Lucas da Rosa Ribeiro

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA

CENTRO DE TECNOLOGIA

CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

Lucas da Rosa Ribeiro

ROTINA COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE DE LAJES

RETANGULARES MEDIANTE ANALOGIA DE GRELHAS

Santa Maria, RS

2017

(2)

Lucas da Rosa Ribeiro

ROTINA COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE DE LAJES RETANGULARES MEDIANTE ANALOGIA DE GRELHAS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Engenharia Civil, Área de Concentração em Estruturas e Construção Civil, da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para a obtenção do título de Engenheiro

Civil.

Orientador: Prof. Dr. João Kaminski Júnior

Santa Maria, RS 2017

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Lucas da Rosa Ribeiro

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Engenharia Civil, Área de Concentração em Estruturas e Construção Civil, da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para a obtenção do título de Engenheiro

Civil.

Aprovado em 22 de dezembro de 2017:

__________________________________________

João Kaminski Júnior, Dr. (UFSM)

(Presidente/Orientador)

__________________________________________

Almir Barros da Silva Santos Neto, Dr. (UFSM)

__________________________________________

Marco Antônio Silva Pinheiro, Dr. (UFSM)

Santa Maria, RS 2017

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RESUMO

AUTOR: Lucas da Rosa Ribeiro ORIENTADOR: João Kaminski Júnior

A crescente complexidade e ousadia da arquitetura moderna exigem que a análise das lajes e dos demais elementos estruturais em concreto armado represente da forma mais fiel possível a realidade a qual estarão submetidos. Desta forma, é imprescindível o uso de computadores devido à grande dinamização que estes proporcionam em um projeto estrutural e, principalmente, garantir que os acadêmicos e futuros Engenheiros Estruturais sejam habituados desde a sua formação ao manuseio dos softwares com tais finalidades. Neste contexto, este trabalho tem como objetivo elaborar uma rotina computacional em Fortran para a análise de lajes retangulares de concreto armado por analogia de grelhas. Além do programa desenvolvido apresentar os deslocamentos, as reações nos apoios e as ações de extremidade de barra, que são os resultados tipicamente mostrados, também são expressas todas as etapas da solução do problema, tal como as matrizes de rotação e de rigidez das barras, a matriz de rigidez global, os vetores de carga e as matrizes referentes à solução do sistema de equações pelo método Cholesky. Ao comparar os resultados do programa desenvolvido com os obtidos pelo programa ANSYS e segundo trabalhos diversos da literatura nacional, percebe-se que a rotina computacional elaborada é eficiente, viabilizando-se assim a sua aplicabilidade.

Palavras-chave: Analogia de grelhas; lajes de concreto armado; análise

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ABSTRACT

COMPUTATIONAL ROUTINE FOR THE ANALYSIS OF RECTANGULAR SLABS BY GRILLAGE ANALOGY

AUTHOR: Lucas da Rosa Ribeiro ADVISOR: João Kaminski Júnior

The growing complexity and boldness of the modern architecture demand that the analysis of concrete slabs, and all of the remaining reinforced concrete structural members, portray the reality which they will be submitted to as faithful as possible. Thus, it is indispensable the use of computers due to the great promotion they afford to a structural project and, mainly, ensure the academics and future Civil Engineers to be accustomed since their academic education to the handling of this kind of software’s. In this context, the objective of this work is the elaboration of a computational routine in Fortran language aimed to the analysis of reinforced concrete rectangular floor panels by the grid analogy. Besides the developed program displaying the displacements, the nodal reactions and the member end actions, which are the typical showed results, all the steps related to the solution of the problem are also expressed, like the rotation and stiffness matrices of every bar, the global stiffness matrix, the load vectors, and also the matrices related to the solution of the system of equations by the Cholesky method. After comparing the results of the developed program to those obtained by the software ANSYS and according to several works included on national similar works, it was noticed that the computational routine is efficient, making feasible its applicability.

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SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ... 7 1.1 PROBLEMA... 8 1.2 OBJETIVOS ... 8 1.2.1 Objetivo Geral ... 8 1.2.2 Objetivos Específicos ... 9 1.3 JUSTIFICATIVA ... 9 2 REVISÃO DE LITERATURA ... 10 2.1 Análise Estrutural ... 10

2.2 Método da Rigidez e Análise Matricial de Grelhas ... 10

2.3 Teoria das Placas ... 12

2.4 Análise de Lajes por Tabelas ... 13

2.5 Analogia de Grelhas ... 14

3 PROGRAMA ANALOGIA DE GRELHAS ... 18

3.1 Descrição Geral do Programa ... 18

3.2 Discretização ... 19

3.3 Propriedades Físicas e Geométricas das Barras ... 20

3.4 Vinculações ... 23

3.5 Carregamentos ... 24

3.6 Comparação dos Resultados ... 25

4 ANÁLISE DOS RESULTADOS ... 27

4.1 Exemplo 1 – Laje de Silva, Figueiredo Filho e Carvalho ... 27

4.1.1 Caso 01 – Comparação entre FORTRAN, ANSYS e Tabelas ... 29

4.1.2 Caso 02 – Influência da Malha ... 31

4.1.3 Caso 03 – Módulo de Deformação Transversal do Concreto ... 35

4.1.4 Caso 04 – Vigas Verticalmente Indeslocáveis ... 36

4.1.5 Caso 05 – Vigas Verticalmente Deslocáveis ... 38

4.2 Exemplo 2 – Pavimento de Mazzilli ... 43

4.2.1 Laje 1 ... 46

4.2.2 Laje 2 ... 49

4.2.3 Laje 3 ... 52

4.2.4 Síntese dos Resultados ... 57

4.3 Exemplo 3 – Laje de Kimura... 60

4.4 Exemplo 4 – Laje com uma borda livre ... 65

6 CONCLUSÃO ... 72

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 73

APÊNDICE A – Manual do Usuário do Programa Analogia de Grelhas ... 75

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1 INTRODUÇÃO

Ao realizar um projeto de estruturas, o Engenheiro deve garantir que a mesma desempenhe as suas funções de forma segura, eficiente, e com o máximo de economia na sua execução. Caso se adote um modelo inadequado na etapa de análise estrutural, os resultados poderão acarretar em um superdimensionamento, onde não há economia e, dependendo da situação, nem segurança; ou senão em subdimensionamento, onde não há segurança e nem eficiência.

A análise estrutural de lajes visa obter os esforços internos atuantes, reações de apoio nos bordos e os deslocamentos, sendo estes caracterizados pelas rotações nos bordos e pela flecha máxima.

Um método empregado durante muitos anos na análise de lajes maciças consiste do uso de tabelas de lajes isoladas, comumente retangulares, associadas a uma série de hipóteses e simplificações, tal como a consideração de que as lajes se apoiam sobre vigas rígidas e indeformáveis. Com a finalidade de determinar o comportamento das lajes de forma mais precisa, avaliando o comportamento do pavimento de forma integrada, podem ser utilizados alguns métodos numéricos, tais como a analogia de grelhas no método da rigidez e o método dos elementos finitos.

No entanto, durante muito tempo a implementação destes métodos era inviável devida às limitações da capacidade de processamento dos computadores da época, o que não é um problema atualmente.

A analogia de grelhas possui uma série de vantagens se comparado a outros métodos numéricos, tais como o fato de possuir uma simples formulação e por não ser necessário um alto grau de especialização, por parte do usuário, para realizar a modelagem e a análise dos resultados. Tal metodologia consiste em substituir um pavimento composto de lajes e vigas por uma grelha equivalente, simulando-se uma estrutura considerada como placa por uma série de elementos de barras.

Assim sendo, este trabalho possui como foco a elaboração de um programa educativo em FORTRAN voltado à análise de lajes retangulares de concreto armado mediante analogia de grelhas e, posteriormente, comparar e validar os resultados com a análise de lajes retangulares presentes na literatura, com os resultados gerados em um programa computacional que utiliza o método dos elementos finitos, o programa ANSYS, assim como pelas tabelas de Bares adaptadas por Pinheiro (1994).

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1.1 PROBLEMA

As lajes de concreto armado, por constituírem um dos elementos estruturais mais comuns e por serem responsáveis pelo consumo de até dois terços do concreto de uma obra, requerem especial atenção no que diz respeito à economia e eficiência (FRANÇA e FUSCO, 1997).

