Repositório UFAL: Fórmulas integrais para a curvatura r-média e aplicações

(1)

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

Programa de Pós-Graduação em Matemática

MATEMÁTICA Maceió

Janeiro de 2010

RioSãoFrancisco

Viviane de Oliveira Santos

Fórmulas Integrais para a Curvatura r-Média e

Aplicações

(2)

Universidade Federal de Alagoas

Instituto de Matem´atica

Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática

Disserta¸c˜ao de Mestrado

F´

ormulas Integrais para a Curvatura r-M´edia e

Aplica¸c˜

oes

Viviane de Oliveira Santos

(3)

VIVIANE DE OLIVEIRA SANTOS

F´

ormulas Integrais para a Curvatura r-M´edia e

Aplica¸c˜

oes

Disserta¸cão de Mestrado na área de concentra¸cão de Geometria Diferencial sub-metida em 29 de janeiro de 2010 à banca exa-minadora, designada pelo Colegiado do Pro-grama de Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do grau de mestre em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Hil´ario Alencar da Silva.

(4)

Catalogação na fonte

Universidade Federal de Alagoas

Biblioteca Central

Divisão de Tratamento Técnico

Bibliotecária Responsável: Maria Auxiliadora Gonçalves da Cunha

S237f Santos, Viviane de Oliveira.

Fórmulas integrais para a Curvatura r-Média e Aplicações. /Viviane de Oliveira Santos, 2010.

66 f. : il.

Orientador: Hilário Alencar da Silva.

Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas. Instituto de Matemática, 2010.

Bibliografia: f. 63-64. Índice: f. 65-66.

1. Geometria diferencial. 2. Hipersuperfícies. 3. Curvatura r-média. 4. Estabilidade. I. Título.

(5)

Formulas

Integrais para a Curvatura

r-

Media e

A

p

Ii

cacoes

Viviane de Oliveira Santos

Dissertacao de Mestrado na area de concentracao de Geometria Diferencial sub-metida em 29 de janeiro de 2010 it banca

exa-minadora, design ada pelo Colegiado do Pro-grama de Pos-Craduacao em Matematica da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessaries it obtencao do grau de mestre em Matematica.

Banca Examinadora:

(6)

(7)

Agradecimentos

Ao Professor Hilário Alencar por toda sua dedica¸cão e contribui¸cão ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal de Alagoas, um exemplo que sempre seguirei em minha vida profissional; por todo apoio e orienta¸cão durante meus cursos de gradua¸cão e mestrado, pela amizade e por ter contribu´ıdo de modo especial em minha forma¸cão acadêmica, profissional e pessoal.

Ao Professor Adán José Corcho Fernández por acreditar em minha capacidade acadê-mica, pela sua alegria e prazer ao ensinar, ver sua motiva¸cão foi um grande privilégio para mim.

Aos Professores Abdênago Barros e Walcy Santos pelas sugestões apresentadas sobre esta disserta¸cão.

Ao Rodrigo Fernandes de Moura Melo pela ajuda em momentos acadˆemicos, pela amizade e companheirismo, uma pessoa especial nesses dois anos de mestrado.

A Nat´alia Rocha Pinheiro pela amizade e pelas infinitas caronas, as quais sempre foram repletas de ´otimas conversas.

Ao Gregório Manoel da Silva Neto pelas sugestões para a melhoria deste trabalho. Ao Márcio Henrique Batista pela ajuda na demonstra¸cão que o operador linearizado em formas espaciais é dado pelo divergente de um determinado campo.

Ao Glaudston da Silva por estar presente em minha vida, por ter me ajudado a superar alguns obst´aculos que surgiram neste per´ıodo e por sempre acreditar em meus sonhos.

(8)

Resumo

Nesta disserta¸cão, descrevemos resultados obtidos por Hilário Alencar e A. Gervasio Colares, publicado no Annals of Global Analysis and Geometry em 1998. Inicialmente, obtemos fórmulas integrais para a curvatura r-média, as quais generalizam fórmulas de Minkowski. Além disso, usando estas fórmulas, caracterizamos as hipersuperf´ıcies com-pactas imersas no espa¸co Euclidiano, esférico ou hiperbólico cujo conjunto de pontos nestes espa¸cos que não pertencem as hipersuperf´ıcies totalmente geodésicas tangentes às hipersuperf´ıcies compactas é aberto e não vazio. Outrossim, obtemos ainda resultados relacionados com a estabilidade.

As demonstra¸cões destes resultados são obtidas através da fórmula integral de Dirich-let para o operador linearizado da curvatura r-média de uma hipersuperf´ıcie imersa no espa¸co Euclidiano, esférico ou hiperbólico, bem como do uso de um resultado recente provado por Hilário Alencar, Walcy Santos e Detang Zhou no preprint Curvature Inte-gral Estimates for Complete Hypersurfaces.

Ressaltamos que esta disserta¸cão foi baseada na versão corrigida por Hilário Alencar do artigo publicado no Annals of Global Analysis and Geometry.

(9)

Abstract

In this dissertation, we describe results obtained by Hil´ario Alencar and A. Gervasio Colares, published on the Annals of Global Analysis and Geometry in 1998. Initially, we obtain integral formulas for the r-mean curvature, which generalize Minkowski formulas. Moreover, using these formulas, we characterize compact hypersurfaces immersed in the Euclidean, spherical or hyperbolic space whose the set of points in these spaces that doesn’t belong to the totally geodesic hypersurfaces tangent to compact hypersurfaces is open and nonempty. Also, we still obtained results related with the stability.

The proofs of these results are obtained by using the Dirichlet integral formula for the r-mean curvature linearized operator of a hypersurface immersed in the Euclidean, spherical or hyperbolic space, as well as the use of a recent result proved by Hil´ario Alencar, Walcy Santos and Detang Zhou in the preprint Curvature Integral Estimates for Complete Hypersurfaces.

We point that this work was based on the version corrected by Hil´ario Alencar of the article published on the Annals of Global Analysis and Geometry.

(10)

´Indice

Introdu¸c˜ao 9

1 Preliminares 13

1.1 Variedades Diferenci´aveis e M´etricas Riemannianas . . . 13

1.2 Conex˜oes Afins e Conex˜ao Riemanniana . . . 17

1.3 Operadores Diferenci´aveis . . . 21

1.4 Curvaturas . . . 25

1.5 Imers˜oes Isom´etricas . . . 26

2 Fórmulas Integrais para a Curvatura r-Média 30 2.1 A r-ésima Transforma¸cão de Newton Pr . . . 30

2.2 Operador Linearizado Lr . . . 33

2.3 Operador Linearizado Lr em Formas Espaciais . . . 37

2.4 F´ormulas Integrais para a Curvatura r-M´edia . . . 47

3 Aplica¸c˜oes 55

(11)

Introdu¸c˜

ao

Seja x : Mn _→ _Nn+1 _{uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade Riemanniana} _Mn

na variedade RiemannianaNn+1 _{com segunda forma fundamental} _B_{. Sejam}_λ

1, ..., λn os

autovalores de B associados aos vetores e1, ...en. As fun¸c˜oes sim´etricas elementares Sr

associadas a B s˜ao definidas por

Sr =

X

i1<...<ir

λi1...λir, 1≤r≤n

e a curvatura r-m´edia ´e definida por

Hr =

1

nr

Sr,

onde nr =

n r

.

Consideremos S0 =H0 = 1 e Sr =Hr = 0 se r /∈ {0,1, ..., n}. As fun¸c˜oes S1, S2 e Sn

s˜ao conhecidas como curvatura m´edia,escalar e de Gauss-Kronecker, respectivamente.

A r-ésima transforma¸cão de NewtonPr :TpM →TpM é definida, indutivamente, por

P0 =I e Pr =SrI−BPr−1, r≥1.

Associado a cada transforma¸c˜ao de Newton Pr, temos um operador diferencial de

segunda ordem Lr :C∞(Mn;R)→R, definido por

Lrf = tr(Pr(Hessf)),

onde Hessf ´e a matriz Hessiana da fun¸c˜aof.

Denominamos este operador deoperador linearizadoLr. Em particular, quandor = 0,

L0f = ∆f. Por este motivo, dizemos que este operador generaliza, em certo sentido, o

Laplaciano. Tal operador foi introduzido por Voss na conex˜ao com argumentos varia-cionais, ver [19].

Ao considerarmos uma imers˜ao isom´etrica x : Mn _→ _Qn+1

c , onde Qnc+1 ´e uma

vari-edade Riemanniana com curvatura seccional constante c, Rosenberg em [17], p. 225,

provou que Lr ´e um operador dado pelo divergente de um determinado campo, isto ´e,

Lr(f) = divM(Pr(gradMf))

(12)

Se x : Mn _→ _Qn+1

c é uma imersão isométrica em uma forma espacial simplesmente

conexa Qn+1

c , Xt uma varia¸cão normal de xeη é um campo vetorial normal unitário em

Mn_{, Reilly, ver [16], provou que}

d

dtSr+1(t)

t=0

=Lrf+ (S1Sr+1−(r+ 2)Sr+2)f+c(n−r)Srf,

onde f =

∂Xt ∂t t=0 , η

e Lr ´e o operador linearizado de Sr+1 obtido das varia¸c˜oes

normais de x.

Fixado um ponto p ∈ Qn+1

c , sejam ρ : Qnc+1 → R a fun¸cão distância geodésica ao

ponto p e x : Mn _→ _Qn+1

c uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade Riemanniana

orientada Mn _{em uma forma espacial} _Qn+1

c . Definimos o vetor posi¸c˜ao X :Mn→Qnc+1

com respeito a p, por

X(x(p)) = Sc(ρ(p))gradQρ(p),

onde Sc é a solu¸cão da equa¸cãoy′′+cy = 0 com condi¸cões iniciais y(0) = 0 e y′(0) = 1,

isto ´e,

Sc(ρ(p)) =

          

ρ(p), se c= 0; sen (ρ(p)√c)

√

c , se c >0;

senh (ρ(p)√₋c) √

−c , se c < 0.

