Halliday cap15 oscilacoes

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(1)Halliday & Resnick Fundamentos de Física Gravitação, Ondas e Termodinâmica Volume 2. www.grupogen.com.br http://gen-io.grupogen.com.br.

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(3) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. Capítulo 15. Oscilações.

(4) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-1 Movimento Harmônico Simples. © 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved..

(5) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-1 Movimento Harmônico Simples. Objetivos do Aprendizado 15.01 Conhecer a diferença entre movimento harmônico simples e outros tipos de movimento periódico.. 15.02 No caso de um movimento harmônico simples, usar a relação entre posição x e o tempo t para determinar t a partir de x e vice-versa. 15.03 Conhecer a relação entre o período T, a frequência f e a frequência angular .. 15.04 Conhecer a amplitude xm, a constante de fase  e a fase t + . 15.05 Desenhar um gráfico da posição x de um oscilador em função do tempo t, assinalando xm e o período T. 15.06 Em um gráfico da posição, da velocidade ou da aceleração em função do tempo, determinar a amplitude e a fase da grandeza representada..

(6) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-1 Movimento Harmônico Simples 15.07 Em um gráfico de x em função de t, descrever o efeito de uma variação do período T, da frequência f, da amplitude xm e da constante de fase .. 15.09 A partir da posição x(t) de um oscilador em função do tempo, determinar a velocidade v(t), indicar a amplitude da velocidade vm no resultado e calcular a velocidade em 15.08 Determinar a constante de qualquer instante dado. fase  que corresponde à escolha do instante inicial como 15.10 Desenhar um gráfico da o instante em que a partícula velocidade v em função do está em um ponto extremo ou tempo t, indicando a amplitude está passando pelo ponto vm da velocidade. central do movimento..

(7) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-1 Movimento Harmônico Simples 15.11 Conhecer a relação entre a amplitude da velocidade vm, a frequência angular  e a amplitude do deslocamento xm.. 15.13 Desenhar um gráfico da aceleração a de um oscilador em função do tempo t, indicando a amplitude am da aceleração.. 15.12 A partir da velocidade v(t) de um oscilador em função do tempo, determinar a aceleração a(t), indicar a amplitude am da aceleração e calcular a aceleração em qualquer instante dado.. 15.14 Saber que, no caso do movimento harmônico simples, a aceleração a em qualquer instante é dada pelo produto de uma constante negativa pelo deslocamento x nesse instante..

(8) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-1 Movimento Harmônico Simples 15.15 Conhecer a relação que existe, em qualquer instante de uma oscilação, entre a aceleração a, a frequência angular  e o deslocamento x.. 15.17 No caso de um oscilador massa-mola, conhecer a relação entre a constante elástica k e a massa m e o período T ou a frequência angular .. 15.16 No caso de um movimento harmônico simples, a partir da posição x e da velocidade v em um dado instante, determinar a fase t   e a constante de fase .. 15.18 No caso de um movimento harmônico simples, usar a lei de Hooke para relacionar a força F em um dado instante ao deslocamento x do oscilador no mesmo instante..

(9) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-1 Movimento Harmônico Simples . . . A frequência de uma oscilação é o número de oscilações por unidade de tempo A unidade de frequência do SI é o hertz (Hz): 1 Hz = 1 oscilação por segundo O tempo necessário para completar uma oscilação é chamado de período (T) Eq. (15-2). . . Todo movimento que se repete regularmente é chamado de periódico. Movimento harmônico simples é um movimento periódico que é uma função senoidal do tempo Eq. (15-3).

(10) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-1 Movimento Harmônico Simples. Figura 15-2.

(11) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-1 Movimento Harmônico Simples .  . . A amplitude xm é o deslocamento máximo da partícula em relação ao ponto médio A fase t + φ é o argumento da função cosseno A frequência angular  é a frequência do movimento da partícula em rad/s. A constante de fase φ, também chamada de ângulo de fase, é usada para ajustar as condições iniciais do movimento no instante t = 0 Figura 15-3.

(12) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-1 Movimento Harmônico Simples . A frequência angular é dada por Eq. (15-5)18. Figura 15-5.

(13) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-1 Movimento Harmônico Simples. Respostas: (a) em xm (b) em xm (c) em 0 . A velocidade é a derivada primeira da função posição em relação ao tempo: Eq. (15-6). . O fator ωxm é a amplitude da velocidade vm.

(14) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-1 Movimento Harmônico Simples . A aceleração é a derivada primeira da velocidade ou a derivada segunda da posição em relação ao tempo: Eq. (15-7). . . O fator ω2xm é a amplitude da aceleração, am Relação entre aceleração e posição: Eq. (15-8). Figura 15-6.

(15) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-1 Movimento Harmônico Simples. Resposta: (c); a frequência angular é 2.

