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A matemática e as tic no processo de ensino e aprendizagem : o geogebra no ensino de funções e gráficos de uma função

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UNIVERSIDADE DE LISBOA INSTITUTO DE EDUCAÇÃO

A MATEMÁTICA E AS TIC NO PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM. O GEOGEBRA NO ENSINO DE FUNÇÕES E

GRÁFICOS DE UMA FUNÇÃO

Inês António Gomes Cruz Van-Dúnem

MESTRADO EM EDUCAÇÃO

Área de Especialidade em Educação e Tecnologias Digitais

Dissertação Orientada por Professora Doutora Neuza Pedro

(2)
(3)

ii

AGRADECIMENTOS

À Deus, pela energia que rege o universo, pela motivação e força que nunca me deixou faltar. À minha orientadora Professora Dr. Neuza Pedro e ao Professor Doutor João Filipe Matos, pela orientação, paciência, o apoio por aceitarem o convite para acompanharem todos os detalhes e avaliarem o trabalho, pois a elaboração deste trabalho não seria possível sem a colaboração, estímulo e empenho dos professores. À minha família que me deu todo o suporte para que eu realizasse meu sonho. Obrigada Plácido Van-Dúnem, por acompanhares toda essa trajetória, o apoio em todos os sentidos, marido e amigo, por admirares a esposa que sou, a força, motivação nas horas mais difíceis. Obrigada aos meus filhos, Eunice Van-Dúnem, Gilberto Van-Dúnem, Marisa Van-Dúnem, Delsom Van-Dúnem e o Yuri Van-Dúnem (que com seu saber de informática de gestão, ajudou a recuperar o trabalho no computador quantas vezes fosse possível) por compreender a minha ausência em muitos momentos, torcendo sempre que eu conquistasse os meus objetivos. Um agradecimento especial para a família Braima Injai, pela amizade.

À minha mãe pela dedicação, que nunca deixou de orar por mim, pelo carinho e incentivo para trilhar o meu caminho. A todas as pessoas que me acompanharam, direto e indiretamente acreditaram em mim, o meu muito obrigada!

(4)

iii “A Tecnologia é essencial no ensino e na aprendizagem

da matemática; influencia a matemática que é ensinada e melhora a aprendizagem dos alunos”

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iv

RESUMO

A referida investigação teve como propósito demonstrar qual o contributo do uso de Software educativos na motivação e aprendizagem dos alunos para o desenvolvimento de competências matemáticas. A utilização adequada da tecnologia de informação e comunicação permite resultados positivos no conhecimento, aperfeiçoa o ensino e a aprendizagem da Matemática. Este trabalho de Dissertação de Mestrado em educação, na especialização educação em tecnologias digitais, apresenta como tema: As TIC no processo de ensino e aprendizagem da Matemática, em particular a utilização de tecnologias para o ensino de funções e gráficos de uma função. Apresentamos um plano de apoio à resolução dos problemas e de aplicação de exercícios de correspondências de funções lineares e quadráticas, utilizando o Software educativo Geogebra. A investigação seguiu uma metodologia mista - qualitativa e quantitativa, envolvendo alunos da 10ª classe, do 2º ciclo do ensino secundário no ano letivo 2013/2014. Durante o desenvolvimento do trabalho foi possível notar bastante motivação dos alunos e plena disponibilidade para a realização das atividades, o que contribuiu para o desenvolvimento de competências dos alunos. Acreditamos que esta proposta poderá contribuir para a melhoria da qualidade do ensino da Matemática e mais especificamente para o ensino de funções e gráficos, e esperemos que este trabalho possa servir como inspiração aos professores de Matemática em Angola para a adopção de metodologias de ensino e aprendizagem mais inovadoras.

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v

ABSTRACT

This investigation has the purpose of demonstrate the contribution of the use of educational software in the students learning, motivation and development of mathematical skills, specifically for students with learning difficulties. The appropriate use of ICT in learning is inevitable, hoping that their use improves mathematics teaching and learning. This Master degree thesis in Education, specialization in education and digital technologies, presents to the secondary school students, the theme functions and graphs of a function for recovering pupils with learning difficulties in these topics. For this reason we present a study for supporting the resolution of problems in the exploitation and application of exercises of matches linear and quadrati cfunctions by using an educational software Geogebra. This research followed a qualitative and quantitative methodology, involving students of the 10th year, 2nd cycle of secondary education, in the thirth trimestre of 2013/14. During the development of the study it was possible to note a high level of student motivation and full availability for the accomplishment of the activities even after the predicted time, which resulted in the development of technological skills and geometric knowledge. We believe that the project contributed to na overall improvement of the quality of mathematics teaching and more specifically in teaching functions and graphics, and we also hope that this work can serve as an inspiration to mathematics teachers in Angola for adopting of more innovative methods of teaching and learning.

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vi AGRADECIMENTOS... ii RESUMO ... iv ÍNDICE GERAL………..vi ÍNDICE DE TABELAS ... ix ÍNDICE DE GRÁFICOS ... xi

ÍNDICE DOS QUADROS………xi

INDICE DE FIGURAS………..……..xii

INDICE DOS ANEXOS……….xiv

SIGLAS ... xv

INTRODUÇÃO ... 1

II - Estrutura da dissertação ... 4

CAPÍTULO I – ENQUADRAMENTO TEÓRICO ... 5

1.1 - Motivação da aprendizagem. Uso das novas tecnologias ... 8

1.2 - Conceito de funções e suas dimensões - Funções e Gráficos... 9

1.3 - Aprendizagem da Matemática e as Tecnologias Digitais ... 12

1.3.1 – Tecnologias de Informação e Comunicação………..…..14

1.3.2 - O Plano Cartesiano………...16

1.3.3 - Software Educativo Geogebra - Angola………...19

1.3.4 - O Geogebra – Software Educativo………...20

1.3.5 - A Matemática e as Tecnologias de Informação e Comunicação………..23

1.4 – O Conceito de Aprendizagem ... 29

1.5 – Aprendizagem com as Tecnologias Digitais ... 32

1.6 - Dificuldades na aprendizagem da Matemática ... 34

1.7 - Sistema Educativo no Contexto Angolano... 36

1.7.1 - Programas do Ensino Secundário em Angola ... 37

1.8 – Limitações das Tecnologias Digitais ... 39

1.9 - Ferramentas Cognitivas da Aprendizagem... 41

1.10 – Pensamento algébrico………41

1.11 – Os Livros Didáticos – Reforma Educativa ... 43

1.12 - Funções Quadráticas – Representação Gráfica... 45

CAPITULO 2 – A PROBLEMÁTICA, OBJETIVOS E QUESTÕES DA INVESTIGAÇÃO ... 48

(8)

vii

2.1.1 - Objetivo geral ... 48

2.1.2 - Objetivos específicos ... 49

2. 2 - Questões de Investigação ... 49

CAPITULO 3 - METODOLOGIA DE INVESTIGAÇÃO ... 50

3.1 – Participantes e Instrumentos de Recolha de Dados... 51

3.2 - Técnicas de Investigação ... 53

3.2.1 – Inquérito por Questionário ... 53

3.2.2 – Entrevistas estruturadas e Conversas Informais ... 54

3.3 - Avaliação do Ensino em Angola ... 55

3.4 - Exploração do Software Educativo Geogebra ... 56

3.5 – Planificação da unidade temática – Aulas investigativas ... 61

CAPITULO 4 - APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS………64

4 - Apresentação dos Resultados ... 64

4.1 – Análise dos Resultados ... 65

4.1.2 - Fichas de trabalho – Aulas preparatórias ... 67

4.1.3 - Questionário inicial dos alunos………80

a) Apresentação dos resultados do questionário dos alunos ………...80

b) Respostas recolhidas dos alunos das vantagens – Software Geogebra ... 82

c) Resultados das desvantagens identificadas dos alunos ... 83

d) Resultados das Aulas de Matemática – Uso do Software Educativo Geogebra ... 84

