Capítulo V. Forças Distribuídas: Centróides e Baricentros

Capítulo V

Forças Distribuídas: Centróides e Baricentros

5.10 – Determine a posição do centróide da superfície plana da figura.

Observe que a figura pode ser considerada como composta por um quadrado do qual foi subtraído um quarto de círculo. Logo o seu centróide pode ser determinado pela composição dos centróides das figuras componentes, considerando o quarto de círculo como tendo área negativa.

a - determinação dos centróides das figuras componentes: - quadrado xI = 60 / 2 = 30 mm - quarto de círculo (pág 295) y y y xI xII 60mm 60 mm 60 x x x 60mm 60mm

mm

R

X

_II

25

,

465

14

,

3

.

3

60

.

4

3

4

_

_





Logo mm X_II 60,0025,46534,535

b ) Centróide da figura composta:

Componentes ₍ 2₎ mm Área X(mm ) y(mm ) Quadrado 3600 30 3 10 . 108 Quarto de círculo. -2827,43 34,535 3 10 . 645 , 97  Total 772,57 3 10 . 355 , 10

As equações que definem as coordenadas x e y do baricentro de uma placa homogênea são

xA =  x dA e yA =  y dA ,

que para figuras compostas por figuras geométricas conhecidas podem ser simplificadas para

x A =  x dA e y A =  y dA

Note que esta fórmula na verdade é derivada do teorema de Varignon que mostra que o momento da resultante de um sistema de forças é igual ‘a soma dos momentos das forças componentes, no caso de estas forças serem concorrentes. Os momentos de Primeira Ordem de área são, na verdade os momentos de forças peso de placas homogêneas e de espessura constante em que a massa especifica e a espessura foram simplificadas por ocorrerem em ambos os lados da igualdade. Note também que as forças peso são sempre concorrentes, uma vez que paralelas.

Portanto teremos de X.

 

A X. : X. (772,57) = 10,533.A 10 3

Como a figura é simétrica em relação aos dois eixos ortogonais x e y sabemos que as coordenadas do centróide são iguais. Portanto,

x = y = 13,40 mm

5.12 – Determine a posição do centróide da área plana da figura.

Também neste caso a figura pode ser visualizada como sendo limitada por dois arcos de parábola cujos baricentros foram previamente determinados e podem ser encontrados na tabela da pagina 295 do livro texto.

a - Posição do centróide das figuras componentes (pág 295): 500mm X=Kx Y=Kx2 2 500mm X1 Y Y1 C1 X Y XII CII YII _X XII = 3.a = 3.500 = 375mm 4 4 yII = 3.h = 3.500 = 150mm 10 10 AII = a.h = 500 = 83.333 mm2 2 3 3 XI = 3.h = 3.500 = 300mm 5 5 yI = 3.a = 3.500 = 187,5mm 8 8 AI = 2.a.h = 2.5002 = 166.666,67mm2 3 3

Compondo uma tabela com os elementos A – área das figuras componentes, x e y , coordenadas dos centróides das figuras componentes, e xA e yA momentos de primeira ordem das áreas componentes, pode-se visualizar com mais facilidade a resolução

Componentes _A( 2₎

mm X(mm)

I 166.666,67 300

II -83.333,00 375,00

TOTAL 83.333

Y(mm) A.X A.Y

187,5 50.000.000 31.250.001

150,00 -31.249.875 -12.499.950

18.750.125 18.750.051

Logo x = y = 18 750 051 / 83 333 = 225 mm Portanto, simétrica, como já era sabido.

5.23 -- O eixo x, horizontal, passa pelo centróide C da superfície da figura e a divide em duas partes A1 e A2. Determine o momento estático de cada parte

componente em relação ao eixo x e explique os resultados obtidos.

