Disciplina: TÓPICOS EM SISTEMAS DE ENERGIA ELÉTRICA PROFESSOR Dr. ANTONIO CÉSAR BALEEIRO ALVES MODELAGEM DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE DISTRIBUIÇÃO

(1)

PROGRAMA DE DOUTORADO E

Disciplina: TÓPICOS EM SISTEMAS DE ENERGIA ELÉTRICA PROFESSOR Dr. ANTONIO CÉSAR BALEEIRO ALVES

MODELAGEM DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE DISTRIBUIÇÃO IMPEDÂNCIAS PRIMITIVAS

I.1 - NOÇÕES PRELIMINARES PARA O CÁLCULO DE IMPEDÂNCIAS Reatância indutiva própria de um cabo (ou de um condutor)

CASTRO JR. 2000), (MONTICELLI, A.; GARCIA, 2000)

onde:

μ0: permeabilidade magnética do espaço livre (

f: frequência da corrente elétrica em hertz; Deq: distância média geométrica entre fases em m;

Ds: raio médio geométrico

Nesta expressão (e em todas as demais utilizadas neste texto), a notação natural.

A Figura 1 ilustra três cabos formando uma disposição tri tramas do tipo 6/1 (sendo 6Al e

função de sustentação apenas).

Figura 1: Exemplo de cabos de uma

No exemplo da Figura 1, se as distâncias entre =1, 2, 3, 4, 5, 6, então serão 36

..., D66. Assim, o raio médio geométrico entre condutores de uma mesma fase,

dado pela expressão (2):

= D_s

Um modo mais simples de calcular cabo (dada geralmente em circular mil tabelas pelo fabricante e obter o raio. Daí = raio×e−0,25 (isto é, Ds= GMR A 1 5 6 aço alumínio 1

DOUTORADO E MESTRADO DA EMC/UFG Disciplina: TÓPICOS EM SISTEMAS DE ENERGIA ELÉTRICA PROFESSOR Dr. ANTONIO CÉSAR BALEEIRO ALVES

MODELAGEM DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE DISTRIBUIÇÃO IMPEDÂNCIAS PRIMITIVAS DE LINHAS

NOÇÕES PRELIMINARES PARA O CÁLCULO DE IMPEDÂNCIAS

de um cabo (ou de um condutor) (STEVENSON, 1982), (MONTICELLI, A.; GARCIA, 2000):

m / ln 0  Ω       = s eq L D D f x µ

permeabilidade magnética do espaço livre (μ0=4π10−7henry/m);

frequência da corrente elétrica em hertz; istância média geométrica entre fases em m;

raio médio geométrico entre os condutores de uma mesma fase em m

Nesta expressão (e em todas as demais utilizadas neste texto), a notação ln é logaritmo A Figura 1 ilustra três cabos formando uma disposição trifásica. Cada cabo possui

sendo 6Al e 1St), em que o condutor do centro é de aço ).

Exemplo de cabos de uma linha de transmissão em disposição trifásica

No exemplo da Figura 1, se as distâncias entre dois fios i e j da trama for Dij, sendo

36 distâncias no próprio cabo: D11, D12, D13, D14

, o raio médio geométrico entre condutores de uma mesma fase,

6 6 66 16 15 14 13 12 11 × = D D D D D D LD

de calcular o raio médio geométrico é tomar a área da seção do circular mil - CM, 1CM = 0,7854×10−6 _in2_{) fornecida}

pelo fabricante e obter o raio. Daí, para obter Ds aplica-se a expressão:

GMR = raio×0,7788) (CASTRO JR., 2000). B C dAB dBC dAC 2 3 4 STEVENSON, 1982), (1) em m. é logaritmo

fásica. Cada cabo possui , em que o condutor do centro é de aço (com a

, sendo i e j

14, D15, D16,

, o raio médio geométrico entre condutores de uma mesma fase, Ds, é

(2)

o raio médio geométrico é tomar a área da seção do fornecida em se a expressão: Ds= GMR

(2)

Para a disposição dos cabos mostrada no exemplo d geométrica, Deq, é obtida a partir das distâncias entre as fases

Existem tabelas que contêm informações de diversos tipos de cabos, tais como resistência, reatâncias, GMR etc., que tornam a aplicação das fórmulas uma tarefa mais fácil. Para o emprego das tabelas é usual reescrever a expressão da reatância de um modo apropriado. Da expressão (1), é possível escrever a seguinte relação

JR., 2000): = ₀ x_L µ × × × = − f x_L 2,0224 10 3 onde:

xa: reatância indutiva para 1 pé de espaçamento

do condutor;

xd: fator de espaçamento da reatância indutiva

espaçamento entre condutores. Dessa forma, para um dado cabo espaçamento especificado (Deq

valores xa e xd.

II.1 - IMPEDÂNCIAS PRÓPRIA E MÚTUA TRANSPOSTAS (KERSTING, 2007

Impedância própria de um condutor

= kk z

Impedância mútua entre dois condutor

z

onde:

rk: resistência própria do condutor

GMRk: raio médio geométrico

Dkm: distância entre os condutores

xa

2

a disposição dos cabos mostrada no exemplo da Figura 1, a distância média , é obtida a partir das distâncias entre as fases através da expressão (3):

3 BC AC AB eq d d d D =

Existem tabelas que contêm informações de diversos tipos de cabos, tais como etc., que tornam a aplicação das fórmulas uma tarefa mais Para o emprego das tabelas é usual reescrever a expressão da reatância de um

apropriado. Da expressão (1), é possível escrever a seguinte relação

      ×       Ω         milha 1 m 347 , 1609 ln 0 m D D f s eq       Ω × × × +       ₋ milha D f D_s 2,0224 10 ln eq 1 ln 3

reatância indutiva para 1 pé de espaçamento - depende da frequência e do raio

fator de espaçamento da reatância indutiva - depende da frequência e do condutores.