O constante aumento da complexidade e da ousadia da arquitetura moderna exigem que a análise das lajes e dos elementos estruturais em concreto armado represente da forma mais fiel possível a realidade a qual estarão submetidos, onde cada elemento é responsável por uma parcela do comportamento global da estrutura. Desta maneira, nota-se o quão necessário é a elaboração de softwares cada vez mais precisos para garantir a representação mais exata possível da resposta da estrutura frente às diversas ações as quais estarão submetidas, assim como para evitar uma análise cujos excessos de simplificações acarretem em uma estrutura insegura ou antieconômica.

Ademais, os atuais acadêmicos e futuros Engenheiros Estruturais devem ser habituados desde a sua formação à elaboração, manuseio e interpretação dos resultados gerados em softwares de análise estrutural. A análise matricial empregada nos mesmos envolve diversas etapas complexas que podem ser de difícil compreensão caso não sejam bem definidas. No entanto, estas são geralmente omitidas na geração dos resultados, de modo que a visualização se restrinja comumente aos deslocamentos, reações de apoio e diagramas dos esforços solicitantes.

1.2 OBJETIVOS

1.2.1 Objetivo Geral

Desenvolver uma rotina computacional capaz de gerar e analisar lajes retangulares de concreto armado empregando o método da rigidez e a analogia de grelhas.

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1.2.2 Objetivos Específicos

- Implementar em linguagem FORTRAN a analogia de grelhas no método da rigidez para a resolução de lajes retangulares de concreto armado;

- Validar as análises do programa aqui desenvolvido mediante comparação com a análise gerada por um programa já consolidado, o ANSYS;

- Validar as análises geradas pelo programa aqui desenvolvido mediante comparação com a análise a partir do uso das tabelas de Bares adaptadas por Pinheiro (1994);

1.3 JUSTIFICATIVA

Durante muito tempo, a indisponibilidade de recursos computacionais adequados acarretou na consideração da análise estrutural de lajes e vigas a partir do conceito de apoios rígidos e do isolamento da laje em relação ao restante do pavimento, o que acarretava em uma série de simplificações na análise e no posterior dimensionamento.

Sabendo que a solução padronizada a partir destes antigos conceitos não é uma representação adequada da realidade, surgiu a necessidade de empregar um método que garanta soluções particulares para cada projeto, que seja de fácil implementação e que, a partir da consideração do pavimento como um todo, forneça soluções mais precisas e próximas da realidade.

Assim, foi empregada a analogia de grelhas com o intuito de, simplificadamente, garantir uma análise confiável às finalidades práticas.

Portanto, este trabalho se justifica por promover uma validação da já consolidada analogia de grelhas mediante a elaboração de uma rotina computacional dedicada à aplicação deste método. Também será possibilitado um melhor entendimento deste processo aos estudantes, assim como a compreensão das suas etapas de resolução e suas vantagens em relação ao método por tabelas.

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2 REVISÃO DE LITERATURA

2.1 Análise Estrutural

A análise estrutural tem como objetivo a determinação dos esforços e das deformações que ocorrem em uma estrutura devido às solicitações nela aplicada. Para tal, é necessário elaborar um modelo estrutural para idealizar a estrutura, devendo este modelo possuir propriedades materiais, detalhes, carregamentos e condições de fronteira o mais próximo possível da realidade (CHEN, 2003).

Segundo Kimura (2007), a análise estrutural é uma etapa de vital importância em um projeto estrutural, posto que de nada adianta realizar um dimensionamento refinado caso os esforços previamente definidos não traduzam a realidade a qual a estrutura estará submetida. Uma análise estrutural inadequada acarretará em um dimensionamento de armaduras igualmente inadequado.

Todas as estruturas reais são tridimensionais, porém, visando à obtenção de um modelo simplificado à análise estrutural, é comum idealizar a estrutura em estudo por estruturas reticuladas, ou seja, formadas apenas por barras. Tais estruturas podem ser lineares (vigas), planas (grelhas e treliças planas) ou espaciais (pórticos e treliças espaciais), conforme a ordem de grandeza das dimensões do elemento estrutural considerado.

2.2 Método da Rigidez e Análise Matricial de Grelhas

Grelhas são estruturas reticuladas pertencentes a um plano horizontal, convenientemente denotado por X-Z, e que recebem cargas perpendiculares a este plano. Os carregamentos podem ser cargas distribuídas aplicadas nas barras, momentos aplicados diretamente nos nós ou nos vãos, e cargas concentradas aplicadas nos vãos ou nos nós da grelha.

Na Figura 1 estão indicados os eixos globais e locais para a barra “i” de uma grelha, assim como a identificação de seus graus de liberdade (GDL).

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Figura 1: Barra “i” de grelha nos sistemas de referência global e local

Fonte: Kaminski, 2015

Cada nó de uma grelha possui 3 GDL, sendo eles o deslocamento vertical segundo o eixo Y local e as rotações em torno dos eixos X e Z locais. Assim sendo, cada barra possui seis GDL e a matriz de rigidez de barra SM, que se obtém mediante a imposição de deslocamentos unitários às barras bi engastadas, um de cada vez, possui dimensão 6 x 6.

A numeração arbitrária dos GDL segue a numeração aleatória dos nós, priorizando-se o giro em torno de X local, o deslocamento vertical em Y local e, finalmente, o giro em torno de Z local. Entretanto, para que seja possível a automação da análise, é necessário garantir a numeração prioritária dos GDL mediante o processo de indexação dos mesmos.

Pelo fato das barras de uma grelha poderem assumir qualquer direção no plano horizontal X-Z, é necessária a determinação da matriz de rotação R para cada uma das barras. A partir da matriz R e da numeração prioritária dos GDL, é possível definir a matriz de rigidez de barra no sistema de coordenadas globais por:

𝑆𝑀_𝑖 = 𝑅_𝑖𝑇∙ 𝑆𝑀_𝑖𝐿∙ 𝑅_𝑖 (1)

A determinação de todas as matrizes SM em coordenadas globais é necessária para se obter a matriz de rigidez global SJ de forma automática. Tal matriz é uma propriedade da estrutura que independe do carregamento aplicado, sendo simétrica (estrutura em equilíbrio) e obtida pela soma dos coeficientes de rigidez de cada matriz 𝑆𝑀_𝑖, que são adicionados em posições específicas dentro de 𝑆𝐽.

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Quanto ao carregamento da grelha, este é representado pelo vetor de cargas 𝐴𝐶, que resulta da soma do vetor de ações nodais 𝐴 (ações diretamente aplicadas nos nós da grelha) e do vetor de ações nodais equivalentes 𝐴𝐸 (reações e momentos de engaste perfeito na estrutura restringida, porém com sinal contrário). O vetor 𝐴𝐶 também deve estar na numeração prioritária. A partir de 𝑆𝐽 e 𝐴𝐶 é possível calcular os deslocamentos em coordenadas globais:

𝐴𝐶 = 𝑆𝐽 ∙ 𝐷𝑇 (2)

Considerando que os deslocamentos de rotação e de translação são nulos nos apoios, é possível particionar as matrizes 𝐴𝐶, 𝑆𝐽, e 𝐷𝑇, obtendo-se:

𝐴𝐶 = 𝑆 ∙ 𝐷 (3)

Pelo fato de 𝑆 ser uma matriz simétrica, este sistema de equações lineares também é simétrico, o que torna muito recomendado utilizar o Método Cholesky para a resolução do mesmo. Resolvido o sistema de equações, determinam-se as reações de apoio 𝐴𝑅 por:

𝐴𝑅 = 𝐴𝑅𝐿 + 𝑆𝑅𝐷 ∙ 𝐷 (4)

Após a determinação de 𝐷 e 𝐴𝑅, realiza-se uma indexação inversa para apresentar os resultados segundo a numeração arbitrária inicialmente definida. Tais resultados seriam os deslocamentos e as reações de apoio propriamente ditas, as ações de extremidade de barra 𝐴𝑀 e os diagramas de esforço cortante e de momento fletor.

2.3 Teoria das Placas

Placas são elementos estruturais planos com duas dimensões muito superiores à terceira, cujos carregamentos são aplicados segundo a direção perpendicular à sua superfície (REIS, 2007).

A análise estrutural rigorosa destes elementos estruturais envolve a resolução da equação diferencial de Lagrange. Tal equação foi obtida segundo uma série de

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hipóteses elaboradas por Kirchoff-Love e de relações entre esforços e deslocamentos da Resistência dos Materiais.