Y x 75mm 150mm 150mm A1 A2 C X A 0 CI CIII CII

a - Precisamos inicialmente determinar o valor do segmento a, que representa a medida da interseção do eixo x com o triângulo, e que pode ser obtido a partir da seguinte proporção (Teorema de Tales):

a 150 150 75 150   então a ₂₂₅ 100mm 1502 _ 

b - Determinação dos momentos de l ordem. Como não existe uma fórmula que permita calcular a posição do centróide do trapézio abaixo do eixo x, esta área deverá ser dividida nos triângulos I e II. Portanto:

3 1 1

281250

3

75

.

2

.

2

75

.

150

mm

Q

TriânguloI







3 2

93750

3

75

.

2

75

.

100

mm

Q

I

TriânguloI







Cuja soma vale 375 000 mm

3

.

Deve-se observar que este valor deve ser tomado como

negativo, uma vez que as

áreas se localizam abaixo do eixo x. Para o triângulo parcial 3 teremos:

3 3

375000

3

150

.

2

100

.

150

mm

Q

II

TriânguloI









valor que é positivo porque a figura se localiza acima do eixo x.

Observamos que [Q1+ Q2]=[Q3], ou seja, o momento de primeira ordem da parte

superior da figura é igual ao momento de primeira ordem da parte inferior da figura, uma vez que, como o centróide está sobre o eixo x .

0 .  



y A Qx

O aluno deve entender, a partir deste exemplo, que o centróide de uma área é o ponto de equilíbrio dos momentos de primeira ordem. Se considerarmos que a área sendo estudada representa uma placa ou laje de espessura constante e de densidade uniforme, o centróide da área, agora denominado baricentro da placa, é o ponto onde poderemos considerar aplicado o vetor que representa o peso total da placa. Como o somatório dos momentos de 1a Ordem é nulo em relação ao centróide, se pendurarmos a placa pelo seu baricentro, a placa assumirá a posição horizontal, ou seja, haverá equilíbrio de momentos de todos os pesos elementares componentes da placa em relação ‘a este ponto, e este ponto é único. Assim não se deve imaginar que os eixos que passam pelo centróide dividem a área total em áreas iguais, mas sim em áreas cujos momentos de 1a ordem são iguais e se anulam quando somados.

5.30 - Um arame homogêneo ABCD é dobrado como se vê na figura. Em C o fio é preso por uma articulação. Determine o comprimento L para que a parte BCD fique na posição horizontal.

a) devemos inicialmente dividir o arame em três segmentos. Considerando que o valor p como o peso por comprimento unitário do material, teremos como valores dos pesos de cada um dos segmentos:

P1 = 80.p; P2 = 100.p; P3 = L.p;

E evidente que o valor da força que sustenta o arame em C deve ser igual ‘a soma dos valores dos pesos dos segmentos nos quais está dividido o arame, já que uma das condições de equilíbrio deve ser  F = 0. Para que o arame fique na posição horizontal é necessário também que  MC = 0, o que implica em que o momento dos segmentos ‘a

esquerda de C deve igualar o momento dos segmentos situados ‘a direita de C. Portanto:

0 2 40 . . 100 40 . . 80 0    



M_c p p LpL mm L L2 14,4.103 120

5.39 – Determinar por integração o centróide da superfície da figura.

y dx h y yel = y/2 xel b x 40 40 C L/2 L/2 B PI C PIII 60 PII A

a

– devemos inicialmente

determinação da equação da reta que delimita o triângulo, o que pode ser obtido por semelhança de triângulos. Assim obtemos:

y/x = h/b e a equação da reta será y = h/b x

Deve-se observar que no retângulo elementar as coordenadas do centróide valem

yel = y / 2 , ou seja metade da altura do retângulo, que é a ordenada y , xel = x , que é a

abcissa contada a partir do eixo y e dA = y dx, que é a área do retângulo elementar, produto da base pela altura.

b - Determinação da área por integração: integrando em x, variando entre 0 e b temos:

h b dx x b h dx y A b b . . 2 1 . . . 0 0        

_

_

expressão já conhecida e que representa a área de um triângulo qualquer de base b e altura h.