e) Facilidade da realização das tarefas ... 85

4.1.4 - Questionário dos Professores de Matemática ... 86

4.1.5 – Entrevista do Professor de Plano Tecnológico ... 87

4.1.6 - Entrevista do Professor de Matemática ... 88

4.1.7 - Questionário final dos alunos ... 89

4.2 – Registo das aulas – Aulas práticas ... 91

4.2.1 - Aula 1: Definições elementares - Funções reais de variável real ... 92

4.2.2 - Aula 2: Noção de função ... 95

4.2.3 – Aula 3 e 4: Funções reais de variável real… ... 97

4.2.4 - Aula 5: Operações com Funções ... 102

4.2.5 - Aula 6 e 7: Funções quadráticas: ... 105

4.2.6 - Aula 8ª e 9ª - Software Educativo – Geogebra ... 109

(9)

viii

4.3 - Análise Descritiva ... 115

4.3.1- Reconhecer e interpretar funções representadas graficamente………119

4.3.2- Identificar e assinalar pares ordenados no plano cartesiano………121

4.3.3 – Construção de gráficos cartesianos - Figuras geométricas ... 125

4.3.3.1 - Trabalhos por grupos – Geogebra. ... 125

4.4 – Análise de dados ... 130

4.4.1 - Apresentação – Grupo A e Grupo B ... 132

4.5 – Conclusão ... 135

CAPITULO V – CONCLUSÕES FINAIS ... 139

(10)

ix

ÍNDICES DE TABELAS

Tabela1: Variáveis da forma canónica – Fonte Wikipédia, retirada a 12/2015 ... 12

Tabela 2: Planificação da unidade temática – investigação, elaborada pela investigador ... 61

Tabela 3: Registo das Ficha das atividades propostas para a investigação ………... ...62

Tabela 4: Desvantagens do Geogebra verificadas pelos alunos Grupo A (n = 45) ... 84

Tabela 5: Questionário dos professores de Matemática (n = 7). ... 87

Tabela 6: Perceção dos alunos na utilização do Software Geogebra, (n = 38)…..……… 91

Tabela 7: Par ordenado da função y = x2 ... 97

Tabela 8: Par ordenado da função y = 3x2 ………..106

Tabela 9: Distribuição dos alunos dos grupos por género, (n = 83). ... 130

Tabela 10: Constituído pelos itens - questionário inicial dos alunos ... 131

Tabela 11:Classificações obtidas nas Fichas de atividades ………...…....131

(11)

x

ÍNDICE DOS GRÁFICOS

Gráfico1: Trabalho de grupo versus trabalho individual. Grupo A (n = 45) ... 80

Gráfico 2: Preferência pelo trabalho de grupo (n = 37) Grupo B ... 81

Gráfico 3: Prefere trabalhar sozinho n = 8. Grupo A ……….... 82

Gráfico 4: Vantagens do Geogebra - (n = 45) – Grupo A ... 83

Gráfico 5: Aula de Matemática com Software Geogebra, Grupo A (n = 45) ... 85

Gráfico 6: Facilidade na realização das tarefas ... 86

Gráfico 7: A Distância percorrida pela Eunice. Wikipédia, enciclopédia livre ……….. 93

Gráfico 8:Análise estatística dos grupos A e B ………..133

Gráfico 9: Visualização das fichas de trabalho dos subgrupos do grupo A ………..……….134

(12)

xi

ÍNDICES DE QUADROS

Quadro 1: Características da função real da variável real- Função afim ... 99 Quadro 2: Caraterísticas das funções quadráticas ... 107 Quadro 3: Página inicial do Software geogebra ... 110

(13)

xii

ÍNDICE DE FIGURAS

Fig1: Plano cartesiano formado por dois eixos perpendiculares ... 17

Fig 2: Plano cartesiano representado por quadrantes………..………… 17

Fig3: Sistema de coordenadas cartesianas e seus pontos A,B,C,D,E. ………18

Fig4: Logotipo do Software GeoGebra 2010. Fonte Wikipédia, acedido aos 30/ 12/2014 ... 20

Fig 4.1: Tela do Software geogebra 2010 ... 21

Fig 4.2: Software Geogebra página inicial. Tela retirada do software Geogebra ... 22

Fig 5: Páginas do livro de Matemática- 10º ano - Reforma educativa ... 44

Fig 6: Faróis de um carro ………....47

Fig 6.1: Antena parabólica. Fonte Wikipédia 2015 ……….…………...47

Fig7: Opções disponíveis no botão novo Ponto………...…..…………. 57

Fig7.1: Opção do Botão de Ajuda ... 58

Fig 8: Construção das funções: y = ax ………..….………….68

Fig 8.1: Construção das funções: y = ax …...………....…………..68

Fig 8.2: Construção das funções: y = a x + b ………...………..69

Fig 8.3: Construção das funções: y = ax ………...………..69

Fig 8.4:Construção do gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c, grupo A- subgrupo………..…70

Fig 8.5: Construção do gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c, grupo A – subgrupo2…………...71

Fig 8.6: Construção do gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c, grupo B – subgrupo1……...………72

Fig 8.7: Atividade prática na tela do computador pelos alunos – grupo A subgrupo 3 ... 72

Fig8.8: Atividade prática na tela do computador pelos alunos – grupo A- subgrupo 6 ... 73

Fig 8.9: Atividade prática na tela do computador pelos alunos – grupo A- subgrupo 3... 73

Fig 8.10: Ficha de atividades grupo A – subgrupo 1………...74

Fig 8.11: Aulas práticas realizadas pelos alunos - subgrupo 1 Grupo A …………..………. 74

Fig 8.12: Ficha de atividades de trabalho ………..……… 75

Fig 8.13: Ficha de atividades grupo A – subgrupo 1………..……….75

Fig 8.14: Ficha de atividades grupo A – subgrupo 2.………..76

Fig 8.15: Ficha de atividades grupo B – subgrupo1………...……. 76

Fig 8.16 : Ficha de atividades grupo B – subgrupo 2………...…………....77

Fig 8.17: Ficha de atividades grupo B – subgrupo 4………77

Fig 8.18: Ficha de atividades grupo B – subgrupo 3………...… 77

(14)

xiii

Fig 8.20: Ficha de atividades grupo B – subgrupo 5………...………….………..78

Fig 8.21: Ficha de atividades grupo B – subgrupo 7………79

Fig8.22: Ficha de atividades grupo B – subgrupo 2……….…79

Fig 9: Exercício realizado – grupoAsub1 - funções e gráfico ………...94

Fig 10: Diagrama- Correspondência das funções. ... 96

Fig 11: Representação gráfica da função y = 1.5x + 1.1 Software Geogebra- 2013 ………..98

Fig 12: Exercício de aplicação resolvido por um aluno em grupo A ... 100

Fig 13: Representação do sinal dos quadrantes………..………...100

Fig 14: Representação gráfica de duas funções: y = -2x e y = 3x……….…....101

Fig 15: Representação Gráficos das funções, par - adaptada aos 10/2/2013……….102

Fig 15.1: - Representação Gráfico da função impar - adaptada aos 10/2/2013. ... 103

Fig 16: - Representação gráfica de uma função quadrática – par ordenado………..106

Fig 16.1: Representada gráfica da função quadrática………108

Fig:16.2 - Representada gráfica da função quadrática - Software Geogebra………108

Fig 17 – Tela do Geogebra Triangulo elaborado pelos alunos Grupo A ... 111

Fig 18: Tela do geogebra - Polígono ABCD elaborado pelos alunos – Grupo B ... 113

Fig 19: Representação gráfica da função y = 3.x + 2- geogebra ………..………..…...114

Fig 19.1: Representação gráfica da função y = x² + 4.x + 3, Parábola ... 115

Fig 20: Grupo A, subgrupo1 resposta a questão 1 tarefa………...119

Fig 20.1: Resposta à questão 1 aula preparatória – Grupo B. subgrupo2 ……..………...120

Fig 20.2: Resposta à questão 1 aula preparatória – Grupo B. subgrupo2………..………121

Fig 20.3: Resposta à questão 1 aula preparatória – Grupo B subgrupo3…………..……….……122

Fig 20.4: Resposta à questão 1 aula preparatória – Grupo A subgrupo2………..………….122