𝜕4𝜔 𝜕𝑥4 + 2 𝜕4𝜔 𝜕𝑥2_𝜕𝑦2+ 𝜕4𝜔 𝜕𝑦4 = 𝑞 𝐷 𝐷 = − 𝐸ℎ 3 12(1 − 𝜐2₎ (5) onde:

D = Expressão que define a rigidez à flexão da placa; E = Módulo de deformação longitudinal do concreto; h = Altura da laje;

𝜈 = Coeficiente de Poison do concreto.

Assim sendo, a solução do problema consiste em definir uma expressão à superfície deformada que satisfaça tanto esta equação diferencial de quarta ordem como as condições de contorno da placa (REIS, 2007).

2.4 Análise de Lajes por Tabelas

Hennrichs (2003) afirma que a resolução das equações diferenciais aos problemas aplicados de Engenharia é complexa e pouco prática. Ademais, condições de contorno, geometrias ou carregamentos diferentes dos usuais praticamente impossibilitam este procedimento.

Desta forma, as lajes de concreto armado foram por muito tempo analisadas mediante tabelas de lajes isoladas com condições de apoio simples, engastadas ou livres, tais como as desenvolvidas por Czerny, Stiglat/Wippel, Bares, Szilard, Timoshenko, entre outros.

No caso de painéis contínuos, os resultados são corrigidos com a finalidade de simular simplificadamente esta continuidade, o que pode acarretar em grandes discrepâncias nos esforços e deslocamentos para determinadas situações (REIS, 2007).

(14)

2.5 Analogia de Grelhas

O uso de métodos numéricos ao cálculo de estruturas foi possibilitado após o surgimento dos computadores de grande porte e, posteriormente, dos microcomputadores (BARBOZA, 1992).

A análise de grelhas equivalentes de lajes, por ser realizada em programas computacionais, segue a rotina automática descrita anteriormente. A grelha equivalente pode ser gerada de forma automática a partir dos dados iniciais referentes à laje e à malha que se deseja gerar, assim como pode ser montada manualmente pelo usuário, o que é mais demorado.

Tal metodologia consiste em simular uma estrutura considerada como placa por uma série de elementos de barras cujo conjunto forma uma grelha. Este procedimento foi usado por Euler, em 1766, para a solução de problemas de membranas elásticas, e também por Hrennikoff, em 1941, para a análise de placas através de uma formulação conhecida por "Latticce Analogy" (COELHO, 2013).

Hambly (1976) afirma que um painel de laje, que é estruturalmente contínuo nas duas dimensões, pode ser analisado pelo procedimento aproximado da analogia de grelhas, pois a solução rigorosa das equações diferenciais necessárias dificilmente é possível.

A resolução de uma laje por analogia de grelha requer que a mesma seja discretizada em uma série de faixas com uma largura pré-determinada, as quais serão substituídas por barras que passam exatamente pelos seus centros de gravidade.

As vinculações dos nós da grelha equivalente seguem a vinculação dos bordos da laje, podendo ser livres, simplesmente apoiados, ou engastados. Já os comprimentos dos bordos considerados na análise são os vãos efetivos, onde o item 14.7.2.2 da NBR 6118 (ABNT, 2014) recomenda que:

𝑙_𝑒𝑓 = 𝑙₀+ 𝑎₁+ 𝑎₂ (6)

Os valores de 𝑎1 e 𝑎2 são obtidos a partir de cada extremidade do vão.

𝑎₁ ≤ {0,5 𝑡1

0,3 ℎ 𝑎2 ≤ { 0,5 𝑡₂

(15)

Figura 2: Parâmetros referentes à definição do vão teórico

Fonte: Adaptado da NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 90)

Cada barra deve ter seu momento de inércia à flexão (Iz) determinado a partir

da largura das faixas especificadas e da altura associada as mesmas.

𝐼𝑍 =

𝑏ℎ3

12 (8)

No caso do momento de inercia à torção (IX), este não é uma simples

propriedade da seção transversal da peça.

Hambly (1976) indica que o momento de inércia à torção das barras referentes às faixas de laje devem ser o dobro do momento de inércia à flexão, garantindo-se resultados coerentes aos obtidos pela teoria da elasticidade.

𝐼𝑥 = 2 𝐼𝑧 (9)

Figura 3 - Seção transversal de uma faixa de laje

(16)

No caso das barras relacionadas às vigas, cuja seção transversal típica está indicada na Figura 4, Gere e Weaver (1980) recomendam a seguinte fórmula.

𝐼_𝑋 = 𝛽ℎ𝑏3 ₍₁₀₎ Onde: 𝛽 =1 3− (0,21 𝑏 ℎ) (1 − 𝑏4 12ℎ4) (11)

Figura 4 - Seção transversal de um viga retangular usual

Fonte: Autor

Deve ser destacado que (10) considera ℎ como a maior dimensão da seção transversal e 𝑏 como a menor. Tratando-se de uma viga chata, cuja largura supera a altura, a formulação adequada é a representada por (12).

𝐼_𝑋 = 𝛽𝑏ℎ3 ₍₁₂₎

Para seções retangulares alongadas, cuja maior dimensão é consideravelmente superior a menor, o valor de 𝛽 tende a 1/3. Tendo isto em vista, Silva et al (2003) considera IX de modo simplificado segundo a expressão (13),

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𝐼_𝑋 =ℎ𝑏

3

3 (13)

Tendo em vista a redução da rigidez à torção das vigas devido a fissuração, Carvalho (1994) indica que, no estádio II, considere-se 10% do valor integral, enquanto que o item 14.6.6.2 da NBR 6118 (ABNT, 2014), por sua vez, recomenda a consideração de 15% deste valor.

No que diz respeito aos módulos de elasticidade longitudinal e transversal, o item 8.2.9 da NBR 6118 (ABNT, 2014) indica que a seguinte relação para Gc e Ec, caso o coeficiente de Poison 𝜈 seja igual a 0,2:

𝐺_𝑐 = 𝐸𝑐

2,4 ∴ 𝐺𝑐 ≈ 0,4 𝐸𝑐 (14)

Quanto ao carregamento uniformemente distribuído sobre a área da laje, é possível distribuir o mesmo na forma de cargas concentradas aplicadas diretamente nos nós ou na forma de cargas uniformemente distribuídas sobre as barras, de modo que a conversão de carga distribuída sobre a superfície para as supracitadas se faz mediante um processo de áreas de influência.

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3 PROGRAMA ANALOGIA DE GRELHAS

3.1 Descrição Geral do Programa

O Programa Analogia de Grelhas foi desenvolvido na linguagem FORTRAN utilizando o compilador Microsoft Visual Studio 2010, tendo como base um programa já existente, denominado Programa Grelhas, cujo objetivo consiste em realizar a análise de grelhas, tendo sido idealizado pelo aluno Gilvano Dal Ongaro em seu Trabalho de Conclusão de Curso orientado pelo Prof. Dr João Kaminski Júnior.

Inicialmente foi realizada uma adaptação deste programa, tornando os eixos XYZ e a ordem de prioridade dos deslocamentos dos nós compatíveis com as convenções adotadas pelo Prof. Orientador e por uma série de autores. Tal adaptação gerou a segunda versão deste programa, denominado Programa Grelhas V2.

Feito isso, implementou-se a analogia de grelhas no programa supracitado. Enquanto o programa original analisa uma grelha informada pelo usuário a partir de um arquivo texto de entrada, o Programa Analogia de Grelhas lê os dados referentes à laje de concreto armado, a transforma automaticamente em uma grelha equivalente, analisa a mesma e, posteriormente, escreve os resultados organizadamente em um uma série de arquivos de saída.

Um total de 12 arquivos textos estão associados a este programa, sendo 1 referente aos dados de entrada e 11 associados aos resultados, a saber:

- 01. Dados_Entrada: Contém os dados iniciais referentes à laje a ser analisada, tais como as dimensões da laje e das vigas de bordo, a malha desejada na discretização, intenção de considerar ou não as vigas de bordo, intenção de considerar ou não a deslocabilidade vertical das vigas de bordo, considerações a respeito dos momentos de inércia dos elementos placa e viga, módulos de elasticidade longitudinal e transversal do concreto, condições de apoio, carregamentos e coeficientes de majoração de ações permanentes e variáveis;

- 02. Dados_Grelhas_V2: Este arquivo contém os dados de entrada ao Programa Grelhas V2, que serviu de referência a este;

- 03. ANSYS_BEAM4: Arquivo texto com os dados da grelha equivalente a serem lidos e analisados como elementos BEAM 4 no ANSYS;

- 04. Dados_TBares: Contém os parâmetros necessários à análise da laje segundo às tabelas de Bares adaptadas por Pinheiro (1994);

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- 05. Discretização: Indica os dados intrínsecos gerados à grelha equivalente, tais como as coordenadas dos nós, conectividades das barras e suas propriedades geométricas, carregamentos atuantes por nó e por barra, entre outros;

- 06. AM-Matrizes_Barras: Referente à análise matricial, contém as matrizes de rigidez de barra nas coordenadas local e global, assim como as matrizes de rotação

R das mesmas.