Denotando θc(s) = Sc′(s) e XT a componente de X tangente a Mn, apresentaremos

resultados obtidos por Alencar e Colares publicado no Annals of Global Analysis and Geometry em 1998.

Teorema 0.1. Sejam x : Mn _→ _Qn+1

c uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade

Rie-manniana compacta orientadaMn_e₀_≤_q_≤_n, ₁_≤_s_≤_n_{inteiros. Ent˜ao, para qualquer}

c,

(a)

Z

Mn h

X, η_iq (

hX, X_i

2

s−₁

[θc(ρ)((n−r)Srθc(ρ) + (r+ 1)Sr+1hX, ηi)

−cPr(XT), XT

+ (s−1)

hX, Xi

2

s−2

(θc(ρ))2

Pr(XT), XT

)

−q_hX, η_iq−1

hX, Xi

2

s−1

θc(ρ)Pr(B(XT)), XT

!

dM = 0;

(b)

Z

Mn h

X, η_iq(θc(ρ))s−1[(n−r)Srθc(ρ) + (r+ 1)Sr+1hX, ηi]

−c(s−1)(θc(ρ))s−2

Pr(XT), XT

−q(θc(ρ))s−1hX, ηiq

−₁

Pr(B(XT)), XT

(13)

(c)

Z

Mn

hX, X_i

2

q

hX, η_is−1[₋(r+ 1)Sr+1θc(ρ)−(S1Sr+1−(r+ 2)Sr+2)hX, ηi

− hgradMSr+1, Xi] + (s−1)hX, ηis

−2

Pr(B2(XT)), XT

−q

hX, X_i

2

q−1

hX, η_is−1θc(ρ)Pr(B(XT)), XT

!

dM = 0.

O teorema anterior é uma versão corrigida por Alencar do artigo publicado em [1], cujos resultados originais não implicaram quaisquer mudan¸cas nas aplica¸cões.

As f´ormulas em (a) e (b) generalizam as f´ormulas de Minkowski obtidas por Hsiung em [12] e Bivens em [8], respectivamente.

Corol´ario 0.1. Sejam x: Mn _→_Qn+1

Rie-manniana compacta orientada Mn _{em uma forma espacial} _Qn+1

c . Ent˜ao

(a)

Z

Mn

[Hr+Hr+1hX, ηi]dM = 0;

(b)

Z

Mn

[Hrθc+Hr+1hX, ηi]dM = 0.

Teorema 0.2. SejamMn_{uma variedade Riemanniana compacta orientada e uma imers˜ao}

isom´etrica x:Mn _→_Qn+1

c com curvatura Hr+1 constante n˜ao-nula, onde0≤r≤n−1.

Se c > 0, assuma que x(Mn₎ _{est´a contida em um hemisf´erio aberto de} _Qn+1

c . Ent˜ao, o

conjunto de pontos

W =Qn_c+1− [

p∈M

(Qn_c)p,

que s˜ao omitidos em Qn+1

c pelas hipersuperf´ıcies totalmente geod´esicas (Qnc)p tangentes a

x(Mn₎ _{é não-vazio, se e somente se,} _x₍_Mn₎ _{é uma esfera geodésica em} _Qn+1

c .

No caso em que r = 0, o Teorema 0.2 foi provado por Alencar e Frensel em [4].

Corol´ario 0.2. Sejam Mn _{uma variedade Riemanniana compacta orientada e uma}

imers˜ao isom´etrica x: Mn _→ _Qn+1

c com curvatura Hr+1 constante n˜ao-nula. Se c > 0,

suponha também quex(Mn₎_{está contida em um hemisfério aberto. Então}_W _{é não-vazio,}

se e somente se, x ´e r-est´avel.

Teorema 0.3. Seja x:Mn_→_Qn+1

Rieman-niana Mn _{conexa, compacta e orientada. Seja} _p

0 ∈Qnc+1 relativo ao qual

Hrθc+Hr+1hX, ηi

n˜ao muda de sinal para algum 0≤r ≤n−1. Se c >0, assuma que x(Mn₎ _{est´a contida}

em um hemisf´erio aberto de Qn+1

(14)

Esta disserta¸c˜ao est´a organizada da seguinte forma:

Inicialmente, estenderemos os métodos do Cálculo Diferencial a espa¸cos mais gerais que o Rn_{. Definiremos variedades diferenciáveis e métricas Riemannianas. A partir da´ı,}

discutiremos sobre conexões, operadores diferenciáveis, curvaturas e imersões isométricas. Na segunda parte, estudaremos a r-ésima transforma¸cão de Newton, o operador line-arizado e demonstraremos algumas propriedades destes operadores. Em seguida, demons-traremos o Teorema 0.1 e o Corolário 0.1, obtendo assim fórmulas integrais para a cur-vatura r-média.

(15)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Neste cap´ıtulo, iremos estender os m´etodos do C´alculo Diferencial a espa¸cos mais

gerais que o Rn_{. As demonstra¸c˜oes dos resultados deste cap´ıtulo que foram omitidas}

podem ser encontradas no livro Geometria Riemanniana escrito por Manfredo do Carmo, ver [9]. Ao longo deste trabalho, variedades compactas ser˜ao compactas sem bordo.

1.1 Variedades Diferenci´

aveis e M´

etricas

Riemanni-anas

Nesta se¸cão, apresentaremos a defini¸cão de variedade diferenciável. O conceito será

dado para uma dimensão n qualquer. A palavra diferenciável significará de classe C∞

. Introduziremos em cada ponto de uma variedade diferenci´avel uma maneira de medirmos comprimentos de vetores tangentes que varia diferenciavelmente com o ponto.

Defini¸cão 1.1.1. Umavariedade diferenciável de dimensão né um conjunto M munido de uma fam´ılia de aplica¸cões biun´ıvocas xα :Uα ⊂Rn →M de abertos Uα de Rn em M

que satisfazem as seguintes propriedades:

(a) S_αxα(Uα) =M;

(b) Para todo par α, β tal que xα(Uα)∩xβ(Uβ) = W 6= ∅, os conjuntos x−α1(W) e

x−_β1(W) s˜ao abertos em Rn _{e as aplica¸c˜oes} _x−₁

β (W)◦xα(W) s˜ao diferenci´aveis;

(c) A fam´ılia _{(Uα,xα)}é máxima relativa às condi¸cões (a) e (b).

O par (Uα,xα) (ou a aplica¸cãoxα), comp∈xα(Uα), é denominado umaparametriza¸cão

ousistema de coordenadasdeM em pexα(Uα) ´e chamadavizinhan¸ca coordenadaem p.

Uma fam´ılia _{(Uα,xα)} que satisfaz (a) e (b) ´e denominada uma estrutura diferenci´avel

(16)

Figura 1.1: Representa¸cão geométrica da defini¸cão de variedade

Observa¸c˜ao 1.1.1.O conjuntoζ =_{A_⊂M;x−1

α (A∩xα(Uα)) ´e aberto do Rn para todo α}

define uma topologia em M.

Diremos que M écompacta quando M é um espa¸co topológico compacto.

Defini¸cão 1.1.2. Sejam M e N variedades diferenciáveis. Uma aplica¸cãoϕ :M _→N é

diferenci´avel em p _∈M se dada uma parametriza¸c˜ao y: V _⊂Rm _→_N _em _ϕ₍_p_{), existe}

uma parametriza¸c˜ao x:U ⊂Rn _→_M _em _p _{tal que} _ϕ₍_x₍_U₎₎_⊂_y₍_V_{) e a aplica¸c˜ao}

y−1_◦_ϕ_◦_x_:_U _⊂_Rn_→_Rm _(1.1)

´e diferenci´avel em x−₁

(p). A aplica¸cão ϕ é diferenciável em um aberto de M se é dife-renciável em todos os pontos deste aberto. A aplica¸cão (1.1) é chamada expressão deϕ

nas parametriza¸c˜oes x ey.

(17)

Exemplo 1.1.1. Se x:U ⊂ Rn _→_M _{é uma parametriza¸cão, então} _x−1 _:_x₍_U₎ _→Rn _é

diferenci´avel. De fato, para qualquer parametriza¸c˜ao y:V _⊂Rn _→_M _em _p_{, temos que}

x−1_◦_y _: _y−1₍_W₎ _→ _x−1₍_W_{), onde} _W ₌_x₍_U₎_∩_y₍_V_{), ´e diferenci´avel. Isso mostra que}

U ex(U) são difeomorfos (isto é, toda variedade é localmente difeomorfa aRn_).

Defini¸cão 1.1.3. Seja M uma variedade diferenciável. Uma aplica¸cão α : (₋ǫ, ǫ)_→M

´e denominada umacurva(diferenci´avel) emM. Sejamα(0) =p_∈M e_Do conjunto das

fun¸cões diferenciáveis definidas em M. O vetor tangente à curva α em t = 0 é a fun¸cão

α′

(0) : _{D →}R _{dada por}

α′

(0)f = d(f◦α)

dt

t=0

, f _{∈ D}.

Um vetor tangente em p ´e o vetor em t = 0 de alguma curva α : (−ǫ, ǫ) → M com

α(0) = p. O conjunto dos vetores tangentes a M em p ser´a indicado por TpM. O

conjunto T M =_{(p, v);p _∈ M e v _∈ TpM} é uma variedade diferenciável de dimensão

2n, denominado fibrado tangente.

