MECÂNICA DOS FLUIDOS 2 ME262

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS (CTG)

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA (DEMEC)

MECÂNICA DOS FLUIDOS 2 – ME262

Prof. ALEX MAURÍCIO ARAÚJO

(Capítulo 3)

(2)

Capítulo 3 - Estática dos Fluidos

1 – Expansão de função e série de Taylor.

2 – Lei de Pascal. Equação fundamental vetorial da Estática dos Fluidos. Plano isobárico. Superfícies de nível. Significado físico/mecânico.

3 – Formas diferenciais da equação da Estática dos Fluidos. Lei de Stewin.

4 – Propriedade dos líquidos: coesão, adesão e tensão superficial. Massa específica dos líquidos comuns.

5 – Diagrama de pressões em reservatório estratificado. Estratificação térmica.

6 – Exemplo da lei de Pascal. Sistema de vasos comunicantes e conservação da energia mecânica. Paradoxo hidrostático.

7 – Técnicas de conversão de unidades. Níveis de referências das pressões. Pressões absolutas e manométricas.

8 – Manometria. Piezômetro, tubo em U e manômetros diferenciais. Manômetros e vacuômetros

metálicos.

9 – Sistemas hidráulicos: elevador, prensas, trem de aterrisagem e freios. Golpe de aríete. Cavitação.

10 – Forças hidrostáticas sobre superfícies planas:módulo, sentido, direção e ponto de aplicação. Propriedades (CG e I ) de áreas e volumes.

11 – Força hidrostática em superfície curva submersa. Exemplos.

12 – Pressões em tubos e reservatórios. Dimensionamento de parede e material.

13 – Empuxos em corpos. Principio de Arquimedes. Estabilidade de flutuantes. Metacentro. Altura metacêntrica.

14 – Fluidos em movimento relativo. Efeitos de acelerações linear (horizontal e vertical) e angular. Aplicações em engenharia.

(3)

Expansão de função e série de Taylor

Aproximação de Φ (derivada) Valores reais de Φ E P D Φ=Φ(x) α Δx ΦD ΦP P P P P P (< 0 !)

(4)

Equação Fundamental da Estática dos Fluidos

dy

Equilíbrio de forças de pressão em um elemento fluido

α α

(90°- α)

Obs: Esta Lei também se aplica aos escoamentos não-viscosos !!!

dx * *

“Lei de Pascal”

(Isotropia de pressões no ponto!) α * * * * * * 3ª ordem P

(5)

(x,y,z) dz dx dy p p p x y z Direção x: Direção y: Direção z:

Forma vetorial geral da equação da Estática dos Fluidos

Plano isobárico Superfície de nível p = p(x) =cte p = p(y) =cte P Expansão em série de Taylor da pressão (p) em P

(6)

Significado físico/mecânico da equação vetorial geral da Estática dos Fluidos

“ Em um fluido em repouso a soma das forças de superfície (F_S) e de massa (F_M) por unidade de volume de fluido é zero.”

(7)

Formas da Equação da Estática dos Fluidos

(vetorial) Formas diferenciais p = p(x) = cte p = p(y) = cte Planos perpendiculares à g são isobáricos! z x y o z Δz z2 z1 1 2 Δh h Δh = h Lei de Stewin

“A cada altura em um fluido em repouso, corresponde um valor de pressão.”

(8)

Propriedades dos líquidos

(9)

Diagrama de pressões (reservatório estratificado)

h1 h2 h3 α θ β tan β= γ₂ tan α = γ₁ tan θ = γ₃ tan θ = γ₃h₃/ h₃

(10)

Lei de Pascal

Vasos comunicantes

Energia de velocidade (cinética)

(11)

Paradoxo Hidrostático (o empuxo E no fundo independe do peso do líquido)

E = pA P1 = γV1 E = pA P3 = γV3 E = pA P2 = γV2 Como V2 > V1 > V3  P2 > P1 > P3

(12)

Técnica de conversão de unidades

Velocidade:

(13)

Níveis de referência das pressões

pman pabs

patm padrão

A : pman > 0

de um fluido em uma máquina, sistema ou processo.

p_abs = p_atm + │p_man│

A B absoluto absoluto B : pman < 0 (vácuo relativo) Barômetro

(14)

Barômetro de Hg

(15)

Referências de medidas de Pressão (p)

A patm = 101,3 kPa (padrão EUA ao nível do mar) se patm local = 90 kPa

Indica:

- se o local for ao nível do mar  Tempestade!

- altitude ≈ 1000m condições atmosféricas normais!