- 07. AM-Matriz_Rigidez: Este arquivo texto indica as submatrizes S e SRD da matriz de rigidez global SJ da grelha equivalente. Pelo fato desta matriz possuir uma grande quantidade de colunas, recomenda-se um software alternativo ao Bloco de Notas para assegurar a adequada visualização de seus dados, sendo indicado o Notepad++;

- 08. AM-Vetores_Cargas: Contém os vetores associados aos carregamentos e às ações nodais equivalentes;

- 09. AM-Choleski: Indica a matriz C associada ao método Choleski empregado na resolução do sistema simétrico. Semelhante ao arquivo 07, indica-se o Notepad++ para garantir a adequada visualização de seus valores;

- 10. AM-Deslocamentos_Reações: Contém os deslocamentos e as reações de apoio em todos os nós da grelha equivalente;

- 11. AM-Ações_Extremidade_Barra: Contém os vetores de extremidade de barra em coordenadas locais e globais de todas as barras;

- 12. Resultados: Apresenta a forma como a laje foi discretizada, um resumo dos dados iniciais, assim como o deslocamento transversal máximo (flecha) e o nó onde este se verifica.

3.2 Discretização

A discretização da laje é realizada em função da malha especificada nos dados de entrada, onde a quantidade de faixas determinadas nas direções X e Y irá definir o número de nós e de barras, assim como o quão refinado serão os resultados.

Caso as vigas de bordo sejam desconsideradas na análise, a grelha equivalente terá o formato apresentado na Figura 5. Cada fileira de barras está associada ao centro geométrico de alguma das várias faixas geradas, cujos extremos podem estar simplesmente apoiados, engastados ou livres.

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Figura 5 - Discretização da laje desconsiderando as vigas

Fonte: Autor

Se as vigas forem consideradas, o aspecto da grelha equivalente passa a ser conforme o apresentado na Figura 6.

Figura 6 - Discretização considerando as vigas de bordo

Fonte: Autor

As barras de cor verde, no entorno da grelha e que caracterizam um formato retangular fechado a mesma, são referentes às vigas de bordo.

3.3 Propriedades Físicas e Geométricas das Barras

Os elementos de barra obtidas pela discretização da laje têm os módulos de elasticidades definidos a partir dos valores informados nos dados de entrada, enquanto que os momentos de inércia são calculados considerando-se o centro geométrico da seção transversal das faixas.

Os valores dos momentos de inércia serão calculados segundo as expressões (8) e (9) definidas previamente. Apesar de ser opcional o valor do coeficiente de

(21)

proporcionalidade entre Iz e Ix, a recomendação de Hambly (1976) será adotada em

todos os exemplos.

Quanto aos elementos viga, os módulos de deformação e o peso específico do concreto serão os mesmos empregados à laje. Tratando-se dos momentos de inércia, emprega-se a expressão (8) para IZ e é possível escolher entre (10) ou (13) para IX.

Cada viga é discretizada por uma única fileira de barras segundo a sua direção longitudinal, cujo centro geométrico pode ser considerado como o da própria viga, onde há uma excentricidade associada, ou como o da laje.

Tal excentricidade se deve a este programa utilizar análise matricial voltada especificamente às grelhas que, por definição, são estruturas planas. Ao representar uma laje com vigas de bordo por um reticulado cujas barras passam exatamente pelos seus centros de gravidade, surge uma excentricidade devido ao desalinhamento entre estes elementos estruturais, conforme a Figura 7 a seguir.

Figura 7 - Desalinhamento entre os eixos da viga e da laje

Fonte: Autor

Uma rotina de análise matricial voltada aos pórticos espaciais poderia considerar este desalinhamento pelo fato de ser uma estrutura tridimensional. Já neste caso, a consideração deste aspecto pode ser feita mediante o Teorema de Steiner, onde os momentos de inércia dos elementos viga são calculados considerando o centro de gravidade da laje, conforme (15) e (16):

(22)

𝐼_𝑍 =𝑏ℎ

3

12 + 𝐴𝑑² (15)

onde:

- 𝐼_𝑍: momento de inércia à flexão;

- 𝑏: base do elemento viga, equivalente à sua largura; - ℎ: altura do elemento viga;

- 𝐴: área da seção transversal do elemento viga; - 𝑑: distância entre os eixos da laje e da viga.

𝐼_𝑋 = 𝛽ℎ𝑏³ + 𝐴𝑑² (16)

onde:

- 𝐼_𝑋: momento de inércia à torção;

- 𝛽: Coeficiente de Gere e Weaver (1980);

- ℎ: Maior dimensão da seção transversal da viga; - 𝑏: Menor dimensão da seção transversal da viga; - 𝐴: área da seção transversal do elemento viga; - 𝑑: distância entre os eixos da laje e da viga.

Tal forma de compensação resulta num acréscimo dos momentos de inércia IZ

e IX, visto que a estrutura original passa a ser considerada com vigas de bordos mais

rígidas e com seus centros de gravidade no mesmo plano do da laje, conforme mostrado na Figura 8.

Figura 8 - Compensação da excentricidade segundo teorema de Steiner

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3.4 Vinculações

As vinculações são definidas em função da consideração ou não das vigas na análise e, quando incluídas, da consideração ou não de suas deslocabilidade verticais. Caso as vigas não sejam consideradas, considera-se a laje simplesmente apoiada, engastada ou livre nos bordos. Se forem adotadas vigas verticalmente indeslocáveis, também se considera a laje simplesmente apoiada, engastada ou livre nos bordos. Na Figura 9 está representada a vinculação para estes dois casos.

Figura 9 - Vinculações segundo análises desconsiderando as vigas (esquerda) e considerando-as verticalmente indeslocáveis (direita)

Fonte: Autor

Tratando-se de vigas verticalmente deslocáveis, considera-se o conjunto laje-vigas de bordo apoiado nos cantos, simulando-se a presença de pilares verticalmente indeslocáveis conforme mostra a Figura 10.

Figura 10 - Vinculação para análise considerando vigas verticalmente deslocáveis

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Neste caso, é possível definir os cantos que contarão com os pilares, assim como se a vinculação aos mesmos se faz mediante apoio simples ou engaste.

3.5 Carregamentos

No arquivo texto de entrada de dados são informados a espessura da laje e o peso específico do concreto (necessários ao peso próprio da laje), carregamentos permanente e variável uniformemente distribuídos sobre a área da laje, assim como os coeficientes de majoração de ações.

Caso sejam consideradas vigas verticalmente deslocáveis na análise, calcula-se o peso próprio das vigas em função de suas dimensões e do peso específico do concreto. Neste caso, também é possível informar carregamentos uniformemente distribuídos nos bordos (simulando gradis ou paredes sobre as vigas) e momentos distribuídos (empregados para representar simplificadamente o engaste do bordo).

Os carregamentos uniformemente distribuídos sobre a laje são representados por ações concentradas aplicadas diretamente nos nós da grelha equivalente. Tais ações concentradas são definidas em função do carregamento informado e da área de influência de cada nó. A Figura 11 ilustra como se considera a área de influência de cada nó, considerando ou não as vigas de bordo.

Figura 11 - Áreas de influência de cada nó ao cálculo das ações concentradas atuantes aos casos sem vigas (esquerda) e com vigas (direita)

Fonte: Autor

Tratando-se de análise considerando vigas verticalmente deslocáveis, considera-se o peso próprio das vigas a partir de suas dimensões e do peso específico

(25)

do concreto, desconsiderando-se a parcela já considerada ao peso próprio da laje, conforme exposto na Figura 12.

Figura 12 - Trecho da viga considerado no cálculo do seu peso próprio

Fonte: Autor

A consideração de cargas permanentes uniformemente nos bordos se faz mediante aplicação de cargas distribuídas nas barras dos bordos da grelha equivalente, sendo definidas em função do carregamento informado e do comprimento das barras.