Fig 20.5: Resposta à questão 2 aula preparatória* – Grupo A. subgrupo2………..………. 123

Fig 20.6: Resposta à questão 2 aula preparatória* – Grupo A. subgrupo2 ………..…….... 123

Fig 20.7: resposta à questão 2 aula preparatória* – Grupo A. subgrupo3……….……124

Fig 20.8: resposta à questão 2 aula preparatória* – Grupo A. subgrupo5……….124

Fig 20.9: resposta à questão- aula preparatória* – Grupo B. subgrupo5….……….…….124

Fig 21: Figura geométrica Retângulos ... 125

Fig 22: Construção do quadrilátero no geogebra- alunos do grupo A sub3 ... 126

Fig 23:Construção do retângulo no Software: retângulo vermelho – grupo A sub2 ... 127

Fig 24: Retângulos na grelha do Geogebra. Grupo A sub3 ... 128

(15)

xiv

ÍNDICE DE ANEXOS

Anexo A: Aula Preparatória (1) ……..………..….………. 156

Anexo B : Aula Preparatória (2)……..……… ……….…....………157

Anexo I: Planificação da unidade temática………..………..………158

Anexo II: Guião da Entrevista do Professor de Plano Tecnológico ... 159

Anexo III: Guião - Questionário dos professores de Matemática ... 160

Anexo IV: Guião Questionário inicial dos alunos. ... 161

Anexo V: Resultados do questionário inicial dos alunos ... 162

Anexo VI: Questionário final dos Alunos ... 164

Anexo VII: Guião - Entrevista do Professor de Matemática ... 165

Anexo VIII: Quadro de competências específicas e competências sócio afetivas ... 166

Anexo IX: Ficha de atividades – Grupo A ……….………...167

Anexo X: Ficha de atividade – Grupo B………. ………..168

Anexo XI: Ficha de trabalho nº1.. ... 169

Anexo XII: Ficha de trabalho nº 2. ... 170

Anexo XIII: Ficha de trabalho nº 3 ... 171

Anexo XIV: Plano de uma aula Matemática Aplicada ……...………..172

Anexo XV: Classificações obtidas das fichas de atividades ... 174

Anexo XVI: Dados estatisticos das classificações obtidas….………..175

Anexo XVII: Formulário – Controlo da Sala de internet ... 176

Anexo XVIII: Mapa da distribuição das turmas do ano letivo 2014/2015, - IMAG – 10º ano .... 177

Anexo XIX: Calendário das Provas Globais de 2015 ... 178

Anexo XX: Autorização da direção da escola para a realização da investigação ... 179

Anexo XXI: Fotografias como os alunos no laboratório e sala de aulas…..………...…180

Anexo XXII: Símbolos Matemáticos – 1º Parte ... 181

Anexo XXIII: Símbolos Matemáticos – 2º parte ... 182

(16)

xv

SIGLAS

APM - Associação dos professores de Matemática

GA – Grupo A

GB – grupo B

IMAG – Instituto Médio de Administração e Gestão

INIDE - Instituto Nacional de Investimento e Desenvolvimento da Educação NCTM (National Council of Teachers of Mathematics)

O.N. – Ortonormado

PT – Plano Tecnológico

PCN – Parâmetro curricular nacional

QI – Quadro Interativo

RETEP – Reformulação de Ensino Técnico Profissional

SUB A – Subgrupo A

SUB B – Subgrupo B

TI - Tecnologias Informação

TIC – Tecnologia de Informação e comunicação

(17)

1

INTRODUÇÃO

O presente trabalho teve como principal objetivo explorar as mais-valias do Software educativo Geogebra como ferramenta inovadora para a melhoria da aprendizagem da Matemática. Geogebra é um Software de Matemática dinâmica para utilizar em ambiente de sala de aula, que reúne geometria, álgebra e cálculo, e que contribui também para a aprendizagem das funções e sua generalização.

Demonstramos que a resolução de problemas e tarefas de Matemática, recorrendo ao Software Geogebra, melhora a aprendizagem de funções reiais de variáveis reais e sua representação gráfica. Buscamos inicialmente de uma contribuição qualitativa para a aprendizagem de funções afins e quadráticas.

A investigação seguiu uma metodologia mista - qualitativa e quantitativa, realizada na escola do 2º ciclo de ensino secundário nº 2036 município de belas em Luanda-Angola. Participaram para esta investigação 83 alunos do curso de contabilidade geral da 10ª classe, divididos em dois grupos: Grupo A e Grupo B e o tema predominantemente abordado à investigação, “ Matemática e as TIC no processo de ensino e aprendizagem,” enquadrada no tópico funções, no subtema de funções e gráficos de uma função.

O processo decorreu no 3º trimestre do ano letivo 2013/2014, tendo sido ministradas aulas com a duração de 45 minutos cada. O grupo A contou com 45 alunos e o grupo B com 38 alunos, diferenciados com tarefas de natureza investigativa e exploratória, usando o computador e a internet como meio de suporte à aprendizagem.

A observação das aulas, inquéritos por questionário para os alunos, entrevista com professor de PT, conversas informais, fichas de trabalhos para os alunos foram os principais instrumentos utilizados para a recolha de dados. Recolhemos ainda opiniões não estruturadas a 56 professores, que lecionavam em outras disciplinas, dando ênfase na análise qualitativa dos dados. Estas opiniões ajudaram nas informações referentes ao ensino-aprendizagem e a importância das novas tecnologias inseridas nas escolas, principalmente no que se refere aos alunos do curso de contabilidade geral. Recolhemos ainda dados relativamente a importância das funções junto de 7 professores que lecionavam Matemática, com preenchimento de um questionário. Adicionalmente, analisamos documentos e os pré-requisitos dos alunos em falta para conclusão do último trimestre do ano letivo 2013/2014.

(18)

2 Usamos o computador no estudo das funções afins, lineares quadráticas, especificamente para o estudo do gráfico no plano cartesiano: utilizamos o Software educacional Geogebra, e os grupos A e B, realizaram as seções na sala de aulas com e sem o auxílio do Software Geogebra.

Compreendemos como enfrentaram os alunos da 10ª classe, do 2º ciclo do ensino secundário em Angola, a resolução de problemas respeitante ao gráfico das funções lineares e quadráticas, sem o uso do Software Geogebra e ainda compreendemos como procediam na construção de gráficos em diferentes contextos de representação. Apercebemos os inúmeros constrangimentos que os alunos sentiram na interpretação da representação gráfica, simbólica e numérica para outro tipo de representação e vice-versa, na resolução de problemas de funções reais de variáveis real.

Além de procurarmos desenvolver nos alunos a compreensão matemática do conceito de funções, pretendemos levá-los a lidar com ideias matemáticas em diversas representações, desenvolver neles a capacidade de comunicar e interpretar as suas ideias em articulação com as dos outros, organizar e clarificar o seu pensamento matemático, e levá-los a utilizar autonomamente as várias representações e procedimentos na realização de atividades matemáticas.

No conjunto de tarefas de trabalho de investigação queríamos ainda compreender o desenvolvimento da capacidade interpretativa dos alunos no que concerne ao estudo dos gráficos das funções afins, quadráticas e com tal promovemos a inclusão do Software educativo Geogebra para cálculo, elaboração de gráficos dessas funções como meio de favorecer a aprendizagem dos alunos.

Para a orientação na elaboração das atividades da sequência didática usamos um estudo de caráter descritivo, onde se baseou na apresentação de um Software educativo motivador para a aprendizagem das funções e gráficos de uma função, em ambiente virtual; evidenciamos atividades, apresentamos os pré-requisitos, explicamos as metas que pretendemos alcançar e promovemos nos alunos o interesse da disciplina de Matemática. De seguida, apresentamos os objetivos: geral e específico, e as razões da nossa investigação.

Neste trabalho, procuramos também caracterizar de uma forma global o respetivo sistema de ensino e aprendizagem em Angola, salientamos os constrangimentos na aprendizagem da Matemática, o enquadramento curricular a partir do tema do conceito de funções e objetivos de um modo geral. Esta investigação surge também na sequência de um projeto que foi analisado pelo Ministério de Educação em Angola e que demonstrou que o uso das tecnologias digitais e o elevado grau de competências matemáticas em suporte informático ajuda na implementação desses projetos.