Dessa forma, para um dado cabo, de posse da frequência CA em hertz, e para um

eq), o usuário entra em uma tabela do fabricante e obtém os

PRÓPRIA E MÚTUA PRIMITIVAS DE LINHAS NÃO KERSTING, 2007)

Impedância própria de um condutor k para 1 pé de espaçamento (ou 1 metro):

m / 1 ln 0  Ω       + = k k GMR f j r µ condutores k e m: m / 1 ln 0  Ω      = km km D f j z µ

resistência própria do condutor k em Ω/m; raio médio geométrico do condutor k em m;

distância entre os condutores k e m (no sentido geral geométrico) em m ermeabilidade magnética do espaço livre (μ0=4π10−7henry/m).

xd

distância média através da expressão (3):

(3)

Existem tabelas que contêm informações de diversos tipos de cabos, tais como etc., que tornam a aplicação das fórmulas uma tarefa mais Para o emprego das tabelas é usual reescrever a expressão da reatância de um (CASTRO

(4)

depende da frequência e do raio

depende da frequência e do

a frequência CA em hertz, e para um , o usuário entra em uma tabela do fabricante e obtém os

DE LINHAS

NÃO-para 1 pé de espaçamento (ou 1 metro):

(5)

(6)

(3)

II.2 - IMPEDÂNCIAS PRÓPRIA Nas equações de impedâncias primitivas Impedância própria primitiva

= kk z

Impedância mútua primitiva entre doi

= km j

z µ

onde:

rk: resistência própria do condutor

f: frequência da corrente elétrica em hertz; hk: altura do condutor k

GMRk: raio médio geométrico do condutor

dkm: distância horizontal (espaçamento) entre os condutores

hm: altura do condutor m

As expressões (7) e (8) se aplicam às

impedância mútua primitiva entre uma fase qualquer (ou o neutro) e pelo índice g (g=ground), é calculada

Impedância mútua primitiva 2003):

zkg

O único dado novo em (9) que não constou d solo, designada por ρ, em Ωm

Para completar o modelo da linha de Carson, a pode ser calculada como a seguir.

Impedância própria primitiva

− = 210 f−7 zgg π 10 7 2 ₊ = − f z_gg π 3

PRÓPRIAS E MÚTUAS PRIMITIVAS DE CARSON

mpedâncias primitivas de Carson está representado o efeito do solo. primitiva de um condutor k (fase ou neutro) (PIZZALI, 2003)

m / 2 ln 0  Ω      + = k k k GMR h f j r µ

entre dois condutores k e m (PIZZALI, 2003):

m / ) ( ) ( ln 2 2 2 2 0 _ Ω        − + + + m k km m k km h h d h h d f µ

resistência própria do condutor k em Ω/m;

permeabilidade magnética do espaço livre (μ0=4π10−7henry/m);

frequência da corrente elétrica em hertz;

k em relação ao solo em m;

raio médio geométrico do condutor k em m;

distância horizontal (espaçamento) entre os condutores k e m em m;

m em relação ao solo em m.

) se aplicam às fases e ao condutor neutro apenas entre uma fase qualquer (ou o neutro) e o solo, designado é calculada como a seguir.

mútua primitiva de um condutor k relativamente ao solo (g)

m / ln 2 0 _Ω             = f h f j k kg ρ µ

que não constou das equações (7) e (8) é a resistividade do Ωm.

Para completar o modelo da linha de Carson, a impedância própria primitiva do solo calculada como a seguir.

̅ referente ao solo (g=ground) (PIZZALI, 2003)

=         × + × − −3 0 0 10 6198 , 5 2 ln 0772 , 0 f j f j µ µ m / 7974 , 5 ₀ Ω + j µ f PRIMITIVAS DE CARSON

stá representado o efeito do solo. , 2003): (7) (8) em m; apenas. A , designado (PIZZALI, (9) é a resistividade do

impedância própria primitiva do solo

, 2003):

(4)

As equações (7), (8), (9) e (10

em cujo modelo, o efeito do caminho de retorno da corrente elétrica através do solo é corretamente representado.

A linha monofásica de Carson pode ser representada por um retorno pela terra. O solo é considerado de resistividade uniforme infinita, o qual é representado por um condutor fictício

da terra. A corrente de retorno espalha caminho de menor resistência

condutor fictício g é visto como se fosse um condutor único geométrico (GMR) igual a 1 metro (ou 1

localizado a uma distância de

Dkg éuma função da resistividade da terra (

II.3 - LINHA MONOFÁSICA

Quando o objetivo é descrever o comportamento de um condutor com retorno pelo solo, a linha de Carson representa o modelo adequado.

paralelo ao solo (Figura 2), conduzindo uma corrente

g-g’ abaixo da superfície da terra (com resistividade

solo é representado por um condutor fictício.

Figura 2

Para a linha de Carson da Figura 1, tem

Mas, Ig= −Ik , Vaa'=Va −Va' eV

a

g Vag

4

(7), (8), (9) e (10) definem as impedâncias primitivas da linha de Carson, o efeito do caminho de retorno da corrente elétrica através do solo é

de Carson pode ser representada por um condutor único

O solo é considerado de resistividade uniforme ρ e tem extensão representado por um condutor fictício localizado abaixo da superfície A corrente de retorno espalha-se sobre uma grande área buscando sempre o sistência e deslocando-se em direção à fonte. Nesse modelo, o é visto como se fosse um condutor único com um raio médio 1 metro (ou 1 pé, dependendo das unidades utilizadas) a uma distância de Dkg metros (ou Dkg pés) abaixo da linha aérea, sendo

uma função da resistividade da terra (ρ) (PIZZALI, 2003), (KERSTING, 2007)

MONOFÁSICA DE CARSON

Quando o objetivo é descrever o comportamento de um condutor com retorno pelo solo, linha de Carson representa o modelo adequado. Carson considera um condutor

), conduzindo uma corrente Ik com retorno através do circuito

abaixo da superfície da terra (com resistividade uniforme ρ e extensão infinita). solo é representado por um condutor fictício.

Figura 2: Linha monofásica de Carson (KERSTING, 2007)

Para a linha de Carson da Figura 1, tem-se as seguintes relações:

g kg k kk aa z I z I V _'= + k kg g gg gg z I z I V '= + ' ' g g gg V V

V = − , além do queV_a_'=V_g_'. Portanto,

k kg k kk a a V z I z I V − _'= − k kg k gg g g V z I z I V − '=− + Ik Ig kk z gg z a' Ik a'=g' kg z

primitivas da linha de Carson, o efeito do caminho de retorno da corrente elétrica através do solo é

condutor único k com tem extensão abaixo da superfície se sobre uma grande área buscando sempre o Nesse modelo, o om um raio médio dendo das unidades utilizadas) a linha aérea, sendo que

KERSTING, 2007).

