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(2) Dados Internacionais de Cataloga¸c˜ao na Publica¸c˜ao (CIP) Sistema Integrado de Bibliotecas da UFRPE Biblioteca Central, Recife-PE, Brasil O48t. Oliveira Filho, Amaro Jos´e de O Teorema de Pit´agoras /Amaro Jos´e de Oliveira Filho. -2016. 73f. Orientador: Jorge Antonio Hinojosa Vera Disserta¸c˜ ao (mestrado) - Universidade Federal Rural de Pernambuco, Programa de P´os-Gradua¸c˜ao Profissional em Matem´ atica, Recife, BR-PE, 2016. Inclui referˆencias. 1. Teorema de Pit´agoras 2. Demonstra¸c˜oes 3. Aplica¸c˜oes 4. Atividades did´aticas I. Vera, Jorge Antonio Hinojosa, orient. II. T´ıtulo CDD 510.
(3) O Teorema de Pit´ agoras por. Amaro Jos´ e de Oliveira Filho Disserta¸c˜ao apresentada ao Corpo Docente do Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica - DM - UFRPE, como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica. ´area de Concentra¸c˜ao: escreva aqui sua ´area de concentra¸c˜ao. Aprovada por:. Prof. Dr. Jorge Antonio Hinojosa Vera - UFRPE (Orientador). Prof. Dr. Adriano Regis Melo Rodrigues da Silva - UFRPE. Prof. Dr. Vicente Francisco de Sousa Neto - UNICAP. Novembro/2016.
(4) Agradecimentos 1. Aos meus pais: Amaro Jos´e de Oliveira (in memoriam) e Edite Monteiro (in memoriam). 2. Ao Prof. Jorge Hinojosa, orientador e amigo. 3. Aos companheiros de turma Jos´e Constantino e Wildemar Marques..
(5) Resumo A presente disserta¸ca˜o trata de uma pesquisa bibliogr´afica sobre as diversas demonstra¸co˜es do Teorema de Pit´agoras, suas aplica¸co˜es na resolu¸c˜ao de problemas e atividades did´aticas utilizadas em sala de aula, temos tamb´em uma pequena nota hist´orica sobre Pit´agoras e a escola pitag´orica. As demonstra¸c˜oes aqui abordadas s˜ao de trˆes tipos, as primeiras s˜ao as demonstra¸co˜es “alg´ebricas”, estas s˜ao baseadas nas rela¸c˜oes m´etricas no triˆangulo retˆangulo, as segundas s˜ao demonstra¸co˜es “geom´etricas”, estas s˜ao baseadas em compara¸co˜es de a´reas e as terceiras s˜ao demonstra¸co˜es “vetoriais”baseadas no conceito de vetor e suas propriedades.. Palavras-chave: Teorema de Pit´agoras, Demonstra¸c˜oes, Aplica¸co˜es, Atividades did´aticas..
(6) Abstract This work is a bibliographical research on the various proofs of the Pythagoras theorem, its applications in solving problems and educational activities used in the classroom, we have also a small historical note about Pythagoras and the Pythagorean school. The proofs covered here are of three types, the first are the algebraic proofs are based on these metric relations in right triangle, the second are geometric proofs these are based on areas of comparisons and the third vector proofs are based on vector concept and its properties.. Keywords: Pythagoras theorem, Proofs, Applications, Educational activities..
(7) Lista de Figuras 1.1 1.2 1.3. Pit´agoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Teorema de Pit´agoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Triˆangulo retˆangulo is´osceles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9. Congruˆencia de triˆangulos Semelhan¸ca de triˆangulos . O c´ırculo . . . . . . . . . . ˆ Angulo central . . . . . . . ˆ Angulo inscrito . . . . . . ˆ Angulo de segmento . . . Tangente e secante . . . . Adi¸ca˜o de vetores 1.1 . . . Adi¸ca˜o de vetores 1.2 . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 19 20 21 21 22 22 23 27 27. 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12. Triˆangulo retˆangulo . . . . . . . Demonstra¸ca˜o de Bhaskara . . . Demonstra¸ca˜o 3 . . . . . . . . . Demonstra¸ca˜o de Kemper . . . Demonstra¸ca˜o de A. E. Colburn Demonstra¸ca˜o de Lamy . . . . . Demonstra¸ca˜o 1 . . . . . . . . . Demonstra¸ca˜o de Garfield 1.2 . Demonstra¸ca˜o de Bhaskara 2 . . Demonstra¸ca˜o de Euclides . . . Demonstra¸ca˜o de Hauff’s work . Demonstra¸ca˜o de A. R. Colburn. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. 28 29 30 31 31 32 34 35 36 37 39 40. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 7.
(8) 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20. Demonstra¸ca˜o Demonstra¸ca˜o quadrado . . . Demonstra¸ca˜o Demonstra¸ca˜o Demonstra¸ca˜o Demonstra¸ca˜o Demonstra¸ca˜o. de Stowell . . . . . . . de Leonardo Da Vinci . . . . . . . . . . . . . de Perigal . . . . . . . vetorial 1 . . . . . . . vetorial 2 . . . . . . . rec´ıproca 1.1 . . . . . rec´ıproca 1.2 . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 41 42 45 46 49 49 50 51. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12. Defini¸ca˜o de cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lei dos cossenos 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lei dos cossenos 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema de Apolˆonio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prova do Teorema de Apolˆonio . . . . . . . . . . . . . . O problema de Hip´ocrates . . . . . . . . . . . . . . . . . A distˆancia entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . A condi¸ca˜o de perpendicularismo na Geometria Anal´ıtica Generalizando o Teorema de Pit´agoras . . . . . . . . . . O c´alculo da diagonal de um paralelep´ıpedo retˆangulo . . Uma reta perpendicular a um plano . . . . . . . . . . . . Uma generaliza¸c˜ao do Teorema de Pit´agoras no espa¸co .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. 52 53 53 54 55 56 57 57 58 59 59 60. 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8. Formando a figura 1 . . . Formando o quebra-cabe¸ca Formando o quebra-cabe¸ca Formando a figura 2 . . . Formando a figura 3 . . . Comparando as ´areas 1 . . Comparando as ´areas 2 . . Formando a figura 4 . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 67 68 68 68 69 70 70 71. . . 1.1 1.2 . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 8. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . ..
(9) Sum´ ario 1 Notas Hist´ oricas 14 1.1 Pit´agoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2 O Teorema de Pit´agoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Assuntos preliminares 2.1 Congruˆencia de triˆangulos . . . . . . . 2.2 Semelhan¸ca de triˆangulos . . . . . . . . 2.3 O c´ırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2.4 Area de algumas figuras planas . . . . ´ 2.4.1 Area do retˆangulo (axioma) . . ´ 2.4.2 Area do paralelogramo . . . . . ´ 2.4.3 Area do triˆangulo . . . . . . . . ´ 2.4.4 Area do trap´ezio . . . . . . . . ´ 2.4.5 Area do c´ırculo . . . . . . . . . 2.4.6 Rela¸c˜ao entre semelhan¸ca e ´area 2.5 Vetores no plano . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Adi¸c˜ao de vetores . . . . . . . . 2.5.2 Produto interno . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. 3 Algumas demonstra¸c˜ oes do Teorema de Pit´ agoras 3.1 Demonstra¸co˜es alg´ebricas . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Demonstra¸c˜ao 1 (Bhaskara II) . . . . . . . . 3.1.2 Demonstra¸c˜ao 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Demonstra¸c˜ao 3 (C. J. Kemper) . . . . . . . 3.1.4 Demonstra¸c˜ao 4 (A. E. Colburn) . . . . . . 9. . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. 18 18 19 20 23 23 23 24 24 24 24 24 26 27. . . . . .. 28 28 28 30 30 31.
(10) 3.2. 3.3. 3.4. 3.1.5 Demonstra¸c˜ao 5 (R. P. Lamy) . . . . 3.1.6 Demonstra¸c˜ao 6 (Heron) . . . . . . . Demonstra¸co˜es geom´etricas . . . . . . . . . 3.2.1 Demonstra¸c˜ao 1 (“Pit´agoras”) . . . . 3.2.2 Demonstra¸c˜ao 2 (Garfield) . . . . . . 3.2.3 Demonstra¸c˜ao 3 (Bhaskara II) . . . . 3.2.4 Demonstra¸c˜ao 4 (Euclides) . . . . . . 3.2.5 Demonstra¸c˜ao 5 (Hauff’s work) . . . 3.2.6 Demonstra¸c˜ao 6 (A. R. Colburn) . . 3.2.7 Demonstra¸c˜ao 7 (T. P. Stowell) . . . 3.2.8 Demonstra¸c˜ao 8 (Leonardo Da Vinci) 3.2.9 Demonstra¸c˜ao 9 (Perigal) . . . . . . Algumas demonstra¸co˜es vetoriais . . . . . . 3.3.1 Demonstra¸c˜ao 1 . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Demonstra¸c˜ao 2 . . . . . . . . . . . . A rec´ıproca do Teorema de Pit´agoras . . . . 3.4.1 Demonstra¸c˜ao 1 . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Demonstra¸c˜ao 2 . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4 Aplica¸c˜ oes do Teorema de Pit´ agoras e temas relacionados 4.1 A lei dos cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 O Teorema de Apolˆonio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 O problema de Hip´ocrates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 A distˆancia entre dois pontos na Geometria Anal´ıtica . . . . 4.5 A condi¸ca˜o de perpendicularismo na Geometria Anal´ıtica . . 4.6 Generalizando o Teorema de Pit´agoras . . . . . . . . . . . . 4.7 O c´alculo da diagonal de um paralelep´ıpedo retˆangulo . . . . 4.8 Uma generaliza¸ca˜o do Teorema de Pit´agoras no espa¸co . . . 4.9 Ternos pitag´oricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.1 Profmat: exame nacional de acesso 2013 . . . . . . . 4.10.2 Profmat: exame nacional de acesso 2014 . . . . . . . 4.10.3 XVIII Olimp´ıadas Portuguesas de Matem´atica . . . . 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32 33 34 34 35 35 36 38 40 41 41 44 49 49 49 50 50 51. . . . . . . . . . . . . .. 52 52 54 55 56 57 58 58 59 61 62 62 62 64.
