Universidade Estadual de Mato Grosso Campus de C ´aceres
Departamento de Matem ´atica Bacharelado em Computa¸c ˜ao
Matemática Discreta
Computa¸c ˜aoApostila
Docente: Michael K. V. Gondim
Cáceres 2015
Conteúdo
1 Indução 2
1.1 Elemento mínimo e PBO . . . 2
1.2 Indução matemática . . . 2
1.2.1 Exemplos . . . 2
1.3 Outras formas de indução matemática . . . 3
1.3.1 Exemplos . . . 3
1.4 Exercícios. . . 4
2 Conjuntos 5 2.1 Conjunto universo e vazio . . . 5
2.2 Conjunto unitário . . . 5
2.3 Relação de Inclusão . . . 5
1
Indução
1.1 Elemento mínimo e PBO
O princípio da indução matemática é uma técnica para lidar com tipos de dados que têm uma relação de boa-ordem. Para isso, definiremos o elemento mínimo de um conjunto e logo em seguida, introduziremos o método de recorrência ou indução matemática.
Definição 1.1. Seja A um conjunto de inteiros. Chama-se elemento mínimo de A um elemento a ∈ A tal
que a ≤ x para todo x ∈ A. Simbolicamente, temos:
min A= a ⇔ a ∈ A e ∀x ∈ A, a ≤ x
Princípio da Boa Ordem: Todo subconjunto não-vazio de inteiros positivos contém um elemento mínimo.
1.2 Indução matemática
Teorema 1.1. Seja P(n) uma proposição associada a cada inteiro positivo n e que satisfaz às duas seguintes condições:
1. P(1) é verdadeira;
2. para todo inteiro positivo k, se P(k) é verdadeira, então P(k+ 1) é verdadeira. Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo inteiro positivo n.
1.2.1 Exemplos
Exemplo 1.1. Demonstrar a proposição:
P(n) : 1+ 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2, ∀n ∈ N
Exemplo 1.2. Demonstrar a proposição:
P(n) : 1 1 · 2+ 1 2 · 3+ 1 3 · 4+ . . . + 1 n(n+ 1) = n n+ 1, ∀n ∈ N
Exemplo 1.3. Demonstrar a proposição:
P(n) : 3 | (22n− 1), ∀n ∈ N
Exemplo 1.4. Demonstrar a proposição:
P(n) : 2n> n, ∀n ∈ N 1.3 Outras formas de indução matemática
Teorema 1.2. Seja r um inteiro positivo fixo e seja P(n) uma proposição associada a cada inteiro n ≥ r e que satisfaz às duas seguintes condições:
1. P(r) é verdadeira;
2. para todo inteiro positivo k ≥ r, se P(k) é verdadeira, então P(k+ 1) é verdadeira. Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo inteiro n ≥ r.
1.3.1 Exemplos
Exemplo 1.5. Demonstrar a proposição:
P(n) : 2n< n!, ∀n ≥ 4
Exemplo 1.6. Demonstrar a proposição:
1.4 Exercícios
1. Demonstrar por “indução matemática”: (a) 12+ 22+ 32+ . . . + n2= n 6(n+ 1)(2n + 1), ∀n ∈ N (b) 13+ 23+ 33+ . . . + n3= n 2 4 (n+ 1) 2, ∀n ∈ N (c) 12+ 32+ 52+ . . . + (2n − 1)2 = n 3(4n 2− 1), ∀n ∈ N (d) 13+ 33+ 53+ . . . + (2n − 1)3 = n 3(n+ 1)(n + 2), ∀n ∈ N (e) 1+ 1 4+ 1 9+ . . . + 1 n2 ≤ 2 − 1 n, ∀n ∈ N (f) a+ aq + aq2+ . . . + aqn= a(q n−1− 1 q − 1 , (q , 1) ∀n ∈ N 2. Demonstrar por “indução matemática”:
(a) 2n< 2n+1, ∀n ∈ N (b) 2n> n2, ∀n ≥ 5 (c) 2n> n3, ∀n ≥ 10 (d) 4n> n4, ∀n ≥ 5 (e) n!> n2, ∀n ≥ 4 (f) n!> n3, ∀n ≥ 6
3. Demonstrar por “indução matemática”: (a) 2 | (3n− 1) ∀n ∈ N (b) 6 | (n3− 3n), ∀n ≥ 5 (c) 5 | (8n− 1), ∀n ≥ 10 (d) 24 | (52n− 1), ∀n ≥ 5 (e) 7 | (23n− 1), ∀n ≥ 4 (f) 8 | (32n+ 7), ∀n ≥ 6
4. Demonstrar que 10n+1− 9n − 10 é um múltiplo de 81 para todo inteiro positivo n. 5. Demonstrar que n3 3 + n5 5 + 7n 15 é um inteiro positivo para todo n ∈ N.
