Micro1aula05T

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MICROECONOMIA 1 – GRADUAC

¸ ˜

AO

Departamento de Economia, Universidade de Bras´ılia

Nota de Aula 5 – Exemplos, Propriedades e Princ´ıpio Lump-Sum

Prof. Jos´e Guilherme de Lara Resende

1 Exemplos

Exemplo 1: Utilidade Quaselinear. Uma classe de utilidades muito usadas em economia são as utilidades quaselineares. Elas são não-lineares em um dos bens e lineares nos outros. Para o caso de dois bens, ela é dada por:

u(x1, x2) = g(x1) + x2,

onde a fun¸cão g usualmente é estritamente côncava. Duas formas funcionais muito consideradas são g(x1) =

√

x e g(x1) = ln(x1). Vamos resolver o problema do consumidor para o segundo caso:

suponha que g(x1) = ln(x1). O problema do consumidor ´e:

max

x1,x2 geq0

ln(x1) + x2 s.a p1x1+ p2x2 = m

Podemos resolver esse problema sem montar o Lagrangeano, usando um truque. Substituindo o valor de x2 dado pela reta or¸cament´aria (x2 = m/p2− (p1/p2)x1) na fun¸c˜ao de utilidade, obtemos:

max

x1≥0

ln(x1) + m/p2− (p1/p2)x1,

um problema sem restri¸cão expl´ıcita. Vamos assumir que a renda é grande o suficiente para que o consumo de x2 seja positivo. Nesse caso a solu¸cão é interior e a CPO do problema resulta em:

1 x1 = p1 p2 ⇔ xM₁ (p1, p2, m) = p2 p1

Note que a demanda do bem 1 depende apenas da rela¸cão de pre¸cos. A CSO será satisfeita se a fun¸cão g for estritamente côncava (g00(x∗₁) < 0). A demanda do bem x2 é obtida substituindo a

demanda do bem 1 na restri¸c˜ao or¸cament´aria: x2(p1, p2, m) = m p2 − p1 p2 xM₁ = m p2 − 1 .

Portanto, a demanda Marshalliana do bem 1 não depende da renda, depende apenas dos pre¸cos. Essa é uma propriedade geral das fun¸cões quaselineares: o bem que entra de modo não linear na utilidade possui uma demanda que não depende da renda (caso a renda seja grande o suficiente, discutiremos esse ponto abaixo). As fun¸cões de utilidade quaselineares, devido ao fato de que geram demandas com uma estrutura relativamente simples, são muito usadas em economia, especialmente na análise de bem-estar.

Porém, temos que ser cuidadosos com a solu¸cão acima: na verdade, a demanda não será inde-pendente da renda para todos os valores da renda. Por exemplo, se a renda fosse nula, o consumidor não conseguiria comprar nada do bem 1.

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De modo um pouco mais rigoroso, dever´ıamos ter resolvido o problema acima usando o método de Kuhn-Tucker. Mas vamos fazer o seguinte exerc´ıcio mental: vamos calcular a renda necessária para comprar a quantidade ótima x1(p1, p2, m) que encontramos acima. Como o custo desta cesta

´e p1× x1(p1, p2, m), obtemos para a demanda calculada para o exemplo acima:

p1× x1(p1, p2, m) = p1×

p2

p1

= p2

Logo, se a renda do indiv´ıduo for menor do que p2 (m < p2), ele n˜ao possui renda suficiente

para comprar a quantidade ´otima x1(p1, p2, m) = p2/p1. Neste caso, ´e poss´ıvel mostrar que ele

gasta toda a sua renda apenas com o bem 1 e, portanto, as demandas ´otimas s˜ao completamente caracterizadas por: xM₁ (p1, p2, m) = p2/p1 se m ≥ p2 m/p1 se m < p2 xM₂ (p1, p2, m) = m/p₂− 1 se m ≥ p2 0 se m < p2

As demandas geradas por utilidades quaselineares possuem essa propriedade da demanda de um dos bens n˜ao depender da renda quando os bens forem consumidos em quantidades positivas, ou seja, quando a solu¸c˜ao for interior.

Nesse caso, o efeito de uma altera¸cão da renda na demanda do bem 1 é nulo: uma varia¸cão na renda não altera a quantidade consumida do bem 1, afetando apenas a demanda do bem 2. Por exemplo, se a renda do consumidor aumentar, todo esse aumento será gasto apenas no bem 2.

Graficamente, as curvas de indiferen¸ca de uma fun¸cão de utilidade quaselinear são “verticalmente paralelas”: para qualquer quantidade do bem, as inclina¸cões de duas curvas de indiferen¸ca distintas serão iguais. Isto é consequência de o efeito renda ser nulo, pois o valor marginal da quantidade consumida do bem não depende da renda.

6 -x2 x1

Curvas de Indiferen¸ca geradas por utilidade quaselinear

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Os casos de bens substitutos e de bens complementares são exemplos onde não é poss´ıvel usar o método de Lagrange. No primeiro caso, a solu¸cão é quase sempre de canto (isto é, apenas um bem é consumido). No segundo caso, a fun¸cão de utilidade não é diferenciável. Nos dois casos, as utilidades não representam preferências bem-comportadas (mais especificamente, essas duas preferências são apenas convexas, mas não estritamente convexas. Além disso, a preferência de Leontief é monótona, mas não estritamente monótona).