Proposi¸cão 1.1.1.SejamMn_{, N}m _{variedades diferenciáveis e}_ϕ_:_M _→_N _{uma aplica¸cão}

diferenci´avel. Dadosp_∈M ev _∈TpM, escolha uma curva diferenci´avelα : (−ǫ, ǫ)→M

com α(0) = p e α′

(0) =v e seja β =ϕ◦α. A aplica¸c˜ao dϕp : TpM →Tϕ(p)N dada por

dϕp(v) =β′(0) é uma aplica¸cão linear que não depende da escolha de α.

A aplica¸cão lineardϕp dada na proposi¸cão anterior é denominadadiferencialdeϕ em

p.

Defini¸cão 1.1.4. SejamMm _e_Nn_{variedades diferenciáveis. Uma aplica¸cão diferenciável}

ϕ:M _→N é umaimersãosedϕp :TpM →Tϕ(p)N é injetiva para todo p∈M. Se, além

disso, ϕ ´e um homeomorfismo sobre ϕ(M) ⊂ N, onde ϕ(M) tem a topologia induzida

porN, dizemos queϕé ummergulho. SeM _⊂N e a inclusãoi:M _→N é um mergulho,

dizemos que M ´e uma subvariedadedeN.

Se ϕ : Mm _→ _Nn _{é uma imersão, então} _m _≤ _n_{. A diferen¸ca (}_n ₋_m_{) é chamada}

codimens˜ao da imers˜ao ϕ.

Exemplo 1.1.2. Seja f : R _→ R2 _{dada por} _f₍_t_{) = (cos}_t, _sen_t_{). A aplica¸c˜ao} _f _´e

uma imersão diferenciável tal que f : R _→ _f₍R_{) =} S1_{. Assim,} _S1 _{é uma subvariedade}

diferenci´avel doR2_.

Defini¸cão 1.1.5.Dizemos que uma variedade diferenciávelM éorientávelse admite uma estrutura diferenciável {(Uα,xα)} tal que, para todo par α, β com xα(Uα)∩xβ(Uβ) =

W ₆=_∅, a matriz da diferencial da mudan¸ca de coordenadas x−1

α ◦xβ tem determinante

positivo. Caso contrário, dizemos que M é não-orientável. Se M é orientável, a escolha da parametriza¸cão que satisfa¸ca essa defini¸cão é denominada orienta¸cão de M e, neste caso, dizemos que M é orientada.

Defini¸cão 1.1.6. Um campo de vetores X em uma variedade diferenciável M é uma

(18)

`

As vezes ´e conveniente pensar em campos de vetores como uma aplica¸c˜aoX :D →F

do conjunto_Ddas fun¸cões diferenciáveis emM no conjuntoF das fun¸cões emM, definida do seguinte modo

(Xf)(p) = X

i

ai(p)

∂f ∂xi

(p),

onde f indica a expressão de f na parametriza¸cão x. Neste contexto, dizemos que X é

diferenci´avel se, e somente se, Xf _{∈ D} para todo f _{∈ D}.

A interpreta¸c˜ao deX como um operador emD permite considerarmos os iterados de

X. O problema ´e que, na maioria das vezes, XY eY X de campos de vetores X e Y em

M n˜ao s˜ao campos de vetores. Entretanto, podemos afirmar o seguinte resultado:

Lema 1.1.1. Sejam X e Y campos diferenci´aveis de vetores em uma variedade

dife-renciável M. Então, existe um único campo de vetores Z tal que

Zf = (XY −Y X)f, ∀f ∈ D.

O campo de vetores Z = XY ₋Y X ´e denominado colchete de X e Y, o qual ser´a

denotado por [X, Y].

Defini¸c˜ao 1.1.7. Uma m´etrica Riemanniana (ou estrutura Riemanniana) em uma

va-riedade diferenciável M é uma correspondência que associa a cada ponto p de M um

produto interno_h , _i_p (isto ´e, uma forma bilinear sim´etrica e positiva definida) no espa¸co

tangente TpM, que varia diferenciavelmente no seguinte sentido: se x : U ⊂ Rn → M

´e um sistema de coordenadas locais em torno de p, com x(x1, x2, ..., xn) = q ∈ x(U)

e ∂

∂xi

(q) = dx(0, ...,1, ...,0), ent˜ao

∂ ∂xi

(q), ∂ ∂xj

(q)

q

= gij(x1, ..., xn) ´e uma fun¸c˜ao

diferenci´avel em U.

As fun¸cões gij(= gji) são chamadas expressão da métrica Riemanniana (ou os gij da

m´etrica) no sitema de coordenadas x:U _⊂Rn_→_M_.

A defini¸cão de métrica Riemanniana não depende da escolha do sistema de coorde-nadas.

Defini¸cão 1.1.8. Uma variedade diferenciável munida de uma métrica Riemanniana é

denominada uma variedade Riemanniana.

Defini¸c˜ao 1.1.9. Consideremos M e N variedades Riemannianas. Um difeomorfismo

f : M → N (isto é, f é uma bije¸cão diferenciável com inversa diferenciável) é chamado

uma isometriase

hu, vip =hdfp(u), dfp(v)i_f₍_p₎, ∀p∈M, ∀u, v ∈TpM. (1.2)

Defini¸cão 1.1.10. SejamM eN variedades Riemannianas. Uma aplica¸cão diferenciável

f : M → N ´e uma isometria local em p ∈ M, se existe uma vizinhan¸ca U ⊂ M de p

tal que f :U → f(U) ´e um difeomorfismo satisfazendo (1.2). Dizemos que a variedade

Riemanniana M é localmente isométrica à variedade N se para todo p em M existem

(19)

Exemplo 1.1.3. (Variedades Imersas) Seja f : Mn _→ _Nn+k _{uma imers˜ao. Se} _N

pos-sui uma estrutura Riemanniana, f induz uma estrutura Riemanniana em M dada por

hu, v_i_p =_hdfp(u), dfp(v)i_f₍_p₎, u, v ∈TpM. A métrica deM é chamada amétrica induzida

por f e dizemos que f é uma imersão isométrica.

1.2 Conex˜

oes Afins e Conex˜

ao Riemanniana

Nosso interesse em conex˜oes afins reside no fato que a escolha de uma m´etrica

Rie-manniana em uma variedade M determina univocamente uma certa conex˜ao afim deM.

Podemos, deste modo, derivar de uma certa forma campos de vetores emM. Indicaremos

porX₍_M_{) o conjunto dos campos de vetores diferenci´aveis em}_M _{e por} _D₍_M_{) o anel das}

fun¸c˜oes reais diferenci´aveis definidas em M.

Defini¸cão 1.2.1.Umaconexão afim∇em uma variedade diferenciávelMé uma aplica¸cão

∇ : X₍_M₎_×X₍_M₎ _−→ X₍_M₎

(X, Y) −→ ∇XY

que satisfaz as seguintes propriedades:

(a) ∇f X+gYZ =f∇XZ +g∇YZ;

(b) _∇X(Y +Z) =∇XY +∇XZ;

(c) ∇X(f Y) = f∇XY +X(f)Y,

onde X, Y, Z _∈X₍_M_{) e} _{f, g}_{∈ D}₍_M_).

Proposi¸cão 1.2.1. Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão afim ∇.

Então existe uma única correspondência que associa a um campo vetorial V ao longo

da curva diferenci´avel c :I → M um outro campo vetorial DV

dt ao longo de c,

denomi-nado derivada covariante de V ao longo de c, tal que

(a) D

dt(V +W) = DV

dt + DW

dt ;

(b) D

dt(f V) = df dtV +f

DV dt ;

(c) Se V é um campo vetorial induzido de Y _∈X₍_M₎_{, isto é,} _V₍_t_{) =}_Y₍_c₍_t₎₎_{, então}

DV

dt =∇dcdtY,

onde V, W são campos vetoriais ao longo de c e f : I _→ R _{é uma fun¸cão}

dife-renci´avel.

Defini¸cão 1.2.2. Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão afim ∇. Um

campo vetorial V ao longo de uma curva c : I → M ´e paralelo quando DV

dt = 0 para

(20)

Defini¸cão 1.2.3. Sejam M uma variedade diferenciável com uma conexão afim e h , i

uma métrica Riemanniana. A conexão _∇ é dita compat´ıvel com a métrica _h , _i quando

para toda curva diferenci´avel ce quaisquer pares de campos de vetores paralelos P e P′

ao longo de c, tivermos hP, P′

i=k, onde k ´e uma constante.

Proposi¸cão 1.2.2. Seja M uma variedade Riemanniana. Uma conexão _∇ em M é

compat´ıvel com a m´etrica se, e somente se, para todo par V, W de campos de vetores ao

longo da curva diferenci´avel c:I _→M, tem-se

d

dthV, Wi=

DV dt , W

+

V,DW

dt

, t_∈I. (1.3)

Corolário 1.2.1. Uma conexão _∇em uma variedade Riemanniana M é compat´ıvel com a métrica se, e somente se,

XhY, Zi=h∇XY, Zi+hY,∇XZi, X, Y, Z ∈X(M).

Defini¸cão 1.2.4.Uma conexão afim∇em uma variedade diferenciávelM é ditasimétrica

quando

∇XY − ∇YX = [X, Y] para todo X, Y ∈X(M).

Teorema 1.2.1 (Levi-Civita). Dada uma variedade Riemanniana M, existe uma ´unica

conexão afim ∇ em M simétrica e compat´ıvel com a métrica Riemanniana.

Tal conexão é denominada conexão de Levi-Civita (ou Riemanniana) de M.

Defini¸cão 1.2.5. Uma curva parametrizada γ : I _→ M é uma geodésica em t0 ∈ I se

D dt

dγ

dt

= 0 no ponto t0; se γ é geodésica em t, para todo t∈I, dizemos que γ é uma

geod´esica.

