Análise Bayesiana de dados de sobrevivência com função de risco em forma de U

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(1)Análise Bayesiana de dados de sobrevivência com função de risco em forma de U. Vadirene. de Fátima. Barbosa. Orientador: Prof. Dr. Jorge Alberto Achcar. Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ÍCMC-USP. como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências - Área: Ciência de Computação e Matemática Computacional.. " V E R S Ã O REVISADA APÓS A D E F E S A ". USP - São Carlos 0utubro/2003.

(2) Agradecimentos Acima de tudo, agradeço a Deus pela saúde que me permite dedicar ao trabalho. Ao Prof. Jorge Alberto Achcar, pela orientação objetiva, paciência e disponibilidade. Por compartilhar comigo toda a sua rica experiência, profissional e conduzir este trabalho com otiniismo. Aos professores Francisco Louzada Neto e Reiko Aoki pelas valiosa,s sugestões no exame de qualificação. As colega,s funcionárias da, secretaria, de põs-graduação, Laura, Elizabete e Ana, Paula as quais são sempre prestativas e amáveis comigo. Ao CNPq pelo apoio financeiro. Ao meu grande amor Gilberto, tanto pela cumplicidade emocional nos momentos difíceis, quanto pelos valiosos ensinamentos e discussões profissionais durante todo o meu período de mestrado. A minha, mãe Conceição e meus irmãos Vanderlei, Vanessa e David, por acreditarem em mim e sempre estarem a,o meu lado. As colegas Valéria. Cilene, Wruck, Juliano, Fabrizio, Andréa, Lucas, Vera e Sandra, pelo apoio durante os cursos e disciplinas. Enfim, gostaria de agradecer a todos que contribuíram para, a realização deste trabalho..

(3) Em especial aos amores de minha vida,, Gilberto, meus pais e meus irmãos.

(4) Resumo Neste trabalho, c apresentada urna. análise Bayesiana de dados de eonfiabilidade ou dados médicos cuja população está sujeita a duas causas de falha e só é possível observar o mínimo (nitre os dois tempos de falha.. listas falhas podem ser falha precoce e falha. por envelhecimento e geralmente, nestas situações as funções de risco apresentam forma de U, exigindo uma análise mais complexa com uso dc modelos mais elaborados como Weibull-Exponenciada (Mudholkar, 1995), Gama. generalizada (Stacy, 1982), ou modelos de mistura de distribuições para,métricas. Na maioria, dos casos existe dependência entre os dois tempos de falha e o uso de um modelo que (incorpore esta dependência se faz necessária. Desta forma, propomos a utilização da distribuição bivariada de R.yu (1993) cine assume dependência, (nitre os tempos.. Um dos objetivos principais deste trabalho. está relacionado á análise Bayesiana de dados com observações censuradas, na presença ou não de eovariáveis sol) as suposições citadas. No contexto Bayesiano foram utilizadas técnicas de simulação via. Monte Carlo em Cadeias de Markov (MCMC)..

(5) Abstract In tliis work, wc: develop a. Bayesian analysis for lifetime data where tlic population is subinitted to two causcs of failures and it is possible to observe onlv the minimum between these two lifetimes.. Th esc; failures could be precoce or aging and generally, in these. situations, the haza.nl functions have a U form (bathtub forni), and we need more general models like the exponentiated-YVeibull (Mudholkar, 1995), generalized Ganinia (Stacy, 1982) or mixtures of paranietric distributions. In general, we ha/ve in these situations dependence between these two failures. In this ea.se, we propose the use of the bivariate distribution of llyu (1993) tliat assumes dependenee between the failures. We use M C M C (Markov Chain Monte Carlo) methods to obtain a, Bayesian analysis of these models in the presence or not of eovaria.t.es..

(6) Sumário. 1. 2. Introdução. 1. 1.1. Preliminares. 1. 1.2. Apresentação dos Capítulos. 3. Modelos c o m Funções de Risco em Forma de U. 5. 2.1. Família de Distribuições Weihull Expoiícnciada. 5. 2.2. Família de distribuições IDB. 6. 2.3. Distribuição Potência Exponencial. 7. 2.4. Modelo Bivariado de R.yu. 8. 2.4.1. Modelo de Ryu. 8. 2.4.2. Modelo de Ryu para Tempo de Falha, Precoce e Falha, por Envelhecimento. 10. 2.4.3. Modelo Generalizado de R.yu. 12. 2.4.4. Modelo Generalizado de Rvu para, Tempo de Falha Precoce e Falha por Envelhecimento. 14.

(7) 3. Função tle Verossiinilhariça. 16. 3.1. Dados Observados Completos e na Ausência de Covariável. 16. 3.1.1. 17. 3.2. 3.1.2. Modelo IDB. 17. 3.1.3. Modelo Potência Exponencial. 17. 3.1.4. Modelo de llyu. 17. 3.1.5. Modelo Generalizado de llyu. Dados Observados Completos e na Presença, de Covariável 3.2.1. 3.3. 4. Modelo Weibull Exponenciada. Introdução de Covariável ao Modelo de llyu. •. 19. 3.2.2. Modelo de llyu. 20. 3.2.3. Modelo Generalizado de llyu. 20. Dados Censurados à Direita na Presença de Covariável. 21. 3.3.1. Modelo de llyu. 21. 3.3.2. Modelo Generalizado de llyu. 22. Análise Bayesiana 4.1. 18. 23. Dados Observados Completos e Ausência de Covariáveis. 23. 4.1.1. Modelo Weibull exponenciada. 23. 4.1.2. Modelo IDB. 24. 4.1.3. Modelo Potência Exponencial. 25.

(8) 4.2. 4.3. 5. 4.1.4. Modelo de H.vu. 26. 4.1.5. Introdução de unia, Variável Artificial (ou Latente). 27. 4.1.6. Modelo Generalizado de Ryu. 28. Dados Observados Completamente na, Presença de Covariáveis. 30. 4.2.1. Modelo de Ryu. 30. 4.2/2. Modelo Generalizado de Rvu. 31. Dados Censurados à. Direita na. Presença de Covariáveis. 33. 4.3.1. Introdução de Variáveis Artificiais (ou Latentes). 33. 4.3.2. Modelo de Ryu. 34. 4.3.3. Modelo Generalizado de llyu. 35. 4.3.4. Método Bayesiano para, seleçâo de Modelos. 37. Aplicações. 38. 5.1. Exemplo 1 - Dados Observados Completos e na Ausência de Covariável . .. 39. 5.1.1. Weibull Exponenciada. 40. 5.1.2. Modelo IDB. 41. 5.1.3. Modelo Potência Exponencial. 41. 5.1.4. Modelo de Ryu. 42. 5.1.5 5.1.6. Modelo Generalizado de Ryu Discriminação dos Modelos para os dados de Aarset. 42 44.

(9) 5.2. 5.3. 6. Exemplo 2 - l);ulos Observados Completamente com Covariável. 45. 5.2.1. Conjunto de Dados Simulados. 45. 5.2.2. Conjunto de Dados Reais. 48. Exemplo 3 - Dados Censurados à Direita com Covariável. 50. 5.3.1. Modelo de Ryu. 50. 5.3.2. Modelo de Ryu Generalizado. 50. Conclusões gerais. 53. Apêndice A:Dados Simulados. 55. Apêndice B:Algoritino Metropolis-Hastings. 57. Apêndice C: Critério de Convergência. 59. Apêndice D: Programa Computacional. 62. Referências Bibliográficas. 69.

(10) Capítulo 1 Introdução. 1.1. Preliminares Em análise de dados de sobrevivência é muito comum situações onde o tempo de vida. associado à uma causa particular não ser observado, mas somente ser conhecido o tempo de vida mínimo entre todas as causas possíveis de falha, incluindo a. causa particular de interesse. Muitas vezes, a causa, particular de falha, não 6 indicada para, os tempos de sobrevivência, observados. Uni caso especial é dado por unidades ou componentes fabricados numa, linha de produção onde há, uma pequena proporção de componentes com algum defeito de fabricação que leva à falha, precoce do componente e unia grande proporção de componentes sem defeito de fabricação que falham por envelhecimento ou desgaste natural. Assim, há interesse em modelos que incorporam essas duas causas de falhas: falhas precoces e falhas por envelhecimento. Neste1 caso, a. função de risco (ver por exemplo, Kalbfteisch e Prentice, 1980) pode ter unia, fornia de banheira, ou U, e os modelos paramétricos usuais como as distribuições de Weibull, Exponencial, Gania, entre outros, não são adequados para analisar os dados. A mesma situação é encontrada para dados médicos onde podemos ter dois ou mais.

(11) Introdução. .2. riscos competitivos que levam á. morte do paciente. Assim, o tempo observado é dado por T — miii(Ti, T2), onde Ti c o tempo de vida até a falha devido ã causa defeito de fabricação e T2 é o tempo de vida até a falha devido ao envelhecimento. Muitas distribuições são introduzidas para modelar esse tipo de dados tais como a família de; distribuições Gama generalizada proposta por Staey (1982), a família PotênciaExponeneia.1 formulada, por Smith & Bain (1975). Uma, revisão para, modelos com função de risco na fornia, de U é dada por Rajarshi & Rajarshi (1988). Uma ampla variedade de métodos de estimação e testes de hipóteses tais como o método dos momentos, mínimos quadrados pondera,dos e máxima verossimilhança foram discutidos para. esses modelos (ver por exemplo, Rajarshi & Rajarshi (1988), Hjortli (1980)). Mudholkar et ai (1995) apresenta uma. generalização da. família de distribuição Weibull chamada família, de distribuição Weibull expoiíenciada que além de incluir distribuições com funções de risco em forma, de IJ e unimodal também admite uma. ampla classe de distribuições com riscos monótonos computa,cionalmente conveniente para. análise de da,dos corri censuras. Modelos de múltiplos riscos Weibull-múltiplo são introduzidos por Berger & Sun (1998,1996) e Louzada-Neto (1999). Chari & Meeker (1997) assumem que T{ e T2 são independentes e Ti tem função distribuição pb$t, 0$ e T2 tem função distribuição Fi(t, 02), isto é, F(í, 0) = P(T < t) = 1 - (1 -/>/<',(t, 0i)) (1 - F 2 (t, 0 2 )) : onde 0 = (0 h 0 2 ). Na, prática,, em geral T, e T 2 não são duas variáveis aleatórias independentes, uma vez que a causa de falha, envelhecimento (ou desgaste) pode; agir sob o tempo até a falha, precoce. Neste caso, considera-se uma distribuição de sobrevivência biva.ria.da, como por exemplo, a, distribuição bivariada, introduzida, por Ryu (1993) que é uma extensão do modelo de Marshall & Olkin (1967). Em geral, pode-se encontrar dificuldades para obter inferências clássicas para esse tipo de modelo especialmente com da,dos censurados. O uso de métodos Bayesianos para esse tipo de modelo pode ser de grande aplicabilidade, especialmente usando métodos M C M C (Monte Carlo em Cadeias de Markov). Entre; esses métodos de simulação, podese destacar o algoritmo Gibbs sampling (ver por exemplo, Ceifa,nd & Smith, 1990) e o.

