UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP - Campus de Bauru/SP FACULDADE DE ENGENHARIA Departamento de Engenharia Civil

UNESP - Campus de Bauru/SP

FACULDADE DE ENGENHARIA

Departamento de Engenharia Civil

Disciplina: 2133 - ESTRUTURAS DE CONCRETO III

NOTAS DE AULA

SAPATAS DE FUNDAÇÃO

Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS

(wwwp.feb.unesp.br/pbastos)

Bauru/SP Agosto/2012

APRESENTAÇÃO

Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina 2133 – Estruturas de Concreto III, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da Universidade Estadual Paulista - UNESP – Campus de Bauru.

O texto apresenta o dimensionamento das sapatas de fundação, conforme os procedimentos contidos na NBR 6118/2003 - “Projeto de estruturas de concreto –

Procedimento”.

Agradecimentos ao técnico Tiago Duarte de Mattos, pela confecção dos desenhos, e ao aluno Lucas F. Sciacca, pelo auxílio na digitação do texto.

1. DEFINIÇÕES...1 1.1 FUNDAÇÃO SUPERFICIAL...1 1.2 SAPATA DE FUNDAÇÃO ...1 1.3 TIPOS DE SAPATAS ...1 1.4 DETALHES CONSTRUTIVOS ...3 2. SAPATAS ISOLADAS...3

2.1 CLASSIFICAÇÃO QUANTO À RIGIDEZ ...4

2.2 COMPORTAMENTO ESTRUTURAL...5

2.2.1 Sapatas Rígidas ...5

2.2.2 Sapatas Flexíveis ...6

2.3 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO SOLO...6

2.4 ESTIMATIVA DAS DIMENSÕES DE SAPATAS ISOLADAS COM CARGA CENTRADA ...7

2.4.1 Sapata com Balanços (abas) Iguais nas Duas Direções ...7

2.4.2 Balanços não Iguais nas Duas Direções (cA ≠ cB)...8

2.5 PROJETO CONFORME O CEB-70...9

2.5.1 Dimensionamento da Armadura Inferior ...9

2.5.2 Momentos Fletores em Sapatas Isoladas com Carga Centrada...10

2.5.3 Ancoragem da Armadura de Flexão...13

2.5.4 Força Cortante de Referência em Sapatas Isoladas com Carga Centrada...14

2.5.5 Força Cortante Limite ...16

2.6 VERIFICAÇÃO À PUNÇÃO...16

2.6.1 Tensão de Cisalhamento Solicitante ...18

2.6.2 Verificação de Tensão Resistente de Compressão Diagonal do Concreto na Superfície Crítica C...19

2.6.3 Tensão Resistente na Superfície Crítica C’ em Elementos Estruturais ou Trechos sem Armadura de Punção ...20

2.7 EXEMPLO 1 – SAPATA ISOLADA RÍGIDA ...21

2.8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ...29

2.9 MÉTODO DAS BIELAS ...29

2.9.1 Exemplo 2 - Sapata Isolada Rígida ...33

2.10 SAPATAS ISOLADAS SOB AÇÕES EXCÊNTRICAS...34

2.10.1 Excentricidade em Uma Direção...34

2.10.2 Excentricidade nas Duas Direções ...36

2.11 EXEMPLO 3 – Sapata Isolada sob Força Normal e um Momento Fletor...40

2.12 EXEMPLO 4 – SAPATA ISOLADA SOB FLEXÃO OBLÍQUA ...48

2.13 SAPATA ISOLADA FLEXÍVEL SOB CARGA CENTRADA...54

2.14 VERIFICAÇÃO DE SAPATA FLEXÍVEL À FORÇA CORTANTE QUANDO bW ≥ 5d 56 2.15 EXEMPLO 5 – Sapata Flexível...57

3. SAPATA CORRIDA ...62

3.1 SAPATA CORRIDA RÍGIDA SOB CARGA UNIFORME ...64

3.2 SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL SOB CARGA LINEAR UNIFORME ...65

3.3 EXEMPLO 6 – SAPATA CORRIDA RÍGIDA...67

4. VERIFICAÇÃO DA ESTABILIDADE DAS SAPATAS...74

5. VERIFICAÇÃO DO ESCORREGAMENTO DA ARMADURA DE FLEXÃO EM SAPATAS...75

6. SAPATA NA DIVISA COM VIGA DE EQUILÍBRIO ...76

6.1 ROTEIRO DE CÁLCULO...78

6.2 ESFORÇOS SOLICITANTES NA VIGA DE EQUILÍBRIO...78

6.3 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA VIGA DE EQUILÍBRIO ...81

6.4 DIMENSIONAMENTO DA SAPATA DA DIVISA...81

6.5 EXEMPLO 8 ...83

6.6 TAREFA...90

6.7 VIGA ALAVANCA NÃO NORMAL À DIVISA ...90

6.8 EXERCÍCIO PROPOSTO ...91

7. SAPATA EXCÊNTRICA DE DIVISA ...92

8. SAPATA ASSOCIADA (CONJUNTA, CONJUGADA)...95

8.1 SAPATA RETANGULAR...95

8.2 VERIFICAÇÕES E DIMENSIONAMENTO...98

8.3 SAPATA DE FORMA TRAPEZOIDAL...100

8.4 SAPATA ASSOCIADA COM VIGA DE RIGIDEZ ...101

8.5 EXEMPLO 9 ...102

9. QUESTIONÁRIO...111

1. DEFINIÇÕES

As definições apresentadas a seguir tomam como base a norma NBR 6122/2010.

1.1 FUNDAÇÃO SUPERFICIAL

A fundação superficial é também chamada fundação rasa ou direta. É definida como: “elemento de fundação em que a carga é transmitida ao terreno pelas tensões distribuídas sob a

base da fundação, e a profundidade de assentamento em relação ao terreno adjacente à fundação é inferior a duas vezes a menor dimensão da fundação.”

Quanto ao dimensionamento, as fundações superficiais devem ser definidas por meio de dimensionamento geométrico e de calculo estrutural.

1.2 SAPATA DE FUNDAÇÃO

Sapata de fundação é um “elemento de fundação superficial, de concreto armado,

dimensionado de modo que as tensões de tração nele resultantes sejam resistidas pelo emprego de armadura especialmente disposta para esse fim.”

1.3 TIPOS DE SAPATAS

Sapata Isolada: transmite ações de um único pilar, que pode estar centrado ou

excêntrico; pode ser retangular, quadrada, circular, etc., (Figura 1).

h=cte h = var

Figura 1 – Sapata isolada.

Sapata corrida: “Sapata sujeita à ação de uma carga distribuída linearmente ou de pilares ao longo de um mesmo alinhamento.”, (Figura 2).

parede

sapata _OU

Sapata associada: é a sapata comum a mais de um pilar, sendo também chamada sapata

combinada ou conjunta (Figura 3). Transmitem ações de dois ou mais pilares e é utilizada como alternativa quando a distância entre duas ou mais sapatas é pequena.

PLANTA VR A A P1 P2 ELEVAÇÃO CORTE AA Viga de rigidez

Figura 3 – Sapata associada (viga de fundação).

Viga alavanca ou viga de equilíbrio: “elemento estrutural que recebe as cargas de um ou dois pilares (ou pontos de carga) e é dimensionado de modo a transmiti-las centradas às fundações. Da utilização de viga de equilíbrio resultam cargas nas fundações diferentes das cargas dos pilares nelas atuantes.” É comum em pilar de divisa onde o momento fletor resultante da excentricidade da ação com a reação da base deve ser resistido pela “viga de equilíbrio” (VE), Figura 4.

sapata 2

VA

Viga alavanca (VA) sapata 1

A configuração das vigas baldrames (VB) em relação à sapata pode variar, conforme alguns casos indicados na Figura 5.

VB

VB

Viga baldrame (VB)

Figura 5 – Posicionamento da viga baldrame em relação à sapata.

1.4 DETALHES CONSTRUTIVOS

“A base de uma fundação deve ser assente a uma profundidade tal que garanta que o

solo de apoio não seja influenciado pelos agentes atmosféricos e fluxos d’água. Nas divisas com terrenos vizinhos, salvo quando a fundação for assente sobre rocha, tal profundidade não deve ser inferior a 1,5 m” (NBR 6122/96, item 6.4.2). A Figura 6 mostra alguns detalhes construtivos sugeridos para as sapatas.







≥

cm

20

3

/

h

h

0 > 3 1

Lastro de concreto simples

( ≥ 5cm, fck ≥ σsolo, rocha)

h

h0 3 a 10 cm

α

Figura 6 – Sugestão para alguns detalhes construtivos da sapata.

α ≤ 30° (ângulo do talude natural do concreto fresco – não é obrigatório).

2. SAPATAS ISOLADAS

Nas sapatas isoladas, o centro de gravidade da sapata deve coincidir com o centro de aplicação da ação do pilar; a menor dimensão deve ser ≥ 60 cm (NBR 6122/96, 6.4.1); a relação

entre os lados deve ser A/B ≤ 2,5. Regularmente, os lados A e B devem ser escolhidos de modo que cA ≈ cB , mostrados na Figura 7.

Se cA = cB : A – ap = B – bp A – B = ap – bp ⇒ Asx ≈ Asy (ou AsA ≈ AsB) B A bp ap CB CA CA CB

Figura 7 – Notação para a sapata isolada.