Como encontrar as demandas quando não podemos usar o Lagrangeano? A análise deve ser feita caso a caso. Para os dois exemplos abaixo (e na maioria dos casos de apenas dois bens), a solu¸cão gráfica pode auxiliar a resolu¸cão do problema. Vamos analisar esses exemplos agora. Observe que para o Exemplo 1, bens substitutos perfeitos, podemos usar o método de Kuhn-Tucker. Obviamente, ele resultará na mesma solu¸cão que iremos determinar na análise abaixo. Para o exemplo 2, bens complementares perfeitos, nenhum dos dois métodos, Lagrange ou Kuhn-Tucker, pode ser usado, já que a fun¸cão de utilidade não é diferenciável.

Exemplo 2: Bens Substitutos Perfeitos. Dois bens são substitutos perfeitos se o consumidor aceita substituir um pelo outro a uma TMS constante. Por exemplo, gasolina e álcool são substi-tutos perfeitos para quem possui carro flex. Se x1 e x2 são bens substitutos perfeitos, a fun¸cão de

utilidade que representa essa rela¸c˜ao ´e definida por:

u(x1, x2) = ax1+ bx2, a > 0, b > 0

Os números a e b não têm significado isolado, porém em conjunto determinam a taxa de substitui¸cão entre os bens, T M S1,2 = −a/b, sempre constante, o que caracteriza os bens serem substitutos

perfeitos. No exemplo de gasolina e álcool, se a = b, então podemos fazê-los iguais a 1. A curva de indiferen¸ca de bens substitutos, com a = b, consistem em retas com inclina¸cão −a/b, onde quanto mais afastada da origem, maior o n´ıvel de utilidade associado à curva de indiferen¸ca (ver Figura 3 abaixo). O gráfico das curvas de indiferen¸ca dessa utilidade e da reta or¸camentária, para o caso em que p2 = 2p1, é ilustrado na Figura 2 abaixo, que ilustra também a cesta ótima do consumidor,

denotada pelo ponto E, e onde a reta or¸cament´aria ´e dada pela reta mais fina.

6 -x2 x1 @ @ @ @ @@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @@sE m p2 m p1 Curvas de Indiferen¸ca u(x1, x2) = x1+ x2 Suponha que p2 = 2p1

Solu¸c˜ao: ponto E

H H H H H H H H H H H H H H H H

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O problema do consumidor é atingir o n´ıvel mais alto de satisfa¸cão, dada a restri¸cão or¸camentária. Ele tenta então se situar na curva de indiferen¸ca que representa o maior n´ıvel de satisfa¸cão. Para o caso ilustrado no gráfico, esse n´ıvel mais alto é dado pela curva de indiferen¸ca que toca a reta or¸camentária no eixo horizontal. A cesta ótima de bens é então consumir nada do bem 2 (x∗₂ = 0) e comprar somente o bem 1 (x∗₁ = m/p1).

Por que isso ocorre? Exatamente porque os bens são perfeitamente substitutos: o consumidor comprará apenas o bem que for relativamente mais barato. Se a = b = 1, então u(x1, x2) = x1+ x2,

e o consumidor comprará o bem que tiver o menor pre¸co (se os dois bens tiverem o mesmo pre¸co, ele comprará qualquer combina¸cão dos dois bens). Se a 6= b, então o consumidor comprará o bem que for relativamente mais barato: o bem que tiver menor pre¸co dividido pelo coeficiente da utilidade.

Então as fun¸cões de demanda geradas por esta utilidade são: xM₁ (p1, p2, m) = m/p1, se p1/a < p2/b 0, se p1/a > p2/b xM₂ (p1, p2, m) = 0, se p1/a < p2/b m/p2, se p1/a > p2/b

No caso em que p1/a = p2/b, o consumidor ´e indiferente entre qual dos bens comprar, pois a

TMS é igual à rela¸cão de pre¸cos dos bens. Nesse caso, o consumidor comprará qualquer quantidade x∗₁ e x∗₂ tal que satisfa¸ca a sua reta or¸camentária, p1x∗1+ p2x∗2 = m.

Portanto, para esta fun¸cão de utilidade, não vale, em geral, que a T M S dos bens calculado na cesta ótima seja igual à rela¸cão de pre¸cos (e é exatamente isto que faz com que a solu¸cão seja de canto). Mais ainda, não podemos falar de fun¸cões de demanda, pois para o caso em que p1/a = p2/b, existem várias cestas de bens que maximizam o bem-estar do consumidor (nesse caso,

podemos determinar correspondências de demanda). Já a fun¸cão de utilidade indireta é:

v(p1, p2, m) = u xM1 (p1, p2, m), xM2 (p1, p2, m) = axM1 (p1, p2, m) + bxM2 (p1, p2, m) =    a × (m/p1) + b × 0, se p1/a < p2/b a × 0 + b × (m/p2), se p1/a > p2/b a × m/p1 = b × m/p2, se p1/a = p2/b

Podemos reescrever essa fun¸c˜ao de modo mais simples como: v(p1, p2, m) =

m

min{p1/a, p2/b}

.

Exemplo 3: Bens Complementares Perfeitos. Dois bens são complementares perfeitos se geram utilidade somente se consumidos conjuntamente, em propor¸cões fixas. O exemplo clássico de bens complementares perfeitos é sapato do pé esquerdo e sapato do pé direito (eles são tão perfeitamente complementares que sapatos são sempre vendidos aos pares...). Outros poss´ıveis exemplos são carro e gasolina, café e a¸cucar, etc. Se x1 e x2 são bens complementares perfeitos, a

fun¸cão de utilidade que representa essa rela¸cão é:

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Os números a e b definem o grau de complementaridade dos bens. No caso de sapatos, a = b = 1. No caso de café e a¸cucar, se você usa sempre três colheres de a¸cucar (bem x1) para uma x´ıcara

de café (bem x2), então a = 3b. O gráfico das curvas de indiferen¸ca dessa utilidade e da restri¸cão

or¸cament´aria ´e ilustrado na Figura 4 abaixo, para o caso a = b = 1.