(12) .3. Introdução algoritmo Met.ropolis-Hast.ings (ver, por exemplo, Smith & Roberts, 1993).. 1.2. Apresentação dos Capítulos Para obtenção de quantidades a posteriori de interesse, será considerado a introdução. de variáveis latentes (ver por exemplo, Tanner & Wong, 1987) para simplificar as distribuições condicionais necessárias para o algoritmo Gibbs sampling. Considerando dados gerados e dados reais, é considerado o modelo de Ryu e outros modelos usados para riscos em fornia de U. Neste caso, serão usados critérios Bayesianos de discriminação de modelos. No Capítulo 2, sã,o introduzidos alguns modelos que admitem função de risco em fornia de U. Em especial, apresenta,-se o modelo Bi variado de Ryu(1993) subdividido em dois modelos: o primeiro, Modelo de Ryu o qual tem função de risco crescente e o segundo, Modelo generalizado o qual admite função de risco também em forma de U. No Capítulo 3, apresentasse as funções de verossimilhança. dos modelos abordados no Capítulo 1 e discutidos os procedimentos para análise clássica para dados sem censura. Ainda, no Capítulo 3, explicita-se as funções de verossimilhança para, o Modelo de R.yu e Modelo de Ryu Generalizado nos casos em que considera-se dados observados completamente com covariável e dados censurados à, direita com covariável No Capítulo 4, a,prescrita,-se uma análise bayesiana para, dados sem censuras para os modelos introduzidos no Capítulo 2. Apresentasse ainda uma, análise Bayesiana para, o Modelo de Ryu e R.yu Generalizado para dados observados completamente com presença de covariável e dados censurados á direita com presença de covariável. No Capítulo 5, são introduzidos três exemplos numéricos para exemplificar os procedimentos propostos.. No primeiro exemplo, considera-se os modelos introduzidos no. Capítulo 2, com ajuste dos modelos para, dados reais sem censura. No segundo exemplo, considera-se o Modelo de Ryu e Modelo Generalizado de Ryu com ajuste1 dos modelos para dados sem censura e com covariável. No Exemplo 3, considera-se também estes dois.

(13) Introdução. .4. últimos modelos com ajuste para, dados censurados à direita e com covariável. Finalmente, no capítulo 6 apresenta-se algumas conclusões do trabalho de modo geral. Alguns objetivos mais importantes do nosso trabalho são: (i) Considerar modelos que admitem funções de risco em forma de U para dados de confiabilidadc. Eni especial, verificar a aplicabilidade do Modelo Bivariado de Ryu para populações as quais o tempo observado é o mínimo entre o tempo de falha, precoce e o tempo de falha por envelhecimento. (ii) Uso de métodos MCMC para uma análise Bayesiana, dos modelos propostos. (iii) Considerar métodos bayesianos para discriminar os modelos propostos. (iv) Aplicações de dados reais..

(14) Capítulo 2 Modelos com Funções de Risco em Forma de U Nesta, seção apresenta-se algumas das famílias de; distribuições com funções de Risco em forma, de U.. 2.1. Família de Distribuições Weibull Exponenciada A distribuição Weibull Exponenciada com parâmetros o:, 0 e a para o tempo de vida. T tem função de densidade dada, por. tt~ i. fl-i m. =. (7 -. 1 — exp < —. a. exp. rx. 0 < t < oo,. (2.1;. ond(i a > 0, 0 > 0 sao parâmetros de forma, e a > 0 6 o parâmetro de escala. A função de sobrevivência de T denotada, por S(t) = P(T > t) é dada por S(t) = 1 -. 1 — exp <j — ( —. ,t > 0.. (2.2).

(15) Modelos com Funções de 11 isco em Fomm de U. .6. A função (lo risco de T, definida por h(t) =. 6 obtida pelas expressões (2.1) e. (2.2) é dada, por. (2.3). O modelo Weibull Exponeneiada apresenta funções de risco da forma, de U, unimodal e monótona. Isto é, o risco tem forma., (i) monótona crescente se o > 1 e a0 > 1, (ii) monótona decrecente se o < 1 e oiQ < 1, (iii) fornia de banheira se n > 1 e aO < 1 e (iv) unimodal de a < 1 e na > 1.. 2.2. Família de distribuições IDB A distribuição IDB (Increasing, Decreasing, Batlitub) j)roj)osta por Hjort(1980) com. dois parâmetros de fornia, e uni de escala pode descrever dados de tempos de vida com taxa de falha crescente, decrescente, constante e fornia de U. A família considerada, 6 definida por sua função de sobrevivência. (2.4). 0 1 !•>. onde 6 > 0. 0 > 0 e l:í > 0. A correspondente função de densidade de probabilidade é dada por. (1 I >'/ (i +. I II. t > 0.. (2.5).

(16) 7. Modelos com Funções de Risco emF o r m a ,de U A função de risco k(t) =. é dada, por h(t) = ôt. I. (2.6). .. De (2.6) temos alguns casos especiais da, distribuição IDB: (a) distribuição de Rayleigli (distribuição Weibull) se 0 = 0, (b) distribuição exponencial (distribuição Weibull) se ô = 0 = 0, (c) distribuição com risco decrescente se õ = 0, (d) distribuição corri risco crescente se 8 > Ofi, (e) distribuição com risco na fornia, de U se 0 < 6 < 0(.i.. 2.3. Distribuição Potência Exponencial Smith e Bain (1975,1976) apresentara,111 uma, família, de distribuição chamada. Potência,. exponencial com dois parâmetros como uma distribuição alternativa, para, dados de tempos de vida com taxa, de falha, em fornia, de U. A função de densidade de probabilidade é dada por,. m. = p a - W - 1 exp j l - exp. I ( A ) ] , í > o,. (2.7). onde a > 0 e íj > 0. A função distribuição acumulada é da,da, por. F(í) = 1 - e x p j l - e x p ^ y. De (2.7) e (2.8) a, função risco é dada, por. 1.. (2.8).

(17) Modelos com Funções de Risco emF o r m a ,de U. h(t) = ^. ^. =. 8. exp ( ( V ) , t > O,. (2.9). onde a, função de risco tem fornia, de U se 0 < 3 < 1.. 2.4. Modelo Bivariado de Ryu llyu (1993), generaliza, o cenário físico considerado por Marshall & Olkin (1967). admitindo choques que produzem efeitos de fornia, acumulativa, aumentando o risco de falha. O modelo bivariado de llyu tem densidade marginal com taxa, de falha, crescente e a densidade conjunta indica, que um par de sistemas antigo tem menor probabilidade de sobrevivência, do que uni novo par, sendo que os choques se a,cumula,m com o passar do tempo. Ao contra,rio do modelo de Marshall & Olkin, o modelo de llyu 6 absolutamente contínuo.. 2.4.1. Modelo de Ryu. Neste caso, Ryu (1993), considera Ti e T 2 os tempos de falha, dos sistemas 1 e 2, respectivamente, como sendo variáveis aleatórias dependentes.. Sendo assim, a função. densidade do modelo bivariado de Ryu é dada, por: Para U > h ,. fAi I A 1 2 - A 1 2 e - " ' < " - " > V ( Para, í, < t 2 ,. I. fr^^íc-*^-)-. P\ I P2 o ((1, P-fo (. J. Í J. + rio p-fo '1. 12.

(18) Modelos com Funções de Risco em Forma, de U. 9. n / . . >2. (. Hth. \. t2) [Ai I V. í'A ,,-th(t-2-l —. fi. l) I r-i ,.-B\ 1.\- ih />\\. -). l -+. (x, I AI2-AI2Í.'-^'*-"> I V fr ( ; , A : 2 , -•'••'•••-. +. /. 2. ) " V. '. ". ". (2.10). onde Fif . t2) = P(T, > í,, 7 , > í 2 ). Note que se A ]2 = 0, então Tx e T2 são variáveis aleatórias independentes, onde Tt tem distribuição exponencial com parâmetro A, ,i = 1,2. A função de sobrevivência conjunta é dada, por: Para t2 < t,, P(T! >thT2>. t2) =. e x p | - ( A 1 , A i2 ) t\ — X212 I. I. ^. I. ^. ^. j,. Para t-x < t2, P(Ti >tuT2. > t2) =. exp|-(A2 I A.,)/,-. A /.. ^. ]• (2.11). Note que quando íJ ' \ | oo e /i2 | oo, a. funçã.o de sobrevivência conjunta reduz-se â distribuição exponencial bivariada de Marshall e Olkin (1967): P (T, > tu T2 > t2) = exp { - ( A , í, -X2t2-. A] 2 max(íj, t 2 ))}.. A função de sobrevivência, para T, ê dada, por P(Ti >t). = exp |—A, t — Ai 21 I. /V-'". " ' j , i = 1,2.. (2.12).

(19) Modelos com Funções de Risco em Forma, de U. 10. Figura 2.1: Função densidade (2.18): (. (% = 0,5;. /it f oo ).. A função densidade para T, é dada por. //."). .A, I -V j Í 1. )] exp <—A.; í — A|2 t. A12{I. (2.18). Observa--st1 que st1 /i, j oo, a distribuição reduz-se à distribuição exponencial com taxa de risco constante A,, I AJ2 (ver Figura 2.1). A função de risco é tia,da por h AD = A, f A12 (1 - e. ) ,i=h. 2-. (2-14). Note que hj,{t) é crescente cm t, a, menos que j3 j oo . t. 2.4.2. Modelo de Ryu para Tempo de Falha Precoce e Falha por Envelhecimento. Considerando uma situação em que os dados são tempos de falha de unidades de uma população para os quais não se tem informação sobre a causa, de falha, representa,-se então o tempo de falha, de cada unidade1 por T = min{T\ ,T 2 ). Isto 6, tem-se dois riscos competitivos para, falhas T = min(T\ ,T 2 ), para, o qual. (a) 7', representa, o tempo de falha precoce;.