Quando o objetivo é descrever o comportamento de um condutor com retorno pelo solo, Carson considera um condutor k único om retorno através do circuito extensão infinita). O

(11) (12)

(13) (14)

(5)

A tensão Vag é: Vag=Va−Vg, a qual é obtida subtraindo (13) e (14

ag V

Já que Vg =0, (15) simplifica para a seguinte

A expressão (16) pode ser reescrita como a seguir:

sendo que zkk representa a impedância própria da linha

representam a correção causada pela presença da terra

A Figura 3 ilustra o circuito equivalente

Figura 3: Circuito equivalente primitivo da linha

Na equação (18) e no circuito da Figura 3

pelo solo é incorporado dentro do que se denomina como da linha. A questão que se coloca agora é "como cal

kk zˆ ?".

II.3.1 - COMO CALCULAR

Serão mostradas duas formas. Inicialmente, para fins didáticos, será abordagem ingênua que utiliza as impedâncias de linhas não transposta prova a sua inaplicabilidade.

impedâncias própria e mútua de Carson, onde se considera o efeito do solo.

II.3.1.1 - ABORDAGEM INGÊNUA Consiste em substituir na expressão (18 dadas em (5) e (6).

5

, a qual é obtida subtraindo (13) e (14):

k kg k gg k kg k kkI z I z I z I z − + − =

) simplifica para a seguinte igualdade:

k kg gg kk a z z z I V =( + −2 )

) pode ser reescrita como a seguir:

k kk a z I V =ˆ kg gg kk kk z z z zˆ = + −2

impedância própria da linha, e os termos z

causada pela presença da terra (PIZZALI, 2003). o circuito equivalente primitivo da linha monofásica de Carson.

: Circuito equivalente primitivo da linha monofásica de Carson (KERSTING, 2007)

e no circuito da Figura 3, o efeito do caminho de retorno da corrente pelo solo é incorporado dentro do que se denomina como impedância própria primitiva

A questão que se coloca agora é "como calcular as impedâncias que compõem

kk

z , zgg E zkg

Serão mostradas duas formas. Inicialmente, para fins didáticos, será apresentada uma que utiliza as impedâncias de linhas não transpostas

a sua inaplicabilidade. Em seguida, serão estabelecidas as expressões das mútua de Carson, onde se considera o efeito do solo.

ABORDAGEM INGÊNUA

em substituir na expressão (18) as impedâncias para linhas não transpostas

Ik kk zˆ g g Vkg V'kg (15) (16) (17) (18) gg z e −2z_kg

da linha monofásica de Carson.

, o efeito do caminho de retorno da corrente impedância própria primitiva cular as impedâncias que compõem

apresentada uma na qual se expressões das

(6)

   + = _k kk GMR f j r zˆ µ0 ln + = _k kk r j zˆ µ

O problema óbvio de utilizar a equação

para calcular a impedância própria primitiva do solo

g

r e GMR_g, que são, respectivamente, a

condutor fictício (solo) (KERSTING, 2007).

condutor fictício (solo), Dkg, também não é conhecida.

básica que foi tratada no trabalho de John Carson, publicado em 1926.

II.3.1.2 - ABORDAGEM BASEADA N

O cálculo de zkk se reduz ao uso das equações de Carson considerando o solo

condutor perfeito. Serão utilizadas

Igualando o termo de correção

Carson - extraída de Kersting (2007)

trigonométricas foram eliminados) para a correção da (PIZZALI, 2003): +       × = − z π − f π j z_gg _kg 7 8 10 8 2 Reescrevendo (21) obtém-se: × − = − z − f j z_gg 2 _kg π210 7 0,0386 8 6 kg gg kk kk z z z zˆ = + −2         −         + +    kg g g k D f j GMR f j r GMR 1 ln 2 1 ln 1 0 0 µ µ         + +       g kg g k GMR D f j r GMR f 2 0 0 ln 1 ln µ µ

O problema óbvio de utilizar a equação para zˆkk mostrada anteriormente (equação (20))

impedância própria primitiva do solo é que são desconhecidos os valores , que são, respectivamente, a resistência e o raio médio geométrico

KERSTING, 2007).Além disso, a distância do condutor , também não é conhecida. Esta é essencialmente a questão básica que foi tratada no trabalho de John Carson, publicado em 1926.

BASEADA NAS IMPEDÂNCIAS DE CARSON se reduz ao uso das equações de Carson considerando o solo

Serão utilizadas as equações (7) e (9).

Igualando o termo de correção da presença do solo em (18) à equação simplificada extraída de Kersting (2007) - (na qual os termos que incluem funções

eliminados) para a correção da impedância própria, obtém

                        × × × + − × − − ρ π f h f j k 3 7 10 6198 , 5 2 ln 2 1 0386 , 0 10 8       −         × + − ₋ − − f j f j f π π π 4 10 ln 10 6198 , 5 2 ln 10 4 10 8 7 7 ₃ 7 parcela referente

apenas ao solo parcela referente ao condutor e o solo parcela que depende das

características do solo que são desconhecidas

(19) (20)

mostrada anteriormente (equação (20)) conhecidos os valores raio médio geométrico do distância do condutor k ao Esta é essencialmente a questão

se reduz ao uso das equações de Carson considerando o solo como um

) à equação simplificada de luem funções impedância própria, obtém-se

      (21)       f h_k ρ (22) parcela referente ao condutor e o solo

(7)

Dessa análise, decorre, por comparação a seguir.

Impedância própria primitiva

− = 210−7f j0,0386 z_gg π zgg f j 7 2₁₀ ₅_,₇₉₇₄ π + = − A impedância ̅ mostrada em (23 A segunda parcela destacada em (22 representado pelo condutor fictício

Impedância mútua primitiva de um condutor

z_kg

onde:

hk: altura do condutor k

ρ: resistividade do solo em

f: frequência da corrente elétrica em hertz.

A impedância ̅ mostrada em (24

O modelo discutido na seção

(18) limita-se à análise da interação entre um condutor elétrico designado pelo índice pelo condutor fictício que é o solo. A seguir será discutido o modelo de uma linha bifásica em que a interação entre condutores

entre estes condutores e o solo representado por um condutor fictício.

II.4 - LINHA BIFÁSICA DE CARSON

Na análise da linha bifásica com caminho de retorno pela terra surge a impedância mútua primitiva entre dois condutores

condutores se estendem entre os pontos

O caminho de retorno da corrente no solo é representado por um condutor fictício qual circula a corrente Ig, que é igual

7

por comparação, que a impedância própria ̅ é definida

̅ do solo (g=ground) em Ω/m:

=         × + × − − − 3 7 7 10 6198 , 5 2 ln 10 4 10 8 0386 π f j π f f 0 7974µ

mostrada em (23) é a mesma expressão definida em (10). segunda parcela destacada em (22) refere-se à interação entre o condutor representado pelo condutor fictício g. Portanto, ̅ é calculada como a seguir.

de um condutor k relativamente ao solo (g):

m / ln 2 0 _Ω             = f h f j k kg ρ µ k em relação ao solo em m; esistividade do solo em Ωm;

frequência da corrente elétrica em hertz.

mostrada em (24) é a mesma expressão definida em (9).