Exemplo 1.2.1. Podemos mostrar que qualquer geodésica do parabolóide de revolu¸cão que não é meridiano se auto-intersecta uma infinidade de vezes.

(21)

O pr´oximo resultado permite introduzirmos o conceito de aplica¸c˜ao exponencial.

Proposi¸cão 1.2.3. Dado p _∈ M, existem uma vizinhan¸ca V de p em M, um número ǫ >0 e uma aplica¸cão diferenciável,

γ : (−2,2)× U →M,

onde _U = _{(p, w) _∈T M;p_∈ V, w _∈TpM,|w|< ǫ}, tal que t → γ(t, p, w), t ∈ (−2,2), ´e

a ´unica geod´esica de M que no instante t = 0 passa por p com velocidade w, para cada

p∈V e cada w∈TpM, |w|< ǫ.

Sejam p _∈ M e _{U ⊂} T M um aberto dado pela Proposi¸cão 1.2.3. Então a aplica¸cão

exp :U →M, dada por

exp(p, v) = γ(1, p, v) = γ

|v|, p, v

|v_|

, (p, v)∈ U,

´e chamada aaplica¸c˜ao exponencial em U.

A aplica¸cão exponencial é diferenciável e usaremos a restri¸cão da exp a um aberto do espa¸co tangenteTpM, isto é, definiremos

expp :Bǫ(0)⊂TpM →M

por exp_p(v) = exp(p, v). De agora em diante, indicaremos por Bǫ(0) uma bola aberta

de centro na origem 0 de TpM e de raio ǫ. Al´em da expp ser diferenci´avel, temos que

expp(0) =p.

Geometricamente, exp_p(v) ´e o ponto deM obtido percorrendo um comprimento igual

a _|v_|, a partir dep, sobre a geod´esica que passa porp com velocidade igual a v

|v_|.

(22)

Proposi¸c˜ao 1.2.4. Dado p∈ M, existe um ǫ >0 tal que expp : Bǫ(0) ⊂ TpM → M ´e

um difeomorfismo da bola Bǫ(0) de centro na origem de TpM e raio ǫ sobre um aberto

de M.

Exemplo 1.2.2. Se M = Rn_{, a deriva¸c˜ao covariante coincide com a usual. Assim,}

as geodésicas são retas parametrizadas proporcionalmente ao comprimento de arco e a exponencial é a identidade.

Lema 1.2.1 (de Gauss). Sejam p _∈ M e v _∈ TpM tal que exppv esteja definida. Seja

w∈TpM ≈Tv(TpM). Ent˜ao

(dexp_p)v(v),(dexpp)v(w)=hv, wi.

Seja V ⊆ TpM uma vizinhan¸ca da origem tal que expp|V ´e um difeomorfismo. O

conjunto U = exp_p(V) é denominadovizinhan¸ca normal (ou geodésica) de p. SeBǫ(0) é

a bola de centro na origem de TpM e raio ǫ, ent˜ao Bǫ(p) = expp(Bǫ(0)) ´e denominado

bola normal (ou geod´esica) de centro p e raio ǫ.

Figura 1.5: Bolas geod´esicas

Observa¸cão 1.2.1. Decorre, usando o Lema de Gauss, que a fronteira de uma bola normal Sǫ(p) = expp(∂Bǫ(0)) é uma hipersuperf´ıcie (subvariedade de codimensão 1) em

M ortogonal as geod´esicas que partem de p, a qual denominamos esfera normal (ou

geod´esica) de centro p e raioǫ.

Defini¸cão 1.2.6. Uma variedade Riemanniana M é (geodesicamente) completa se para todop∈M, a aplica¸cão exponencial expp está definida para todo v ∈TpM, isto é, se as

geod´esicas γ(t) que partem de p est˜ao definidas para todot _∈R_.

Defini¸c˜ao 1.2.7. Dizemos que um conjunto _{X1, ..., Xn} de campos de vetores ´e um

referencial quando todo X ∈ X₍_M_{) pode ser escrito como} _X ₌ X

i

aiXi. O referencial

´e dito ortonormal quando _hXi(p), Xj(p)i = δij, para todo i, j = 1, ..., n e p ∈ M. Um

referencial geod´esico em p _∈ M ´e o campo de vetores ortonormais _{e1, ..., en} ∈ X(M)

(23)

1.3 Operadores Diferenci´

aveis

Nesta se¸c˜ao, definiremos operadores importantes num contexto de variedades.

Apre-sentaremos tamb´em algumas propriedades desses operadores. Ao longo desta se¸c˜ao, M

ser´a uma variedade Riemanniana.

Defini¸c˜ao 1.3.1. Seja f _{∈ D}(M). Definimos o gradientedef como o campo de vetores grad_Mf tal que

hgradMf(p), vi=dfp(v), p∈M, v∈TpM.

Resulta da defini¸c˜ao, que para todo X _∈X₍_M_{), grad}

Mf ∈X(M) ´e o ´unico campo de

vetores tangentes e diferenci´aveis sobre M caracterizado por

hgrad_Mf, X_i=X(f).

Proposi¸c˜ao 1.3.1. O gradiente satisfaz `as seguintes propriedades:

(a) grad_M(f +g) = grad_Mf + grad_Mg;

(b) gradM(f g) =fgradMg+ggradMf;

(c) grad_M(fq_{) =}_qfq−1_grad

Mf;

(d) Se {e1, ..., en} ´e um referencial ortonormal em M, ent˜ao

gradMf = n

X

i=1

ei(f)ei

para quaisquer f, g ∈ D(M) e todo inteiro positivo q. Aqui denotamos fq ₌ _{f f...f}_,

q-vezes.

Demonstra¸c˜ao. Consideremosf, g _{∈ D}(M) e X _∈X₍_M_).

(a) _hgrad_M(f +g), X_i = X(f+g) =X(f) +X(g) =_hgrad_Mf, X_i+_hgrad_Mg, X_i

= _hgrad_Mf + grad_Mg, X_i.

(b) hgrad_M(f g), Xi = X(f g) =f X(g) +gX(f) =fhgrad_Mg, Xi+ghgrad_Mf, Xi = hfgradMg+ggradMf, Xi.

(c) Demonstraremos a afirma¸cão usando o processo de indu¸cão finita. Se q = 1, não há nada a fazer. Se q = 2, usando o item (b), a equa¸cão deste item é satisfeita.

Agora, suponhamos que nossa igualdade vale para q₋1, isto ´e,

grad_M(fq−1_{) = (}_q

−1)fq−2_grad

Mf.

Usando o item (b) e a igualdade anterior, temos

grad_M(fq_{) = grad} M(f fq

−1_{) =} _f_grad

Mfq

−1₊_fq−1_grad

Mf

= f(q−1)fq−₂

gradMf +fq

−₁

gradMf

= qfq−1_grad

(24)

(d) Seja _{e1, ..., en} uma base ortonormal de TpM. Ent˜ao gradMf = n

X

i=1

aiei, onde

ai =hgradMf, eii. Por outro lado, usando a Defini¸c˜ao 1.3.1,

hgrad_Mf, eii=df(ei) =ei(f),

o que conclui nossa demonstra¸c˜ao.

Defini¸cão 1.3.2. Definimos o tra¸co de um operador T : V → V, onde V é um espa¸co vetorial de dimensão finita com produto interno, como sendo o tra¸co de qualquer matriz associada aT.

Note que se _{e1, ..., en} ´e uma base ortonormal deV, ent˜ao

T(v) =

n

X

i=1

hT(v), eiiei.

Como as colunas da matriz de T na base {e1, ..., en}s˜ao vetores T(ei), podemos escrever

a matriz do operador T na base{e1, ..., en}como

(_hT(ei), eji)n×n

e, portanto,

trT =

n

X

i=1

hT(ei), eii.

Defini¸cão 1.3.3. Seja X _∈ X₍_M_{). Definimos a} _{divergência} _{como a fun¸cão div}_M_X _:

M →R _{dada por}

divMX(p) = tr (Y(p)→ ∇YX(p)), p∈M.

Se {e1, ..., en}´e uma base ortonormal de TpM, ent˜ao

divMX =

n

X

i=1

h∇eiX, eii.

Proposi¸cão 1.3.2. A divergência satisfaz às seguintes igualdades:

(a) divM(X+Y) = divMX+ divMY;

(b) divM(f X) = X(f) +fdivMX =hgradMf, Xi+fdivMX

para quaisquer X, Y ∈X₍_M₎ _e _f _{∈ D}₍_M₎_;

(c) Se _{e1, ..., en} é um referencial geodésico, então

divMX=

n

X

i=1

ei(fi),

onde X =X

i

(25)

Demonstra¸c˜ao. ConsideremosX, Y ∈X₍_M_{) e} _f _{∈ D}₍_M_).

(a) divM(X+Y) = n

X

i=1

h∇ei(X+Y), eii=

n

X

i=1

h∇eiX, eii+h∇eiY, eii

= divMX+ divMY.

(b) divM(f X) = n

X

i=1

h∇ei(f X), eii=

n

X

i=1

hf_∇eiX+ei(f)X, eii

= f

n

X

i=1

h∇eiX, eii+

n

X

i=1

hei(f)X, eii=fdivMX+

* X,

n

X

i=1

ei(f)ei

+

= fdivMX+hX,gradMfi=fdivMX+X(f).

(c) Seja X =

n

X

j=1

fjej, onde {e1, ..., en}é um referencial geodésico. Então

divMX = divM

n

X

j=1

fjej

! = n X i=1 *

∇ei

n

X

j=1

fjej

! , ei

+ = n X i=1 * _n X j=1

fj∇eiej, ei

+ + n X i=1 * ei n X j=1 fj ! ej, ei

+ .