(20) 20. Modelos com Funções de Risco em Forma, de U (b) T2 representa, o tempo de falha, por envelhecimento.. Considerando então T — min(Tx ,T 2 ) com uma distribuição de três parâmetros : =. 02 = Ai + À2 I Ai2 ; 0:i = (3l | 02, onde tíy ()s = A i2 mede a, correlação entre. as causas de falha. Nesta, parametrização, a. função densidade é escrita na. forma.: f(t) = (02 - 0i 03 ^ ' ) exp {0, - 0. 2. t - 0,. '}. ,t>. 0.. (2.15). A função de sobrevivência ê dada. por S{t,). = 1>{T > t,) = exp {0j - 0 2 t - 0i e~'h'}. .. (2.16). A função de risco ê dada por h{t). = 02-0i0:ic-(hl.. (2.17). E importante observar as seguintes características da função de risco:. (a) l i m , ^ / > • ( * ) = 02; (b) lini/ô h ( 0 = 02 — 0i 0:s-. Observar que 02 — B\ 63 < h{t). < ()2 e que /?, ( t ) é uma, função crescente em t. Na. Figura 2.2 temos casos específicos da, função de risco da distribuição de Ryu. Observar ainda que,. (e) Se 0;s ê grande, h(t,). converge rápido para. 02\ assim, as unidades rapidamente. mudam da, taxa de falha, 02 — 0L 0:i para, 02; (d) Se 0:i é pequeno, h (t) demora, para. mudar da taxa. de falha ()2 — 0, 0;i para 0 2 ..

(21) Modelos com Funções de Risco em Forma, de U 21. Figura 2.2: Função do risco da distribuição do Ryu ( 10;. 0\ = 0,022; 02 — 0,41 o ():i =. 0{ = 0,22; 02 = 0,41 o 0:i = 1 ). 2.4.3. Modelo Generalizado de Ryu. O modelo bivariado de Ryu pode ter a forma generaliza,da com função de sobrevivência, conjunta dada, por Para t2 < t u P(T1>tl,T2>t2) = exp | - A ; U. - A.../ - X 2 t 2 - I. +. 1,. Para / . < t2, P(T, > h, T2 > t2) = expj-Aî. -\v2t2. - X2t2 - I. -. I. |. j•. Note que,quando O] —• 1 e o 2 —»• 1, as expressões anteriores reduzeni-se à (2.11). A função densidade conjunta para, (Ti , T 2 ), fixando ci i = a 2 = 1, (ver 2.10), é dada, por (i) Para, t{ > t2,. f(ti. ,t2). =T\U,t2) I F(tht2). [A2 I (n A12 \l3-i A12 a, -tí}. a, | fi2b)] x [A, I A , 2 - A | 2 « , I r(/?i. +fob)]. facim-b)]. I.

(22) 13. Modelos com Funções de Risco em Forma, de U (ii) Para / : < /.,.. / (h ,h)=. [A, l a2 A]2 - c (f-h 0.2 I Pi b)} x [A2 + A i2 - A i2 a2 [ p2 c (a2 - 6)] 1. ~F(tht2) I T\tut.2). onde F(tut2) c. [fi2 A|2 a2 - P2 c (fí2 «2 I. = P(T, > tu T2 > t2),. />)],. a, = e -<M'>-'«);. a 2 = c -/Mti-te) ; 6 =. e-thi*-(hh.. 01+02 •. A função de sobrevivência para T ê dada por, P ( T > t) = exp {a -\V2t-. fe,. T 1 - b2 t"2 - a c " ^ } .. onde, (a,,ò. 2. , c ) = (^,Á1 =. ,0,0,),. scT = Ti;. 0 , A 2 , / ^ 2 ) , >e /. =. - A,. /2:. I 0 2 ) , m-V. mini J . ![•).. Assim, as densidades para. 7\, T2 e T = min.(Ti, T2) são dadas por, f ( t ) = Ix^ + b, ajf"-'1. Fb2a2t'"-1. -ace.-'1. j exp |a - A 12 1 - fei tn' - b2tn* - a e " c t | . (2.19). para todo t > 0.. (i). Portanto, f ( t l ) = { A12 i A, a , t " ' " 1 - A12«T* / j } exp. - Ar2U - A, ^. - ~. " } . (2.20). («). / ( « * ) = {A1si I A 2 « 2 r - ' - A. 1 2. ^ ' 2 } exp. - A.2Í2 - A. 2 tr - ^. e - ^ y (2.21). ( //'/' I. Se T = min(T\,T2),. temos,.

(23) 14. Modelos com Funções de Risco em Forma, de IJ / ( 0 = {A,2 I A,o, r 1 " 1 I A a r M ^ - A , ^ - ^ ^ ) * }. 2.4.4. x. Modelo Generalizado de Ryu para Tempo de Falha Precoce e Falha por Envelhecimento. Seja T = rrún{T\, T2) o tempo de vida, de uni componente, onde Ti e T2 são dois riscos competitivos. Considere a parametrização Ai, A2, A12,. (*2, Piz', onde /"A2 =. li 1 I th-. A função de sobrevivência, para T = m m (Ti, T 2 ) 6 dada por P (T > t) = exp | —A] í" 1 — A2 í" 2 — A12 í I -. A densidade para T = mw(Ti,T2). ;>. (1 - -. (2.23). é da forma:. / ( í ) = {A, rv, í " ' " 1 I A 2 a 2 t n i ~ x. I A,2 (l -. exp j—Ai /" - A../" - A,,/ I ^. f. )} x. (l -. |.. (2.24). A função de risco é da,da por. Ii(t) = Al Q-ií"'- 1 + A 2 o , r. :. I a, 2 (1 -. •'•').. (2.25). Na Figura 2.3, temos casos especiais da, função de risco (2.25). Observamos uma grande flexibilidade de ajuste..

(24) 15. Modelos com Funções de Risco em Forma, de U. °0 U 1 0 2 O 3 II4 (15. 0 0. Figura '2.3:. Funções de risco 2.25 com parâmetros. tivamente.. (/ -. /tf7(10; 5; 1; 0,1; 0,1; 0, 9 ) . / / -. 0 7. IH. 0 9. 1. f*2, /?i2, A|, A2, A|2, respee-. RC,{\, 5; 1, 5; 1; 0,1; 0,1; 0,2), / / /. RG{5] 0,5; 1; 0,1; 0,1; 0, 2), IV - RG{4; 2, 2; 0,1; 0,1; 0,1; 0,2)).. -.

(25) Capítulo 3 Função de Verossimilhança A informação que os dados contém a respeito dos parâmetros do modelo é expressa, a, partir da funeão de verossimilhança., e pode-se escrevê-la para os diferentes esquemas amostrais.. 3.1. Dados Observados Completos e na Ausência de Covariável Considera,ndo-se uma amostra, aleatória, Ti, ...,T n , observada completamente (dados. sem censuras).. A função de verossimilhança para o modelo de sobrevivência pode ser. escrita na forma,. =. í=]. (3- 1 ). onde B representa o vetor de parâmetros do modelo e ( / / J 0 ) c a função densidade de probabilidade do modelo..

(26) Função de Vcrossimiltmnça. 3.1.1. 17. Modelo Weibull Exponenciada. A função de verossimilhança, de (~) = (o, 0, rr) para, o modelo Weibul-Exponenciada com função densidade de probabilidade (2.1) 6 dada, por. Lm=o^-o^l-é^^nr1 3.1.2. [i - o x p { -. (£)"}. (3.2). M o d e l o IDB. A função de verossimilhança para ( 0 = 6 , 0 , 0 ) para o modelo IDB com função densidade de probabilidade (2.5) é dada por. Me|t) = e x. 3.1.3. P. j - ^ } n. 1 : íljòt, : (I. (3.3). (i i m p + [. M o d e l o Potência Exponencial. A função de verossimilhanç a, para 6 = (a-, (i) para o modelo Potência-Exponeneial com função densidade de probabilidade (2.7) 6 dada, por, m t ) =. 3.1.4. n. <-xp { n. £. ex P ( £ ) " } .. (3.4). Modelo de R y u. A função de verossimilhança para, 6 = (0\, 0<2, (h) para o Modelo de Ryu, considerando T = mini lT2). e a função densidade dada em (2.15) é dada por,. L(0|t) = [ l Q {()2 - 0 { U.;< '"'••)} exp jfl, n -. U~ 0, £. c ^ ' j .. (3.5).

(27) Função de Verossimilhança. 3.1.5. 18. Modelo Generalizado de R y u. A função de verossimilhança para 6 = (Ai, A2, A12, Oi, et2, fiu) para. o Modelo Generalizado de Ryu. considerando T = min(Tu. T 2 ) e função densidade dada em (2.24) pode. ser escrita na forma. onde,. í /i(í | 0) = ^ / / " " ' ; < h(t\ _ Mt. B) = A 2 o 2 ^ - ' ; | B) =. A12. ( I - ,. (3.7) ••')•. Considerando a função de sobrevivência dada em (2.23), pode-se escrever a, função de verossimilhança. n. L(e\t)=. i=1. {AJ2. I A] E V I I. A2-.2/';. :. A:2Í. ••'•}. ,-/3l2Í; ,-i a=i. 3.2. ,-i i-í. i=í. / 12. (3.8). Dados Observados Completos e na Presença de Covariável Considerando-se uma amostra aleatória T, ...,Tn observada completamente (dados. sem censura) e que, associado a. Tt, exista, um vetor <lc; covariáveis x/ =. ..., a;»*); i =. l....rí,; k: > 2. A função de verossimilhança para o modelo de sobrevivência pode ser escrita na, forma,. L(B|M;) = I[ 2=1. (3.9).