Os momentos distribuídos nos bordos são considerados de forma semelhante, sendo função do valor do momento informado e do comprimento das barras. Caso se deseje representar o engastamento do bordo, é necessária a determinação prévia do momento negativo referente a este vínculo, que pode ser mediante as tabelas de Bares; análise pelo próprio programa, porém desconsiderando as vigas ou considerando-as verticalmente indeslocáveis; ou por resultados prévios disponíveis na literatura.

3.6 Comparação dos Resultados

Os resultados são validados pela comparação aos obtidos pelas tabelas de Bares e adaptadas por Pinheiro (1994), dispostas no Anexo 1; pela análise gerada no ANSYS 18.1; mediante resultados prévios presentes na literatura, quando disponíveis. Conforme mencionado anteriormente, o programa emite um arquivo texto com os parâmetros necessários à análise pelas Tabelas de Bares, restando apenas a busca nas tabelas pelo tipo de laje e dos valores λ ou 𝛾, referentes à relação entre

(26)

as dimensões em planta da laje sem bordas livres e com bordas livres, respectivamente.

Já a análise no ANSYS 18.1 é possibilitada devido à sub-rotina desenvolvida justamente para escrever um arquivo texto passível de ser lido por este, garantindo a geração automática da grelha equivalente e de todos os parâmetros a ela associados, tais como propriedades geométricas, vinculações e carregamentos. Além de se possibilitar a visualização tridimensional da grelha equivalente, torna-se possível a obtenção dos diagramas de esforço cortante, de momento de torção e de momento fletor, assim como de sua deformada.

Tratando-se de resultados disponíveis na literatura, três exemplos serão empregados para validar os resultados desta monografia. Deve ser destacado que diferenças mínimas nos resultados são aceitáveis devido às inevitáveis discrepâncias nas considerações adotadas entre os programas distintos de analogia de grelhas.

(27)

4 ANÁLISE DOS RESULTADOS

Após a elaboração do programa em FORTRAN de acordo com as considerações retrocitadas, foram escolhidos quatro exemplos para validar os resultados mediante comparação às tabelas de Bares, à análise realizada no ANSYS e, dependendo do exemplo, a resultados prévios disponíveis na literatura.

Os três primeiros exemplos foram retirados da literatura nacional. O primeiro foi analisado por Silva et al (2003) em um trabalho publicado em um Simpósio nacional, o segundo foi empregado em quatro dissertações de mestrado (REIS, 2007 apud MAZZILLI, 1988; BARBOZA, 1992; REIS, 2007), uma tese de doutorado (CARVALHO, 1994) e em um livro sobre Concreto Armado (CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO, 2014), enquanto que o terceiro exemplo foi concebido por Kimura (2007) em um livro de sua autoria.

Já o último exemplo, que consiste de uma laje com uma borda livre, foi retirado das Notas de Aula da disciplina de Concreto Armado B, ministrada na Universidade Federal de Santa Maria por Santos Neto (2016).

4.1 Exemplo 1 – Laje de Silva, Figueiredo Filho e Carvalho

A laje considerada neste primeiro exemplo foi retirada do artigo “A Utilização da Analogia de Grelha para Análise de Pavimentos de Edifícios em Concreto Armado”, apresentado no V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto (SILVA et al, 2003).

Na Figura 13 está representada a laje deste exemplo. Deve ser observado que no trabalho de Silva et al (2003) a referida laje, nos casos em que as vigas não foram consideradas, possui como vão efetivo o valor de 3,00 m nas duas direções, de modo que tais comprimentos foram obtidos ao considerar a distância entre os eixos das vigas. Visando a melhor comparação dos resultados, tal procedimento também será aqui realizado.

(28)

Figura 13 - Laje de Silva et al (2003)

Fonte: Silva et al (2003)

A laje em questão será analisada segundo cinco casos, a saber:

- Caso 01: Comparação inicial entre os resultados do Programa Analogia de Grelhas, do modelo no ANSYS e do procedimento das Tabelas de Bares;

- Caso 02: Verificar a influência da malha adotada;

- Caso 03: Analisar a influência da relação entre os módulos de deformação longitudinal e transversal do concreto;

- Caso 04: Estudar o comportamento da laje ao considerar vigas verticalmente indeslocáveis no entorno, assim como a influência de suas propriedades;

- Caso 05: Estudar o comportamento da laje ao considerar vigas verticalmente deslocáveis nos bordos, assim como verificar a influência de suas propriedades.

Os dados iniciais serão os seguintes:

- Dimensões da laje: 2,80m x 2,80m x 0,08m; - Vigas de bordo com seção 20 x 30 cm;

- Laje simplesmente apoiada em todo o contorno; - 𝐸_𝑐 = 3,2 𝑥 107_{𝑘𝑁/𝑚²;}

- 𝐺_𝑐 = 1,28 𝑥 107_{𝑘𝑁/𝑚²;}

- 𝛾_𝑐 = 25 𝑘𝑁/𝑚³;

- Carga permanente sobre a laje = 1,00 kN/m²; - Carga acidental sobre a laje = 3,00 kN/m².

(29)

4.1.1 Caso 01 – Comparação entre FORTRAN, ANSYS e Tabelas

Visando uma validação inicial do programa desenvolvido, a laje é analisada segundo uma malha 15 x 15 e sem a consideração das vigas de bordo. Na Figura 14 está indicado o modelo gerado no ANSYS a partir do arquivo texto 03.ANSYS_BEAM4.

Figura 14 - Modelo sem vigas do Caso 01

Fonte: Autor

No Quadro 1 a seguir estão indicados os momentos máximos no meio do vão e as flechas obtidas por Silva et al (2003), pelas tabelas de Bares, pelo Programa Analogia de Grelhas e pelo ANSYS 18.1 com precisão de três casas decimais.

Quadro 1 – Resultados do Caso 01

Parâmetro Tabelas (B) Programa (A) ANSYS A / B

Flecha

(mm) 1,412 1,733 1,733 1,23

Mx = My

(kNm/m) 2,284 2,023 2,023 0,89

(30)

Nota-se que os valores obtidos no programa desenvolvido são iguais aos do ANSYS, o que valida a análise matricial. Em comparação às tabelas de Bares disponíveis no Anexo 1, a flecha resultou aproximadamente 23% superior, enquanto que os momentos no meio do vão foram 11% menores.

A Figura 15 apresenta o Diagrama de Momentos Fletores (DMT) gerado no ANSYS, onde as regiões com cor vermelha representam os maiores momentos positivos.

Figura 15 - Diagrama de Momento Fletor

Fonte: Autor

O DMF apresentado é condizente com a realidade, pois os momentos são nulos nos bordos simplesmente apoiados, assim como seus momentos positivos máximos são iguais e localizados no meio do vão da laje quadrada.

O Diagrama de Momentos de Torção (DMT) está ilustrado a seguir na Figura 16 onde, semelhante ao DMF, os maiores momentos positivos são representados pela cor vermelha e os negativos pela cor azul.

(31)

Figura 16 - Diagrama de Momento de Torção

Fonte: Autor

Assim como o DMF, o DMT também condiz à realidade, visto que os quatro cantos onde coincidem bordos simplesmente apoiados momentos volventes relevantes, alcançando valores de 2,167 kNm/m.

4.1.2 Caso 02 – Influência da Malha

Neste caso serão consideradas as malhas 1 (4 x 4, faixas de 75 cm), 2 (6 x 6, faixas de 50 cm), 3 (10 x 10, faixas de 30 cm), 4 (20 x 20, faixas de 15 cm), 5 (30 x 30, faixas de 10 cm) e 6 (50 x 50, faixas de 6 cm), todas representadas na Figura 17.

(32)

Figura 17 - Malhas utilizadas no Caso 02

Fonte: Autor

No Quadro 2 estão indicados os valores dos deslocamentos transversais máximos (flechas elásticas) obtidos para cada malha e conforme os resultados presentes no trabalho de Silva et al (2003), as tabelas de Bares, o programa desenvolvido e o ANSYS.

Quadro 2 – Flechas do Caso 02 (mm)

Malha Silva et al (2003) (C) Tabelas (B) Programa (A) ANSYS A / B A / C 1 (4 X 4) 2,106 1,412 1,993 1,993 1,411 0,946 2 (6 X 6) 1,941 1,877 1,877 1,329 0,967 3 (10 X 10) 1,799 1,770 1,770 1,254 0,984 4 (20 X 20) 1,693 1,689 1,689 1,196 0,998 5 (30 X 30) Não analisado 1,662 1,662 1,177 - 6 (50 X 50) Não analisado 1,641 1,641 1,162 - Fonte: Autor

(33)

A redução da flecha com o aumento da densidade da malha é notável, assim como a proximidade dos valores da rotina computacional com o resultado obtido pelas tabelas de Bares e com os obtidos no trabalho de Silva et al (2003).

