O AXIOMA DA SELEÇÃO RESOLVE O PARADOXO DE
RUSSELL
Djane da Silva Souza Universidade federal do Tocantins
djane.souza@mail.uft.edu.br Erica Cristina da Silva Andrade Universidade federal do Tocantins cristina.erica@mail.uft.edu.br
Matheus Pereira Lobo Universidade federal do Tocantins mplobo@mail.uft.edu.br
Resumo:
Neste artigo, provamos que o axioma da seleção resolve o paradoxo de Russell. Da mesma forma, faremos uma apresentação introdutória de alguns dos principais axiomas (além do axioma da seleção) propostos para resolver o paradoxo. O axioma da Fundação garante que um conjunto (não vazio) não possa pertencer a si próprio, direta ou indiretamente. O axioma da Antifundação diz que existe um conjunto único, de modo que ele pertence a si mesmo e possui infinitos. A abordagem metodológica deste artigo foi realizada por meio de pesquisa bibliográfica focada em matemática pura abstrata. O estudo desse paradoxo é traduzido pela análise fascinante de como ele desenvolve nosso raciocínio lógico e a curiosidade de como ele pode ser resolvido pelo axioma da seleção.
Palavras-chave: Axioma da Fundação. Axioma Antifundação. Axioma da Seleção. Paradoxo de Russell.
O AXIOMA DA SELEÇÃO RESOLVE O PARADOXO DE RUSSELL
Paradoxo de Russell
Considere R o “conjunto de todos os conjuntos que não se apresentam como elementos”; se todos os conjuntos estão formando outro conjunto, ele não pode ser um conjunto; daí o paradoxo surge: não há conjunto de todos os conjuntos. Então, nós temos . Podemos, assim, citar vários conjuntos que não pertencem a eles, um x | x ∉ x}
R = {
exemplo disso é o conjunto x = {1}, pois {1}∈ x.
Portanto, se R é o conjunto de todos os conjuntos que não são elementos de si mesmos, teremos dois caminhos:
1. Se R ∈ R, então R = {x | x ∉ x}, concluímos que R ∉ R; 2. Se R ∉ R, então R = {x | x ∉ x}, concluímos que R ∊ R.
A partir de 1 e 2, temos que R ∊ R ↔ R ∉ R, que é uma contradição. Assim, concluímos que ∄{x | x ∉ x}.
∈
Axioma da Seleção
Suponha que x ∉ A e A é um conjunto não vazio, temos que , isto é, é um subconjunto de , de modo que todos os elementos {x ∊ A; x ∉ x}
S = A S
de A não pertencem a si mesmos. Daí temos 3 casos:
● Se S ∈ S, temos que S = {x ∈ A; x ∉ x}tal que S ∉ S. Contradição. ● Se S ∉ S, temos que S = {x ∈ A; x ∉ x} tal que S ∉ A.
● Se S ∉ S, S ∈ A, temos que S = {x ∈ A; x ∉ x} tal que S ∈ S. Contradição. Concluímos que A = {x ∈ A x ∉ x}: .
Observe que nesse axioma, uma propriedade particular foi utilizada no paradoxo de Russell, esse axioma garante a existência de um único conjunto que contém todos os elementos com uma determinada propriedade.
Axioma da Fundação
Todo conjunto que não é o conjunto vazio tem um elemento totalmente disjunto dele: ∀x ≠ ∅, ∃z ∈ x (z ⋂ x = ∅). Também é possível descrever este axioma sem o
uso de interseção, da seguinte forma:
. Observe que este axioma
x(∃z(z ∈ x) → ∃z(z ∈ x ⋀ ¬∀y(y ∈ z ⋀ y ∈ x))
∀
garante que não existe um conjunto que possa pertencer a ele direta ou indiretamente. Pelo axioma da fundação, temos que S = A, portanto, A = {x ∈ A x ∉ x}: , . Para mostrar que os conjuntos não podem ser membros de si mesmos, suponha ∈ A
A
, , ou seja, . Pelo axioma, temos que: , ou seja, {x}
A = B ∈ A B = x {x} ⋂ x = ∅
x ∉ x .
Suponha agora que A = (x, )y , B ∈ A, ou seja, B = x ⋁ B = y. Assim, temos três casos:
● x ∉ x ⋀ y ∉ x; ● x ∉ y ⋀ y ∉ y;
● x ∉ y ⋁ y ∉ x.
Logo, concluímos que um deles não é um elemento do outro: ∀x, (x ∉ y ⋁ y ∉ x)y , garantindo assim que a definição alternativa de par ordenado seja satisfeita.
O Axioma da Antifundação
O axioma da antifundação nos diz que existe um único x tal que x= {x}, onde x
= {{{{...{{{{x}}}}...}}}} possuindo assim infinitos {}. Isso decorre do resultado matemático em que ℵ0 = ℵ0 + 1, sendo ℵ0 a cardinalidade dos números naturais. A
cardinalidade representa o tamanho de um conjunto.
Assim, adicionar um elemento a um conjunto infinito de números naturais não altera sua cardinalidade. Dentro do axioma da Antifundação, temos que ∃x ∈ x . Considerando o Axioma da antifundação, o conjunto S= {x ∈ A : x ∈/x} assume a
Vamos chamar x = {{{{...{{{x}}}...}}}} de um “transfiniset”, ou seja, um conjunto transfinito. Uma propriedade interessante deste conjunto é que x = {x}e, portanto, x = {x{x}} = {x,x} = {x}; generalizando esta propriedade teremos x = {x,{x},{{x},{{{x}}},...}. Outra propriedade deste conjunto é x = {x} = {{x}} = {{{x}}} = ...
Conjunto Vazio
Suponha: A = = ′ ∅, S {x ∈ A′ x ∉ x}: . As seguintes propriedades são verdadeiras:
(i) ∄x ∉ A′;
(ii)∀x ∈ A′, x ∉ x(verdade por vacuidade);
(iii) S = ′ ∅.
Logo, se A = ′ ∅, S = ′ ∅.
Considerações Finais
O axioma da seleção resolve o paradoxo de Russell engenhosamente porque é usado para criar subconjuntos existentes. O axioma de seleção não pode ser usado para criar um número de “chaves” excessivamente grandes. Qualquer cadeia de um conjunto, pelo axioma da fundação, será finita, isso garante a não existência de “loops” de cadeias nos conjuntos.
Referências
Wikipedia. Russell’s paradox. 2019. Disponível em :
<https:\\en.wikipedia.org\wiki\Russell%27s_paradox>. Acesso em: Ago. 2019.
PINTER, Charles C. A book of set theory. Courier Corporation. 2014.
VELLEMAN, Daniel J. How to prove it: A structured approach. Cambridge
University press, 2006.
WARNER, Steve. Pure mathematics for beginners. GET, 800. 2018.
WARNER, Steve. Set theory for beginners. GET, 800. 2019.
Wikipedia. Axioma da regularidade. 2013. Disponível em:
<https://pt.wikipedia.org/wiki/Axioma_da_regularidade>. Acesso em: 9 set. 2019.
Lobo,Matheus P. “The Axiom of Selection Resolves Russell’s Paradox.” OSF Preprints, 19 Aug. 2019. Disponível em: <https://doi.org/10.31219/osf.io/pt8ax> . Acesso em: 17 set. 2019.
