aula 6 - Circuitos combinacionais

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Universidade Federal do ABC

Prof. Rodrigo Reina Muñoz

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Aula 6: Circuitos Aritméticos

Eletrônica Digital

Operações Aritméticas

Somadores e Subtratores

São circuitos dedicados que executam, respectivamente, as operações de soma e subtração no sistema binário. Esses circuitos fazem parte de um subsistema denominado ULA (Unidade Lógica e Aritmética).

Adição no Sistema Binário (Half Adder)

A e B = Variáveis para a soma; S = Resultado da soma;

Co = Vai-um de saída (Carry-out).

1 0 0 0 Co 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 S B A 1 0 0 0 Co 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 S B A Tabela-verdade

Expressão (da tabela):

S = A’.B + A.B’ = A ⊕ B Co = A.B

Expressão (da tabela): S = A’.B + A.B’ = A ⊕ B Co = A.B Implementação e símbolo: A B S Co A B S Co Meio Somador MS

“Half Adder” ou Meio Somador porque ele não realiza a soma do carry-out vindo de uma possível operação anterior.

Exemplo:

1 0 0 1 (9) 1 1, 0 1 1 (3,375) + 1 1 1 1 (15) + 1 0, 1 1 0 (2,750)

1 1 0 0 0 (24) 1 1 0, 0 0 1 (6,125)

Circuito Somador Completo (Full Adder)

1 1 1 0 1 0 0 0 Co 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 S 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 Ci B A

A, B e Ci = Variáveis para a soma;

onde, Ci = Carry-in (possível operação anterior).

S = Resultado da soma;

Co = Vai um de saída (Carry-out).

S = A’.(B’Ci + B.Ci’) + A.(B’Ci’ + B.Ci) S = A’.(B ⊕ Ci) + A.(B ⊕ Ci)’

fazendo

(B ⊕ Ci)’ = y’

S = A’.y + A.y’ = A ⊕ y e, portanto, S = A ⊕ B ⊕ Ci 0 1 1 0 0 1 1 0 00 0 1 AB Ci 01 11 10 Não há simplificação 1 0 1 1 1 0 0 0 00 0 1 AB Ci 01 11 10

Operações Aritméticas

Expressão (da tabela):

S = A’.B’.Ci + A’.B.Ci’+A.B’.Ci’+A.B.Ci

Co = A’.B.Ci + A.B’Ci + A.B.Ci’ + A.B.Ci É possível simplificar?

A B Ci Co S A B S Co Somador Completo SC Ci

Operações Aritméticas

Implementação e símbolo:

Expressão (da tabela):

S = A’.B’.Ci + A’.B.Ci’+A.B’.Ci’+A.B.Ci Co = B.Ci + A.Ci + A.B

A B Ci SC Co S A B Ci SC Co S A B Ci SC Co S A B MS Co S S0 S1 S2 S3 Co3 B0 A0 B1 A1 B2 A2 B3 A3

Co3 Co2 Co1 Co0 A3 A2 A1 A0 B3 B2 B1 B0 Co3 S3 S2 S1 S0 +

Operações Aritméticas

Associação de Somadores

Vários somadores podem ser interconectados para formar somadores de um número maior de bits.

Exemplo: Somador de 4 bits. Utiliza um meio somador (para a

operação com os bits menos significativos) e três somadores completos.

Operações Aritméticas

O somador pode ser implementado usando somente somadores completos

Resultado aparece em S₄, S₃, S₂, S₁ e S_o

“0” (C0 = 0).

Subtração no Sistema Binário (Half Subtractor)

Operações Aritméticas

0 0 1 0 Bo 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 S B A

A e B = Variáveis para a subtração; S = Resultado da subtração;

Bo = Representa o Vem-um (Borrow-out).

Expressão(da tabela) S = A’.B + A.B’ = A ⊕ B Bo = A’.B A B S Bo Meio Subtrator MS A B S Bo

Meio Subtrator porque o circuito não considera um possível

Borrow-out da operação anterior.