(11) 5 Atividades did´ aticas sobre 5.1 Atividade 1 . . . . . . . 5.2 Atividade 2 . . . . . . . 5.3 Atividade 3 . . . . . . . 5.4 Atividade 4 . . . . . . . 5.5 Atividade 5 . . . . . . . 5.6 Considera¸co˜es finais . . .. o . . . . . .. Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Referˆ encias Bibliogr´ aficas. de . . . . . . . . . . . .. Pit´ agoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 66 67 67 68 69 70 71 73. 11.
(12) Introdu¸ c˜ ao A geometria tem dois grandes tesouros: um ´e o teorema de Pit´agoras; o outro, a divis˜ao de um segmento em m´edia e extrema raz˜ao. O primeiro pode ser comparado a uma medida de ouro; o segundo podemos chamar de joia preciosa. KEPLER, [4]. O Teorema de Pit´agoras ´e um dos mais importante teorema da Geometria Plana devido as aplica¸co˜es na resolu¸ca˜o de problemas e ramifica¸co˜es como o teorema de Fermat-Wiles, permitindo o desenvolvimento de sofisticadas ferramentas que enriqueceram a matem´atica moderna, sendo assim, recopilamos algumas demonstra¸co˜es e aplica¸co˜es e elaboramos um trabalho para divulg´a-lo um pouco mais. As demonstra¸co˜es, aqui apresentadas, foram enriquecidas com mais detalhes para facilitar o entendimento. Acreditamos que algumas dessas demonstra¸co˜es poderiam ser trabalhadas em sala de aula, dependendo dos pr´erequisitos que possui o aluno, o professor pode escolher aquelas que melhor se adaptem ao momento, proporcionando um aprofundamento do conhecimento dos alunos em rela¸ca˜o ao tema e que possam atra´ı-los para a sua constru¸c˜ao. No primeiro cap´ıtulo, abordamos uma pequena nota hist´orica sobre Pit´agoras e sua escola pitag´orica, em seguida tratamos sobre o surgimento do Teorema de Pit´agoras. ´ conveniente esclarecer que a aplica¸c˜ao desse teorema, j´a era conhecida bem antes de E Pit´agoras, mas sua demonstra¸ca˜o ´e atribu´ıda a` escola pitag´orica. No segundo cap´ıtulo, tratamos de alguns assuntos que servir˜ao de pr´e-requisito para melhorar a compreens˜ao dos cap´ıtulos seguintes, cabe ressaltar que leitores familiarizados. 12.
(13) com os conte´ udos aqui abordados, podem iniciar a leitura no cap´ıtulo seguinte. No terceiro cap´ıtulo, abordamos algumas demonstra¸co˜es do Teorema de Pit´agoras, baseado no livro de Elisha Scott Loomis (1852-1940), [12] essas demonstra¸c˜oes foram classificadas em “alg´ebricas”, “geom´etricas”e “vetoriais”. As provas “alg´ebricas”s˜ao as demonstra¸co˜es baseadas nas rela¸co˜es m´etricas nos triˆangulos retˆangulos, as provas “geom´etricas” s˜ao as demonstra¸c˜oes baseadas em compara¸co˜es de a´reas e as “vetoriais”s˜ao as demonstra¸co˜es em que s˜ao aplicadas o conceito de vetor e suas propriedades. H´a certas provas abordadas como demonstra¸co˜es ”alg´ebricas“, por exemplo as demonstra¸co˜es 4 e 5, que poderiam ser consideradas como demonstra¸c˜oes “geom´etricas”, n´os mantivemos essas demonstra¸co˜es como “alg´ebricas”obedecendo a classifica¸ca˜o utilizada no livro texto [12]. Temos tamb´em nesse cap´ıtulo duas demonstra¸c˜oes da rec´ıproca do Teorema de Pit´agoras. No cap´ıtulo quatro, inclu´ımos algumas aplica¸c˜oes do Teorema de Pit´agoras, tais como: lei dos cossenos, distˆancia entre dois pontos, o c´alculo da de diagonal de um paralelep´ıpedo, etc e tamb´em problemas de concurso em que ´e utilizado o teorema. No cap´ıtulo cinco, inclu´ımos algumas atividades pedag´ogicas que podem ser trabalhadas na sala de aula e facilitem a compreens˜ao desse teorema, as atividades citadas s˜ao baseadas em compara¸co˜es de a´reas e foram elaboradas para os alunos do nono ano do ensino fundamental, mas podem ser aplicadas em outro n´ıvel de ensino, desde que sejam trabalhados os conhecimentos pr´evios.. 13.
(14) Cap´ıtulo 1 Notas Hist´ oricas 1.1. Pit´ agoras. Figura 1.1: Pit´agoras Pit´agoras (c.569-c.480 a.C.) nasceu na ilha de Samos, perto de Mileto onde 50 anos ´ poss´ıvel que Pit´agoras tenha sido disc´ıpulo de Tales, pois era antes tinha nascido Tales. E 14.
(15) cinquenta anos mais jovem do que este e morava perto de Mileto local onde vivia Tales. Foi a partir das ideias desses dois grandes personagens que a Matem´atica se inicia como ciˆencia e pˆode se desenvolver enormemente nos s´eculos seguintes. Pit´agoras fez v´arias viagens pelo Egito, Babilˆonia e possivelmente indo at´e a ´India, durante suas peregrina¸co˜es ele evidentemente absorveu n˜ao s´o informa¸ca˜o matem´atica e astronˆomica como tamb´em muitas ideias religiosas, foi praticamente contemporˆaneo de Buda, Conf´ uncio e Lao-tse, de modo que esse s´eculo foi cr´ıtico tanto para o desenvolvimento da religi˜ao bem como da Matem´atica. Quando Pit´agoras retornou a Samos encontrou o poder nas m˜aos do tirano Pol´ıcrates e a Jˆonia sob o dom´ınio persa, ent˜ao decidiu emigrar para Crotona na costa sudeste do que agora ´e a It´alia. L´a ele fundou a famosa escola pitag´orica, que al´em de ser um centro de estudo de filosofia, matem´atica e ciˆencias naturais, era tamb´em uma irmandade estreitamente unida por ritos secretos e cerimˆonias. O fato de Pit´agoras permanecer uma figura muito obscura se deve em parte a perda de documentos daquela ´epoca. V´arias biografias de Pit´agoras foram escritas na antiguidade, mas se perderam, outra dificuldade que caracteriza a sua figura era da escola pitag´orica ser uma sociedade secreta, conhecimento e propriedade eram comuns, por isso a atribui¸ca˜o de descobertas n˜ao era feita a um membro espec´ıfico da escola, dessa forma n˜ao se costuma falar da obra de Pit´agoras, mas nas contribui¸co˜es dos pitag´oricos apesar de que na antiguidade era dado todo o cr´edito ao mestre. Com o passar do tempo a` influˆencia e as tendˆencias da escola pitag´orica tornaram-se t˜ao grande que o governo da ´epoca decidiu destruir os pr´edios da escola fazendo com que a irmandade se dispersasse. Segundo um relato Pit´agoras fugiu para Tarento donde se dirigiu a Metaponto, e a´ı perdeu a vida numa segunda revolta. Cerca de 500 a.C., os pitag´oricos, contudo voltaram a reunir-se e sua sociedade ainda teve existˆencia por mais alguns s´eculos.. 1.2. O Teorema de Pit´ agoras. O Teorema de Pit´agoras ´e uma rela¸c˜ao m´etrica entre as medidas dos lados de um triˆangulo retˆangulo, que ´e um triˆangulo que tem um aˆngulo de 90o , o lado oposto a esse aˆngulo ´e denominado hipotenusa e tem maior comprimento os lados menores chamam-se catetos. Seu enunciado ´e da seguinte forma: 15.
(16) Teorema 1.1 A a´rea do quadrado cujo lado ´e a hipotenusa de um triˆangulo retˆangulo ´e igual a soma das ´areas dos quadrados cujos lados s˜ao cada um dos catetos desse mesmo triˆangulo. Se indicarmos a medida da hipotenusa por a e os catetos por b e c, o Teorema de Pit´agoras afirma que vale a rela¸ca˜o a2 = b2 + c2 .. Figura 1.2: Teorema de Pit´agoras A demonstra¸ca˜o desse teorema pelos pitag´oricos foi muito lenta e penosa. Inicialmente eles conheciam o fato para os triˆangulos que tˆem lados proporcionais a 3, 4 e 5, como tamb´em para o triˆangulo de lados 5, 12 e 13. Um resultado mais geral foi obtido para o triˆangulo retˆangulo is´osceles, que tem a seguinte demonstra¸c˜ao. Considere um triˆangulo retˆangulo is´osceles cuja hipotenusa mede a e os catetos b, constru´ımos quadrados de lados a e b sobre seus lados. Tra¸camos os segmentos M A, AQ, BR e CS como ilustra a figura seguinte. Os triˆangulos numerados s˜ao todos triˆangulos retˆangulos is´osceles iguais de hipotenusa igual a diagonal do quadrado de lado b e lados iguais a b, da´ı temos a2 = b2 + b2 . No caso geral, segundo relatos da Hist´oria da Matem´atica n˜ao se sabe a demonstra¸ca˜o elaborada na escola pitag´orica nem se sabe se foi Pit´agoras ou algu´em da escola, mas tudo. 16.