O modelo discutido na seção II.3 representado pelo circuito da Figura 2 e pela equação se à análise da interação entre um condutor elétrico designado pelo índice pelo condutor fictício que é o solo. A seguir será discutido o modelo de uma linha bifásica em que a interação entre condutores k e m é analisada, bem como a interação entre estes condutores e o solo representado por um condutor fictício.

LINHA BIFÁSICA DE CARSON (SHORT, 2004)

Na análise da linha bifásica com caminho de retorno pela terra surge a impedância primitiva entre dois condutores k e m. A Figura 4 mostra o circuito onde dois

se estendem entre os pontos a e a' e b e b', com os extremos a' e b' O caminho de retorno da corrente no solo é representado por um condutor fictício

que é igual a −(Ik + Im) (KERSTING, 2007).

definida como

(23)

se à interação entre o condutor k e o solo é calculada como a seguir.

(24)

entado pelo circuito da Figura 2 e pela equação se à análise da interação entre um condutor elétrico designado pelo índice k e pelo condutor fictício que é o solo. A seguir será discutido o modelo de uma linha a interação

Na análise da linha bifásica com caminho de retorno pela terra surge a impedância mostra o circuito onde dois

b' aterrados.

(8)

Figura

Com um equacionamento análogo à

seguintes expressões para as tensões nos terminais

V V V Mas, Ig = −(Ik + Im), ' ' a a aa V V V = − , ' ' b b bb V V V = − , ' ' g g gg V V V = − , e além disso, Va'=Vg' e Vb'=Vg a V V − g b V V − g g V V − Subtraindo (28) e (30) e adota kk a z V =( −2 Subtraindo (29) e (30) e usando mm b z z V =( −2

As relações anteriores permitem escrever o seguinte

onde: gg kg kk kk z z z zˆ = −2 + kg mg km mk km z z z z zˆ = ˆ = − − + gg mg mm mm z z z zˆ = −2 + a g Vag 8

Figura 4: Linha bifásica de Carson (KERSTING, 2007)

m um equacionamento análogo àquele desenvolvido na seção II.3, obtê para as tensões nos terminais a e b em relação ao solo.

g kg m km k kk aa z I z I z I V '= + + g mg k km m mm bb z I z I z I V _'= + + m mg k kg g gg gg z I z I z I V '= + + ' g . Substituindo, obtêm-se: ) ( ' kk k km m kg k m g z I z I z I I V = + − + ) ( ' mm m km k mg k m g =z I +z I −z I +I m mg k kg m k gg g'=−z (I +I )+z I +z I btraindo (28) e (30) e adotando V_g =0, tem-se:

m gg mg kg km k gg kg z I z z z z I z + ) +( − − + ) ) e usando Vg =0, tem-se: k gg kg mg km m gg mg z I z z z z I z + ) +( − − + )

As relações anteriores permitem escrever o seguinte (PIZZALI, 2003):

m km k kk a z I z I V =ˆ +ˆ m mm k km b z I z I V =ˆ +ˆ gg z + Ik Ig kk z gg z a' Ik+ Im a'=b'=g' kg z b' Im mm z Vbg km z mg z b .3, obtêm-se as (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37)

(9)

As relações (35), (36) e (37) permitem escrever as impedâncias próprias e mútuas da linha em termos de impedâncias próprias e mútuas primitivas que levam em conta o efeito do caminho de retorno da corrente pela terra.

Figura 5: Circuito equivalente primitivo da linha

As impedânciaszkk, zkg e zgg

das expressões (7), (9) e (10), respectivamente. basta trocar k por m nas expressões

traduz a interação entre os condutores pela expressão (8).

III.1 - EQUAÇÕES DE CARSON

Na formulação original de Carson, as impedâncias própria Ω por unidade de comprimento

seguintes equações gerais (CARSON

zself−g =

z_mutual₋

onde:

zself-g: impedância própria do condutor

zmutual-g: impedância mútua entre condutores

GMRk: raio efetivo (ou raio médio geométrico) do condutor

hk: altura do condutor

Dkm: distância entre o condutor

dkm: distância entre os condutores

ω: frequência angular da corrente elétrica em rad/s g

Vkg

9

) permitem escrever as impedâncias próprias e mútuas da linha em termos de impedâncias próprias e mútuas primitivas que levam em conta o efeito do caminho de retorno da corrente pela terra.

Circuito equivalente primitivo da linha bifásica de Carson

gg são definidas como se mostrou na seção II.3.1.2 através

), respectivamente. Para obter as impedâncias expressões (7) e (9), respectivamente. A impedância

traduz a interação entre os condutores k e m considerando o efeito do solo, é definida

CARSON

Na formulação original de Carson, as impedâncias própria (zself-g) e mútua (z

por unidade de comprimento já considerando o efeito do solo, são dadas pelas CARSON, 1926), (VISMOR, 2012): ) ( 4 2 ln 2 P jQ GMR h j r k k k  + +      + ω ω ) ( 4 ln 2 P jQ d D j km km g  + +      = − ω ω

impedância própria do condutor k com retorno pela terra;

impedância mútua entre condutores k e m com retorno comum pela terra; raio efetivo (ou raio médio geométrico) do condutor k;

altura do condutor k em relação ao solo;

distância entre o condutor k e a imagem do condutor m; distância entre os condutores k e m;

angular da corrente elétrica em rad/s (ω=2πf).

kk zˆ mm zˆ g km zˆ V'mg V'kg Vmg

) permitem escrever as impedâncias próprias e mútuas da linha em termos de impedâncias próprias e mútuas primitivas que levam em conta o

.3.1.2 através mm z e zmg mpedância zkm, que lo, é definida zmutual-g) em

são dadas pelas

(38)

(39)

(10)

Nesta formulação, de acordo com Carson como séries infinitas eletrogeométrico (designado por

detalhes a respeito desses parâmetros s levaram às equações modificadas de Carson.