A variação dos deslocamentos transversais máximos conforme a malha adotada pode ser melhor visualizada pelo gráfico da Figura 18 abaixo.

Figura 18 - Variação da flecha máxima com a malha

Fonte: Autor

Percebe-se que a variação da flecha com o aumento da densidade da malha decresce a partir da malha 4 (20 x 20), a partir da qual os valores passam a convergir a uma flecha ligeiramente superior a 1,6 mm. Nota-se que o valor ao qual os deslocamentos máximos convergem é cerca de 16% superior ao obtido nas tabelas de Bares.

Já no Quadro 3 estão indicados os valores dos momentos fletores positivos máximos obtidos em cada malha. Pelo fato da laje ser quadrada e de não se considerar a rigidez das vigas, tais momentos fletores são iguais nas duas direções.

1,993 1,877 1,770 1,689 1,662 1,641 1,500 1,600 1,700 1,800 1,900 2,000 2,100 4 X 4 6 X 6 10 X 10 20 X 20 30 X 30 50 X 50 Fl ec ha (m m ) Malhas

(34)

Quadro 3 - Momentos fletores positivos máximos do Caso 02 (kNm/m) Malha Silva et al (2003) (C) Tabelas (B) Programa (A) ANSYS A / B A / C 1 (4 X 4) 2,895 2,284 3,263 3,263 1,429 1,127 2 (6 X 6) 2,636 2,786 2,786 1,220 1,057 3 (10 X 10) 2,450 2,490 2,490 1,090 1,016 4 (20 X 20) 2,320 2,334 2,334 1,022 1,006 5 (30 X 30) Não analisado 2,293 2,293 1,004 - 6 (50 X 50) Não analisado 2,264 2,264 0,991 - Fonte: Autor

Assim como as flechas, os momentos fletores positivos máximos têm seus valores reduzidos conforme se aumenta a densidade da malha, assim como os resultados da rotina computacional são muito semelhantes aos obtidos por Silva et al (2003). Tal variação é melhor visualizada no gráfico da Figura 19.

Figura 19 - Relação entre momentos fletores máximos e as malhas

Fonte: Autor

Nota-se que a variação do momento fletor das malhas anteriores à malha 4 (20 x 20) é ainda mais acentuada que a variação das flechas. No entanto, a estabilização dos valores a partir desta permanece, visto que os valores convergem a um momento

3,263 2,786 2,490 2,334 _2,293 2,264 2,100 2,300 2,500 2,700 2,900 3,100 3,300 3,500 4 X 4 6 X 6 10 X 10 20 X 20 30 X 30 50 X 50 Mom ento F letor P o si ti vo Máx im o (kN m /m ) Malhas

(35)

fletor positivo máximo ligeiramente superior a 2,260 kNm/m. Tal resultado é cerca de 1% inferior ao obtido pelas tabelas de Bares.

4.1.3 Caso 03 – Módulo de Deformação Transversal do Concreto

Nos casos anteriores foram seguidas às recomendações do item 8.2.9 da NBR 6118 (ABNT, 2014), com relação Gc/Ec igual a 0,4. Neste caso serão verificadas as

diferenças ao reduzir esta relação para 0,2. Tendo em vista a tendências dos resultados convergirem a partir da malha 4 definida no caso anterior, esta será aqui empregada.

No Quadro 4 a seguir estão mostrados os valores das flechas e dos momentos fletores no meio do vão para cada relação 𝐺_𝑐/𝐸_𝑐 considerada, lembrando que tais momentos são iguais pelo fato da laje ser quadrada e pelas vigas não estarem sendo consideradas.

Quadro 4 - Resultados do Caso 03

Parâmetro Tabelas (C) 𝐺𝑐/𝐸𝑐 Silva et al (2003) (B) Programa (A) ANSYS A / B A / C Flecha (mm) 1,412 0,4 1,693 1,689 1,689 0,998 1,196 0,2 2,128 2,134 2,134 1,003 1,511 Mx = My (kNm/m) 2,284 0,4 2,320 2,334 2,334 1,006 1,021 0,2 2,973 2,996 2,996 1,008 1,312 Fonte: Autor

Percebe-se que a redução de Gc/Ec de 0,4 para 0,2 acarreta em flechas e

momentos fletores máximos muito mais distantes dos valores obtidos pelas tabelas de Bares, em torno de 51% e 31%, respectivamente.

O aumento da flecha e dos momentos fletores são consequência da redução da rigidez à torção das barras que, por sua vez, ocorre pela redução do módulo de deformação transversal. A redução da rigidez à torção leva à redução dos momentos de torção e, consequentemente, ao aumento dos momentos fletores e da flecha para garantir o equilíbrio da grelha (SILVA et al, 2003).

(36)

4.1.4 Caso 04 – Vigas Verticalmente Indeslocáveis

Neste caso será considerado Gc/Ec = 0,4, a malha 4 definida no Caso 02, assim

como as vigas de seção 20 x 30 indeslocáveis verticalmente. Seus momentos de inércia serão definidos considerando o CG da própria viga e, em uma análise posterior, o CG da laje, onde será feita a compensação pelo Teorema de Steiner.

Também serão verificados os resultados ao considerar as vigas com momento de inércia à torção no Estádio I, adotando-se o valor calculado da seção retangular, ou no Estádio II, adotando-se 10% do valor referente ao Estádio I (CARVALHO, 1994).

Embora o item 14.6.6.2 da NBR 6118 (ABNT, 2014) indique o uso de 15% do momento de inércia à torção das vigas devido à fissuração, será empregada a recomendação de Carvalho (1994) pelo fato desta ter sido utilizada por Silva et al (2003), permitindo a melhor comparação dos resultados.

Na Figura 20 está indicada a grelha gerada no ANSYS referente ao caso aqui analisado.

Figura 20 - Modelo referente ao Caso 04

(37)

O Quadro 5 contém os valores de flecha e momento fletor positivo máximo obtidos ao considerar o momento de inércia à torção das vigas calculado no Estádio I e no Estádio II, assim como adotando-se o eixo das vigas e das lajes no cálculo deste e do momento de inércia à flexão.

Parâmetro Tabelas (C) Eixo Adotado para Ix e Iz das Vigas Programa ANSYS A / C B / C Estádio I (A) Estádio II (B) Estádio I Estádio II Flecha (mm) 1,147 Eixo da Viga 0,609 1,145 0,609 1,145 0,531 0,998 Eixo da Laje 0,546 0,605 0,546 0,605 0,476 1,399 Mx = Mz (kNm/m) 2,059 Eixo da Viga 1,171 1,747 1,171 1,747 0,569 0,848 Eixo da Laje 1,104 1,167 1,104 1,167 0,536 0,567 Fonte: Autor

Observa-se que a única combinação de considerações cujos resultados são próximos aos obtidos pelas tabelas de Bares é aquela que considera, simultaneamente, os momentos de inércia calculados adotando-se o eixo das vigas, assim como as vigas no Estádio II ao cálculo do momento de inércia à torção.

Para esta combinação, a flecha obtida pela rotina computacional é 0,002% inferior à obtida pelas tabelas de Bares, enquanto que os momentos máximos são 15% inferiores.

Em todas as situações as flechas e momentos máximos são superiores ao considerar as vigas no Estádio II. A razão para tal é a redução dos momentos de torção e consequente aumento dos momentos fletores devido à redução da rigidez à torção das vigas por fissuração.

Da mesma forma, as flechas e momentos fletores também são superiores ao considerar os momentos de inércia calculados segundo os eixos das vigas, sem a compensação pelo Teorema de Steiner. Isto se deve à majoração dos momentos de inércia ao considerar o eixo da laje, o que acaba por reduzir tanto os momentos de torção como os fletores e, consequentemente, a flecha máxima.

Os Diagramas de Momento de Torção e Fletor estão indicados, respectivamente, na Figura 21 a seguir, onde apenas as barras referentes às lajes foram consideradas.

(38)

Figura 21 - Diagramas de momento de torção (à esquerda) e fletor (à direita) da laje

Fonte: Autor

Percebe-se que a consideração de vigas verticalmente indeslocáveis manteve a fidelidade ao comportamento real deste tipo de laje, visto que o DMT indica momentos volventes consideráveis nos cantos dos bordos simplesmente apoiados (em torno de 1,284 kNm/m) e o DMF apresenta os momentos positivos máximos no meio do vão.