(16) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-1 Movimento Harmônico Simples . De acordo com a segunda lei de Newton, Eq. (15-9). . No caso de um oscilador harmônico linear simples (F proporcional a x), temos: Eq. (15-12). Eq. (15-13).

(17) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-1 Movimento Harmônico Simples. Resposta: (a) [a relação (b) também resulta em um movimento harmônico, mas não se trata de um movimento harmônico simples].

(18) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-2 A Energia do Movimento Harmônico Simples.

(19) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-2 A Energia do Movimento Harmônico Simples. Objetivos do Aprendizado 15.19 Calcular a energia cinética e a energia potencial elástica de um oscilador bloco-mola em qualquer instante de tempo. 15.20 Usar a lei de conservação da energia mecânica para relacionar a energia total de um oscilador bloco-mola em um dado instante à energia total em outro instante.. 15.21 Desenhar gráficos da energia cinética, da energia potencial e da energia total de um oscilador bloco-mola, em função do tempo e em função da posição do bloco. 15.22 Determinar a posição do bloco de um oscilador blocomola no instante em que a energia total é igual à energia cinética e no instante em que a energia total é igual à energia potencial..

(20) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-2 A Energia do Movimento Harmônico Simples . As funções que descrevem a energia cinética e a energia potencial do MHS são Eq. (15-18)18. Eq. (15-20)18 . A energia total é Eq. (15-21)18. Figura 15-8.

(21) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-2 A Energia do Movimento Harmônico Simples. Figura 15-7. Respostas: (a) 5 J. (b) 2 J. (c) 5 J.

(22) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-3 O Oscilador Harmônico Angular Simples.

(23) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-3 O Oscilador Harmônico Angular Simples. Objetivos do Aprendizado 15.23 Descrever o movimento de um oscilador harmônico angular simples. 15.24 Conhecer a relação entre o torque e o deslocamento angular θ em relação à posição de equilíbrio.. 15.25 Conhecer a relação entre o período T (ou a frequência f), o momento de inércia I e a constante de torção κ de um oscilador harmônico angular simples. 15.26 Conhecer a relação entre a aceleração angular , a frequência angular  e o deslocamernto angular θ de um oscilador harmônico angular simples..

(24) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-3 O Oscilador Harmônico Angular Simples  . Pêndulo de torção: elasticidade de um fio torcido O movimento é de um oscilador harmônico angular simples Eq. (15-22).  . κ é a constante de torção Substituindo as variáveis lineares por variáveis angulares análogas, obtemos: Eq. (15-23) Figura 15-9.

(25) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-4 Pêndulos e Movimento Circular.

(26) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-4 Pêndulos e Movimento Circular. Objetivos do Aprendizado 15.27 Descrever o movimento de um pêndulo simples.. 15.33 Saber a diferença entre a frequência angular e dθ/dt.. 15.28 Desenhar um diagrama de corpo livre do peso de um pêndulo simples.. 15.34 Determinar a constante de fase e a amplitude.. 15.29-31 Conhecer a diferença entre um pêndulo simples e um pêndulo físico. 15.32 Determinar a frequência angular de um pêndulo a partir do torque e do deslocamento ou da aceleração e do deslocamento.. 15.35 Explicar a medida da aceleração de queda livre com um pêndulo. 15.36 Determinar o centro de oscilação de um pêndulo físico. 15.37 Conhecer a relação entre o MHS e o movimento circular uniforme..

(27) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-4 Pêndulos e Movimento Circular . . Pêndulo simples: um peso de massa m suspenso em um fio inextensível de massa desprezível O peso experimenta um torque restaurador Eq. (15-24)18. . Relacionando o torque ao momento de inércia, obtemos Eq. (15-26)18. . A aceleração angular é proporcional à posição, mas tem o sinal oposto. Figura 15-11.

(28) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-4 Pêndulos e Movimento Circular . A amplitude angular θm do movimento deve ser pequena. . A frequência angular é. . O período de um pêndulo simples é Eq. (15-28)18. . Um pêndulo físico tem uma distribuição de massa complexa. Figura 15-12.

(29) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-4 Pêndulos e Movimento Circular . . A análise é semelhante à do pêndulo simples, mas em vez do comprimento L temos a distância h ao centro de massa, e o valor de I depende da distribuição de massa. O período é dado por Eq. (15-29). . . Um pêndulo físico não oscila quando é pendurado pelo centro de massa O centro de oscilação de um pêndulo físico é o comprimento L0 de um pêndulo simples com o mesmo período.

(30) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-4 Pêndulos e Movimento Circular . . Um pêndulo físico pode ser usado para determinar a aceleração de queda livre g Supondo que o pêndulo é uma barra homogênea de comprimento L: Eq. (15-30). . Explicitando g na Eq. 15-29, obtemos Eq. (15-31). Resposta: Todas empatadas (o período de um pêndulo não depende da massa).