As expressões (38) e (39) são de difícil aplicação prática tendo em vista a complexidade dos cálculos requeridos. Diversos pesquisadores da Engenharia Elétrica, como Wagner e Evans (1933), Edith Clarke (1943) e Anderson (1987) trouxeram excelentes contribuições ao tema, incluindo formulações mais facilmente tratáveis que as originalmente propostas por Carson

Do ponto de vista da prática da Engenharia, as equações modifi

apresentadas a seguir oferecem relativa facilidade nos cálculos sem comprometer os resultados finais.

III.1.1 - EQUAÇÕES MODIFICADAS DE CARSON A impedância própria (zˆkk)

determinada pela expressão (40

10 ˆ 2 + = _k kk r z π

A impedância mútua (zˆkm) entre condutores

determinada pela expressão (41)

10 ˆ ₌ 2 −7

km

z π

Em (40) e (41), a unidade de

essa distância é a distância real (no sentido geométrico geral) entre os condutores (ou seja, no caso geral, Dkm de (41

distância horizontal).

10

de acordo com Vismor (2012), os termos P e Q são definidas por Carson como séries infinitas expressas em termos de dois parâmetros, sendo um (designado por κ) e outro geomético (designado por θ). Neste texto, os desses parâmetros são omitidos, bem como as simplificações que levaram às equações modificadas de Carson.

As expressões (38) e (39) são de difícil aplicação prática tendo em vista a complexidade dos cálculos requeridos. Diversos pesquisadores da Engenharia Elétrica, como Wagner 33), Edith Clarke (1943) e Anderson (1987) trouxeram excelentes contribuições ao tema, incluindo formulações mais facilmente tratáveis que as originalmente propostas por Carson (VISMOR, 2012).

Do ponto de vista da prática da Engenharia, as equações modificadas de Carson apresentadas a seguir oferecem relativa facilidade nos cálculos sem comprometer os

EQUAÇÕES MODIFICADAS DE CARSON

) de um condutor (ou cabo) com retorno pela terra é determinada pela expressão (40) (KERSTING, 2007):

m / 4905 , 6 ln 0 7 Ω           +           + − k f GMR f j f ρ µ

) entre condutores k e m com retorno comum pela terra é determinada pela expressão (41) (KERSTING, 2007):

m / 4905 , 6 ln 0 7 _Ω           +           + ij f D f j f ρ µ

), a unidade de ρ é Ωm, f é hertz; GMRk e Dkm em metros, de modo que

essa distância é a distância real (no sentido geométrico geral) entre os condutores de (41) difere de dkm que aparece na equação (8

são definidas por expressas em termos de dois parâmetros, sendo um θ). Neste texto, os como as simplificações que

As expressões (38) e (39) são de difícil aplicação prática tendo em vista a complexidade dos cálculos requeridos. Diversos pesquisadores da Engenharia Elétrica, como Wagner 33), Edith Clarke (1943) e Anderson (1987) trouxeram excelentes contribuições ao tema, incluindo formulações mais facilmente tratáveis que as

cadas de Carson apresentadas a seguir oferecem relativa facilidade nos cálculos sem comprometer os

de um condutor (ou cabo) com retorno pela terra é

(40)

com retorno comum pela terra é

(41)

em metros, de modo que essa distância é a distância real (no sentido geométrico geral) entre os condutores k e m equação (8) - dkm é a

(11)

É importante ressaltar que as expressões

circuitos equivalentes primitivos de forma direta considerando o caminho de retorno da corrente pelo solo sem a necessidade de

nas seções II.3 e II.4, onde zˆkk

(35), (36) e (37), a partir de zkk

IV.1 - APLICAÇÕES

Seja o trecho de uma linha de distribuição com a configuração ilustrada na Figura 6.

Figura 6: Disposição dos condutores em uma estrutura

Os dados dos condutores utilizados são apresentados na Tabela 1.

Tabela 1: Dados dos condutores das fases e do neutro

Os dados dos espaçamentos e das alturas dos condutores em unidades do SI são apresentados na Tabela 2.

Tabela 2: Dados dos espaçamentos e alturas dos condutores (fases e

Para completar os dados, suponha que a linha esteja operando na frequência a resistividade do solo (suposto uniforme) é

a

FASES 336,400 26/7 ACSR

NEUTRO 4/0 6/1 ACSR

CONDUTOR TIPO

Dados dos condutores das fases e do neutro

FASE NEUTRO

CONDUTOR CONDUTOR

300 ABCN 336,400 26/7 4/0 6/1 500

Dados dos espaçamentos e alturas dos condutores (m)

ID ACSR ACSR ID

CONFIGURAÇÃO PHASING SPACING

11

É importante ressaltar que as expressões (40) e (41) fornecem as impedâncias circuitos equivalentes primitivos de forma direta considerando o caminho de retorno da

sem a necessidade de passar pela etapa intermediária caracterizada

kk e zˆkm eram obtidas com a aplicação das equações (18), kk, zmm, zkg, zmg e zgg.

o trecho de uma linha de distribuição com a configuração ilustrada na Figura 6.

em uma estrutura da forma convencional (ID 500) e unidades de medida em pés

Os dados dos condutores utilizados são apresentados na Tabela 1.

condutores das fases e do neutro (ampacidade a 50 o_{C) (ALVES}b_{, 2014), (IEEE, 1991)}

Os dados dos espaçamentos e das alturas dos condutores em unidades do SI são

espaçamentos e alturas dos condutores (fases e neutro) (ALVESb_{, 2014)}

Para completar os dados, suponha que a linha esteja operando na frequência f a resistividade do solo (suposto uniforme) é ρ=100 Ωm (IEEE, 2014).

4.0' 2.5' 4.5' 3.0' b c n 24.0'

Resistência Resistência Diâmetro GMR GMR

(Ω/milha) (Ω/km) (in) (ft) (m)

0,3059 0,1901 0,7210 0,02441 0,00744

0,5920 0,3679 0,5630 0,00814 0,00248

Dados dos condutores das fases e do neutro

dab dac dbc dan dbn dcn ha hb

(m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m)

500 0,7620 2,1336 1,3716 1,2192 0,4572 0,9144 8,5344 8,5344

Dados dos espaçamentos e alturas dos condutores (m)

ID

SPACING

DISTÂNCIAS HORIZONTAIS ALTURAS EM RELAÇÃO AO SOLO

ENTRE FASES ENTRE FASES E NEUTRO FASES

DISTÂNCIAS HORIZONTAIS

(40) e (41) fornecem as impedâncias dos circuitos equivalentes primitivos de forma direta considerando o caminho de retorno da tapa intermediária caracterizada eram obtidas com a aplicação das equações (18),

o trecho de uma linha de distribuição com a configuração ilustrada na Figura 6.

e unidades de medida em pés (IEEE, 2014)

IEEE, 1991)

Os dados dos espaçamentos e das alturas dos condutores em unidades do SI são

Para completar os dados, suponha que a linha esteja operando na frequência f = 60Hz e

Ampacidade (A) 530 340 NEUTRO hb hc hn (m) (m) (m) 8,5344 8,5344 7,3152

ALTURAS EM RELAÇÃO AO SOLO FASES

(12)

De posse dos dados do sistema trifásico a 4 fios com conexão estrela aterrada determine o seguinte:

(a) matriz impedância primitiva (b) matriz impedância primitiva (c) matriz impedância de fase [

(d) matriz impedância de sequência de fase [

IV.1.1 - MATRIZ IMPEDÂNCIA PRIMITIVA [

Para obter essa matriz é necessário utilizar as expressões primitivas dadas na seção II.2.

