Aplicação de Gauss em um grupo de Lie com métrica bi-invariante

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(1)Universidade de Brasília Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática. Aplicação de Gauss em um grupo de Lie com métrica bi-invariante. por. Lindemberg Sousa Massa. Brasília 2008.

(2) Agradecimentos -Primeiramente a Deus.. -A meus pais Dionisio Massa e Divina M. Alves Sousa.. -Ao professor Pedro Roitman.. -Aos colegas do Departamento de Matemática da UnB e do Instituto de Mate-. mática e Estatística da UFG.. -Aos professores da banca examinadora: Profa. Keti Tenenblat e Prof. Walterson. Pereira Ferreia.. -Aos professores e funcionários da Universidade de Brasilia (UnB).. -Aos professores e funcionários da Universidade Federal de Goiás (UFG).. -Ao Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Cientíco (CNPq)..

(3) À minha família..

(4) Resumo O tema principal deste trabalho é a chamada aplicação de Gauss em um grupo de Lie. G. munido de uma métrica bi-invariante. Em particular, com base em, Espirito. Santo, Fornari, Frensel, Ripoll, apresentamos uma versão para hipersuperfícies orientadas imersas em. G do teorema de Ruh-Vilms sobre a harmonicidade da aplicação. de Gauss. Seguindo Masal'tsev, fazemos um estudo detalhado sobre o caso particular importante em que. G. é a esfera tridimensional. S3 ,. munida da métrica canônica, e,. inspirados em Urbano e Castro, relacionamos via aplicação de Gauss, superfícies mínimas em. S3. com superfícies mínimas lagrangeanas no produto de esferas. munido com a métrica produto canônica.. S2 × S2.

(5) Abstract The main theme of this work is the so-called Gauss map in a Lie group. G with a. bi-invariant metric. In particular, based in Espirito Santo, Fornari, Frensel, Ripoll, we present a version for oriented hypersurfaces immersed in. G. of the Ruh-Vilms. theorem about the harmonicity of the Gauss map. Following Masal'tsev, we also treat in detail the important special case where is the three-dimensional sphere. S3 ,. with the canonical metric, and relate, inspired. by Urbano e Castro, using the Gauss map, minimal surfaces in Lagrangian surfaces in the product of spheres metric.. G. S2 × S2. S3. with minimal. whith the canonical product.

(6) Sumário Introdução. 1. 1 Preliminares. 4. 1.1. Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.1.1. A álgebra de Lie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.1.2. Grupo de Lie com métrica bi-invariante . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.1.3. Aplicação exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 1.2. A álgebra dos Quatérnios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 1.3. Os grupos O(n) e SO(n). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 2 Aplicação de Gauss em superfícies de curvatura média constante em S3 13 2.1. Observações Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.2. Aplicação de Gauss em superfícies de curvatura média constante em. S3. 13 15. 3 Aplicação de Gauss em hipersuperfícies de curvatura média constante em um grupo de Lie com métrica bi-invariante 26 3.1. Aplicação de Gauss em hipersuperfícies de curvatura média constante em um grupo de Lie com métrica bi-invariante . . . . . . . . . . . . .. 4 Superfícies mínimas Lagrangeanas. 26. 36. 4.1. Observações Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. 4.2. Superfícies mínimas Lagrangeanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. Bibliograa. 47.

(7) Introdução A aplicação de Gauss clássica para superfícies orientadas no espaço euclidiano tri-dimensional. R3. é sem dúvida um dos conceitos mais importantes da geometria. diferencial clássica.. Propriedades analíticas desta aplicação reetem propriedades. geométricas das superfícies. A aplicação de Gauss de uma superfície somente se,. S. S. orientada em. R3. é harmônica se, e. tem curvatura média constante.. É natural tentar estender este resultado, e as suas conseqüências, denindo de maneira conveniente uma aplicação que faça o papel da aplicação de Gauss em variedades Riemannianas. Em [19], X. Liu sugeriu uma abordagem para a denição da aplicação de Gauss de uma subvariedade em um grupo de Lie compacto Denote por. Gk (g). translação à esquerda por um elemento lação. A diferencial. vetoriais de. (dLx )y. TLx (y) M ,. Ty M .. g. em. y ∈ G,. de um dado grupo de Lie. x ∈ G,. e seja. dLx. G.. Seja. Lx. a. a diferencial desta trans-. leva vetores tangentes de. Ty M. em vetores. e esta ação pode ser estendida por linearidade a subespaços. Liu chamou a aplicação. G : M k → Gk (g), onde. Esta abordagem é a seguinte.. a variedade Grassmaniana que consiste de todos subespaços ve-. toriais k-dimensionais da álgebra de Lie. tangentes de. G.. x ∈ M k ⊂ G,. x → (dLx−1 )Tx M,. a aplicação de Gauss de uma subvariedade. de acordo com Liu, a aplicação de Gauss associa a cada vetorial k-dimensional na álgebra de Lie ser denida pela translação à direira. g.. Rx ,. M k ⊂ G.. x ∈ M. Portanto,. um subespaço. De maneira análoga esta aplicação pode. por um elemento. x ∈ G.. O tema desta dissertação consiste em explicar a noção introduzida por Liu no caso em que. M. é uma hipersuperfície orientada suave contida em um grupo de. 1.

(8) 2 Lie (n+1)-dimensional. G,. com uma métrica bi-invariante, denindo a aplicação de. Gauss da seguinte forma:. g(η) : M → Sn , onde. x ∈ M. unitária de. η. e. x → (dLx−1 )x (η(x)),. é o campo normal unitário à hipersuperfície. M,. e. Sn. é a esfera. g.. Para relacionar a noção acima com a introduzida por Liu, note que os subespaços orientados k-dimensionais se identicam naturalmente com pontos da esfera unitária da álgebra de Lie. A invariância à esquerda da métrica, permite descrever a aplicação introduzida por Liu em termos do campo. η.. Estruturamos este trabalho da seguinte maneira: No capítulo 1 foi feito um breve estudo sobre grupos Lie, abordando temas como a álgebra de Lie, grupo de Lie com métrica bi-invariante e aplicação exponencial em um grupo de Lie. Incluimos também uma noção sobre a álgebra dos quatérnios e sobre os grupos. O(n). e. SO(n).. No capítulo 2, baseado em [11], estudamos o caso especíco em que superfície orientada em. S3 ,. onde olhamos. S3. M. é uma. como o grupo de Lie dos quaternios. unitários. E temos por objetivo principal provar uma versão análoga ao teorema de Ruh-Vilms para hipersuperfícies. Mn. do espaço euclidiano.. Teorema 2.2. A aplicação de Gauss g(η) : M 2 → S2 é harmônica se, e somente se, M 2 tem curvatura média constante. No capítulo 3, baseado em [4], abordamos a aplicação de Gauss de uma hipersuperfície orientada em um grupo de Lie (n+1)-dimensional com métrica bi-invariante, e provamos que o laplaciano da aplicação de Gauss, denota neste caso por. N , é dado. pela seguinte expressão.. ∆N (p) = −n d(Lp−1 )p (∇H(p)) − ||B||2 + Ric(η(p)) N (p), onde. B. Ricci de. denota a segunda forma fundamental de. G. na direção de. η, H. M. em. a curvatura média de. M. G, Ric(η) e. ∇H. (Teorema 3.1). Em particular, a equação acima implica que somente se,. H. é constante.. N. a curvatura de. o gradiente de. M.. é harmônica se, e.

(9) 3 No capítulo 4, baseado em [3], voltamos a trabalhar com superfícies orientadas em. S3 ,. N+. são as aplicações de Gauss dadas pelas translações à esquerda e à direita, res-. e denimos a aplicação. Φ : M ⊂ S3 → S2 × S2 , Φ = (N− , −N+ ),. onde. N−. e. pectivamente. Introduzimos a noção de imersão Lagrangeana e provamos o seguinte resultado.. Teorema 4.4. Seja M ⊂ S3 uma superfície mínima orientada. Se a aplicação induzida Φ : M → S2 × S2 é uma imersão, então Φ é uma imersão Lagrangeana mínima. Além disso, a métrica induzida por Φ é conforme à métrica de M ..

(10) Capítulo 1 Preliminares 1.1. Grupos de Lie. Denição 1.1. Um grupo de Lie é um grupo cujo conjunto subjacente tem uma estrutura de variedade diferenciável, de tal forma que a aplicação produto p : (g, h) ∈ G × G 7−→ gh ∈ G. é diferenciável. Dado. g ∈ G,. as translações à esquerda e à direita. são denidas respectivamente por. Lg : G → G. Lg (h) = gh e Rg (h) = hg .. e. Rg : G → G,. Nota-se facilmente que. são aplicações diferenciáveis.. Exemplo 1.2. Seja Gl(n, R) o grupo das transformações lineares inversíveis de Rn , que é naturalmente isomorfo ao grupo das matrizes n × n inversíveis. Esse grupo é um subconjunto aberto do espaço vetorial Mn (R) das matrizes n×n, e portanto é uma variedade diferenciável. O produto no grupo Gl(n, R) é proveniente do produto usual de matrizes. Se X = (xij ) e Y ∈ (yij ) são matrizes n × n, então Z = XY = (zij ) é dado por zij =. n X. xik ykj ,. k=1. que é um polinômio de grau dois nas variáveis xij , yij e, portanto, é uma aplicação diferenciável. Por esta razão Gl(n, R) é um grupo de Lie.. 4.