c - Determinação dos momentos de a

1 ordem:

Novamente teremos que observar que o momento da área total deve ser igual ao somatório dos momentos das áreas parciais que compõem a figura. Neste caso as áreas parciais são representadas pelos retângulos elementares de dimensões infinitesimais em que pode ser dividido o triângulo com base no eixo x, entre 0 e b. Como as áreas agora são infinitesimais, o seu somatório se transforma numa integral, e teremos:

2 0 3 0 . . 3 1 3 . . . . . . x hb b h dx x b h x dx y x dA x b b el                













_                       b b b el h b x b h dx x b h dx y y dA y 0 2 0 3 2 2 2 0 . . 6 1 3 . . 2 1 . . . . 2 1 . . 2 .

d - Determinação da posição do centróide da figura:

b x b h h b x dA x A x _el . 3 2 . . 3 1 . . 2 1 . . .  2            



h y b h h b y dA y A y _el . 3 1 . . 6 1 . . 2 1 . . .  2             



Note que determinada a posição do centróide do triângulo por integração, situado a 1/3 da altura em duas direções perpendiculares a duas bases tomadas arbitrariamente, este valor poderá ser usado na determinação do centróide de áreas que possam ser decompostas em triângulos parciais.

5.41 - Determine por integração o centróide da superfície da figura.

a - Determinação das constantes das equações da parábola e da reta.

Parábola ( equação 1) – a equação geral da parábola do segundo grau pode ser escrita como y1 = k1 x2 onde x = a quando y1 = b. Assim bk1.a2 e 1 2

a b k  ,

E y1 = (b/a2 )x2 .De maneira semelhante temos para a equação da reta ( equação 2) : x k y₂  ₂ e b k₂.a Logo, x a b y₂  .

b - coordenadas do centróide do retângulo elementar

Note que o centróide da área entre o segmento de reta y2 e o segmento de parábola y1

pode ser determinado considerando os momentos de 1ª Ordem do triângulo e da área sob a parábola, já conhecidos. Iremos, no entanto, para resolver o problema por integração, considerar o retângulo elementar traçado entre as curvas y2 e y1 Para este retângulo

elementar de altura y2 - y1 temos como coordenadas do centróide os valores e o segmento

de parábola x x_el  e           a x x a b y y y_el . 1 2 ) .( 2 1 1 2 com dx a x x a b dx y y dA ( _{2 1}) . 1 .          y y2 = mx y1 = k x2 y2 y1 y el

Note que o retângulo considerado é igual ‘a diferença entre o retângulo traçado entre o eixo x e a reta e o retângulo traçado entre o eixo x e a parábola.

c - determinação da área total entre as duas curvas:

b a A a x x a b dx a x x a b dA A a a . . 6 1 . 3 2 . . . 0 0 3 2 2                   





d - determinação dos momentos de a

1 ordem







_                          a a a el a b a x x a b dx a x x a b dx a x x a b x dA x 0 0 2 0 4 3 3 2 . . 12 1 . 4 3 . . . . 1 . . .







 



       _                  a a a el dx ab a x x a b dx a x x a b dx a x x a b a x x a b dA y 0 0 2 0 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 . . 15 1 ) ( . 2 . 1 . . 2 1 . . . 1 . . 2 . .

Notar que os momentos de Primeira Ordem







   y el x el dA Q e x dA Q y . . têm dimensão

 

L3

e - Determinação da posição do centróide:

a x b a b a x dA x A X el . 2 1 . . 12 1 . . 6 1 . . . 2 _           



   b y b a b a y dA y A Y _el . 5 2 . . 15 1 . . 6 1 . . . 2 _           



  

5.47 - Obter as coordenadas x e y do centróide de um setor circular.

Como o setor circular é simétrico em relação ao eixo x sabemos que y =0. Para a determinação da outra coordenada teremos que considerar o setor circular como dividido em triângulos elementares de vértice em O. Considerando o centróide do triângulo elementar teremos . .cos

3 2 r x_el  e dA .r .d 2 1 ₂  b - determinação da área do setor circular por integração.