Operações Aritméticas

Circuito Subtrator Completo (Full Subtractor)

1 0 0 0 1 1 1 0 Bo 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 S 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 Bi B A

A, B e Bi = Variáveis para a subtração; Bi = Borrow-in (Bo do estágio anterior). S = Resultado da subtração;

Bo = Vem-um de saída (Borrow-out).

1₁ 0₁ 0 0 1 1 0 0 1 -Bo Bi A2_Bo A1_Bi A0 B2 B1 B0 S2 S1 S0 -Exemplo: S = A’.B’.Bi + A’.B.Bi’+A.B’.Bi’+A.B.Bi Bo = A’.B’.Bi + A’.B.Bi’ + A’.B.Bi + A.B.Bi

Expressão (da tabela):

S = A’.B’.Bi + A’.B.Bi’+A.B’.Bi’+A.B.Bi conforme demonstrado anteriormente,

S = A ⊕ B ⊕ Bi

Operações Aritméticas

0 1 1 0 0 1 1 0 00 0 1 AB Bi 01 11 10 Não há simplificação 0 0 1 0 1 1 1 0 00 0 1 AB Bi 01 11 10

Bo = A’.B’.Bi + A’.B.Bi’ + A’.B.Bi + A.B.Bi

A B S Bo Subtrator Completo SC Bi A B Bi Bo S

Operações Aritméticas

Implementação: S = A ⊕ B ⊕ Bi

Associação de Subtratores

Operações Aritméticas

Para obter, por exemplo, um circuito subtrator binário de 4 bits, utiliza-se um meio subtrator (para a operação com os bits menos significativos) e três subtratores completos para a operação dos demais bits.

A B Bi SC Bo S A B Bi SC Bo S A B Bi SC Bo S A B MS Bo S S0 S1 S2 S3 Co3 B0 A0 B1 A1 B2 A2 B3 A3 A3 A2 A1 A0

Bo2=Bi3 Bo1=Bi2 Bo0=Bi1

B3 B2 B1 B0

-Operações Aritméticas

Operações aritméticas de soma e subtração de números em formato binário são mais facilmente realizadas no sistema de complemento de 2.

A operação de subtração é realizada usando um circuito somador.

Somente um circuito eletrônico para as operações de adição e subtração (sempre que o complemento de 2 for utilizado).!!

- A operação de subtração pode ser realizada da seguinte forma: A – B = A + (– B)

- Um número negativo pode ser representado pelo seu complemento acrescido de uma unidade, ou seja:

– B = B’+1

- Dessa forma, pode-se escrever A – B = A + (– B) = A + B’+1

Operações Aritméticas

Subtração no sistema de complemento de 2.

Exemplo: subtraia 9 de (-4), considerando uma palavra de 5 bits.

4 = 00100 e -4 = 11100 ; 9 = 01001 e -9 = 10111

- O vai um mais a esquerda é desconsiderado. - Números negativos em complemento de 2.

- O bit mais a esquerda (MSB) indica se o número está em complemento de 2.

1 1 1 0 0 (-4) + 1 0 1 1 1 (-9)

00011110 (+30) 11110111 (-9) 1 00010101 (+21) positivo + desconsiderar 11100010 (-30) 00001001 (+9) 1 1101011 (-21) 0 0010100 + 1 0 0 010101 (+21) negativo positivo

Operações Aritméticas

Considerando uma palavra de 8 bits, efetue 30 - 9 e -30 + 9. Sabe-se que: 30 = 00011110 e 9 = 00001001

Operações Aritméticas

Considere a adição de +9 com +8 ( o quinto bit corresponde ao bit de sinal):

0 1 0 0 1 (+9) + 0 1 0 0 0 (+8)

1 0 0 0 1 Resultado errado!

Soma de dois números positivos deve resultar em outro número positivo.

Há ocorrência de overflow no bit de sinal.

Em operação de subtração, overflow poderá ocorrer quando minuendo e subtraendo tiverem sinais diferentes.

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Operações Aritméticas

Multiplicação de números binários.

O procedimento envolve a multiplicação por um bit do multiplicador de cada vez. Os produtos parciais são sucessivamente deslocados a esquerda. Exemplo: 1 0 0 1 (+ 9) 1 0 1 1 (+ 11) 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 ____________ 1 1 0 0 0 1 1 ( 99)

- Use complemento de 2 para números negativos.