(17) Figura 1.3: Triˆangulo retˆangulo is´osceles indica que a primeira demonstra¸ca˜o surgiu na escola pitag´orica, segundo os historiadores acredita-se que esta demonstra¸ca˜o ´e baseada em compara¸c˜oes de ´areas. Existem v´arias demonstra¸co˜es do Teorema de Pit´agoras, por exemplo na literatura o livro mais conhecido ´e de Elisha Scott Loomis (1852-1940), professor de Matem´atica em Cleveland, Ohio (estados Unidos) [6] e [15]. O t´ıtulo do livro ´e The Pythagorean Proposition cuja tradu¸ca˜o literal ´e A Proposi¸ca˜o de Pit´agoras. Ele colecionou demonstra¸co˜es desse teorema durante vinte anos, de 1907 a 1927 agrupo-as formando o livro citado. A primeira edi¸ca˜o, em 1927, continha 230 demonstra¸co˜es, a segunda edi¸c˜ao publicada em 1940 o n´ umero de demonstra¸c˜oes foi aumentado para 370. A rec´ıproca do Teorema de Pit´agoras tamb´em ´e verdadeira, isto ´e: um triˆangulo possui lados medindo a, b e c. Se a2 = b2 + c2 , ent˜ao o triˆangulo ´e retˆangulo e sua hipotenusa ´e o lado que mede a. Ela ser´a apresentada no cap´ıtulo trˆes.. 17.
(18) Cap´ıtulo 2 Assuntos preliminares Neste cap´ıtulo ser˜ao abordados alguns assuntos pr´evios para a melhor compreens˜ao das quest˜oes dadas nos cap´ıtulos seguintes. Os leitores familiarizados com esses conte´ udos podem come¸car a leitura no cap´ıtulo seguinte. Os livros pesquisados para esses conte´ udos foram [3], [7], [11] e [14].. 2.1. Congruˆ encia de triˆ angulos. Defini¸c˜ ao 2.1 Diremos que dois segmentos AB e CD s˜ao congruentes quando eles tem ˆ s˜ao congruentes se eles tˆem a o mesmo comprimento; diremos que dois ˆangulos Aˆ e B mesma medida. Assim, as propriedades de igualdade de n´ umeros passam a valer para a congruˆencia de segmentos e aˆngulos. Para simplificar nossa nota¸ca˜o, iremos utilizar o s´ımbolo “ = ” para significar conˆ deve ser gruentes. Assim, AB = CD deve ser lido como AB ´e congruente a CD e Aˆ = B lido como ˆangulo A congruente com ˆangulo B. Defini¸c˜ ao 2.2 Dois triˆangulos s˜ao congruentes se for poss´ıvel estabelecer uma correspondˆencia biun´ıvoca entre seus v´ertices de modo que lados e ˆangulos correspondentes sejam congruentes. Assim, se ABC e DEF s˜ao dois triˆangulos congruentes e se A ←→ D,. B ←→ E, 18. C ←→ F.
(19) Figura 2.1: Congruˆencia de triˆangulos ´e a correspondˆencia que define a congruˆencia, ent˜ao valem, simultaneamente, as seis rela¸co˜es seguintes: AB = DE BC = EF AC = DF ˆ ˆ = Eˆ Aˆ = D B Cˆ = Fˆ Escreveremos ABC = DEF para significar que os triˆangulos ABC e DEF s˜ao congruentes e que a correspondˆencia entre os v´ertices leva A em D, B em E e C em F . Existem trˆes casos de congruˆencias, sendo que o primeiro caso ´e um axioma. Axioma 2.1 (1o caso de congruˆ encia de triˆ angulos) Dados dois triˆangulos ABC e ˆ ˆ DEF , se AB = DF , AC = DE e A = D, ent˜ao ABC = DEF . A partir deste axioma s˜ao provados os dois seguintes casos: Teorema 2.1 (2o caso de congruˆ encia de triˆ angulos) Dados dois triˆangulos ABC ˆ eB ˆ = E, ˆ ent˜ao ABC = DEF . e DEF , se AB = DE, Aˆ = D Teorema 2.2 (3o caso de congruˆ encia de triˆ angulos) Se dois triˆangulos tˆem trˆes lados correspondentes congruentes, ent˜ao os triˆangulos s˜ao congruentes. Estes trˆes casos de congruˆencia de triˆangulos tamb´em s˜ao conhecidos respectivamente por LAL, ALA e LLL.. 2.2. Semelhan¸ca de triˆ angulos. Defini¸c˜ ao 2.3 Dois triˆangulos s˜ao semelhantes se for poss´ıvel estabelecer uma correspondˆencia biun´ıvoca entre seus v´ertices de modo que ˆangulos correspondentes sejam iguais e lados correspondentes sejam proporcionais. 19.
(20) Figura 2.2: Semelhan¸ca de triˆangulos Portanto, se ABC e DEF s˜ao dois triˆangulos semelhantes e se a correspondˆencia entre seus v´ertices ´e: A ←→ D, B ←→ E e C ←→ F, ent˜ao valem as rela¸c˜oes: ˆ Aˆ = D,. ˆ = E, ˆ B. Cˆ = Fˆ. e. AB AC BC = = . DE DF EF. O quociente comum entre as medidas dos lados correspondentes ´e chamada raz˜ao de proporcionalidade entre os dois triˆangulos. Escreveremos ABC ∼ DEF para denotar que os triˆangulos ABC e DEF s˜ao semelhantes, com a correspondˆencia entre seus v´ertices A ←→ D, B ←→ E e C ←→ F . Existem trˆes casos de semelhan¸ca de triˆangulos. Teorema 2.3 (1o caso de semelhan¸ca de triˆ angulos) Dados dois triˆangulos ABC e ˆ eB ˆ = E, ˆ ent˜ao ABC ∼ DEF . DEF , se Aˆ = D Teorema 2.4 (2o caso de semelhan¸ca de triˆ angulos) Se, em dois triˆangulos ABC AC AB ˆ e = , ent˜ao ABC ∼ DEF . e DEF tem-se Aˆ = D DE DF Teorema 2.5 (3o caso de semelhan¸ca de triˆ angulos) Se, em dois triˆangulos ABC AB BC AC e DEF tem-se = = , ent˜ao ABC ∼ DEF . DE EF DF Estes trˆes casos de semelhan¸ca de triˆangulos tamb´em s˜ao conhecidos respectivamente por AA, LAL e LLL.. 2.3. O c´ırculo. Nosso ponto de partida nesta se¸c˜ao ´e a defini¸ca˜o de c´ırculo. 20.
(21) Defini¸c˜ ao 2.4 Seja A um ponto do plano e r um n´ umero real positivo. O c´ırculo de centro A e raio r ´e o conjunto constitu´ıdos por todos os pontos B do plano, tais que AB = r. Tamb´em chamaremos de raio ao segmento que une o centro do c´ırculo a qualquer de seus pontos. O segmento ligando dois pontos de um c´ırculo ser´a denominado de corda. Toda corda que passa pelo centro do c´ırculo ´e um diˆametro. Tamb´em chamaremos de diˆametro a` distancia 2r. Sejam A e B dois pontos distintos de um c´ırculo. Tracemos a reta que passa por estes dois pontos. Ela separa o plano em dois semi-planos. Cada um desses semi-planos cont´em uma parte do c´ırculo. Estas partes s˜ao denominadas de arcos determinados pelos pontos A e B. Quando A e B s˜ao extremidades de um diˆametro, estes arcos s˜ao denominados de semic´ırculos.. Figura 2.3: O c´ırculo. ˆ ´e chamado de ˆangulo central. Defini¸c˜ ao 2.5 Se O ´e o centro do c´ırculo ent˜ao AOB A medida em graus do arco menor determinado pelos pontos A e B ´e por defini¸c˜ ao a ˆ medida do ˆangulo central AOB. A medida em graus do arco maior ´e definida como sendo. ˆ Figura 2.4: Angulo central 360◦ −a◦ , onde a◦ ´e a medida em graus do arco menor. No caso em que AB ´e um diˆametro a medida dos dois arcos ´e 180◦ . 21.
(22) Defini¸c˜ ao 2.6 Um aˆngulo se denomina inscrito em um c´ırculo quando seu v´ertice A ´e um ponto do c´ırculo e seus lados cortam o c´ırculo em pontos B e C distintos do ponto A.. ˆ Figura 2.5: Angulo inscrito Na defini¸ca˜o acima, os pontos B e C determinam dois arcos. O arco que n˜ao cont´em o ponto A ´e chamado de arco correspondente ao aˆngulo inscrito. Diremos tamb´em que o aˆngulo subtende o arco. Proposi¸c˜ ao 2.1 Todo ˆangulo inscrito em um c´ırculo tem a metade da medida do arco correspondente. Dizemos que um c´ırculo e uma reta s˜ao tangentes ou, ainda que a reta ´e tangente ao c´ırculo se tiverem exatamente um ponto em comum. Esse ponto em comum ´e denominado o ponto de tangˆencia da reta e o c´ırculo. Defini¸c˜ ao 2.7 Denomina-se ˆangulo de segmento ao ˆangulo cujo v´ertice ´e um ponto de um c´ırculo e seus lados s˜ao uma corda e o outro a tangente ao c´ırculo no v´ertice do ˆangulo.. ˆ Figura 2.6: Angulo de segmento. 22.