(19)

3 Como referem Lampert e Ball (1998), aprender a ensinar pressupõe aprender a construir e usar o conhecimento na prática, bem como apreciar a natureza situada do conhecimento que resulta da prática, partilhar experiências. As conclusões obtidas no desenvolvimento do trabalho, apontam os resultados das atividades das fichas de trabalho e de atividade respetivamente num contexto educativo, que colocamos à disposição nos anexos do trabalho1.

Avaliamos a adequação das estratégias pedagógicas adotas pelos professores de Matemática, propusemos soluções viáveis para resolver o problema da aprendizagem dos alunos com a elaboração de questionários, entrevista guiada, textos, inquérito por questionários, conversas informais de que a utilização do Software geogebra constitui um fator motivador para as aulas de matemática e contribui para a aprendizagem das funções, pois os alunos mostram suas capacidades na resolução de gráficos aplicando a lei de correspondência a partir do Software Geogebra sem ajuda do professor.

Os embaraços decorrentes da realização de tarefas com características mais exploratórias, como o estudo do efeito de variação dos parâmetros a e b no gráfico da função, pareceram ter sido atenuadas com a utilização do Geogebra. Embora se tenha registado algum o insucesso na compreensão da relação entre características gráficas e parâmetro da expressão analítica, as coordenadas das várias representações foram importante para a compreensão do conceito de funções.

1

O principal objetivo central que este estudo persegue é continuar a avaliar o impacto da implementação de uma unidade didáctica sustentada na exploração de ferramentas informáticas como o Software educativo Geogebra em diferentes, aspetos, como no seguimento do desenvolvimento de competências tecnológicas que envolvem habilidades relativamente à utilização das tecnologias, na motivação dos alunos para a aprendizagem da Matemática, no desenvolvimento de competências geométricas e de atitudes colaborativas.

Acreditamos que a dinâmica oferecida pelo Geogebra que é um Software livre, e de fácil utilização, pode contribuir de um modo relevante para o desenvolvimento da aprendizagem da Matemática.

1

Esta perspetiva de investigação contém exercícios publicados e/ou enunciados a partir do site

http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoLinear.aspx, adaptação do conteúdo programático do plano de reforma da 10ª classe em Angola. Extraídos ao programa de Matemática do 3º ciclo - acesso a documentos do departamento pedagógico.

(20)

4

II - Estrutura da dissertação

O trabalho da investigação está dividido da seguinte forma: Capitulo I- A Fundamentação teórica;

Capitulo II – A Problemática, objetivos e questões da investigação; Capitulo III- A Metodologia seguida nesta investigação;

Capitulo IV- Apresentação e análise dos resultados;

(21)

5

CAPÍTULO I – ENQUADRAMENTO TEÓRICO

Trazemos para este trabalho, um recorte da pesquisa, focando especificamente o desenvolvimento de atividades com uso do Software Geogebra para abordagem do gráfico e domínio de funções e sua representação gráfica (Borba & Penteado, 2009).

Considerando a importância das funções lineares e quadráticas como tema fundamental da disciplina de Matemática e que está presente em grande parte dos cursos em Angola e mais concretamente no curso de contabilidade geral e também pelos resultados menos bons dos alunos com relação a Matemática, torna-se relevante pesquisar alternativas para o trabalho com a disciplina de Matemática. Temos como ponto de partida, o conceito de uma função e a sua representação gráfica, e partindo do princípio que função é um dos conceitos mais importantes da Matemática, existem várias definições, dependendo da forma como são escolhidos os axiomas.

Também pode ser uma lei que para cada valor x, é correspondido por um elemento y, e denotado por f(x). A unidade didática, servirá de base na investigação que estará inserida no subtópico de funções lineares, quadráticas, gráficos de uma função, propriedades e a utilização do Software educativo Geogebra (Oliveira, 2007)

“Existem tipos de funções matemáticas, entre as principais temos: função sobrejetiva, função injetiva, função bijectiva, função trigonométrica, função linear, função modular, função quadrática, função exponencial, função logarítmica, função polinomial, dentre outras. Cada função é definida por leis generalizadas e propriedades específicas”. (p, 11)

Nas teorias das funções a utilização de eixos cartesianos para a representação de uma função, só apareceu no século XVII, com o filósofo e Matemático francês René Descartes. Neste mesmo século, outras importantes contribuições foram dadas para o desenvolvimento do conceito de função, com destaques para Kepler (1571- 1630), com a descoberta das leis sobre as trajetórias planetárias, e Galileu, com o estudo da queda dos corpos e a relação entre espaço e tempo, e como história da Matemática precisamos recordar as épocas em que os Matemáticos descobriram outros símbolos e fórmulas que permanecem até no século XXI.

(22)

6 Por conseguinte o Software apresenta benefícios, como afirma Campos (1994, p.12), e como citado na dissertação em ciências de educação de Nlandu Mpaka (2010),

“As inovações tecnológicas, especialmente as Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) inserem-se no quotidiano de quase todos os sectores de actividade da sociedade, mostrando novas formas de comunicar, trabalhar e produzir conhecimento (…).” (p.10)

Segundo Ponte (2002)

“as TIC´S devem estar o mais presente possível na formação inicial de professores, sendo importante para os formandos irem além do seu simples domínio instrumental.” (p. 26)

Tivemos a preocupação de elaborar uma unidade temática, com conteúdos relacionados às funções do afim e quadráticas, questões puramente matemáticas aplicadas no contexto escolar como refere Skovsmose, (2000)

“Podendo ser conjugadas com um ensino predominantemente exploratório, as tarefas foram elaboradas com a preocupação de propor questões formuladas em contexto escolar complementadas com questões puramente matemáticas.” (p.66)

No século XVIII, o filósofo e matemático alemão Leibniz criou vários termos e símbolos para o uso na matemática. Foi ele quem utilizou primeiro o termo função no desenvolvimento da Análise Matemática. Ainda no século XVIII, Euler foi responsável por muitas das notações em uso atualmente. A notação moderna deixou a Matemática muito mais fácil para os profissionais, mas os aprendizes acharam desencorajador, poucos símbolos continham uma grande quantidade de informação. Um pouco mais tarde, a definição de função surgiu com o Matemático suíço Leonard Euler, o qual utilizou pela primeira vez a notação f(x) e escreveu:

“Se x é uma quantidade variável, então toda a quantidade que depende de x de qualquer maneira, ou que seja determinada por aquela, chama-se função da dita variável” (p.12).

(23)

7 A ideia de função na Matemática esteve sempre ligada historicamente a evolução do conhecimento de correspondências físicas. As associações matemáticas e os fenómenos naturais tornaram-se um canal facilitador na busca da generalização adequada para o conceito de função, por parte dos matemáticos da época, por volta do século XIV. A notação f(x) para uma função de

x, usada nos comentários de Petersburgo em (1734 -1735) é entre outras, uma notação de Euler

bastante semelhante às utilizadas hoje. O conceito de função adquiriu um novo status, tornando-se a linguagem preferida dos matemáticos, desta época em diante a ideia de função tornou-se fundamental na análise matemática no cálculo de Newton e Leibiniz. Em resumo, as ideias mais explícitas de função pareceram ter surgido por volta da época de René Descartes (1637).

Este definia função como significado qualquer potência de x como x2, x3 Leibniz (1692) estabelecia uma função como qualquer quantidade associada a uma curva, como as coordenadas de um ponto da curva, o comprimento de uma tangente à curva e assim por diante. Vários pesquisadores, como Johann Bernoulli (1718) definiu função como sendo qualquer expressão envolvendo uma variável e quaisquer constantes.

Segundo (Neves, 2005) citado por Batista, (2006) foi possível perceber que a definição de função foi aprimorada com o passar do tempo, de acordo com a curiosidade e necessidade de alguns estudiosos em estabelecer uma definição mais precisa e rigorosa:

“Chama-se função ou aplicação a uma correspondência entre um conjunto A e um conjunto B que a cada elemento do primeiro conjunto faz corresponder um e um só elemento do segundo conjunto”. (p. 9)

2

As ideias mais explícitas de função pareceram ter surgido por volta da época de René Descartes (1637).