6 -x2 x1 Curvas de Indiferen¸ca u(x1, x2) = min{x1, x2} Suponha que p2 = 2p1

Solu¸c˜ao: Ponto E

H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H HH s E m p2 m p1 semi-reta x2 = x1

Figura 4: Solu¸c˜ao para o caso de Bens Complementares Perfeitos

Como já discutimos, o consumidor escolhe a cesta de bens na curva de indiferen¸ca que representa o maior n´ıvel de satisfa¸cão poss´ıvel. Na Figura 3 acima, essa curva toca a reta or¸camentária no ponto E. A cesta de bens ótima para a utilidade u(x1, x2) = min{x1, x2} consiste em quantidades

iguais dos dois bens.

Por que essa é a solu¸cão? Exatamente porque os bens são complementares perfeitos: não há como substitu´ı-los: se u(x1, x2) = min {x1, x2}, o consumidor compra os dois bens em quantidades

iguais, independente da rela¸c˜ao de pre¸cos. Portanto xM

1 = xM2 = x

∗ _{e, substituindo na reta}

or¸cament´aria, encontramos:

xM₁ (p1, p2, m) = xM2 (p1, p2, m) =

m p1+ p2

Se a 6= b, o consumidor iguala os argumentos da fun¸c˜ao de m´ınimo: ax1 = bx2 e, portanto,

x2 = (a/b)x1. O consumidor compra mais do bem que tiver o coeficiente a ou b menor: para esse

bem, ele precisa de uma quantidade maior para cada unidade do outro bem. Então as fun¸cões de demanda são: xM₁ (p1, p2, m) = m p1+ a_b p2 e xM₂ (p1, p2, m) = a b m p1+ a_b p2

Já a fun¸cão de utilidade indireta é: v(p1, p2, m) = min ( a × m p1+ a_b p2 , b ×a b m p1+ a_b p2 ) = a m p1+ a_b p2 = m p1/a + p2/b .

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2 Propriedades

Como a fun¸cão de utilidade é um conceito ordinal, sabemos que uma determinada preferência pode ser representada por diversas fun¸cões de utilidade diferentes, onde cada uma delas é uma transforma¸cão crescente da outra. Qual a implica¸cão disso sobre a fun¸cão de utilidade indireta? Vamos ver o seguinte exemplo, com três utilidades Cobb-Douglas representadas de modo diferente:

i) u(x1, x2) = xα1x β 2 ii) ¯u(x1, x2) = x α α+β 1 x β α+β 2 iii) ˆu(x1, x2) = α ln(x1) + β ln(x2)

Em cada caso, as fun¸c˜oes de demandas s˜ao as mesmas, x∗₁ = (α/α+β)m/p1e x∗2 = (α/α+β)m/p2

(ver exerc´ıcio 1, nota de aula 4). Então não é dif´ıcil notar que a utilidade indireta associada a cada uma dessas utilidades será:

i) v(p1, p2, m) = ααββ(α + β)−(α+β)p−α1 p −β 2 mα+β ii) ¯v(p1, p2, m) = ααββ(α + β)−(α+β)p−α₁ p−β₂ mα+β 1 α+β iii) ˆv(p1, p2, m) = ln αα_ββ_{(α + β)}−(α+β)_p−α 1 p −β 2 mα+β

Ou seja, a utilidade indireta associada a uma fun¸cão de utilidade se relaciona com a utilidade indireta associada a outra fun¸cão de utilidade que representa a mesma preferência por meio da mesma transforma¸cão crescente que relaciona as duas fun¸cões de utilidade. Para deixar mais claro, as utilidades u e û são relacionadas pela fun¸cão logaritmo, sempre crescente para números positivos, isto é, û = ln(u). Já as utilidade indiretas v e ˆv, associadas às fun¸cões de utilidade u e ˆ

u, respectivamente, se relacionam do mesmo modo que as utilidades, ou seja, ˆv = ln(v).

O fato de a utilidade indireta não ser única é consequência de a teoria do consumidor ser ordi-nal. Isso não significa que a utilidade indireta não tenha serventia. Fixada a utilidade indireta v, se tivermos duas situa¸cões de pre¸cos e renda, (p1_{, m}1_{) e (p}2_{, m}2_{), em que v(p}1_{, m}1_{) > v(p}2_{, m}2_),

então podemos afirmar que o indiv´ıduo está melhor na situa¸cão 1. Note que qualquer outra re-presenta¸cão da utilidade indireta que considerarmos, essa desigualdade será mantida, já que essa outra representa¸cão será uma transforma¸cão crescente da primeira.

Vamos agora descrever as propriedades que a fun¸cão de utilidade indireta satisfaz. Por exemplo, se a renda do consumidor aumentar, é poss´ıvel afirmar, sem ambiguidades, que o bem-estar desse indiv´ıduo aumentará.

Vamos agora juntar as propriedades sobre a demanda dos bens obtidas na aula de restri¸cão or¸camentária com outras propriedades derivadas usando o problema do consumidor e com as pro-priedades da fun¸cão de utilidade indireta. Primeiro vamos enunciar as propriedades que qualquer fun¸cão de utlidade indireta satisfaz. Em seguida, analisamos cada uma dessas propriedades isola-damente.

