ao de Gauss prescrita em Hn+1

Agora, da equa¸c˜ao de Gauss (cf. eq. (2.4)), temos para cada i _{∈ {}1, . . . , n_}, que

∇Eia

⊤₌_f

aAEi−claEi. (3.10)

Como os tensores de Newton comutam com o operador de Weingarten, con-cluimos de (3.9) e (3.10) que

Lr(la) =ha⊤,Div(Pr)i+fatr(APr)−clatr(Pr).

Portanto, usando as propriedades dos operadores Pr (cf. Proposi¸c˜ao 2.23)

e observando ainda que Div(Pr) = 0, pois M n+1

tem curvatura seccional constante, concluimos da igualdade acima que

Lr(la) = (r+ 1)Sr+1fa−c(n−r)Srla.

(ii) Por outro lado, como_∇fa =−A(∇la), teremos

Lr(fa) =−divΣ(PrA(∇la)) = divΣ(Pr+1(∇la))−divΣ(Sr+1∇la),

onde usamos na ´ultima igualdade a identidadePrA=Sr+1I−Pr+1. Portanto

concluimos que

Lr(fa) =Lr+1(la)−divΣ(Sr+1∇la).

3.3 Hipersuperf´ıcies com aplica¸c˜

ao de Gauss

prescrita em

H

n+1

Para provarmos nossos resultados de rigidez desta se¸c˜ao, faremos uso do seguinte princ´ıpio do m´aximo generalizado, devido a H. Omori e S.T. Yau (cf. [53] e [65]).

Lema 3.2. Seja Σn _{uma variedade Riemanniana} _n_{-dimensional e completa}

com curvatura de Ricci limitada inferiormente. Então, para qualquer fun¸cão limitada superiormente u _{∈ C}2_(Σ) _{existe uma sequência de pontos} _{_p

k}k≥1

em Σn _{satisfazendo as seguintes propriedades:}

(i) u(pk)>sup

Σ

u₋ 1

k , (ii) |∇u|(pk)<

1

k e (iii) ∆u(pk)<

1

k,

(39)

Observa¸c˜ao 3.3. Em [50], K. Nomizu e B. Smyth provaram que uma hiper-superf´ıcie completa, isometricamente imersa, na esfera Euclidiana Sn+1 _tal

que a imagem da aplica¸cão de Gauss esteja contida numa esfera geodésica de Sn+1 _{deve ser uma esfera geodésica.}

Inspirados pelo resultado de K. Nomizu e B. Smyth e usando a carac-teriza¸c˜ao das hipersuperf´ıcies umb´ılicas tipo-espa¸co do espa¸co de de Sitter (cf. [45]), provamos o seguinte.

Teorema 3.4. Seja ψ : Σn _→_Hn+1 _{uma hipersuperf´ıcie completa}

isometri-camente imersa em Hn+1_{, com curvatura média constante} _H ₆_{= 0}_{. Suponha} queΣn _{está contida numa bola geodésica de} _Hn+1_{. Se a imagem da aplica¸cão}

de Gauss de Σn _{est´a contida numa hipersuperf´ıcie tipo-espa¸co e totalmente}

umb´ılica de Sn+1

1 , então Σn é uma esfera geodésica.

Demonstra¸cão. A hipótese sobre a imagem da aplica¸cão de Gauss de Σn _nos

assegura a existˆencia de um vetor a _∈Rn+2

1 e uma constante τ ∈R tais que

fa(p) = hN(ψ(p)), ai=τ,

para todo p _∈ Σn _{e, al´em disso,} _τ2 _> _h_{a, a}_i_{. Inicialmente iremos supor que}

ha, a_i = ₋1. Isto significa que N(Σ) est´a contida numa esfera tipo-espa¸co e totalmente umb´ılica de Sn+1

1 . Veja que podemos supor ainda, sem perda de generalidade, que a _∈ Hn+1_{. Observe que se} _τ _{= 0, ent˜ao, usando a}

equa¸c˜ao (3.7) e a desigualdade reversa de Cauchy-Schwarz, concluimos que

H = 0, uma contradi¸c˜ao. Logo τ ₆= 0 e com isso, usando mais uma vez a equa¸c˜ao (3.7), concluimos que

|A_|2 =₋nH

τ la. (3.11)

Como Σn_{está contida numa bola geodésica de}_Hn+1_{, então existem}_b _∈_Hn+1 e uma constante positiva ̺ tais que lb(p) =hψ(p), bi ≤̺, para todo p∈Σn.