2.1 CLASSIFICAÇÃO QUANTO À RIGIDEZ

Conforme a NBR 6118/03 (item 22.4.1), a classificação das sapatas quanto à rigidez é:

Sapata rígida: 3 ) a -(A h≥ p Sapata flexível: 3 ) a -(A h< p h A ap Pilar

Figura 8 – Altura h da sapata.

com: h = altura da sapata (Figura 8);

A = dimensão (lado) da sapata numa determinada direção; ap = dimensão do pilar na direção do lado A.

Nota: a classificação acima deve ser verificada segundo as duas direções da sapata, ou seja,

Pelo CEB-70, a sapata é rígida quando: 0,5 ≤ tg β ≤ 1,5 (26,6º ≤ β ≤ 56,3º) tg β = h / c h ap Pilar β C Balanço

Figura 9 – Ângulo

β

e balanço c.

A sapata será considerada flexível se: tg β < 0,5

tg β > 1,5 ⇒ bloco de fundação - dispensa-se a armadura de flexão porque o concreto resiste a σt .

2.2 COMPORTAMENTO ESTRUTURAL

(NBR 6118/03, 22.4.2)

2.2.1 Sapatas Rígidas

São aquelas com alturas “grandes” e tem a preferência no projeto de fundações.

a) há flexão nas duas direções (A e B), com a tração na flexão sendo uniformemente distribuída na largura da sapata. As armaduras de flexão AsA e AsB são distribuídas uniformemente nas

larguras A e B da sapata (Figura 10).

Sapata rígida As B

As A

A

Figura 10 – Armadura positiva de flexão de sapata isolada.

b) há atuação de força cortante nas duas direções (A e B), não apresentando ruptura por tração diagonal, e sim por compressão diagonal, a ser verificada conforme o item 19.5.3.1 (Figura 11). Não há possibilidade de punção, porque a sapata fica inteiramente dentro do cone de punção.

Seção a ter compressão verificada (item 19.5.3.1 da NBR6118)

σI

σII

Figura 11 – Tensões principais na sapata isolada.

2.2.2 Sapatas Flexíveis

São aquelas com alturas “pequenas”. “Embora de uso mais raro, as sapatas flexíveis são

utilizadas para fundação de cargas pequenas e solos relativamente fracos.” (NBR 6118/03). a) há flexão nas duas direções, mas a tração na flexão não é uniforme na largura (Figura 12); b) há a necessidade da verificação à punção.

N

p

M (variável)

Figura 12 – Momento fletor na sapata flexível.

2.3 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO SOLO

As principais variáveis que afetam a distribuição de tensões são: características das cargas aplicadas, rigidez relativa fundação-solo, propriedades do solo e intensidade das cargas. (ver Velloso e Lopes – Fundações, v.1, ed. Oficina de Textos).

A distribuição real não é uniforme, mas por simplicidade, na maioria dos casos, admite-se a distribuição uniforme, o que geralmente resulta esforços solicitantes maiores (Figura 13). A NBR 6122 (6.3.2) admite a distribuição uniforme, exceto no caso de fundações apoiadas sobre rocha.

Rígida distribuiçao admitida distribuição real Areia Flexível Areia

Figura 13 – Distribuição de tensões no solo.

A NBR 6118/03 (item 22.4.1) declara: “Para sapata rígida pode-se admitir plana a

distribuição de tensões normais no contato sapata-terreno, caso não se disponha de informações mais detalhadas a respeito.”

2.4 ESTIMATIVA DAS DIMENSÕES DE SAPATAS ISOLADAS COM CARGA CENTRADA

A area de apoio da sapata pode ser estimada como:

solo sap N 05 , 1 S σ = ou solo sap N 1 , 1 S σ =

onde os fatores 1,05 e 1,1 estimam o peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata.

2.4.1 Sapata com Balanços (abas) Iguais nas Duas Direções

Conforme as dimensões mostradas na Figura 14, tem-se: A = 2cA + ap B = 2cB + bp Com cA = cB , fica: A – B = ap – bp B S A B A Ssap = ⋅ → = sap p p sap b a B B S − = − Multiplicando por B:

(

a b

)

B B S_sap− 2 = _p − _p

(

)

(

)

sap 2 p p p p b a S 4 1 a b 2 1 B= − + − +

A e B devem ser múltiplos de 5 cm. É indicado que a dimensão seja no mínimo 80 cm no caso de sapata de edifícios, e 60 cm para sapatas de residências térreas e de dois pavimentos (sobrado). B A bp ap CB CA CB CA

Figura 14 – Sapata isolada com balanços iguais nas duas direções.

2.4.2 Balanços não Iguais nas Duas Direções (cA ≠≠≠≠ cB) Neste caso recomenda-se obedecer a seguinte relação:

0 , 3 B A ≤

Sendo R a relação entre as dimensões (Figura 15), tem-se: R B A R B A ⋅ = → = Ssap = A . B ⇒ Ssap = R . B2 R S

B= sap , com A e B múltiplos de 5 cm.

B A bp ap CB CA CA CB

2.5 PROJETO CONFORME O CEB-70

O método proposto pelo CEB-70 pode ser aplicado a sapatas com:

c ≤ 2h e 2 h c ≥ ou seja: c 2h 2 h ≤ ≤ Se 2 h c < → bloco de fundação. h C C

Figura 16 – Balanço c na sapata isolada.

Admite-se que o solo tem comportamento elástico, e daí que as reações do solo sobre a superfície de apoio da sapata seguem uma linha plana (Figura 17).

N M("pequeno") (LN fora da seção) Superfície plana N M("grande") x Distribuição admitida para

quando existirem tensões de tração na base da sapata

Figura 17 – Reação do solo na base da sapata. 2.5.1 Dimensionamento da Armadura Inferior

Os momentos fletores são calculados, para cada direção, em relação a uma seção de referência (S1A e S1B), que dista 0,15 vezes a dimensão do pilar normal à seção de referência, e se

encontra internamente ao pilar (Figura 18). d1 = d ≤ 1,5cA a_p 0,15ap C_A d1 S1A A

O momento fletor é calculado levando-se em conta o diagrama de tensões no solo, entre a seção S1 e a extremidade da sapata, como indicado na Figura 19.

S1

σ1

σ2

Figura 19 – Diagrama para cálculo do momento fletor na seção de referência S1 .

No cálculo da armadura de flexão que atravessa a seção S1 consideram-se as

características geométricas da seção de referência S1.

O menor momento fletor deve ser pelo menos 1/5 do maior momento fletor, isto é, a relação entre as armaduras de flexão ortogonais deve ser ≥ 1/5.

2.5.2 Momentos Fletores em Sapatas Isoladas com Carga Centrada

Os momentos fletores são calculados nas seções de referência S1 , conforme indicados na

Figura 20. Supondo balanços iguais, cA = cb :

2 a A c_A = − p = 2 b B c_B = − p p 0, 15 ap 0,15ap bp S1A S1B CB xB B CA xA A bp N S1A

Pressão da sapata no solo: B . A N 05 , 1 p =

onde o fator 1,05 considera o peso próprio e do solo sobre a sapata. Outros valores podem ser adotados.

As distâncias xA e xB são:

xA = cA + 0,15ap

xB = cB + 0,15bp

Áreas de referência nas duas direções (Figura 21): A1A = xA B A1B = xB A B A xB xA A1A A_1B

Figura 21 – Áreas de referência.

Resultantes da pressão (tensão) no solo (Figura 22): R1A = p . xA . B

R1B = p . xB . A

xA

S1A R1A

p

Figura 22 – Resultante da pressão no solo.

2 x R M A A 1 A 1 = ⇒ 2 x B . p M 2 A A 1 = 2 x R M B B 1 B 1 = ⇒ 2 x A . p M 2 B B 1 =

No cálculo da armadura de flexão, embora a seção comprimida A’c seja um trapézio, o

cálculo pode ser feito simplificadamente considerando-se a seção retangular (Figura 23). Se considerar-se o trapézio deve-se fazer σcd = 0,8 fcd .

As

A'_c

LN

Figura 23 – Área de concreto comprimida pela flexão (A’c).

Como na flexão simples, com auxílio dos coeficientes K tabelados:

d 2 1 w c M d b

K = ⇒ na tabela de valores de Kc e Ks encontra-se βx , o domínio e Ks

com bw = A ou B. 1 d s s d M K A = ≥ As,mín

Simplificadamente também pode-se fazer:

yd 1 d s f . d 85 , 0 M A = ≥ As,mín

Nas sapatas de base quadrada, a armadura de flexão pode ser uniformemente distribuída na largura da sapata.

A armadura deve se estender de face à face e terminar com gancho nas duas extremidades.

Nas sapatas de base retangular, a armadura paralela ao lado menor (B) deve-se obedecer: a) quando B ≥ ap + 2h (Figura 24):

A armadura é calculada como sendo:

B A B 2 As +

B _Armadura

B

A ap

bp

Figura 24 – Distribuição de As quando B

≥

ap + 2h.

b) no caso de B < ap + 2h (Figura 25):

A armadura é calculada como sendo:

(

)

h 2 a A h 2 a 2 A p p s + + + Armadura B A ap bp + 2h ap

Figura 25 – Distribuição de As quando B < ap + 2h.

2.5.3 Ancoragem da Armadura de Flexão

1ºcaso: se a aba de comprimento c superar a altura h, a armadura deve ser ancorada a partir da

seção distante h da face do pilar, e deve se estender até as bordas da sapata (Figura 26). lb é o

comprimento de ancoragem básico, considerado sem gancho.

C > h

h

h

lb

2ºcaso: se o comprimento c da aba for inferior a h, a armadura deve ser totalmente ancorada na

vizinhança imediata da borda da sapata, sendo o comprimento de ancoragem medido a partir da extremidade retilínea da barra (Figura 27).