(28) Função de Verossiniillmnçã. 19. onde 0 representa, o vetor de parâmetros do modelo e /(í,|9,;/;,) é a função densidade de probabilidade do modelo na presença de uma covariável.. 3.2.1. Introdução de Covariável ao Modelo de Ryu Uma questão de interesse aqui 6 verificar a, influência de covariável associada aos. dados estudados na mudança da taxa de risco do Modelo de Ryu (2.4.1). Isto é motivado pelo fato já observado em (2.4.2) onde a taxa de- risco do modelo muda. do limite inferior ()•> — 0\0:i para o superior 0-2 lentamente ou rapidamente, conforme diminui ou aumenta o valor do parâmetro. Sendo assim, há interesse em observar a, influência, de covariável. diretamente no parâmetro 0%. Em análise de sobrevivência, as covariáveis podem ser introduzidas no modelo por meio de diferentes formas. Unia forma bastante utilizada ê dada por (ver La.wless 1982, p. 283). g{X)=fíx'*,. (3.10). onde (jj representa o vetor de parâmetros da regressão e x' — (xi, ..., xn) é o vetor de variáveis regressoras. Para o Modelo de Ryu (2.4.1) a função de risco definida, em (2.17), considerando a presença de covariáveis introduzidas no modelo de acordo com (3.10), considerando ainda, que a, covariável influencie diretamente o parâmetro ()?i. ou seja.. ' onde fj representa o vetor de parâmetros da regressão e x = (a;j,. (3.11) a;„) 6 o vetor de. variáveis regressoras pode ser escrita da. forma,:. h(t\x) = 0.2-0^"^'.. (3.12). Para o Modelo Generalizado de Ryu (2.4.3) a função de risco definida em (2/25),.

(29) Função de Verossiniillmnça. .20. considerando a presença, de eovariáveis introduzidas 110 modelo de acordo com (3.10), considerando ainda, que a covariável influencie diretamente o parâmetro fj V h ou seja.. &2 = c f ) x ,. (3.13). onde H representa o vetor de parâmetros da, regressão e x = (xh. ..., xn) 6 o vetor de. variáveis regressoras pode ser escrita da forma:. /'í/•./•:, = A, rv, r 1 " 1 4 A , n : ; / ". ;. | A 12 (l - cr^**).. (3.14). Poderiam ser considerados outros modelos de regressão para os Modelos de Ryu e Generalizado de Ryu, afetando também os outros parâmetros de cada Modelo. Aqui, porém, será assumido que a covariável x afeta, somente o parâmetro 0:i, no caso do Modelo de Ryu, e somente /3i2 no caso do Modelo Generalizado de Ryu.. 3.2.2. Modelo de Ryu. Para, o Modelo de Ryu (2.4.1), assumindo a relação (3.11), a, função de verossimilhança para, 0 = (0 1} O2, 0), considerando T = min(T\, T 2 ) numa amostra observada completa (dados sem censura) é dada. por,. L(0|(t,x)) = { n ^ - ^ c ^ - ^ ^ I ^ P Í - ^ E ^ i=1 i=i. 3.2.3. I n0{. (3.15). 1=1. Modelo Generalizado de Ryu. Para. o Modelo Generalizado de Ryu (2.4.3), assumindo a relação (3.13), a função de verossimilhança para A], A2, A l2 , o 1, « 2 , L(e\t,x). = fl(\loltri~l i=1. considerando T = min(TA, T 2 ), é dada, por. I A,m : ! / ( ". • I A12 (1. ' '. ''•)) X.

(30) Punção de Verossimillmnçn. .21. n. n. oxp. 3.3. :'. •r Í i. <. (3.16). Dados Censurados à Direita na Presença de Covariável Considerando-se uma amostra aleatória Ti, ...,T„. onde Tt representa o tempo de. falha, ou tempo de censura de cada indivíduo em estudo e que, associado a Tt, exista, um vetor de covariáveis x =. (x t l , ..., xn,.); i = 1. k >. 2.. Denotando o número. de falhas observadas por r, os conjuntos de indivíduos que falharam e foram censurados, respectivamente por, F e C e seja, (-) o vetor de parâmetros da, distribuição f(t,\. A. função de verossimilhança é dada por,. L(e\t,x). = f[ me^x)]!. (3.17). s(t\o,x),. onde f(t|(-),.r) é a função densidade de probabilidade da, variável aleatória, T e S(í|8, x) é a, função de sobrevivência da,do a, covariável x.. 3.3.1. Modelo de Ryu. Para, o Modelo de Ryu (2.4.1), considerando T = m,in{T\, T2) com censura â direita, considerando ainda a relação (3.11), onde x, = (:r a , ..., xik)\ k > 2, a função de verossimilhança para. /.((-) ( t . x n. ()2 e ti é dada por,. !lIí'A,., i=i. )}exp{. >=i. I n» :. V r 1=1. •""•].. (3.18).

(31) Fwiçao de VarossimilhãnçR. 3.3.2. .22. Modelo Generalizado de Ryu. Para, o Modelo Generalizado de Ryu (2.4.3), considerando T = min(Ti, T2) com censura à direita, e a relação (3.13), onde x= milhança para, A|, A2, A12,. n:2. e. (xi:\, ..., a;ífe); k > 2, a função de verossi-. é dada, por,. r L(&\t,x) = n ( A 1 0 1 Í / " - 1 ?:=i. | A_> nL> /,". o x p í è ^ r - E A ^ r - A ^ E ^. li = l. v=l. i=l. | A12 (í - < '. I. '•)). J. (3.10). As estimativas dos vetores de parâmetros dos modelos podem ser obtidas por maximização direta da função log-verossiniilhança via, métodos numéricos de resolução de sistemas não lineares. As inferências podem ser feitas com base 11a normalidade; assintótica, dos estimadores de máxima verossimilhança, isto é, Ò ~ Af (d] / " ' matriz de informação de Fislier.. onde 1(0) é a.

(32) Capítulo 4 Análise Bayesiana Considerando a, função de verossimilhariça dada por (3.17) e urna densidade a priori tt(0), a densidade a posteriori é dada por,. onde D = (t\,.... 4.1. t.n) representa o conjunto de dados considerados.. Dados Observados Completos e Ausência de Covariaveis •. 4.1.1. /. Modelo Weibull exponenciada. Para, inferência bayesiana vamos considerar as seguintes distribuições a priori: o ~ P(«i, t>i), 0 ~l>,2,/>2), O ~ l'í(/. (4.2). />;;).. com a,; e b, conhecidos, / = 1,2,3, onde T(a,nbi). denota, uma distribuição gama com. média f 1 e variância j^-j. Além disso, supor que a , 0 e a são independentes..

(33) Combinando (3.2) e (4.2) obtém a distribuição a posteriori conjunta para o , 0 e a dada, por. 7T. (a, 0, rr | V) oc. 1"1. II í= í. 1. 1 cxp. |_. _fc,a• _ \HQ _fc;!ÍTj (4.3). ( 1 - exp. As distribuições condicionais completas necessárias para o algoritmo de Gibbs são dadas por: 7R(O: I. 0,(T, V). (X. ou+a,-[. EXP. Q). -. J. I. I. -. 0-1 TÍXP. (4.4). 7r(0 I O', cr, V) oc. exp ~b20 J ] Ç " ' ( 1 - exp. (4.5). 0 - 1. -»W*+0;» —1. 7r(o" | fv, 0, "Z?) :x <r. (4.6). 4.1.2. Modelo IDB. Para inferência bayesia.ua considerasse as seguintes distribuições a, priori: 6 ~ F(<"i, d]), (4-7) d -. rir,.'/,].. com c, e dt conhecidos, i = 1,2,3, supor ainda que ò\ (i e 0 são independentes entre elas. Combinando (3.3) e (4.7) obtém a distribuição a posteriori conjunta para <). >' e 0, dada por ÍÁ. ÍJI | V) v ò"n. r/. r. EXP {. -c/já. EÍL.t?. , M - ^ ^ M',^.. (4.8). x.

(34) Análise Bavesiann onde 9 n ( S , f l , 0 ) = W = l { l + m S o i t f (i+tf/)"" As distribuições condicionais completas são dadas por: 7t(S I B, 0, V) oc f f - 1 exp | - d , 8 -. | ÒJI. V ) oc. 7r(0 \fi,V)oc.. 4.1.3. ' v ". tf'. 1 vl/„ (S, & 0),. (4.9). A (). i.(>).. >. (4.10). (4.11). i.ti).. Modelo Potência Exponencial. Considere as densidades a priori para o e /? independentes dadas por a -. com c, e f) conhecidos, i. r(ci,/i),. =1.2.. Combinando (3.4) e (4.12), pelo teorema de Ba.yes pode-se mostrar que a densidade a posteriori conjunta é dada por, tT(a,p | V) oc. jj^-i ,= 1. exp. L. , £ (M" _ i=l i.=!. L. - / i ( v - ,/2 A . J. As condicionais completas necessárias para o algoritmo Gibbs são dadas por 7T(a. | B,V) oc. tt(£ | n,2>). /r—. exp L. n ^ " -P •Í=I. | Ví'') ' • i j.=l1 O í=l. EB'. " I í=I. ~. í=I. ~ /i«}>. ". •. (4J4). (4.15).

(35) 26. Análise Bayesinnn. 4.1.4. Modelo de R y u. Novamente vamos considerar o modelo de llyu com dados T = min (Ti, T-z). Para inferência ba.yesia.na considera-se as seguintes distribuições a priori: Oi. ~. -. (4.16). ()., ~ r(a:h kl), onde a, e b, são conhecidos, assumir também que 0,,0 2 e 0:i são independentes. Combinando (3.5) e (4.16), obtém a distribuição a posteriori conjunta para 0 1; 0 2 03 a qual é dada por. 71(0,,(hJh | v) oc ()Tl. c x p. <>-hx0*. C~ ln(n O'?-". |0ln-(hYjU-Bx £. - (h. ,. }.. (4.17). As condicionais completas necessárias para o algoritmo de Gibbs são dadas por, n(0i | IL. (),. V) oc 0(Tl. h0í. x ^1(0),. (4.18). com Vl/,(0) = exp { 0 , 7 7 . - 0 , J 2 f " * 1 ' ^ E ^ ( 0 2 - 01 0 3 ^ : í , ' ) } > J ^ í=l 1=1. tt(02 I (h,(h,v). oc. X. (4.19). com l. i=i. tt(03 | Oi,02,V). i=i. oc 0 ^ - ' <. j. X v|,,,7/).. (4.20).