Há dois referenciais de pressões :

- Vácuo (o absoluto) – Gases - patm local – Líquidos e Gases

vácuo absoluto pabs (kPa) 120 90 60 0 pman = 30 kPa

pvac = 30 kPa ou pman = -30kPa

pvac = 90 kPa ou pman = -90kPa

(16)

Dados da atmosfera – Padrão EUA (nível do mar)

288K

(17)

Piezômetros

Manômetros diferenciais Tubos em U

Limitações de uso:

• serve para baixas pressões • não serve para gases (escapam)

• não serve para p_man< 0, haveria entrada de ar

Manometria

(18)

A Fig. 2-3 mostra um manômetro simples de tubo em U para medida da diferença de pressão. A diferença nas pressões pA e pB pode ser determinada da forma abaixo. A pressão ao ponto a é

dada por:

pa = h1γH2O + (h3 - h1) γar + pA ou

pa = h2γH2O + (h3 – h2) γar + pB

Subtraindo,

pA – pB = (h2 – h1) (γH2O – γar)

O peso específico do ar é pequeno, comparado à água, significando que a diferença de pressão é aproximadamente igual à diferença nas alturas de coluna vezes o peso específico da água:

pA – pB = (h2 – h1) γH2O

Exemplo de cálculo

(19)

Os manômetros podem ter formas, orientações e usar fluidos diferentes, dependendo da aplicação. Por exemplo, a fim de obter melhoria na precisão, em relação ao manômetro vertical, pode-se usar um manômetro inclinado, como o da figura 2-4, ou um manômetro de dois fluidos, como o da figura 2-5, poderia ser usado para chegar à precisão desejada.

Figura 2-4 Figura 2-5

O método de relacionamento de diferenças de pressão a deflexões de coluna do fluido para esses dois exemplos é basicamente o mesmo que o descrito para o manômetro de tubo em U.

(20)

(21)

O Elemento Elástico ao receber a pressão a ser medida, faz com que este se desloque, acionando um mecanismo com um ponteiro para indicação da pressão a ser medida.

O Tipo Helicoidal é mais usado para para medição de pressões maiores. O Tipo Espiral, para pressões menores.

(22)

Vacuômetro digital com escala de 0 a 760 mmHg. Utilizado para monitoramento do vácuo gerado durante o funcionamento de sistemas .

Vacuômetros

Permite efetuar ensaios para verificar o estado de funcionamento de válvulas, carburador e ignição.

(23)

Sistemas Hidráulicos

Prensas

F

1 → Força aplicada

F

2 → Força obtida

Relação de multiplicação de forças

(24)

(25)

Freios

(26)

Golpe de Aríete

Ciclos de carga: fadiga é um fenômeno que afeta os MATERIAIS que ficam submetidos a vários ciclos de carga (fratura).

Tubulações Industriais com

(27)

(28)

(29)

Quando a pressão local cai abaixo da pressão de vapor do líquido (pressão parcial das moléculas

gasosas expelidas naquela

temperatura), ocorre sua

vaporização, causando o

aparecimento de bolhas de gás ou cavidades.

A cavitação é acompanhada de: erosão, corrosão, perdas de eficiência e vibração.

(30)

Força Hidrostática sobre uma superfície plana submersa (exemplos)

Comporta de parede

Comportas de fundo

(31)

Força Hidrostática (Empuxo) sobre uma superfície plana submersa

= ∫ dF (h)

FR y' H h y O p (H) p (H) dA = dF (H) p (h) A θ

(32)

Dedução da força de pressão (empuxo) em áreas planas

Primeiro momento de A em relação ao eixo x ( ).

yc = coordenadas docentróide de A.

pc = neste caso, pressão absoluta no líquido no centróide da área A.

y' F_R H h y O p (H) p(H) dA = dF (H) p (h) A

p_atm Superfície Livre (SL)

θ

p_abs = p_atm + │p_man│

(33)

Casos :

A) Quando p_atm atua na SL e no lado externo de A, seus efeitos se cancelam (p0 = patm = 0)  p_c = p_{c man}

B) Se p0 ≠ patm, então p0 deve ser medida como pman para descontar a patm 

p_C = p_{0 man}+ p_{C man}

Conclusão: p0, que é a pressão atuante na SL, deve ser uma pressão manométrica em qualquer caso. Logo, p_C deverá ser sempre uma (A) ou, uma soma (B) de pressões manométricas!

MÓDULO: pressão no líquido no centróide da área x área. A pressão na SL do líquido deverá

ser tomada como pman.

Portanto, tem-se de resolver o problema do cálculo do centróide da área plana.

SENTIDO: contrário ao do vetor área.

DIREÇÃO: paralela à do vetor área.

(34)

Ponto de aplicação do empuxo em área plana (coordenadas do centro de pressão)

• Reconhecer que no caso geral as coordenadas do CP (x’ , y’ ) estão abaixo do CG (C) !

• O ponto de aplicação da FR (CP= r’ ) deve ser tal que o seu momento em relação a qualquer eixo seja igual ao momento da força distribuída em relação ao mesmo eixo.

(35)

Para o eixo x: fazendo p0 = 0, FR = ρg sinθ yc A, p = ρgh e h = y sinθ :

mas,

O ponto de aplicação da FR (CP) está sempre abaixo do

centróide da área.

Produto de inércia de A em relação ao par de eixos que passam pelo seu centróide.

Momento de inércia de A em relação ao eixo x.