C < h

h

l

_b

Figura 27 – Ancoragem da armadura quando c < h.

2.5.4 Força Cortante de Referência em Sapatas Isoladas com Carga Centrada

No dimensionamento, a força cortante a ser considerada é calculada numa seção de referencia S2 , em cada direção da sapata, perpendicular à base de apoio da sapata e distante d/2

da face do pilar em cada direção, como indicado na Figura 28.

ap B C2A bp N d 2 C2A A d h C2B d 2 45_° S2B S2A A h0 p d2A

com: A 2 p 0 A 2 1,5c a A h h 1 d d <         − − − = B 2 p 0 B 2 1,5c b B h h 1 d d <         − − − =

No caso de sapata alongada (c > 1,5B) a seção S2 é considerada na face do pilar (Figura

29).

C

B

S na face do pilar_2A

Figura 29 – Seção de referência S2 em sapata alongada (c > 1,5B).

A largura b2A da seção de referência S2A é tomada conforme indicado na Figura 30.

ap S2A C2A N d 2 d A d2A 1 ,5 C2A ≤ bp 45° + d b2A b p B

Com relação às dimensões A e B da sapata: b2A = bp + d

b2B = ap + d

2.5.5 Força Cortante Limite

Na seção de referência S2, a força cortante de cálculo não deve ultrapassar os valores

seguintes: ck 2 2 C lim , d b d f 5 , 1 V ⋅ ρ⋅ γ = , para fck em kN/cm2; ck 2 2 C ,lim d b d f 474 , 0 V ⋅ ρ⋅ γ = , para fck em MPa. com: Vd,lim em kN;

γc = coeficiente de segurança do concreto;

b2 e d2 em cm;

ρ = taxa de armadura longitudinal da seção de referência S2 :

01 , 0 d b A 2 2 S ≤ ⋅ =

ρ (não se dispõe de resultados de ensaios com ρ > 1 %);

As = área da armadura longitudinal disposta na largura b2 da seção S2 .

Vd,lim pode ser aumentada com o acréscimo de armadura transversal.

Se Vd ≤ Vd,lim não é necessário colocar armadura transversal. Se essa condição não

ocorrer, deve-se aumentar a altura da sapata, de modo a evitar a armadura transversal.

NOTA: se a força cortante atuante for maior que a força cortante limite, uma possibilidade para

resolver o problema é adotar uma nova altura útil para a sapata, tal que:

lim , d d novo V V d d = 2.6 VERIFICAÇÃO À PUNÇÃO

A verificação das sapatas à punção se faz conforme o item 19.5 da NBR 6118/03 - “Dimensionamento de lajes à punção”.

A superfície de ruptura por punção está indicada na Figura 31.

x d tg =α , fazendo α = 27° d 2 51 , 0 d x x d º 27 tg = → = ≅

superfície de ruptura de uma laje por efeito de punção α = 25º a 30º d A_s x pilar -laje

Figura 31 – Superfície de ruptura de uma laje por efeito de punção.

“O modelo de cálculo corresponde à verificação do cisalhamento em duas ou mais

superfícies críticas definidas no entorno de forças concentradas. Na primeira superfície crítica (contorno C), do pilar ou da carga concentrada, deve ser verificada indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto, através da tensão de cisalhamento.” A Figura 32 ilustra as

superfícies críticas C e C’. C C' C C' C C C' C' 2d 2d 2d B or da li vr e B . l iv re 2d B. livre

Figura 32 – Superfícies críticas C e C’.

“Na segunda superfície crítica (contorno C’) afastada 2d do pilar ou da carga

concentrada, deve ser verificada a capacidade da ligação à punção, associada à resistência à tração diagonal. Essa verificação também se faz através de uma seção de cisalhamento, no entorno C’. Caso haja necessidade, a ligação deve ser reforçada por armadura transversal. A terceira superfície crítica (contorno C”) apenas deve ser verificada quando for necessário colocar armadura transversal.”

No estudo aqui apresentado de punção aplicado às sapatas serão apresentados somente os itens relacionados à dispensa da armadura transversal.

A verificação é feita comparando a tensão de cisalhamento solicitante (τsd) nas superfícies

críticas, com a tensão de cisalhamento resistente (τRd2), dada pela NBR 6118/03 para cada

2.6.1 Tensão de Cisalhamento Solicitante

2.6.1.1 Pilar Interno com Carregamento Simétrico

A tensão de cisalhamento solicitante é:

d u FSd Sd ⋅ = τ onde:

(

)

2 d d

d= x+ y = altura útil da laje ao longo do contorno crítico C’; dx e dy são as alturas úteis nas duas direções ortogonais;

u = perímetro do contorno crítico C’; u . d = área da superfície crítica;

FSd = força ou reação concentrada, valor de cálculo.

No caso da superfície crítica C, u deve ser trocado por u0 (perímetro do contorno C). A força de punção FSd pode ser reduzida da força distribuída aplicada na face oposta da laje, dentro

do contorno considerado na verificação, C ou C’ (isso será mostrado no Exemplo 5).

2.6.1.2 Pilar Interno com Momento Fletor Aplicado

Neste caso, o efeito da assimetria deve ser considerado, e a tensão de cisalhamento solicitante é: d W M K d u F p Sd Sd Sd ⋅ ⋅ + ⋅ = τ sendo:

K = coeficiente que representa a parcela do momento fletor MSd que é transmitida ao pilar

por cisalhamento, dependente da relação C1/C2 (ver Tabela 1);

C1 = dimensão do pilar paralela à excentricidade da força, indicado na Figura 33;

C2 = dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força.

Tabela 1 - Valores de K em função de C1 e C2 .

C1/C2 0,5 1,0 2,0 3,0

K 0,45 0,60 0,70 0,80

Notas: - é permitida interpolação para valores intermediários da Tabela 1; - quando C1/C2 > 3,0 considera-se K = 0,8.

Wp = módulo de resistência plástica do contorno C’. Pode ser calculado desprezando a

curvatura dos cantos do perímetro crítico por: l d e W u 0 p =

∫

e = distância de dl ao eixo que passa pelo centro do pilar e sobre o qual atua o momento fletor MSd . 1 2 2 2 1 2 1 p C C 4C d 16d 2 dC 2 C W = + + + + π (pilar retangular) 2 2 p 4r 16rd 16d

W = + + (pilar circular; r = raio)

ou

(

)

2

p D 4d

W = + (D = diâmetro)

Nota: para pilares de borda e de canto, ver a NBR 6118/03 (item 19.5).

C' e e1 2d c1 c2 dl Msd F_sd ≡ Msd Fsd e1 Fsd

Figura 33 – Sapata submetida à força normal e momento fletor.

2.6.2 Verificação de Tensão Resistente de Compressão Diagonal do Concreto na Superfície Crítica C

(NBR 6118, 19.5.3.1)

“Esta verificação deve ser feita no contorno C, em lajes submetidas à punção, com ou

sem armadura”. τSd ≤ τRd2 τRd2 = 0,27αv fcd onde       − = α 250 f 1 ck v , com fck em MPa.

A superfície crítica C, corresponde ao contorno do pilar ou da carga concentrada, deve ser verificada indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto, por meio da tensão de cisalhamento (Figura 34).

A tensão de cisalhamento solicitante é: d u F o Sd Sd = τ

uo = perímetro de contorno crítico C;

uo = 2 (ap + bp)

uo d = área da superfície crítica C;

d = altura útil ao longo do contorno crítico C.

C d Fsd τsd ap bp

Figura 34 – Tensão de cisalhamento na sapata.

2.6.3 Tensão Resistente na Superfície Crítica C’ em Elementos Estruturais ou Trechos sem Armadura de Punção

(NBR 6118, 19.5.3.2)

A tensão de cisalhamento resistente na superfície crítica C’deve ser calculada por:

(

)

3 1 ck 1 Rd 100 f d 20 1 13 , 0 _ ρ⋅       + = τ onde: y x. ρ ρ = ρ ;

(

)

2 d d d= x+ y = altura útil em C’(cm);

ρ = taxa geométrica de armadura de flexão aderente; ρx e ρy = taxas de armadura nas duas direções ortogonais;

fck em MPa.

No caso de sapatas de fundação, a tensão de cisalhamento resistente é:

2 cd 3 ck 1 Rd 0,5f * a d 2 f 100 d 20 1 13 , 0 _ ρ ≤       + = τ

fcd2 = resistência de cálculo do concreto à compressão para regiões não fissuradas.

) MPa ( f 250 f 1 6 , 0 fcd2 ck  cd      − = u* = 2ap + 2bp + 2πa* Superfície C' (perímetro = u*) d ap a* A Figura 35 – Distância a*.