Note que a integração será feita em  variando entre - e + considerando a área do triângulo elementar

 



          2 2 2 . . 2 . . 2 1 . . 2 1 r r d r A

c - determinação do momento de a 1 ordem:











   



















   









r

d

r

sen

r

sen

r

dA

x

_el

.

.

3

2

.

.

3

1

.

.

2

1

.

cos

.

.

3

2

.

2 3 3 d - determinação de x:

x A =  xel dA . Logo x (  r2 ) = 2/3 r3 sen  , e x = 2r sen  / 3

Observe que nesta equação o valor de  que aparece no denominador deve ser tomado em radianos.

5.57- Determine o volume do sólido gerado pela rotação da figura escurecida sob a parábola, em tomo do eixo: a) x b) AA’.

a – A posição do centróide do segmento de parábola do segundo grau se encontra tabelado e vale:

x =3/4 a y = 3/10 h e a área A = 1/3 a . h b - Determinação do volume do sólido de revolução – rotação em x.

y xel d  x  r

Sabemos da teoria (Teorema de Pappus – Guldin) que o volume do sólido gerado é igual ao produto da área da figura geratriz pela distância percorrida pelo seu centróide numa rotação de  graus.



h



a

h



V

eixox

A

y

V



2

.



.

.

(

)





2

.



.

3

10

.

.

1

3

.

.

 , logo Vx = 1/5  a h2

c - Determinação do volume do sólido de revolução – rotação em A A´. V = 2 ( a – 3/4 a ) ( 1/3 ah ), logo VAA = 1/6  a2 h

5.63 - Determine o volume e a área do corpo da figura.

a - novamente será utilizado o teorema de Pappus – Guldin. A área do triângulo será determinada por: A = ½ . 50 . 60 = 1 500 mm2 D CIII E 20 x CI CII 40 B 20 20 25 25

b – o centróide do triângulo pode ser determinado considerando-se a diferença entre os dois triângulos retângulos:

Como só interessa a rotação em torno do eixo y só precisamos calcular x :

Σ x_i Ai = x A logo (1.70/3).(70.60 /2)+(1.20/3) (20.60/2) = x . {(70.60/2)+(20.60/2)}

e x = 30 mm Logo a distância até o eixo y será d = 20 + 30 = 50mm.

c - determinação do volume considerando a rotação de apenas  = 180, já que o sólido é assim definido:

3 3 10 . 236 1500 . 50 . . .x A mm V      

d - determinação da área superficial.

Para a determinação da área devemos considerar separadamente cada um dos lados do triângulo e usar o primeiro teorema de Pappus Guldin. Assim:

Linha BD: Comprimento:

L

20

2

60

2

63

,

25

mm

1







Centróide: X12020 230mm Linha DE: Comprimento: L₂ 50mm Centróide: x₂204565mm Linha BE: Comprimento: L₃ 702602 92,195mm Centróide: X₃ 2070 255mm

Fazendo agora a rotação destes três segmentos em 180 graus teremos:







3



3 2

10

.

1

,

32

10

.

218

,

10

.

195

,

92

.

55

50

.

65

25

,

63

.

30

.

.

.

mm

A

A

x

A

























e - determinação da área dos triângulos das extremidades. 70 mm 20 mm

C1 ( x1 y1 ) C2 ( X2 Y2)

Como a rotação da figura não é de 360 graus, deve-se considerar que a área superficial do sólido gerado inclui os dois triângulos das extremidades.

2 3 10 . 3 60 . 50 . 2 1 . 2 mm A 

f - área total da superfície.

