Trabalho de Mecânica dos Materiais II

(1)

Escola Superior de Tecnologia e de Gestão

Engenharia Mecânica

Trabalho elaborado por:

• Cláudio Veloso e Silva nº 10078

• Paulino Pereira Lourenço nº 9547

2º Ano, Engenharia Mecânica

Data: 06/06/2003

Trabalho de Mecânica dos

Materiais II

(2)

Índice:

Objectivos……….Pág2

Introdução……….Pág.3

Análise numérica da estrutura através do programa (Ansys)………Pág.4

Estudo analítico da estrutura……….Pág.7

i)- Cálculo das reacções……….Pág.7 ii) Diagrama de esforços internos………..Pág.8 iii) Determinação da intensidade do máximo momento flector da viga, e a máxima

tensão normal………Pág.9 iv) Determinação da localização e da intensidade do máximo esforço transverso na viga e máxima tensão de corte……….Pág.9 v) Calculo da flecha e a rotação para o ponto solicitado, (B)

através da Equação da Linha Elástica………...Pág.10 vi) Ponto da viga correspondente ao deslocamento e rotação máximo……….Pág.12 vii) Calculo da flecha e rotação para o ponto solicitado,

utilizando o Método da sobreposição………Pág.13

Comparação de resultados………Pág.18

Análise critica………...Pág.18

Bibliografia………...Pág.19

(3)

Objectivos:

Para a realização deste trabalho, vamos ter como base os seguintes objectivos: ٠ Análise numérica da estrutura pelo método dos elementos finitos , (programa Ansys), e apresentação dos respectivos resultados.

٠ Estudo analítico da estrutura, com as respectivas formulações , no que respeita a: i) – Cálculo das reacções;

ii) – desenhar o diagrama de esforços internos, identificando as respectivas secções e as respectivos cálculos;

iii) – determinar a localização e a intensidade do máximo momento flector na viga e calcular a máxima tensão normal;

iv) – determinar a localização e a intensidade do máximo esforço transverso na viga e calcular a máxima tensão de corte;

v) – calcular a flecha e a rotação para o ponto solicitado , através da Equação da Linha Elástica;

vi) – identificar o ponto da viga, correspondente ao deslocamento e rotação máximos; vii) – calcular a flecha e a rotação para o ponto solicitado, através do Método da

Sobreposição.

(4)

Introdução:

A acção de forças aplicadas em vigas, provocam a flexão das mesmas em relação à sua posição inicial. Esta flexão deve, na fase de projecto ser limitada a valores admissíveis, quer por razões de funcionamento quer estéticas.

Neste trabalho pretende-se efectuar o estudo de uma viga sujeita a carregamentos estáticos, através de dois métodos, (estudo analítico e estudo numérico, programa Ansys) para uma posterior comparação.

Para a realização deste trabalho serão seguidas todas as normas e procedimentos necessários para a obtenção de resultados mais fiáveis.

(5)

Análise numérica da estrutura através do programa (Ansys):

Diagrama de esforços transversos (fig.1)

(6)

Tensões normais máximas (fig.3)

(7)

(fig.6)

(8)

Através das figuras que foram obtidas através do programa Ansys, podemos verificar o comportamento de uma viga quando sujeita a um carregamento estático de forças e de momentos.

Com os resultados obtidos através do programa, vamos proceder a uma comparação de valores.

Estudo analítico da estrutura:

Para a seguinte estrutura:

E=210GPa ν=0,3 IPE 160 i)- Cálculo das reacções;

(9)

⇔

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

∑

0

0 MA

Fy

Fx

⇔

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

+

−

=

−

+

=

0

6 .

3 .

4 .

2

0 .

0 RCY

L

q

MC

MA

L

q

RCY

RAY

RAX

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

⇔

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

−

=

⇔

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+

−

=

+

=

3

5 .

66

3

5 .

29

0

3

5 .

66

3

5 .

66

3

96

0

6 .

3

4 .

2 *

3

96

3

27

3

18

3

96

0 E

RCY

E

RAY

RAX

E

RCY

E

RAY

RAX

E

RCY

E

RCY

RAY

RAX

ii) Diagrama de esforços internos; #Secção 1 0≤X≤1.2 V=29.5 Mf=29.5E3*X-18E3 #Secção2 1.2≤X≤3.6 V=29.5*X-18-40*(X-1.2) Mf=

2 )

2 .

1 (

*

)

2 .

1 (

40

18

5 .

29 X

−

X

−

X

−

Cálculos auxiliares:

m

X

9375

.

1

0

5 .

77

40

0

2 )

2 .

1 (

*

)

2 .

1 (

40

18

5 .