A estrutura da matriz é como mostra a Figura 7.

Figura

[

Zabcng

Como a estrutura da matriz menos trabalhosos uma vez que

• Elementos da diagonal principal

2 ln 0       + = k k k kk GMR h f j r z µ 8344 , 5 10 901 , 1 2 ln 4 0 + × =     + = − _j z GMR h f j r z aa a a a aa µ

Como os condutores das fases possuem os mesmos dados, basta repetir o resultado obtido para z

2 ln 0      + = k k k kk GMR h f j r z µ 5465 , 6 10 6790 , 3 2 ln 4 0 + × =    + = − _j z GMR h f j r z nn n n n nn µ 7974 , 5 10 7 2 + = − f j z_gg π µ 12

do sistema trifásico a 4 fios com conexão estrela aterrada

(a) matriz impedância primitiva [Zabcng] de ordem 5×5;

matriz impedância primitiva equivalente [Zabcn] de ordem 4×4;

(c) matriz impedância de fase [Zabc] de ordem 3×3;

(d) matriz impedância de sequência de fase [Z120] de ordem 3×3.

MATRIZ IMPEDÂNCIA PRIMITIVA [Zabcng] DE ORDEM 5×5

Para obter essa matriz é necessário utilizar as expressões (7) a (10) de impedâncias dadas na seção II.2.

matriz é como mostra a Figura 7.

Figura 7: Estrutura da matriz impedância primitiva

]

                = gg gn gc gb ga ng nn nc nb na cg cn cc cb ca bg bn bc bb ba ag an ac ab aa abcng z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z

da matriz é simétrica em posição e valor, os cálculos se uma vez que zkm=zmk, m≠k.

diagonal principal (equações (7) e (10)):

m / Ω     para as fases a, b e c. m / 10 8344 00744 , 0 5344 , 8 2 ln 10 5398 , 7 10 1901 , 0 4 5 3 Ω × =       × × × + × =     − − − _j

Como os condutores das fases possuem os mesmos dados, basta repetir o

aa z para z_bbe z_cc. m / Ω    para o neutro n. m / 10 5465 00248 , 0 3152 , 7 2 ln 10 5398 , 7 10 3679 , 0 4 5 3 Ω × =       × × × + × =    − − − j m / 0f Ω

µ para o condutor fictício (solo).

do sistema trifásico a 4 fios com conexão estrela aterrada,

de impedâncias

é simétrica em posição e valor, os cálculos se revelam

(13)

3711 , 4 10 5922 , 0 _× 4₊ = − j z_gg

• Elementos de fora da diagonal principal de impedâncias entre fases e entre fases e neutro (equação (8)): ( ( ln 2 2 0 _    + + = k km k km km h d h d f j z µ m / 10 3449 , 2 ( ( ln 4 2 2 0 Ω × =     − + + + = − j z h d h d f j z ab a ab a ab ab µ m / 10 5737 , 1 ( ( ln 4 2 2 0 Ω × =     − + + + = − j z h d h d f j z ac a ac a ac ac µ m / 10 6748 , 1 ( ( ln 4 2 2 0 Ω × =     + + = − j z h d h d f j z an a an a an an µ m / 10 9034 , 1 ( ( ln 4 2 2 0 Ω × =     − + + + = − j z h d h d f j z bc b bc b bc bc µ m / 10 8846 , 1 ( ( ln 4 2 2 0 Ω × =     − + + + = − j z h d h d f j z bn b bn b bn bn µ m / 10 7669 , 1 ( ( ln 4 2 2 0 Ω × =     − + + + = − j z h d h d f j z cn c cn c cn cn µ

• Elementos de fora da diagonal principal de impedâncias entre fases e terra e entre neutro e terra (equação (9)):

ln 2 0 _Ω             = f h f j zkg k ρ µ neutro n e terra (g). 13 m / 10 3711_× −4 _Ω

Elementos de fora da diagonal principal de impedâncias entre fases e entre fases neutro (equação (8)): m / ) ) 2 2 Ω     − + m m h h

para mútuas entre fases a, b e c e neutro

m 5344 , 8 5344 , 8 ( 762 , 0 5344 , 8 5344 , 8 ( 762 , 0 ln 10 5398 , 7 ) ) 2 2 5 2 2     − + + + × × =     − + ₋ j h h b b m 5344 , 8 5344 , 8 ( 1336 , 2 5344 , 8 5344 , 8 ( 1336 , 2 ln 10 5398 , 7 ) ) 2 2 5 2 2     − + + + × × =     − + ₋ j h h c c m 3152 , 7 5344 , 8 ( 2192 , 1 3152 , 7 5344 , 8 ( 2192 , 1 ln 10 5398 , 7 ) ) 2 2 5 2 2     − + + + × × =     − + ₋ j h h n n m 5344 , 8 5344 , 8 ( 3716 , 1 5344 , 8 5344 , 8 ( 3716 , 1 ln 10 5398 , 7 ) ) 2 2 5 2 2     − + + + × × =     − + ₋ j h h c c m 3152 , 7 5344 , 8 ( 4572 , 0 3152 , 7 5344 , 8 ( 4572 , 0 ln 10 5398 , 7 ) ) 2 2 5 2 2     − + + + × × =     − + ₋ j h h n n m 3152 , 7 5344 , 8 ( 9144 , 0 3152 , 7 5344 , 8 ( 9144 , 0 ln 10 5398 , 7 ) ) 2 2 5 2 2     − + + + × × =     − + ₋ j h h n n