Para pilares com momento fletor solicitante, τSd é:

        + = τ Sd p Sd Sd Sd _{W F} * u M K 1 d * u F

2.7 EXEMPLO 1 – SAPATA ISOLADA RÍGIDA

(Exemplo extraído do curso de Lauro Modesto dos Santos - “Edifícios de Concreto Armado”, 1988, p.11-31 – Escola Politécnica da USP)

Dimensionar uma sapata direta de fundação para um pilar com seção 20 x 75cm, sendo a taxa admissível do solo (σ_solo) de 2,5 kgf/cm2 (0,25 MPa), sendo também conhecidos:

Nk = 1.303 kN momentos fletores Mx = My = 0

materiais: concreto C25 , aço CA-50

φl,pil = 20 mm (pilar interno) γc = 1,4

Resolução

Dimensões da sapata (Figura 36), considerando um fator de 1,1 para considerar o peso próprio da sapata e o solo sobre a sapata:

7332 , 5 cm 332 . 57 025 , 0 1303 1 , 1 N 1 , 1 S 2 solo k sap = = ⋅ = σ = m2

Fazendo a sapata com balanços iguais (cA = cB = c), a dimensão do menor lado da sapata em planta é: sap 2 p p p p (b a ) S 4 1 ) a b ( 2 1 B= − + − + 5 , 213 57332 ) 75 20 ( 4 1 ) 75 20 ( 2 1 B 2 = + − + − = cm

como as dimensões devem ser preferencialmente valores múltiplos de 5 cm, adota-se B como o múltiplo superior, B = 215 cm. O lado maior da sapata é:

7 , 266 215 57332 B S A= sap = = cm (adota-se A = 270 cm), e 2 sap 270.215 58.050cm S = = Os balanços resultam: 5 , 97 2 75 270 2 a A c c c_A = _B = = − p = − = cm

A altura da sapata, fazendo como sapata rígida, é:

NBR 6118 → 65 3 75 270 3 a A h p_≥ − ≥      − ≥ cm

Pelo CEB-70: 0,5≤tgβ≤1,5 com

5 , 97 h c h tgβ= = 3 , 146 h 8 , 48 5 , 1 5 , 97 h 5 , 0 ≤ ≤ → ≤ ≤ cm

Para possibilitar a ancoragem da armadura longitudinal do pilar dentro do volume da sapata, a altura deve ser superior ao comprimento de ancoragem da armadura do pilar:

h ≥ l_{b φ, ,pil}

pil , , b φ

l = 53 cm (com gancho, região de boa aderência, C25, φl_,pil =20mm) Adotando h = 90 cm ≥ lbφ,pil= 53 cm, a sapata é rígida.

75 20 B 21 5c m A 270cm p 97,5 97,5 97 ,5 97 ,5 bp ap h = 9 0 d = 8 5 0,15 = 11,25ap CB CB CA CA 108,75xA ≥ 3 0

Figura 36 – Dimensões (cm) da sapata e seção de referência S1 .

Para a altura útil pode-se considerar: d = h – 5 cm → d = 85 cm Pressão no solo: 0247 , 0 215 270 1303 1 , 1 B A N 1 , 1 p k ₌ ⋅ ⋅ = ⋅ = kN/cm2

Para aplicar o processo do CEB-70 deve-se verificar: 90 2 c 2 90 h 2 c 2 h ⋅ ≤ ≤ → ≤ ≤ 45 ≤ c = 97,5 cm ≤ 180 cm → ok!

Cálculo dos momentos fletores nas seções de referência S1A e S1B :

2 x A p M ; 2 x B p M 2 B B 1 2 A A 1 = ⋅ = ⋅ cm 75 , 108 75 15 , 0 5 , 97 a 15 , 0 c x_A = _A+ _p = + ⋅ =

cm 5 , 100 20 15 , 0 5 , 97 b 15 , 0 c x_B = _B+ _p = + ⋅ = 402 . 31 2 75 , 108 215 . 0247 , 0 M 2 A 1 = = kN.cm 679 . 33 2 5 , 100 270 . 0247 , 0 M 2 B 1 = = kN.cm

O menor momento fletor deve ser ao menos 20 % do maior:

5 1 93 , 0 33679 31402 M M B 1 A 1 _{= = > → ok!}

A Figura 37 ilustra os momentos fletores solicitantes na sapata.

M

A 33679 31 40 2

M

_B

M = 31402

_A

A

= 270

B

=

2

15

S

1A

_{M = 33679}

B

Figura 37 – Momentos fletores atuantes na sapata.

Armadura segundo a dimensão A da sapata: M1A,d = 1,4 . 31402 = 43.963 kN.cm 3 , 35 43963 85 . 215 M d b k 2 d 2 c = = =

observe que M1A,d atua segundo a dimensão menor da sapata (lado B).

Na tabela de kc e ks resulta: βx = 0,03 (domínio 2) e ks = 0,023.

85 43963 023 , 0 d M k A_sA = _s 1A,d = AsA = 11,90 cm2

M1B,d = 1,4 . 33679 = 47.151 kN.cm 85 47151 023 , 0 d M k A 023 , 0 k , 2 . dom , 02 , 0 4 , 41 47151 85 . 270 k d , B 1 s sB s x 2 c = = = β ⇒ = = AsB = 12,76 cm2

Como opção para o cálculo da armadura tem-se a fórmula simplificada:

2 yd d , B 1 sB 2 yd d , A 1 sA cm 00 , 15 48 , 43 . 85 . 85 , 0 47151 f . d 85 , 0 M A cm 00 , 14 48 , 43 . 85 . 085 43963 f . d 85 , 0 M A = = = = = =

A escolha das armaduras pode ser feita com auxílio de uma tabela de armadura em laje (cm2/m). É necessário tranformar a armadura em cm2/m:

Na dimensão A: 6,51 15 , 2 00 , 14 = cm2/m (φ 10 mm c/12 cm – 6,67 cm2/m) Na dimensão B: 5,56 70 , 2 00 , 15 = cm2/m (φ 10 mm c/14 cm – 5,71 cm2/m) O detalhamento das armaduras está mostrado adiante.

Verificação das forças cortantes nas seções de referência S2A e S2B, conforme as

dimensões indicadas na Figura 38.

As forças cortantes nas seções de referência S2A e S2B são:

VA = p B c2A VB = p A c2B cm 55 2 85 75 270 2 d a A c_2A = − p− = − − = cm 55 2 85 20 215 2 d b B c_2B = − p− = − − = kN 1 , 292 55 . 215 . 0247 , 0 V_A = = VB = 0,0247 . 270 . 55 = 366,8 kN

As forças cortantes de cálculo, com γf = 1,4 são:

VA,d = 1,4 . 292,1 = 408,9 kN

75 20 B 21 5c m A 270cm d 2 42,5 p = 0,0247 5 5 bp ap h ₉₀ d 85 S2A 55 d 2 ₄₂,5 C2 B C2A S2A S2B d2A 30 h0 58, 8 75 20 d 2 42,5 bp ap d 2 ₄₂,5 S2A S2B 10 5 b2A 160 b2B d2A b2A

Figura 38 – Dimensões e seções de referência S2A e S2B .

Dimensões d2Ae d2B : 30 h adotado cm 20 cm 30 3 90 3 h h₀ → ₀ =     = = ≥ cm

A 2 p 0 A 2 1,5c a A h h 1 d d ≤         − − − = cm 5 , 82 55 5 , 1 c 5 , 1 c 5 , 1 2A = 2B = ⋅ = 8 , 58 75 270 30 90 1 85 d_{2A } _= − − − = cm ≤ 82,5 cm → ok! B 2 p 0 B 2 1,5c b B h h 1 d d ≤         − − − = 8 , 58 20 215 30 90 1 85 d_{2B } _= − − − = cm ≤ 82,5 cm → ok! ! ok cm 8 , 93 cm 3 , 44 d d_2B = _2A = ≤ →

Larguras das seções S2:

cm 105 85 20 d b b2A = p+ = + = cm 160 85 75 d a b_2B = _p+ = + =

Forças cortantes limites conforme o CEB-70:

ck 2 2 c ,lim d b d f 474 , 0 V ⋅ ⋅ ρ⋅ γ =

Cálculo das taxas de armadura à flexão (ρ):

A 2 sA A d 100 A = ρ 0,00113 8 , 58 100 67 , 6 = ⋅ = = 0,113 % ≤ 1 % B 2 sB B d 100 A = ρ 0,000971 8 , 58 100 71 , 5 = ⋅ = = 0,0971 % ≤ 1 % 0 , 352 25 00113 , 0 8 , 58 105 4 , 1 474 , 0 VA,d,lim = ⋅ ⋅ ⋅ = kN kN 0 , 352 V 9 , 408 V_A,d = > _A,d,lim = kN 3 , 496 25 000971 , 0 8 , 58 160 4 , 1 474 , 0 V_B,d,lim = ⋅ ⋅ ⋅ = kN 3 , 496 V 5 , 513 V_B,d = > _B,d,lim =

A força cortante limite sugerida pelo CEB-70 é rigorosa (muito baixa), por isso, para sapatas rígidas, Machado (1988) sugere o seguinte valor para sapatas isoladas rígidas:

2 2 c ck lim , d b d f 63 , 0 V γ = Aplicando ao exemplo: 389 . 1 8 , 58 105 4 , 1 10 25 63 , 0 V_A,d,lim ⋅ = ⋅ = kN >> VA,d = 408,9 kN

Caso se considere apenas o CEB-70, existem soluções, como aumentar o fck , as

dimensões A e B, a altura h, a quantidade de armadura de flexão, etc.

Nota: como a sapata é rígida não é necessário verificar a punção. Entretanto, a NBR 6118

recomenda verificar a tensão na diagonal de compressão (item 19.5.3.1), como mostrado a seguir.

Verificação da Diagonal Comprimida:

uo = perímetro do pilar (superfície crítica C - Figura 39).

uo = 2 (20 + 75) = 190 cm kN 824 . 1 1303 4 , 1 N N F_Sd = _Sd =γ_f ⋅ = ⋅ =

(sem redução da força pela reação contrária da base da sapata)

C

ap

bp

75

20

Figura 39 – Superfície crítica C – contorno do pilar.