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Propriedades da Fun¸cão de Utilidade Indireta. Se u(x) é cont´ınua e crescente, então a fun¸cão de utilidade indireta v(p, m) é:

1) Cont´ınua,

2) Homogˆenea de grau 0 em (p, m),

3) Estritamente crescente em m e decrescente em p, 4) Quaseconvexa em (p, m),

5) Satisfaz a Identidade de Roy:

xi(p0, m0) = −

∂v(p0, m0)/∂pi

∂v(p0_{, m}0_)/∂m, i = 1, . . . , n.

1) A fun¸cão de utilidade indireta é cont´ınua. Isso significa que uma mudan¸ca pequena nos pre¸cos ou na renda não levará a um aumento grande na utilidade indireta. Como a teoria do consumidor é ordinal e compara¸cões sobre o aumento de utilidade não têm conteúdo econômico, essa propriedade não é de grande interesse.

2) As fun¸cões de demanda e a fun¸cão de utilidade indireta são homogêneas de grau 0 nos pre¸cos e na renda:

xi(tp, tm) = xi(p, m), ∀t > 0 , ∀i = 1, . . . , n

v(tp, tm) = v(p, m), ∀t > 0 .

Lembre-se que se aumentarmos todos os pre¸cos e a renda pelo mesmo fator, nada muda na restri¸cão or¸camentária. Portanto, o problema do consumidor permanece inalterado e as fun¸cões de demanda e o bem-estar do consumidor permanecem inalterados. Essa propriedade está relacionada com a hipótese de que os consumidores não sofrerem de ilusão monetária.

3) Estritamente crescente em m e decrescente em p. Portanto, temos que: Se ¯m > ˆm , ent˜ao v(p, ¯m) > v(p, ˆm), ∀ p ≥ 0 ,

Se ¯p ≥ ˆp , então v(¯p, m) ≤ v(ˆp, m), ∀ m ≥ 0 . Se a fun¸cão de utilidade indireta for diferenciável, então temos que:

∂v(p, m)

∂m > 0 e

∂v(p, m) ∂pi

≤ 0 , ∀ i = 1, . . . , n .

Essas duas propriedades s˜ao intuitivas:

• Se a renda do indiv´ıduo aumenta, isso significa que o conjunto de cestas fact´ıveis se expande. Assumindo que as preferências são monótonas, então o indiv´ıduo poderá obter uma cesta com mais de todos os bens, e portanto, obter um n´ıvel de utilidade mais alto.

• Se o pre¸co de um bem aumenta, isso significa que o conjunto de cestas fact´ıveis se contrai. Se o indiv´ıduo estiver consumindo o bem cujo pre¸co aumentou, então o seu bem-estar irá diminuir (fa¸ca um gráfico deste caso e se conven¸ca disso). Caso o bem cujo pre¸co aumentou não seja consumido pelo indiv´ıduo, então esse aumento não afetará o seu bem-estar.

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4) A fun¸c˜ao de utilidade indireta ´e quaseconvexa em (p, y): isso significa que v satisfaz a seguinte propriedade:

v(pt, mt) = v(tp + (1 − t)ˆp, tm + (1 − t) ˆm) ≤ max{v(p, m), v(ˆp, ˆm)} ,

para todo t ∈ [0, 1]. Uma forma equivalente de dizer que v é quaseconvexa nos pre¸cos e na renda é dizer que o conjunto {(p, m) | v(p, m) ≤ ¯v} é convexo para todo ¯_{v ∈ R. Vamos primeiro mostrar} a validade dessa propriedade e depois discutir a sua intui¸cão. Considere os seguintes conjuntos de cestas fact´ıveis: 1) B = {x | px ≤ m}, 2) ˆB = {x | ˆpx ≤ ˆm}, e 3) Bt _{= {x | p}t_{x ≤ m}t_{}, onde}

(pt, mt) = t(p, m) + (1 − t)(ˆp, ˆm), para todo t ∈ [0, 1]. Vamos primeiro mostrar que Bt⊂ B ∪ ˆB, fazendo uma prova por contradi¸c˜ao: suponha que exista algum t ∈ [0, 1] e algum ¯x que pertence a Bt _{mas tal que ¯}_{x 6∈ B ∪ ˆ}_{B. Note que ¯}_{x 6∈ B ∪ ˆ}_{B significa que p¯}_{x > m e ˆ}_p¯_{x > ˆ}_{m. Multiplique a}

primeira desigualdade por t e a segunda por 1 − t, com t ∈ [0, 1] e some as duas, o que resulta em: (tp + (1 − t)ˆp)¯x > tm + (1 − t) ˆm,

ou seja, que pt_{x > m}_¯ t_{, o que n˜}_{ao ´}_{e poss´ıvel, pois por hip´}_{otese assumimos que ¯}_{x ∈ B}t_{. Denote por}

xt a cesta ótima quando pre¸cos e renda são (pt, mt). Como Bt ⊂ B ∪ ˆB, xt é fact´ıvel ou quando os pre¸cos e renda são (p, m) (nesse caso teremos que v(pt_{, m}t_{) ≤ v(p, m)) ou quando os pre¸cos e}

renda s˜ao (ˆp, ˆm) (nesse caso teremos que v(pt_{, m}t_{) ≤ v(ˆ}_{p, ˆ}_{m)). Logo, temos que:}

v(pt, mt) ≤ max{v(p, m), v(ˆp, ˆm)} ,

o que conclui a demonstra¸cão de que a fun¸cão de utilidade indireta é quaseconvexa. A intui¸cão dessa propriedade pode ser entendida pela demonstra¸cão dela: o consumidor terá uma utilidade maior ou igual quando pre¸cos e renda são ou (p, m) ou (ˆp, ˆm) do que quando pre¸cos e renda são uma média desses pre¸cos e rendas, (pt_{, m}t_{) = t(p, m) + (1 − t)(ˆ}_{p, ˆ}_{m), para t ∈ [0, 1].}