Nota-se, no entanto, a presença de momentos fletores negativos próximos ao meio dos bordos simplesmente apoiados. Tais momentos decorrem da ligação rígida entre as barras referentes às faixas da laje e às vigas.

4.1.5 Caso 05 – Vigas Verticalmente Deslocáveis

Neste caso foi considerada a deslocabilidade vertical das vigas de bordo, cujas vinculações aos pilares situados nos cantos foram consideradas ora por apoio simples, caracterização uma ligação totalmente flexível aos pilares, ora engastada, definindo uma ligação totalmente rígida aos mesmos.

(39)

Figura 22 - Modelo com vigas verticalmente deslocáveis do Caso 05

Fonte: Autor

Abaixo, no Quadro 6, estão indicados os valores de flecha e momento fletor positivo máximo no meio do vão considerando os momentos de inércia à torção das vigas nos Estádios I ou II, assim como as ligações entre vigas deformáveis e pilares indeformáveis totalmente flexíveis (apoios simples) ou rígidas (engastes).

Parâmetro Tabelas Silva et al (2003) Ligação Viga Pilar Programa ANSYS Estádio I Estádio II Estádio I Estádio II Estádio I Estádio II Flecha (mm) 1,147 1,576 1,914 Apoio Simples 1,054 1,426 1,054 1,426 Engaste 0,606 1,153 0,606 1,153 Mx = Mz (kNm/m) 2,284 1,693 2,093 Apoio Simples 1,742 2,138 1,742 2,138 Engaste 1,190 1,780 1,190 1,780 Fonte: Autor

Embora os valores de flecha e momento fletor obtidos na rotina computacional tenham sido semelhantes ao obtido pelas tabelas de Bares (principalmente ao considerar vigas simplesmente apoiadas e Estádio II ao cálculo de IX), nota-se uma

(40)

Deve ser destacado que as flechas indicadas no Quadro 6 anterior decorrem da subtração da flecha total do conjunto laje-vigas pela flecha das vigas. Silva et al (2003) não informam se este procedimento foi realizado em suas análises, o que pode ser a razão das discrepâncias observadas, haja vista que a flecha total (principalmente do conjunto laje-vigas simplesmente apoiados sobre os pilares indeformáveis) é muito semelhante aos valores por eles obtidos.

No Quadro 7 estão indicadas as flechas totais do conjunto laje-vigas calculadas pela rotina computacional em comparação aos valores de Silva et al (2003), evidenciando as afirmações do parágrafo acima.

Quadro 7 - Flecha total do modelo do Caso 05

Parâmetro Silva et al (2003) Ligação Viga Pilar

Programa Analogia de Grelhas

Estádio I Estádio II Estádio I Estádio II

Flecha Total

(mm) 1,576 1,914

Apoio Simples 1,641 1,978

Engaste 0,703 1,258

Fonte: Autor

Quanto aos momentos fletores na laje, a Figura 23 ilustra a sua distribuição segundo as suas duas direções, sem considerar as barras das vigas na visualização.

Figura 23 - Diagrama de momento fletor das barras da laje ao longo do eixo X global (esquerda) e eixo Z global (direita)

(41)

Apesar da região dos momentos fletores positivos máximos (em vermelho) apresentar um aspecto “alongado” nas duas direções, estes ainda são simétricos e iguais nas duas direções, o que é fidedigno à realidade deste tipo de laje. Também é possível observar, semelhante ao caso anterior, os momentos fletores negativos junto às vigas.

A Figura 24 a seguir ilustra o Diagrama de Momentos de Torção da laje aqui analisada, sendo desconsideradas as barras relacionadas às vigas na visualização.

Figura 24 - Diagrama de momento de torção da laje

Fonte: Autor

Semelhante às análises sem vigas e com vigas indeslocáveis verticalmente, os momentos volventes decorrentes dos momentos de torção são notáveis nos cantos com os bordos simplesmente apoiados, com valores em torno de 0,977 kNm/m (considerando vigas no Estádio II quanto à torção).

O Diagrama de Momentos Fletores das vigas de bordo é possível de ser obtido na análise considerando as vigas verticalmente deslocáveis, sendo ilustrado a seguir na Figura 25.

(42)

Figura 25 - Diagrama de momento fletor das vigas

Fonte: Autor

Nota-se que o DMF de todas as vigas é igual, visto que possuem as mesmas vinculações, apresentam as mesmas propriedades físicas e geométricas, e estão sujeitas aos mesmos carregamentos. O momento fletor positivo máximo no meio de seus vãos é aproximadamente 8,47 kNm.

Considerando o procedimento simplificado à determinação do momento fletor máximo no meio das vigas a partir de uma área de influência da laje sobre as vigas de 2,56 m², conforme a Figura 26 a seguir, obtém-se 5,46 kNm, de modo que o valor calculado pela rotina computacional é 55% superior.

Figura 26 - Momento fletor das vigas mediante processo simplificado

Fonte: Autor

Ai = 2,56 m² P = 6,00 kN/m²

5,46

(43)

Tal diferença decorre das diversas simplificações adotadas neste último método, tal como as áreas de influência e a não consideração dos demais elementos estruturais do pavimento. Nota-se também que enquanto no DMF da Figura 26 o momento fletor sobre os apoios é nulo, no DMF da Figura 25 estes equivalem a 0,84 kNm/m, sendo consequência dos momentos de torção e, sobretudo, da análise conjunta envolvendo laje e vigas.

4.2 Exemplo 2 – Pavimento de Mazzilli

Este pavimento foi empregado em uma série de dissertações nacionais de mestrado, tendo sido inicialmente concebido por Mazzilli em seu trabalho intitulado “Influência da Flexibilidade das Vigas de Apoio no Cálculo de Estruturas de Edifícios” (REIS, 2007 apud MAZZILLI, 1988), onde o mesmo foi resolvido pelo método dos elementos finitos.

Posteriormente, Barboza (1992) utilizou este pavimento tanto para explicar o funcionamento de seu programa desenvolvido em linguagem de programação Pascal, como para estudar a interação entre lajes e vigas mediante analogia de grelhas.

Carvalho (1994) empregou novamente este pavimento ao estudo por analogia de grelha linear e não-linear com variações no valor do módulo de deformação transversal G.

Com o intuito de estudar a análise de pavimentos considerando-se a interação laje-viga-pilar, Reis (2007) reutilizou este pavimento empregando a analogia de grelhas, método dos elementos finitos e processos simplificados.

Tal exemplo também é analisado no capítulo 7 do livro intitulado “Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto Armado: Segundo a NBR 6118: 2014” desenvolvido por Carvalho e Figueiredo Filho (2014).

Constituído por oito pilares, seis vigas e três lajes, o pavimento está representado na Figura 27 a seguir.

(44)

Figura 27 - Pavimento de Mazzilli

Fonte: Adaptado de Reis (2007)

Embora os autores dos trabalhos supracitados tenham geralmente analisado todo o pavimento simultaneamente, suas lajes serão analisadas individualmente devido às limitações do programa desenvolvido.

Cada uma das três lajes será analisada segundo quatro casos, a saber: - Caso 01: Vigas de bordo desconsideradas;

- Caso 02: Consideração de vigas de bordo verticalmente indeslocáveis; - Caso 03: Consideração de vigas de bordo verticalmente deslocáveis e supostas simplesmente apoiadas nos pilares;

- Caso 04: Consideração de vigas de bordo verticalmente deslocáveis e supostas engastadas nos pilares;

(45)

Em todos os casos os momentos de inércia à torção dos elementos viga serão determinados considerando-se o Estádio II, assim como será adotado apenas o centro de gravidade da própria viga.

No Caso 04, onde as vigas são verticalmente deslocáveis, os bordos engastados serão representados por momentos distribuídos nos respectivos bordos, simulando-se de modo simplificado o efeito de engastamento.

A convenção dos esforços é baseada na adotada por Reis (2007), sendo representada abaixo na Figura 28.

Figura 28 - Convenções adotadas aos momentos fletores do Exemplo 2

Fonte: Autor

Os resultados obtidos na análise individual de cada laje serão comparados àqueles obtidos pelo modelo 2B definido por Reis (2007), onde as lajes são analisadas individualmente mediante analogia de grelhas com barras espaçadas de 50 cm, assim como pelas tabelas de Bares.