(31) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-4 Pêndulos e Movimento Circular . . . O movimento circular visto de perfil é igual ao movimento harmônico simples. A Fig. 15-15 mostra uma partícula de referência descrevendo um movimento circular uniforme. A posição angular é dada por ωt + φ. Figura 15-15.

(32) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-4 Pêndulos e Movimento Circular . Projetando a posição no eixo x: Eq. (15-36). . Fazendo o mesmo com a velocidade e a aceleração: Eq. (15-37). Eq. (15-38) . Isso mostra que a projeção é realmente igual a um movimento harmônico simples.

(33) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-5 Movimento Harmônico Simples Amortecido.

(34) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-5 Movimento Harmônico Simples Amortecido. Objetivos do Aprendizado 15.38 Descrever o movimento de um oscilador harmônico amortecido e desenhar um gráfico da posição do oscilador em função do tempo.. 15.41 Calcular a frequência angular de um oscilador harmônico amortecido em função da constante elástica, da constante de amortecimento e da massa.. 15.39 Calcular a posição de um oscilador amortecido em função do tempo.. 15.42 Conhecer a equação usada para calcular a energia total (aproximada) de um oscilador harmônico simples amortecido em função do tempo.. 15.40 Determinar a amplitude de um oscilador amortecido em função do tempo..

(35) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-5 Movimento Harmônico Simples Amortecido . . Se uma força externa reduz a amplitude do movimento de um oscilador, dizemos que o movimento é amortecido Para baixas velocidades, é aceitável supor que um líquido exerce uma força de amortecimento proporcional à velocidade: Eq. (15-39). em que b é uma constante de amortecimento que depende da placa e da viscosidade do fluido. Figura 15-16.

(36) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-5 Movimento Harmônico Simples Amortecido . De acordo com a segunda lei de Newton, Eq. (15-41). . A solução da Eq. 15-41 é Eq. (15-42). em que. Eq. (15-43). Figura 15-17.

(37) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-5 Movimento Harmônico Simples Amortecido . Se o amortecimento é pequeno, ω' ≈ ω e podemos calcular a energia mecânica substituindo a amplitude constante da Eq. 15-36 pela amplitude decrescente da Eq. 15-42: Eq. (15-44). Resposta: 1, 2, 3.

(38) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-6 Oscilações Forçadas e Ressonância.

(39) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-6 Oscilações Forçadas e Ressonância. Objetivos do Aprendizado 15.43 Saber a diferença entre a frequência angular natural e a frequência angular forçada.. 15.44 Desenhar o gráfico da amplitude das oscilações de um oscilador forçado em função da razão entre a frequência angular forçada e a frequência angular natural e indicar o efeito do aumento da constante de amortecimento.. 15.45 Saber que a ressonância acontece quando a frequência angular forçada é igual à frequência angular natural..

(40) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-6 Oscilações Forçadas e Ressonância . . As oscilações forçadas são produzidas por uma força periódica A frequência angular de um oscilador forçado é igual à frequência angular da força: Eq. (15-45). . . A amplitude do deslocamento é uma função complicada de ω e ω0 A amplitude da velocidade das oscilações é máxima para Eq. (15-46).

(41) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15-6 Oscilações Forçadas e Ressonância . . . A situação em que a frequência angular de uma força é igual à frequência angular natural é chamada de ressonância Essa é também, aproximadamente, a situação na qual a amplitude do deslocamento é máxima A ressonância pode colocar em risco a estabilidade de peças e estruturas: oscilações forçadas na frequência de ressonância podem resultar na ruptura de uma asa de avião ou no desabamento de um edifício ou de uma ponte Figura 15-18.

(42) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. 15. Resumo.

(43) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida. 15. www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. Resumo. Frequência . 1 Hz = 1 ciclo por segundo. Movimento Harmônico Simples Eq. (15-3). Período Eq. (15-2). O Oscilador Linear. Eq. (15-5). Energia . Eq. (15-12) . Eq. (15-13). A energia mecânica total, K + U, é constante K = ½ mv2, U = ½ kx2.

(44) Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e Termodinâmica – Vol. 2 Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida. 15. www.grupogen.com.br | http://gen-io.grupogen.com.br. Resumo. Pêndulos. Movimento Harmônico Simples e Movimento Circular Uniforme. Eq. (15-23). O MHS é a projeção do MCU no diâmetro da circunferência na qual ocorre o MCU. Eq. (15-28). . Eq. (15-29). Movimento Harmônico Amortecido. Oscilações Forçadas e Ressonância. A amplitude da velocidade é Eq. (15-42) máxima para . Eq. (15-43). Eq. (15-46).

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