2
Conjuntos
A noção matemática de conjunto é praticamente a mesma que se usa na linguagem comum; é o mesmo que agrupamento, classe, coleção, sistema.
De acordo com (Lima,2013): Um conjunto (ou coleção) é formado de objetos, chamados os seus elementos. A relação básica entre um objeto e um conjunto é a relação de pertinência:
x ∈ A x pertence a A x < A x não pertence a A Os principais conjuntos numéricos são:
1. O conjunto dos números naturais: N = {1, 2, 3, . . .}
2. O conjunto dos números inteiros: Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} 3. O conjunto dos números racionais: Q = {pq; p, q ∈ Z e q , 0} 4. O conjunto dos números reais: R
5. O conjunto dos números complexos: C = {a + bi; a, b ∈ R e i2= −1}
Os conjuntos serão representados por letras maiúsculas; A, B, C, X, etc. Os elementos de um conjunto serão representados por letras minúsculas: a, b, x, y, etc.
Existem essencialmente duas maneiras de especificar um conjunto particular. Listando seus elementos ou enunciando propriedades que caracterizam seus elementos.
Exemplo 2.1. Vejamos o conjunto das vogais V que pode ser definido com todos os seus elementos
V= {a, e, i, o, u} ou usando uma propriedade
V= {x; x é uma vogal} 2.1 Conjunto universo e vazio
Dois conjuntos especiais são o conjunto universo, isto é, o conjunto de todos os objetos em questão, e o conjunto vazio, isto é, o conjunto que não contém nenhum elemento. Os conjuntos universo e vazio são denotados, respectivamente, por U e ∅.
2.2 Conjunto unitário
Em álgebra de conjuntos, os objetos de interesse são os conjuntos e não os elementos que pertencem a eles. Assim, as operações devem ser definidas sobre ou entre conjuntos, mas nunca sobre elementos isolados. Para tratar elementos, devemos considerar conjuntos unitários. Por exemplo, se a é um elemento de U então {a} denota o conjunto unitário que contém apenas um único elemento, o elemento a.
2.3 Relação de Inclusão
Um conjunto A é igual a um conjunto B, denotado A = B, se eles contêm exatamente os mesmos elementos. Caso contrário, eles são diferentes e denotamos por A , B.
Um conjunto A está contido num conjunto B se todos os elementos de A pertencem também ao conjunto B. Escrevemos A ⊆ B e dizemos que A é um subconjunto de B. Se, além disso, B
possui pelo menos um elemento que não pertence a A, então dizemos que A está propriamente
contidoem B, ou que A é um subconjunto próprio de B, e denotamos A ⊂ B.
A relação de inclusão de conjuntos ⊆ obedece às seguintes propriedades. Para quaisquer X, Y e Z,
I1. (reflexiva) X ⊆ X
I2. (transitiva) X ⊆ Y e Y ⊆ Z ⇒ X ⊆ Z I3. (anti-simétrica) X ⊆ Y e Y ⊆ X ⇒ X= Y I4. ∅ ⊆ X e X ⊆ U
A propriedade anti-simétrica será muito usada nas demonstrações! 2.4 Conjunto das Partes
Dado um conjunto X, indica-se com 𝒫(X) o conjunto cujos elementos são as partes de X.
Exemplo:Seja A= {a, b, c}. Liste todos os elementos de 𝒫(A).
Exemplo:Mostre que se A contém n elementos então 𝒫(A) contem 2nelementos.
Referências
Lima, E. L. (2013). Curso de análise vol. 1, volume 1. Lima, Rio de Janeiro, 14th edition. ISBN 978-85-244-0118-3. 5