2

(24)

8

1.1 - Motivação da aprendizagem. Uso das novas tecnologias

As TIC (Tecnologias da Informação e Comunicação), como afirma Moraes (2001) podem ser bons recursos pedagógicos, mas que há necessidades de adequação de seu uso, uma vez que dependendo do enfoque dado, qualquer recurso tecnológico pode ser apenas instrumentos reprodutores de usos incorretos e impertinentes.

De acordo com Valente (1997b; 1998), o computador é uma ferramenta que pode auxiliar o professor a promover aprendizagem, autonomia e criatividade do aluno. Mas, para que isto aconteça, é necessário que o professor assuma o papel de mediador da interação entre aluno, conhecimento e computador, o que supõe formação para exercício deste papel. “ Entretanto, nem sempre é isto que se observa na prática escolar. Estudos sobre o tema apontam que a formação do professor para a utilização da informática nas práticas educativas não tem sido priorizada tanto quanto a compra de computadores de última geração e de programas educativos pelas escolas”

Segundo Kenski (2008) com a consolidação da globalização e a crescente inovação tecnológica, as formas pedagógicas tradicionais estão a ser examinadas. As TIC são ferramentas do quotidiano e, por conseguinte, são ferramentas que os alunos sabem manusear.

Ainda precisamos entender porque não utilizamos estas ferramentas nas escolas como ensino obrigatório.

As TIC, proporcionam cenários visuais que ilustram e favorecem uma melhor compreensão dos conceitos matemáticos. Por exemplo, na interpretação do gráfico de uma função afim, os alunos conseguem, de uma forma mais intuitiva, relacionar a inclinação da reta com a constante de proporcionalidade através da manipulação do Software Barboni, A., e Paulette, W., (2007).

Segundo Ponte e Matos (2007) referem que com o auxílio das TIC os alunos desempenham nas aulas um papel ativo na construção do seu conhecimento pois, encontram-se empenhados a trabalhar, a desempenhar o verdadeiro papel de Matemáticos, ou seja, a testar hipóteses, a procurar conjeturas, até mesmo, a errar, ou a produzirem a essência do que é estar a fazer Matemática num contexto escolar. Na ideia dos autores o importante é que o aluno pense e reflita sobre conteúdos matemáticos em que se encontra envolvido. Na disciplina de Matemática, existe a ideia pré-concebida que para aprender Matemática basta seguir duas fórmulas: Entender e mecanizar.

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9 De acordo com Ponte, Matos e Abrantes (1998) manifestam a ausência de valores que os alunos não dão importância ao seu instinto, não possuem a confiança suficiente para entenderem que todos somos capazes de fazer e aprender Matemática. Acrescentaram ainda que todos os alunos têm um certo conhecimento matemático é necessário que lhes seja dada a devida oportunidade para aprender, para poderem desenvolver as suas capacidades matemáticas. É com este tipo de tarefas ligadas às novas tecnologias que o aluno aprende a ser o verdadeiro construtor do seu conhecimento. Segundo Papert (1994) o aluno é o ator principal neste processo de ensino e aprendizagem.

1.2 - Conceito de funções e suas dimensões - Funções e Gráficos

A fundamentação teórica sobre esta temática pretende iluminar o caminho que liga os alunos às construções e experiencias matemáticas, buscando a formação de conceitos matemáticos, em particular do conceito de função, “através de etapas gradativas, que atravessam abstrações de experiências e situações matemáticas e suas conexões com circunstâncias reais com usos das tecnologias”. (p.12)

“O conceito de função é considerado como um dos conceitos mais importantes dentro da Matemática e resultou de um longo desenvolvimento do pensamento matemático. A palavra “função” parece ter sido introduzida por Leibniz (1646-1716) em 1673, que também introduziu os termos “constante”, “variável” e “parâmetro ” (Ponte, 1992).

Como já anteriormente indicado, Euler (1707-1783) foi o primeiro a adotar a expressão f(x) para o valor da função sendo particularmente relevante no contexto, a Matemática escolar onde se usa e como definição de função o seguinte:

“Uma função f: A B consiste em dois conjuntos, o domínio A, o conjunto chegada B, e uma regra que associa a cada elemento x de A (objeto) um só elemento y de B (imagem). Diz-se neste caso que a função está definida em A com valores em B (ME, 1997, p. 13).”

Existem na literatura diversos conteúdos que divulgam o conceito de função e sua origem. “Em álgebra e geometria analítica, o termo função afim designa uma função polinomial do 1.º grau com uma variável. Uma função linear admite uma expressão geral explícita da forma y = ax

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10 distintos: x é o argumento da função (variável independente), y é o valor que a função toma para cada argumento (variável dependente), a é o declive e b a ordenada na origem. No caso particular em que b = 0, esta relação tem a forma y = ax, situação que traduz uma proporcionalidade direta, (ME, 1997, p. 13).

Nas pesquisas de Morão (2002), o autor apresenta um exemplo que se desenvolveu ao longo das épocas na sua aplicação e a seguir a metodologia de ensino é aplicada nos sistema de ensino do ensino médio e pode ser visto de várias formas a expressão algébrica 3 (x + 5) + 1, e que segundo a expressão pode-se descrever como uma sequência de instruções: - adiciona cinco ao número considerado, multiplica por três o resultado e adiciona 1; o resultado dos cálculos efetuados quando conhecido o valor de x e não o processo de o calcular; uma função, refletindo uma mudança e não um número em particular; uma família de funções se um dos seus coeficientes numéricos for substituído por uma letra, por exemplo, a (x + 5) +1; um conjunto de símbolos com ou sem sentido, podendo ser manipulado de acordo com regras bem definidas.

De acordo com a autora, “a mesma expressão permite identificar diferentes ‘objetos’ matemáticos, números, função, família de funções e para além disso, evocou uma interpretação de natureza diferente” (p. 277). Por exemplo, uma função é vista como um conjunto de pares ordenados. Mourão (2002) considera ainda que “a conceção operacional é a primeira a emergir, permitindo depois, através da retificação dos processos, o desenvolvimento dos objetos matemáticos” (Morão, 2002. p. 279).

Num estudo com a duração de cerca de um ano, Slavit (1996) observou que os alunos do ensino secundário adquirem de fato uma conceção das funções que têm por base as suas propriedades.

“Os alunos parecem realizar certos tipos de função, como as funções afim e as funções quadráticas, mas não parecem ter realizado o conceito geral de função, como objeto que pode possuir uma grande variedade de propriedades e o autor realçou que o desenvolvimento de uma conceção de função baseada nas suas propriedades requer necessariamente bastante tempo pois os alunos têm que se familiarizar como vários exemplos de funções e famílias de funções, e com as suas possíveis propriedades”

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11 Segundo Campiteli (2003, p.17) e como citado por Mpaka (2010) afirma que o conceito de função também exprime não só leis universais como, leis culturais e sócias, por exemplo, a relação entre a população de um país e a área desse país, (…), se quisermos que nossas lições se inspirem em Matemática mais atualizada e dinâmica, não podemos fechar os olhos dos alunos para aqueles que são fundamentais neste conceito matemático,

“O conceito de função também vem sendo visto como responsável pela organização de diferentes partes do currículo da Matemática mas embora este conceito encerre, em seu entorno, uma grande variedade de tópicos deste currículo que poderiam ser relacionados, nem sempre essas conexões são explicitadas ou se efetivam durante o processo de ensino e aprendizagem, seja da Matemática ou de outra disciplina, como a Física” (p. 20).