Como o referencial ´e geod´esico, obtemos

divMX =

n

X

i=1

ei(fi).

Defini¸c˜ao 1.3.4. Sejaf _{∈ D}(M). Definimos a Hessianade f por

Hessf : X₍_M₎_×X₍_M₎ _−→ _C∞

(M)

(X, Y) _{−→ h∇}X(gradMf), Yi.

Proposi¸c˜ao 1.3.3. A Hessiana satisfaz `as seguintes propriedades:

(a) Hessf(X+Y, Z) = Hessf(X, Z) + Hessf(Y, Z);

(b) Hess(f+g)(X, Y) = Hessf(X, Y) + Hess g(X, Y);

(c) Hess(f g)(X, Y) =fHessg +gHessf +_hX(f)grad_Mg, Y_i+_hX(g)grad_Mf, Y_i;

(d) Hess(fq₎₍_{X, Y}_{) =}_q_[_fq−1_Hess_f₍_{X, Y}_{) +}_h_X₍_fq−1_)grad

Mf, Yi];

(e) Hessf(X, Y) = Hessf(Y, X)

(26)

Demonstra¸c˜ao. Sejam X, Y, Z ∈X₍_M_{) e} _{f, g} _{∈ D}₍_M_).

(a) Hessf(X+Y, Z) = _h∇X+Y(gradMf), Zi

= _h∇X(gradMf), Zi+h∇Y(gradMf), Zi

= Hessf(X, Z) + Hessf(Y, Z).

(b) Hess(f +g)(X, Y) = h∇X(gradM(f +g)), Yi

= _h∇X(gradMf), Yi+h∇X(gradMg)), Yi

= Hessf(X, Y) + Hess g(X, Y).

(c) Hess(f g)(X, Y) = _h∇XgradM(f g), Yi=h∇X(fgradMg+ggradMf), Yi

= _h∇X(fgradMg), Yi+h∇X(ggradMf), Yi

= hf∇XgradMg+X(f)gradMg, Yi

+_hg_∇XgradMf+X(g)gradMf, Yi

= hf∇XgradMg, Yi+hX(f)gradMg, Yi

+_hg_∇XgradMf, Yi+hX(g)gradMf, Yi

= fHessg+gHessf+hX(f)grad_Mg, Yi+hX(g)grad_Mf, Yi.

(d) Hess(fq₎₍_{X, Y}_{) =} _h∇

XgradM(fq), Yi=h∇X(qfq−1gradMf), Yi

= q_h∇X(fq−1gradMf), Yi

= q[_hfq−1_∇

XgradMf, Yi+hX(fq

−1_)grad

Mf, Yi]

= q[fq−₁

Hessf(X, Y) +hX(fq−₁

)gradMf, Yi].

(e) Temos que

X_hgrad_Mf, Y_i=_h∇X(gradMf), Yi+hgradMf,∇XYi.

Usando as defini¸c˜oes de gradiente e Hessiana, obtemos

XY f = Hessf(X, Y) + (∇XY)f,

ou seja,

(27)

Logo

Hessf(X, Y)−Hessf(Y, X) = XY f −(∇XY)f−(Y Xf −(∇YX)f)

= (XY f)₋(Y Xf)₋(_∇XY − ∇YX)f

= [X, Y]f−[X, Y]f = 0.

Defini¸c˜ao 1.3.5. Sejaf _{∈ D}(M). Definimos o Laplacianode f em M por

∆f = divM(gradMf).

Observe que se _{e1, ..., en} ´e um referencial ortonormal, ent˜ao

∆f = divM(gradMf) = tr (X 7→ ∇X(gradMf)) = n

X

i=1

h∇ei(gradMf), eii= tr(Hessf).

O próximo resultado será útil para cálculos posteriores.

Teorema 1.3.1 (Teorema da Divergˆencia). SejamM uma variedade Riemanniana

com-pacta e X um campo de vetores definido em M. Ent˜ao

Z

M

divMXdM = 0.

1.4 Curvaturas

Apresentaremos uma defini¸c˜ao de curvatura que, intuitivamente, mede o quanto uma variedade Riemmaniana deixa de ser Euclidiana.

Defini¸cão 1.4.1. A curvatura R de uma variedade Riemmaniana M é uma corres-pondência que associa a cada parX, Y _∈X₍_M_{) uma aplica¸cão}_R₍_{X, Y}_{) :}X₍_M₎_→X₍_M₎

dada por

R(X, Y)Z =∇Y∇XZ− ∇X∇YZ+∇[X,Y]Z, Z ∈X(M),

onde _∇´e a conex˜ao Riemanniana de M.

O aparecimento do termo ∇[X,Y]Z na defini¸c˜ao de curvatura est´a ligado ao fato de

desejarmos que a aplica¸c˜ao R(X, Y) :X₍_M₎_→X₍_M_{) seja linear.}

De agora em diante, usaremos a nota¸c˜ao

hR(X, Y)Z, Ti= (X, Y, Z, T).

(28)

Proposi¸c˜ao 1.4.1. Sejam σ ⊂ TpM um subespa¸co bidimensional do espa¸co tangente

TpM e x, y ∈σ dois vetores linearmente independentes. Ent˜ao

K(x, y) = (x, y, x, y)

|x_∧y_|2

n˜ao depende da escolha dos vetoresx, y ∈σ. Aqui|x∧y|=

q

|x|2_|_y_|2_{− h}_{x, y}_i2 _representa

a ´area do paralelogramo bidimensional determinado pelo par de vetores x, y _∈V, onde V

´e um espa¸co vetorial.

O n´umero realK(x, y) =K(σ) ´e chamado curvatura seccional deσ em p.

Defini¸c˜ao 1.4.2.As variedades completas com curvatura seccional constante s˜ao chamadas

formas espaciais.

Entres as variedades Riemannianas, aquelas de curvatura seccional constante s˜ao as

mais simples. Al´em disso, o teorema a seguir mostra que as variedades Rn_,Sn _e Hn

s˜ao as ´unicas variedades Riemannianas completas, simplesmente conexas com curvatura

seccional constante.

Teorema 1.4.1. SejaMn_{uma variedade Riemanniana completa e de curvatura seccional}

constante K. Ent˜ao, o recobrimento universal Mfde M, com a m´etrica do recobrimento,

´e isom´etrico a:

(a) Hn_{, se} _K ₌₋₁_;

(b) Rn_{, se} _K _{= 0}_;

(c) Sn_{, se} _K _{= 1}_.

1.5 Imers˜

oes Isom´

etricas

Nesta se¸cão, consideraremos a seguinte situa¸cão. Seja f : M → M uma imersão de

uma variedade diferenci´avel M de dimens˜ao n em uma variedade Riemanniana M de

dimens˜ao igual ak =n+m. Estudaremos as rela¸c˜oes entre as geometrias de M e deM.

Seja f : Mn _→ _Mn+m=k _{uma imers˜ao. Pela forma local das imers˜oes, para cada}

p _∈ M, existe uma vizinhan¸ca U _⊂ M de p tal que f(U) _⊂ M ´e uma subvariedade de

M. Em outras palavras, existem uma vizinhan¸ca U _⊂ M de f(p) e um difeomorfismo

ϕ:U →V ⊂Rk_.

Identificaremos U com f(U) e cada vetorv _∈TqM, q∈U, comdfq(v)∈Tf(q)M. Para

cada p_∈M, o produto interno emTpM decomp˜oe TpM na soma direta

TpM =TpM ⊕(TpM)⊥,

ondeTpM =dfp(TpM) e (TpM)⊥= (dfp(TpM))⊥ ´e o complemento ortogonal deTpM em

TpM. Portanto, cada vetor v ∈TpM pode ser decomposto de modo ´unico como

v =vT +vN,

onde vT _∈_T

(29)

Denominamos vT _a_{componente tangencial} _de_v _e_vN _a_{componente normal} _de_v_{. Tal}

decomposi¸cão é diferenciável no sentido que as aplica¸cões de T M em T M dadas por

(p, v)_→(p, vT) e (p, v)_→(p, vN)

s˜ao diferenci´aveis.

Sejam _∇a conex˜ao Riemanniana de M,X, Y campos locais de vetores em M eX, Y

extens˜oes locais a M. Definimos

∇XY = (∇XY)T.

SejaX₍_U₎⊥

o conjunto dos campos de vetores emU normais af(U)_≈U. A aplica¸c˜ao

B :X₍_U₎_×X₍_U₎⊥ _{dada por}

B(X, Y) = _∇_XY _{− ∇}XY

´e um campo local em M normal a M.

A aplica¸cão B não depende das extensões X, Y.

Proposi¸cão 1.5.1. A aplica¸cão B é bilinear e simétrica.

Demonstra¸c˜ao. Dados g ∈ D(U) e X, Y, Z ∈X₍_U_{), sejam} _{g, X, Y , Z} _{suas respectivas}

extens˜oes locais a M. Temos que

B(X, Y) = _∇_XY _{− ∇}XY

= _∇_XY _{− ∇}_YX+_∇_YX_{− ∇}YX−(∇XY − ∇YX)

= [X, Y] +B(Y, X)−[X, Y].

Como [X, Y] = [X, Y] em M,

B(X, Y) = B(Y, X),

ou seja, B é simétrica. Além disso,

B(gX, Y) =_∇_gXY _{− ∇}gXY =g∇XY −g∇XY =gB(X, Y).

Usando a simetria deB,

B(X, gY) =B(gY, X) = gB(Y, X) =gB(X, Y).