5) Identidade de Roy. Primeiro vamos mostrar que o multiplicador de Lagrange mede a utilidade marginal da renda, ou seja,

λ(p, m) = ∂v(p, m) ∂m > 0

Portanto, λ mede o aumento na utilidade máxima alcan¸cável causado pelo aumento de 1 Real na renda (o n´ıvel da restri¸cão or¸camentária). Vamos provar essa afirma¸cão para o caso de dois bens (o caso geral é uma generaliza¸cão simples desse caso). Primeiro derivamos a fun¸cão de utilidade indireta com rela¸cão à renda, lembrando que v(p1, p2, m) = u(xM1 (p1, p2, m), xM2 (p1, p2, m)):

∂v ∂m = ∂u ∂xM 1 ∂xM 1 ∂m + ∂u ∂xM 2 ∂xM 2 ∂m

Vimos que as CPO podem ser escritas como ∂u/∂xM₁ = λp1, ∂u/∂xM2 = λp2 e, portanto,

∂v ∂m = λ p1 ∂xM 1 ∂m + p2 ∂xM 2 ∂m

Se derivarmos a lei de Walras p1xM1 (p1, p2, m) + p2xM2 (p1, p2, m) = m com rela¸c˜ao `a renda,

obtemos a agrega¸c˜ao de Engel :

p1

∂xM₁ ∂m + p2

∂xM₂ ∂m = 1 .

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Juntando essas duas ´ultimas equa¸c˜oes, obtemos o resultado desejado: λ(p, m) = ∂v(p, m)

∂m .

Com isso, podemos mostrar que vale a Identidade de Roy, que recupera a demanda Marshalliana a partir da fun¸c˜ao de utilidade indireta:

xi(p, m) = −

∂v(p, m)/∂pi

∂v(p, m)/∂m

Vamos demonstrar tamb´em a validade da identidade de Roy. Primeiro derivamos a fun¸c˜ao de utilidade indireta com respeito ao pre¸co pi:

∂v ∂pi = n X j=1 ∂u ∂xj ∂xj ∂pi = λ n X j=1 pj ∂xj ∂pi , (1)

onde a última igualdade resulta das CPOs. A agrega¸cão de Cournot, obtida ao derivarmos a lei de Walras com rela¸cão ao pre¸co de um dos bens, neste caso, pi, resulta em:

xi(p, m) + n X j=1 pj ∂xj(p, m) ∂pi = 0 ⇒ xi(p, m) = − n X j=1 pj ∂xj(p, m) ∂pi (2)

Substituindo a express˜ao encontrada para xi em (2) na equa¸c˜ao (1), obtemos:

∂v(p, m) ∂pi = −λxi(p, m) ⇒ xi(p, m) = − ∂v(p, m)/∂pi λ = − ∂v(p, m)/∂pi ∂v(p, m)/∂m,

onde usamos a propriedade de que o multiplicador de Lagrange mede a utilidade marginal da renda, λ = ∂v/∂m, para obtermos a igualdade de Roy.

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3 Curva de Demanda

As curvas de demanda s˜ao (quase sempre) negativamente inclinadas: se o pre¸co do bem aumenta, compramos menos desse bem. Essa propriedade ´e chamada lei da demanda.

Lei da Demanda: Para qualquer bem ou servi¸co, a lei da demanda afirma que se consome mais quando o pre¸co diminui (ou que se consome menos quando o pre¸co aumenta), mantendo todo o resto constante (condi¸c˜ao de ceteris paribus).

Um bem que satisfaz a lei da demanda é chamado bem comum, pois essa rela¸cão inversa entre pre¸co e demanda do bem é o usual na prática. Um bem para o qual o consumo aumenta (ou diminui) quando o pre¸co aumenta (ou diminui) é chamado bem de Giffen. Apesar de esse tipo de bem ser uma possibilidade teórica, os raros exemplos encontrados de bens de Giffen são controversos (por exemplo, até o famoso caso das batatas na Irlanda do século XIX é contestado – ver Rosen, Potato Paradoxes, Journal of Political Economy, 1999).

A condi¸cão “mantendo todo o resto constante” é fundamental. Muitos exemplos de supostos bens de Giffen na verdade são exemplos onde alguma outra variável além do pre¸co também mudou. Para ilustrar, suponha que o pre¸co do vinho Ivre é R$ 120. A vin´ıcola que produz esse vinho comprou mais terras ano passado e teve uma excelente safra de uvas. Ela resolve então baixar o pre¸co do vinho para R$ 40. Porém, a vin´ıcola descobre que a quantidade vendida de vinho caiu após o pre¸co baixar. Isso é uma viola¸cão da lei da demanda? Pode ser que não. Se grande parte dos consumidores do vinho Ivre o compram por que acham que o vinho é de boa qualidade devido ao seu pre¸co elevado, esses consumidores deixarão de comprar o vinho se o pre¸co cair muito, inferindo que a qualidade do vinho caiu. Nem todo o “resto” então permaneceu constante: a qualidade do vinho percebida pelos compradores mudou. Outras pessoas podiam também comprar o vinho apenas pelo status de ter ou poder dar de presente um vinho caro. Se o pre¸co cai muito, esse status também se modifica (outra variável diferente do pre¸co que também mudou). Portanto, esse caso não constituiria uma viola¸cão da lei da demanda.

Existem duas formas de se interpretar a curva de demanda:

1. Dado o pre¸co, obtemos a quantidade demandada. Essa ´e a forma comum de usar a fun¸c˜ao demanda. Para cada pre¸co, ela informa a quantidade demandada pelo consumidor ou pelo mercado.