Considerando resultados positivos, Pellho (2003) e cit Ribeiro (2005) avalia a prática pedagógica de vários professores de Matemática do ensino secundário, segundo outras investigações como em seu trabalho, o autor avalia também a introdução do conceito de função por meio da compreensão das variáveis dependentes e independentes e do relacionamento entre elas, (…), entre diferentes registos de representação da função. “ Tipo de problema podem ser úteis para investigar a conceção que os alunos têm de função e pode também contribuir para a reificação do conceito de função por parte dos alunos ou seja passar do conceito de função do abstrato para o concreto”. (p. 13)

Mais adiante e segundo Duval (2003), fonte traduzida e publicada do trabalho de pesquisa de Joseide Justin Dallemole e Claúdia Lisete Oliveira Groenwald – GD Educação Matemática no ensino Médio, (2012) refere que a aprendizagem de um objeto matemático só ocorre quando os alunos conseguem mobilizar várias representações de um mesmo objeto, pois a diferença da matemática para as demais áreas do conhecimento está no facto do seu objeto ser abstrato e necessitar de várias representações semióticas para acessá-lo.

Além disso, em Matemática, para cada objeto existe uma variedade de representações semióticas, e que segundo Duval e Mariani (2006), na sua modesta investigação afirmam que, nas expressões algébricas as variáveis visuais podem ser observadas como símbolos de relação (<, >, =, …); (menor, maior, igual); podem também ser observadas como operações; sinais (+, - , …); (mais, menos, …); de expoente; de variáveis; de coeficientes e constantes “ por exemplo, a forma

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12 canónica da função quadrática permite ao professor explorar o maior número de variáveis visuais pertinentes que a forma expandida da função quadrática.

Os exercícios modelos apresentados na presente investigação, foram utilizados os símbolos relação e as quatro operações essenciais da Matemática, vejamos a Tabela1,

Variáveis Valores Unidade Simbólica correspondente

Concavidade da parábola Voltada para cima

Voltada para baixo

Parâmetros a > 0 ( ausência do símbolo -) Parâmetro a < 0 ( presença do símbolo - )

Abertura da parábola Maior abertura

Menor abertura

0 < a < 1 a = 1 Parâmetro não escrito) a > 1

Posição do vértice da

parábola com relação ao eixo das abcissas

Acima do eixo Na origem Abaixo do eixo n > 0 n = 0 n < 0 Posição do vértice da parábola com relação ao

eixo das ordenadas

A esquerda do eixo Na origem A direita m > 0 m = 0 m < 0

Tabela1: Variáveis da forma canónica – Fonte Wikipédia, retirada a 12/2015

1.3 - Aprendizagem da Matemática e as Tecnologias Digitais.

Os estudos realizados na área da educação, desde 1990, enfatizam o potencial das TIC, quer nas possibilidades de acesso à informação, quer na natureza dos programas, nomeadamente na disciplina de Matemática (Botelho, 2009).

“As Tecnologias em educação dependem de quem as utiliza (professor ou aluno), das estratégias utilizadas, do Software disponível e da pedagogia que se quer implementar (idem). Integrar as tecnologias nos processos de ensino aprendizagem proporciona uma efetiva aproximação entre o sistema educativo e as vivências dos alunos, tornando o ensino mais atrativo e que pode ajudar o professor a conduzir a aprendizagem mais significativa”. A exploração das suas potencialidades requer envolvimento por parte do utilizador a fim de explorar ou dominar e desenvolver aprendizagens consistentes utilização em recursos destas como ferramentas cognitivas. A aprendizagem é um processo complexo, que está longe de

(29)

13 qualquer prescrição, cada sujeito tem a sua forma própria de aprender, assim atender às diferenças individuais, passa por uma pedagogia diferenciada e o envolvimento do aluno com as tic´s pode proporcionar esse processo. As necessidades de diversificar estratégias e de promover a motivação efetiva para educar melhor conduzem-nos à integração curricular das tic no processo de ensino-aprendizagem: Fonte Wikipédia publicação http://www.if.ufrgs.br/~moreira/apsigsubport.pdf. http://www.if.ufrgs.br/~moreira/apsigsubport.pdf

O sucesso escolar é indubitavelmente a maior preocupação dos professores, e como tal a utilização das tic´s nos processos de ensino-aprendizagem, nomeadamente na Matemática, constituem um instrumento capaz de motivar os alunos a desenvolver o raciocínio e a criatividade e assim, proporcionar novas aprendizagens, Zuffi e Pacca (2002)

Com base em análise qualitativa dos dados, porém algumas categorias representativas das conceções geradas na sala de aula com o tema em questão, partir das formas de expressão efetivamente articuladas pelos professores, juntos aos seus alunos. Também é possível obter algumas considerações sobre a relação entre estas conceções e o uso de uma linguagem específica para se tratar as funções matemáticas.

O conceito de função, sobre a reflexão de Santos (2002) apresenta seu estudo na aquisição de saberes relacionados aos coeficientes da equação y = ax + b pela articulação dos registos gráficos e algébricos da função afim, com o auxílio de um Software (…). Para encaminhar o estudo, o autor desenvolveu e analisou os resultados obtidos com uma sequência didáctica trabalhada com alunos do 2º ciclo do ensino secundário.

De acordo com o autor, os resultados obtidos revelaram uma evolução em relação à construção dos coeficientes da representação algébrica da função afim ou linear, associados a sua representação gráfica, isto é à propósito que:

“As dificuldades apresentadas pelos alunos, no tratamento do conceito de função, também podem estar fortemente ligados à prática pedagógica dos professores”, a formação dos alunos deve proporcionar o desenvolvimento de inúmeras competências, o que implica a disponibilidade de capacidades, aptidões e valores” Santos (2002).

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14

1.3.1 – Tecnologias de Informação e Comunicação

“As tecnologias de informação e comunicação, na educação, permitem uma compreensão profunda do mundo enriquecendo o conhecimento”. A internet é composta por um conjunto de recursos com potencialidades capazes de promover um tipo de ensino e aprendizagem mais interessante, motivador e ajustado ao avanço tecnológico. Kenski, (2008) . O presente estudo tem como finalidade apresentar um software educativo que auxília no ensino- aprendizagem aos alunos – Geogebra.

“ A utilização das tecnologias digitais no sistema de educativo deve apontar um horizonte de atuação dos professores que não se limitam à simples melhoria da eficácia do ensino tradicional”.

O objetivo das TIC´s (Tecnologia de Informação e Comunicação) na educação traduzir mensagens pedagógicas a fim de instigar e ampliar os conhecimentos dos alunos, por esta razão alguns pesquisadores afirmam que quanto mais aprofundamos na pesquisa e desenvolvimento de metodologias educacionais com o uso da tecnologia, mais esta se torna presente em uma instituição de ensino, seja através de sistemas integrados de gestão educacional ou aulas ministradas com o uso das mesmas. Ainda (Kenski, 2008) na sua interpretação, afirmou que a implementação da tecnologia é uma tarefa relativamente fácil se comparada à mudança dos paradigmas nos processos de ensino.

Como (Lévy, 1993) acrescenta que as Tic’s têm um papel profundo na educação pois proporcionam: novo objetivo para a educação que emergem uma sociedade de informação e da necessidade de exercer uma cidadania participativa, critica e interveniente; novas conceções acerca da natureza dos saberes, valorizando o trabalho cooperativo; novas vivências e práticas escolares, através do desenvolvimento de interfaces entre escolas e instituições, tais como bibliotecas, museus, associações de apoio à juventude, entre outros; novas investigações científicas em desenvolvimento no ensino superior, (Velloso, 2014).3

3

Fonte: Wikipédia. A enciclopédia livre publicado em https://pt.wikipedia.org/wiki/Tecnologia_educacional (acedido em 08/ 2015); Velloso, Fernando. Informática: conceitos básicos / Fernando Velloso. - 9ed. - Rio de Janeiro: Elsevier, 2014. http://repositorio.ul.pt/bitstream/10451/9826/1/ulfpie044734_tm.pdf#page138

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15 Segundo (Duggleby, 2002) apresenta sugestões dos ambientes virtuais de aprendizagem que também podem facilitar a interação entre alunos. “ Este tipo de interação é uma característica das mais recentes gerações do ensino a distância, (…) a oportunidade de aprenderem uns com os outros através de debates, troca de ideias, partilha de experiências e conhecimentos” (Duggleby, 2002, citado in Morais & Cabrita, 2006).