Elementos de fora da diagonal principal de impedâncias entre fases e terra e entre neutro e terra (equação (9)):

m /

Ω para mútuas entre fases a, b e c e terra (

Elementos de fora da diagonal principal de impedâncias entre fases e entre fases

e neutro n. ) 5344 ) 5344 2 2 =     ) 5344 ) 5344 2 2 =     ) 3152 ) 3152 2 2 =     ) 5344 ) 5344 2 2 =     ) 3152 ) 3152 2 2 =     ) 3152 ) 3152 2 2 =    

Elementos de fora da diagonal principal de impedâncias entre fases e terra e

(14)

m / 10 7120 , 0 ln 2 4 0 Ω × = =             = − j z f h f j z ag a ag ρ µ

Como os condutores das fases resultado obtido para z

m / 10 6539 , 0 ln 2 4 0 Ω × = =             = − j z f h f j z ng n ng ρ µ

A matriz impedância primitiva [

[

]

        = gn gc gb ga nn nc nb na cn cc cb ca bn bc bb ba an ac ab aa abcng z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z Z

[

]

j j j j j j j j j Z_abcng         + + = 07120 , 0 07120 , 0 18846 , 0 16748 , 0 19034 , 0 15737 , 0 19010 , 0 23449 , 0 23449 , 0 58344 , 0 19010 , 0

Figura 8: Matriz impedância primitiva

Vide planilha no arquivo:

IV.1.2 - MATRIZ IMPEDÂNCIA PRIMITIVA EQUIVALENTE [ ORDEM 4×4

Serão utilizadas as equações modificadas de Carson (40) e (41). matriz é como mostra a Figura 7.

r jx a 0,19010 0,58344 b 0,00000 0,23449 [Zabcng] = c 0,00000 0,15737 (Ω/km) n 0,00000 0,16748 g 0,00000 0,07120 a 14 m 60 100 5344 , 8 ln 10 7699 , 3 5 ₌           × × − j

Como os condutores das fases encontram-se à mesma altura, basta repetir o

ag z para z_bge z_cg. m 60 100 3152 , 7 ln 10 7699 , 3 5 ₌           × × − j

A matriz impedância primitiva [Zabcng] é dada a seguir em Ω/km:

→         gg ng cg bg ag z z z z z j j j j j j j j j j j j j j j j + + + 43711 , 0 05922 , 0 06539 , 0 07120 , 0 07120 06539 , 0 65465 , 0 36790 , 0 17669 , 0 18846 07120 , 0 17669 , 0 58344 , 0 19010 , 0 19034 07120 , 0 18846 , 0 19034 , 0 58344 , 0 07120 , 0 16748 , 0 15737 , 0 23449

Matriz impedância primitiva obtida da planilha Excel (ALVESb_{, 2014)}

Vide planilha no arquivo: impedancias_linhas_sd_feeders_D.xlsx MATRIZ IMPEDÂNCIA PRIMITIVA EQUIVALENTE [Zabcn]

Serão utilizadas as equações modificadas de Carson (40) e (41). A estrutura da matriz é como mostra a Figura 7.

r jx r jx r jx 0,00000 0,23449 0,00000 0,15737 0,00000 0,16748 0,19010 0,58344 0,00000 0,19034 0,00000 0,18846 0,00000 0,19034 0,19010 0,58344 0,00000 0,17669 0,00000 0,18846 0,00000 0,17669 0,36790 0,65465 0,00000 0,07120 0,00000 0,07120 0,00000 0,06539

MATRIZ IMPEDÂNCIA PRIMITIVA

b c n , basta repetir o km Ω         43711 06539 07120 07120 07120 ncias_linhas_sd_feeders_D.xlsx ] DE A estrutura da r jx 0,00000 0,07120 0,00000 0,07120 0,00000 0,07120 0,00000 0,06539 0,05922 0,43711 5x5 g

(15)

Figura 9: Estrutura da matriz impedância primitiva

[

Z

• Elementos da diagonal principal (equação

10 ˆ 2 7 ₀      + + = _k − kk r f j f z π µ 7815 , 8 10 4932 , 2 ˆ 92176 , 5 10 1901 , 0 ln 10 ˆ 4 3 0 7 2 + × = + × =      + + = − − − j z f j f r z aa a aa π µ

Como os condutores das fases para zˆbbe zˆcco que foi obtido

6098 , 9 10 2712 , 4 ˆ 92176 , 5 10 3679 , 0 ln 10 ˆ 4 3 0 7 2 + × = + × =      + + = − − − j z f j f r z nn n nn π µ

• Elementos de fora da diagonal principal de fases e neutro (equação (41)):

ln 10 ˆ 2 7 ₀           + = − km D f j f z π µ fases e neutro. , 5 10 592176 , 0 ˆ 5398 , 7 10 92176 , 5 ln 10 ˆ 4 5 0 7 2 + × = + × =           + = − − − j z j D f j f z ab ab π µ 15

Estrutura da matriz impedância primitiva equivalente

]

            = nn nc nb na cn cc cb ca bn bc bb ba an ac ab aa abcn z z z z z z z z z z z z z z z z Z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

Elementos da diagonal principal (equação (40)):

m / 4905 , 6 ln Ω           +           k f GMR ρ

para as fases a, b e neutro

m / 10 7815 4905 , 6 00744 , 0 ln 10 5398 , 7 10 92176 4905 , 6 ln 4 60 100 5 5 Ω ×         +         × × + × =      +           − − − _j GMR_a f ρ

Como os condutores das fases possuem os mesmos dados, basta repetir o que foi obtido para zˆaa.

m / 10 6098 4905 , 6 00248 , 0 ln 10 5398 , 7 10 92176 4905 , 6 ln 4 60 100 5 5 Ω ×         +         × × + × =      +           − − − j GMR_n f ρ

Elementos de fora da diagonal principal de impedâncias entre fases e entre fases e neutro (equação (41)):

m / 4905 , 6 Ω      +      ij f D ρ

para mútuas entre fases e entre

m / 10 2912 , 4905 , 6 762 , 0 ln 10 5398 4905 , 6 4 60 100 5 Ω ×         +         × × =      +      − − D_ij f ρ neutro n

possuem os mesmos dados, basta repetir

impedâncias entre fases e entre

(16)

Uma vez que os resultados são os mesmos se forem equações (40) e (41) ou

primitiva equivalente [Z

Figura 9: Matriz impedância primitiva equivalente obtida da planilha Excel

Vide planilha no arquivo: impeda

IV.1.3 - MATRIZ IMPEDÂNCIA DE FASE [ Para obter esta matriz, basta

equivalente obtida na seção anterior. o resultado é o seguinte:

0,2843818 + j0,6695258

[Zabc] = 0,0969969 + j0,3115056

0,0954713 + j0,2394741

IV.1.4 - MATRIZ IMPEDÂNCIA DE SEQUÊNCIA DE FASE [

Para obter esta matriz, basta aplicar a transformação de componentes simétricas sobre a matriz de impedância de fase obtida na seção anterior.