- O caso que merece atenção é quando um

dos números é negativo. Obtenha o

complemento de 2 desse número, realize a operação, e aplique o complemento de 2 ao resultado.

Operações Aritméticas

Divisão de números binários.

Similar a divisão no formato decimal.

Operações Aritméticas

Somador de 4 Bits: Exemplo de Somador / Subtrator

Ci0 A0 A1 A2 A3 B0 B1 B2 B3 S0 S1 S2 S3 Co3 74283 A B S 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 S B A

Analisando a tabela verdade da porta XOR, percebe-se que: Se A = 0 S = B

Se A = 1 S = B’ Somador Binário 74283

A e B = Entrada de 4 bits para soma S = Saída de 4 bits (resultado)

Ci0 = Entrada vai-um de um possível estágio anterior Co3 = Saída vai-um para um possível estágio posterior

Operações Aritméticas

Ci0 A0 A1 A2 A3 B0 B1 B2 B3 S0 S1 S2 S3 Co3 74283 A0 A1 A2 A3 B0 B1 B2 B3 M S0 S1 S2 S3 Co3 Operação Se M = 0 Operação Adição A3 A2 A1 A0 + B3 B2 B1 B0

Se M = 1 Operação Subtração A3 A2 A1 A0 - B3 B2 B1 B0, pois S = A3 A2 A1 A0 + B3’ B2’ B1’ B0’ + 1, que corresponde a

Operações Aritméticas

Unidade Lógica e Aritmética.

Em sistemas digitais as operações aritméticas são realizadas na unidade lógica e aritmética (ULA).

Unida Lógica e Aritmética

- O acumulador e o registrador B são elementos de memória. - O resultado final é mantido no acumulador, podendo ser transferido para a memória.

Operações Aritméticas

Associando um circuito somador

Somador paralelo de 4 bits usando o CI 74HC283.

Somador paralelo de 8 bits

implementado com 2 CIs 74HC283

Operações Aritméticas

Propagação do carry.

Na figura anterior, S₃ somente alcança seu valor correto quando o carry gerado na saída do primeiro somador se propague através de todos os somadores.

Limitação de velocidade proibitiva quando alta velocidade é requerida.

Atraso de propagação é reduzido utilizando a técnica do carry antecipado (look-ahead carry).

Nessa técnica, circuitos lógicos analisam os bits de ordem mais baixa para determinar se um carry de mais alta ordem deve ser gerado.

Operações Aritméticas

Adição e subtração em complemento de 2 usando o CI 74LS283.

do registrador A do registrador Resultado da soma Representação em complemento de 2 de -3 Adição de -3 com +6

Operações Aritméticas

Subtração: Representa a diferença ignorado Saídas invertidas do registro B O complemento de 2 é obtido a partir do complemento de 1 e somando 1 ao LSB. • As saídas invertidas do registrador B formam o complemento de 1. • Colocando C₀ = 1 soma-se 1 ao LSB.

Operações Aritméticas

Circuito completo para a adição e subtração.

• ADD = 1, SUB = 0: Operação de adição. (Sub = 0 C₀ = 0).

• ADD = 0, SUB = 1: Operação de subtração (B’ C₀ = 1).

• Resultado armazenado em A através do pulso transfer.

- Conforme discutido, as operações aritméticas possuem o mesmo modo de operação, independentemente da base utilizada.

Operações Aritméticas

Exemplos 110,11 010,10 1001,01 110,11 010,10 100,01 111,01 10,1 11101 00000+ 11101++ 10010,001 1010 / 10,1 1010,0 / 10,1 1 100 000 + – x 6,75+2,5=9,25 6,75-2,5=4,25 7,25x2,5=18,125 10 / 2,5 = 4

Atividade extra aula

Resolver os problemas do livro texto. Recomenda-se fazer, pelo

menos, dois exercícios de cada seção.

Aula 1: Caps. 1 e 2, Sec. 6.2 (comp. de 2)

Aula 2: Cap. 3 até a Sec. 3.9

Aula 3: Cap. 3, Sec. 3.10 até 3.14

Aula 4: Cap. 4, Sec. 4.2 até 4.6