PROFESSOR: HELENO PONTES BEZERRA NETO helenoponteslccv.ufal.br

ESTATÍSTICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS CENTRO DE TECNOLOGIA

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

PROFESSOR: HELENO PONTES BEZERRA NETO

PROBABILIDADE E

ESTATÍSTICA

PROFESSORA: Michele Agra de Lemos Martins Eng. Civil, M.Sc.

micheleagra@lccv.ufal.br

Maceió-AL 2014.2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS

SUMÁRIO DA AULA

Amplitude e desvio médio

Variância e Desvio Padrão

Coeficiente de Variação

 Quase nunca uma única medida é suficiente para descrever de

modo satisfatório um conjunto de dados

Exemplo:

Sejam as observações de temperaturas T_A e T_B indicadas:

T

T

21 10

22 20

24 26

26 31

32 38

(medidas em ºC)

 Ambas têm a mesma média: 25ºC

 Percebe-se, entretanto, que T_B apresenta

dispersão muito maior que T_A

 São necessárias medidas que indiquem o grau

de dispersão, ou variabilidade, em relação ao valor central

AMPLITUDE

 Chama-se amplitude (𝐴_𝑡 ou 𝑅) de um conjunto de dados, x₁ , x_´2, …,

x_i, … , x_n , à diferença entre o máximo e o mínimo do conjunto de dados;

 Se os dados estão agrupados em classes, faz-se uma estimativa

para a amplitude calculando a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira

 Simples de calcular, mas pouco resistente para avaliar bem a dispersão dos dados:

 A presença de uma única observação muito alta ou muito baixa tem uma grande influência sobre o valor da amplitude;

 A amplitude é insensível a qualquer variação dos valores intermediários;

 Mesmo que não existam valores isolados muito altos ou muito baixos, a amplitude não deve ser utilizada para comparar a variabilidade de várias amostras.

AMPLITUDE

Observe os seguintes conjuntos de dados representados por diagramas de pontos correspondentes a três conjuntos de observações:

 Para qualquer uma das três distribuições a amplitude é 15 - 7 = 8

 A amplitude é igual mas as distribuições são muito diferentes, como mostram os próprios gráficos de pontos

AMPLITUDE

 Para o conjunto abaixo, a amplitude é 71 – 49 = 22

 Considerando os dados agrupados, a amplitude é 72 – 48 = 24

AMPLITUDE

 Ao contrário da amplitude, a amplitude interquartil (𝐴𝐼 ou

𝐼𝑄𝑅) é uma medida mais robusta

 A amplitude interquartil é definida a partir dos quartis, e é

representada pela diferença entre o 3° e o 1° quartil

𝐴𝐼 = 𝑄₃ – 𝑄₁

AMPLITUDE INTERQUARTIL

Exemplo:

Determinar a amplitude interquartil para os dados abaixo:

𝐴𝐼 = 𝑄₃ – 𝑄₁

AMPLITUDE INTERQUARTIL

MEDIDAS DE DISPERSÃO

𝑃_𝑄1 = 𝑁 + 1_{4 =} 40 + 1₄ = 10.25

𝑃_𝑄3 = 3(𝑁 + 1)₄ = 3(40 + 1)₄ = 30.75

𝑄₁ = 53

𝑄₃ = 64

𝐴𝐼 = 𝑄₃ – 𝑄₁

Outlier Linha de whisker 1o _quartil

2o _quartil

3o _quartil

Linha de whisker

Outlier Outlier extremo

DIAGRAMA DE CAIXA

–

BOX-PLOT

Linha de Whisker

Linha que inicia-se nas extremidades da caixa e prolonga-se até o último valor respeitado um comprimento para a linha de no máximo 1,5 vezes a

amplitude interquartil

Outlier

Ponto além da linha, porém a menos de 3 amplitudes interquartis a partir da extremidade da caixa.

Outlier Extremo

Ponto além da linha, porém a mais de 3 amplitudes interquartis a partir da extremidade da caixa.

Limite inferior: Q₁ – 1,5 (Q₃ – Q₁) Limite superior: Q₃ + 1,5 (Q₃ – Q₁)

Linha de Whisker Outlier Linha de Whisker Outlier Outlier extremo Q₃ Q₁ Q₂

DIAGRAMA DE CAIXA

–

BOX-PLOT

Exemplo:

Desenhar o diagrama de caixa para os dados abaixo:

Q₁ = 53 Q₂ = 57,5 Q₃ = 64 AI = 11

Barreira inferior: 𝑄₁ – 1,5 (𝑄₃ – 𝑄₁) = 53 – 1,5 (11) = 36,5 Barreira superior: 𝑄₃ + 1,5 (𝑄₃ – 𝑄₁) = 64 + 1,5 (11) = 80,5