Tensão de cisalhamento atuante: 113 , 0 85 190 1824 d u F o Sd Sd = ⋅ = = τ kN/cm2 = 1,13 MPa

Tensão de cisalhamento resistente:

43 , 0 4 , 1 5 , 2 250 25 1 27 , 0 f 27 , 0 _{V cd} 2 , Rd  =      − = ⋅ α = τ kN/cm2 = 4,3 MPa MPa 3 , 4 MPa 13 , 1 _Rd,2 Sd = <τ = τ

Portanto, não irá ocorrer o esmagamento das bielas comprimidas.

Detalhamento (Figura 40)

Como a largura da sapata (B) é próxima do comprimento A, a armadura AsB será

distribuída uniformemente no comprimento A.

c = 97,5 cm > h = 90 cm

φ 10 mm, C25, boa aderência, sem gancho: lb = 38 cm.

cnom = 4,0 cm (cobrimento), φl,pil = 20 mm (lb = 75 cm).

lgancho,incl ≥ 38 – [(97,5 – 4,0 – 90) + 20] ≥ 14,5 cm 30 N 1 - 17 c /1 2 (2 15 8 )/ 12 = 1 7, 2 N2 - 19 c/14 (270 - 8)/14 = 18,7 97,5 83 ≥ , p ila r lb Øl Øl,pil h = 90 20 N1 - 17 Ø12,5 C = 340 20 260 20 N 2 - 19 Ø 12 ,5 C = 2 85 20 5 20 20 A_sB AsA ≥ _14,5 AsA AsB 20 20 20 20 lanc_{≥ ≥}lb 38 cm

Figura 40 – Detalhamento das armaduras de flexão da sapata.

2.8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1o) Ver Alonso (1983), pg. 14 (sapata isolada). Dimensionar e detalhar as armaduras de uma sapata para um pilar de seção 30 x 100 cm, com carga de 3000 kN, com:

solo

σ = 0,3 MPa Mx = My = 0

C25 θl,pilar = 22,5 mm

2o) Resolver o Exercício 1 fazendo o pilar circular com diâmetro de 60 cm, e com a sapata de base circular.

2.9 MÉTODO DAS BIELAS

O método ou teoria das bielas surgiu após numerosos ensaios realizados por Lebelle (1936), e se aplica às sapatas rígidas, corridas ou isoladas. A carga é transferida do pilar para a

base da sapata por meio de bielas de concreto comprimido, que induzem tensões de tração na base da sapata (Figura 41), que devem ser resistidas por armadura.

Biela de compressão

Armadura necessária para resistir à força de tração

Figura 41 – Caminhamento da carga do pilar em direção à base da sapata.

Segundo Gerrin (1955), os ensaios mostram que não ocorre ruptura por compressão das bielas de concreto, e sua verificação pode ser dispensada.

A Figura 42 mostra as forças atuantes na sapata, de acordo com o método das bielas.

P 0 y x A B d0 dTx dx d_y dT dN dTy p d dx y

Figura 42 – Esquema de forças segundo o método das bielas.

Considerando somente a direção x, como se fosse uma sapata corrida (Figura 43), tem-se as equações:

p P d = A . d (A ) p d 0 β ≥ 45_° A 2 A2 dx As ap α ds 2dP d α dT x p d = dPx d0 A 0 α dN dT dP Figura 43 – Forças na direção x da sapata.

        − ⋅ − =         − = ⋅ = ⋅ = α = α α = α ⋅ = α ⋅ =

∫

2 2 p x 2 2 0 2 A x 0 x 0 x 4 A d A ) a A ( p 2 1 T x 4 A d p 2 1 dx x d p T d x dx p tg dP cos sen dP dT sen dN dP cos dN dT Para x = 0, Tx = Tmáx : d ) a A ( 8 P T 4 A d A ) a A ( A P 2 1 T _x p 2 p x − = → ⋅ − =

De forma análoga para a direção da sapata isolada: d ) b B ( 8 P T_y = − p

A tensão máxima na biela de compressão é obtida das relações:

s c d dN = σ onde α = sen dx d_s

A máxima compressão ocorre nas bielas mais inclinadas (α = αo) e a tensão máxima

ocorre no ponto A, onde a seção da biela é a mínima. A tensão máxima resulta:

(

)

        − − + = σ ₂ 0 2 p p c d 4 a A 1 a P

A Figura 44 mostra as armaduras de flexão da sapata, conforme o método das bielas.

B A x y P h d ≥ 1 2 (A ) ap Asxou AsA P Asyou AsB d ≥ 1_{2 (B - )}bp ap bp

Figura 44 – Armaduras de flexão da sapata.

As armaduras são: yd xd sA sx f T A A = = ; yd yd sB sy f T A A = =

(

) (

)

                    λ − − + − + ⋅ ⋅ λ = σ 2 0 2 2 p 2 p p p máx , c d 1 1 4 b B a A 1 b a p Onde B b A a_{p P} = = λ (áreas hometéticas).

No caso particular de sapatas (e pilares) quadradas:

                        λ − − + ⋅ ⋅ λ = σ 2 0 p p máx , c d 1 1 a A 2 1 1 a A p

2.9.1 Exemplo 2 - Sapata Isolada Rígida

Calcular as armaduras de flexão da sapata do Exemplo 1 pela “Teoria ou Método das Bielas”. Resolução Verificação do ângulo β: º 45 º 1 , 41 8718 , 0 5 , 97 85 ) 75 270 ( 2 1 85 ) a A ( 2 1 d tg p < = β → = = − = − = β → não ok!

portanto, a altura útil da sapata deve ser aumentada para um valor igual ou superior a 97,5 cm, de modo a resultar um ângulo β igual ou superior a 45°. Considerando h = 105 cm e d = 100 cm tem-se: º 45 º 7 , 45 0256 , 1 5 , 97 100 tgβ= = → β= ≥ → ok! Forças de tração: 4 , 349 100 ) 75 270 ( 8 1303 1 , 1 d ) a A ( 8 P T_x = − p = ⋅ ⋅ − = kN 4 , 349 100 ) 75 270 ( 8 1303 1 , 1 d ) b B ( 8 P T_y = − p = ⋅ ⋅ − = kN 25 , 11 15 , 1 50 4 , 349 4 , 1 A A_sx = _sA = ⋅ = cm2 = Asy = AsB

A NBR 6118 recomenda verificar a tensão na diagonal comprimida (item 19.5.3.1), como feito no Exemplo 1, porém, para as sapatas rígidas com ângulo β igual ou superior a 45°, não deve ocorrer esmagamento da diagonal comprimida.

2.10 SAPATAS ISOLADAS SOB AÇÕES EXCÊNTRICAS

Excentricidades nas sapatas podem ser causadas pela existência de momentos fletores ou força horizontal no pilar, como também pela carga vertical, quando aplicada fora do centro de gravidade da base da sapata, como as sapatas de divisa (Figura 45).

N e di vi sa N H M N MA HA A B N MB HB

Figura 45 – Sapatas isoladas sob ações excêntricas.

2.10.1 Excentricidade em Uma Direção

a) Ponto de aplicação da força dentro do núcleo central de inércia (Figura 46)

Ocorre quando 6 A

A B A 6 B 6 e N

σ

máx

σ

mín N núcleo

Figura 46 – Ponto de aplicação da força dentro do núcleo central de inércia.

I y M B A N ⋅ ± ⋅ = σ ) A e 6 1 ( B A N máx + ⋅ = σ ) A e 6 1 ( B A N máx − ⋅ = σ

b) Ponto de aplicação da força no limite do núcleo central ) 6 A e ( = (Figura 47) A A 6

σ

máx N

Figura 47 – Ponto de aplicação da força no limite do núcleo central.

B A N 2 máx ⋅ = σ

c) Ponto de aplicação da força fora do núcleo central ) 6 A e

( > (Figura 48)

Parte da base da sapata (e solo) fica sob tensões de tração (σmín < 0). Neste caso, um novo

diagrama triangular é adotado, excluindo-se a zona tracionada, e com o CG (CP) do triângulo coincidente com o limite do novo núcleo central. A tensão de compressão máxima aumenta para:

A A 6 σmáx, 1 N e B LN σmín 6 A0 σmáx LN 3(A/2 - e) A0

Figura 48 – Ponto de aplicação da força fora do núcleo central.       − = σ e 2 A B 3 N 2 máx

2.10.2 Excentricidade nas Duas Direções

A Figura 49 mostra o desenho em planta de uma sapata com excentricidades nas duas direções. y x eB e_A A B N

Figura 49 – Sapata com excentricidade nas duas direções.

O equilíbrio é obtido com as pressões atuando em apenas uma parte da área da base da sapata, e: I x M I y M B A N _{B A}⋅ ± ⋅ ± ⋅ = σ

N MB HB B N MA HA A Figura 50 – Forças e momentos fletores atuantes na sapata.

h H M M_A'base = _A+ _A⋅ , MB'base =MB+HB⋅h N M e A A = , N M e B B = a) Quando 6 1 B e A e_{A B} ≤ + (Figura 51) y x eB eA A B N CG σmáx σmín

Figura 51 – Tensões na sapata para

6 1 B e A eA B ≤ + .       + + ⋅ = σ B e 6 A e 6 1 B A N A B máx       − − ⋅ = σ B e 6 A e 6 1 B A N A B min

b) Quando 6 1 B e A e_{A B} > + (Figura 52) y x eB eA A B N 2 1 4 3 σmáx σmín α seção comprimida

Figura 52 – Tensões na sapata para

6 1 B e A e_{A B} > + . B A K N 1 1 máx ⋅ ⋅ = σ = σ

σmín = σ4 = K4 σ1 (fictício, não considerado)

σmín = σ4 < 0

K1 e K4 são determinadas no ábaco mostrado na Figura 53.