(36) A n nlise Bnyvsian a. 27. com. a = exp{-tf,. a.. 5 > •i-1. -Van. Observa-se que neste caso, pode-se utilizar o algoritmo Metropolis-Hastings para gerar amostras da distribuição a posteriori conjunta.. 4.1.5. Introdução de uma Variável Artificial (ou Latente). Para simplificar as distribuições à posteriori podemos considerar a introdução de variáveis latentes v., = {uihU^hílsn) ponentes independentes.. = 1, •. as quais transformam o modelo em com-. Deste modo, o cálculo das densidades marginais à posteriori. de 6 , necessárias para, a, implementação dos algoritmos de simulação de amostras do tipo MCMC, são bastante facilitados.. A variável vt = (i>Ji,2>2i>iÍ3»). — 1,. segue. unia distribuição multinoniial, onde v,,j = 1 ,j = 1,...,3 se t, for considerado como originado de uma população com função de densidade de probabilidade f j e Deste modo, n, ~ M(JLT(. h,u , /?,2», ^3»),« = 1,2, ...,n, uma distibuição multinoniial de. parêmetros h\t, /i2), e h^, , onde.. m onde j = 1 , 2 , 3 ;. = 1. \ d). /,!/. '«)". = 1,2 ..., n.. Assim, | hu, h,.Mi h,:u) oc Afcíf ^ f Portanto. POÍS,. = l Vji = 1.. "ij = 1-. /?íif. > onde /?3t = 1 - hu -. h2l..

(37) A uálise Bayesiana. .28. Observar qne a introdução dessas variá veis latentes é usada no método iterativo dado o valor dos parâmetros em cada. iteração. Para, cada iteração subsequente, deve-se gerar novas variáveis latentes, como será, feito usando métodos M C M C na análise bayesiana do modelo proposto.. 4.1.6. Modelo Generalizado de Ryu. Neste modelo, considerou-se a introdução de variáveis artificiais, descrita 11a seção 4.1.5. A função de verossimilhança, para O é dada por l(Bj. í ^ í x A i X. 1. ^ * ^. x n ; u C1. P. exp l o ; /,'; | n , li2 - X , ± t r - A . . , V /;••• - A12 è L Í=1 Í=1 Í=1. x. /, t „ Pl2. -. p 12. V. r. ''. i = 1. (4.21) onde, r:) = £ » = 1 vp] j = 1,2,3; 11, = £?=, vn / « ( * , ) ; j = 1,2. Considerando para. (-) = (o 1 , a 2 , ^12 , Ai , A2 , AJ2) as distribuições a, priori dada, por: o , ~ r ( a , , ò,), a 2 ~ P(a 2 ,ò 2 ), A, ~ P(a 4 ,/; 4 ), A, - Pi'/-,. /<;, !. A12 ~ r(a 6 ,6(i), onde a,, b,, i = 1,..., 6 são conhecidos. As distribuições condicionais a posteriori completas necessárias para o algoritinio Gibbs-Sanipling e Metropolis-Hastings são dadas por,. 7T (G ] | 0( | ), t,v). oc O'',11"1 c ". 6. ' x. 4>i(0).. onde, vpi(e) = exp. In a, + «1 Ri - A, £. C)}-. (4.23).

(38) Análisc Ihiyesinnn. 29. 7r(n2 | B(2), Í,V) OC O^'2-1 c~b2(X'2 X ^ 2 ( e ) ,. (4.24). onde. = exp |r 2 / « r>2 + a 2 ll 2 - A2 £. TT(/a2 i (-)(,),. oc p';r]. x. C ) |.. * 3 (e),. (4.25). onde, * , ( 6 ) = oxp { £ , « In (l -. I ^. tt(A, I e ( 4 ) , t , v ) oc r. (n - ±. t , ) }.. I 7- 1 ,6 4 I £ c ) ,. (4-26). 7 T ( A 2 | e ( 5 ) , í , i z ) o c r ^0,5 I r2,Ò5 I. 7T(Aia I 8(6), t_,v) <x r f «« I onde, B = (0, , </2 , 0:i,. e(i) =. . /*. I £. U I. • ^ , 0(i) = ( «1 , '>2 , fta ,. {ol,...,oi.],oi+1,e6).. £. (4-27). -. ,. ( 4 -28). , A2 , A J2 ), e. Pode-se observar que a 1 ; o 2 e fj l 2 podem ser gerados usando o algoritmo MetropolisHastings..

(39) Armlisc Ihiyi>siãUã. 4.2. .30. Dados Observados Completamente na Presença de Covariáveis. 4.2.1. Modelo de Ryu. Novamente considerando o modelo de R.yu, com parâmetros (0], 02, /?) onde fi é dado em (3.11), com dados observados completamente t, = m/in(tu, í 2 ») exista uni vetor de covariáveis x,' = (a; ii} ..., x^).. e. que, associado a Tn. Para inferência bayesiana. considera-se. as seguintes distribuições a, priori: ()i ~ IXa^òi), D, - i Í3 -. (4.29) /;,,).. onde a, e b, são conhecidos, assumir também que 0\J)2 e A posteriori conjunta, para. 7 T ( M W * | V). 0-2 e fi, onde. (X 0 ? ' " 1 C " M L 0?-'. são independentes.. = c rir é da,da por,. C - ^ F F * - '. exp \o, n - 02 j r I, - 0, Í 2. -. 0I. ^. ^. ''}•. '. ^. J. X. (4-3°). As distribuições condicionais completas para o algoritmo de Gibbs são dadas por,. 71(0, | 0,. Í/D) oc 0 ' r l <>-bl°l x. (4-31). com ^ ( t f ) = exp k. '< I £. n - 0 ^. 7t(02 I 0\ ,[i,V). oc. In (02 ~ 0, c^'. x U/2(0),. '<)},. (4.32).

(40) Análise Bnyesmriã. 31. com l. í=I. 71(3 I 0h02,V). ,-=[. '. (X R ^ ' " ^. 1. X. V:I(TÍ),. com I. »=i. i=i. ). Observasse que neste caso, pode-se usai' o algoritmo JVIetropolis-Hastings para gerar amostras da distribuição a posteriori conjunta.. 4.2.2. Modelo Generalizado de Ryu. Neste modelo, considerou-se a introdução de variáveis artificiais, descrita na seção (4.1.5). A função de verossimilhança para O 6 dada por L ( e I t. v ) « a;-'1 aY x2 >w xú. X NT!. (L -. '. f. X. (4.34) onde, r, = E t , Vji; j = 1, 2, 3. R, = £?=, v n In { U ) - j = \,2. Considerar para 8 = ( o , ,n 2 J i , A; , A2 , A l 2 ), a distribuição a priori dada por, fvj ~ r(f'i,fei), O2 ~ P(«-2, b2), li ~ r(a;i, b:i), Ai ~ r ( a 4 , M ;. (4.35. A2 ^ l\(lr0,b5), Ai2 ~ r(«-oA)> onde a,,/;., são conhecidos. Para escrever as distribuições condicionais a posteriori, definir 8 = (0l,0.2,0:i,04,0r,,0(i) £>(<) = (. : ••• >. = ( a , , o2, j3, A i , A 2 ,A J 2 ), e. ? 0'+i ' 0f> )• Assim, temos,.

(41) A nálisc Bay< 'siaua. .32. ! B(1. h. t , v ). oc a. (. r. L. e ~. b l. ^. x. ^,(8),. onde. (O) =. ti(o2. exp jri l,na,. I o , />', -. | (-), , , . / . r ) oc 0 ' j 2 " 1 r " " 2 " 2. A2 E. x. C ) } ,. V]/2(B),. (4.37). onde. U/ 2 (0) = exp j r 2 l u a 2 | o 2 ll> - X2 E. TT(^. I e(3),í,10 oc. C)},. X. «MB),. (4.38). onde.. 7r(A! I 0 ( 4 ) , t,v). oc. r. f 0. 4. I r, M. I E. c ). 7r(A 2 |B ( r,),í,<!)oc I â.r, | /•_>. h-, I E. TT(A 1 2 | 0 ( 0 ) , Í ,?>) cx F. ^. I R:I A. I E. T; I. E. ,. (4-39). ''/ j •. -. ^ " j. (4-4°). •. (4-41). Observa.-se que n h n 2 e ti serão gerados usando o algoritmo Metropolis-Hastings..

(42) 33. Análise Bayesiãwt. 4.3. Dados Censurados à Direita na Presença de Covariáveis. 4.3.1. Introdução de Variáveis Artificiais (ou Latentes). No caso (^m que os dados apresentam censura, para, simplificar as distribuições à posteriori dos Modelo de Ryu e Ryu Generalizado, foi considerada, a, introdução variáveis artificiais w (ver por exemplo, Tanner & VVong, 1987), que transforma uma, função de verossimilhança. de dados incompletos para, uma, função de verossimilhança, de dados iid (independentes e identicamente distribuídos). Gera-se independentemente para cada, observação, i = 1 ,...,77, um componente ('«,>,) da variável W , que é truncada, em tth para o caso em que a observação for censurada à direita e wt = t, se for observado exata,mente (sem censura) (ver Kuo & Peng, 1995). Portanto, considerando o seguinte roteiro:. (i) se o tempo de vida, do z-ésinio indivíduo for observado exata,mente em t,, considerando Wj = t, e a, função de verossimilhança, pode ser escrita, como em (4.27) para o Modelo de Ryu e (4.30) para o Modelo Generaliza,do de Ryu; (ii) se o tempo de vida, do /'-ésinio indivíduo for censura,do â direita em t i h , então pode-se gerar w, da densidade truncaria:. f{w,)/{ 1 - F(tlh)),J[tlh. <. Wi. < oc],. ou seja, w, = F~l F(tth\x,0). onde, U ~ [/(0,1) e F\tih|x,6). \ LJ[l -. F(tlh|x,6)],. é a, função distribuição a,cumulada do modelo de í í h dado. x e O, sendo 6 o vetor de- parâmetros do modelo. Gomo nem sempre consegue-se obter analiticamente a, F - 1 , da,do x, tih c 9 , considera,se..