(46)

4.2.1 Laje 1

Esta laje quadrada possui os bordos superior e esquerdo simplesmente apoiados, enquanto que o inferior e o direito são engastados. Tais características a classificam como laje tipo 3 nas tabelas de Bares do Anexo 1, cuja relação entre o menor e o maior vão vale 1,00.

O modelo da laje gerado no ANSYS, considerando a análise por vigas indeslocáveis verticalmente, está representado na Figura 29.

Figura 29 - Modelo considerando vigas verticalmente indeslocáveis da Laje 1

Fonte: Autor

No Quadro 8 a seguir estão indicados os valores das flechas e dos momentos fletores positivo e negativo, conforme a simbologia apresentada na Figura 28.

Quadro 8 - Resultados da Laje 1

Parâmetro Tabelas Reis (2007)

Considerações Quanto às

Vigas Programa ANSYS

Flecha

(cm) 1,063 1,260

Sem Vigas 1,211 1,211

Vigas Indeslocáveis 1,198 1,198

Vigas Deslocáveis sobre

Apoios Simples 1,118 1,118

(47)

(continuação) Parâmetro Tabelas Reis

(2007)

Considerações Quanto às

Vigas Programa ANSYS

Mx1 = Mz1

(kNm/m) 9,684 10,830

Sem Vigas 6,331 6,331

Vigas Deslocáveis Engastadas 9,171 9,171

Xx1 = Xz1

(kNm/m) 25,164 26,270

Sem Vigas 25,714 25,714

Vigas Deslocáveis Engastadas 25,347 25,347 Fonte: Autor

A análise desconsiderando as vigas resultou em uma flecha 14% superior à obtida pelas tabelas de Bares, assim como em momentos fletores positivos 35% inferior. Embora tais valores apresentem uma considerável discrepância, o momento fletor negativo nos bordos engastados resultou apenas 2% superior.

Comparando aos resultados de Reis (2007), a flecha resultou 4% inferior, os momentos fletores positivos foram 42% inferiores e os momentos fletores negativos 2% inferiores. A análise desconsiderando as vigas foi a que mais se afastou dos obtidos por Reis (2007).

Ao considerar vigas verticalmente indeslocáveis, obtém-se uma flecha 13% superior a determinada pelas tabelas de Bares, assim como momentos fletores positivos 2% superiores e momentos fletores negativos praticamente idênticos. Esta foi a análise cujos resultados foram mais similares aos das tabelas de Bares.

Ao comparar os resultados da rotina computacional com os obtidos por Reis (2007), nota-se que a flecha é 5% inferior, os momentos Mx1 e Mz1 são 9% inferiores e os momentos Xx1 e Xz1 são inferiores em 2%. Assim como esta análise foi a que mais se aproximou dos valores das tabelas de Bares, esta foi a que mais se aproximou dos valores determinados por Reis (2007).

Quanto às análises considerando vigas verticalmente deslocáveis sobre pilares indeformáveis, foram adicionados momentos uniformemente distribuídos equivalentes

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a 25,347 kNm/m sobre os bordos inferior e direito para simular a continuidade das lajes. Tal valor foi obtido pela média aritmética dos momentos fletores negativos obtidos nas análises anteriores e também pelas tabelas de Bares.

Ao considerar as vigas simplesmente apoiadas nos pilares a flecha e os momentos fletores positivos resultam 5% e 8% superiores aos obtidos pelas tabelas de Bares, respectivamente. No entanto, ao considera-las engastadas nos pilares, a flecha e os momentos fletores positivos passam a resultar 11% e 5% inferiores.

Nota-se que mais uma vez os valores das tabelas de Bares se situam entre os obtidos ao considerar as vigas deslocáveis simplesmente apoiadas e ao considera-las engastadas nos mesmos.

Este comportamento por pouco não se verifica ao comparar os resultados com os de Reis (2007), visto que a flecha e os momentos positivos calculados pela rotina computacional são 11% e 3% inferiores ao considerar as vigas simplesmente apoiadas, e são 25% e 15% inferiores ao considera-las engastadas.

O Diagrama de Momentos de Torção e Fletores, obtido pela análise por vigas indeslocáveis e considerando a visualização apenas das barras referentes à laje, está indicado na Figura 30.

Figura 30 - Diagramas de momento de torção e fletor da Laje 1

Fonte: Autor

Os diagramas são condizentes ao comportamento real deste tipo de laje, visto que os momentos volventes relevantes estão no canto onde há o encontro de dois bordos simplesmente apoiados; os momentos fletores Mx1 e Mz1 estão ligeiramente

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afastados do centro da laje e em direção ao canto com os bordos simplesmente apoiados; e os momentos fletores negativos nos bordos engastados são muito superiores aos dos bordos simplesmente apoiados.

4.2.2 Laje 2

A laje aqui analisada é retangular, armada em duas direções, simplesmente apoiada nos bordos inferior e esquerdo, e engastada nos bordos superior e direito. Segundo as tabelas de Bares esta laje também é do tipo 3, porém a relação entre o maior e o menor vão teórico equivale a aproximadamente 1,50.

Em todas as análises foi utilizada uma malha 20 x 15, conforme ilustra a Figura 31 a seguir, onde foi representado no ANSYS a análise considerando as vigas de bordo verticalmente indeslocáveis.

Figura 31 - Modelo com vigas verticalmente indeslocáveis da Laje 2

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No Quadro 9 a seguir estão indicados os resultados referentes às flechas e aos momentos fletores da laje 2.

Parâmetro Reis (2007) Tabelas Considerações Quanto às Vigas Programa ANSYS 18.1 Flecha (mm) 4,300 3,583 Sem Vigas 4,195 4,195 Vigas Indeslocáveis 4,218 4,218

Mx2

(kNm/m) 4,500 3,493

Sem Vigas 3,471 3,471

Mz2

(kNm/m) 8,820 7,343

Sem Vigas 9,718 9,718

Xx2

(kNm/m) 17,510 16,160

Sem Vigas 17,065 17,065

Vigas Indeslocáveis 18,925 18,925 Vigas Deslocáveis sobre

Xz2

(kNm/m) 12,880 12,512

Sem Vigas 12,687 12,687

Vigas Indeslocáveis 13,323 13,323 Vigas Deslocáveis sobre

Vigas Deslocáveis Engastadas 12,841 12,841 Fonte: Autor

Considerando a análise sem vigas e os resultados das tabelas de Bares, nota-se que a flecha é 17% maior, Mx2 é praticamente o mesmo, Mz2 é 32% superior, Xx2 é 6% maior e Xz2 é 1% mais elevado. Exceto por Mz2, a análise sem vigas resultou em valores bastante similares.

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Ao comparar os resultados desta análise com os resultados de Reis (2007), nota-se que a flecha é 2% menor, Mx2 é 23% inferior, Mz2 é 10% maior. Xx2 é 2,5% menor e Xz2 é 1,5% inferior. Nesta comparação as discrepâncias foram maiores que a realizada previamente às tabelas de Bares.

A consideração de vigas verticalmente indeslocáveis, comparada às tabelas de Bares, apresentou flecha 18% maior, Mx2 7,5% superior, Mz2 28% mais elevado, e Xx2 e Xz2 cerca de 10% superiores. Já ao comparar com os resultados de Reis (2007) a flecha passa a ser 2% inferior, Mx2 é 16,5% menor, Mz2 é 6% superior, e Xx2 e Xz2 são cerca de 5% mais elevados. Nota-se que as discrepâncias da análise por vigas verticalmente indeslocáveis foram maiores que às observadas na laje 1.

Visando a simulação do engastamento ao considerar vigas verticalmente deslocáveis, foram considerados momentos uniformemente distribuídos sobre os bordos superior e direito iguais a 17,383 kNm/m e 12,841 kNm/m, respectivamente. Tais momentos foram obtidos pela média aritmética dos valores de Xx2 e Xz2 previamente calculados.

Independente de considerar as vigas simplesmente apoiadas ou engastadas sobre os pilares indeformáveis, os resultados obtidos por estas análises foram os que mais se distanciaram dos valores obtidos tanto pelas tabelas de Bares como por Reis (2007).

Na Figura 32 estão representados os Diagramas de Momentos de Torção e Fletores gerados no ANSYS, os quais foram obtidos pela análise por vigas verticalmente indeslocáveis e foi desconsiderada a visualização das barras das vigas.

Figura 32 - Diagramas de momento de torção (esquerda) e fletor (direita) da Laje 2