Num ponto qualquer de coordenadas (x, y) a tensão é:

(

)

α +     α + σ − σ + σ = σ tg A B 1 tg A B B y A x 4 1 4 mín

Figura 53 – Ábaco para determinação das tensões máximas nas sapatas retangulares rígidas para ação com dupla excentricidade (Montoya, 1973).

Notas:

- Em todos os casos analisados deve-se ter, para a combinação de carregamento mais desfavorável, σ_máx =1 σ,3 _solo;

- Para as cargas permanentes atuantes sobre a sapata, a base da sapata deve estar inteiramente comprimida, isto é: 6 1 B e A e_{A,g B,g} ≤

+ (G = peso próprio e solo sobre a sapata - Figura 54).

Gs2

Gb2

Gs1

Gb1

Figura 54 – Forças representativas do peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata.

- Para garantir a segurança contra tombamento da sapata, na condição mais desfavorável, pelo menos a metade da base da sapata deve estar comprimida, o que se consegue fazendo:

9 1 B e A e_A 2 _B 2 ≤       +      

2.11 EXEMPLO 3 – Sapata Isolada sob Força Normal e um Momento Fletor

(Exemplo extraído de Newton C. P. Ferro, Notas de Aula, 2005, Departamento de Engenharia Civil, UNESP – Bauru/SP)

Para um pilar de 20 x 60 cm submetido a uma força de compressão de 820 kN e um momento fletor atuando em torno do eixo paralelo ao menor lado do pilar de 6200 kN.cm, dimensionar a fundação em sapata isolada, sendo conhecidos:

concreto C25, aço CA-50, σ_solo = 0,022 kN/cm² (0,22 MPa), armadura do pilar: 10 φ 12,5 mm.

Resolução

1) Calculo das dimensões (em planta) da sapata, sem considerar o efeito do momento fletor. Área do apoio da sapata:

000 . 41 022 , 0 820 1 , 1 N 1 , 1 S solo sap = ⋅ = σ = cm2

Dimensão em planta da sapata, com abas (balanços - c) iguais nas duas direções:

(

)

(

)

sap 2 p p p p b a S 4 1 a b 2 1 B= − + − + =

(

)

(

20 60

)

41000 183,5 4 1 60 20 2 1 2 = + − + − cm

A – ap = B – bp

A = ap – bp + B = 60 – 20 + 185 = 225 cm

Tensões na base da sapata (Figura 55):

I y M B A N ⋅ ± ⋅ = σ 2 A y = ; 12 A B I 3 ⋅ = 9 , 6 820 1 , 1 6200 N 1 , 1 M e = ⋅ = = cm 5 , 37 6 225 6 A = = cm 5 , 37 6 A 9 , 6

e= < = cm → a força está aplicada dentro do núcleo central de inércia.

0257 , 0 225 9 , 6 6 1 185 225 820 1 , 1 máx =      ⋅ + ⋅ ⋅ =

σ kN/cm2>σsolo =0,022 ∴ não ok!

Aumentando a seção da base da sapata para: A = 240 cm ; B = 200 cm Obedecendo: p p b a B A− = − → 240 – 200 = 60 – 20

A tensão máxima passa a ser : σmáx = 0,022 kN/cm2=σsolo → ok!

0156 , 0 ) 240 9 , 6 6 1 ( 200 240 820 1 , 1 mín − ⋅ = ⋅ ⋅ = σ kN/cm2 > 0 (como esperado!)

60 2 0 18 5 225 N M 1,1N A B M M I My 0,0220 0,0156

Figura 55 – Dimensões da sapata e esquema da reação do solo.

2) Altura da sapata

Fazendo como sapata rígida, conforme o CEB-70: 90 2 60 240 2 a A c 5 , 1 tg 5 , 0 ≤ β≤ → = − p = − = cm 135 h 45 5 , 1 90 h 5 , 0 ≤ ≤ → ≤ ≤ cm Pelo critério da NBR 6118/03: 60 3 60 240 3 a A h≥ − p ≥ − ≥ cm

É importante definir a altura da sapata também em função do comprimento de ancoragem da armadura longitudinal do pilar (10 φ 12,5 mm): considerando situação de boa aderência, com gacho, C25, CA-50 (nervurado): lb = 33 cm.

Adotado h = 60 cm > lb = 33 cm (sapata rígida)

Verificação: ≤ ≤ → ≤c≤2⋅ 2 60 h 2 c 2 h 60 30 ≤ c = 90 ≤ 120 cm → ok!

Momentos fletores nas seções de referência S1 (Figura 56):

a 60 b ₂₀ B 20 0c m A 240cm 0,022 0,0156 C 90 C 90 C 90 C 90 bp ap h ₆₀ d 55 x 99 xa 0,15 a = 9ap S1A P1A KN cm² CB CB CA CA 0,022 0,01936 P1A 99 49,5 66 33 49,5 0, 13 1 1, 91 7

Figura 56 – Seção de referência S1A .

Dimensão A:

(

)

_{99 0,01936} 240 0156 , 0 022 , 0 022 , 0 p_1A = − − = kN/cm2 (ver Figura 56)

(

1,917 49,5 0,132 66

)

200 20.708 M_1A = ⋅ + ⋅ = kN.cm

Dimensão B (considerando a pressão média e diagrama retangular – ver Figura 57): 0188 , 0 2 0156 , 0 022 , 0 p_méd = + = kN/cm2 512 . 19 2 ) 20 15 , 0 90 ( 240 0188 , 0 2 x A p M 2 2 B B 1 = ⋅ = ⋅ + ⋅ = kN.cm Armaduras de flexão:

26 , 14 5 , 43 55 85 , 0 20708 4 , 1 A_sA = ⋅ ⋅ ⋅ = cm2 13 , 7 100 200 26 , 14 = cm2/m → φ 10 mm c/11 cm (7,27 cm2/m) 43 , 13 5 , 43 55 85 , 0 19512 4 , 1 A_sB = ⋅ ⋅ ⋅ = cm2 60 , 5 100 240 43 , 13 = cm2/m → φ 10 mm c/14 cm (5,71 cm2/m) Nota-se que: ok! 5 1 94 , 0 26 , 14 43 , 13 → ≥ = S2A S 2B p 2A = 0,0₂₀₃ 0,022 0,022 0,0188 (valor médio) 0,0156 0,0156

Figura 57 – Esquema de reações do solo na base da sapata.

Forças cortantes nas seções de referência S2 (Figura 58):

5 , 62 2 55 60 240 2 d a A c_2A = − p− = − − = cm 5 , 62 2 55 20 200 2 d b B c2B p = − − = − − = cm cm 25 h adotado cm 20 cm 20 3 60 3 h h0 → 0 =     = = ≥

a 60 b ₂₀ B 20 0c m A 240cm 0,022 KN cm² 0,0156 d₂ 27,5 b C 62 ,5 bp ap h ₆₀ d 55 S2A P_2A d 2 27 ,5 C2B b2A C 62,5 C_2A S2A S2B h ₂₅ h0 d d2A = 0,0203

Figura 58 – Seção de referência S2A .

A 2 p 0 A 2 1,5c a A h h 1 d d ≤         − − − = cm 8 , 93 5 , 62 5 , 1 c 5 , 1 c 5 , 1 _2A = _2B = ⋅ = 3 , 44 60 240 25 60 1 55 d_{2A } _= − − − = cm ! ok cm 8 , 93 cm 3 , 44 d_2A = ≤ → B 2 p 0 B 2 1,5c b B h h 1 d d ≤         − − − = B 2 B 2 1,5c 20 200 25 60 1 55 d _ _≤ − − − = ! ok cm 8 , 93 cm 3 , 44 d d_2B = _2A = ≤ →

Larguras b2A e b2B : cm 75 55 20 d b b_2A = _p+ = + = cm 115 55 60 d a b_2B = _p + = + = A 2 méd A p Bc V = 200 62,5 264,4 2 0203 , 0 0220 , 0 = ⋅       + = kN 1 , 370 4 , 264 4 , 1 V_dA = ⋅ = kN VB na seção S2B : B 2 méd B p Ac V = 240 62,5 282,0 2 0156 , 0 022 , 0 = ⋅       + = kN 8 , 394 0 , 282 4 , 1 V_dB = ⋅ = kN

Força cortante limite (CEB-70):

ck 2 2 c ,lim d b d f 474 , 0 V ⋅ ⋅ ρ⋅ γ = A 2 sA A d 100 A = ρ 0,00164 3 , 44 100 27 , 7 = ⋅ = B 2 sB B d 100 A = ρ 0,00129 3 , 44 100 71 , 5 = ⋅ = 9 , 227 25 00164 , 0 3 , 44 75 4 , 1 474 , 0 V_dA,lim = ⋅ ⋅ ⋅ = kN kN 9 , 227 V 1 , 370 V_dA = > _dA,lim = kN 6 , 309 25 00129 , 0 3 , 44 115 4 , 1 474 , 0 V_dB,lim = ⋅ ⋅ ⋅ = kN 6 , 309 V 1 , 394 V_dB = > _dB,lim =

Como as forças cortantes solicitantes são maiores que os valores limites, é necessário colocar armadura transversal, pelo menos segundo o CEB-70. Se forem considerados os limites sugeridos por Machado (1988) para sapata rígida:

2 2 c ck lim , d b d f 63 , 0 V γ =

kN 6 , 747 3 , 44 75 10 25 4 , 1 63 , 0 V_dA,lim = ⋅ ⋅ = ! ok kN 6 , 747 V 1 , 370 VdA = < dA,lim = → kN 3 , 146 . 1 3 , 44 115 10 25 4 , 1 63 , 0 V_dB,lim = ⋅ ⋅ = ! ok kN 3 , 146 . 1 V 8 , 394 V_dB = < _dB,lim = →

com esses limites não é necessário colocar armadura transversal. Verificação da diagonal comprimida:

cm 160 ) 60 20 ( 2 uo = + = (Figura 59)

60

a

_p

20

b

p

Figura 59 – Perímetro do pilar – superfície crítica C.

kN 148 . 1 820 4 , 1 N N F_Sd = _Sd =γ_f ⋅ = ⋅ = Tensão de cisalhamento atuante:

1305 , 0 55 160 1148 d u F o Sd Sd = ⋅ = = τ kN/cm2 = 1,305 MPa

Tensão de cisalhamento resistente:

43 , 0 4 , 1 5 , 2 250 25 1 27 , 0 f 27 , 0 _{v cd} 2 , Rd  =      − = α = τ kN/cm2 = 4,3 MPa MPa 3 , 4 MPa 305 , 1 Rd,2 Sd = <τ = τ

Portanto, não irá ocorrer o esmagamento das bielas comprimidas.