(43) Análise Bayeshina (i) calcula-se. .34 F(t)h\x,0);. (i) gera,-se uni valor de U cie unia distribuição í/(0, 1); (iii) ealeula-se v, = F(tlhjx,(-)). | U[l — F(tih\x,(-))],. na fornia, wt = F"'('<»,), ou soja, wt. v a úniea raiz de F(wj) = />,.. Para encontrar os valores de m, foi utilizado o método numérico de Newton. Gerase ?/;,; independentemente para cada, observação; portanto a função de verossimilhança do modelo é dada por, L(©|(W,x)) = n i / X ^ I x i , © ) } . í=i. 4.3.2. (4.42). Modelo de Ryu. Considerando a introdução da, variável artificial descrita em (4.3.1), pode-so escrever a, função de verossimilhança, para, o modelo de Ryu na, fornia:. L(©|(W,x)) =. ,=\. - 0 ^ * 1 - ^ ) } e x p { - 0 2 £ vh f ,,= l. n f h - f í ^ e ^ ^ " } . 1=1. Para, inferência bayesiana considera,-se as seguintes distribuições a priori: 01 ~ P(c7,i ,b\), (4.44). 02~V{a2,b.2), 8 ~ P(0:5,63), onde (ii e bt são conhecidos, assumir também que 0\,02 e fj são independentes.. Combinando (4.43) e (4.44), obtém-se a distribuição a posteriori conjunta para 0,, 02 e p a, qual é dada por. n(0h0.z,tí\. V) (x 0>rl e~hUh. <rh^2. e'1'*'^. {f[(02. - 0, ^. ^x.

(44) 35. Análise Bayesiana. exp | 0! n - 02 £. w,. m,. -OiYl 1 •i.=. As distribuições condicionais completas para o algoritmo de Gibbs são dadas por, 7r(0! | Ih. S.V) oc O'!'-1 e - b l 0 l x ^ ( 0 ) ,. (4.45). com (0) = exp. n - 0, £. e~c>ix' w' I £. /n (02 - 0i. tt(02 \. e"^'"'')},. x H>2(0),. com = ^p (-02 £ l i.=. \. vu + J > ( 0 i= í. 7Í(['i | 0 1 , 0 2 , £ > ) OC. 2. - 0, ^. c " ^ ) } , -1. X. 1. com H,,((0) = e x p ( - 0 ,. | £/. n. (02-0,. Pode-se observar que1 neste caso, é necessário usar o algoritmo Met.ropolis-Hastings para, gerar amostras da distribuição a posteriori conjunta,. 4.3.3. Modelo Generalizado de Ryu. Para o modelo (2.4.4), considerando a introdução das variáveis artificiais v descrita, em (4.1.5) e w descrita, em (4.3.1), considerando presença de censura á direita, e um vetor x de covariáveis associado a cada t. a, função de verossimilhança para, 6 6 dada por. ,. l'M L ( 0 | ( W , x , v ) ) oc A^1 aí'1 \'2 a 2 2 A'J2 x n i U ( l - e " ^ ^ ) " " x exp |oi /?, I rv2 R2 - A, £ ~. uf - A. 2. ^12 Jix, V^ ,-c^. x £ w?2 - A12 £ tu, + n ^ - A 1 2 e ^ £ e ~ i^l Í=1.

(45) 36. Análise Bnycsitirm onde, r.j =. 3 = 1,2,3. /?.., = Eí'=i. Considerando par». 0 = («J , O2 ,. ); j = 1,2.. , AJ , A2 , AJ2), a. distribuição a priori dada por:. O] - r(ai,/>i), a 2 ~ r(a 2 ,/; 2 ),. A, ~ R ( A 4 , Ò4), A2 AI2. onde. R(A5,Ò5), -. são conhecidos. As distribuições condicionais a posteriori completas são dadas. abaixo. Definindo-se, 0 = ( , 0 2 ,0 3 , 04 ,0 5 , ) B(/) = (0i , -. = (<"*I , N2 , (j, A, , A2 , AI2), e. ,0»+! A ) , temos,. TTÂ I 0 ( 1 ) , w,v). (X o f. 1. e"6"" x ^,(0),. (4.50). onde. ^ ( B ) = exp j r : / n i\. | fjj R i - A, £. <')},. tt(o 2 I e ( 2 ) , W,2Z) oc n-52"1 e" 6 * 0 2 x * 2 ( 0 ) ,. (4.51). onde. * 2 ( B ) = exp |r 2 lna2 + o 2 R2 - X2 ] T <>) 1,. onde.. 1 0(.-{), WiQ.) oc í ^ 0 3 " '. x ^;i(0),. (4.52). ?.= 1. ÍT(AI. I 0(4),. oc r [«,4 | /•, . Ir | E. ^r) ,. (4-53).

(46) 37. Análise Bnyesiiinn. tt(A2 | 9(5), W,v) oc r ^ «5 I r<2 , 65 1- £ <"J ,. tt(A12. I e (6) , w,v) oc r (a6 + r,,60 + £ V. I. /=!. £ ^. Í=1. - "^r) , f'. '/. (4.54). (4-55). Observa.-se que 0*1, fv2 0/? serão gera,rios usando o algoritmo Metropolis-Hastings.. 4.3.4. M é t o d o Bayesiano para seleção de Modelos. Em análise Bayesiana,, para, seleeionar o modelo que melhor se ajusta, a cada, conjunto de dados, podemos utilizar a, técnica, das densidades preditivas condicionais ordenadas (CPO) para, t(l) , i = 1,2, ...,n dado t{i) = (t,, ..i,^,, tl+l,...,. £,„).. A densida.de preditiva, para, i, dado o vetor t ^ é dada, por: C' = f ( u I í ( i ) ) = f f i l , I 0) TT (0 I t ( i ) ) fi0, onde 7T. |. (4.56). é a, densidade a, posteriori de 0 dado tyy. Utilizando as amostras geradas pelo algoritmo Gibbs Sampling-Metropolis, / (f,t | t ^ pode ser aproximada pela estimativa, de Monte Carlo,. / (*fíí(i,). £ Í{U\ 0{r]) ,. (4-57). r=l. onde 7Í é o número de amostras (Á''1 geradas pelo algoritmo. Pode-se utilizar Q para, seleeionar os modelos. Uma forma, é considerar gráficos de Q versus / ,(/ = 1,..,/?.) para os diferentes modelos, onde maiores valores de Q indicam 0 melhor modelo. Outra, forma é escolher o modelo cujo produto de C t seja. máximo, ou seja, C(l). = ni'=i. onde / é o índice do modelo. Neste trabalho, são considerados:. / = 1 = YVeibull oxponenciada,, / = 2 =. Modelo IDB, 1 = 3 = Potência exponencial,. 1 = 4 = Modelo de R.yu o 1 = 5 = Generalizado de Ryu..

(47) Capítulo 5 Aplicações Nesta, seção apresentasse 3 exemplos de: aplicação para ilustrar a, metodologia, proposta. No primeiro exemplo, para os dados observados completos e sem covariável da, Tabela.(5.1), foram considerados os modelos Weibull- Exponeneiada (2.1), Modelo IDB (2.2), Potência Exponencial (2.3), Modelo de Ryu (2.4.2) e Modelo Generalizado de Ryu (2.4.4). No segundo exemplo, para os dados simulados com covariável. chamados aqui de Dados 1 (ver Apêndice A, Tabela (i), foram considerados o Modelo de Ryu e o Modelo Generalizado de Ryu. Em segundo lugar, para os dados na Tabela (5.2.2), foi ajustado o Modelo Generalizado de Ryu. No terceiro exemplo, para os dados com covariável e censurados à direita, chamados aqui de Dados II (ver Apêndice A, Tabela, 6.1), também foram considerados o Modelo de Ryu e o Modelo Generalizado de Ryu. Para cada distribuição considerada, para, os dados foi feita uma, análise clássica baseada, em estimadores de máxima verossimilhanca, e intervalos de confiança, assintótieos e uma, análise Baycsiana com o uso de priori informativa.. As estimativas de máxima. verossimilhanca foram encontradas utilizando a rotina XI,PR R do módulo IML-SAS (Sta-.

(48) Aplicações. 39. tistiea.1 Analysis System) que utiliza, o método iterativo do Ncwton-Raphson para, maximizai' a função objetivo. Para a, análise Bayesiana foi utilizado o OX -An Object-Oriented Matrix Language para, o modelo Generalizado de1 Rvu, e para os demais modelos o módulo 1ML-SAS através do método de simulação MCMC, mais especificamente algoritmo GibbsSampling (ver por exemplo, Gelfand k Smith, 1990) e Metropolis-Hastings(ver por exemplo, Smith k Roberts, 1993). Para o ajuste; dos modelos YVeibull-flxponeneiada, I1)B, Potência-Exponencial, e Modelo de Ryu, no primeiro exemplo, foram geradas duas cadeias separa,da,s de 10.000 iterações das quais excluiu-se as 2000 primeiras, considerando-se as iterações de 5 em 5, totalizando uma amostra final com S = 3202 pontos. Para o ajuste do Modelo Generalizado de Ryu, e para, o Modelo de Ryu nos exemplas 2 e 3, foram geradas 3 cadeias separadas de 10.000 iterações das quais exeluiu-se as 5000 primeiras, considerando as iterações de 10 em 10. totalizando uma, amostra, final com S = 1503 pontos. A convergência das amostras geradas polo algoritmo Gibbs com Metropolis-Hastings foi monitorada utilizando o método proposto por Gelman k Rubin (1992) o qual baseiase na técnica de análise de variância.. Para, ca,da modelo são apresentados um resumo. das estimativas, onde em cada tabela apresenta,-se as médias a posteriori, intervalos de credibilidade; do 95% , as estimativas dos fatores de redução de escala potencial li (veja, Gelmami k Rubin, 1992), onde observou-se convergência para, todas as amostras (JJt, < 1.1), estimativas de máxima, verossimilhança (EMV) e intervalos de confiança assintóticos, respectivamente.. 5.1. Exemplo 1 - Dados Observados Completos e na Ausência de Covariável Neste exemplo, foi considerado o conjunto de 50 dados introduzidos por Aarset. (1987), consistindo dos tempos de vida de 50 componentes (ver Tabela 5.1). Aos dados foram ajustados os os modelos Weibull- Exponeneiada (2.1), Modelo 1DB (2.2), Potência Exponencial (2.3), Modelo de Ryu (2.4.1) e Modelo Generalizado de Ryu (2.4.3) e ao final foi considerado um método Bavesiano para. seleção de modelos baseado nas preditivas.