20 30 40 50 60 70 80 90 100

Q1

Q2

Q3

DIAGRAMADE CAIXA

–

BOX-PLOT

Se n observações de uma amostra forem representadas por x₁, x₂,..., x_n, o desvio médio amostral será:

n

x

x

d







 O desvio médio é expresso nas mesmas unidades e com a mesma precisão da grandeza que se está medindo

 Forma de se indicar corretamente uma medida:

d

x

medida

da

Valor





Se as observações de uma amostra estiverem agrupadas em classes, o desvio médio será:

1

k

i i

i

n x

x

d

n







𝑘 é o número de classes

𝑛𝑖 é a freqüência da i-ésima classe

𝑥𝑖 é o ponto médio da i-ésima classe

𝑥 é a média dos dados agrupados

𝑛 é a quantidade total de observações

MEDIDAS DE DISPERSÃO:

Se n observações de uma amostra forem representadas por x₁, x₂,..., x_n, a variância da amostra será:





1

n

x

x

S

n

1 i

2 i

2









A variância não é geralmente utilizada como medida de dispersão, mas é o suporte para o cálculo do desvio-padrão (mais utilizado).

 A interpretação do significado da variância, em situações concretas, levanta problemas.

 Por exemplo, se estivermos estudando o deslocamento de uma viga em centímetros, a média dos deslocamentos é expressa em centímetros, mas a variância será expressa em centímetros quadrados

 

1

1

S

x n

n x

n







_



_

 





Onde:

𝑘 é o número de classes

𝑛𝑖 é a frequência da i-ésima classe

𝑥_𝑖 é o ponto médio da i-ésima classe

𝑥 é a média dos dados agrupados

𝑛 é a quantidade total de observações

MEDIDAS DE DISPERSÃO:



S

S

Note que:

Se n observações de uma amostra forem representadas por x₁, x₂,..., x_n, o desvio padrão amostral será:







O desvio-padrão corresponde à raiz quadrada positiva da variância

1. O desvio-padrão é sempre não negativo

2. Quanto maior for o desvio-padrão maior será a dispersão dos dados em relação à média

3. Se o desvio-padrão é igual a zero é porque não existe variabilidade, isto é, os dados são todos iguais

 É uma medida relativa de variabilidade, que compara o desvio padrão com a média

 Como o desvio-padrão e a média apresentam a mesma unidade dos dados, o coeficiente de variação é adimensional

A grande utilidade do coeficiente de variação é permitir a comparação das variabilidades de diferentes conjuntos de dados

MEDIDAS DE DISPERSÃO:

MEDIDAS DE DISPERSÃO:

Determinar o coeficiente de variação para as observações de temperaturas T_A e T_B indicadas abaixo:

T

T

21 10

22 20

24 26

26 31

32 38

Exemplo:

Passo 1: determinação das médias

T

T

21

10

22

20

24

26

26

31

32

38

(medidas em ºC)

Para T_A: x = (21+23+...+32)/5 = 125/5 = 25

Para T_B: x = (10+20+...+38)/5 = 125/5 = 25

Passo 2: determinação do desvio-padrão







Para T_A: s = { [ (21-25)2 _{+ (22-25)}2 _{+ (24-25)}2 _{+ (26-25)}2 _{+ (32-25)}2 _{] / (5-1) }} 1/2

Para T_B: s = { [ (10-25)2 _{+ (20-25)}2 _{+ (26-25)}2 _{+ (31-25)}2 _{+ (38-25)}2 _{] / (5-1) }} 1/2 s = { 76 / 4 }1/2 s = 4,36 oC

s = { 456 / 4 }1/2 s = 10,68 oC

Passo 3: determinação do coeficiente de variação

T

T

21

10

22

20

24

26

26

31

32

38

(medidas em ºC)

Para T_A: cv = 4,36 / 25 = 0,174 = 17,4 %

Para T_B: cv = 10,68 / 25 = 0,427 = 42,7 %

Logo: Para T_A , cv = 17,4 % e para T_B , cv = 42,7 %

Altura 1,143m 0,063m 5,5% Peso 50 kg 6kg 12%

Média Desvio Padrão

Coef. de Variação

Conclusão: Os alunos são, aproximadamente, duas vezes mais dispersos quanto ao peso do que quanto à altura.

Altura e peso de alunos

MEDIDAS DE DISPERSÃO

Conclusão: Em relação às médias, as alturas dos adolescentes e dos recém-nascidos apresentam variabilidade quase iguais.

Desvio padrão

Coef. de variação Média

Recém-nascidos 50 6 12%

Adolescentes 160 16 10%

Altura (em cm) de uma amostra de recém-nascidos

e de uma amostra de adolescentes

MEDIDAS DE DISPERSÃO