Detalhamento (Figura 60)

As armaduras serão distribuídas uniformemente nas direções A e B, pois A ≅ B. Para a armadura de flexão recomenda-se 10 cm ≤ espaçamento ≤ 20 cm.

Comprimento dos ganchos das armaduras de flexão, considerando: φ 10 mm, C25, boa aderência, sem gancho: lb = 38 cm.

Comprimento de ancoragem existente na horizontal e na extremidade da barra (ver Figura 60):

26 60 4

Portanto, o comprimento do gancho na vertical deve ser: ℓgancho = 38 – 26 = 12 cm ≈ 15 cm

Tem-se também os valores: cnom = 4,0 cm, lφ,pilar = 33 cm.

60 25 N 1 - 17 c /1 1 N2 - 16 c/14 90 54 ≥ l Ø , pi la r lb Øl ØØ , pilarl 16 Ø10 17 Ø10 c/ 11 h 60 90 - 4 - 60 = 26cm_{} }} c h 12 N1 - 17 Ø10 C = 260 15 230 15 N 2 - 16 Ø 10 C = 2 20 19 0 15 15

Figura 60 – Detalhamento das armaduras de flexão da sapata.

2.12 EXEMPLO 4 – SAPATA ISOLADA SOB FLEXÃO OBLÍQUA

(Exemplo de Edja L. Silva, Dissertação de Mestrado, 1988, EESC-USP, São Carlos/SP)

Dimensionar a sapata isolada de um pilar considerando:

- seção do pilar: 40 x 60 cm ; φl,pilar = 22 φ 20 mm, sendo parte tracionada;

- N = 1.040 kN;

- concreto C20; aço CA-50; cnom = 4,5 cm

- σsolo =500 kN/m2;

- momentos fletores: Mx = 280 kN.m ; My = 190 kN.m

Resolução

2 solo sap 2,288m 500 1040 1 , 1 N 1 , 1 S = ⋅ = σ =

Fazendo abas (balanços) iguais: cA = cB = c:

(

)

(

)

sap 2 p p p p b a S 4 1 a b 2 1 B= − + − +

(

)

(

0,4 0,6

)

2,288 1,42m 4 1 6 , 0 4 , 0 2 1 B= − + − 2+ = adotado B = 1,40 m m 60 , 1 A adotado m 63 , 1 40 , 1 288 , 2 B S A= sap = = → =

b) Verificação das tensões na base da sapata

Excentricidades da força vertical (Figura 61):

B 14 0c m A 160cm x y 60 40 N N Mx N My

Figura 61 – Dimensões e esforços solicitantes na sapata.

N = 1.040 kN ; Mx = 280 kN.m ; My = 190 kN.m cm 27 m 270 , 0 1040 280 ex = = = cm 3 , 18 m 183 , 0 1040 190 ey = = =

Cálculo da tensão máxima σ1 com auxílio do ábaco (ver Figura 53): 13 , 0 140 3 , 18 B e 17 , 0 160 0 , 27 A e y y x x = = = η = = = η

→ ábaco (Figura 53) → λ1 = 0,34, zona C

650 500 3 , 1 3 , 1 B A F solo 1 V 1 ≤ σ ≤ ⋅ = ⋅ ⋅ λ = σ kN/m2 502 . 1 4 , 1 6 , 1 34 , 0 1040 1 , 1 1 = ⋅ ⋅ ⋅ =

σ kN/m2 >> 1 σ,3 solo= 650 kN/m2 → não ok!

As dimensões da sapata devem ser aumentadas!

Nova tentativa com A = 220 cm e B = 200 cm (cA = cB = c = 80 cm):

12 , 0 220 0 , 27 x = = η 09 , 0 200 3 , 18 y = = η Verifica-se que: ) base na tração há ( 6 1 21 , 0 B e A e y x y x > = η + η = +

no ábaco (Figura 53): λ1 = 0,44, α = 36°, λ4 = 0,10 e zona C.

Tensões nos vértices da sapata (Figura 62): 591 0 . 2 . 2 , 2 . 44 , 0 1040 . 1 , 1 1= = σ kN/m2 < 1 σ,3 solo= 650 kN/m2 → ok! 1 , 59 591 . 10 , 0 1 4=−λ₄σ =− =− σ kN/m2 (fictícia) ° + ° ° + − = α + α α σ − σ − σ = σ 36 cos 36 sen 36 sen ) 1 , 59 591 ( 591 sen sen sen ) ( _{1 4} 1 2 σ2 = 317,4 kN/m2 ° + ° ° + − = α + α α σ − σ − σ = σ 36 cos 36 sen 36 sen ) 1 , 59 591 ( 591 sen sen sen ) ( 1 4 1 3 σ3 = 214,5 kN/m2

215

591

-59

317

LN

Figura 62 – Tensões nos vértices da sapata.

c) Verificação do tombamento da sapata

111 , 0 9 1 9 1 B e A e 2 y 2 x 2 y 2 x ≤ ≤ η + η ⇒ ≤       +       ! ok 111 , 0 023 , 0 09 , 0 12 , 0 2+ 2 = < →

Deve ainda ser verificada a equação:

6 1 B e A e_{x,g y,g} ≤ +

d) Determinação da altura (sapata rígida) Pelo critério do CEB-70:

cm 120 h 40 5 , 1 80 h 5 , 0 5 , 1 tg 5 , 0 ≤ β≤ → ≤ ≤ → ≤ ≤ Pela NBR 6118/03: 3 , 53 3 ) 60 220 ( 3 ) a A ( h≥ − p ≥ − ≥ cm

Para a armadura do pilar (22 φ 20 mm) será utilizado o gancho a fim de diminuir o comprimento de ancoragem e a altura necessária para a sapata. Para φ 20, C20, boa aderência, com gancho, resulta lb = 61 cm, e, considerando a distância do gancho à base da sapata = 7 cm:

Será adotado h = 75 cm, d = 75 – 5 = 70 cm. cm 35 h adotado cm 20 cm 25 3 75 3 h h_o → _o =     = = ≥

e) Determinação dos esforços solicitantes conforme o CEB-70

Verificação: 80 2 75 2 75 h 2 c 2 h ⋅ ≤ ≤ → ≤ ≤ ! ok cm 150 80 c 5 , 37 ≤ = ≤ →

e1) Momentos fletores nas seções de referência S1 (Figura 63)

Para simplificação pode-se admitir uma tensão uniforme de referência como:

    σ σ ≥ σ méd máx ref 3 2 215 591 -59 317 403 439 E F G H D B C A 454 x B 86 B = 20 0 165 xA 89 A = 2₂₀ 473 97 S 1B S1A 302

Figura 63 – Tensões na base da sapata e seções de referência S1 .

Como simplificação a favor da segurança será considerada a maior tensão entre aquelas na metade dos lados A e B.

Dimensão A (S1A): 2 89 , 0 0 , 2 0 , 454 2 x B p M 2 2 A A = ⋅ ⋅ = ⋅

0 , 454 2 317 591 p= + = kN/m2 MA = 359,61 kN.m = 35.961 kN.cm MA,d = 1,4 . 35961 = 50.346 kN.cm Dimensão B (S1B): 2 86 , 0 2 , 2 0 , 403 2 x A p M 2 2 B B = ⋅ = ⋅ ⋅ 0 , 403 2 215 591 p= + = kN/m2 MB = 327,86 kN.m = 32.786 kN.cm MB,d = 1,4 . 32786 = 45.901 kN.cm

e2) Forças cortantes na seção S 2 (Figura 64) 215 591 -59 317 514 H D B C C 45 B = 20 0 C 45 A = 2₂₀ 240 S 2B S2A A C2B C 2A 153 F G E 529

Figura 64 – Seções de referência S2 .

cm 45 2 70 60 220 2 d a A c_2A = − p− = − − = cm 45 2 70 40 200 2 d b B c_B = − p− = − − =

As forças cortantes nas direções A e B da sapata são os volumes mostrados na figura. A força VA por exemplo é o volume da figura compreendida entre as áreas ABCD e EFGH.

0 , 374 0 , 2 45 , 0 4 591 514 317 240 V_A = + + + ⋅ = kN 3 , 368 2 , 2 45 , 0 4 591 529 215 153 V_B = + + + ⋅ = kN Valores de cálculo: VA,d = 1,4 . 374,0 = 523,6 kN VB,d = 1,4 . 368,3 = 515,6 kN

Tarefa: Fazer os demais cálculos, verificações e o detalhamento final das armaduras. 2.13 SAPATA ISOLADA FLEXÍVEL SOB CARGA CENTRADA

Sapatas flexíveis são aquelas onde:

3 ) a -(A < h p − segundo o critério da NBR 6118/03; tg β < 0,5 – segundo o critério do CEB-70.