(23) Proposi¸c˜ ao 2.2 Um ˆangulo de segmento tem a mesma medida que a metade do arco compreendido entre seus lados. Teorema 2.6 Sejam AB e CD cordas distintas de um mesmo c´ırculo que se intersectam num ponto P . Ent˜ao, AP · P B = CP · P D. Teorema 2.7 Se A, B, C e P s˜ao pontos distintos no plano e B pertence a AP , C n˜ ao pertence a reta AB, ent˜ao P A · P B = P C 2 se, e s´o se, o c´ırculo que passa pelos pontos A, B e C for tangente `a reta P C em C.. Figura 2.7: Tangente e secante Os resultados desta se¸ca˜o encontram-se nos livros [3] e [14].. 2.4. ´ Area de algumas figuras planas. Daremos a seguir algumas proposi¸co˜es relativa a ´area de figuras planas, cabe ressaltar que a ´area do retˆangulo ´e dada como axioma. As demonstra¸c˜oes das ´areas s˜ao tratadas nas fontes bibliogr´aficas [3], [11] e [14].. 2.4.1. ´ Area do retˆ angulo (axioma). Um retˆangulo ABCD de lados a e b tem ´area: A(ABCD) = a · b.. 2.4.2. ´ Area do paralelogramo. A a´rea de um paralelogramo ABCD de base b e altura h ´e dada por: A(ABCD) = b·h.. 23.
(24) 2.4.3. ´ Area do triˆ angulo. A ´area de um triˆangulo ABC de base b e altura h ´e dada por: A(ABC) =. 2.4.4. b·h . 2. ´ Area do trap´ ezio. A a´rea de um trap´ezio ABCD qualquer de bases AB = a, CD = b e altura h ´e dada (a + b) · h . por: A(ABCD) = 2. 2.4.5. ´ Area do c´ırculo. Vamos designar a a´rea de um c´ırculo por Ac . Se tivermos um c´ırculo de raio r sua a´rea ´e dada por Ac = πr2 , onde π ´e um n´ umero real que vale aproximadamente 3, 14.. 2.4.6. Rela¸ c˜ ao entre semelhan¸ca e ´ area. Teorema 2.8 As ´areas de duas figuras semelhantes est˜ao entre si como o quadrado da raz˜ao de semelhan¸ca.. 2.5. Vetores no plano. Defini¸c˜ ao 2.8 Segmentos orientados Um segmento orientado ´e um par ordenado (A, B) de pontos do plano. A ´e dito origem, B extremidade do segmento orientado. Os segmentos orientados da forma (A, A) s˜ao ditos nulos. Defini¸c˜ ao 2.9 Dizemos que os segmentos orientados (A, B) e (C, D) tˆem o mesmo comprimento se os segmentos geom´etricos AB e CD tˆem o mesmo comprimento (medida). • Suponha que os segmentos orientados (A, B) e (C, D) s˜ao n˜ao nulos. Ent˜ao, dizemos que (A, B) e (C, D) tˆem a mesma dire¸c˜ao se AB e CD s˜ao paralelos. Nesse caso tamb´em dizemos que (A, B) e (C, D) s˜ao paralelos. • Suponha que (A, B) e (C, D) tˆem mesma dire¸c˜ao. (a) Se as retas suporte dos segmentos AB e CD s˜ao distintas, dizemos que (A, B) e (C, D) tem mesmo sentido caso os segmentos AC e BD tenham interse¸c˜ao vazia. Caso AC ∩ BD 6= φ, dizemos que (A, B) e (C, D) tˆem sentido contr´ario. 24.
(25) (b) Segmentos AB e CD coincidem, considere (A0 , B 0 ) tal que A0 n˜ao perten¸ca a reta suporte de AB e (A0 , B 0 ) tenha a mesma dire¸c˜ao, e mesmo sentido que (A, B). Ent˜ao dizemos que (A, B) e (C, D) tˆem mesmo sentido se (A0 , B 0 ) e (C, D) tem mesmo sentido. Se n˜ao dizemos que (A, B) e (C, D) tˆem sentido contr´ario. Defini¸c˜ ao 2.10 Dizemos que os segmentos orientados (A, B) e (C, D) do plano s˜ao equipolentes, e escrevemos (A, B) ≡ (C, D), se um dos casos seguintes ocorrer: (a) ambos s˜ao nulos; (b) nenhum ´e nulo, e tˆem mesmo comprimento, mesma dire¸c˜ao e mesmo sentido. A rela¸ca˜o de equipolˆencia ´e uma rela¸ca˜o de equivalˆencia no conjunto dos segmentos orientados do plano. Isto ´e: (a) ≡ ´e reflexiva. Isto ´e, (A, B) ≡ (A, B); (b) ≡ ´e sim´etrica. Isto ´e, (A, B) ≡ (C, D) ⇔ (C, D) ≡ (A, B) (c) ≡ ´e transitiva. Isto ´e, (A, B) ≡ (C, D) e (C, D) ≡ (E, F ) ⇒ (A, B) ≡ (E, F ) −→ Omitiremos a demonstra¸c˜ao. Esta observa¸c˜ao permite definir o vetor AB como a classe de equivalˆencia, segundo a rela¸ca˜o de equipolˆencia, do segmento orientado (A, B). −→ Defini¸c˜ ao 2.11 Sejam (A, B) um segmento orientado do plano. O vetor AB ´e o conjunto de todos os segmentos orientados que s˜ao equipolentes a (A, B). Ou seja, −→ AB = {(C, D) : (C, D) ≡ (A, B)} −→ Cada segmento equipolente a (A, B) ´e um representante do vetor AB. Defini¸c˜ ao 2.12 • Chamaremos vetor nulo ao vetor cujo representante ´e um segmento orientado nulo. → − Indica-se o vetor nulo por 0 . Note que todos os representantes do vetor nulo s˜ ao segmentos orientados com origem e extremidade coincidentes. −→ −→ • O vetor BA ´e chamado vetor oposto (ou sim´etrico) do vetor AB e tamb´em ´e indicado −→ por −AB. 25.
(26) Defini¸c˜ ao 2.13 Chamaremos norma (ou m´odulo, ou comprimento) de um vetor ao com− − primento de qualquer um de seus representantes; indica-se a norma de → v por k→ v k. Se → − → − k v k = 1, dizemos que o vetor v ´e unit´ario. − − − − Defini¸c˜ ao 2.14 Os vetores → u e→ v n˜ao nulos s˜ao paralelos (indica-se por → u // → v ) se um − − − − representante de → u ´e paralelo a um representante de → v ( e portanto a todos). Se → u // → v, → − → − dizemos que u e v tˆem o mesmo sentido (resp. sentido contr´ario) se um representante − − de → u e um representante de → v tˆem mesmo sentido (resp. sentido contr´ario). De um modo geral, conceitos geom´etricos como paralelismo, perpendicularismo, comprimento, aˆngulo etc., envolvendo vetores, s˜ao definidos usando os representantes (como foi feito acima). Temos tamb´em • Os segmentos orientados (A, B) e (C, D) s˜ao equipolentes se, e somente se, representam o mesmo vetor. Isto ´e, −→ −−→ AB ≡ CD ⇔ AB = CD. −→ − − • Dados um ponto A e um vetor → v , existe um u ´nico ponto B tal que AB = → v . Isto ´e, qualquer ponto do plano ´e origem de um u ´nico segmento orientado representante → − do vetor v .. 2.5.1. Adi¸ c˜ ao de vetores. − − Defini¸c˜ ao 2.15 Dados os vetores → u e → v , considere um representante qualquer (A, B) → − → − do vetor u e o representante do vetor v que tem origem no ponto B. Seja C tal que − (B, C) seja um representante do vetor → v . Fica determinado o segmento orientado de −→ (A, C). Por defini¸c˜ao AC, cujo representante ´e o segmento orientado (A, C), ´e o vetor − − soma de → u com → v −→ −−→ −→ • Pela defini¸ca˜o da soma de vetores, temos AB + BC = AC • Para determinar o vetor soma ~u + ~v basta ”fechar o triˆangulo”, tomando cuidado de escolher a origem do segundo coincidindo com a extremidade do primeiro.. 26.
(27) Figura 2.8: Adi¸c˜ao de vetores 1.1 • Pode-se tamb´em escolher a “regra do paralelogramo”, que consiste em tomar repre− − sentantes de → u e→ v com a mesma origem A. Escolhidos (A, B) e (A, D) represen− − tantes dos vetores → v e→ u respectivamente, construa o paralelogramo ABCD. O − − segmento orientado (A, C) ´e um representante do vetor soma → u +→ v , pois ele “fecha −−→ → − o triˆangulo”ABC e BC = u .. Figura 2.9: Adi¸c˜ao de vetores 1.2. 2.5.2. Produto interno. ´ uma opera¸c˜ao entre vetores que associa a cada Defini¸c˜ ao 2.16 (Produto interno) E par de vetores um escalar. Outro nome tamb´em utilizado para esta opera¸c˜ao ´e produto escalar, dando ˆenfase `a natureza escalar do resultado da opera¸c˜ao. − − O produto interno entre os vetores → u e→ v do plano ´e o n´ umero real → − − u ·→ v =. (. − − 0, se → u = 0 ou → v =0 → − → − → − − || u || · || v || · cosθ, se u 6= 0 ou → v = 6 0. − − − − onde θ ´e o ˆangulo formado entre os vetores → u e → v e ||→ u || e ||→ v || s˜ao os m´odulos ou comprimento desses vetores. Observe que se o ˆangulo θ entre os vetores for 90o teremos → − − − − − − u ·→ v = ||→ u || · ||→ v || · cos90o = ||→ u || · ||→ v || · 0 = 0.. 27.
(28) Cap´ıtulo 3 Algumas demonstra¸ co ˜es do Teorema de Pit´ agoras Nas demonstra¸co˜es que seguem fixaremos o triˆangulo ABC sempre reto em A. A medida da hipotenusa a e catetos com medidas b e c.. Figura 3.1: Triˆangulo retˆangulo. 3.1. Demonstra¸co ˜es alg´ ebricas. As demonstra¸c˜oes alg´ebricas s˜ao baseadas nas rela¸co˜es m´etricas nos triˆangulos retˆangulos, segundo a fonte bibliogr´afica [12]. Ser˜ao apresentadas seis demonstra¸co˜es alg´ebricas.. 3.1.1. Demonstra¸ c˜ ao 1 (Bhaskara II). Bhaskara II (1114-1185) nasceu na ´India e era conhecido em sua terra natal pelo nome de Bhaskaracharya-Bhaskara, o Professor. Filho de astr´ologo eminente, Bhaskara assumiu o posto de chefe 1. 28.