2. Dada a quantidade, obtemos o valor marginal de mais uma unidade do bem para o consumidor ou para o mercado. Para qualquer quantidade do bem medida ao longo do eixo vertical, a distância desse eixo até a curva diz o valor marginal do último bem consumido. O fato de a demanda ser negativamente inclinada é interpretado como o valor marginal (a propensão marginal a pagar, a vontade de pagar - “willingness to pay”) de um bem ser decrescente com a quantidade consumida. Portanto, dizer que a demanda é negativamente inclinada ou que o valor marginal de um bem é decrescente é a mesma coisa.

A fun¸cão de demanda inversa p(q) mede essa rela¸cão do valor marginal com a quantidade consumida: quanto o consumidor está disposto a pagar pela última unidade q consumida. Sempre que a fun¸cão de demanda for negativamente inclinada, podemos determinar a fun¸cão de demanda inversa desse consumidor.

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A fun¸cão de demanda inversa é muito usada em economia. Por exemplo, quando estudamos o problema de decisão de produ¸cão de um monopolista, consideramos que o monopolista sabe que pode afetar os pre¸cos escolhendo o seu n´ıvel de produ¸cão. Ou seja, ele sabe que o pre¸co depende da quantidade produzida, e que essa rela¸cão é descrita pela fun¸cão de demanda inversa. A Figura 5 ilustra dois gráficos, um denotando a curva de demanda e o outro denotando a curva de demanda inversa. 6 -q p Curva de Demanda @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ 6 -p q Curva de Demanda Inversa

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @

Figura 5: Demanda e Demanda Inversa

A quantidade de um bem demandada não é só fun¸cão do seu pre¸co, mas também de uma série de outros fatores, como os pre¸cos de outros bens e a renda, expressos explicitamente na fun¸cão de demanda, e de fatores impl´ıcitos, como o tamanho da popula¸cão, a renda per capita, a expectativa sobre pre¸cos futuros, o clima, etc. Enquanto todos esses outros determinantes da demanda não se alterarem, uma mudan¸ca no pre¸co do produto irá acarretar uma mudan¸ca na quantidade demandada. Ou seja, um movimento ao longo da curva, como mostra o gráfico à esquerda na Figura 6 abaixo. Entretanto, se algum dos outros determinantes da demanda mudar, o resultado será um deslocamento de toda a curva de demanda, que pode gerar tanto um aumento como uma queda da quantidade demandada para cada n´ıvel de pre¸co, dependendo da dire¸cão do deslocamento. O gráfico à direita na Figura 6 abaixo ilustra essa situa¸cão.

6 -p q Mudan¸ca de pre¸co @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ R @ @ @ @ I 6 -p q Mudan¸ca em outra vari´avel

(diferente do pre¸co) @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

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Por exemplo, a demanda de sorvete depende do clima. Quando faz muito calor, a curva de demanda se desloca para fora: mais sorvetes são consumidos a cada n´ıvel de pre¸co. Se faz muito frio, a demanda se desloca para dentro: menos sorvetes são consumidos a cada n´ıvel de pre¸co. Se a demanda por sorvetes de um consumidor aumenta quando ele tem mais renda, então um aumento da renda desloca a sua curva de demanda para fora.

A curva de pre¸co-consumo informa como a cesta ótima escolhida varia quando o pre¸co de um dos bens se altera. Logo, a curva pre¸co-consumo de um bem apresenta, de modo diferente, não apenas como a quantidade consumida do bem analisado se altera com mudan¸cas no seu pre¸co, mas também como a quantidade consumida do outro bem se altera com rela¸cão a mudan¸cas no pre¸co do bem analisado.

O gr´afico de uma curva de pre¸co-consumo tem como eixos as quantidades dos bens consumidos. A curva de pre¸co-consumo de um bem ´e obtida deixando-se o pre¸co desse bem variar, mantendo os outros pre¸cos e a renda fixos. A Figura 7 abaixo ilustra uma poss´ıvel curva de pre¸co-consumo para o bem 1. 6 -x2 x1 A A A A A A A A A A A A A A A A_A @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @_@ H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H

Curva de pre¸co-consumo do bem 1

s s

s

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4 Princ´ıpio Lump Sum

Esta se¸cão é baseada na se¸cão de mesmo nome do cap´ıtulo 4 do livro Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions, 10th _{edition, de Nicholson e Snyder.}

O princ´ıpio Lump Sum mostra a vantagem que impostos sobre o poder de compra do indiv´ıduo (no nosso modelo, a renda) possuem sobre impostos de consumo em determinados bens. De modo análogo, este princ´ıpio ilustra que transferências de renda aumentam mais o bem-estar das pessoas do que montantes iguais de dinheiro gastos subsidiando o consumo de certos bens. Logo, o princ´ıpio explica a superioridade do Programa Bolsa-Fam´ılia com rela¸cão a programas de subs´ıdio na compra de determinados bens.

A intui¸cão é simples: ao prover a renda para o indiv´ıduo usar no que quiser, ele escolherá usar em bens que aumentem o seu bem-estar ao máximo, enquanto subs´ıdios para o consumo de determinados bens não oferecem essa flexibilidade e distorcem os pre¸cos relativos do bens. Para explicar a ideia do princ´ıpio, vamos usar a Figura 8 abaixo.