(49) Aplicações. 40. ordenadas já apresentado na serão (4.3.4). Tabela(5.1): Tempos de vida. de 50 componentes 0.1. 0.2. 1. 1. 1. 1. 1. 2. 3. 6. 7. 11. 12. 18. 18. 18. 18. 18. 21. 32. 36. 40. 45. 46. 47. 50. 55. 60. 63. 63. 67. 67. 67. 67. 67. 72. 75. 79. 82. 82. 83. 84. 84. 84. 85. 85. 85. 85. 85. 86. 86. As estatísticas descritivas do conjunto de dados apresentados na. Tabela. (1) sao dadas por: média = 45,6860; mediana = 48, 5000: variância = 1078.. 5.1.1. Weibull Exponenciada. Considerando o modelo (2.1) foram utilizadas as densidades a priori (4.2) com a ~ r(265, 100), 0 -. F(8,52) , <T ~ r(26492, 290).. A Tabela (5.1.1) apresenta, as médias a,. posteriori, intervalos de credibilidade de 95%. , as estimativas dos fatores de redução de escala potencial R (veja, Gelma.nn e Rubin, 1992), estimativas de máxima verossimilhança e intervalos de confiança assintóticos, respectivamente. Tabela. (5.1.1). Sumário a poHtc.ri.ori, c. E.Al. V para o modelo WcÃbull-cxponc.nciadn M.V. (! i bbs-M etróp olis Média. ICred. 95 %. R. EMV. 1C 95 %. a. 2.8565. (2.5137:3.1613). 0.9998. 5.4122. (5.4114:5.4130). 0. 0.2136. (0.1155;0.2946). 0.9997. 0.1269. (0.1148;0.1390). a. 91.1892. (90.1352:92.2589). 0.9998. 91.5055. (91.5046;91.5063). Observa-sc na Tabela (5.1.1) que y li < 1.1 indicando a convergência. . Not.a-se ainda, uma grande diferença entre os valores estimados no caso ba.yesiano e os valores dos 1'J.M.V, especialmente para a. Diferentes valores dos hiperparâ.metros das distribuições a. priori não levaram a. resultados muito diferentes..

(50) Aplicações. 5.1.2. 41. Modelo IDB. Considerando o modelo (2.2), foram utilizadas as densidades a priori (4.7), isto é, ò ~ F(33.30, 73770),. ~ F(0.88,1.29) , 0 ~ 1X1.48,7.30). A Tabela (5.1.2) apresenta. as médias a posteriori, intervalos de credibilidade de 95% , a.s estimativas dos fatores de redução de escala potencial R. (veja,, Gelmann e Rubin, 1992), estimativas de máxima verossimilhança e intervalos de confiança assintótieos, respectivamente.. Tabela (5.1.2). Sumário a posteriori e E. Aí. V para o modelo IDB M.V. G i bbs-M etrópolis Média,. ICred. 95 %. R. KM V. IC 95 %. 5. 0.0006. (0.0005;0.0008). 0.9997. 0.0004. (0.0003;0.0005). 3. 2.7575. (2.4243;3.0359). 1.001. 2.5546. (0.7988;4.3104). 0. 0.1502. (0.0942;0.2284). 1.0019. 0.1814. (0.0859;0.2769). Observa-se na. Tabela, (5.1.2) que y /?, < 1.1 indicando a convergência.. Observa-. se também que as estimativas bayesianas e clássicas são bastante parecidas, porém com o comprimento do intervalo de credibilidade 95% menor do que o intervalo de confiança 95%. A mudança dos hiperparâmetros das distribuições a priori para ó", j3 e 0 não levaram à, grandes diferenças nas inferências a, posteriori.. 5.1.3. Modelo Potência Exponencial. Considerando o modelo (2.3) foram utilizadas as densidades a priori (4.12) com at ~ r(739.15, 10), /3 ~ T(82.28, 100). A Tabela, (5.1.3) apresenta, as médias a posteriori, intervalos de credibilidade de 95% , as estimativas dos fatores de redução de escala potencial R (veja, Gelmann e Rubin, 1992), estimativas de máxima verossimilhança e intervalos de confiança, assintótieos, respectivamente..

(51) 42. Aplicações Tabela (-5.1.3). Sumário a posteriori. e. E.M.V para o modelo Potência. Gibbs-Mctrópolis. exponencial. Al.V. Média. ICred. 95 %. R. EM V. 1C 95 %. a. 74.0088. (68.8836;79.1357). 0.9997. 73.91483. (68.36374;79.4659). 0. 0.8342. (0.6930:0.8982). 1.0005. 0.82809. (0.75369;0.90248). Obscrva-se na Tabela (5.1.3) quey R. < 1.1 indicando a convergência . Observa-se também que as estimativas baycsiana e clássicas são bastante parecidas neste caso.. 5.1.4. Modelo de Ryu. Considerando o modelo (4), foram utilizadas as densidades a priori (4.16) gama, com Oi ~ r(20000; 100) ,0 2 ~ r(280; 1000) e 0;$ -. F( 1,82952; 100000). Os valores escolhidos. para. os hiperparainetros foram baseados a partir de1 uma cuida,dosa, análise preliminar dos dados. A Tabela, (5.1.4) apresenta os resumos das estimativas encontradas para o modelo de Ryu. A Figura 5.1 apresenta, as densidades a, posteriori marginais para 0 1 ; 0 2 e 0 3 .. Tabela, (5.1.4): Sumário a posteriori. c E.M. V para o modelo de Ryu M.V. CÍibbs-Metrópolis. 10 95 %. Média,. ICred. 95 %. R. EMV. 0,. 201,4074. (198,6175;203,8958). 1,0002. 201,2109. 02. 0,2617. (0,2376;0,2949). 1,0005. 0,2338. (0,1478;0,3197). 0a. 0,0010. (0,0010;0,0011). 0,9999. 0,00109. (0,0006;0,0015). 5.1.5. (198,25I5;204,1704). Modelo Generalizado de Ryu. Considerando o modelo (5), foram utilizadas as densidades a, priori (4.22) com. O'i ~ r(100;100), «2 - r(100; 100), pV2 ~ r(100;100), A, ~ 1\100;1000), A2 - r(100;.

(52) Aplicações. 43. 1000), A 12 ~ 1(2(1(1; 1000). Os valoreis dos hiperpa.rainet.ros foram escolhidos a, partir de uma analise preliminar dos dados. A Tabela (5.1.5) apresenta os resumos das estimativas encontradas para o modelo Generalizado de Ryu.. Neste caso, não foi possível encon-. trar as estimativas de máxima verossimilhança pelo método adotado previamente para os outros modelos. Observa-se aqui um problema numérico de convergência. Assim, a análise Bayesiana do modelo é muito importante para. a, obtenção das inferências. Uma análise de sensibilidade foi utilizada considerando outros valores dos hiperparâmetros das distribuições a priori.. Tabela. (5.1.5). Sumário a posteriori para o modelo Generalizado de Ryu Gibbs-Mctropolis Média. ICred. 95 %. R. O!. 0,1987. (0,17177;0,22772). 0,99947. n2. 0,48163. (0,36831:0,64187). 1,00525. Pl2. 0,89737. (0,72355; 1,08605). 1,00138. Ai. 0,09300. (0,07657;0,11138). 0,99918. A2. 0,08648. (0,06358;0,10722). 1,00312. A12. 0,01131. (0,00621,-0,01538). 1,00134. Figura. 5.1: Densidades marginais a posteriori para, os parâmetros do modelo de Ryu para os dados de Aarset..

(53) Figura 5.2: Densidades marginais a. posteriori para, os parâmetros do modelo Generalizado de Ryu para os dados de Aarset.. 5.1.6. D i s c r i m i n a ç ã o d o s M o d e l o s para os d a d o s d e A a r s e t. Para seleeionar o melhor modelo, foi utiliza,da. a, técnica escrita na seção (5.2.2). Com isso. foram calculados os valores de C(l) — 11" , C/(í), onde l indexa modelo (/ — 1, Weibull exponenciada,: l — 2, modelo IDB: l — 3, Potência, exponencial; 1—4, modelo de Ryu, 1—5, Generalizado de Ryu). Os resultados estão na, Tabela (5.1.(i).. Figura 5.3: Funções de risco para diferentes modelos com a.s estimativas bayesianas para. os dados de Aarset. Observa-se na Tabela, (5.1.6) que o melhor modelo é o Generalizado de Ryu. A.

(54) 54. Aplicações Figura (5.3) apresenta, as funções de risco para. vários modelos.. Assim, eonelukse que o uso do Modelo Generalizado de Ryu leva à, grandes ganhos 11a obtenção de; melhoreis inferências considerando os dados da Tabela (5.1).. Tabela (5.1.6). Valores do índice geral C(l) Modelo. 5.2. n / i = íir. 1. 1,17e-101. 2. 1,28c-100. 3. 1,01e-l 02. 4. l,72e-l15. 5. 2,33e-096. cm). Exemplo 2 - Dados Observados Completamente com Covariável Neste exemplo, primeiramente, para. os dados simulados com covariável, chamados. aqui de Dados 1 (ver Apêndice A, Tabela 6), foram ajustados o Modelo de Ryu e o Modelo Generalizado de Ryu. Em segundo lugar, para os dados na Tabela (5.2.2), foram ajustados o Modelo Generalizado de Ryu.. 5.2.1. Conjunto de Dados Simulados Neste exemplo, considerando os dados simulados com covariável, chamados aqui. de Dados 1 (ver Apêndice A, Tabela (6)), foram ajustados o Modelo de Ryu e o Modelo Generalizado de Rvu e escolhido o melhor modelo..

(55) 55. Aplicações. Modelo de Ryu Considerando o modelo (2.4.1), foram utilizadas as densidades a priori (4.29) com 0V ~ r(8000, 10000), 02 ~ r(9500, ÍOOOO), / j -. r(1000, lOOOO). A Tabela (5.2.1) apre-. senta. os resumos das estimativas encontradas para o Modelo de llyu.. Neste caso, não. obteve-se os resultados clássicos assint.óticos precisos, especialmente no caso do parâmetro (l A Figura (5.4) apresenta as densidades a posteriori marginais para os parâmetros do modelo.. Tabela (5.2.1). Sumário a posteriori. para o Modelo de Ryu para dados 2 M.V. Vi bbs-Metrópolis Média.. ICred. 95 %. R. EMV. 0.8011. (0.7836;0.8187). 1.0042. 0.8202. (0.7486; 0.8917). 0-2 0.9510. (0.9319:0.9704). 1.0001. 0.8955. (0.8645:0.9263). 0.1011. (0.0950;0.1074). 1.0031. 0.001. (-0.063457;0.063457). 0i. IC 95 %. Figura 5.4: Densidades marginais a, posteriori para os parâmetros do modelo de llyu estimados em (5.2.1)..