(11) 5 1.1.1. A álgebra de Lie. Uma álgebra de Lie consiste de um espaço vetorial (colchete). [., .] : g × g −→ g. 1. O colchete. [., .]. g. munido de um produto. que satisfaz as propriedades:. é bilinear, isto é, linear em cada uma das variáveis.. 2. Anti-simetria, isto é,. [A, B] = −[B, A],. 3. Identidade de Jacobi: para. para. A, B ∈ g.. A, B, C ∈ g,. [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0 Um subespaço. h ⊂ g. de uma álgebra de Lie. fechado para a operação colchete. Nesse caso. g. g. é uma. subálgebra de Lie. se for. é também uma álgebra de Lie.. Um exemplo de álgebra de Lie é dado pelo espaço vetorial dos campos de vetores sobre uma variedade diferenciável munido do colchete de Lie de campos de vetores. Outro exemplo é a álgebra. gl(n, R) formada pelas matrizes reais n×n com o colchete. dado pelo comutador de matrizes. [A, B] = AB − BA.. Denição 1.3. Seja G um grupo de Lie. Um campo de vetores X em G é dito invariante à esquerda se para todo g ∈ G, d(Lg )h X(h) = X(gh) para todo g, h ∈ G. Os campos invariantes à esquerda ou à direita são completamente determinados por seus valores no elemento neutro. e ∈ G,. pois para todo. invariança à esquerda, por exemplo, implica que cada elemento do espaço tangente. Te G. g ∈ G. a condição de. X(g) = d(Lg )e (X(e)).. Portanto,. determina um único campo invariante à. esquerda e um único campo invariante à direita.. Lema 1.4. Sejam X e Y campos invariantes à esquerda num grupo de Lie G. Então, o colchete de Lie [X, Y ] é invariante à esquerda. A mesma armação vale para campos invariantes à direita. Demonstração: Ver em [8], seção 1.7. L Dito de outra maneira, os espaços dos campos invariantes à esquerda (inv ) e R de campos invariantes à direita (inv ) são subálgebras de Lie da álgebra de Lie.

(12) 6 de todos os campos de vetores em. G.. Em particular, ambos os espaços vetoriais. admitem estruturas de álgebra de Lie. A álgebra de Lie do grupo das álgebras de Lie Dado. A ∈ Te G,. AL (e) = A.. inv. L. ou. inv. a notação. E analogamente. Te G. O espaço tangente. R. .. AL. AR. G é qualquer uma. indica o campo invariante à esquerda, tal que. denota campos invariantes à direita.. é isomorfo tanto a. inv L. quanto a. inv R .. Através dos. isomorsmos o colchete de Lie restrito aos subespaços de campos invariantes induz colchetes e. [., .]L. e. [., .]R. em. Te G.. Esses colchetes são dados por. [A, B]L = [AL , B L ](e). [A, B]R = [AR , B R ](e), A, B ∈ Te G.. Denição 1.5. A álgebra de Lie de G, denotada por g, é qualquer uma das álgebras de Lie isomorfas invL , invR ou ainda (Te G, [., .]e ). Para o estudo de grupos de Lie pode-se considerar qualquer umas dessas álgebras de Lie para representar. (Te G, [., .]e ).. sendo a álgebra de Lie. g. 1.1.2. No entanto iremos considerar. do grupo de Lie. (Te G, [., .]e ), como. G.. Grupo de Lie com métrica bi-invariante. Denição 1.6. Uma métrica Riemanniana em G é invariante à esquerda se: hu, vih = h(dLg )h (u), (dLg )h (v)iLg (h) , g, h ∈ G, u, v ∈ Tg G.. Isto é, se Lg é uma isometria. De maneira análoga denimos métrica Riemanniana invariante à direita em. G.. Uma métrica invariante à esquerda e à direita é chamada bi-invariante.. Proposição 1.7. Seja G um grupo de Lie com métrica bi-invariante, e X, Y, Z, campos unitários e invariantes à esquerda em G, então: • A conexão Riemanniana de G é dada por: 1 ∇X Y = [X, Y ]. 2 • O tensor de curvatura R de G é dado por: 1 R(X, Y )Z = [[X, Y ], Z]. 4.

(13) 7 • É válida a seguinte identidade. h[X, Y ], Zi + h[Z, Y ], Xi = 0. Demonstração: Ver em [2]. 1.1.3 Seja. Aplicação exponencial. X. um campo invariante (à esquerda ou à direita em. uxo. Em princípio. ϕt. ϕt. é um uxo local, isto é, para. é um subconjunto aberto de. até. inv. t. G).. Denote por. xado, o domínio. ϕt o seu. domϕt. de. G das condições iniciais cujas soluções se prolongam. t. A invariância de. X. L. com. , tome. g, h ∈ G. acarreta a seguinte simetria do uxo. h ∈ domϕt. e considere a curva. O seu domínio é um intervalo aberto de Além disso, pela regra da cadeia. ϕt :. suponha que. X ∈. γ(t) = Lg (ϕt (h)) = gϕt (h).. R, contendo 0 com γ(0) = gh pois ϕ0 (h) = h.. γ 0 (t) = d(Lg )ϕt (h) (X(ϕt (h))), e como X. é invariante. à esquerda, segue que. γ 0 (t) = X(gϕt (h)) = X(γ(t)). Portanto,. ϕt (gh).. γ. é solução de. dg dt. = X(g). com condição inicial. γ(0) = gh,. isto é,. γ(t) =. Isto signica que. ϕt (gh) = gϕt (h) Tomando. h = e,. ca. ϕt (g) = gϕt (e).. X ∈ inv L .. Isto é, a solução que passa por. g. é obtida por. translação à esquerda da solução que passa pela identidade. De maneira análoga, se mostra que. ϕt (hg) = ϕt (h)g (e. ϕt (g) = ϕt (e)g ). se. X. X ∈ inv R .. é campo invariante à direita.. Proposição 1.8. Seja G um grupo de Lie, g sua álgebra de Lie, e X ∈ g. As trajetórias de X , (X ∈ invL ou X ∈ invR ), determinam uma aplicação ϕ : (−, ) → G com ϕ(0) = e, ϕ0 (t) = X(ϕ(t)). Então ϕ(t) está denida para todo t ∈ R e ϕ(t + s) = ϕ(t).ϕ(s), (ϕ : R → G é chamado de um subgrupo a 1-parâmetro de G)..

(14) 8 Demonstração: Ver [2], capítulo 3. Essa descrição das trajetórias dos campos invariantes permite denir a aplicação exponencial.. Denição 1.9. Seja X ∈ Te G. Então, expX = (X L )t=1 (e) = (X R )t=1 (e). A aplicação exponencial é da forma Lie. X. g. de. G. Considerando a álgebra de. como espaço tangente ao elemento neutro. Pela identicação acima, se. é um campo invariante. exp X. faz sentido e é o valor em. que passa pelo elemento neutro quando aplicação. exp : g −→ G.. t 7→ exp (tX), X ∈ g,. t = 0.. t=1. da solução de. X. Em virtude da proposição acima, a. é um homomorsmo. Portanto,. {exp (tX) : t ∈ R} é um subgrupo de. G,. denominado de. subgrupo a 1-parâmetro. gerado por. X.. A seguinte proposição reúne algumas propriedades da aplicação exponencial e dos uxos dos campos invariantes.. Proposição 1.10. São válidas as seguintes armações: 1. Se X é campo invariante à direita então ϕt = Rexp(tX) , isto é, ϕt (g) = exp(tX) g . 2. Se X é campo invariante à esquerda então ϕt = Lexp(tX) , isto é, ϕt (g) = g exp(tX). 3. exp(0) = e. 4. Para todo X ∈ g, e t, s ∈ R, exp((t + s)X) = exp(tX) exp(sX) = exp(sX) exp(tX),. isto é, os elementos do subgrupo {exp(tX) : t ∈ R} comutam entre si. 5. Sejam X, Y ∈ g. Então, [X, Y ] = 0 se, e só se, exp(tX) exp(sY ) = exp(sY ) exp(tX)..

(15) 9 Demonstração: Apenas a última propriedade não foi provada ainda.. Mas ela é. consequência da propriedade geral de campos de vetores que arma que seus uxos comutam se, e só se, o colchete de Lie entre eles se anula em todos os pontos. O item. 4. garante que. (expX)n = exp(nX). para todo. n ∈ Z.. Em particular,. (expX)−1 = exp(−X).. 1.2. A álgebra dos Quatérnios. A álgebra dos quatérnios é o espaço vetorial real,. H = {a1 + bi + cj + dk} A multiplicação em. H. a, b, c, d ∈ R,. é denida por bilinearidade de acordo com a seguinte tabela:. . 1 i j k. 1 i j k 1 i j k i −1 k −j j −k −1 i k j −i −1. As operações de adição e multiplicação em. H. (1.1). satisfazem todos os axiomas para. corpos, exceto a comutatividade para multiplicação. É conveniente decompor um quatérnio em duas partes que são tradicionalmente chamadas de parte escalar e parte vetorial.. Se. q = q0 + q1 i + q2 j + q 3 k ,. então. escrevemos. − q = q0 + → q, onde de. q.. q0 = q0 1. e. → − q = q1 i + q2 j + q3 k .. Chamando. q0. parte escalar e. → − q. parte vetorial. Verica-se que o produto. − − − − − − − − pq = (p0 + → p )(q0 + → q ) = (p0 q0 − → p ·→ q ) + (p0 → q + q0 → p +→ p ×→ q ), onde. → − − p ·→ q. usuais em. 3. R. e. → − − p ×→ q. são, respectivamente, produto interno e produto vetorial. .. Tem-se também a operação conjugação em. − q = q0 − → q. (1.2). é chamado conjugado de. q.. H.. Se. − q = q0 + → q pertence a H então. Vejamos algumas propriedade com relação. à conjugação:. pq = q p..

(16) 10 Da equação (1.2) obtemos. qq = q02 + q12 + q22 + q32 = qq. Assim, se identicado. H com R4 , associando q com o vetor (q0 , q1 , q2 , q3 ) e denotando. o produto interno euclidiano de que. qq. hq, qi. e. p. e. q. por. hp, qi,. então. qq = hq, qi.. Usando o fato de. são formas quadráticas, verica-se:. pq + qp = 2 hp, qi . Em particular,. p. é ortogonal a. q. se, e somente se,. (1.3). pq + qp = 0.. Denota-se a norma euclidiana de um quatérnio. q. por. |q|.. Como um escalar. comuta com qualquer quatérnio,. |pq|2 = hpq, pqi = pq pq = p q q p = p|q|2 p = |p|2 |q|2 . Temos então. |pq| = |p||q|. Tendo determinado a norma de um quatérnio, pode-se obter a fórmula do inverso de um quatérnio. Se. q 6= 0,. então. q −1 = Se. q. −1. q ∈ H,. = q.. com. |q| = 1,. Se, em particular,. u. q . |q|2. que é chamado. quatérnio unitário.. Neste caso vale,. é um quatérnio unitário puro (isto é,. − u=→ u ),. então. u−1 = −u.. 1.3. Os grupos O(n) e SO(n). O grupo ortogonal. O(n) pode ser denido como o grupo de isometrias do Rn. xa a origem. Equivalentemente, é o grupo das matrizes tal que. AAt = I. onde. At. é a matriz transposta de. An×n. que. com entradas em. R. A.. O(n) é um subgrupo de GLn (R), general linear group, já apresentado no exemplo (1.2). A aplicação determinante como núcleo o subgrupo. O(n) → {±1}. SO(n),. é um homomorsmo sobrejetivo, tendo. special orthogonal group, o qual tem índice 2..