29

'

=

⇔

=

+

−

⇔

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

−

# Obtém-se um máximo para X=1.9375 metros, o que significa que o momento flector é máximo para este ponto.

(10)

iii) Determinação da intensidade do máximo momento flector da viga, e a máxima tensão normal; Mfmaximo: X=1.9375 Æ 28.2783KN

MPa

E

adm

W

Mf

adm

Mf

W

260 .

1499

6

7 .

108

3

278 .

28 min

max

min

⇔

−

=

⇔

=

⇔

=

σ

iv)Determinação da localização e da intensidade do máximo esforço transverso na viga e máxima tensão de corte;

(11)

#A zona critica é a zona a Vmax=66.5KN AreaAlma=606.8E-6

m

2

AreaAlma

=

7 .

4 E

−

3 *

82 E

−

3 MPa

E

AreaAlma

V

59 .

109

6 .

8 .

606

3

5 .

66 max

max

=

⇔

τ

=

⇔

τ

v)Calculo da flecha e a rotação para o ponto solicitado, (B) através da Equação da Linha Elástica; MfS1=29.5X-18 MfS2=

₋

20

2

₊

77 .

5 ₋

46 .

8 X

X

#Secção1

Equações para a rotação:

1

18

2

5 .

29 )

18

5 .

29 (

18

5 .

29

2 2 2

C

X

Y

EI

dX

X

Y

EI

X

Y

EI

+

−

=

∂

⇔

−

=

∂

⇔

−

=

∂

∫

Equações para a Flecha:

2

1

2

18

6

5 .

29

1

18

2

5 .

29

2 3 2

C

X

C

X

EIY

dX

C

X

EIY

+

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

=

∫

(12)

#Secção2

Equações para a rotação:

(

)

3

8 .

46

2

5 .

77

3

20 )

8 .

46

5 .

77

20

8 .

46

5 .

77

20

2 3 2 2 2 2

C

X

Y

EI

dX

X

Y

EI

X

Y

EI

+

−

+

−

=

∂

⇔

−

+

−

=

∂

⇔

−

+

−

=

∂

∫

Equações para a Flecha:

4

3

2

8 .

46

6

5 .

77

12

20

3

8 .

46

2

5 .

77

3

20

2 3 4 2 3

C

X

C

X

EIY

dX

C

X

EIY

+

−

+

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

+

−

=

∫

# Condições fronteira: 1.

X

=

0 ⇒

Y

=

0

2.

X

=

3.6 ⇒

Y

=

0

Para X=1.2 temos 3.

Y

/

S

1 =

Y

/

S

21

4.

1 S

2 X

Y

S

X

Y

∂

=

∂

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

+

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

+

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

+

−

+

−

=

+

−

=

3

8 .

46

2

5 .

77

6

20

1

18

2

5 .

29

1

4

3

2

8 .

46

6

5 .

77

12

20

1

2

1

2

18

6

5 .

29

1

4

3

2

8 .

46

6

5 .

77

12

20

2

1

2

18

6

5 .

29

2 3 2 2 3 4 2 3 2 3 4 2 3

C

X

EI

C

X

EI

C

X

C

X

EI

C

X

C

X

EI

C

X

C

X

EIY

C

X

C

X

EIY

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

+

−

=

−

+

=

+

=

0

52 .

11

3

1

0

4

3

2 .

1

2 .

1

368 .

10

0

4

3

6 .

3

44 .

19

0

2 C

C

⎥

⎤

⎢

⎡

−

=

⎥

⎤

⎢

⎡

⎥

⎤

⎢

⎡

−

10 .

368

44 .

19

0

3

2

1 *

1

2 .

1

0

2 .

1

6 .

3

0

1

0 C

C

(13)

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−

=

−

=

−

=

456 .

5

4

44 .

4

3

0

2

96 .

15

1 C

C

Substituindo em

2

1

2

18

6

5 .

29

3 2

C

X

C

X

EIY

=

−

+

1

18

2

5 .

29

2

C

X

Y

EI

=

−

+

∂

Para x=1.2 temos:

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

−

=

−

=

∂

⇔

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+

−

=

−

+

−

=

∂

−

⇔

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+

−

=

+

−

=

∂

1 4633

1293318729

.

0

2

862 8921139101

.

0

2

2 .

1 *

1

2

2 .

1 *

18

6

2 .

1 *

5 .

29 *

8

3 .

869 *

9

210

1

2 .

1 *

18

2

2 .

1 *

5 .

29 *

8

3 .

869 *

9

210

2

1

2

18

6

5 .

29

1

18

2

5 .

29

2 3 2 2 3 2

E

Y

E

X

Y

C

Y

E

C

X

Y

E

C

X

C

X

EIY

C

X

Y

EI

vi)Ponto da viga correspondente ao deslocamento e rotação máximo:

m

X

E

X

E

9375

.