Temos tamb´em que

B(X+Y, Z) = _∇_X₊_YZ_{− ∇}X+YZ

= ∇XZ+∇XZ+∇YZ− ∇YZ

= B(X, Z) +B(Y, Z)

e como B ´e sim´etrica, obtemos

B(X, Y +Z) =B(X, Y) +B(X, Z).

Portanto, B ´e bilinear.

(30)

Agora, podemos definir a segunda forma fundamental. Sejam p∈M e η ∈ (TpM)⊥.

Usando a Proposi¸c˜ao 1.5.1, a aplica¸c˜ao Hη :TpM ×TpM →R dada por

Hη(x, y) = hB(x, y), ηi, x, y ∈TpM

´e uma forma bilinear sim´etrica.

Defini¸c˜ao 1.5.1. A forma quadr´aticaIIη definida emTpM por

IIη(x) = Hη(x, x)

´e denominada a segunda forma fundamental def em p segundo o vetor normalη.

Como a aplica¸cão Hη é bilinear simétrica, existe uma única aplica¸cão auto-adjunta

Sη :TpM →TpM associada aHη tal que

hSη(x), yi=Hη(x, y) =hB(x, y), ηi.

A aplica¸c˜ao Sη ´e denominadaoperador de Weingarten def.

Proposi¸c˜ao 1.5.2. Sejam p∈ M, x ∈TpM e η ∈ (TpM)⊥. Seja N uma extens˜ao local

de η normal a M. Ent˜ao

Sη(x) = −(∇xN)T.

Exemplo 1.5.1. No caso particular em que a codimensão da imersão é 1, ou seja,

f :Mn _→_Mn+1_, _f₍_M₎_⊂_M _{´e denominada uma} _{hipersuperf´ıcie}_.

Neste caso, sejam p _∈ M e η _∈ (TpM)⊥ com |η| = 1. Como Sη : TpM → TpM

´e sim´etrica, existe uma base ortonormal de autovetores {e1, ..., en} de TpM associada a

autovalores reaisλ1, ..., λn, isto ´e,Sη(ei) =λiei,1≤i≤n. SeM eM est˜ao previamente

orientadas, então η está determinado de modo único se exigirmos que _{e1, ..., en} esteja

na orienta¸c˜ao de M. Deste modo, denominamos os ei dire¸c˜oes principais e os λi = ki

curvaturas principaisdef. As fun¸cões simétricas deλ1, ..., λnsão invariantes da imersão.

Por exemplo, det(Sη) = λ1...λn ´e denominada a curvatura de Gauss-Kronecker de f e

1

n(λ1+...+λn) ´e denominada curvatura m´ediade f.

Defini¸cão 1.5.2. Uma imersão f : M _→ M é geodésica em p _∈ M se, para todo

η∈(TpM)⊥, a segunda forma fundamentalIIη ´e identicamente nula em p. A imers˜ao f

étotalmente geodésicase ela é geodésica para todo p_∈M.

Proposi¸cão 1.5.3. Uma imersão f :M _→M é geodésica em p_∈M se, e somente se,

toda geodésica γ de M partindo de p é geodésica de M em p.

Vimos que a componente tangente de_∇Xη´e dada por (∇Xη)T =−Sη(X).

Estudare-mos agora a componente normal de _∇Xη, a qual denominamos a conex˜ao normal ∇⊥Xη

da imers˜ao, isto ´e,

∇⊥

(31)

Denotando por X₍_M₎⊥ _{o espa¸co dos campos diferenci´aveis de vetores normais a} _M_,

podemos considerar a segunda forma fundamental com um tensor B : X₍_M₎_×X₍_M₎_×

X₍_M₎⊥

→ D(M), definido por

B(X, Y, η) = hB(X, Y), ηi.

Podemos estender a defini¸c˜ao de derivada covariante a este tipo de tensor de maneira natural

(∇XB)(Y, Z, η) =X(B(Y, Z, η))−B(∇XY, Z, η)−B(Y,∇XZ, η)−B(Y, Z,∇

⊥

Xη).

Proposi¸cão 1.5.4 (Equa¸cão de Codazzi). Com a nota¸cão anterior, temos

R(X, Y)Z, η= (∇YB)(X, Z, η)−(∇XB)(Y, Z, η).

Corol´ario 1.5.1. Se o espa¸co ambiente M tem curvatura seccional constante, a equa¸c˜ao de Codazzi se reduz a

(32)

Cap´ıtulo 2

F´

ormulas Integrais para a Curvatura

r-M´

edia

Neste cap´ıtulo, definiremos a r-´esima transforma¸c˜ao de Newton, o operador

lineariza-do Lr e demonstraremos algumas propriedades desses operadores. Al´em disso, ser˜ao

obtidas f´ormulas integrais envolvendo a curvatura r-m´edia.

2.1 A r-´

esima Transforma¸c˜

ao de Newton

P

r

Seja x : Mn _→ _Nn+1 _{uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade Riemanniana} _Mn

na variedade RiemannianaNn+1 _{com segunda forma fundamental} _B_{. Sejam}_λ

1, ..., λn os

autovalores de B associados aos vetores e1, ...en. As fun¸c˜oes sim´etricas elementares Sr

associadas a B s˜ao definidas por

Sr=

X

i1<...<ir

λi1...λir

e a curvatura r-m´edia ´e definida por

Hr =

1

nr

Sr,

onde nr =

n r

.

Consideremos S0 =H0 = 1 e Sr =Hr = 0 se r /∈ {0,1, ..., n}. As fun¸c˜oes S1, S2 e Sn

s˜ao conhecidas como curvatura m´edia,escalar e de Gauss-Kronecker, respectivamente.

Defini¸cão 2.1.1. A r-ésima transforma¸cão de Newton Pr : TpM → TpM é definida,

indutivamente, por

(33)

Se λ1, ..., λn s˜ao autovalores de B, ent˜ao denotamos

Sr(Bj) = Sr(λ1, ..., λj−1, λj+1, ..., λn)

a r-fun¸cão elementar simétrica associada a restri¸cãoBj de B ao subespa¸co ortogonal ao

autovetor correspondente ej.

Finalizaremos esta se¸c˜ao demonstrando algumas propriedades envolvendo o operador

Pr.

Proposi¸cão 2.1.1. A r-ésima transforma¸cão de Newton Pr e a segunda forma

funda-mental B comutam.

Demonstra¸cão. Faremos a demonstra¸cão por indu¸cão. O resultado é válido para P0.

Suponhamos que BPr−1 =Pr−1B. Assim

BPr = B(SrI−BPr−1) =B(SrI−Pr−1B) =SrB−BPr−1B

= (SrI−BPr−1)B =PrB.

Proposi¸cão 2.1.2. A r-ésima transforma¸cão de Newton Pr é auto-adjunta.

Demonstra¸cão. A demonstra¸cão será feita por indu¸cão. O resultado é válido para

P0 =I. Suponhamos que Pr−1 ´e auto-adjunta e sejam X, Y ∈X(M). Ent˜ao

hPr(X), Yi=h(SrI−BPr−1)X, Yi=hSrX, Yi − hBPr−1(X), Yi.

Como B ´e uma forma bilinear, temos

hPr(X), Yi = hX, SrYi − hPr−1(X), B(Y)i=hX, SrYi − hX, Pr−1(B(Y))i

= hX,(SrI−Pr−1B)Yi=hX, Pr(Y)i.

Proposi¸c˜ao 2.1.3. Sejam λi, i= 1, ..., n, os autovalores da segunda forma fundamental

B. Fixemos λi, logo

Sr(Bi) =Sr−λiSr−1(Bi).

Demonstra¸c˜ao. Podemos dividir a soma Sr em duas parcelas, uma onde λi aparece

e outra onde λi n˜ao aparece. Assim, Sr = A+λiC. A primeira parcela ´e exatamente

Sr(Bi) e C ´e a soma cujas parcelas s˜ao somas de todos produtos de (r−1) curvaturas

principais, exceto λi, ou seja, ´e Sr−1(Bi). Logo

Sr =Sr(Bi) +λiSr−1(Bi).

Nosso pr´oximo resultado apresenta alguns resultados cl´assicos sobre os autovalores de

Pr. A demonstra¸c˜ao destes resultados podem ser encontrados, por exemplo, em [5], p.

(34)

Proposi¸c˜ao 2.1.4. Para cada 1≤r ≤n−1, temos

(a) Pr(ei) = Sr(Bi)ei para cada 1≤i≤n;

(b) tr(Pr) = n

X

i=1

Sr(Bi) = (n−r)Sr;

(c) tr(BPr) = n

X

i=1

λiSr(Bi) = (r+ 1)Sr+1;

(d) tr(B2_P

r) = n

X

i=1

λi2Sr(Bi) =S1Sr+1−(r+ 2)Sr+2.

Demonstra¸c˜ao.

(a) Demonstraremos por indu¸c˜ao, usando a identidade Sr+1(Bi) = Sr+1 − λiSr(Bi).

Suponhamos que nossa igualdade vale parar, isto ´e,Pr(ei) = Sr(Bi)ei. Mostraremos que

tamb´em vale parar+ 1. De fato,

Pr+1(ei) = Sr+1ei−BPr(ei) =Sr+1ei−B(Sr(Bi)ei) = Sr+1ei−Sr(Bi)B(ei)

= Sr+1ei−Sr(Bi)λiei = (Sr+1−λiSr(Bi))ei =Sr(Bi)ei.

(b) Observemos que

tr(Pr) = n

X

i=1

hPr(ei), eii=

n

X

i=1

hSr(Bi)ei, eii=

n

X

i=1

Sr(Bi).