A área total será, portanto a soma da área gerada pela rotação de 18 0 graus dos segmentos de reta que compõem os lados do triângulo com as duas áreas dos triângulos das extremidades, ou seja

2 3 3 3 10 . 1 , 35 10 . 3 10 . 1 , 32 A mm A   

5.64- Determinar o volume e a massa da peça de ferro fundido obtida pela rotação da superfície quadrangular escurecida em torno do eixo de simetria do cano de 12 mm de diâmetro (massa específica do ferro fundido = 7,2 x 103 kg/m3).

a - determinação do volume do sólido de revolução

Considerando a área hachurada como a diferença entre os dois triângulos:

Triângulo 1: mm y mm A 13 21 . 3 1 6 336 32 . 21 . 2 1 1 2 1       Triângulo 2:

mm

y

mm

A

9

9

.

3

1

6

108

)

24

.

9

.(

2

1

2 2 2











 Como      y₁A₁ y₂ A₂

Obs – a dimensão 8mm no desenho original do livro é na verdade 12 mm, conforme medidas no desenho acima e valor nos cálculos. Assim o volume será:



      3 3 10 . 34 , 21 ) 9 . 108 13 . 336 .( . 2 . . . 2 y A V mm V   b - determinação da massa:

kg

m

V

m

m

kg













3 9 3 3

10

.

6

,

153

10

1

.

10

.

34

,

21

.

7200

.

/

7200





5.73 - Determine o módulo e a localização da resultante das cargas distribuídas da ilustração. Calcule também as reações em A e B.

a) determinação da carga concentrada equivalente ao carregamento distribuído R RI RII 2000 1100N/m 900N/m 900N/m A B A B x 3m 6m 1,5m 21 12 CI 9 CII 32 24 8

Observamos que a figura pode ser dividida em um retângulo e uma parábola. A carga distribuída que é representada pela figura composta pode ser substituída, para facilitar a determinação das reações nos apoios, por uma carga concentrada de valor igual à área do carregamento, considerando esta carga concentrada como aplicada no centróide da área. Assim teremos:

RI (parábola) = 1/3 . 1100.6 = 2 200N

RII (retângulo) = 900 . 6 = 5 400N

Logo a carga concentrada (área total) será R = RI + RII = 2200+5400 = 7600N

b - determinação da posição do centróide.

A posição do centróide da figura composta pelo retângulo mais a parábola será determinada igualando o momento da área da figura total a soma dos momentos das áreas componentes, conforme efetuado nos problemas anteriores. Portanto

3

.

5400

5

,

1

.

2200

7600

.

.

.

_ _ _ _ _











x

R

X

R

X

Logo X = 2,566 m.

Observe que o centróide da parábola foi obtido da tabela fazendo uma pequena transformação, uma vez que a figura tabelada é simétrica à deste problema. Assim para a figura tabelada

4

3a

x



, mas devemos tomar o valor

a

x

a

a

a

4

1

4

3

4

4









Como a = 6m (dado do exercício)

_

X = 1,5m c - determinação das reações nos apoios.

Considerando a somatória dos momentos em relação ao ponto A:







































N

A

A

F

N

B

B

M

y A

4350

0

7600

3250

0

3250

0

566

,

2

.

7600

6

.

0

Observe que este será sempre o procedimento de cálculo das reações de apoio quando a estrutura estiver carregada com cargas distribuídas. As cargas distribuídas serão substituídas por cargas concentradas aplicadas nos centróides das áreas que representam os carregamentos e as reações serão calculadas utilizando as cargas concentradas substitutas nas equações de equilíbrio. Observe que este artifício só pode

ser utilizado na determinação das reações nos apoios, ou seja, na determinação das cargas externas. No cálculo dos esforços internos (força cortante e momento fletor) a substituição de carregamentos distribuídos por cargas concentradas alteraria o problema, e portanto resultaria em diagramas diferentes para os esforços internos.

5.81 - Determinar: a) a carga distribuída ₀ na extremidade A da viga ABC, de modo que a reação em C seja nula; b) a reação correspondente em B.

a - resultantes dos carregamentos distribuídos.