(29) Esta demonstra¸ca˜o ´e a mais conhecida e consta sempre nos livros did´aticos do ensino fundamental, provavelmente por ser curta e simples. ´ considerada uma demonstra¸ca˜o de Bhaskara, sendo redescoberta por John Wallis E no s´eculo XVII. Sua prova est´a baseada na seguinte afirma¸c˜ao: em qualquer triˆangulo retˆangulo, cada cateto ´e a m´edia geom´etrica entre a hipotenusa e sua proje¸ca˜o sobre ela. Para provar esta afirma¸ca˜o utilizamos semelhan¸ca de triˆangulos. De fato, seja AD altura relativa a hipotenusa BC do triangulo retˆangulo ABC. Sejam m e n respectivamente as proje¸co˜es das medidas dos catetos b e c sobre a hipotenusa a, veja figura ilustrativa a seguir. Pelo crit´erio AA de semelhan¸ca de triˆangulos, os triˆangulos retˆangulos ABC e ACD ˆ em comum. Desta forma temos a propor¸ca˜o: s˜ao semelhantes, pois possuem o aˆngulo ACB BC b a AC = ⇔ = CD AC m b. Figura 3.2: Demonstra¸ca˜o de Bhaskara Donde obtemos b2 = am. (3.1). De modo an´alogo, utilizando a semelhan¸ca dos triˆangulos ABC e ABD, obtemos c2 = an Da´ı somando (3.1) e (3.2) segue b2 + c2 = am + an = a(m + n) = a · a = a2 no Observat´ orio Astronˆ omico em Ujjain, o centro avan¸cado de matem´atica indiana na ´epoca.. 29. (3.2).
(30) pois m + n = a. Esta demonstra¸ca˜o encontra-se em [6], [13] e [15] da referˆencia bibliogr´afica.. 3.1.2. Demonstra¸ c˜ ao 2. Esta demonstra¸c˜ao ´e baseada num teorema que ´e uma rela¸ca˜o m´etrica no c´ırculo: sejam AB e CD cordas distintas de um mesmo c´ırculo que se intersectam num ponto P . Ent˜ao, AP · P B = CP · P D (veja teorema 2.6). Dado um triˆangulo ABC reto em A. Constru´ımos um c´ırculo com centro B e raio BC = a. Prolongamos os lados BA e CA, formando respectivamente o diˆametro DE e a corda CF como na figura seguinte.. Figura 3.3: Demonstra¸ca˜o 3 Notemos que AC = AF , pois o triˆangulo BCF ´e is´osceles porque os lados BC e BF s˜ao raios, consequentemente AB ´e mediana do lado CF . Como AD = a + c, AE = a − c, aplicando o teorema citado: b2 = (a + c)(a − c) = a2 − c2 da´ı, a2 = b2 + c2 . Esta demonstra¸ca˜o encontra-se em [12] da referˆencia bibliogr´afica.. 3.1.3. Demonstra¸ c˜ ao 3 (C. J. Kemper). Utilizaremos outra rela¸ca˜o m´etrica no c´ırculo: se A, B, C e P s˜ao pontos distintos no plano e B pertence a AP , C n˜ao pertence a reta AB, ent˜ao P A · P B = P C 2 se, e s´o se, o c´ırculo que passa pelos pontos A, B e C for tangente `a reta P C em C (veja teorema 2.7). 30.
(31) Dado um triˆangulo retˆangulo ABC, constru´ımos um c´ırculo de raio AB = c e centro em B, obtendo o ponto E no segmento BC = a, prolongando o segmento BC obtemos o ponto D no c´ırculo como na figura seguinte.. Figura 3.4: Demonstra¸ca˜o de Kemper Aplicando o teorema citado temos b2 = CD · CE, mas CD = a + c, CE = a − c, substituindo na igualdade obtemos b2 = (a + c)(a − c) = a2 − c2 , ent˜ao a2 = b2 + c2 . Esta demonstra¸ca˜o encontra-se em [12] da referˆencia bibliogr´afica. As demonstra¸co˜es 4 e 5 a seguir apesar de serem de autoria diferentes s˜ao equivalentes.. 3.1.4. Demonstra¸ c˜ ao 4 (A. E. Colburn). ˆ ´e reto (proposi¸c˜ao 2.1) Seja o triˆangulo ABC inscrito num semic´ırculo, o aˆngulo BAC e sendo os catetos AB = c, AC = b e a hipotenusa BC = a. Completando o quadrado BCF G e tra¸cando uma perpendicular EAD sobre a hipotenusa do triˆangulo ABC, sabemos da demonstra¸ca˜o 1 que b2 = am e c2 = an. Da´ı temos. Figura 3.5: Demonstra¸ca˜o de A. E. Colburn 31.
(32) A(BCF G) = A(CDEF ) + A(BDEG) = am + an, ent˜ao conclu´ımos que a2 = b2 + c2 . Esta demonstra¸ca˜o encontra-se em [12] da referˆencia bibliogr´afica.. 3.1.5. Demonstra¸ c˜ ao 5 (R. P. Lamy). No triˆangulo retˆangulo ABC constru´ımos sobre a hipotenusa e os catetos, quadrados com lados medindo a, b e c respectivamente obtemos a seguinte figura.. Figura 3.6: Demonstra¸ca˜o de Lamy Constru´ımos a altura AD sobre a hipotenusa BC = a, e prolonguemos esse segmento at´e se encontrar no ponto K do lado EF do quadrado BCF E. O quadrado foi dividido em dois retˆangulos CDKF e BDKE. Temos que A(BCF E) = A(CDKF ) + A(BDKE) como A(BCF E) = a2 , A(CDKF ) = am e A(BDKE) = an, teremos a2 = am + an = b2 + c2 . Esta demonstra¸ca˜o encontra-se em [6] e [12] da referˆencia bibliogr´afica.. 32.
(33) 3.1.6. Demonstra¸ c˜ ao 6 (Heron). A f´ormula de Heron que calcula a a´rea de um triˆangulo em fun¸ca˜o das medidas dos lap a+b+c dos ´e dada por A(ABC) = p(p − a)(p − b)(p − c) onde p = ´e o semiper´ımetro 2 do triˆangulo ABC. Sabemos que na demonstra¸c˜ao da f´ormula de Heron ´e utilizado o Teorema de Pit´agoras. Reciprocamente, podemos utilizar a f´ormula de Heron para estabelecer o Teorema de Pit´agoras, ´e o que faremos a seguir. Para estabelecer este resultado substitu´ımos o valor do semiper´ımetro p e em seguida, simplificando obtemos s A(ABC) =. a+b+c 2. s A(ABC) =. . a+b+c 2. a+b+c −a 2. . . −a + b + c 2. a+b+c −b 2. . a−b+c 2. . . a+b+c −c 2. a+b−c 2. . =. r. (−a2 + ab + ac − ab + b2 + bc − ac + bc + c2 ) (a2 + ab − ac − ab − b2 + bc + ac + bc − c2 ) 16 1p A(ABC) = (−a2 + b2 + 2bc + c2 )(a2 − b2 + 2bc − c2 ) 4 1√ 2 2 2a b + 2a2 c2 + 2b2 c2 − a4 − b4 − c4 . A(ABC) = 4 Como a a´rea do triˆangulo retˆangulo pode ser o semiproduto dos catetos, podemos escrever 1 1√ 2 2 a igualdade bc = 2a b + 2a2 c2 + 2b2 c2 − a4 − b4 − c4 , que elevando ao quadrado 2 4 ambos os membros e efetuando as devidas simplifica¸co˜es, temos 1 1 2 2 b c = (2a2 b2 + 2a2 c2 + 2b2 c2 − a4 − b4 − c4 ) 4 16 4b2 c2 = 2a2 b2 + 2a2 c2 + 2b2 c2 − a4 − b4 − c4 a4 + b4 + c4 − 2a2 b2 − 2a2 c2 + 2b2 c2 = 0 (a2 − b2 − c2 )2 = 0 2. H´ a muita controv´ersia a respeito da ´epoca exata em que Heron viveu, havendo estimativas que variam de 150 a.C. a 250 d.C. Mais tem sido colocado na segunda metade do s´eculo I d.C.. 33.
(34) ent˜ao, conclu´ımos que a2 = b2 + c2 . Esta demonstra¸ca˜o ´e atribu´ıda a Heron, encontrada no livro intitulado Metrica de sua autoria, este livro tratava fundamentalmente do c´alculo de ´areas e volumes de figuras planas e s´olidos. Esta demonstra¸ca˜o encontra-se em [6] da referˆencia bibliogr´afica.. 3.2. Demonstra¸co ˜es geom´ etricas. As demonstra¸c˜oes geom´etricas s˜ao baseadas em compara¸co˜es de a´reas, segundo a fonte bibliogr´afica [12]. Ser˜ao apresentadas nove demonstra¸co˜es geom´etricas.. 3.2.1. Demonstra¸ c˜ ao 1 (“Pit´ agoras”). Os historiadores em geral acreditam que a demonstra¸c˜ao pitag´orica deve ter sido uma demonstra¸ca˜o geom´etrica (baseada na compara¸c˜ao de ´areas), provavelmente uma demonstra¸ca˜o parecida com a que decorre das figuras adiante.. Figura 3.7: Demonstra¸ca˜o 1 No quadrado `a esquerda da figura a seguir que tem b + c como lado, retiremos quatro triˆangulos retˆangulos iguais e obtemos um quadrado de lado a. Se fizermos a mesma opera¸ca˜o no quadrado `a direita (tamb´em de lado b + c), restar˜ao dois quadrados de lado b e c. Logo a a´rea do quadrado de lado a ´e a soma das a´reas dos quadrados de lado b e c, isto ´e a2 = b2 + c2 . Esta ´e considerada a demonstra¸c˜ao mais bela do Teorema de Pit´agoras. Esta demonstra¸ca˜o encontra-se em [13] e [15] da referˆencia bibliogr´afica.. 34.