A fim de demonstrarmos a segunda igualdade, consideremos Sr eSr(Bi) polinˆomios

ho-mogêneos nas variáveisλi’s. Cada monômioλj1λj2...λjr deSrtambém é um monômio de

Sr(Bi) para i /∈ {j1, j2, ..., jr}. Como temos exatamente (n−r) termos, conclu´ımos este

item.

(c) Temos que

tr(BPr) = n

X

i=1

hBPr(ei), eii=

n

X

i=1

hPr(ei), B(ei)i=

n

X

i=1

hSr(Bi)ei, λieii=

n

X

i=1

λiSr(Bi).

Por outro lado,

tr(Pr+1) = tr(Sr+1I−BPr) = tr(Sr+1I)−tr(BPr),

isto ´e,

tr(BPr) = nSr+1−tr(Pr+1).

Logo, usando o item (b), obtemos

(35)

(d) Temos que

tr(B2Pr) = n

X

i=1

B2Pr(ei), ei = n

X

i=1

Pr(ei), B2(ei)= n

X

i=1

Sr(Bi)ei, λ2iei= n

X

i=1

λ2_iSr(Bi).

Al´em disso,

tr(BPr+1) = tr(B(Sr+1I−B2Pr)) = tr(Sr+1BI)−tr(B2Pr),

ou seja,

tr(B2Pr) =S1Sr+1−tr(BPr+1).

Portanto, usando o item (c), obtemos

tr(B2Pr) =S1Sr+1−(r+ 2)Sr+2.

2.2 Operador Linearizado

L

r

Nesta se¸c˜ao, apresentaremos o operadorLr, essencial no nosso trabalho. Em seguida,

veremos alguns resultados gerais sobre este operador.

Associado a cada transforma¸c˜ao de Newton Pr, temos um operador diferencial de

segunda ordem Lr :C∞(Mn;R)→R, definido por

Lrf = tr(Pr(Hessf)),

onde Hessf ´e a matriz Hessiana da fun¸c˜aof.

Se _{e1, ..., en}´e uma base ortonormal de Mn, ent˜ao Lr pode ser escrito como

Lrf = n

X

i=1

h∇ei(gradMf), Pr(ei)i.

Denominamos este operador deoperador linearizadoLr. Em particular, quandor = 0,

L0f = ∆f. Por este motivo, dizemos que este operador generaliza, em certo sentido, o

Laplaciano. Tal operador foi introduzido por Voss na conex˜ao com argumentos varia-cionais, ver [19].

Proposi¸cão 2.2.1. Sejam f, g:Mn_→_R _{fun¸cões suaves. Então}

(a) Lr(fq) = q(fq−1Lrf +hPr(gradMf),gradMfq

−1_i₎ _{para algum inteiro positivo} _q_;

(36)

Demonstra¸c˜ao. Seja {e1, ..., en} uma base ortonormal de Mn.

(a) Usando a defini¸c˜ao de Lr, temos que

Lr(fq) = n

X

i=1

h∇ei(gradMf

q₎_{, P}

r(ei)i=q n

X

i=1

∇ei(f

q−₁

gradMf), Pr(ei)

= q " _n X i=1 fq−1

∇eigradMf, Pr(ei)

+ n X i=1

ei(fq−1)gradMf, Pr(ei)

#

= q

" fq−1_L

rf+

*

Pr(gradMf), n

X

i=1

ei(fq−1)ei

+#

= q(fq−1_L

rf +Pr(gradMf),gradMfq

−1₎_.

(b) Usando a defini¸c˜ao deLr, obtemos que

Lr(f g) = n

X

i=1

h∇eigradM(f g), Pr(ei)i=

n

X

i=1

h∇ei(fgradMg+ggradMf), Pr(ei)i

=

n

X

i=1

h∇ei(fgradMg), Pr(ei)i+

n

X

i=1

h∇ei(ggradMf), Pr(ei)i

=

n

X

i=1

[hf∇eigradMg, Pr(ei)i+hei(f)gradMg, Pr(ei)i]

+

n

X

i=1

[hg∇eigradMf, Pr(ei)i+hei(g)gradMf, Pr(ei)i]

= f

n

X

i=1

h∇eigradMg, Pr(ei)i+

*

Pr(gradMg), n

X

i=1

ei(f)ei

+

+g

n

X

i=1

h∇eigradMf, Pr(ei)i+

*

Pr(gradMf), n

X

i=1

ei(g)ei

+

= f Lrf +hPr(gradMg),gradMfi+gLrf +hPr(gradMf),gradMgi

= f Lrf +gLrf + 2hPr(gradMf),gradMgi).

SejamMn_e_Nn+1_{variedades Riemannianas orientadas e}_x_:_Mn _→_Nn+1_{uma imers˜ao}

isom´etrica. Consideremos a identifica¸c˜ao usual de Y ∈TpM com dxp(Y) e seja F :N →

R _{uma fun¸c˜ao suave. Se considerarmos a composi¸c˜ao} _f ₌_F _◦_x _: _Mn _→ R_{, temos que}

em p_∈M,

hgradMf, Yi(p) =dfp(Y) = d(F ◦x)pY =dFx(p)dxpY =hgradNF, Yi(x(p)) ∀Y ∈TpM,

(37)

Assim

grad_NF = grad_Mf+ (grad_NF)⊥

, (2.1)

onde (grad_NF)⊥

significa a parte normal do grad_NF.

Sejam ∇ a derivada covariante em N e B a segunda forma fundamental de x. A

matriz de B com respeito `a base ortonormal _{e1, ..., en}´e dada por

hij =

∇eiej, η

, i, j = 1, ..., n,

onde η ´e o campo vetorial normal unit´ario.

O pr´oximo resultado pode ser encontrada em [3], Lema 2.1.

Proposi¸cão 2.2.2. Seja x : Mn _→ _Nn+1 _{uma imersão isométrica. Seja} _F _: _N _→ _R

uma fun¸c˜ao suave e consideremos f =F _◦x:M _→R_{. Para um referencial ortonormal}

{ei, ..., en} numa vizinhan¸ca U ⊂M, temos

Lrf = n

X

i=1

Hess(F)(ei, Pr(ei)) + (r+ 1)Sr+1hgradNF, ηi,

onde η denota o campo vetorial normal unitário da imersão e grad_N é o gradiente em

N.

Demonstra¸c˜ao. Usando a defini¸c˜ao de Lr, temos que

Lrf = n

X

i=1

h∇ei(gradMf), Pr(ei)i

=

n

X

i=1

∇ei(gradMf)−[∇ei(gradMf)− ∇ei(gradMf)], Pr(ei)

.

Como B(ei,gradMf) = ∇ei(gradMf)− ∇ei(gradMf), onde B a segunda forma

funda-mental da imers˜ao, obtemos que

Lrf = n

X

i=1

∇ei(gradMf)−B(ei,gradMf), Pr(ei)

= n X i=1

∇ei(gradMf), Pr(ei)

.

Usando (2.1), obtemos

Lrf = n

X

i=1

∇ei(gradNF −(gradNF)

⊥

), Pr(ei)

= n X i=1

∇eigradNF, Pr(ei)

− n X i=1

∇ei(gradNF)

⊥

), Pr(ei)

=

n

X

i=1

Hess(F)(ei, Pr(ei))− n

X

i=1

∇ei(hgradNF, ηiη), Pr(ei)

=

n

X

i=1

Hess(F)(ei, Pr(ei))− n

X

i=1

hgrad_NF, η_{i ∇}ei(η), Pr(ei)

(38)

Usando a Proposi¸c˜ao 1.5.2,

Lrf = n

X

i=1

Hess(F)(ei, Pr(ei))− hgradNF, ηi n

X

i=1

h−B(ei), Pr(ei)i.

Lembrando que B ´e uma forma bilinear, temos que

Lrf = n

X

i=1

Hess(F)(ei, Pr(ei)) +hgradNF, ηi n

X

i=1

hei, BPr(ei)i

=

n

X

i=1

Hess(F)(ei, Pr(ei)) +hgradNF, ηitr(BPr).

Como tr(BPr) = (r+ 1)Sr+1, ver item (c) da Proposi¸c˜ao 2.1.4, conclu´ımos que

Lrf = n

X

i=1

Hess(F)(ei, Pr(ei)) + (r+ 1)Sr+1hgradNF, ηi.

Proposi¸cão 2.2.3. Sejam x: Mn _→_Nn+1 _{uma imersão isométrica e} _F _: _N _→ _R _uma

fun¸c˜ao suave. Se f =F ◦x:M →R_{, ent˜ao}

Lr(fq) =q(Fq−1Lrf +Pr(gradNf),gradNfq

−1₎_,

onde grad_N ´e o gradiente em N e q ´e inteiro positivo.

Demonstra¸c˜ao. Seja_{e1, ..., en}um referencial ortonormal emM. Comofq = (F◦x)q,

usando a Proposi¸c˜ao 2.2.2, temos que

Lr(fq) = n

X

i=1

Hess(Fq₎₍_e

i, Pr(ei)) + (r+ 1)Sr+1hgradNFq, ηi

= q

n

X

i=1

Fq−1_Hess(_F₎₍_e

i, Pr(ei)) +

ei(Fq−1)gradNF, Pr(ei)

+(r+ 1)Sr+1hqFq−1gradNF, ηi

= q

n

X

i=1

i, Pr(ei)) +q n

X

i=1

ei(Fq−1)hgradNF, Pr(ei)i

+qFq−1₍_r_{+ 1)}_S

r+1hgradNF, ηi

= q

n

X

i=1

Fq−₁

Hess(F)(ei, Pr(ei)) +q n

X

i=1

ei(Fq

−₁

)_hgrad_Mf, Pr(ei)i

+qFp−1₍_r_{+ 1)}_S

(39)

= q

n

X

i=1

i, Pr(ei)) +q

*

Pr(gradMf), n

X

i=1

ei(Fq−1)ei

+

+qFp−1₍_r_{+ 1)}_S

r+1hgradNF, ηi

= q

n

X

i=1

Fq−₁

Hess(F)(ei, Pr(ei)) +q

Pr(gradMf),gradNFq

−₁

+qFp−1₍_r_{+ 1)}_S

r+1hgradNF, ηi

= q

n

X

i=1

Fq−1Hess(F)(ei, Pr(ei)) +q

Pr(gradMf),gradMfq

−₁

+qFp−1₍_r_{+ 1)}_S

r+1hgradNF, ηi

= q(Fq−1_L

rf +

Pr(gradNf),gradNfq

−1₎_.