Uma das maneiras de transformar o carregamento trapezoidal em uma carga concentrada é transformar a figura trapezoidal em dois triângulos. A outra é considerá-lo a soma de um retângulo com um triângulo. Utilizando os dois triângulos teremos:

_{0 0} _ 1

.

.

3

,

6

1

,

8

.

2

1

_

_





R

e

R

.

5

,

0

.

3

,

6

9

,

0

kN

2

1

2









b - determinação das reações nos apoios.

Usando o ponto B para determinar os momentos:

-distância de

R

aB

0

,

9

m

3

6

,

3

1

,

2

2







-distância de _ 1 .2 2,1 0,3 3 6 , 3 m aB R    RI RII W0 5,0 A B C RB RC 1,50m 2,10m

Considerando agora a somatória dos momentos das forças externas em relação ao apoio B:

m

kN

M

_B

15

/

54

,

0

1

.

8

0

9

,

0

.

9

,

0

3

,

0

.

.

8

,

1

0



₀







₀





₀













Deve-se lembrar que o valor da reação em C é nulo.

Tendo o valor de 0 podemos calcular o valor correspondente de

R

₁



1

,

8

.

15



27

kN

Fazendo em seguida o somatório das forças segundo a direção y igual a zero:



F

y



0







B



27



9



0



B



36

kN



_

5.82- A viga AB está submetida a duas cargas concentradas e apoiada no solo, o qual exerce uma carga distribuída linear, como mostra a figura. Determine os valores de A e B correspondentes ao equilíbrio.

a -determinação das cargas concentradas que substituem a reação do solo.

Devemos inicialmente substituir a carga distribuída que representa a reação do solo sobre a fundação por uma carga concentrada. E interessante observar que as reações dos solos

0,6m 0,6m 0,3m 0,3m 24kN 30kN A C D B WA WB RI RII 0,6m 0,6m 0,6m

de fundação sobre sapatas são função da natureza dos solos, arenosos ou argilosos, e são consideradas como tendo configurações parabólicas, côncavas ou convexas. Este diagrama trapezoidal é uma simplificação. No entanto o procedimento de cálculo apresentado a seguir é exatamente o mesmo adotado no dimensionamento de fundações diretas.

RI = ½ wA .1,8 = 0,9 wA e RII = ½ wB . 1,8 = 0,9 wB

O ponto de aplicação de RI e RII será a 1/3 da altura dos triângulos, tomadas na direção

do eixo x, ou seja: 1.8 / 3 = 0,6 m

b - determinação das taxas de carga das cargas distribuídas

Considerando o somatório dos momentos em relação ao ponto D teremos



M_D 0

24

.

0

,

6



30

.

0

,

3



0

,

9

.



_A

.

0

,

6



0

Logo: wA = 10kN/m

Considerando agora o somatório das forças na direção y

0

.

9

,

0

10

.

9

,

0

30

24

__

0













F

y



B Logo: wB = 40kN/m

5.104 - Determine a localização do baricentro do refletor parabólico da figura, que é feito usinando-se um bloco retangular de modo que a superfície curva seja um parabolóide de revolução com raio da base a e altura h.

Como o sólido é simétrico em relação aos planos yx e yz só precisamos determinar o valor de y. Da figura 5.21da pág 344, para o parabolóide, obtemos y = 1/3 h. Como para o paralelepípedo a posição do centróide é na metade da altura, iremos considerar o sólido como formado por um paralelepípedo de volume positivo do qual se subtrai o parabolóide (volume negativo).

Volume y y V

Bloco 4 a2 h -1/2 h -2 a2 h2

Parabolóide -1/2  a2 h - 1/3 h +1/6  a2 h2

A soma dos volumes resulta em V = ( 4 - /2 ) a2 h . Já o somatório dos momentos resulta em Σ y V = ( -2 + /6 ) a2 h2

Fazendo y V = Σ y V temos : y ( 4 - /2 ) a2 h =( -2 + /6 ) a2 h2 Logo y = - ( 2 - /6) h / (4 - /2 ) y = - 0,6078 h

5.112 - Localizar o baricentro da peça da figura, sabendo que ela é feita de folha metal com espessura constante.