(35) 3.2.2. Demonstra¸ c˜ ao 2 (Garfield). No triˆangulo retˆangulo ABC prolongamos AC at´e o ponto D de forma que CD = c. A partir de D, constru´ımos o segmento DE, perpendicular a AD tal que DE = b e ao unirmos os pontos B e E, obtemos o trap´ezio ABED de bases AB = c, DE = b e altura b + c. Finalmente tra¸camos o segmento CE como ilustra a figura seguinte.. Figura 3.8: Demonstra¸ca˜o de Garfield 1.2 ˆ e DCE ˆ s˜ao complementares, logo o Nessa figura, por constru¸ca˜o os aˆngulos ACB ˆ ´e reto. Assim, podemos calcular a ´area do trap´ezio ABED como a soma aˆngulo BCE das ´areas dos trˆes triˆangulos retˆangulos, da´ı temos que: 1 1 1 1 (b + c)(b + c) = bc + bc + aa 2 2 2 2 donde simplificando conclu´ımos que a2 = b2 + c2 . Essa prova do Teorema de Pit´agoras ´e atribu´ıda ao vig´esimo presidente dos Estados Unidos James Abram Garfield. Esta demonstra¸ca˜o encontra-se em [6] e [15] da referˆencia bibliogr´afica.. 3.2.3. Demonstra¸ c˜ ao 3 (Bhaskara II). Nessa demonstra¸ca˜o decomp˜oe-se o quadrado constru´ıdo sobre a hipotenusa em quatro triˆangulos retˆangulos, cada um deles congruentes ao triˆangulo dado, mais um quadrado de lado igual a diferen¸ca entre os catetos do triˆangulo dado como mostra o desenho 1 da figura seguinte. 3. James Abram Garfield (1831-1881) foi advogado, militar e pol´ıtico estadunidense. Era republicano e assumiu a presidˆencia dos E.U.A. em quatro de mar¸co de 1881, seu governo terminou subitamente em apenas 200 dias com o seu assassinato.. 35.
(36) Figura 3.9: Demonstra¸ca˜o de Bhaskara 2 A descri¸ca˜o de tal desenho foi elaborada da seguinte forma, constru´ımos o quadrado BCDE de lado igual a medida da hipotenusa com o triˆangulo ABC interno, tra¸camos os segmentos DF e EG, paralelos respectivamente aos catetos AB e AC, com F pertencente a AC e G pertencente a DF , em seguida prolongamos o segmento AB at´e o ponto H em EG. Facilmente pode-se estabelecer que os triˆangulos CDF , DEG e BEH s˜ao retˆangulos e congruentes, pelo caso ALA, ao triˆangulo ABC. Al´em disso, o quadril´atero formado internamente ´e um quadrado de lado igual a diferen¸ca entre os catetos do triˆangulo dado. Agora, mudando a posi¸ca˜o dos triˆangulos e do quadrado do desenho 1, podemos obter o desenho 2 onde a linha tracejada indica a separa¸c˜ao dos quadrados dos catetos. Essa demonstra¸c˜ao foi elaborada por Bhaskara, segundo os livros de Hist´oria da Matem´atica, Bhaskara desenhou a figura e n˜ao ofereceu nenhuma explica¸ca˜o, mas somente a palavra “Veja”. Usando um argumento alg´ebrico ´e f´acil verificar essa demonstra¸ca˜o geom´etrica, basta denominar de b e c as medidas dos catetos e seja a a medida da hipotenusa. Percebe-se que a ´area do quadrado de lado a ´e igual a soma das ´areas dos quatro bc triˆangulos congruentes e do quadrado cujo lado ´e b − c, da´ı a2 = (b − c)2 + 4 · = b2 + c2 . 2 Esta demonstra¸ca˜o encontra-se em [8], [10] e [12] da referˆencia bibliogr´afica.. 3.2.4. Demonstra¸ c˜ ao 4 (Euclides). 4 Euclides de Alexandria, os locais e datas de nascimento e morte s˜ao incertos, acredita-se que nasceu por volta de 325 a.C. e faleceu, aproximadamente em 265 a.C., em Alexandria. A Euclides ´e atribu´ıda uma das maiores obras da matem´ atica: os Elementos. Os Elementos perde somente para a B´ıblia em n´ umero de edi¸c˜ oes publicadas.. 36.
(37) Sobre o triˆangulo retˆangulo ABC constru´ımos, sobre cada um de seus lados, quadrados exteriores ao triˆangulo. Assim, sobre o cateto AB constru´ımos o quadrado ABKH de lado c, sobre o cateto AC constru´ımos o quadrado ACF G de lado b e sobre a hipotenusa BC constru´ımos o quadrado BCDE de lado a. Ainda tra¸camos os segmentos BF , CK, AD que encontra a hipotenusa em I, AE que encontra a hipotenusa em M e o segmento AL perpendicular a DE em L. Este u ´ltimo segmento encontra a hipotenusa em J. Veja figura ilustrativa a seguir.. Figura 3.10: Demonstra¸ca˜o de Euclides Note que: ˆ = F CA ˆ + ACB ˆ = 90 + ACB ˆ = ACB ˆ + BCD ˆ = ACD. ˆ F CB Portanto, pelo caso LAL de congruˆencia de triˆangulo, obtemos. 4BCF ∼ = 4ACD,. pois. BC = CD = a ˆ = ACD ˆ F CB CF = CA = b. Temos que a ´area do triˆangulo BCF em rela¸c˜ao a base CF e a ´area do triˆangulo ACD. 37.
(38) em rela¸ca˜o a base CD s˜ao, respectivamente, A(BCF ) =. 1 1 (CF · CF ) = b2 , 2 2. A(ACD) =. 1 (CD · DL) 2. e a a´rea do retˆangulo CDLJ ´e A(CDLJ) = CD · DL. Logo, como os triˆangulos BCF e ACD tem a mesma a´rea, pois s˜ao congruentes, obtemos: A(CDLJ) = CD · DL = 2 · A(ACD) = 2 · A(BCF ) = b2 .. (3.3). De modo an´alogo temos que os triˆangulos BCK e BEA s˜ao congruentes (caso LAL), obtemos A(BJLE) = BE · LE = 2 · A(BAE) = 2 · A(BKC) = c2. (3.4). Agora, como A(BCDE) = A(CDLJ) + A(BJLE). Segue, de (3.3) e (3.4), utilizado que o quadrado BCDE tem lado a, a2 = b 2 + c 2 .. Esta demonstra¸ca˜o encontra-se no livro Elementos de Euclides de Alexandria. Esta demonstra¸ca˜o encontra-se em [1], [4] e [6] da referˆencia bibliogr´afica.. 3.2.5. Demonstra¸ c˜ ao 5 (Hauff ’s work). Como na demonstra¸ca˜o anterior, no triˆangulo retˆangulo ABC constru´ımos, sobre cada um de seus lados, quadrados exteriores ao triˆangulo. Agora, sobre o cateto AB constru´ımos o quadrado ABEF de lado c, sobre o cateto AC constru´ımos o quadrado ACGH de lado b e sobre a hipotenusa BC constru´ımos o quadrado BCDK. Tra¸camos as paralelas GP e EN a hipotenusa BC. Ainda tra¸camos o segmento AL perpendicular a DK em L. Finalmente, tra¸camos as paralelas DM e M K aos respectivos catetos AC e AB do triˆangulo ABC. Veja, a seguir, a figura ilustrativa obtida na constru¸c˜ao descrita acima. Observe que os segmentos CD e CI podem ser vistos como a base e a altura respec38.
(39) Figura 3.11: Demonstra¸ca˜o de Hauff’s work tivamente do retˆangulo CDLI e paralelogramo ACDM . Portanto, A(CDLI) = A(ACDM ) = CD · CI.. (3.5). Temos tamb´em que os paralelogramos ACDM e GCBP s˜ao iguais, pois AC = GC ˆ = GCB ˆ (lado do quadrado ACGH), CD = CB (lado do quadrado BCDK) e ACD (veja demonstra¸ca˜o anterior). Agora, a ´area do paralelogramo GCBP pode ser calculada usando GC como base e GH como altura. Assim,. A(ACDM ) = A(GCBP ) = GC · GH.. (3.6). Assim, de (3.5) e (3.6), obtemos. A(CDLI) = A(ACDM ) = GC · GH = b2 .. (3.7). Por argumentos similares, agora aplicados ao retˆangulo BKLI e os paralelogramos ABKM e BCN E, obtemos 39.
(40) A(BKLI) = A(ABKM ) = A(BCN E) = BE · AB = c2. (3.8). Conclu´ımos de (3.7) e (3.8) que a2 = A(BCDK) = A(CDLI) + A(BKLI) = b2 + c2 .. Esta demonstra¸ca˜o encontra-se em [12] da referˆencia bibliogr´afica. As demonstra¸co˜es 6 e 7 a seguir apesar de serem de autoria diferentes s˜ao equivalentes.. 3.2.6. Demonstra¸ c˜ ao 6 (A. R. Colburn). Seja o triˆangulo retˆangulo ABC, constru´ımos o quadrado BCDE de lado medindo a e sobre cada lado desse quadrado constru´ımos quatro triˆangulos congruentes ao triˆangulo ABC. Formando o quadrado F GHI de lado medindo b + c, como ilustra a figura seguinte.. Figura 3.12: Demonstra¸ca˜o de A. R. Colburn A A(F GHI) = (b + c)2 , mas A(F GHI) = A(BCDE) + 4A(ABC), pois os triˆangulos BCF , BEG, CDI e DEH s˜ao congruentes por constru¸ca˜o (caso LLL), da´ı temos a2 + 4 ·. bc = (b + c)2 ⇒ a2 = b2 + c2 . 2 40.