São menos utilizadas que as sapatas rígidas, sendo indicadas para cargas baixas e solos relativamente fracos (NBR 6118, item 22.4 2.3). A verificação da punção é obrigatória.

Os momentos fletores podem ser calculados em cada direção segundo quinhões de carga, determinados geometricamente, repartindo-se a área da sapata em “áreas de influência”. O mesmo critério é adotado para cálculo das forças cortantes. As áreas podem ser retangulares, triangulares ou trapezoidais (Figura 65):

2 2 1 1 N 2 N 2 A2 A1 A1 A4 A3 A2 N 4 A1 A4 A3 A2 N 4 2 2 1 1

Figura 65 – Áreas relativas aos quinhões de carga: retangular, triangular e trapezoidal.

Os momentos fletores calculados com área triangular e trapezoidal são praticamente idênticos, e com área retangular são exagerados.

a) Área triangular 3 a 4 N - 3 A 4 N = M_A p _           

) a -(A 12 N = M_{A p} N 4 aap bbp B A A 3

Figura 66 – Quinhões de carga por área triangular.

) a -(A 2 1 ) b + (B 2 1 p = V_{A p p}       −       − A a 1 B b 1 4 N = V_A p p

onde: N = força vertical aplicada pelo pilar na sapata; p = reação do solo na base da sapata.

Na outra direção: ) b -(B 12 N = MB p       −       − A a 1 B b 1 4 N = V_B p p b) Área de trapézio 2 2 1 1 aap bbp xxCG B A 2 ap N 4

A carga N/4 é aplicada no centro de gravidade do trapézio, com:               p p p CG b + B b + 2B 6 a -A = x

Os momentos fletores no centro da sapata são:

        +         + + − 6 a b B b B 2 6 a A 4 N = M p p p p A         +         + + − 6 b a A a A 2 6 b B 4 N = M p p p p B

As forças cortantes nas seções 1 e 2 são:

      −       − A a 1 B b 1 4 N = V_A p p       −       − A a 1 B b 1 4 N = V_B p p

2.14 VERIFICAÇÃO DE SAPATA FLEXÍVEL À FORÇA CORTANTE QUANDO bW ≥≥≥≥ 5d

A força cortante nas sapatas pode ser verificada como nas lajes quando bw ≥ 5d (NBR

6118, item 19.4). As lajes não necessitam de armadura transversal à força cortante quando: VSd ≤ VRd1

(bw = largura da sapata na direção considerada)

com: d b ] 0,15 + ) 40 + (1,2 k [ = V_Rd1 τ_Rd ρ₁ σ_{cp w}

onde: τRd = tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento;

k = coeficiente igual a 1 para elementos onde 50 % da armadura inferior não chega até o apoio; para os demais casos k = | 1,6 – d | > 1, com d em metros;

0,02 d b A = w s1 1 ≤ ρ c Sd cp A N = σ

NSd = força longitudinal na seção derivada à protenção ou carregamento (compressão

As1 = área da armadura de flexão que se estende pelo menos d + lb,nec além da seção

considerada.

2.15 EXEMPLO 5 – Sapata Flexível

Resolver a sapata do Exemplo 3 como sapata flexível.

Resolução

A sapata foi resolvida como rígida, com h = 60 cm. Pelo critério da NBR 6118 a sapata será flexível se h < 60 cm. Como a armadura principal do pilar tem lb = 33 cm, deve-se atender

esse valor. A sapata será flexível adotando: h = 55 cm e d = 50 cm > lb = 33 cm

a) Momentos fletores e forças cortantes a.1) Área por triângulos (Figura 68)

As fórmulas desenvolvidas são para sapata com carga centrada. Para aplicação neste exemplo, onde ocorre momento fletor e a pressão na base não é unifforme, é necessário adotar um critério para uniformizar a pressão. Um critério é:

    = + = σ + σ = ⋅ = σ ≥ σ = 0188 , 0 2 0156 , 0 022 , 0 2 0176 , 0 022 , 0 8 , 0 8 , 0 p _{máx mín} máx base p = σbase = 0,0188 kN/cm2 N 4 a 60 ap b ₂₀ bp B ₂₀0 A 240 A 3 0,022 KN cm² 0,0156 p = 0,0188

Com p pode-se determinar N: 200 240 0,0188 = B A p = N B A N = p → ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ N = 902,4 kN (já majorado em 1,1) 13.536 = 60) (240 12 902,4 = ) a A ( 12 N = MA − p − kN.cm

Esse momento representa 65 % do momento fletor M1A calculado segundo o CEB-70.

536 . 13 ) 20 200 ( 12 4 , 902 ) b B ( 12 N M_B= − _p = − = kN.cm

Tarefa: se para o cálculo de M1B (CEB-70) também foi utilizada a pressão média, por que os

momentos fletores tem uma diferença de 30 %? Forças cortantes:       − ⋅       − =       − ⋅       − = 240 60 1 200 20 1 4 4 , 902 A a 1 B b 1 4 N V_A p p VA = VB = 152,3 kN

a.2) Área por trapézios (Figura 69)

a 60 ap b ₂₀ bp B ₂₀0 A 240 = 0,0188 KN cm² pméd B

Figura 69 – Área de um trapézio e reação do solo.

kN 3 , 152 A a 1 B b 1 4 N V V_{A B} p p_=      − ⋅       − =

        +         + + ⋅       − = 6 a b B b B 2 6 a A 4 N M p p p p A       +       + + ⋅ ⋅       − = 6 60 20 200 20 200 2 6 60 240 4 4 , 902 M_A MA = 15.177 kN.cm         +         + + ⋅       − = 6 b a A a A 2 6 b B 4 N M p p p p A       +       + + ⋅ ⋅       − = 6 20 60 240 60 240 2 6 20 200 4 4 , 902 M_A MB = 12.934 kN.cm

M

_B

M

_A

B

A

Figura 70 – Indicação dos momentos fletores solicitantes.

b) Armadura de flexão

Adotando os momentos fletores calculados para as áreas de trapézios, tem-se:

2 yd d sA 11,49cm 5 , 43 50 85 , 0 15117 4 , 1 f d 85 , 0 M A = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = → contra 14,26 cm2 do Exemplo 3 2 sB 9,79cm 5 , 43 50 85 , 0 12934 4 , 1 A = ⋅ ⋅ ⋅ = → contra 13,43 cm2 do Exemplo 3

A NBR 6118/03 não prescreve armadura mínima para sapata, porém, para as sapatas flexíveis pode-se considerar:

d b % 10 , 0 A_s,mín = ⋅ ⋅ 2 mín , sA 0,0010 200 50 10,00cm A = ⋅ ⋅ = 2 mín , sB 0,0010 240 50 12,00cm A = ⋅ ⋅ = Portanto: 2 sA 11,49cm A = (5,75 cm2/m → φ 10 mm c/14 cm = 5,71 cm2/m)

2 sB 12,00cm A = (5,00 cm2/m → φ 10 mm c/16 cm = 5,00 cm2/m) 00114 , 0 50 100 71 , 5 A = ⋅ = ρ 00100 , 0 50 100 00 , 5 B = ⋅ = ρ c) Verificação da punção

c1)Verificação da superfície crítica C’ (Figura 71)

B ₂₀0 A 240 a* a* C C'

Figura 71 – Superfície critica C’ e distância a*.

cB = cA = 90 cm

2d = 2 . 50 = 100 cm > cB e cA

Portanto a* = cB = cA = 90 cm

Adotar 2d para a*; se 2d > cA ou cB , adotar para a* o menor entre cA e cB .

Tensão de cisalhamento solicitante (τSd) para sapata com um momento fletor externo

solicitante: d W M K d * u F p Sd Sd Sd = + τ

Área limitada pelo contorno C’:

( )

2 p p p p ' C , cont a b 2a*a 2a*b a* A = ⋅ + + +π

( )

2 ' C , cont 60 20 2 90 60 2 90 20 90 A = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +π Acont, C’ = 41.046 cm2

0188 , 0 2 022 , 0 0156 , 0 p_méd = + = kN/cm2

Força na área Acont, C’ devido à reação do solo:

      = ⋅ γ = ∆ 41046 1 , 1 0188 , 0 4 , 1 ) A p ( F_{Sd f médio cont,C'}

1,1 é para não considerar o solo sobre a sapata. ∆FSd = 982,0 kN

Força sobre a sapata reduzida da reação do solo: FSd,red = FSd - ∆FSd kN 9 , 165 982 820 4 , 1 F_Sd,red = ⋅ − = Perímetro u* do contorno C’: cm 5 , 725 * u 90 2 20 2 60 2 * u * a 2 b 2 a 2 * u p b = ⋅ π + ⋅ + ⋅ = π + + = Parâmetro K: C a C1 ap C b C1 bp e N e_{1 M} sd Figura 72 – Parâmetros C1 e C2 . C1 = ap = 60 cm 3 C C 2 1 _{= → na Tabela 1, K = 0,80} C2 = bp = 20 cm 1 2 2 2 1 2 1 p C C 4C d 16d +2 d C 2 C W = + ⋅ + ⋅ + π⋅ ⋅ (sapata retangular) com d = a*: 0 6 0 9 2 + 0 9 16 0 9 0 2 4 0 2 60 2 0 6 W 2 2 p = + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ π⋅ ⋅