(56) 56. Aplicações. Modelo Generalizado de Ryu Considerando o modelo (2.4.3), foram utilizadas as densidades a. priori (4.35) com a ! -. F(365; 100), cr2 ~ P(293; 1000), f j ~ F(573; 1000), Aj -. r(11.5; 1000), A2 ~. F(34; 1000), A 12 ~ r(610; 1000). A Tabela (5.2.2) apresenta os resumos das estimativas encontradas para o Modelo Generalizado de Ryu. Neste caso, as estimativas bayesianas e clássicas são bastante parecidas. A Figura (5.5) apresenta as densidades a posteriori marginais para os parâmetros do modelo.. Tabela, (5.2.2). Sumário a posteriori para o Modelo Generalizado de Ryu G íbbs-Metrópolis. M.V. Média,. ICred. 95 %. R. EMV. IO 95 %. «1. 3.6610. (3.2970;4.0236). 0.99947. 3.653. (3.1866;4.1195). rv2. 0.2951. (0.2607;0.3280). 1.00525. 0.2932. (0.2038;0.3826). P. 0.5791. (0.5331 -,0.6263). 1.00138. 0.5732. (0.4265;0.7201). Ai. 0.0139. (0.0084;0.0208). 0.99947. 0.0115. (0.0033;0.0197). a2. 0.0347. (0.0246;0.0465). 1.00525. 0.0339. (0.0215;0.0464). A,2. 0.4726. (0.4379;0.5089). 1.00134. 0.6106. (0.5445;0.6767). Para escolher o melhor modelo foi utilizada, a técnica, de; seleçãx) de modelos descrita, na. Seção 4.3.4. Os resultados estão na Tabela, (5.2.3).. Tabela (5.2.3). Valores do índice geral C(l). Modelo. n/i. 11/' . q/S. 4. 8,46e-121. 5. 1,6 le-094. Na, Tabela (5.2.3) observa-se que o melhor modelo é o Modelo Generalizado de Ryu..

(57) Aplicações. 48. Figura, 5.5: Densidades marginais a, posteriori para, os parâmetros do Modelo Generalizado de Ryu estimados em (5.2.2). 5.2.2. Conjunto de Dados Reais. Neste exemplo, foram considerados os dados da. Tabela, (5.2.4), que representa os tempos de sobrevivência e a contagem do número de glóbulos brancos de 17 pacientes que vieram a óbito em circunstâncias de; leucemia myclotjcunus (Rugi & Zelen, 1965). Os tempos de sobrevivência, /.,• são dados em semanas a, partir da, dal,a, do diagnóstico da doença, e a variável regressora xl representa, o Zo</io(número de glóbulos brancos), na, ocasião do diagnóst ico. Considerando o Modelo Generalizado de Ryu, foram utilizadas as densidades a priori (1.35) com. - F(56; 100), o 2 ~ F(286; 100), f i ~ F(217: 1000), A, - F(65, 5; 1000), A2 ~. r ( l ; 100000 ), A,2 ~ r(1; 10000). A Tabela (5.2.5) apresenta os resumos das estimativas encontradas para. o modelo Generalizado de Ryu. Foi utilizada, uma. análise de sensibilidade, considerando outros valores dos hiperparâ,metros das distribuições a, priori. Neste caso, observou-se que o aumento da, va.ria.bil-.

(58) Aplicações. 49. idade na escolha dos hiperparâ.metros ocasiona problemas de convergência. Na Tabela. (5.2.5) observasse novamente que as estimativas clássicas não são precisas, especialmente nos casos dos parâmetros À2, A t2 . Os métodos Ba.yesia.nos são, portanto, bastante importante para estimar os parâmetros do modelo.. Tabela(5.2.4): Tempo;$ de. Sobrevivência U. wbc*. xt. 3.36. 143. 7000. 3.85. 750. 2.88. 56. 9400. 3.97. 100. 4300. 3.63. 26. 32000. 4.51. 134. 2600. 3.41. 22. 35000. 4.54. 16. 6000. 3.78. 1. 100000. 5.00. 108. 10500. 4.02. 1. 100000. 5.00. 121. 10000. 4.00. 5. 52000. 4.72. 4. 17000. 4.23. 65. 100000. 5.00. 39. 5400. 3.73. h.. wbc*. 65. 2300. 156. J.. —. —. —. Tabel a, (5.2.5). írumário a potileri 9ri. para, o Modelo Generalizado de Ryu M.V. Gibbs-iVIetrópolis Média.. ICred. 95 %. R. EMV. 1C 95 %. 0.5611. (0.4309;0.7047). 0,9999. 0.5603. (0.4099;0.7105). a2. 2.8599. (2.5495;3.1963). 1,0002. 2.8629. (2.6018;3.1239). P. 0.2170. (0.1889;0.2466). 1,0013. 0.2171. (-3.1720;3.6063). A,. 0.065. (0.0505;0.0821). 0,99998. 0.0655. (0.0340:0.0969). A2. O.OlxlO"8. (0.0126;0.3466). 1.0002. O.ler 9. (-1.84e~ 8 ;2.02e~ 6 ). A12. 0.01 t r 0. (0.0025;0.3781). 1,0010. 0.00001. (-0.0003;0.0034).

(59) Aplicações. 5.3. 50. Exemplo 3 - Dados Censurados à Direita com Covariável Neste Exemplo, foi considerado uni conjunto de dados (ver Apêndice1 A, Tabela 6.1). simulados ao qual ajustou-se o Modelo de Ryu e o Modelo de Rvu Generalizado.. 5.3.1. Modelo de R y u. Considerando o modelo (2.4.2) foram utilizadas as densidades a, priori (4.44) com 01 ~ r(65000,10000), 02 ~ r(8500,10000), 0 ~ F(1000,10000). A Tabela (5.3.1) apresenta os resumos das estimativas Baycsianas encontradas para o Modelo de Ryu. Novamente, neste caso, observa-se que as estimativas clássicas assintóticas não são precisas, principalmente no caso do parâmetro ft. A Figura 5.6 apresenta, as densidades a, posteriori marginais para, os parâmetros do modelo.. Tabela, (5.3.1). Sumário o, posteriori para Modelo de Ryu dados 1 M.V. G i b bs-Metr óp olis. 5.3.2. Média. ICred. 95 %. R. i:\iv. IC 95 %. 0,. 0.6511. (0.6253;0.6670). 1.0041. 0.9284. (0.8538; 1.003). 02. 0.85 1 0. ( 0.83 30;0.8694) 1.0032. 1.0028. (0.9681 ;1.037). 0. 0.1011. (0.0950;0.1074). 1.0004. 0.0001. (-0.0589;0.0589). Modelo de Ryu Generalizado. Considerando o modelo (2.4.4), foram utilizadas as densidade» a priori (4.49) com o-, -. F(365; 100), Í*2 -. 1000), A12 ~. F(29.3; 100), p ~ F(57.3; 100), Aj -. F(610; 1000).. F(11.5; 10000), A2 ~ T(28;. A Tabela, (5.3.2), apresenta os resumos das estimativas.

(60) Aplicações. 51. Bayesianas encontradas para. o Modelo Generalizado de Ryu. Neste caso, nao foi possível encontrar as estimativas de máxima verossimilhança através do método adotado.. Tabela (5.3.2). Sumário a posteriori. para o Modelo Generalizado. de Ryu dados 1. Gibbs-Metrópolis Média. ICred. 95 %. li. 3.7242. (3.3346;4.0959). 0.99947. 0.2970. (0.2012,-0.4130). 1.00525. 3. 0.5731. (0.4350;0.7296). 1.00138. A,. 0.0072. (0.0048;0.0098). 0.99947. A2. 0.0367. (0.0252;0.0504). 1.00525. A12. 0.5187. (0.4785;0.5591). 1.00134. o,. Para escolher o melhor modelo foi utilizada, a. técnica de seleção de modelos descrita na Seção 4.3.4. Os resultados estão na Tabela (5.3.3).. Tabela (5.3.3). Valores do índice geral Modelo. n/1. li!. C(l). CM). 4. 1.04e-125. 5. 4,73e-88. Na Tabela (5.3.3) observa-se que o melhor modelo é o Modelo Generalizado de Ryu.. Figura 5.6: Densidades marginais a posteriori para os parâmetros do modelo de- Ryu para. as estimativas da Tabela (5.3.1).

(61) Figura, 5.7: Densidades marginais a posteriori para os parâmetros do modelo Generalizado Ryu para a,s estimativas da, Tabela (5.3.2)..

(62) Capítulo 6 Conclusões gerais O uso de métodos MCiYlC para a análise Baycsiana de dados de sobrevivência com função de risco em forma de LI (banheira) pode simplificar a obtenção das inferências de interesse para diferentes modelos paramétricos usados para analisar os dados. Também foi observado que; os modelos de Ryu e Ryu Generalizado podem ser bem ajustados a vários conjuntos de chulos de sobrevivência com funções de risco em forma de U, conforme observa-se nos exemplos de aplicação introduzidos na seção (5). Foram considerados também para o Modelo de Ryu e Modelo Generalizado de Ryu a presença de eovariáveis e observações censuradas. Assim tem-se uma nova classe de modelos para. ser usada em analisei de dados de sobrevivência. Quanto às amostras geradas pelo algoritmo Gibbs sa.mpling com Metropolis-Hastings, 11a maioria dos casos rapidamente foi verificada a convergência das amostras, todavia, para. o Modelo de Ryu observou-se a necessidade de; considerar novas reparametrizações afim dei conseguir convergência, mais rapidamente. Além disso, podem ser utilizadas outras distribuições a priori para os parâmetros incorporando informações de especialistas ou de análise preliminar dos dados..

(63) Conclusões. Gerais. _54. Na discriminação dos diferentes modelos a técnica Bayesiana baseada nas distribuições preditivas ordenadas proporciona muita facilidade em selecionar modelos..