FUNDAÇÃO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE
Matrizes
Determinantes
e
Sistemas Lineares
Sumário
1 . Matrizes ... 1
2 . Determinantes ... 7
3 . Sistemas Lineares... 13
1
1. Matrizes
A ideia geral de matriz do tipo m x n é a de um quadro retangular com mn elementos
(que na maioria das vezes são números), dispostos em m linhas e n colunas. As matrizes são
frequentemente utilizadas para organizar dados.
No Ensino Médio, as matrizes ocorrem, especialmente, como quadros dos coeficientes de sistemas de equações lineares. Elas também podem surgir em situações como as seguintes: os vetores u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2) podem formar as linhas de uma matriz 2 x 3 ou as colunas de uma matriz 3 x 2.
Desta maneira, na definição adotada, uma matriz m x n é uma lista de números aij, com índices duplos, onde 1≤ i ≤ m e 1≤ j ≤ n. A matriz A é representada por um quadro numérico com m linhas e n colunas, no qual o elemento aij situa-se no cruzamento da i-ésima linha com a j-ésima coluna:
É válido ressaltar que:
A lista (ai1, ai2, ..., ain) chama-se i-ésima linha ou o i-ésimo vetor-linha da matriz A enquanto (a1j, a2j, ..., amj) é a j-ésima coluna ou o j-ésimo vetor-coluna da mesma;
Em uma matriz, o elemento aij chama-se o ij-ésimo elemento da mesma e escreve-se A = [aij].
2
1.1.
Exemplos de matriz:
a) A = [1 2 33 0 5] é uma matriz 2 x 3;
b) B = (2 3
0 1) é uma matriz 2 x 2;
c) C = ‖2 37 2
6 1‖
é uma matriz 3 x 2.
1.2.
Matrizes especiais:
a) Uma matriz é quadrada quando tem o mesmo número de linhas e colunas (m = n).
Exemplo:
Observações:
Seja A uma matriz quadrada de ordem n:
i) Diagonal principal de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa
matriz, tais que i = j.
ii) Diagonal secundária de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa
matriz, tais que i + j = n + 1. Exemplo:
𝐴3 = [
−1 1 5
4 0 6
5 2 −8]
Descrição da matriz:
- O subscrito 3 indica a ordem da matriz;
- A diagonal principal é a diagonal formada pelos elementos –1, 0 e -8; - A diagonal secundária é a diagonal formada pelos elementos 5, 0 e 5; - a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pois i = j = 1;
- a 31 = 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 = 3 + 1.
b) Uma matriz é uma matriz linha quando m = 1.
Exemplo:
c) Uma matriz é uma matriz coluna quando n = 1.
Exemplo:
1 1
7 4 B
1 3
0 1 4
x B
4 7 3 4
1x43
d) Uma matriz é nula quando todos os seus elementos são iguais a zero.
Exemplo:
e) Diz-se que uma matriz quadrada é uma matriz identidade quando todos os elementos
que não estão na diagonal principal são nulos e os da diagonal principal são iguais a 1.
Notação: In , onde n indica a ordem da matriz identidade.
Exemplo:
I3 = [
1 0 0 0 1 0 0 0 1]
f) Chamamos de matriz transposta de uma matriz A é a matriz que é obtida a partir de A,
trocando-se ordenadamente suas linhas por colunas ou suas colunas por linhas.
Notação: At .
Exemplo:
Desta maneira, se a matriz A é do tipo m x n, At
é do tipo n x m. Note que a primeira linha de A corresponde à primeira coluna de At
de At .
e a segunda linha de A corresponde à segunda coluna
g) Uma matriz quadrada de ordem n é uma matriz simétrica quando A= At .
Exemplo:
Observação: Se A = - At , dizemos que a matriz A é anti-simétrica.
h) Chamamos de matriz oposta de uma matriz A a matriz que é obtida a partir de A,
trocando-se o sinal de todas os seus elementos. Notação: - A
Exemplo: 0 0 0 0 0 0 3 2x O
j i se 0, j i , 1 a, ij se
a In ij
1 2 1 0 3 2
A → At =
1 0 2 3 1 2 3 3 5 4 1 4 2 3 1 3 2 x A 1 -4 0 3
A → - A =
4
i) Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, todos os elementos que
ocupam a mesma posição são idênticos. Notação: A = B.