Vamos supor que as preferências do indiv´ıduo são bem-comportadas e que a escolha ótima é dada pela cesta (x∗₁, x∗₂) ilustrada na Figura 4 abaixo. Um imposto sobre o consumo do bem 1 no valor de t por unidade, de modo que o pre¸co do bem 1 aumenta para p1+ t, muda a escolha ótima

do consumidor para (x∗∗₁ , x∗∗₂ ), onde a utilidade obtida é U∗∗. Se o governo optar por um imposto sobre a renda que arrecade o mesmo valor do que o imposto sobre o consumo, temos que a nova renda do consumido será ¯m = m − tx∗∗₁ , já que o consumo do bem 1 com o imposto t é x∗∗₁ unidades do bem 1. 6 -x2 x1 U∗∗ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e s s s x∗∗₁ x∗∗₂

Equil´ıbrio inicial: (x∗₁, x∗₂), utilidade obtida U∗

U∗∗∗

Pre¸co do bem 1 aumenta com o imposto sobre o seu consumo

Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q_Q s s s x∗∗∗₁ x∗∗∗₂ Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q s s s U∗ x∗₁ x∗₂

Equil´ıbrio com imposto sobre consumo: (x∗∗₁ , x∗∗₂ ), utilidade: U∗∗ Equil´ıbrio com imposto sobre a renda: (x∗∗∗₁ , x∗∗∗₂ ), utilidade: U∗∗∗ Princ´ıpio Lump Sum: U∗∗∗ > U∗∗

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Logo, a reta or¸cament´aria com o imposto sobre a renda mant´em os pre¸cos originais p1 e p2 dos

bens e diminui a renda do consumidor, mas de modo que a cesta (x∗∗₁ , x∗∗₂ ) seja fact´ıvel, j´a que como na situa¸c˜ao com o imposto sobre o consumo do bem 1 temos que:

(p1+ t)x∗∗1 + p2x∗∗2 = m ,

ent˜ao:

p1x∗∗1 + p2x∗∗2 = m − tx ∗∗ 1 = ¯m .

Portanto, o imposto sobre a renda é mais adequado do que o imposto sobre o consumo do bem 1, no sentido que arrecada o mesmo montante de recursos, mas prejudica menos o bem-estar do consumidor. Não é dif´ıcil fazer o racioc´ınio análogo para a compara¸cão do subs´ıdio no pre¸co do bem com um acréscimo na renda do indiv´ıduo. O princ´ıpio Lump Sum é relacionado com o efeito substitui¸cão de Slutsky, que veremos na nota de aula 8. O exemplo abaixo ilustra o princ´ıpio numericamente.

Exemplo: Utilidade Cobb-Douglas. Suponha que a utilidade do indiv´ıduo ´e u(x1, x2) =

x1x2. As fun¸cões de demanda ótimas são x1 = m/2p1 e x2 = m/2p2. Já a utilidade indireta é

v(p1, p2, m) = m2/4p1p2. Suponha iniciamente que p1 = R$ 1, p2 = R$ 1 e m = R$ 20. Neste caso,

as quantidades consumidas dos bens s˜ao x∗₁ = 10 e x∗₂ = 10 e a utilidade obtida ´e v∗ = 100.

Suponha que o governo impõe um imposto sobre cada unidade consumida do bem 1 no valor t = R$ 1. O pre¸co do bem 1 aumenta para R$ 2 e as novas quantidades consumidas serão x∗∗₁ = 5 e x∗∗₂ = 10. Logo, a utilidade obtida pelo consumidor cai para v∗∗= 50, sendo que o valor arrecadado pelo governo é t × x∗∗₁ = R$ 5.

Finalmente, suponha que o governo decida não mais instituir um imposto sobre o consumo do bem 1, mas sim um imposto sobre a renda no valor de R$ 5. A nova renda do consumidor será R$ 15 e as quantidades consumidas dos bens serão x∗∗∗₁ = 7,5 e x∗∗∗₂ = 7,5. A utilidade obtida neste caso é v∗∗∗= 56,25, maior do que a obtida com o imposto sobre o consumo.

Uma hipótese importante para a validade do princ´ıpio é a de utilidades bem-comportadas, que no fundo assume a possibilidade de substitui¸cão dos bens na utilidade do consumidor. Se a utilidade for de Leontief, onde não há possibilidade de substitui¸cão no consumo dos dois bens, os dois tipos de impostos reduzirão o bem-estar do indiv´ıduo no mesmo montante. Além disso, ao assumirmos que a renda é exógena, descartamos qualquer possibilidade de o imposto sobre a renda ter efeitos deletérios sobre a oferta de trabalho. Finalmente, nossa análise não considera os efeitos que os dois impostos podem ter sobre a economia como um todo.

Leitura Recomendada

• Varian, cap. 5 - “Escolha”.

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Exerc´ıcios

1) Considere a utilidade u(x1, x2) =

√

ax1+ bx2.

a) Calcule a TMS entre os dois bens. Desenhe o mapa de indiferen¸ca desta utilidade. b) Utilizando o m´etodo de Kuhn-Tucker (revise suas notas de aula de economia

quantita-tiva!), resolva o problema de maximiza¸c˜ao de utilidade.

c) Encontre agora as fun¸cões de demanda ótimas do consumidor utilizando a intui¸cão vista na aula. Justifique sua resposta.

d) Verifique que as fun¸c˜oes de demanda sempre exaurem toda a renda do consumidor, quaisquer que sejam os pre¸cos dos bens e a renda considerados.

e) Agora suponha que a = b = 1 e p1 = 1, p2 = 2, m = 100. Ilustre graficamente a solu¸c˜ao

neste caso. Qual a taxa marginal de substitui¸cão na cesta ótima? Para este caso, vale a condi¸cão de igualdade de TMS e rela¸cão de pre¸cos? Discuta intuitivamente sua resposta. 2) Considere a utilidade u(x1, x2) = (min{ax1, bx2})2.

a) Desenhe o mapa de indiferen¸ca desta utilidade.

b) Encontre as fun¸c˜oes de demandas ´otimas do consumidor. Justifique sua resposta. c) Agora suponha que a = b = 1 e p1 = 1, p2 = 2, m = 100. Calcule e ilustre graficamente

a solu¸c˜ao neste caso. Suponha agora que os pre¸cos mudaram para p1 = 2 e p2 = 1, e que

a renda não se modificou. Calcule e ilustre graficamente a solu¸cão neste caso. Compare as duas solu¸cões encontradas neste item. Discuta intuitivamente sua resposta.