(17) 11 Além disso, com esta aplicação temos que distinguidas por. det A = ±1.. A estrutura topologica de. O(n) tem duas componentes conexas,. (Ver em [13], seção 8.4).. SO(n). para pequenos valores de. n. pode ser descrita. em termos de alguns espaços conhecidos.. • SO(1),. é um ponto.. • SO(2),. são rotações de. R2 ,. e respectivamente homeomorfo e isomorfo a. S1. e. aos números complexos unitários.. • SO(3). é homeomorfo a. RP3 .. • SO(4). é homeomorfo a. S3 × SO(3).. (Ver em [6]). Seja. S3 = {quatérnios Note que. S3. unitários}. tem duas estruturas:. = {q ∈ H | q q = 1}.. trata-se de um grupo sob multiplicação, e. também tem a sua própria geometria como esfera unitária em Seja. Lx : S3 → S3. R4 .. a translação à esquerda por um elemento. (dLx )y : Ty S3 → Txy S3. sua diferencial.. Com isto iremos considerar. translação à esquerda de um vetor arbitrário um grupo de Lie, e que sua álgebra. x ∈ S3 ,. 3. v ∈ Tx S. e. (dLx−1 )v. a. 3. é. . Vemos facilmente que. S. Te S3 = T(1,0,0,0) S3 w R3 .. Usando a representação ortogonal do grupo dos quatérnios unitários. Seja. x = x0 + ix1 + jx2 + kx3 , v = v 0 + iv 1 + jv 2 + kv 3. e. x−1 = x0 − ix1 − jx2 − kx3 .. Temos. .  0  x0 x1 x2 x3 v −v 1 −v 2 −v 3  −x1 x0  v 1 v 0 −v 3 v 2  x3 −x2     dLx−1 v = φ(x−1 )φ(v) =   −x2 −x3 x0 x1   v 2 v 3 v 0 −v 1  −x3 x2 −x1 x0 v 3 −v 2 v 1 v0 onde. φ : H → SO(4).. Calculando os elementos da primeira coluna no produto das matrizes, notamos que.

(18) 12 .  0 x0 x1 x2 x3 v 3 2  1  −x1 x0 x −x  v (dLx−1 )v =  1  2  −x2 −x3 x0 x v 3 2 1 0 −x x −x x v3.    = Ax v, . (1.4). Ax ∈ SO(4). Para o próximo teorema identicamos. H. com. R4 ,. a forma quadrática. |q|. métrica euclidiana e o subespaço dos quatérnios puramente imaginários com. com a. R3 .. Teorema 1.11. . 1. Para todo p ∈ S3 , a multiplicação à esquerda ap : x 7→ px dene uma aplicação H → H que é uma isometria que preserva orientação de H = R4 com ponto xo na origem; o mesmo vale pra multiplicação à direita bq : x 7→ xq. 2. O homomorsmo φ(p, q) : S3 × S3 → SO(4) denido por φ(p, q) = ap ◦ bq : x 7→ p x q. é sobrejetivo, e φ(p, q) = idH se, e somente se, (p, q) = (1, 1) ou (p, q) = (−1, −1). 3. Para todo q ∈ S3 , a aplicação rq : x 7→ q x q é uma isometria que preserva orientação de H = R4 , o qual é a aplicação identidade para elementos reais de H e toma quatérnio puro imaginário de H e leva em quatérnio puro imaginário. Assim dene uma rotação do subespaço R3 ⊂ H dos quatérnios puro imaginários. 4. Todo q ∈ S3 , q não real, tem uma única expressão com a forma q = cos θ + Isen θ, onde I ∈ S3 é um puro imaginário e θ ∈ (0, π). Então rq = Rot(I, 2θ) é rotação de R3 sobre o eixo denido por I e um ângulo 2π. 5. O homomorsmo ψ : S3 → SO(3) denido por ψ(q) = rq. é sobrejetivo, e ψ(q1 ) = ψ(q2 ) se, e somente se, q1 = ±q2 .. Demonstração: Ver [13], seção 8.5..

(19) Capítulo 2 Aplicação de Gauss em superfícies de curvatura média constante em S3 Neste capítulo apresentamos uma versão da aplicação de Gauss para uma superfície. M 2 imersa em S3 e, como resultado principal, uma versão análoga do teorema de. Ruh-Vilms para hipersupefíces. n : M n → Sn. Mn. do espaço euclidiano, onde a aplicação de Gauss. é harmônica se, e somente se,. Mn. tem curvatura média constante.. Os resultados apresentados foram obtidos por Masal'tsev [11].. 2.1. Observações Preliminares. Seja. η.. M ⊂ S3. Considerando. uma superfície orientada imersa em. S3. S3 , com campo normal unitário. como um grupo de Lie, ver capítulo 1 seção 1.3, podemos denir. a chamada aplicação de Gauss. g(η) : M → S2 ⊂ Te S3. da seguinte maneira. g(η)(x) = (dLx−1 )x (η(x)), onde. x ∈ M.. Note que como a métrica é invariante à esquerda. (2.1). g(η)(x). é um ponto. da esfera unitária. Neste capítulo, será conveniente introduzir um parametrização local para expressar. g(η). M. e. em coordenadas locais.. Seja. X(u, v) = (X 0 (u, v), X 1 (u, v), X 2 (u, v), X 3 (u, v)), 13. (2.2).

(20) 14 uma parametrização local de Temos que. {Xu , Xv , η, X}. formam uma base para. 3. TX S. M. forma uma base de e. η. R4 ,. onde os três primeiros vetores. é o vetor normal unitário da superfície em. S3 .. Em coordenadas locais temos. g(η)(u, v) := AX η(X(u, v)), onde o operador. AX. (2.3). é dado pela equação (1.4).. J1 , J2 , J3 ∈ SO(4):     0 0 −1 0 0 0 0 −1       , J2 =  0 0 0 −1  , J3 =  0 0 1 0  .   1 0 0  0 −1 0 0  0  0 1 0 0 1 0 0 0. Introduzimos as matrizes. . 0 −1 0  1 0 0 J1 =   0 0 0 0 0 −1 Onde. J1. gamente,. 0 0 1 0. . representa a multiplicação à direita pelo quatérnio. J2. e. J3. i : x → y = xi.. representam a translação à direita pelos quatérnios. j. e. k,. Analorespec-. tivamente. Então a equação (2.3) dene a aplicação de Gauss. g(η). da seguinte forma:. g(η)(x) = (hJ1 x, η(x)i , hJ2 x, η(x)i , hJ3 x, η(x)i).. (2.4). Proposição 2.1. Seja X(u, v) uma superfície parametrizada suave em S3 , tal que a primeira e segunda forma são dadas por: I = e2w(u,v) (du2 + dv 2 ),. (2.5). II = L(u, v)du2 + 2M (u, v)dudv + N (u, v)dv 2 .. (2.6). Seja η o campo normal unitário induzido por X(u, v). Então: • Os símbolos de Christoel da primeira forma da superfície podem ser escritos da seguinte forma: (Γ1ij ). =. wu wv wv −wu. ,. (Γ2ij ). =. −wv wu wu wv. .. • As derivadas dos vetores Xu , Xv e η , são espressadas por: Xuu = wu Xu − wv Xv + Lη − e2w X,. Xuv = wv Xu + wu Xv + M η,. Xvv = −wu Xu + wv Xv + N η − e2w X, ηu = −e−2w (LXu + M Xv ),. (2.7). ηv = −e−2w (M Xu + N Xv )..

(21) 15 • As equações de Codazzi e a expressão da curvatura média H são dadas por: Mv + wu (L + N ) = Nu ,. Mu + wv (L + N ) = Lv .. (2.8). e−2w (L + N ) = 2H.. (2.9). Demonstração: Análoga à demonstração feita no caso das superfícies em R3 . No caso em que a superfície tem curvatura média constante, derivando (2.9), obtemos:. Lu + Nu = 2wu (L + N ),. Lv + Nv = 2wv (L + N ).. (2.10). Combinando as equações acima com as equações de Codazzi, tem-se:. (L + N )wu = Lu + Mv ,. (L + N )wv = Nv + Mu .. (2.11). Na demonstração do Teorema 2.2, iremos usar o seguinte critério para harmonicidade de uma aplicação com métrica. f = (f 1 , ..., f n+1 ). γ = (γαβ ), α, β = 1, ..., m,. (ver [8], cap. 8). A aplicação. de uma variedade Riemanniana. na esfera. Sn ⊂ Rn+1. f : (M m , γ) → (Sn , g0 ). ∆M f (x) = −2e(f )f (x),. Mm. com métrica usual. g0. é harmônica se, e somente se,. x ∈ M m,. (2.12). isto é,. ∆M f i (x) = −2e(f )f i (x), para todo. i = 1, ..., n + 1 ,. onde. e(f ). (2.13). denota a densidade de energia de. 1 ∂f i (x) ∂f j (x) , e(f ) = γ αβ (x)(g0 )ij (f (x)) 2 ∂xα ∂xβ e. i. ∆M f (x) = γ é o valor em. 2.2. fi. αβ. . i ∂ 2f i τ ∂f − Γ αβ ∂xα ∂xβ ∂xτ. f, (2.14). . do operador de Beltrami-Laplace da variedade. (2.15). M m.. Aplicação de Gauss em superfícies de curvatura média constante em S3. Teorema 2.2. A aplicação de Gauss g(η) : M 2 → S2 é harmônica se, e somente se, M 2 tem curvatura média constante..