Como a peça é simétrica em relação ao plano yz a coordenada X =125 mm.

Como a folha tem espessura constante podemos determinar o baricentro considerando o contorno da projeção da folha sobre o plano yz. e xy.

y y y

h h/2 h/3 a a

a - determinação dos centróides das figuras componentes: Semicírculo I - considerado no plano yx

Y = 150+80+(4 x 125)/3 = 283,1 mm e z = 0 Quarto de cilindro II – considerado no plano yz (ver tabela )

m

Y

150

2

.

80

200

,

9

_









Z 50,9mm 80 . 2 _    Retângulo III -

mm

Y

75

2

150

_





Z 40mm 2 80 _  

Elemento Cálculo Area y z yA zA

I (/2).1252 24,54X103 283,1 0 6,947X106 0

II (/2).80.250 31,42X103 200,9 50,9 6,312X106 1,599X106

III 170*.250 42,5X103 75 40 3,188X106 1,70X106

Soma 98,46X103 16,447X106 3,299X106

* O valor 170 foi obtido através da expressão: 2 2 150 80 

b - posição do centróide da peça inteira

mm Y Y A y A Y . .(98,46.10 ) 16,447.10 167,04 _ 6 3 _ ____ _     





mm Z Z A Z A Z . .(98,46.10 ) 3,299.10 33,506 _ 6 3 _ ____ _     





5.116 - Localize o baricentro do objeto da figura, sabendo que ele é feito de barras finas de bronze, com diâmetro uniforme.

a - como a estrutura é simétrica em relação ao plano yz X = 0

b - os baricentro e centróides dos segmentos são coincidentes e valem: -para os segmentos retilíneos: L/2

-para o segmento semicircular:



r . 2

c - determinação de  y L e  z L Segmento Comprimento y z yL zL (m) (m) (m) (m2) (m2) AB 0,425 0,1875 0 0,07968 0 AD 0,425 0,1875 0,1 0,07968 0,0425 AE 0,425 0,1875 0 0,07968 0 BDF 0,628 0 0,12738 0 0,08 Somas 1,903 0,23904 0,1225

m

L

_AB

0

,

375

2



0

,

200

2



0

,

425

e

L

_BDE





.

r



3

,

14

.

0

,

200



0

,

628

m

d - determinação de Y e Z:

y

0

,

125

m

903

,

1

23904

,

0

_





e

_z

0

,

064

m

903

,

1

1225

,

0

_





5.122- Determinar, por integração, a expressão dada para x na figura P5. 21- parabolóide de revolução.

Como o sólido é simétrico em relação a dois planos podemos considerar, para a integração, um elemento com a forma de um disco de raio r e espessura dx. Desta forma, embora o cálculo do volume requeresse uma integração tripla, podemos resolver o problema com uma integral simples, uma vez que, como conhecemos o volume do disco elementar podemos fazer a integração deste volume elementar entre 0 e x.

Volume do disco elementar – d V =  r2 dx Posição do centróide – x el = x

A parábola da página 295, correspondente ‘a curva 1 abaixo tem por equação

y = k x2 . Se quisermos a equação de uma parábola convexa devemos escrever x = k y2 , considerando os mesmos eixos e origem ( fig 2 ). Observe que a geratriz do parabolóide é uma parábola invertida em relação ‘a da fig 2, em que r = a quando x = 0, e onde as coordenadas na direção x valem h - x . A equação desta parábola será, portanto,

r2 = k ( h – x ) y h

a r

x

Teremos portanto para x = 0 , r = a e a equação se transforma em a2 = k ( h - 0 ) , onde a constante vale k = a2 / h e, portanto,

)

(

2 2

x

h

h

a

r





O volume do disco elementar pode ser escrito, então , como

dx

x

h

h

a

dV

(

)

2







c - determinação do volume.