Simbolicamente: A B aij bij para todo 1 i m e todo 1 i n .
1.3. Operações com matrizes
Ao utilizarmos matrizes, surge naturalmente a necessidade de efetuarmos algumas operações.
1.3.1. Soma de matrizes
Se A = [aij] e B = [bij] são matrizes m x n então A + B = [aij + bij], para todo 1 i m e todo 1 i n .
Sejam A, B e C matrizes do mesmo tipo (m x n), temos as seguintes propriedades:
1) Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) 2) Comutativa: A + B = B + A
3) Elemento Neutro: A + O = O + A = A, onde O é a matriz nula m x n. 4) Elemento Oposto: A + (-A) = (-A) + A = O
Exemplo:
1.3.2. Subtração de matrizes
Se A = [aij] e B = [bij] são matrizes m x n então A - B = A + (-B) = [aij + (- bij)], para todo 1 i m e todo 1 i n.
Exemplo
1 -1 2
1 1 3 1 1 0
0 3 2
1 -1 2
1 1 3 1 1 0
5
1.3.3. Multiplicação de um número real por uma matriz
Dados um número real k e uma matriz A do tipo m x n, o produto de k por A é uma
matriz do tipo m x n, obtida pela multiplicação de cada elemento de A por k.
Propriedades:
Sendo A e B matrizes do mesmo tipo (m x n) e k e l números reais quaisquer, valem as
seguintes propriedades:
1)Associativa: k.(l.A) = (k.l).A
2)Distributiva de um número real em relação a adição de matrizes: k.(A+B) = k.A + k.B.
3)Distributiva de uma matriz em relação a soma de dois números reais: (k + l).A = k.A + l.A
4)Elemento Neutro: k.A = A, para k = 1, ou seja: 1.A = A
Exemplo:
2. [1 41 2] =
1.3.4. Multiplicação de matrizes:
O produto das matrizes A=
a ij m x p e B=
b p x n é a matriz C=
c ij m x n , onde cada elemento c ij é obtido através da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de B.É válido ressaltar que a matriz produto A.B existe apenas se o número de colunas da primeira matriz (A) é igual ao número de linhas da segunda matriz (B).
Assim: Am x p e Bp x n
A.Bm x n
Note que a matriz produto terá o número de linhas (m) do primeiro fator e o número de colunas (n) do segundo fator.
Exemplos:
A3 x 2 e B2 x 5
A.B3 x 5
A 4 x 2 e B2 x1
A.B4 x1
Propriedades:
Verificadas as condições de existência, para a multiplicação de matrizes são válidas as seguintes propriedades:
1) Associativa: (A.B).C = A.(B.C).
2) Distributiva em relação à adição:
i) A.(B+C) = A.B + A.C ii) (A+B).C = A.C + B.C
6
3) Elemento Neutro: A. In = In .A = ANão são válidas as seguintes propriedades:
1) Comutativa, pois, em geral, A.B B.A
2) Sendo Om x n uma matriz nula, A.B = Om x n não implica, necessariamente, que A =
Om x n ou B = Om x n .
Exemplos
1) Seja A = [1 13 1
2 2] e B = [7 89 10], responda:
a) Existe o produto A.B? b) Existe o produto B.A? 2) Sejam as matrizes:
Determine: a) A.B b) B.A
1.3.5. Matriz Inversa:
Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A' , de mesma ordem, tal que A. A' = A’.A = I
n , isto implica que A’ é a matriz inversa de A. Notação usual: A1
Observação: A divisão de matrizes não está definida. O conceito de matriz inversa satisfaz a necessidade da utilização de um produto pelo inverso multiplicativo.
Exemplo:
Sendo A = [ 2−4 2]4 , determine a matriz inversa de A, se existir.
Observações sobre o uso de matrizes:
É comum observarmos a presença das matrizes nas seguintes situações1: Planilhas eletrônicas;
Tabelas de dados;
Imagens digitais (GIF, JPEG), etc.