(22) 16 Demonstração: Sem perda de generalidade, vamos utilizar uma parametrização local como na Proposição 2.1. Primeiro calculamos a densidade de energia. e(g(η)). de. g(η). de. M 2 ⊂ S3 .. Da. equação (2.14) e da primeira forma da superfície, tem-se:. i 2 i 2 ! 3 ∂g ∂g e−2w X + . e(g(η)) = 2 i=1 ∂u ∂v g i (η). Pelas expressões de (2.7) e da denição de. temos que. ∂g i ∂ = hη, Ji Xi = hηu , Ji Xi + hη, Ji Xu i ∂u ∂u = −e−2w (L hXu , Ji Xi + M hXv , Ji Xi) + hη, Ji Xu i ,. (2.16). analogamente,. ∂g i = −e−2w (M hXu , Ji Xi + N hXv , Ji Xi) + hη, Ji Xv i . ∂v. (2.17). Portanto,. 2 3 X ∂g i i=1. 2 −4w. = Le. ∂u. 3 X. hXu , Ji Xi 2. (2.18). i=1. +2LM e. −4w. 3 X. hXu , Ji Xi hXv , Ji Xi. i=1 2 −4w. +M e. −2Le−2w −2M e. 3 X. i=1 3 X. hXv , Ji Xi 2. hXu , Ji Xi hη, Ji Xu i. i=1 3 X −2w. hXv , Ji Xi hη, Ji Xu i. i=1. +. 3 X. hη, Ji Xu i 2 .. i=1 Vejamos como cada um dos somatórios acima pode ser reescrito de uma maneira simples. Notemos que para um vetor unitário uma base ortonormal de. R4 ,. a ∈ R4 ,. os vetores. portanto. Xu =. 3 X i=1. hXu , Ji Xi Ji X. a, J1 a, J2 a, J3 a. formam.

(23) 17 onde. hXu , Xi = 0.. Os valores. vetores da base ortonormal. hXu , Ji Xi. Ji X .. 3 X. são as projeções do vetor. Xu. sobre os. Com isto temos que,. hXu , Ji Xi 2 = |Xu |2 = e2w .. (2.19). i=1 Analogamente, o somatório da terceira linha da equação (2.18) ca determinado. Temos ainda que. 3 X. hη, Ji Xu i 2 =. i=1. 3 X. η. e. X. 0 = hη, Xi =. Ji. é anti-simétrica (hJi a, bi. η. e. X. e. temos:. hη, Ji Xu i hX, Ji Xu i e. i=1. = − ha, Ji bi).. {Xu , J1 Xu , J2 Xu , J3 Xu },. como combinação linear da base. fazendo uso da ortogonalidade de. 3 X. (2.20). i=1. onde foi usado o fato de que a matriz Decompondo. hJi η, Xu i 2 = |Xu |2 = e2w ,. 2w. = −e. 2w. 3 X. hη, Ji Xu i hJi X, Xu i ,. i=1. portanto,. 3 X. hXu , Ji Xi hη, Ji Xu i = 0.. (2.21). i=1 Com argumento análogo, temos que. 3 X. hXu , Ji Xi hXv , Ji Xi = 0.. (2.22). i=1 Usando a denição das matrizes. 3 X. {Ji },. mostraremos que. hXu , Ji Xi hη, Ji Xv i = −e2w ,. (2.23). i=1 3 X. hXv , Ji Xi hη, Ji Xu i = e2w .. (2.24). i=1 Faremos os cálculos para vericar (2.24), os cálculo referentes a (2.23) são análogos. Temos que. 1 hJ1 Xu , ηi hJ1 X, Xv i = hXu i, ηi hXi, Xv i = (Xu iη + ηXu i)(XiXv + X v Xi ) 4. 1 = (−iX u η + ηXu i)(−iXXv + X v Xi) = i, X u η i, XXv 4.

(24) 18 análogamente, conclui-se que. hJ2 Xu , ηi hJ2 X, Xv i = j, X u η j, XXv ,. hJ3 Xu , ηi hJ3 X, Xv i = k, X u η k, XXv . Portanto,. 3 X. hXv , Ji Xi hη, Ji Xu i = X u η, XXv .. i=1 Sabendo que. {X, Xu , Xv , η}. constitui uma base ortogonal e determina a mesma. orientação, podemos assumir, sem perda de generalidade, que em. 2w(u0 ,v0 ). X(u0 , v0 ) = 1, Xu (u0 , v0 ) = e. i, Xv (u0 , v0 ) = e. 2w(u0 ,v0 ). (u0 , v0 ),. j, η(u0 , v0 ) = k .. Então,. . X u η, XXv = −ew(u0 ,v0 ) ik, 1ew(u0 ,v0 ) j = −e2w(u0 ,v0 ) hik, ji = e2(u0 ,v0 ) ,. (2.25). vericando assim a equação (2.24). Logo, por (2.18), (2.19), (2.20), (2.21), (2.22) e (2.24) obtemos. 2 3 X ∂g i i=1. ∂u. = e−2w (L2 + M 2 ) + e2w − 2M.. (2.26). = e−2w (M 2 + N 2 ) + e2w + 2M.. (2.27). Similarmente,. 2 3 X ∂g i i=1. ∂v. Portanto, a densidade de energia da aplicação de Gauss é. i 2 i 2 ! 3 e−2w X ∂g ∂g e−4w 2 e(g(η)) = + = (L + N 2 + 2M 2 ) + 1. 2 i=1 ∂u ∂v 2. (2.28). Agora iremos calcular o valor do operador de Beltrami-Laplace em uma coordenada arbitrária. g i (η), (i = 1, 2, 3).. Da equação (2.15) e da métrica da superfície (2.5), obtemos:. i. −2w. ∆M g = e. . ∂2 ∂2 + ∂u2 ∂v 2. . gi..

(25) 19. Derivando (2.16), e utilizando (2.7) juntamente com a igualdade. hXu , Ji Xu i = 0,. obtemos:. ∂ 2gi ∂ (−e−2w (L hXu , Ji Xi + M hXv , Ji Xi) + hη, Ji Xu i) (2.29) = 2 ∂u ∂u. = (−Lu + 2Lwu M )e−2w hXu , Ji Xi − M e−2w wu Xu − wv Xv + Lη − e2w X, Ji X +(−Mu + 2wu M ) hXv , Ji Xi − M e−2w hwv Xu + wu Xv + M η, Ji Xi. −2M e−2w hXv , Ji Xu i + η, Ji (wu Xu − wv Xv + Lη − e2w X) = e−2w (−Lu + wu L − M wv ) hXu , Ji Xi + e−2w (−Mu + wu M + Lwv ) hXv , Ji Xi −((L2 + M 2 )e−2w + e2w ) hη, Ji Xi − 2M e−2w hXv , Ji Xu i +wu hη, Ji Xu i − wv hη, Ji Xv i . Analogamente, de (2.17) obtemos a expressão para a segunda derivada com relação à. v: 2 i. ∂ g ∂v 2. ∂ (−e−2w (M hXu , Ji Xi + N hXv , Ji Xi) + hη, Ji Xv i) (2.30) ∂v = e−2w (−Mv + wv M + N wu ) hXu , Ji Xi + e−2w (−Nv + wv N − M wu ) hXv , Ji Xi =. −((M 2 + N 2 )e−2w + e2w ) hη, Ji Xi − 2M e−2w hXu , Ji Xv i −wu hη, Ji Xu i + wv hη, Ji Xv i . Portanto, somando (2.29) e (2.30) e multiplicando o resultado por assim o valor do operador de Beltrami-Laplace da função. g. i. ,. e−2w. obtemos. i = 1, 2, 3. ∆M g i = −(e−4w (L2 + N 2 + 2M 2 ) + 2) hη, Ji Xi +e−4w ((L + N )wu − Lu − Mv ) hXu , Ji Xi +e−4w ((L + N )wv − Nv − Mu ) hXv , Ji Xi . Da equação de densidade de energia (2.28), e da denição das funções coordenadas da aplicação. g,. temos então:. ∆M g i = −2e(g(η))g i + e−4w ((L + N )wu − Lu − Mv ) hXu , Ji Xi. (2.31). +e−4w ((L + N )wv − Nv − Mu ) hXv , Ji Xi . Como estamos assumindo que. M. tem curvatura média constante, de (2.11) e. (2.31) segue que. ∆M g i = −2e(g(η))g i ,. i = 1, 2, 3.. (2.32).

(26) 20 Portanto, o critério de harmonicidade (2.13) é satisfeito. Agora supondo que a aplicação. g(η) : M → S2. é harmônica, isto é, o critério. (2.13) é satisfeito, então a equação (2.32) é satisfeita. Segue que a equação (2.31) implica que para. i = 1, 2, 3,. vale a seguinte equação:. ((L + N )wu − Lu − Mv ) hXu , Ji Xi + ((L + N )wv − Nv − Mu ) hXv , Ji Xi = 0. Multiplicando a equação acima por. Ji X. e somando em. i, i = 1, 2, 3,. obtemos:. ((L + N )wu − Lu − Mv ) Xu + ((L + N )wv − Nv − Mu ) Xv = 0. Logo, como. Xu. e. Xv. são linearmente independentes, as equações (2.11) são satisfei-. tas. O que implica que a superfície. M. tem curvatura média constante.. Exemplo 2.3. Considere a superfície de revolução em S3 . u v v u X(u, v) = (a cos , asen , b cos , bsen ), a a b b. onde a2 + b2 = 1 e as variáveis u e v pertencem aos intervalos 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 2π . A curvatura média da superfície em S3 é constante 1 H= 2. . a b − b a. .. A aplicação de Gauss g(η) da superfície é dada por u v u v − , sen − . g(η)(u, v) = 0, − cos a b a b. Onde a desidade de energia de g(η) é igual a: 1 e(g(η)) = 2. . 1 1 + 2 2 a b. .. Como a métrica da superfície X(u, v) é ds2 = du2 + dv2 , temos ∆M =. ∂2 ∂2 + , ∂u2 ∂v 2. donde se verica diretamente o critério para harmonicidade de g(η) ∆g i (η) = −2e(g(η))g i (η),. i = 1, 2, 3..