3) Suponha que a utilidade de Bernardo seja u(x1, x2) = min{x1, x2}. Suponha que os pre¸cos

do bem 1 e do bem 2 sejam p1 = R$ 1 e p2 = R$ 1 e que a renda de Bernardo seja R$ 120.

a) Quais s˜ao as quantidades consumidas de cada bem por Bernardo? Qual a utilidade que ele obt´em?

b) Se o governo instituir um imposto sobre o consumo do bem 1 de modo que o seu pre¸co aumente para p1 = R$ 2, quais ser˜ao as quantidades consumidas por Bernardo dos dois

bens? Qual a utilidade de Bernardo agora?

c) Suponha que o governo abandone a ideia do imposto sobre o consumo do bem 1 e decida taxar a renda do consumidor por um valor que resulte no mesmo montante que obteria com o imposto descrito no item anterior. Quais as novas quantidades consumidas dos dois bens? Qual a utilidade de Bernardo agora?

d) Explique intuitivamente a raz˜ao do princ´ıpio Lump Sum neste exemplo n˜ao resulta numa utilidade maior para Bernardo no caso do imposto de renda do que no caso do imposto sobre o consumo.

4) Suponha uma fun¸c˜ao de utilidade definida por:

u(x1, x2) = min{x2+ 2x1, x1+ 2x2}

a) Desenhe a curva de indiferen¸ca para u(x1, x2) = 20.

b) Para que valores de p1/p2 a solu¸cão ótima consistirá em x1 = 0 e x2 = m/p2?

c) Para que valores de p1/p2 a solu¸cão ótima consistirá em x1 = m/p1 e x2 = 0?

d) Para que valores de p1/p2 a solu¸cão ótima será interior (ou seja, x∗1 > 0 e x ∗ 2 > 0)?

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5) Suponha que a utilidade de Ana seja u(x1, x2) = x1x2. Suponha que os pre¸cos do bem 1 e do

bem 2 sejam p1 = R$ 2 e p2 = R$ 2 e que a renda de Ana seja R$ 600.

a) Quais s˜ao as quantidades consumidas de cada bem por Ana? Qual a utilidade que ela obt´em?

b) Se o governo instituir um subs´ıdio sobre o consumo do bem 1 de modo que o seu pre¸co diminua para p1 = R$ 1, quais ser˜ao as quantidades consumidas por Ana dos dois bens?

Qual a utilidade de Ana agora?

c) Suponha que o governo abandone a ideia do subs´ıdio sobre o consumo do bem 1 e decida repassar um montante fixo para Ana de modo que resulte no mesmo gasto para o governo que o esquema de subs´ıdio anterior gerava. Quais as novas quantidades consumidas dos dois bens? Qual a utilidade de Ana agora?

d) Usando a intui¸cão econômica, elabore um argumento a favor de programas de trans-ferência de renda como o Programa Bolsa Fam´ılia sobre programas do tipo Vale Gás, que subsidiava o pre¸co do gás de cozinha para pessoas carentes. Fa¸ca o racioc´ınio in-verso: discuta as vantagens, caso existam, de um programa de subs´ıdios para o consumo de certos bens sobre um programa de transferência de renda.

6) Suponha que a utilidade de Rafael seja u(x1, x2) = x0,21 x 0,8

2 , onde x1 ´e a quantidade de

alimentos que Rafael consome e x2´e a quantidade de todos os outros bens que Rafael consome

(um bem composto, portanto). Suponha que o pre¸co do bem 2 ´e p2 = R$ 1 e que a renda de

Rafael ´e R$ 1000.

a) Se o pre¸co do bem 1 ´e R$ 2, qual ´e o consumo de alimentos de Rafael?

b) Se o pre¸co do bem 1 duplicar, qual ser´a o novo consumo de alimentos de Rafael? c) Suponha agora que o governo resolva subsidiar alimentos, mantendo o pre¸co igual a R$ 2

– ou seja, concendendo um subs´ıdio de R$ 2 por unidade consumida de x1. Se o governo

financia esse subs´ıdio por meio da cobran¸ca de um imposto sobre a renda, qual ´e o novo n´ıvel de consumo de x1 de Rafael?

d) Construa um diagrama comparando as situa¸cões em b) e c) e mostre em qual situa¸cão Rafael está melhor.

e) Relacione a sua resposta para esta quest˜ao com o princ´ıpio Lump Sum. 7) Considere a utilidade u(x1, x2) = max{ax1, bx2}.

a) Desenhe o mapa de indiferen¸ca desta utilidade.

b) Encontre as fun¸c˜oes de demandas ´otimas do consumidor. Justifique sua resposta. c) Agora suponha que a = b = 1 e p1 = 1, p2 = 2, m = 100. Calcule e ilustre graficamente

a solu¸c˜ao neste caso. Suponha agora que os pre¸cos mudaram para p1 = 2 e p2 = 1, e que

a renda não se modificou. Calcule e ilustre graficamente a solu¸cão neste caso. Compare as duas solu¸cões encontradas neste item. Discuta intuitivamente sua resposta.