(41) Esta demonstra¸ca˜o encontra-se em [12] da referˆencia bibliogr´afica.. 3.2.7. Demonstra¸ c˜ ao 7 (T. P. Stowell). Seja ABC um triˆangulo retˆangulo. Constru´ımos sobre a hipotenusa BC = a o quadrado BCDE, exterior ao triˆangulo dado. Ainda constru´ımos o quadrado AF HG de lado b + c, onde b = AC e c = AB, de modo que os pontos B, E, D e C estejam sobre os lados deste quadrado, como mostra a figura seguinte.. Figura 3.13: Demonstra¸ca˜o de Stowell Utilizado o crit´erio LAL de congruˆencia de triˆangulos temos que 4ABC ∼ = 4F EB ∼ = 4HDE ∼ = 4GCD. Temos assim que A(BCDE) = A(AF HG) − 4A(ABC). Portanto, a2 = (b + c)2 − 4 ·. bc = b2 + c 2 . 2. Esta demonstra¸ca˜o encontra-se em [12] da referˆencia bibliogr´afica.. 3.2.8 5. Demonstra¸ c˜ ao 8 (Leonardo Da Vinci). Leonardo Da Vinci (1452-1519) nasceu na It´alia e durante um bom tempo ficou a servi¸co do Duque. 41.
(42) Seja ABC um triˆangulo retˆangulo de lados a, b e c como na seguinte figura. Constru´ımos os quadrados BCED, ABGI e ACF H sobre os lados desse triˆangulo. Tamb´em constru´ımos o triˆangulo EDJ, congruente ao triˆangulo ABC (AC = DJ e AB = EJ). Tra¸camos os segmentos HI, F G e AJ cuja interse¸ca˜o com os segmentos BC e ED determina respectivamente os pontos L e M , como mostra na figura a seguir.. Figura 3.14: Demonstra¸ca˜o de Leonardo Da Vinci ˆ = JDM ˆ . Ainda Note que a congruˆencia dos triˆangulos ABC e EDJ, fornece que ACL ˆ e JM ˆ D s˜ao alternos externos a` transversal AJ que corta os segmentos os aˆngulos ALC ˆ = JM ˆ D. Segue que CAL ˆ = DJM ˆ . Assim, pelo caso paralelos CB e ED, logo ALC ALA de congruˆencia de triˆangulos, obtemos. 4ACL ∼ = 4JDM,. ˆ ˆ ACL = JDM pois . AC = DJ ˆ ˆ CAL = DJM. de Mil˜ ao, exercendo a fun¸c˜ ao de pintor e engenheiro, sendo considerado um engenheiro mecˆanico e hidr´ aulico. Nessa ´epoca, come¸cou a ter os primeiros contatos com Geometria, estudando os trabalhos de Leon Battista e Piero della Francesca (Sobre a Pintura em Perspectiva), aprofundando-se com o estudo de Euclides e Paccioli.. 42.
(43) Agora, observe que os quadril´ateros ABDJ e GBCF s˜ao congruentes, pois AB = GB, ˆ = GBC ˆ e BDJ ˆ = BCF ˆ . Portanto, BD = BC, DJ = CF , ABD. A(ABDJ) = A(GBCF ).. (3.9). Decompondo essas a´reas, como a soma das a´reas das figuras geom´etricas que as comp˜oem, obtemos A(ABDJ) = A(ABL) + A(BDM L) + A(JDM ). (3.10). A(GBCF ) = A(ABG) + A(ABL) + A(ACL) + A(ACF ). (3.11). Agora, como A(ABL) ´e comum na decomposi¸ca˜o e A(ACL) = A(JDM ), obtemos de (3.9), (3.10) e (3.11) que A(BDM L) = A(ABG) + A(ACF ). (3.12). Por argumentos similares podemos obter a congruˆencia dos quadril´ateros GIHF e JECA e decompondo suas a´reas pelas pol´ıgonos que os comp˜oem, obtemos A(GIHF ) = A(JECA), A(GIHF ) = A(GIA) + A(IHA) + A(AHF ), A(JECA) = A(JEM ) + A(M ECL) + A(CAL). Segue, usando essas rela¸co˜es e o fato de A(IHA) = A(CAL) + A(JEM ) A(M ECL) = A(GIA) + A(AHF ).. 43. (3.13).
(44) Segue de (3.12) e (3.13) que a2 = A(BCED) = A(BDM L) + A(M ECL) = (A(ABG) + A(ACF )) + (A(GIA) + A(AHF )) = (A(ACF ) + A(AHF )) + (A(ABG) + A(GIA)) = A(ACF H) + A(ABGI) = b2 + c2. Esta demonstra¸c˜ao ´e atribu´ıda a Leonardo Da Vinci (1452 - 1519), encontra-se em [6] da referˆencia bibliogr´afica.. 3.2.9. Demonstra¸ c˜ ao 9 (Perigal). Antes de iniciarmos a prova do Teorema de Pit´agoras dado por Perigal, vamos provar o seguinte. Lema 3.1 Seja ABCD um quadrado e O seu centro (interse¸c˜ao das diagonais). Seja E um ponto qualquer sobre o lado AD. Considere o segmento EF passando pelo ponto O com F sobre o lado BC desse quadrado. Ent˜ao: (a) O ´e ponto m´edio do segmento EF (b) DE = BF (c) AE = CF Al´em disso, se o segmento GH passa pelo centro do quadrado e ´e perpendicular ao segmento EF com G no segmento AB e H em CD, ent˜ao os quadril´ateros EAGO, GBF O, F CHO e HDEO s˜ao congruentes. Veja figura ilustrativa a seguir. Prova: Lembre que as diagonais de um quadrado bissetam os aˆngulos dos v´ertices e se cortam perpendicularmente no ponto m´edio. Temos, usando o caso ALA de congruˆencia de triˆangulos que, ˆ ˆ DOE = BOF 4BOF ∼ = 4DOE, pois BO = DO ˆ ˆ = F BO = EDO 6. (opostos pelo v´ertice) (O ´e ponto m´edio de DB) π 4. Henry Perigal (1801-1898) nasceu na inglaterra e o que se sabe hoje a seu respeito ´e devido a seu irm˜ ao, Frederick Perigal (dez anos mais jovem), que, na ´epoca da morte de Perigal, reuniu em um pequeno livro dados da vida de Henry e de outros.. 44.
(45) Figura 3.15: quadrado Conclu´ımos da´ı que F O = EO, isto ´e, O ´e ponto m´edio de EF e DE = BF . Agora, como AD = BC, segue que AE = AD − DE = BC − BF = F C. O que prova a primeira parte do lema. Agora, a prova da segunda parte do lema ser´a dividida mostrando as seguintes afirma¸co˜es: Afirma¸c˜ ao 1. Os triangulos AOG, BOF , COH e DOE s˜ao congruˆentes. Afirma¸c˜ ao 2. Os triangulos AOE, BOG, COF e DOH s˜ao congruˆentes. Estas afirma¸co˜es mostrar˜ao que os quadril´ateros EAGO, GBF O, F CHO e HDEO s˜ao congruentes, pois cada um deles ´e formado por um triˆangulo que est´a na lista da primeira afirma¸c˜ao junto com o triˆangulo adjacente que cont´em a metade de uma diagonal do quadrado, o qual est´a na lista da primeira afirma¸c˜ao. Isto ´e, usando para significar quadril´atero, EAGO = 4AOG ∪ 4AOE, F CHO = 4COH ∪ 4COF,. GBF O = 4BOF ∪ 4BOG, HDEO = 4DOE ∪ 4DOH.. Agora, para verificar a primeira afirma¸c˜ao mostremos que 4BOF ∼ = 4COH. Isto segue porque, ˆ = HCO ˆ F BO (as diagonais do quadrado bissetam os aˆngulos dos v´ertices) BO = CO (ambos segmentos s˜ao a metade da diagonal do quadrado) ˆ = COH ˆ ˆ = F OH ˆ = 90◦ e ambos cont´em F OC). ˆ BOF (pois BOC Assim, pelo crit´erio ALA de congruˆencia de triˆangulo, segue que 4BOF ∼ = 4COH. Analogamente, mostramos que 4AOG ∼ = 4DOE. Segue da prova da primeira parte do. 45.
(46) lema, onde mostramos que 4BOF ∼ = 4DOE, a afirma¸c˜ao 1. Finalmente, para mostrar a afirma¸c˜ao 2, observe que pela afirma¸ca˜o 1, temos AG = BF = CH = DE, donde segue que GB = F C = HD = EA. Al´em disso, como o ponto O ´e ponto m´edio de EF e GH, a afirma¸ca˜o 2, segue usando o crit´erio LLL de congruˆencia de triˆangulos. Isto finaliza a prova do lema. Agora, para mostrar a vers˜ao de Perigal do Teorema de Pit´agoras, constru´ımos sobre cada lado do triˆangulo retˆangulo ABC, de hipotenusa BC = a, catetos AC = b e AB = c, os quadrados ACDE, ABGF e BCN M . Ainda, passando pelo centro L, do quadril´atero ABGF tra¸camos os segmentos HJ e IK respectivamente paralelo e perpendicular a` hipotenusa BC. Finalmente, pelos pontos m´edios R, Q, P e O do quadrado BCN M , tra¸camos os segmentos RV e P T paralelos ao cateto AC e os segmentos QU e OS paralelos ao cateto AB. Veja figura ilustrativa a seguir.. Figura 3.16: Demonstra¸ca˜o de Perigal Inicialmente, observamos que pelo lema temos que quadril´ateros AHLK, F ILH, GJLI e BKLJ s˜ao todos iguais. Da´ı, seguem as seguintes rela¸co˜es: AH = F I = GJ = BK. 46. (3.14).