(27) 21 Agora estudaremos algumas propriedades geométricas da aplicação. X(u, v),. como em (2.2), uma parametrização para a superfície. uma matriz. C ∈ SO(4),. a superfície transformada. representada em forma de quatérnios por com norma unitária. Como. q1 η(X)q2 ,. M. 2. onde. q1. e. q2. Yu = CXu , Yv = CXv , η(Y ) = Cη(X), Y (u, v). Seja. Então, para. Y (u, v) = CX(u, v). Y = q1 Xq2 ,. e a aplicação de Gauss da superfície. .. g(η).. pode ser. são quatérnios temos. η(Y ) =. tem a seguinte forma.. g(η(Y )) = dLY −1 η(Y ) = φ(Y −1 )φ(η(Y )) = φ((q1 Xq2 )−1 φ(q1 η(X)q2 ) = φ(q2−1 )φ(X −1 )φ(η(X))φ(q2 ) = φ(q2−1 )g(η(X))φ(q2 ). Em particular, se a superfície. Y = q1 X ,. Y (u, v). é obtida de. X(u, v). (2.33). por translação à esquerda. a aplicação de Gauss das superfícies coincidem:. g(η(X)) = g(η(Y )).. Descreveremos agora a situação em que a aplicação de Gauss. g(η) : M 2 → S2. é conforme. O resultado a seguir contrasta com a situação para superfícies em. R3 ,. onde a aplicação de Gauss é conforme se, e somente se a superfície é totalmente umbílica ou mínima (ver em [15]).. Teorema 2.4. . a) Seja X(u, v) uma parametrização isotérmica de uma superfície M 2 imersa em S3 , de forma que as expressões das formas fundamentais de M sejam dadas por (2.5) e (2.6). Então a métrica canônica de S2 induzida pela aplicação de Gauss g é dado por: ds2g = (e−2w (L2 + M 2 ) + e2w − 2M )du2 + 2(e−2w M (L + N ) + L − N )dudv +(e−2w (N 2 + M 2 ) + e2w + 2M )dv 2 .. (2.34). b) A aplicação de Gauss g(η) : M 2 → S2 é conforme se, e somente se, M 2 é totalmente umbílica em S3 . Demonstração: Os coecientes g11.

(28)

(29)

(30) ∂g(η)

(31) 2 =

(32) ∂u

(33). e. g22.

(34)

(35)

(36) ∂g(η)

(37) 2 =

(38) ∂v

(39). já estão determi-. nados pela equações (2.26) e (2.27); então devemos encontrar o coeciente Usando (2.16) e (2.17) temos:. g12 =. ∂g(η) ∂g(η) , ∂u ∂v. . g12 ..

(40) 22 =. 3 X. −e−2w (L hXu , Ji Xi + M hXv , Ji Xi) + hη, Ji Xu i). i=1 3 X. −e−2w (M hXu , Ji Xi + N hXv , Ji Xi) + hη, Ji Xv i. .. i=1 3 X = e−4w { LM hXu , Ji Xi2 + M 2 hXu , Ji Xi hXv , Ji Xi i=1. +. 3 X. . N M hXv , Ji Xi 2 + LN hXv , Ji Xi hXu , ji Xi }. i=1. −e. −2w. {. 3 X. [M hXu , Ji Xi hη, Ji Xu i + N hXv , Ji Xi hη, Ji Xu i]. i=1. + +. 3 X i=1 3 X. [L hXu , Ji Xi hη, Ji Xv i + M hXv , Ji Xi hη, ji Xv i]} hη, Ji Xu i hη, Ji Xv i .. i=1 Usando as equações (2.23), (2.24) e as equações (2.19) e (2.21), onde obtidas também para. Xv .. Então simplicando obtemos:. g12 = e−2w M (L + N ) + L − N.. (2.35). Donde concluimos o primeiro item do teorema. Para o segundo item, sem perda de generalidade consideramos uma parametrização isotérmica.. Basta comparar a métrica da superfície (2.5) e a métrica da. aplicação de Gauss em ções. S2 ,. dada por (2.34). Com isto obtemos um sistema de equa-. g11 = g22 , g12 = 0. (L2 − N 2 )e2w = 4M,. M (L + N )e−2w + L − N = 0.. Com a análise do sistema chegaremos que. M = 0, e assim L = N , ou seja a superfície. é totalmente umbílica.. Corolário 2.5. A imagem da aplicação de Gauss da superfície M 2 é degenerada se, e somente se, a curvatura intrínseca da superfície for nula, isto é: Kint = 0. Demonstração: Sem perda de generalidade podemos supor uma parametrização isotérmica, como no teorema 2.4..

(41) 23 A imagem da aplicação. g(M 2 ) é degenerada se, e somente se D = g11 g22 − (g12 )2. for nulo.. D = (e−2w (L2 + M 2 ) + e2w − 2M )(e−2w (N 2 + M 2 ) + e2w + 2M ) −(e−2w M (L + N ) + L − N )2 = (e−2w (LN − M 2 ) + e2w )2 = 0, que é equivalente a,. (2.36). e4w + LN − M 2 = 0.. Temos que, pela equação de Gauss,. Kint − Kext = 1,. (ver [2], pág.. 144).. A. superfície tem primeira e segunda forma fundamental dadas por (2.5), (2.6), então. Kint = − e∆w 2w. , (ver [1], pág. 283) e. Kint = −. LN −M 2 . Logo, e4w. ∆w LN − M 2 e4w + LN − M 2 = 1 + = =0 e2w e4w e4w. O elemento de área de. (u, v). Kext =. S2. induzido pela aplicação. g. em coordenadas isotérmicas. é dado por,. dσg = |e−2w (LN − M 2 ) + e2w | du dv = |Kext + 1|e2w du dv. Note que o elemento de área da métrica (2.5) é. e2w dudv .. (2.37). Com isto temos o seguinte. corolário.. Corolário 2.6. Para qualquer domínio A ⊂ M 2 temos que: 1. Se −2 < Kext < 0, então: área(g(A)) < área(A). 2. Se Kext < −2 ou Kext > 0, então: área(g(A)) > área(A). 3. Se Kext = 0, ou Kext = −2, então: área(g(A)) = área(A). Apresentaremos agora um resultado similar à conjectura de Nirenberg, onde, se uma superfície mínima. S. sobre a esfera unitária.. em. R3. não é um plano, então a aplicação de Gauss é densa. Resultado provado por R. Osserman em [12].. Posterior-. mente, F. Xavier provou que a aplicacação de Gauss dessa superfície pode omitir no máximo seis pontos, [18]. Em 1989 Fujimoto provou que o complemento da imagem da aplicação de Gauss de uma superfície mínima não planar em máximo quatro pontos. [5].. R3 ,. consiste em no.

(42) 24 Lema 2.7. A aplicação g(n) : M 2 → S2 de uma superfície regular M 2 ⊂ S3 de curvatura média constante não pode ser constante. Demonstração: Suponha que p ∈ M. tem. X(u, v). de uma. Suponha que a aplicação de Gauss é constante em uma superfície regular. X(u, v). curvatura média constante, então existe uma parametrização local vizinhança de. em. M. é um ponto não umbílico. Como. p. 3. que é isotérmica e por linhas de curvatura.. 1. 2. 3. S , g(η) = (c , c , c ).. (1, 0, 0), tal que. Sem perda de generalidade podemos supor que. (c , c2 , c3 ) =. já que a equação (2.33) implica que existe uma transformação. g(η(CX)) = (1, 0, 0).. base ortonormal. Como os vetores. i. g = hJi X, ηi, η=. X, J1 X, J2 X, J3 X. 1. C ∈ SO(4). formam uma. temos então. 3 X. hJi X, ηi Ji X = J1 X.. (2.38). i=1 Por (2.7), como. M = 0,. para a parametrização. e fazendo o produto interno por. Xu. obtemos,. e, analogamente, o produto interno de. hηv , Xv i = hJi Xv , Xv i = 0.. X(u, v),. obtemos. ηv = −N e−2w Xv. com. Se. p. Xv ,. implica. −N =. Portanto, a segunda forma fundamental (2.6) é nula e a. a equação (2.38) implica que. X(u, v). ,. −L = hηu , Xu i = hJ1 Xu , Xu i = 0. superfície é uma grande esfera, com vetor normal constante. de que a superfície. ηu = −Le−2w Xu. X(u, v) = −J1 η = constante,. η = (η01 , η02 , η03 ).. Então. o que contradiz o fato. seja regular.. é um ponto umbílico isolado, então existe uma vizinhança de. guimos uma sequência de pontos não umbílicos convergindo para. p.. p. onde conse-. Assim para cada. ponto da sequência é válido o resultado obtido acima. Portanto, por continuidade, temos que o resultado é válido também para Se. p não é isolado, então M. p.. é parte de uma esfera umbílica. Neste caso, verica-. se facilmente que a aplicação de Gauss não é constante.. Observação:. No capítulo 4, Proposição 4.1, obtemos a aplicação de Gauss, como. translação à esquerda e à direita, para o caso em que isolado em. p. não é um ponto umbílico. M 2 ⊂ S3 .. No trabalho de B. Solomon ([16], Teorema 1) prova-se que, uma aplicação harmônica de uma variedade compacta em um hemisfério aberto é necessáriamente constante..

(43) 25 Portanto nos servindo de tal resultado e do Lema 2.7 chegaremos ao seguinte corolário.. Corolário 2.8. A imagem da aplicação de Gauss g(η) : M 2 → S2 de uma superfície compacta de curvatura média constante em S3 intersecta todos os grandes círculos Σ ⊂ S2 ..