Nas reflexões de Carrilho (2006) afirma que observou um estudo, ao nível do 3ºciclo do ensino básico, no âmbito da “Avaliação de Sites de Matemática e implicações na prática docente”, tendo chegado a várias conclusões, nomeadamente, que a produção de sites por professores da disciplina de Matemática.

Segundo Carvalho (2007) salienta que a utilização da web, a plataforma está ao alcance do sujeito, o realce passa a ser como pesquisar e partilhar. Na sua perspetiva, a web promove a mudança na aquisição e transmissão de conhecimentos. Também Carvalho (2007) no seguimento das questões de tecnologia considera que, atividades como webquests fomentam o trabalho colaborativo mediante interação durante a realização das tarefas. Para o autor, a publicação de trabalhos online pode motivar os alunos a desempenharem as tarefas de forma mais interessada, além de permitir que os colegas e encarregados de educação acompanhem os trabalhos realizados.

Em suma, a Internet e a Web, em particular, colocadas ao serviço do processo de ensino e de aprendizagem, podem significar dinamismo, promoção de novos conhecimentos e acima de tudo, proporcionar o prazer de estudar, de aprender, criar e recriar, de desenvolver o sentido crítico.

É imperativo haver um cuidado redobrado por parte de todos os intervenientes educativos e é fundamental saber como enquadrar este meio de acesso à informação e comunicação mas, acima de tudo, é importante saber quando deve ser utilizado, quais as metas educacionais que ajuda a alcançar e quais as competências que pode desenvolver (Alves & Morais, s/d).

Particularmente, acreditamos que a construção do conceito de função, por parte dos alunos, deve primar-se pela variedade de correspondências estabelecidas, de acordo com diferentes critérios, em situações diversas. A investigação e a sistematização dessas correspondências devem subsidiar a estruturação, e a compreensão de generalizações, isto para que seja possível potencializar o tratamento de informações contidas nestas correspondências, de modo que propiciem discussões inicias em torno do conceito de função, Carvalho (2007).

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1.3.2 - O Plano Cartesiano

O estudo gráfico de funções é auxiliado com o computador ou a calculadora gráfica, dando ênfase a distinção entre a representação gráfica da calculadora e o verdadeiro gráfico da função. O ensino secundário em Angola apresenta no programa de reforma educativa alterações na resolução de funções segundo as suas propriedades. O que pretendemos no presente trabalho de investigação, e de acordo com a planificação semanal, permitiu na unidade temática realizar tarefas na representação de gráficos a partir do plano cartesiano, pois os 83 alunos do curso de contabilidade geral, distribuídos por dois grupos A e B, apresentaram em alguns pontos considerados críticos acerca do plano cartesiano, que conseguimos esclarecer no decorrer da atividade investigativa.

O Plano Cartesiano é muito utilizado na construção de gráficos de funções, onde os valores relacionados à x constituem o domínio e os valores de y, a imagem da função, “século XVII, René Descartes” A criação do sistema de coordenadas cartesianas é considerada uma ferramenta muito importante na Matemática, facilitando a observação do comportamento de funções. O Plano cartesiano é formado pela interseção perpendicular entre duas retas enumerada, o encontro dessas retas forma a origem do plano cartesiano.

Podemos associar o plano cartesiano com a latitude e a longitude, temas relacionados aos estudos geográficos e à criação do atual sistema de posicionamento, o GPS. O sistema de posicionamento global permite que saibamos nossa localização exata na terra, desde que tenhamos em mão um recetor de sinais (GPS), informando a latitude, a longitude e a altitude com o auxílio de satélites em órbita da terra. Um exemplo de utilização do GPS são os aviões, que para não se colidirem são monitorados e informados em qual rota devem seguir viagem, observação de uma figura representativa do plano cartesiano4:

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17 Fig1: Plano cartesiano formado por dois eixos perpendiculares.

Fonte internet Só Matemática –http://www.somatematica.com.br

As coordenadas cartesianas são representadas pelos pares ordenados (x; y). Em razão dessa ordem, devemos localizar o ponto, observando primeiramente o eixo x e posteriormente o eixo y. Qualquer ponto que não se encontrar sobre os eixos, estará localizado nos quadrantes, vejamos Fig2:

Fig 2: Plano cartesiano representado por quadrantes5

5

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18

1.3.2.1 – Construção de gráficos no plano cartesiano:

Nas duas aulas preparatórias para a realização da investigação, selecionamos no início da unidade de ensino um conjunto de exercícios com o objetivo de avaliar o nível de conhecimentos dos alunos em aspetos relacionados com a representação gráfico pois num dos exercícios propostos para o trabalho em grupo com 5 alunos em cada subgrupo, tenham de descrever o modo como se podiam deslocar desde a origem até aos pontos representados, efetuando o menor número de deslocamentos. Para isso forneceu-se um referencial com alguns pontos assinalados, vejamos a fig3.

Exemplos 1: Localização dos pontos abaixo representados a partir do quadrante acima representado. 1º quadrante = x > 0 e y > 0; 2º quadrante = x < 0 e y > 0; 3º quadrante = x < 0 e y < 0; 4º quadrante = x > 0 e y < 0.Localizando pontos no plano cartesiano: A (4; 3) → x = 4 e y =

3; B (1; 2) → x = 1 e y = 2, C ( –2; 4) → x = –2 e y = 4; D ( –3; – 4) → x = –3 e y = –4, E (3; –3) → x = 3 e y = –3

Fig3: Sistema de coordenadas cartesianas e seus pontos A,B,C,D,E. 6

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1.3.3 - Software Educativo Geogebra - Angola

Os interesses do Ministério de Educação em Angola referente a inclusão das tecnologias digitais como ferramenta cognitiva no processo educativo, têm sido desenvolvidas nos anos recentes, ambientes digitais nas escolas com equipamentos tecnológicos, que permitem uma aprendizagem significativa e ativa para os alunos. A utilização do Software Geogebra permite desenvolver competências inerentes ao pensamento crítico e criativo.

Como refere Santos (2009), o Software foi desenvolvido pelo austríaco Markus Hohenwarter da Universidade de Salzburg em 2002, “o Geogebra permite planificar as aulas de forma a refazer e adaptar o currículo de Matemática do ensino básico e secundário, proporciona uma abordagem inovadora das funções e gráficos de uma função, é uma metodologia de ensino centrada no aluno promovendo o trabalho cooperativo em detrimento de práticas individualizadas e de assimilação passiva do conhecimento” (Viseu, Nogueira & Santos, 2009).

“O Software Geogebra poderá contribuir de forma significativa para o estudo das funções e gráficos, uma vez que apresenta ferramentas dinâmicas permitindo a construção de gráficos e a resolução de funções lineares, e a compreensão de conceitos e propriedades das funções polinomiais e cúbicas”. Santos (2009), refere que a aprendizagem de conteúdos curriculares nem sempre constitui motivo de interesse dos alunos e admitindo-se uma das formas de desenvolver competências, (Martins, 2009).

A escolha do Geogebra para a investigação teve como estratégia de ensino - aprendizagem do tema “funções e gráficos, generalidade de uma função e sua representação gráfica” teve por base alguns fatores que consideramos essenciais: ao ensinamento das funções e sua representação gráfica na escola do ensino secundário do 2º ciclo, é um Software interativo, a sua interface é simples, livre e de fácil entendimento disponível em língua java em www.geogebra.org para Download, Silva (2002)

De acordo com Pimentel e Silva (2007), a criação deve ser entendida de forma abrangente e global. A utilização dos computadores enquanto ferramentas cognitivas, são segundo Jonassen (2007), as ferramentas da reforma do sistema educativo. No que refere à mudança de metodologia, Alonso (2005) salienta que tal prática implica elaboração de materiais, implementação e avaliação.

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20

1.3.4 - O GeoGebra – Software Educativo

Geogebra é um Software de matemática dinâmica para utilizar em ambiente de sala de aula, que reúne geometria, álgebra e cálculo. Recebeu muitos prêmios internacionais incluindo o prêmio de Software educativo Alemão e Europeu.( 2002), Learnie Award 2006: Prémio de Software Educacional Austríaco em “Wurfbewegungen mit GeoGebra” (Vienna, Áustria).