(47) HF = IG = JB = KA. (3.15). HL = IL = JL = KL. (3.16). Por outra parte, pela constru¸ca˜o descrita acima que, o quadril´atero BCHJ ´e um paralelogramo, logo seus lados opostos s˜ao iguais. Isto fornece: BC = JH. e CH = BJ.. (3.17). Como R ´e ponto m´edio de BC e L o ponto m´edio de HJ, segue de (3.17) que HL = LJ = CR = RB. (3.18). Para a prova de Perigal do Teorema de Pit´agoras, vejamos a congruˆencia dos seguintes quadril´ateros AHLK ∼ = RSOB, GJLI ∼ = U P N Q,. F ILH ∼ = T OM P, BKLJ ∼ = V QCR. Provemos, por exemplo, que AHLK ∼ = RSOB. Para isto, inicialmente observamos que pela constru¸ca˜o descrita acima e a rela¸c˜ao (3.18), obtemos HL = LK = RB = BO,. ˆ = RBO ˆ (ˆangulos retos) HLK. Da´ı, pelo caso LAL de congruˆencia de triˆangulos, obtemos 4HLK ∼ = 4RBO.. (3.19). Portanto, HK = RO, Ainda, utilizando a nota¸ca˜o. //. HL//RB,. ˆ = BRO, ˆ LHK. ˆ = BOR ˆ LKH. para indicar paralelismo, temos LK //BO,. KA//OS. 47. e AH //SR.. (3.20).
(48) Da´ı, segue que ˆ = RBO, ˆ HLK. ˆ = BOS, ˆ LKA. ˆ = OSR ˆ ˆ = SRB ˆ KAH e AHL. (3.21). Logo, ˆ = AHL ˆ − KHL ˆ = SRB ˆ − ORB ˆ = SRO, ˆ AHK. (3.22). ˆ = AKL ˆ − HKL ˆ = SOB ˆ − ROB ˆ = SOR ˆ AKH. (3.23). Assim, de (3.20), (3.22) e (3.23), usando o crit´erio ALA de congruˆencia de triˆangulos, obtemos 4AHK ∼ = 4SRO. (3.24). Agora, a congruˆencia dos quadril´ateros AHLK e RSOB, segue de (3.19) e (3.24). Analogamente mostra-se a congruˆencia dos outros quadril´ateros. Finalmente, mostremos que os quadrados ACDE e ST U V s˜ao iguais. Note que pela congruˆencia dos quadril´ateros CQV R e LKBJ, obtemos V R = BJ. Logo, de (3.17), segue que V R = CH. Sendo os quadril´ateros AHLK e RSOB congruentes, temos AH = SR, portanto V S = V R − SR = CH − AH = CA. Sendo V S e CA os lados dos quadrados ACDE e ST U V , segue que eles s˜ao iguais. Assim, o quadrado sobre a hipotenusa pode ser preenchido utilizando os quadril´ateros que est˜ao sobre o cateto maior junto com o quadrado do cateto menor. Esta demonstra¸ca˜o do Teorema de Pit´agoras ´e atribu´ıda a Henry Perigal (1801 - 1898), foi anunciada em 1830 e ficou conhecida como Dissec¸ca˜o de Perigal. Esta demonstra¸ca˜o encontra-se em [12] e [13] da referˆencia bibliogr´afica.. 48.
(49) 3.3. Algumas demonstra¸ co ˜es vetoriais. As demonstra¸co˜es vetoriais apresentadas aqui utilizam os conceitos de soma, m´odulo e produto escalar de vetores. Daremos aqui duas demonstra¸c˜oes vetoriais do Teorema de Pit´agoras; a demonstra¸c˜ao 1 se encontra nos livros [6] e [12] e a demonstra¸c˜ao 2 ´e uma altera¸ca˜o de uma das demonstra¸co˜es do livro [12].. 3.3.1. Demonstra¸ c˜ ao 1. Figura 3.17: Demonstra¸ca˜o vetorial 1 No triˆangulo retˆangulo da figura 3.18, considerando seus lados como vetores, temos −→ −→ −−→ −−→ −→ −→ que ||CA|| = b, ||AB|| = c e ||CB|| = a. Sabemos que CB = CA + AB e que o produto −→ −→ −−→ −→ −→ interno CA · AB = 0, pois s˜ao perpendiculares. Temos tamb´em ||CB||2 = ||CA + AB||2 , da´ı −−→ −→ −→ −→ −→ ||CB||2 = ||CA||2 + ||AB||2 + 2 · CA · AB ⇒ a2 = b2 + c2 .. 3.3.2. Demonstra¸ c˜ ao 2. No triˆangulo retˆangulo ABC reto em A na figura seguinte, prolongamos o lado AB at´e o ponto D de tal forma que AD = AB e tra¸ca-se o segmento DC.. Figura 3.18: Demonstra¸ca˜o vetorial 2 49.
(50) −→ −−→ −−→ −−→ −→ −→ −→ −−→ −−→ −→ Sabemos que AB = DA = −AD, logo CB = CA + AB = CA − AD e CD = CA + −−→ −→ −→ AD = CA − AB. Da´ı temos: −−→ −→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ ||CB||2 = ||CA − AD||2 = ||CA||2 + ||AD||2 − 2CA · AD e. −−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ ||CD||2 = ||CA − AB||2 = ||CA||2 + ||AB||2 − 2CA · AB.. Somando essas igualdades membro a membro e sabendo que −→ −−→ −→ −→ −→ −−→ −→ −2CA · AD − 2CA · AB = −2CA · (AD + AB) = 0 −−→ −→ −→ −−→ −−→ −−→ pois AD + AB = 0 e ||AB|| = ||AD|| = c, ||CB|| = ||CD|| = a, os triˆangulos ABC e ACD s˜ao congruentes por constru¸ca˜o da´ı 2a2 = 2b2 + 2c2 , ent˜ao a2 = b2 + c2 .. 3.4. A rec´ıproca do Teorema de Pit´ agoras. Teorema 3.1 Um triˆangulo possui lados medindo a, b e c. Se a2 = b2 + c2 , ent˜ ao o triˆangulo ´e retˆangulo e sua hipotenusa ´e o lado que mede a.. 3.4.1. Demonstra¸ c˜ ao 1. Seja um triˆangulo ABC, sendo AB = c, BC = a, AC = b e BD = h (altura do triˆangulo relativa ao lado AC). Primeiro caso: Aˆ < 90o . Vamos supor que c ≤ b. Dessa forma o ponto D, proje¸ca˜o de B sobre AC cai no interior do lado AC. Sejam AD = x e BD = h.. Figura 3.19: Demonstra¸ca˜o rec´ıproca 1.1. 50.
(51) Sabemos que o triˆangulo ABD ´e retˆangulo (BD ´e altura), da´ı c2 = h2 + x2 , de modo an´alogo o triˆangulo BCD ´e retˆangulo tamb´em temos a2 = h2 + (b − x)2 = h2 + x2 + b2 − 2bx = b2 + c2 − 2bx ⇒ a2 < b2 + c2 . Segundo caso: Aˆ > 90o . Neste caso o ponto D cai fora do lado AC.. Figura 3.20: Demonstra¸ca˜o rec´ıproca 1.2 Aplicando o mesmo racioc´ınio do primeiro caso, conclu´ımos que a2 = b2 + c2 + 2bx ⇒ a2 > b2 + c2 . Demonstramos ent˜ao que em um triˆangulo ABC, de lados a, b e c, quando Aˆ < 90o ⇒ a2 < b2 + c2 Aˆ > 90o ⇒ a2 > b2 + c2 logo se a2 = b2 + c2 devemos ter Aˆ = 90o . Esta demonstra¸ca˜o encontra-se em [13] da referˆencia bibliogr´afica.. 3.4.2. Demonstra¸ c˜ ao 2. Construa um triˆangulo retˆangulo cujos catetos me¸cam exatamente b e c. Neste novo √ triˆangulo, de acordo com o Teorema de Pit´agoras, a hipotenusa mede b2 + c2 = a. Portanto este novo triˆangulo (que ´e retˆangulo) tem lados medindo a, b e c. E pelo caso de congruˆencia de triˆangulos LLL (trˆes lados congruentes), ele ´e congruente ao triˆangulo original. Logo o triˆangulo original ´e retˆangulo e sua hipotenusa mede a. Esta demonstra¸ca˜o encontra-se em [3] da referˆencia bibliogr´afica. 51.
(52) Cap´ıtulo 4 Aplica¸ c˜ oes do Teorema de Pit´ agoras e temas relacionados Daremos aqui alguns resultados relacionados com o Teorema de Pit´agoras, como: A lei dos cossenos, O Teorema de Apolˆonio, O problema de Hip´ocrates, A distˆancia entre dois pontos, etc e tamb´em alguns problemas de concursos como o problema da XVIII Olimp´ıadas Portuguesas de Matem´atica.. 4.1. A lei dos cossenos. Para a prova dessa aplica¸c˜ao vamos precisar da seguinte defini¸c˜ao. ˆ ´e Defini¸c˜ ao 4.1 Dado um triˆangulo ABC retˆangulo reto em A em que o ˆangulo ACB igual a α, definimos o cosseno de α como a raz˜ao entre o cateto adjacente ao ˆangulo α e a hipotenusa. No caso do ˆangulo α ser obtuso definiremos o seu cosseno sendo negativo e igual −cos(180◦ − α).. Figura 4.1: Defini¸ca˜o de cosseno 52.
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