(44) Capítulo 3 Aplicação de Gauss em hipersuperfícies de curvatura média constante em um grupo de Lie com métrica bi-invariante Faremos neste capítulo um estudo mais amplo do que o apresentado no capítulo anterior. Estudaremos agora a aplicação de Gauss em um grupo de Lie. N. em hipersuperfícies orientadas. G (n + 1)-dimensional com métrica bi-invariante.. como o cálculo do Laplaciano de. N. Mostraremos. nos leva a resultados interessantes quando a. hipersuperfície tem curvatura média constante. Este capítulo é baseado no artigo de Espirito-Santo, Fornari, Frensel, Ripoll, [4].. 3.1. Aplicação de Gauss em hipersuperfícies de curvatura média constante em um grupo de Lie com métrica bi-invariante. Seja. G. orientada. um grupo de Lie com métrica bi-invariante. Dada uma hipersuperfície. M ⊂ G,. denimos. N : M → Sn ⊂ Te G, por. N (p) = d(L−1 p )p (η(p)), 26.

(45) 27 onde. η. é um campo unitário normal a. M. N (p) =. em. n+1 X. G.. Observamos que se. ai ei (p),. i=1 onde. {e1 , ...en+1 } é uma base ortonormal de Te G, então o Laplaciano de N. é denido. por:. ∆N =. n+1 X. ∆ai ei ,. i=1 onde. ∆ai. é o Laplaciano de. Temos que. N. ai. determinado pela métrica de. M.. é harmônica se. ∆Sn N = (∆N )T = 0, onde. ( )T. Dado. T Sn .. denota a projeção ortogonal em. p ∈ G,. o tensor de Ricci. Ricp. Ricp = =. de. G. traço(X. n+1 X. é dado por:. 7→ R(U, X)V ). hR(U, Ej )V, Ej i ,. j=1 onde. {Ei }i=1,...,n+1. direção. x = En+1. é. é uma base ortonormal de. Tp G.. A curvatura de Ricci de. G. na. Ricp (x) = Ricp (x, x).. Teorema 3.1. Seja G um grupo de Lie com métrica bi-invariante e seja M uma hipersuperfície orientada de G. Denota-se por ||B|| a norma da segunda forma fundamental de M em G e por H a curvatura média de M . Então 2 ∆N (p) = −nd(L−1 p )p (∇H(p)) − ||B|| + Ric(η(p)) N (p). (3.1). para todo p ∈ M , onde ∇H denota o gradiente de H em M .. Demonstração: Seja p um ponto xado em M , e seja Ei (p), i = 1, ..., n, uma base ortonormal de autovetores da segunda forma de normal. η.. Denotando por. vizinhança de Considere tais que. p. em. Ei. M. em. G. com relação ao vetor. um referencial geodésico extendendo. Ei (p). em uma. M.. Zi , i = 1, 2, ..., n + 1,. Zi (p) = Ei (p),. se. campos de vetores invariantes à esquerda de. i = 1, ..., n. e. η=. Zn+1 (p) = η(p). n+1 X j=1. aj Z j ,. G,. Escrevendo. (3.2).

(46) 28 obtemos. n+1 X. N=. aj Zj (e),. j=1 com. aj (p) = 0,. j = 1, ..., n an+1 (p) = 1.. (3.3). Temos então. ∆N =. n+1 X n X. Ei Ei (ak )Zk (e).. (3.4). k=1 i=1 Derivando. η. com relação a. Ei ,. ∇Ei η =. usando (3.2), obtemos. n+1 X. Ei (aj )Zj +. j=1 Portanto, de (3.3), em. n+1 X. aj ∇Ei Zj .. (3.5). j=1. p, ∇Ei η =. n+1 X. Ei (aj )Zj + ∇Ei Zn+1 .. (3.6). j=1 O produto interno de. Zn+1. e. Zj , j = 1, 2, ..., n,. com os lados esquerdo e direito de. (3.6) implicam, respectivamente,. Ei (an+1 )(p) = 0,. i = 1, ..., n. e. Ei (aj )(p) = −λi δij − h∇Ei Zn+1 , Zj i , onde. λi. onde. Sη X = −(∇X η), X ∈ Tp M .. é o autovalor do operador. i, j = 1, ..., n,. Sη : Tp M → Tp M ,. (3.7). associado ao autovetor. Ei ,. De (3.5) obtemos,. ∇Ei ∇Ei η =. n+1 X. Ei Ei (aj )Zj + 2. j=1. n+1 X j=1. Agora, usando (3.3) e somando (3.8) em. n X i=1. ∇Ei ∇Ei η =. Ei (aj )∇Ei Zj +. n+1 X n X j=1 i=1 n X i=1. aj ∇Ei ∇Ei Zj .. (3.8). j=1. i,. Ei Ei (aj )Zj + 2. ∇Ei ∇Ei Zn+1 .. +. n+1 X. n+1 X n X. Ei (aj )∇Ei Zj. j=1 i=1 (3.9).

(47) 29 O produto interno de. n X. Zk. com os lados direito e esquerdo de (3.9), implica, em. n X. Ei Ei (ak ) =. i=1. h∇Ei ∇Ei η, Zk i − 2. i=1. −. n X n X. p,. Ei (aj ) h∇Ei Zj , Zk i. j=1 i=1. n X. h∇Ei ∇Ei Zn+1 , Zk i .. (3.10). i=1 Para nalizar a demonstração, é necessário expressar o lado direito de (3.10) em termos geométricos envolvendo. ∇H. e. Ric(η). e. ||B||2 .. Temos da denição de curvatura média e do tensor curvatura. R. que, em. p,. para. k = 1, ..., n, n X. Ek (nH) = Ek. ! h∇Ei Ei , ηi. i=1. =. =. n X. h∇Ek ∇Ei Ei , ηi. i=1. n X. (h∇Ei ∇Ek Ei , ηi − hR(Ek , Ei )Ei , ηi − ∇[Ei ,Ek ] Ei , η ) i=1. n X = (h∇Ei ∇Ek Ei , ηi − hR(Zk , Zi )Zi , Zn+1 i).. (3.11). i=1 A última igualdade se justica pelo fato de que, como referencial geodésico em. M,. {Ei }, i = 1, 2, ..., n. é um. vale, em p,. [Ei , Ek ] = ([Ei , Ek ])T = (∇Ei Ek − ∇Ek Ei )T = 0. Então. h[Ei , Ek ], ηi = 0. em. M,. e. h∇Ei [Ei , Ek ], ηi + h[Ei , Ek ], ∇Ei ηi = 0,. h∇Ei ∇Ei Ek − ∇Ei ∇Ek Ei , ηi = 0. Assim, temos em (3.11),. Ek (nH) =. n X. (h∇Ei ∇Ei Ek , ηi − hR(Zk , Zi )Zi , Zn+1 i).. (3.12). i=1 Como. hEk , ηi = 0, n X i=1. então de (3.12), temos. h∇Ei ∇Ei η, Zk i = −. n X. h∇Ei ∇Ei Ek , ηi. i=1. = −Ek (nH) −. n X. hR(Zk , Zi )Zi , Zn+1 i. i=1. = −Ek (nH) + Ric(Zk , Zn+1 ).. (3.13).

(48) 30 Assim, obtemos uma expressão para a primeira parcela do lado direito de (3.10). Vamos agora obter uma expressão para a segunda parcela de (3.10). Note que. hη, ηi = 1. implica que. h∇Ei η, ηi = 0. h∇Ei ∇Ei η, ηi + h∇Ei η, ∇Ei ηi = 0.. e. são autovalores da segunda forma fundamental de. M. em. G,. n X. λi. temos:. h∇Ei ∇Ei η, ηi (p) = −λ2i , e. Como. (3.14). h∇Ei ∇Ei η, ηi (p) = −||B||2 .. (3.15). i=1 De (3.7) e do fato que. −2. n X n X. ∇Ei Zi = ∇Zi Zi = [Zi , Zi ] = 0. Ei (aj ) h∇Ei Zj , Zk i = 2. n X n X. j=1 i=1. em. p,. (λi δij + h∇Ei Zn+1 , Zj i) h∇Ei Zj , Zk i. j=1 i=1. = 2. n X n X. h∇Ei Zn+1 , Zj i h∇Ei Zj , Zk i .. j=1 i=1 Fazendo uso da proposição 1.7, notemos que:. 2. Pn. j=1. i=1. h∇Ei Zn+1 , Zj i h∇Ei Zj , Zk i. =. 1 2. Pn. Pn. h[Zi , Zn+1 ], Zj i h[Zi , Zj ], Zk i. =. 1 2. Pn. Pn. h[Zj , Zn+1 ], Zi i h[Zk , Zj ], Zi i. =. 1 2. Pn. =. 1 2. Pn. h[Zk , Zj ], [Zj , Zn+1 ]i. =. 1 2. Pn+1. h[[Zn+1 , Zj ], Zj ], Zk i. =2. Pn+1. hR(Zn+1 , Zj )Zj , Zk i. j=1. i=1. j=1. j=1. j=1. n+1 X j=1. [Zk , Zj ],. Pn+1 i=1. h[Zj , Zn+1 ], Zi i Zi. (3.16). j=1. Pn+1 j=1. 16k6n −2. i=1. j=1. = −2 Contudo, para. Pn. hR(Zn+1 , Zj )Zk , Zj i .. temos. hR(Zn+1 , Zj )Zk , Zj i = −2Ric(Zk , Zn+1 ),. (3.17).