(ALVESa_{, 2014), o resultado é o seguinte:}

0,1901428 + j 0,3893037 [Z120] =

Para obter [Z120] em Ω/milha basta multiplicar a matriz resultante anterior por 1,609347:

0,3060057 + j 0,6265247 [Z120] =

Esses resultados conferem com aqueles apresentados

Vide arquivo: IEEE 4 Node Test Feeder Revised Sept

r jx a 0,2493 0,8782 [Zabcn] = b 0,0592 0,529202 (Ω/km) c 0,0592 0,452080 n 0,0592 0,468005 a 16

e os resultados são os mesmos se forem obtidos por meio das ou através das relações (35) a (37), a matriz impedância

Zabcn] é dada a seguir em Ω/km.

Figura 9: Matriz impedância primitiva equivalente obtida da planilha Excel (ALVESb_{, 2014)}

impedancias_linhas_sd_feeders_D.xlsx MATRIZ IMPEDÂNCIA DE FASE [Zabc] DE ORDEM 3×3

basta aplicar a Redução de Kron sobre a matriz primitiva equivalente obtida na seção anterior. Após aplicar o aplicativo Scilab (ALVE

0,6695258 0,0969969 + j0,3115056 0,0954713 + j0,2394741 0,3115056 0,2899824 + j0,6511023 0,0982611 + j0,2632861 0,2394741 0,0982611 + j0,2632861 0,2867935 + j0,6615489 MATRIZ IMPEDÂNCIA DE SEQUÊNCIA DE FASE [Z120] DE ORDEM

Para obter esta matriz, basta aplicar a transformação de componentes simétricas sobre a matriz de impedância de fase obtida na seção anterior. Após aplicar o aplicativo

, 2014), o resultado é o seguinte:

0,3893037

0,1901428 + j 0,3893037

0,4808721 + j1,2035695

Ω/milha basta multiplicar a matriz resultante anterior por 1,609347:

0,3060057 + j 0,6265247

0,77389007 + j1,93696096

Esses resultados conferem com aqueles apresentados em IEEE (2014).

IEEE 4 Node Test Feeder Revised Sept. 19, 2006.docx

jx r jx r jx r 0,8782 0,0592 0,5292 0,0592 0,4521 0,0592 0,4680 0,529202 0,2493 0,8782 0,0592 0,4851 0,0592 0,4890 0,452080 0,0592 0,4851 0,2493 0,8782 0,0592 0,4772 0,468005 0,0592 0,4890 0,0592 0,4772 0,4271 0,9610 c n

MATRIZ Z - NEUTRO ISOLADO Ω/km

b

por meio das (35) a (37), a matriz impedância

a Redução de Kron sobre a matriz primitiva (ALVESa, 2014),

0,2394741 0,2632861 Ω/km 0,6615489 DE ORDEM 3×3 Para obter esta matriz, basta aplicar a transformação de componentes simétricas sobre a

Após aplicar o aplicativo Scilab

Ω/km

/milha basta multiplicar a matriz resultante anterior por 1,609347:

Ω/milha 93696096 docx jx 0,4680 0,4890 0,4772 0,9610 4x4

(17)

V.1 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

IEEE. The Institute of Electrical and Electronics Engineers.

ewh.ieee.org/soc/pes/dsacom/testfeeders

CARSON, John R. Wave Propagation in Overhead Wires with Ground Return Journal, volume 5, pages 539-554, 1926.

IEEE. IEEE Distribution Planning Working Group Report Transactions on Power Systems, Vol.

PIZZALI, L. F. Ochoa. Cálculo de Fluxo de Potência em Redes de Distribuição com Modelagem a Quatro Fios. Faculdade de Engenharia

Engenharia Elétrica. Dissertação de Mestrado. VISMOR, Timothy. Transmission Line Model

https://vismor.com/download/

KERSTING, William H. Distribution System Modeling and Analysis 2007.

STEVENSON, W. D. Elements of Power 066584-2. 1982.

CASTRO JR., Carlos A. de. Sistemas de Energia Elétrica I. Notas de aulas d Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação da UNICAMP.

MONTICELLI, A.; GARCIA, A. Intr UNICAMP. 2000. ISBN: 85-268-0487

SHORT, T. A. Electric Power Distribution Handbook ALVESa_{, A. C. Baleeiro. Aplicativo desenvolvido em}

ALVESb_{, A. C. Baleeiro. Planilha desenvolvida em Excel para cálculo de matrizes. 2014.}

17

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

The Institute of Electrical and Electronics Engineers. IEEE 4 Node Test Feeder. Disponível em

testfeeders/. Acesso em setembro de 2014.

Wave Propagation in Overhead Wires with Ground Return, Bell System Technical 1926.

Planning Working Group Report. Radial Distribution Test Feeders Transactions on Power Systems, Vol. 6, No. 3, August 1991.

de Fluxo de Potência em Redes de Distribuição com Modelagem a Quatro Fios. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, UNESP. Programa de Pós-Graduação em

Dissertação de Mestrado. Orientador: Antônio Padilha Feltrin. Maio de 2003. Transmission Line Model. February 23, 2012. Report. Disponível em

Distribution System Modeling and Analysis. New York: CRC Press. 2

Elements of Power System Analysis. McGraw - Hill. Edition 4.

CASTRO JR., Carlos A. de. Sistemas de Energia Elétrica I. Notas de aulas da disciplina ET720. Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação da UNICAMP. 2000.

. Introdução a Sistemas de Energia Elétrica. Campinas: Editora da 0487-1.

Electric Power Distribution Handbook. CRC PRESS. 2004.

Aplicativo desenvolvido em Scilab 5.0 para cálculo de matrizes. 2014. , A. C. Baleeiro. Planilha desenvolvida em Excel para cálculo de matrizes. 2014.

Disponível em

Bell System Technical

Radial Distribution Test Feeders. IEEE

de Fluxo de Potência em Redes de Distribuição com Modelagem a Graduação em Orientador: Antônio Padilha Feltrin. Maio de 2003. 120p.

Disponível em

. New York: CRC Press. 2nd_edition.

Edition 4. ISBN:

0-07-disciplina ET720.

Campinas: Editora da