Fig4: Logotipo do Software GeoGebra 2010. Fonte Wikipédia, acedido aos 30/ 12/2014

Idealizado e criado por Markus Hohenwarterodar na universidade de Salzburg. Por ser um sistema dinâmico de geometria permite construções de pontos, vetores, segmentos, retas, seções cônicas bem como funções e mudá-los dinamicamente coordenadas e ainda equações. Assim, o Geogebra tem a habilidade de tratar das variáveis para números, vetores e pontos, permite achar derivadas e integrais de funções e oferece comandos como raízes ou extremos.

É um Software de fácil instalação, o Software selecionada para a pesquisa do nosso trabalho visto que se trata de um Software Freeware, ou seja, é livre para baixar em seu micro, distribuir entre colegas e alunos e de fácil acesso visto que está disponível gratuitamente em vários idiomas no endereço: Fonte: Wikipédia - http://www.professores.uff.br/hjbortol/. A primeira versão deste Software foi o GeoGebra 1.0 em 2001, mas ao longo do tempo evoluiu para o GeoGebra 2.0 (em 2004), GeoGebra 3.0 (em 2009), GeoGebra 3.2 (em 2009) e em 2011, foi editado o GeoGebra 4.0. Atualmente estão em fase de experimentação as versões GeoGebra 4.2 e GeoGebra 5, esta última em 3D. O uso de recursos tecnológicos pode fazer com que os alunos tenham mais interesse no estudo de funções, visto que este tema é presente em nosso cotidiano, possibilita ao aluno visualizar e entender a situação apresentada de forma mais clara e precisa

.

O Geogebra tem inúmeras ferramentas que serão úteis na produção de figuras para as aulas expositivas, criação de Applet para rodar na internet, execução de sequências didáticas para

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21 conteúdos de Matemática do ensino secundário e superior. Trata-se do Software Geogebra que contém cinco áreas de trabalho:

(a) Menu Principal; (b) Barra de Ferramentas; (c) Janela de Álgebra; (d) Janela de Visualização;

(e) Campo de Entrada;

Fig 4.1: Tela do Software geogebra 2010. Fonte internet

Fonte: Wikipédia, Baldin e Villagra (2002), aplicados aos trabalhos com o GeoGebra. Acedido em 08/ 2014

http://www.somatematica.com.br. Figura adaptada e retirada do documento que foi criado por Juliano Zambom Niederauer. Facchini. Ed.Saraiva

O Geogebra tem uma barra de ferramenta com caixas indicando com ícones suas funções além da barra de tarefas do Windows (arquivo, editar, exibir, opções, ferramentas, janela e ajuda) que vão desde a construção de pontos, retas, vetores, ângulos, polígonos, círculos, arcos, mediatriz, bissetriz, inserir imagens, inserir texto e muito mais, até um campo de entrada onde pode-se digitar comandos para inúmeras construções inclusive de gráficos.

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22 Todas as funções ícones e potencialidades do Software Geogebra podem ser melhor visualizadas com a prática de atividades. Poucos são os livros que falam sobre Software de geometria dinâmica, por isso grande parte das atividades abaixo foram criadas ao longo de uma prática como docente de Matemática.

O Geogebra fornece três vistas diferentes dos objetos matemático: a zona gráfica, a zona algébrica, ou numérica, e a folha de cálculo. Elas permitem mostrar os objetos matemáticos em três representações diferentes: graficamente (e.g., pontos, gráficos de funções), algebricamente (e.g., coordenadas de pontos, equações) e nas células da folha de cálculo. Assim todas as representações do mesmo objeto estão ligados dinamicamente e adaptam-se automaticamente às mudanças realizadas em qualquer delas, independentemente da forma como esses objetos forem inicialmente criados.

Fig 4.2Software Geogebra página inicial. Tela retirada do software Geogebra

No menu contém todas as funções disponíveis, tais como: novo arquivo, salvar, visualizar e imprimir, fechar programa, exibir malha, exibir eixos, opções para disposições das janelas gráficas e algébricas, opções de formatações, ferramentas para construção geométricas, opções algébricas, menu de ajuda, tutoriais.

(39)

23 Consideramos fundamental que haja planificação do processo, pois há que planear situações concretas de aprendizagem que devem ser analisadas, selecionadas e avaliadas no recurso à tecnologia como estratégia de aprendizagem.

1.3.5 - A Matemática e as Tecnologias de Informação e Comunicação

As Representações tecnológicas digitais têm vindo a assumir destaque nas orientações curriculares para o ensino da Matemática. Na National Council of Teachers of Mathematics, a norma específica dedicada à representação matemática considera como objetivos de aprendizagem, desde o pré- escolar até ao 12.º ano as seguintes:

Criar e usar representações para organizar, registar e comunicar ideias matemáticas; Selecionar, aplicar e traduzir representações Matemáticas para resolver problemas;

Usar as representações para modelar e interpretar fenómenos físicos, sociais e Matemáticos, NCTM (2007, p. 75).

Segundo o documento, NCTM (2007, p. 75), “é preciso que os alunos sejam estimulados para a representação das suas ideias, mesmo que inicialmente o façam recorrendo as formas não convencionais, mas é importante que eles aprendam formas de representação convencionais de forma a facilitar a sua aprendizagem e a comunicação das suas ideias”. O programa de Matemática do ensino básico como refere nos documentos do Ministério de Educação em Angola editado pela componente INIDE em colaboração com uma equipa de elaboração de programas, (2004) valoriza igualmente a representação. Neste documento é apresentado como objetivo geral do ensino da Matemática, os alunos serem capazes de lidar com ideias Matemáticas em diversas representações, devendo serem capazes:

ler e interpretar representações simbólicas, pictóricas, tabelas e gráficos, e apresentar adequadamente informação em qualquer destas formas de representação;

traduzir informação apresentada numa forma de representação para outra, em particular traduzir para termos matemáticos informação apresentada em linguagem natural;

elaborar e usar representações para registar, organizar e comunicar ideias matemáticas; usar representações para modelar, interpretar e analisar situações matemáticas e não

(40)

24 O documento refere-se ainda à importância das representações Matemáticas na aprendizagem e à importância do trabalho com múltiplas representações.

A caraterização desta investigação aponta para as diversas conceções enumeradas neste documento da National Council of Teachers of Mathematics, assim verificarmos os resultados dos grupos A e B que realizaram os trabalhos num contexto puramente Matemático.

Duval (2003) defendem a utilização de múltiplas representações para o desenvolvimento de uma melhor compreensão dos conceitos Matemáticos. Por exemplo, Friedland e Tabach (2001, p.173)acreditam que o trabalho com várias representações permite eliminar as limitações de cada uma delas, tornando “o processo de aprendizagem da álgebra mais significativo e efetivo”. Estes autores distinguem quatro modos diferentes de representação, que consideram ser essenciais no ensino da Matemática e mais especificamente no ensino da álgebra:

representação verbal; representação numérica; representação gráfica; representação algébrica.

As representações matemáticas na aprendizagem, apresentam ainda as seguintes vantagens associadas a cada uma delas:

a representação verbal, está normalmente associada à apresentação do problema e à interpretação final dos resultados obtidos. Dá ênfase à conexão da Matemática com outras áreas do conhecimento e entre a Matemática e o quotidiano. Tem a desvantagem de não ser uma representação universal, o que pode criar obstáculos a nível da comunicação Matemática;

a representação numérica, é uma representação natural, utilizada no início do estudo da álgebra e que geralmente precede qualquer outro tipo de representação. É importante na compreensão inicial de um problema, mas pode por vezes constituir uma limitação por não ser generalizável;

a representação gráfica proporciona uma imagem clara da função. É uma forma de representação intuitiva e apelativa devido ao seu carácter visual. Em contrapartida, é muito influenciada por fatores externos, como por exemplo escalas;

a representação algébrica é concisa, geral e efetiva na apresentação de padrões e modelos matemáticos e muitas vezes é o único método de justificar e estabelecer generalizações. No

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