2.3 Operador Linearizado

L

r

em Formas Espaciais

Nesta se¸c˜ao, vamos considerar Nn+1 _{uma forma espacial} _Qn+1

c . Fixado um ponto

p_∈Qn+1

c , sejam ρ:Qnc+1 →Rafun¸cão distância geodésica ao pontopex:Mn→Qnc+1

uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade Riemanniana orientadaMn_{. Definimos o vetor}

posi¸c˜ao X :Mn_→_Qn+1

c com respeito ap por

X(x(p)) = Sc(ρ(p))gradQρ(p),

onde Sc é a solu¸cão da equa¸cãoy′′+cy = 0 com condi¸cões iniciais y(0) = 0 e y′(0) = 1,

isto ´e,

Sc(ρ(p)) =

          

ρ(p), se c= 0; sen (ρ(p)√c)

√

c , se c >0;

senh (ρ(p)√₋c) √

−c , se c < 0.

Denotaremos S′

c(ρ(p)) =θc(ρ(p)).

Os dois próximos resultados são consequências da Proposi¸cão 2.2.2 e da Proposi¸cão

2.2.3, com a condi¸c˜ao de Nn+1 _{ser uma forma espacial} _Qn+1

c . A partir desta se¸c˜ao X

sempre ser´a o vetor posi¸c˜aoX(x(p)) =Sc(ρ(p))gradQρ(p).

Proposi¸c˜ao 2.3.1. Seja x : Mn _→ _Qn+1

Riemanniana orientada Mn _{em uma forma espacial} _Qn+1

c . Ent˜ao

1

cLr(θc) = −[(n−r)Srθc(ρ) + (r+ 1)Sr+1hX, ηi], se c6= 0.

(40)

Demonstra¸c˜ao. Considere F = θc ◦ρ na Proposi¸c˜ao 2.2.2 e seja {e1, ..., en} um

refe-rencial ortonormal numa vizinhan¸ca U _⊂M. Ent˜ao

Lr(θc) = n

X

i=1

Hess(θc(ρ))(ei, Pr(ei)) + (r+ 1)Sr+1gradQθc(ρ), η.

Inicialmente, observemos que

Hess(θc(ρ))(ei, Pr(ei)) =

∇ei(gradQ(θc(ρ))), Pr(ei)

=∇ei(θ

′

c(ρ)gradQρ), Pr(ei)

= θ′

c(ρ)

∇eigradQρ, Pr(ei)

+θ′′

c(ρ)

gradQρ, ei

gradQρ, Pr(ei)

= θ′

c(ρ)Hessρ(ei, Pr(ei)) +θ′′c(ρ)

grad_Qρ, ei gradQρ, Pr(ei).

ComoSc ´e solu¸c˜ao dey′′+cy= 0, temos queSc′′(ρ)+cSc(ρ) = 0. Lembrando queSc′ =θc,

obtemos

θ′

c(ρ) = −cSc(ρ) e θc′′(ρ) = −cθc(ρ).

Logo

Hess(θc(ρ))(ei, Pr(ei)) = −cSc(ρ)Hessρ(ei, Pr(ei))

−cθc(ρ)gradQρ, ei gradQρ, Pr(ei).

Usando o resultado

Hessρ(X, Y) =_∇XgradQρ, Y

= θc(ρ)

Sc(ρ)

[_hX, Y_{i −}grad_Qρ, X grad_Qρ, Y], (2.2)

o qual pode ser encontrado em [14], p. 36, Proposi¸c˜ao 2.4.1, obtemos

Hessρ(ei, Pr(ei)) =

θc(ρ)

Sc(ρ)

[_hei, Pr(ei)i −

grad_Qρ, ei gradQρ, Pr(ei)

].

Portanto

Hess(θc(ρ))(ei, Pr(ei)) = −cθc(ρ)[hei, Pr(ei)i −

gradQρ, ei gradQρ, Pr(ei)

]

−cθc(ρ)

= ₋cθc(ρ)hei, Pr(ei)i.

Assim

Lr(θc) = −cθc(ρ) n

X

i=1

hei, Pr(ei)i+ (r+ 1)Sr+1gradQθc(ρ), η

= ₋cθc(ρ)tr(Pr) + (r+ 1)Sr+1

θ′

c(ρ)gradQρ, η

= −cθc(ρ)tr(Pr) + (r+ 1)Sr+1

−cSc(ρ)gradQρ, η

= ₋cθc(ρ)tr(Pr)−c(r+ 1)Sr+1hX, ηi.

Como tr(Pr) = (n−r)Sr, ver item (b) da Proposi¸c˜ao 2.1.4, conclu´ımos a demonstra¸c˜ao.

(41)

Proposi¸c˜ao 2.3.2. Seja x : Mn _→ _Qn+1

Riemanniana orientada Mn _{em uma forma espacial} _Qn+1

c . Ent˜ao

1 2Lr|X|

2 ₌_θ

c(ρ)[(n−r)Srθc(ρ) + (r+ 1)Sr+1hX, ηi]−c

Pr(XT), XT

para qualquer c.

Aqui, designamos XT _{como a componente tangente de} _X _{e identificamos} _X _com _X_◦_x_.

Demonstra¸c˜ao. Observemos que

|gradQρ|= 1,

e, portanto,

|X|2 ₌_S

c(ρ)gradQρ, Sc(ρ)gradQρ

= (Sc(ρ))2.

Assim

1 2Lr|X|

2 ₌ 1

2Lr((Sc(ρ))

2₎_.

Usando a Proposi¸c˜ao 2.2.3, temos que

1

2Lr((Sc(ρ))

2_{) =} _S

c(ρ)Lr(Sc(ρ)) +

Pr(gradQSc(ρ)),gradQSc(ρ)

= Sc(ρ)Lr(Sc(ρ)) +Pr(Sc′(ρ)gradQρ), S

′

c(ρ)gradQρ

= Sc(ρ)Lr(Sc(ρ)) + (Sc′(ρ))2

Pr(gradQρ),gradQρ

.

Como S′

c(ρ) =θc(ρ), obtemos

1

2Lr((Sc(ρ))

2_{) =} _S

c(ρ)Lr(Sc(ρ)) + (θc(ρ))2Pr(gradQρ),gradQρ

.

A Proposi¸c˜ao 2.2.2 nos diz que

Lr(Sc(ρ)) = n

X

i=1

Hess(Sc(ρ))(ei, Pr(ei)) + (r+ 1)Sr+1

grad_QSc(ρ), η

=

n

X

i=1

Hess(Sc(ρ))(ei, Pr(ei)) + (r+ 1)Sr+1θc(ρ)

grad_Qρ, η.

Por outro lado,

Hess(Sc(ρ))(ei, Pr(ei)) =

∇ei(gradQSc(ρ)), Pr(ei)

=_∇ei(S

′

c(ρ)gradQρ), Pr(ei)

= S′

c(ρ)

∇eigradQρ, Pr(ei)

+S′′

c(ρ)

grad_Qρ, ei

grad_Qρ, Pr(ei)

.

Lembrando que S′

c(ρ) =θc(ρ) e Sc′′(ρ) =−cSc, temos

Hess(Sc(ρ))(ei, Pr(ei)) = θc(ρ)Hessρ(ei, Pr(ei))−cSc(ρ)gradQρ, ei gradQρ, Pr(ei).

Agora, usando (2.2), obtemos

Hess(Sc(ρ))(ei, Pr(ei)) =

(θc(ρ))2

Sc(ρ)

[_hei, Pr(ei)i −gradQρ, ei gradQρ, Pr(ei)]

(42)

e, portanto,

Lr(Sc(ρ)) =

(θc(ρ))2

Sc(ρ) n

X

i=1

[_hei, Pr(ei)i −gradQρ, ei gradQρ, Pr(ei)]

−cSc(ρ)

n

X

i=1

+(r+ 1)Sr+1θc(ρ)

gradQρ, η

.

Logo

1 2Lr|X|

2 _{= (}_θ

c(ρ))2tr(Pr)−(θc(ρ))2 n

X

i=1

−c(Sc(ρ))2

n

X

i=1

+(r+ 1)Sc(ρ)Sr+1θc(ρ)

grad_Qρ, η+ (θc(ρ))2

Pr(gradQρ),gradQρ

.

Mas

Pr(gradQρ),gradQρ

= n X i=1

gradQρ, ei gradQρ, Pr(ei)

.

Assim

1 2Lr|X|

2 _{= (}_θ

c(ρ))2tr(Pr) + (r+ 1)Sr+1θc(ρ)hX, ηi −c n

X

i=1

hX, eii hX, Pr(ei)i.

Como

X

i

hX, eii hX, Pr(ei)i =

X

i

hX, eii

* Pr(ei),

X

j

hX, ejiej

+

= X

i

hX, eiiPr(ei), XT=

X

i

hX, eiiPr(XT), ei

=

*

Pr(XT),

X

i

hX, eiiei

+

=Pr(XT), XT

e tr(Pr) = (n−r)Sr, conclu´ımos a demonstra¸c˜ao.