Assim,

(36)

Detalhes sobre o ponto de aplicação do empuxo (CP)

NA y z θ hc yc y' ER CG CP CG A . Mas,

Logo: Observe que o carregamento das “p” é variável com y!_{Porém é invariável segundo o eixo OX ou paralelos, pois, as} “p” são as mesmas! (nesse eixo!)

Para áreas simétricas em relação à

e x’ = x_c, logo o CP fica abaixo do CG e sobre o eixo .

z

x y

(37)

Síntese de empuxo hidrostático e ponto de aplicação em superfície plana submersa

1)

2)

3)

Momento de inércia da área em relação ao eixo x que passa pelo seu C.G. (xc,yc)

Produto de inércia da área em relação ao par de eixos xy que passa pelo C.G. (C) patm NA y y x z yc xc x' y' A θ o C (V-shaped Hull)

(38)

Propriedades (CG e I ) de áreas e volumes

(39)

Empuxo hidrostático em superfície curva submersa

Para se somar uma série de vetores atuantes em várias direções se SOMA

COMPONENTES dos VETORES em

relação à um sistema de coordenadas conveniente.

Mesmo processo de cálculo do empuxo em SUPERFÍCIES PLANAS!

Peso na projeção horizontal da área.

• O empuxo é calculado em termos de seus componentes 

• Na maior parte dos casos práticos, são os componentes paralelos e perpendiculares à SL que interessam 

(40)

Componente vertical do empuxo em superfícies curvas

A componente vertical do empuxo para superfície curva é igual ao peso real (água em cima) ou

imaginário (água embaixo) do líquido ocupando o volume entre a superfície curva e a superfície livre da água. h h NA p Peso -Virtual - Real z │dA_z│

(41)

EXEMPLO 1: Calcular o vetor empuxo (

E

) sobre a comporta de 4m de largura e raio

2m.

R = 2m EH EV A 4 2 EH EV R/2 E

(Ponto de aplicação / sentido / direção) (módulo)

(42)

EXEMPLO 2: Cálculo de áreas por integração

y² = 2x Ax Ay dx dy 2 2 x y

(43)

Pressões em tubos e reservatórios (vasos de pressão)

Hipótese de cálculo: a altura de pressão é grande em relação ao diâmetro (D).

p D

Portanto, pode-se considerar uma “isotropia de pressões” atuantes na estrutura.

Dimensionamento de parede e material

E

e

ds

r L

(44)

Equilíbrio entre forças solicitantes e resistentes

β = coeficiente de sobrepressão = 1,2

(45)

(46)

Empuxo e estabilidade sobre corpos flutuantes

(47)

Metacentro

Se M estiver abaixo de G, instável. Se M estiver acima de G, estável.

(48)

Altura metacêntrica (MG)

(49)

Popa

Proa

• F₁ Surge (u) – to move forward with force • F₂ Sway (v) – to move from side to side

• F₃ Heave (w) – to rise and fall again several times • M₄ Roll – balanço

• M₅ Pitch – caturro • M₆ Yaw – cabeceio

(50)

Equilíbrio relativo

Fluido contido em recipiente que se move com translação acelerada Em relação a:

O’XYZ (fixo Terra)  fluido em movimento

Oxyz (sistema relativo, fixo no recipiente)  após transiente, fluido em configuração estável, se: .

Como o fluido só estará em repouso em relação ao (Oxyz) que se move em relação à (O’XYZ)  Equilíbrio

relativo. Principio de D`Alambert  pode-se substituir o efeito da aceleração pelo efeito de uma força

fictícia de inércia ( F_i= - m a ).

(51)

Líquido em movimento de corpo rígido com aceleração linear

patm

Líquido em movimento de corpo rígido com velocidade angular constante

z

r

(52)

Fluidos em movimento relativo (corpo rígido)

v = cte ou parado x x y y g g ax ax ≠ 0 Aceleração linear R z ω = 0 ω = cte Velocidade angular

Estática dos fluidos: _{Nesses casos:}

0 -g 0 0 -g 0 1 2 1 2

(53)

p = p (x,y) _p_{= p (r,z)}

Δy Δx

Na SL (1 e 2) onde atua patm dp = 0 (p2 = p1)

1- (0;z1) e 2- (R2;z2)

Expressões gerais

(54)

Translação uniformemente acelerada na vertical

a_y = - g (desce em queda livre)

“Se o elevador desce em queda livre, as pressões no fluido serão constantes em todas as direções, ou seja, elimina-se o efeito da gravidade.”

p = p (x, y, z) = cte Y X O y x o Fluido Elevador ZERO G

(55)

(56)

(57)

Observe que o ar acelera no estreitamento (maior pressão dinâmica), provocando uma sucção no canudo (redução da pressão estática), que consequentemente pulveriza a água no interior do tubo.

(58)

Exemplo: Verificar que a condição mecânica de formação de vácuo (p

man

< 0) no eixo

de cilindro rotativo com líquido é de que ocorra alta velocidade angular

ω

.

R _H O A ω z r 1 2 0 p = p (r, z)

(59)

0 (vácuo) p

Como R, g e H são constantes, a condição é que a rotação (ω) seja alta!

Equações básicas para serem integradas em função do problema

e

(60)