1 Enriqueça seus estudos acessando o link: http://gazeta.spm.pt/getArtigo?gid=407 '
3 x 2 2
x 3
4 0 2
3 2 1 B e 4 1
1 0
3 2
7
2.
Determinantes
A notação para o determinante da matriz A
2 3
0 5 será det A ou 2 3 0 5 .
2.1. Determinante de primeira ordem:
É o próprio elemento da matriz.
A a11 detAa11 ou a11 a11
Exemplo:
3 A
Det A =
2.2. Determinante de segunda ordem:
É dado pela diferença entre os produtos dos elementos das diagonais principal e secundária (nesta ordem).
A a a
a a A a a a a
11 12
21 22
11 22 12 21 det
Exemplo:
A
2 1
5 3
Det A =
2.3.
Determinante de terceira ordem:
2.3.1. Regra de Sarrus: Definição:
O determinante é um número real associado a toda matriz quadrada A=[aij] , segundo uma determinada lei.
1º passo: Repetimos, ordenadamente, duas colunas (ou linhas), à direta (ou abaixo).
2º passo: Calculamos os produtos dos elementos da diagonal principal e das outras duas paralelas que têm três elementos e somamos os três resultados.
3º passo: Repetimos o processo para a diagonal secundária e suas paralelas.
8
Seja a matriz Aa a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
, calcula-se o determinante da mesma através da
“Regra de Sarrus” da seguinte maneira2:
det A = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 - a13.a22.a31 - a11.a23.a32 - a12.a21.a33
Exemplo:
A
5 0 2
1 2 4
3 6 1
Det A =
2.4. Determinante de ordem n
22.4.1. Menor Complementar (Dij):
É o determinante obtido quando são excluídas as linhas “i” e a coluna “j” da matriz original.
Por exemplo:
Seja a matrizA
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
, vamos determinar o menor principal D11, associado ao
elemento a11:
A
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
=> 𝐴′ = [𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33]=> D11 = det (A’) = 𝑎22. 𝑎23− 𝑎32. 𝑎33.
2.4.2. Complemento algébrico ou cofator (Cij):
É o resultado da expressão Cij = (-1)i+j.Dij, sendo Dij o menor complementar relativo à linha “i” e coluna “j”. Na matriz A anterior, temos:
C31=(-1)3+1.D31 = (-1)4. [𝑎𝑎12 𝑎13
22 𝑎23], por exemplo.
9
2.4.3. Teorema de Laplace.O determinante de uma matriz quadrada de ordem n2 é a soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.
Nota: É mais prático considerar a fila que contém o maior número de zeros.
Exemplo:
a)A
1 3 4
2 0 5 7 6 8
det A = ?
2.4.4. Regra de Chió
A regra de Chió é mais uma técnica que facilita muito o cálculo do determinante de uma matriz quadrada de ordem n (n2).
Essa regra nos permite passar de uma matriz de ordem n para outra de ordem n-1, de igual determinante.
Para isso, basta seguirmos os seguintes passos:
Passo 1: Para podermos aplicar essa regra, a matriz deve ter pelo menos um de seus elementos igual a 1. Assim fixando um desses elementos, retiramos a linha e a coluna onde ele se encontra.
Passo 2: Em seguida subtraímos do elemento restante o produto dos dois correspondentes que foram eliminados (um da linha e outro da coluna).
Passo 3: Multiplicamos o determinante assim obtido por
1ij, onde i representa a linha e j a coluna retiradas.Exemplo:
1) Calcule o determinante associado à matriz
6 4 2
3 1 5
4 3 2
A com o auxílio da regra
de Chió:
2.5.
Inversão de matrizes com o auxílio da teoria dos determinantes
A inversa de uma matriz quadrada de ordem n pode ser calculada pela aplicação do seguinte teorema:
A matriz inversa A1 de uma matriz A (quadrada de ordem n) existe se, e somente se, 0
A
det e é dada por:
adjA A det
1
A1
10
Exemplos:1) Verifique se a matriz
3 1
0 6
A admite inversa.
2) Calcular o elemento a23 da matriz inversa de
3 0 2
1 1 4
3 2 1
A .
2.6.