O volume do parabolóide pode ser obtido pela simples integração em x do volume do

disco elementar, uma vez que temos a expressão deste volume.





hx x a h h a xdx hdx h a dx x h h a dv V h h . . . 2 1 2 . . . . ). ( . . 2 0 2 2 2 0 2     _             









d - determinação de



xel.dv _ 2 2 0 3 2 2 2 0 2 0 2 . . . 6 1 3 2 . . . ). ( . . . ) ( . . . h x x a h h a dx x hx h a dx x x h h a dv x h h h el                 

_

_



e -posição do centróide:

Devido á simetria sabemos que Z = Y = 0, e o centróide está sobre o eixo x. A coordenada X pode ser obtida considerando a igualdade dos momentos de primeira ordem, ou seja:

2 2 2

.

.

.

6

1

.

.

.

2

1

.

.

.

v

x

dv

x

a

h

a

h

x

_el























_

Logo X = 1/3 h

5.128- Localizar o centróide da pirâmide irregular ilustrada:

,,

Para as integrações deste problema devemos escolher o elemento volumétrico de volume dv = u.v.dy (placa retangular), cujas equações de volume e posição do centróide são conhecidas. Esta escolha facilita a resolução do problema, uma vez que resolveremos apenas integrais simples. Poderíamos escolher como volume elementar o cubo de arestas dx, dy e dz , e de volume dV = dx . dy . dz. Neste caso teríamos que trabalhar com

integrais triplas e a fixação dos limites de integração traria dificuldades adicionais para o problema. .

Para a placa elementar teremos, portanto: x el = ½ u z el = ½ v e y el = y

y dy v u y x z

Das relações dentro dos triângulos que formam as faces das pirâmides, obtemos:

h

y

h

b

v

a

u

/



/



(



)

/

e, portanto:

(

h

y

)

h

a

u





e

(

h

y

)

h

b

v





b - determinação do volume.

O volume da pirâmide será determinado simplesmente integrando-se o volume da placa elementar na direção do eixo y.



h

y



a

b

h

h

ab

dy

y

h

h

ab

dy

v

u

dv

V

h h h

.

.

.

3

/

1

)

.(

3

/

1

)

/

(

.

)

(

).

/

(

.

.

0 3 2 2 0 2 0

















_

_

_

c – c - determinação de



xel.dv







h  h   _  _  h el h y a bh h b a dy y h h b a dy v u u dv x 0 0 2 0 4 3 2 3 3 2 . . . 8 1 ) .( 4 1 . . . 2 1 . ) ( . . . 2 1 ) . . .( 2 . d - determinação de



y_el.dv:       

_

_

_



h y hy y dy h b a dy y h y h b a dy v u y dv y h h h el . ( 2. . ). . . ) .( . . ) . . .( . 2 2 3 0 2 0 2 2 0 2 0 4 3 2 2 2 . . . 12 1 4 3 . . 2 2 . . h b a y y h y h h b a h _       _{ }  e - determinação de



z_el.dv













_

_

_



h

y

dy

h

b

a

dy

y

h

h

b

a

dy

v

u

v

dv

z

h h h el 3 0 3 2 0 3 3 2 0

).

(

.

.

.

2

1

.

)

(

.

.

.

2

1

)

.

.

.(

2

.

h

ab

y

h

h

ab

4 2 3 2

8

1

]

)

(

4

1

[

2

1









f - determinação do centróide:



a

b

h



a

b

h

X

a

X

dv

X

V

X

.





el

.



.

1

3

.

.

.



1

/

8

.

.

.





3

/

8

_ 2 _ _ _

















Y

dv

Y

a

b

h

a

b

h

Y

h

V

Y

.

el

.

.

1

3

.

.

.

1

/

12

.

.

.

1

/

4

.

_ 2 _ _ _

















Z

dv

Z

a

b

h

a

b

h

Z

b

V

Z

.

el

.

.

1

3

.

.

.

1

/

8

.

.

.

3

/

8

.

_ 2 _ _ _