(49) 31 e, para. k =n+1 −2. n+1 X. hR(Zn+1 , Zj )Zn+1 , Zj i = −2Ric(η).. (3.18). j=1 E segue que. −2. n X n X. . −2Ric(η(p)) −2Ric(Zk , Zn+1 ). Ei (aj ) h∇Ei Zj , Zk i =. j=1 i=1. se k = n + 1 se k ∈ {1, ..., n}. (3.19). Falta então identicar a última parcela de (3.10). Para tal, façamos. Ei =. Pn+1 j=1. ∇Ei Zn+1 =. bj Zj ,. onde. bj (p) = 0. se. j 6= i. e. bi (p) = 1.. Então. n+1. n+1 X. bj ∇Zj Zn+1. j=1. 1X bj [Zj , Zn+1 ]. = 2 j=1. (3.20). Por outro lado,. n+1 X. ∇Ei Ei (p) =. Ei (bj )Zj +. j=1 n+1 X. =. n+1 X. bj ∇Ei Zj. j=1. Ei (bj )Zj + ∇Ei Zi .. (3.21). j=1 Sendo em. {Ei }. um referêncial geodésico em. p, ∇Ei Zi = 0,. segue de (3.21) que. p, ∇Ei Ei (p) = (∇Ei Ei (p))⊥ = 0,. e como. Ei (bj )(p) = 0, j = 1, ..., n.. De (3.20) obtemos:. n+1. ∇Ei ∇Ei Zn+1. 1X = ∇Ei (bj [Zj , Zn+1 ]) 2 j=1 n+1. 1X = (Ei (bj )[Zj , Zn+1 ] + bj ∇Ei [Zj , Zn+1 ]) 2 j=1 =. 1 1 ∇Ei [Zi , Zn+1 ] = [Zi , [Zi , Zn+1 ]] = R(Zn+1 , Zi )Zi . 2 4. Portanto, de (3.22), temos que, para. n X i=1. h∇Ei ∇Ei Zn+1 , Zk i =. n X. k = 1, ..., n, hR(Zn+1 , Zi )Zi , Zk i. i=1. = −. n X i=1. hR(Zn+1 , Zi )Zk , Zi i = −Ric(Zk , Zn+1 ). (3.22).

(50) 32 e. h∇Ei ∇Ei Zn+1 , Zn+1 i = hR(Zn+1 , Zi )Zi , Zn+1 i = − hR(Zn+1 , Zi )Zn+1 , Zi i . Então. n X. h∇Ei ∇Ei Zn+1 , Zk i (p) =. i=1. −Ric(η(p)) −Ric(Zk , Zn+1 ). se k = n + 1 se k ∈ {1, ..., n}. (3.23). Temos, portanto, de (3.15), (3.19) e (3.23). n X. Ei Ei (an+1 ) = −||B||2 − 2Ric(η(p)) + Ric(η(p)). i=1. = −||B||2 − Ric(η(p)) e, para. n X. k = 1, ..., n,. de (3.13), (3.19) e (3.23) obtemos. Ei Ei (ak ) = −Ek (nH) + Ric(Zk , Zn+1 ) − 2Ric(Zk , Zn+1 ) + Ric(Zk , Zn+1 ). i=1. = −Ek (nH). Logo. ∆N (p) = = =. n n+1 X X k=1 i=1 n X n X k=1 i=1 n X n X. Ei Ei (ak )Zk (e) Ei Ei (ak )Zk (e) +. n X. Ei Ei (an+1 )Zn+1 (e). i=1. Ei Ei (ak )Zk (e) − (||B||2 + Ric(η(p)))N (p). k=1 i=1. =. n X. (−Ek (nH))Zk (e) − (||B||2 + Ric(η(p)))N (p). k=1. = −nd(Lp−1 )p (∇H(p)) − (||B||2 + Ric(η(p)))N (p). Obtendo (3.1), nalizando assim o teorema. Tendo obtido tal fórmula para o Laplaciano da aplicação de Gauss da hipersuperfície. M,. esta nos servirá como base para os seguintes corolários, análogos aos já. obtidos no primeiro capítulo para a aplicação de Gauss de uma superfície em. S3 ..

(51) 33 Corolário 3.2. Seja G um grupo de Lie com métrica bi-invariante. Seja M uma hipersuperfície conexa orientada em G, η um campo de vetores normal unitário de M em G, e N : M → Sn ⊂ Te G, N (p) = d(L−1 p )p (η(p)). Então as seguintes alternativas são equivalentes: i) M tem curvatura média constante, ii) a aplicação N : M → Sn é harmônica, iii) N satisfaz a equação: ∆N (p) = −(||B|| + Ric(η(p)))N (p).. Corolário 3.3. Seja G um grupo de Lie com métrica bi-invariante. Seja M uma hipersuperfície conexa orientada em G, sem fronteira e com curvatura média constante. Então as seguintes alternativas são equivalentes: i) N (M ) está contido em um hemisfério fechado de Sn , ii) N (M ) está contido em um equador de Sn , iii) M é invariante por um subgrupo a 1-parâmetro de isometrias de M gerado por um campo de vetores invariantes à esquerda de G. Demonstração: i = 1, .., n + 1,. Seja. p. um ponto xado de. M,. e seja. Ei (p), i = 1, .., n,. e. Zi ,. como no teorema 3.1.. (i) −→ (ii). Assumindo que. N (M ). está contido em um hemisfério fechado de. Sn ,. existe. v ∈ Sn. tal que. hN (p), vi 6 0 para todo. p ∈ M.. Observe que. Ric(η) > 0,. De fato, pela equação (3.18), e pela equação (3.16), onde para observando a quarta igualdade, tem-se em p,. −2Ric(η) = −2. n+1 X j=1. hR(Zn+1 , Zj )Zn+1 , Zj i. k = n+1. e.

(52) 34 n. 1X h[Zn+1 , Zj ], [Zj , Zn+1 ]i = 2 j=1 n. 1X = − |[Zj , Zn+1 ]|2 . 2 j=1 Assim,. n. 1X Ric(η) = |[Zj , Zn+1 ]|2 > 0. 4 j=1 Usando (3.1), e o fato que. Ric(η) > 0,. obtemos:. ∆ hN, vi = h∆N, vi = −(||B||2 + Ric(η)) hN, vi > 0, onde vemos que. hN, vi é uma função subharmonica em uma variedade compacta M. (ver [2], página 96). Segue portanto que temos portanto. hN, vi. é constante e então. (||B||2 + Ric(η)) = 0 ou hN, vi = 0.. Se. ∆ hN, vi = 0;. hN, vi = 0, então N (M ) está. contido em um equador. {x ∈ Sn | hx, vi = 0}; Agora suponha que. ||B||2 + Ric(η) = 0.. (3.24). Temos,. ||B||2 = 0. e. M. é totalmente. geodésica. Note que as curvas integrais dos campos. Zi , i = 1, ..., n,. isto segue do primeiro item do teorema 1.7. Assim, como os campos Como. Zi , i = 1, ..., n,. M. restrito a. M. M.. não apenas em. Logo, pela conexidade de. coincide com. Finalmente, como. Zn+1. M. G,. é totalmente geodésica. p,. hZn+1 , Zi i = 0 em G, a armação anterior implica que Zn+1. campo ortogonal a. Zn+1. são tangentes a. M. são geodésicas de. mas globalmente. restrito a. e pelo fato de. M. é um. η(p) = Zn+1 (p),. η.. é invariante à esquerda. −1 N (p) = (dL−1 p )p (η(p)) = (dLp )p (Zn+1 (p)), ∀p ∈ M. Assim,. N (M ). é um único ponto. Com isto termina primeira implicação.. (ii) ←→ (iii) Dado. v ∈ g, v 6= 0, seja V. Então, dado. p ∈ M,. o campo invariante à esquerda gerado por. temos:. −1 hη(p), V (p)i = d(Lp )−1 η(p), d(L ) V (p) = hN (p), vi , p p p. v , V (e) = v ..

(53) 35 assim. N (M ). vetores em. está contido no hemisfério (3.24) se, e somente se,. M , isto é, se, e somente se, M. determinado por exponencial.. (ii) −→ (i) É obvia.. V. é um campo de. é invariante por um subgrupo de isometrias. V , a saber, Φt = Lexp(tv) : t ∈ R, onde exp : Te G → G é a aplicação.

(54) Capítulo 4 Superfícies mínimas Lagrangeanas Neste capítulo, mostramos como denir imersões de superfícies Lagrangeanas em. 2. S ×S2 , o produto de esferas com a métrica produto canônica, partindo das aplicações de Gauss à esquerda e à direita de uma superfície orientada que se. M. M ⊂ S3 .. Mostramos. é uma superfície mínima a imersão mencionada acima é também mínima.. Este capítulo é baseado no trabalho de artigo de Castro e Urbano [3], e em notas obtidas por contato pessoal com W. P. Ferreira e P. Roitman.. 4.1. Observações Preliminares. Seja. S2. a esfera unitária em. complexa dada por usual do. R3 .. R3. munida com a métrica canônica. 2. Jp v = p × v , p ∈ S. A 2-forma de Área em. S2. 2. v ∈ Tp S. ,. , onde. será denotada por. × ω0 .. h, i. e estrutura. é o produto vetorial Para. p ∈ S2 ,. temos. ω0 (v, w) = hJp v, wi = det{p, v, w}, ∀ v, w ∈ Tp S2 . Dotando. S2 × S2. com a métrica produto (também denotado por. considerar estrutura complexa. J. em. 2. 2. S ×S. h, i),. vamos. dada por:. J(p1 ,p2 ) (v) = (Jp1 v1 , Jp2 v2 ) = (p1 × v1 , p2 × v2 ), v = (v1 , v2 ) ∈ T(p1 ,p2 ) (S2 × S2 ), (p1 , p2 ) ∈ (S2 × S2 ). Seja. Φ = (φ, ψ) : M → S2 × S2. φ∗ h, i+ψ ∗ h, i a métrica induzida. onde. uma imersão de uma superfície. A 2-forma. 36. e. g =. ω em S2 ×S2 , dada por ω = π1∗ ω0 +π2∗ ω0 ,. πi , i = 1, 2, são as projeções canônicas de S2 × S2 , torna S2 × S2. simplética.. M. uma variedade.