Propriedades dos determinantes
1) Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada A forem iguais a zero, seu determinante será nulo, isto é, det A = 0.
Exemplo: 3 1 0
10 0
Obs.: Podemos provar através do Teorema de Laplace.
2) Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou coluna) pelo mesmo número e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha (ou coluna), formando uma matriz B, então det A = det B (Teorema de Jacobi).
Exemplo: 9 20 11
9 4
5 1
detA
A
Multiplicando a 1ª linha por -2 e somando os resultados à 2ª linha obtemos:
11 10 1 1
2 5 1
detA
A
3) Se os elementos correspondentes de duas linhas (ou de duas colunas) de uma matriz quadrada A forem iguais, seu determinante será nulo, isto é, det A = 0.
Exemplo: 3 2
3 2
Obs.:Podemos provar através do Teorema de Jacobi.
4) Se uma matriz quadrada A possui duas linhas (ou colunas) proporcionais, seu determinante será nulo, ou seja, det A = 0.
Exemplo: 12 6
4 2
Obs.:Podemos provar através do Teorema de Jacobi.
11
Definição de combinação linear: Um vetor v é uma combinação linear dos vetores v1, v2, ... ,vk, se existem escalares a1, a2, ... ,ak tal que: v= a1. v1+...+ ak. vk
Exemplo: |−1 4 71 2 5
0 4 8| =
6) Se todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) de uma matriz quadrada são multiplicados por um mesmo número real k, então seu determinante fica multiplicado por k. Exemplo: 4 3 4 2 4 3 2 1 2
7) Se uma matriz quadrada A de ordem n é multiplicada por um número real k, o seu determinante fica multiplicado por kn, isto é: n n
n) k detA
kA
det(
Exemplo: ) 5 det( 20 10 15 5 5 det 4 2 3 1 A A A A
8) O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta, isto é, det A = det At.
Exemplo: d b c a A e d c b a A t b c d a A det e c b d a A
det t
9) Se trocarmos de posição entre si duas linhas (ou colunas) de uma matriz quadrada A, o determinante da nova matriz obtida é o oposto do determinante da matriz anterior.
Exemplo: A
A ,det
5 2 2 0 3 5 1 2 1 A A det 5 2 2 0 5 3 1 1 2
12
Exemplo:15 3 1 5 det 3 1 3
0 1 1
0 0 5
A
A
10) Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz-produto, então
B det A det AB
det (teorema de Binet).
Exemplo:
AB AB
B B
A A
det 6 3
14 6 4
10 3 0
8 6 6 0
det 4 3
2 0 det
1 5
13
3. Sistemas Lineares
3.1. Equação linear
É Toda equação da forma: a1x1a2x2 anxn b, onde a1,a2,,an são números reais que recebem o nome de coeficientes das incógnitas x1,x2,xn e b é um número real chamado termo independente.
Observações:
i) Pelo menos um dos coeficientes não é nulo; ii) Todas as variáveis têm expoente 1.
Exemplos: a) 3x + 5y = 20
b) x - 3y + 2z = 0 (linear homogênea)
3.1.1. Solução da Equação Linear:
Para a equação linear a1x1 a2x2 anxn b, a solução é a n-upla ordenada
(𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛) que torna verdadeira a equação, sendo 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 números reais.
3.2. Sistema Linear
Um conjunto de equações lineares da forma:
m n m n m
m m
n n
n n
b x a x
a x a x a
b x a x
a x a x a
b x a x
a x a x a
3 3 2 2 1 1
2 2
3 23 2 22 1 21
1 1
3 13 2 12 1 11
é um sistema linear de m equações e n incógnitas.
Obs.:
No exemplo anterior:
3x + 5y = 20
O par (5,1) é solução, pois 3.5 + 5.1 = 20.
14
3.2.1. Solução do Sistema Linear: Chamamos de solução do sistema a n-upla de números reais ordenados
r1,r2,,rn
que é, simplesmente, solução de todas as equações do sistema.3.3. Matrizes associadas a um Sistema Linear
3.3.1. Matriz incompleta: É a matriz A, formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema.
Exemplo: Seja o sistema: 4 2 7 4 0 3 2 z y x z y x z y x
Matriz incompleta: A=
1 1 2 1 1 4 1 3 2 .