Denotaremos por Bb(̺) a bola geod´esica de Hn+1 centrada em b com raio ̺.

Agora considere uma bola geodésica centrada emacom raioζsuficientemente grande tal que a bola geodésica Bb(̺) esteja contida em Ba(ζ). Mas então

teremos 1 _{≤ h}ψ(p), a_{i ≤} ζ, para todo p _∈ Σn_{. Portanto} _l

a ´e uma fun¸c˜ao

limitada em Σn _{e, pela express˜ao em (3.11), isto implica que o operador de}

Weingarten Atem norma limitada. Agora, como sabemos, o tensor de Ricci de Σn _satisfaz

(40)

para todo X _∈X_{(Σ). Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, concluimos da}

igualdade acima que

nH_hAX, X_{i ≥ −}n_|H_||A_||X_|2 _e _{− |}_AX_|2 _{≥ −|}_A_|2_|_X_|2_. Usando isto, concluimos de (3.12) que

RicΣ(X, X)_≥ 1₋n₋n_|H_||A_{| − |}A_|2

|X_|2, (3.13) para todo X _∈ X_{(Σ). Portanto, pelas hip´oteses assumidas sobre} _H _e _A_,

concluimos da express˜ao anterior que a curvatura de Ricci de Σn _{´e limitada}

inferiormente e isto nos coloca em condi¸cões de aplicar o Princ´ıpio do Máximo de Omori-Yau à fun¸cão suave e limitada _|Φ_|2 ₌ _|_A_|2 ₋_nH2_{. Como} _H _é constante, segue da igualdade anterior e de (3.11) que

∆_|Φ_|2 =n_|Φ_|2. (3.14) Pelo Lema 3.2, existe uma sequˆencia de pontos (pk)k≥1 em Σn de modo que lim

k |Φ|

2₍_p

k) = sup

Σ |

Φ_|2 e, al´em disso, ∆_|Φ_|2₍_p

k) < 1/k, para todo k ≥ 1.

Usando isto, segue da equa¸c˜ao (3.14) que 1

k >∆|Φ|

2₍_p

k) =n|Φ|2(pk)≥0,

para todo k _≥ 1. Fazendo k _{→ ∞}, obtemos da express˜ao anterior que lim

k |Φ|

2₍_p

k) = 0 e, portanto, |Φ|2 = 0 em Σn. Esta igualdade nos permite

concluir que Σn _{´e uma hipersuperf´ıcie totalmente umb´ılica, neste caso, uma}

esfera tipo-espa¸co e totalmente umb´ılica, pois a ´e tipo-tempo. Suponhamos agora quea_∈Rn+2

1 seja um vetor tipo-espa¸co ou tipo-luz de tal modo que fa =hN, ai =τ, para alguma constante τ ∈ R. Em qualquer

caso, temos que _{a, b_} ´e um conjunto linearmente independente em Rn+2

1 e

τ ₆= 0. Seja Πa,b o subespa¸co 2-dimensional gerado pora eb. Tome qualquer

c, diferente de b, na intersec¸c˜ao

Πa,b∩Hn+1.

Logo, podemos escrever c = δa+θb, para algumas constantes reais n˜ao-nulas δ e θ. Considere Bc(ρ) uma bola geod´esica centrada em c tal que

Bb(̺) ⊂ Bc(ρ). Deste modo, como antes, teremos que lc ´e uma fun¸c˜ao

limitada em Σn_{. Observando que}

hψ, a_i= 1