(55) 37 A imersão é dita. Lagrangeana. se. Φ∗ ω = 0,. isto é,. φ∗ ω0 + ψ ∗ ω0 = 0.. Isto signica. que. ω0 (dφp (u), dφp (v)) + ω0 (dψp (u), dψp (v)) = hJdφp (u), dφp (v)i + hJdφp (u), dφp (v)i = hJdΦp (u), dΦp (v)i = 0, para quaisquer Se. p∈M. e. v, w ∈ Tp M .. Φ = (φ, ψ) : M → S2 × S2. 2-forma de área. ωM ,. é uma imersão de uma superfíce orientada com. podemos denir o jacobiano de. φ∗ ω0 = Jac(φ)ωM , Portanto,. 4.2. Φ. (4.1). φ. e. ψ. por. ψ ∗ ω0 = Jac(ψ)ωM .. é Langrangeana se, e somente se,. Jac(ψ) = −Jac(φ).. Superfícies mínimas Lagrangeanas. Vamos agora mostrar como uma superfície orientada imersa em suas aplicações de Gauss, uma imersão Lagrangeana em. S2 × S2 .. S3 ,. induz, via. O nosso ponto. de vista difere de Castro e Urbano, onde utiliza-se a noção de aplicação de Gauss introduzida por Homan e Osserman para induzir imersões Lagrangeanas. Seja. M. uma superfície orientada com campo normal unitário. vimos no segundo capítulo, podemos denir as aplicações. η. em. S3 .. Como. 3. N− , N+ : M ⊂ S → Te S3 .. N− (p) = (dLp−1 )p η(p) = p η(p), N+ (p) = (dRp−1 )p η(p) = η(p) p, onde. Lp , Rp são translações à esquerda e à direita, respectivamente, por um elemento. p ∈ M , e (dLp ) e (dRp ) suas respectivas derivadas.. A notação envolvendo quatérnios. introduzida no capítulo 1 será utilizada. Denimos a aplicação. Φ : M ⊂ S3 → S2 × S2 . Φ(p) = (N− (p), −N+ (p)).. Mostraremos a seguir que a aplicação. (4.2). Φ, caso seja uma imersão, será uma imersão. Lagrangeana. Por conveniência, ao longo deste capítulo, vamos utilizar uma parametrização local por linhas de curvatura para simplicar os cálculos. Para estender os resultados.

(56) 38 de tais cálculos aos pontos umbílicos, utilizamos os argumentos usuais envolvendo continuidade e a classicação das superfícies totalmente umbílicas de Seja então tura, onde. U. p : U ⊂ R2 → S3 é um aberto de. uma parametrização local de. R3 ,. tal que. p, px , py , η ,. R4. orientada positivamente. Utilizamos coordenadas. de. U.. M. S3 .. por linhas de curva-. forma uma base ortogonal de. (x, y). para denotar os pontos. Proposição 4.1. Se a aplicação Φ : M ⊂ S3 → S2 × S2 denida em (4.2) é uma imersão, então Φ é uma imersão lagrangeana. Demonstração: Seja p um ponto não umbílico de M , e p(x, y) uma parametrização por linhas de curvatura em uma vizinhança de. p.. Note que. J−N+ (−N+ )x = J(−N+ )x = N+ × (N+ )x , (4.3). JN− (N− )x. = J(N− )x = N− × (N− )x .. Analogamente para as derivadas em. y.. Então. hJΦx , Φy i = h(J(N− )x , J(−N+ )x ), ((N− )y , (−N+ )y )i = hJ(N− )x , (N− )y i + hJ(−N+ )x , −(N+ )y i. (4.4). = hN− × (N− )x , (N− )y i − hN+ × (N+ )x , (N+ )y i = 0. Por (4.1) vemos que. Φ. é uma imersão Lagrangeana.. Vamos analisar agora o caso em que. p é um ponto umbílico.. uma seqüência de pontos não umbílicos convergindo para. p.. Suponha que existe. Assim, para cada ponto. da sequência obtemos o resultado acima. Logo, por continuidade, podemos estender o resultado e. Φ. é uma imersão lagrangeana.. Caso a seqüência acima não exista, existe uma vizinhança de pontos umbílicos.. p. Esta vizinhança é parte de uma esfera umbílica.. sem perda de generalidade, podemos parametrizar a esfera de raio. composta de Neste caso,. sen z0. em. seguinte forma:. p(x, y) = (sen z0 cos x sen y, cos z0 , sen z0 sen x sen y, sen z0 sen y),. S3. da.

(57) 39 onde. 0 < y < π , 0 < x < 2π. unitário. η. em. 3. S. e. z0. é uma constante. Temos que o campo normal. é dado por:. η(x, y) = (cos z0 cos x sen y, −sen z0 , cos z0 sen x sen y, cos z0 cos y). A aplicação. Φ(p) = (N− , −N+ ). N− = (0, −cos x sen y, −cos y, −sen x, cos y), N+ = (0, −cos x sen y, −cos y, −sen x, cos y).. E por (4.1), vemos claramente que. M. (4.5). é uma imersão lagrangeana.. Lema 4.2. Os coecientes induzidos pela aplicação da primeira forma fundamental da esfera S2 pelas aplicações N− e N+ , para uma parametrização p de M por linhas de curvatura são dados, respectivamente por: E− = √ E(1 + k12 ), F− = EG(k2 − k1 ), G− = G(1 + k22 ),. (4.6). 2 E+ = E(1 √ + k1 ), F+ = − EG(k2 − k1 ), G+ = G(1 + k22 ).. (4.7). Demonstração: Note que (N− )x = px η + pηx = px η − k1 ppx , (N− )y = py η + pηy = py η − k2 ppy ,. (4.8). (N+ )x = ηx p + ηpx = −k1 px p + ηpx , (N+ )y = ηy p + ηpy = −k2 py p + ηpy .. (4.9). e. k1. e. k2. são as curvaturas principais de. pectivamente em. M. correspondentes às direções. px. p(x, y).. E− = h(N− )x , (N− )x i = hpx η + pηx , px η + pηx i = hpx η, px ηi + 2 hpx η, pηx i + hpηx , pηx i = E + k12 E = E(1 + k12 ). pois. hpx η, pηx i = k1 hηpx , ppx i = k1 |px |2 hη, pi = k1 |px |2 hη, pi = 0.. e. py. res-.

(58) 40 G− = G(1 + k22 ).. Analogamente, teremos que Tendo que. py η ∈ Te S3 , podemos escrever py η como combinação linear dos vetores. Te S3 , py η = appx + bppy + cpη .. hp η, ppy i hp η, p pi c = py η, pη = 0, e b = y G = − y G y = 0,. que forma a base ortogonal de Temos que. portanto,. py η =. appx . √. Pela escolha da orientação da superfície temos que, fazendo que. η=. apy ppx G. = − apyGpx p =. G a = − √E , chegamos. √ 1 px p p. Então: y EG. . F− = h(N− )x , (N− )y i = px η + pηx , py η + pηy = px η − k1 ppx , py η − k2 ppy. = px η, py η − k2 hpx η, ppy i − k1 ppx , py η + k1 k2 hppx , ppy i E G = −k2 hppy , √ py pi − k1 h− √ px p, ppx i EG EG √ EG EG − k1 √ = EG(k2 − k1 ). = k2 √ EG EG E com cálculos análogos chegaremos aos coecientes para a aplicação Reescrevendo (4.3), as expressões análogas envolvendo. Onde. J0. y,. N+ .. temos. J 0 (−N+ )x = N+ × (N+ )x = −k1 px η + px p, J(N− )x = N− × (N− )x = −ppx + k1 ηpx .. (4.10). J 0 (−N+ )y = N+ × (N+ )y = −k2 py η + py p, J(N− )y = N− × (N− )y = −ppy + k2 ηpy .. (4.11). denota a ação de. J. em. N+ . Φ(x, y) em S2 × S2 , J 0 (−N+ )x − )x = J(N , , |JΦx | |JΦx | 0 − )y + )y = J(N , J (−N . |JΦy | |JΦy |. Escrevendo os vetores normais a. η1 = η2 = Iremos considerar denotar por. b, ∇. e. d. S2 × S2. como uma subvariedade de. (4.12). R6. de maneira natural e. as respectivas conexões Riemannianas. Vamos denotar por. conexão Riemanniana em Sendo. JΦx |JΦx | JΦy |JΦy |. X = (X1 , Y1 ). e. M. Y = (X2 , Y2 ). campos em. S2 × S2 ,. b X Y = dYq (X) − Bq (X, Y ), ∇. temos:. ∇. a.

(59) 41 onde. 2. Bq (X, Y ) = −(hX1 , Y1 i q1 , hX2 , Y2 i q2 ), 2. S ×S. como subvariedade de. 6. R. é a segunda forma fundamental de. .. b Φx ηi = dηi (Φx ) − BΦ (ηi , Φx ) ∇. (4.13). b Φy ηi = dηi (Φy ) − BΦ (ηi , Φy ). ∇. (4.14). i = 1, 2. Então os coecientes da segunda forma fundamental da imersão são dados por:. D. E b Li = II (Φx , Φx ) = − ∇Φx ηi , Φx = − hdηi (Φx ), Φx i , D E b Φx ηi , Φy Ni = II i (Φx , Φy ) = − ∇ = − hdηi (Φx ), Φy i , D E b Φy ηi , Φy Mi = II i (Φy , Φy ) = − ∇ = − hdηi (Φy ), Φy i . i. (4.15). i = 1, 2.. Lema 4.3. Seja p(x, y) uma parametrização local por linhas de curvatura de uma superfície M ⊂ S3 . Se a aplicação Φ é uma imersão denida por (4.2), os coecientes da segunda forma fundamental de Φ, segundo η1 e η2 , denidas por (4.12), são dados respectivamente por: L1. =. M1 = N1 =. L2. =. M2 = N2 =. 2(k1 )x E. √. ,. √. ,. 2E− 2(k1 )y E 2E− 2(k2 )x G. √. 2E−. 2(k1 )y E. ,. √. ,. √. ,. 2G− 2(k2 )x G 2G− 2(k2 )y G. √. 2G−. .. Demonstração: De (4.10), (4.6) e observando que {p, px , py , η} forma uma base ortogonal de. R4 ,. temos,. |JΦx |2 = hJΦx , JΦx i = h(J(N− )x , (J(−N+ )x ), ((J(N− )x , (J(−N+ )x )i = h(J(N− )x , (J(N− )x i + h(J(−N+ )x , (J(−N+ )x i = h−ppy + k1 ηpy , −ppy + k1 ηpy i + hpx p + k1 px η, px p + k1 px ηi = 2E(1 + k12 ) = 2E− .. (4.16).