3.3.2. Matriz Completa: É a matriz B, que obtemos ao acrescentarmos à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema. Assim a
matriz completa referente ao sistema anterior é: B =
4 7 0 1 1 1 1 1 3 2 -4 2 .
3.4.
Sistemas Homogêneos
:
Um sistema é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos.
Exemplo: 4 3 2 0 3 4 0 2 3 y x z y x z y x
3.4.1. Soluções de um Sistema Homogêneo: A n-upla (0, 0, 0, ..., 0) é sempre solução de um sistema linear homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial.
Obs.:Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais.
3.5.
Classificação de um sistema linear quanto ao número de soluções
Possível: determinado (solução única) ou indeterminado (infinitas soluções). Impossível: não possui solução.
Vejamos os seguintes exemplos:
1) 1 2 8 y x y x 2) 16 2 2 8 y x y x 3) 10 10 y x y x
Importante: Um sistema possui solução o determinante da matriz dos coeficiente for diferente
15
Exemplo:Determinar kR, de modo que o sistema
5 1 2
ky x
y kx
tenha solução.
3.6.
Regra de Cramer
Dado um sistema linear na forma matricial:
Consideremos os determinantes: Da matriz dos coeficientes.
Das matrizes obtidas quando se substitui uma de suas colunas, relativa a uma incógnita, pela coluna dos termos independentes (D1, D2,..., Dn).
Os valores das incógnitas, quando D≠0, são iguais a:
𝒙
𝟏=
𝑫𝑫𝟏,𝒙
𝟐=
𝑫𝑫𝟐,... ,𝒙
𝒏=
𝑫𝑫𝒏Exemplo:
Com o auxílio da Regra de Cramer, resolva o seguinte sistema:
3 3 2
7 2
y x
y x
.
Observações importantes:
A regra de Crammer nem sempre consiste no melhor método. Embora tenha sua
utilidade pelo fato de gerar uma forma explícita das soluções de um sistema, a sua utilidade é fragilizada em cálculos numéricos demasiadamente grandes.
Veja:O sistema {𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 12𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 8
𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 16, é nitidamente impossível e, resolvendo pela Regra de
Crammer, pode parecer indeterminado.
3
16
3.7.
Discussão de um Sistema Linear
Para discutir um sistema linear de n equações e n incógnitas, calculamos o determinante D da matriz incompleta. Assim, se:
D0 Sistema é possível edeterminado (SPD), ou seja, possui solução única.
D0Sistema pode ser possível e indeterminado (SPI) (ter infinitas soluções) ou impossível (SI) (não ter solução).
Observações:
1) Se o D0, o sistema será SPD e portanto teremos uma única solução para o problema. 2) Se o D0, sistema poderá ser SPI ou SI. A resolução pelo Escalonamento (visto a seguir) garante a identificação de forma satisfatória.
3.8.
Sistemas equivalentes
Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.
Exemplo: Sendo 8 3 2 3 1 y x y x
S e
5 2 3 2 y x y x
S , o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S1eS2 são equivalentes: S1~S2.
3.8.1. Propriedades dos sistemas equivalentes:
P1:Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente.
P2:Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número k, k * R
, obtemos um sistema equivalente ao anterior.
P3:Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k, k *
R
, obtemos um sistema equivalente ao anterior.
3.9.
Sistemas escalonados
O escalonamento é o processo através do qual se reduz o número de incógnitas de equação para equação, efetuando operações com as mesmas até que o mesmo fique na forma de “escada”. Essas operações com as equações obedecem ao padrão da aplicação do Teorema de Jacobi.
Dado um sistema linear: m n m n m m m n n n n b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x a x a x a x a S 3 3 2 2 1 1 2 2 3 23 2 22 1 21 1 1 3 13 2 12 1 11
, onde existe pelo
menos um coeficiente não-nulo em cada equação, dizemos que S está escalonado se o número
de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não-nulo aumenta de equação para equação.
3.9.1. Como escalonar um sistema:
17
2) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações.
3) Anulamos todos os coeficientes da 2ª incógnita a partir da 3ª equação.
4) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.
Ex 1:Vamos escalonar o sistema
2 z 2y x
0 4 2 3x
5 z 2
z y y x
.
Ex 2: Vamos escalonar o sistema
2 z 2 - y x 3
1 z y x 2
3 z y 2 x
.
Ex 3:Vamos escalonar o sistema
5 2
3
1 2 2
6
z y x
z y x
z y x
18
4. Exercícios
4.1. Matrizes
1. Sejam as matrizes A e B definidas por: A = (aij)3x2 tal que aij= 2i – j e B = (bij)3x2 tal que
bij={i + j, se i ≥ j
i − j, se i < j. Determine:
a) A b) B c) A – B d) A + B e) At
f) 2A – 4 B
2. Seja A = (aij)3 x 3 definida por
, se i>j
-k, se i=j , se i<j
aij
1 1
. O valor de k para que a soma de todos os
elementos de A seja 9 é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
3. Considere a matriz A43 definida por aij =
j < i se 2j,
j i se , 2
3i j
, onde é o elemento da i-ésima
linha e j-ésima coluna. O elemento b23 da matriz B tal que B = At é: a) 9 b) 5 c) 4 d) 0 e) 2
4. Dadas as matrizes
1 0
3 7
1 2
A ,
1 1 0
0 4 1
B e C = A B, pode-se afirmar que o
elemento c23 vale:
a) 1 b) 2 c) 3 d ) 4 e) 5
5. (Prefeitura do RJ – 2016). Considere as matrizes A e B, a seguir.
𝐴 = [−1 31 2 −20
2 1 3 ] 𝐵 = [
5 −2 0
−1 2 4
−3 −2 1]
O elemento que ocupa a terceira linha e a segunda coluna da matriz produto BA vale:
(A) 9 (B) 0 (C) – 9 (D) – 11
6. Na confecção de três modelos de camisas (A, B e C) são usados botões grandes (G) e
19
O número de camisas fabricadas, de cada modelo, nos meses de maio e junho, é dado pela tabela:
Nestas condições, obter a tabela que dá o total de botões usados em maio e junho.
7. Considere as matrizes:
𝐴 = [1 2 −21 3 0
2 1 3 ] 𝑒 𝐵 = [
5 2 0
−1 2 4 −3 2 1]
Calcule:
a) A² + B b) B² - 3A c) 2AB + 3BA
4.2. Determinantes
1. Sejam: A = (aij)1x1 tal que aij = 2i+j e B = (bij)2x2 tal que bij = (-2)i-j. Calcule det(A) – det (B).
2. Seja M = (mij) a matriz quadrada de ordem 3, em que:
j i se , j i
j i se , j i
j i se ,
mij
0
. Ache o valor
do determinante de M.
3. (UFPR) Considere as matrizes
x z y
x y z
z y x
A e
x z y z
z x y x
B e
4 2
6 4
C .
20
5. Dada as matrizes 1 2 1 3 2 0 1 1 9 3 2 x B e x
A , determine x para que det A = det B.
6. Seja A = (aij)3x3 definida por j > i se 1, -j = i se k, j < i se 1,
aij . Determine o valor de k R que anula o
determinante de A.
7. A razão entre x e y para x =
d b c a 2 2
e y =
3 3 3 3 d c b a é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 6 e) 18
8. Resolva a equação 0
4 2 3 1 2 1 5 3 x x
9. (Prefeitura do Rio – 2016). Considere a matriz A de ordem 3 representada abaixo:
𝐴 = [𝑠𝑒𝑛 210° 𝑠𝑒𝑛 630° 𝑡𝑔 225°2 𝑥 −2 𝑐𝑜𝑠 720° 𝑐𝑜𝑠 1080° 𝑡𝑔 180°]
Se o determinante dessa matriz é igual a zero, o valor de x corresponde a: (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
10.Calcule o determinante da matriz P2, em que P é a matriz
2 2 0 1 1 2 1 1 2 P .
11.Calcule o determinante da matriz M = (AB). C, sendo
3 2 1
A , B
2 3 5
e 4 1 3 0 1 2 2 0 1 C .
12.Sendo
3 1 2 1
A e
1 2 1 0
B , dê o valor de:
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13.(UNICAMP) Seja a matriz A, quadrada de ordem 3. Suponha, agora, que aij = 0 para todo elemento em que j > i, e que aij ij1 para os elementos em que j i. Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua inversa, 1
A .
14.Analise as afirmações abaixo, sabendo que:
a b c
d e f 2
g h i
.
I.
d e f
a b c 2
g h i
; II. 3a 3b 3c
3d 3e 3f 6
3g 3h 3i
;
III.
a b c
0 0 0 0
g h i
; IV.
a b c
d 2a e 2b f 2c 2
g h i
Assinale a alternativa correta.
a) Apenas I, III e IV são verdadeiras b) Apenas a afirmação III é verdadeira
c) Apenas I e II são verdadeiras d) Todas as afirmações são verdadeiras
14. Sendo A =
1 0 1
2 1 3
1 1 2
e f(x) = x2x 1, então f [det(A1)] vale:
a) 7 4
b) 4 7
c) 4 7
d)
7 4
e)
4 5
15. Sendo A5x5 e Det(A) = 3, calcule Det(2A).
16. Sendo |1 𝑎 𝑏1 𝑐 𝑑
1 𝑒 𝑓| = 𝑘, determine:
a. |2 6𝑎 2𝑏1 3𝑐 𝑑 1 3𝑒 𝑓|
b. |1 + 5 1 + 5 1 + 5𝑏 𝑑 𝑓
𝑎 𝑐 𝑒 |
17. Mostre que o determinante |3 40 7 −57 2 5 3 |
é nulo através de propriedades.
18. Construa a matriz quadrada A de 5ª ordem, com elementos definidos por:
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19. (Caxias – 2015). Sejam as matrizes A = (1 52 𝑥) e B = (1 0
3 𝑥 + 2). O valor de x para que o
determinante da matriz A.B seja igual a -36 é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
20. (IFRN – 2015). Considere uma matriz A, quadrada, de ordem 3 e det A = 3, e uma matriz
B, sendo B = 4A. Nessa situação, o determinante de B é igual a: A)192 B)156 C) 64 D) 12
4.3. Sistemas Lineares
1. (Ufes – com modificações) O desenho ao lado mostra os preços de três conjuntos compostos por faca, garfo e colher.
a) Escreva o sistema de equações que representa essa situação.
b) Calcule o preço de um garfo.
2. Resolva os sistemas, se possível, e classifique-os.
a) 3 5 0 3 2 4 2 z y x z y x z y x b) 6 3 4 5 4 2 3 6 z y x z y x z y x c) 14 6 3 3 10 4 2 2 5 2 z y x z y x z y x d) 9 7 2 3 5 4 3 2 4 3 z y x z y x z y x
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Sabendo que ela adquiriu a mesma quantidade de canetas e cadernos, além do maior número possível de lapiseiras, o número de corretores comprados foi igual a:
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14
4. (CPII – 2013). Para que o sistema de equações lineares {
𝑥 + 𝑦 = 1 − 𝑚𝑧 2𝑦 + 𝑧 = 2 − 𝑥 2𝑥 − 3𝑧 = 𝑝 − 5𝑦seja
classificado como indeterminado, devemos considerar que: A) m = 6 e p = 5.
B) m = 6 somente, não importando o valor que p pode assumir. C) m 6 somente, não importando o valor que p pode assumir. D) m = 6 e p 5.
5. (UERJ) Numa granja há patos, marrecos e galinhas num total de 50 aves. Os patos são vendidos a R$12,00 a unidade, as galinhas a R$ 5,00 e os marrecos a R$15,00. Considere um comerciante que tenha gastado R$ 440,00 na compra de aves desses três tipos e que tenha comprado mais patos do que marrecos.
O número de patos que esse comerciante comprou foi igual a: a) 25 b) 20 c) 12 d) 10
6. (CPII – 2007). O sistema linear {𝑎𝑎12𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑏12𝑦 + 𝑐𝑦 + 𝑐12𝑧 = 𝑑𝑧 = 𝑑12
𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 + 𝑐3𝑧 = 𝑑3
é possível e determinado. A