1

0

5 .

77

40

0

2 )

2 .

1 (

*

)

2 .

1 (

40

3

18

3

5 .

29

'

=

⇔

=

+

−

⇔

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

# Temos um máximo para X=1.9375 metros, o que significa que o momento flector é máximo neste ponto, e a rotação também é máxima

(14)

vii)Calculo da flecha e rotação para o ponto solicitado, utilizando o Método da sobreposição;

Caso1

Calculo das reacções:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

−

⇔

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

−

=

−

⇔

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

+

−

=

−

+

=

KN

RCY

KN

RAY

RCY

RAY

RCY

RAY

RAX

64

32

6 .

3

4 .

2 *

96

64

96

0 *

6 .

3

4 .

2 *

96

0

96

0

#Secção1

# Equação das rotações:

1

2

32

2 2 2

C

X

dx

dy

EI

dX

X

dx

dy

EI

X

dx

y

d

EI

+

=

⇔

=

∫

Equação da flecha:

2

1

6

32

1

2

32

3 2

C

X

C

X

EIy

dX

C

X

EIy

+

=

+

=

_∫

#Secção2

#Equação das rotações:

3

8 .

28

2

80

3

20

2 )

2 .

1 (

*

)

2 .

1 (

*

40

32

2 )

2 .

1 (

*

)

2 .

1 (

*

40

32

2 3 2 2

C

X

dx

dy

EI

dX

X

dx

dy

EI

X

dx

y

d

EI

+

−

+

−

=

⇔

−

+

=

−

+

=

∫

(15)

#Equação da flecha:

4

3

2

8 .

28

6

80

12

20

3

8 .

28

2

80

3

20

2 3 4 2 3

C

X

C

X

EIy

dX

C

X

EIy

+

−

+

−

=

⇔

+

−

+

−

=

∫

# Condições fronteira: 1.

X

=

0 ⇒

Y

=

0

2.

X

=

3.6 ⇒

Y

=

0

Para X=1.2 3.

Y

/

S

1 =

Y

/

S

21

4.

1 S

2 X

Y

S

X

Y

∂

=

∂

# Calcular as constantes de integração:

1 Para X=1.2

0

2

1

6

32

3

=

⇒

⎩

⎨

⎧

+

−

=

X

C

X

C

EIy

Eq. 1

2

Para X=3.6

52 .

155

4

3

4

3

2

8 .

28

6

80

12

20

4 3 2

−

=

+

⇔

+

−

+

−

=

C

X

C

X

C

X

EIy

Eq. 2

3 Para X=1.2

2

1 Y

S

Y

=

368 .

10

4

3

1

4

3

152 .

1

216 .

9

4

3

2

8 .

28

6

80

12

20

1

2

1

6

32

1

3 4 3 2

−

=

−

⇔

+

−

=

+

⇔

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

+

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

C

X

C

X

C

X

C

X

C

X

C

X

EIy

C

X

C

X

EIy

Eq. 3

(16)

4 Para X=1.2

⇔

∂

=

∂

2

1 S

X

y

S

X

y

52 .

11

3

1

3

52 .

11

1

4 .

23

3

8 .

28

2

80

3

20

1

2

32

2 3 2

−

=

−

⇔

+

=

+

⇔

+

−

+

−

=

+

⇔

C

X

C

X

Eq. 4

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−

=

−

=

−

=

⇔

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

456 .

3

4

24 .

42

3

0

2

76 .

53

1

52 .

11

368 .

10

52 .

155

0

4

3

2

1

0

1

0

1

2 .

1

0

2 .

1

6 .

3

0

1

0 C

C

Substituindo em:

EI

=

210 E

6 *

869 .

3 E

−

8

Para X=1.2

030290381

.

0

2

1

6

32

3

−

=

⇔

+

=

Y

C

X

C

X

EIY

01682799

.

0

1

2

32

2

−

=

∂

⇔

+

=

∂

X

Y

C

X

Y

EI

(17)

Caso2 Para X=2.4

00788812

.

0 )

4 .

2 *

6 .

3

4 .

2 (

6 .

3 *

53 .

1825

*

6

18 )

(

6

2 3 2 3

=

⇔

−

=

⇔

−

=

Y

X

L

X

EIL

M

Y

(

)

001972

.

0 )

6 .

3

4 .

2 *

3 (

6 .

3 *

53 .

1825

*

6

18 )

3 (

6

2 2 2 2 ' 2 3

−

=

∂

⇔

−

=

∂

⇔

−

=

∂

⇔

−

=

∂

X

Y

X

Y

L

X

EIL

M

X

Y

X

L

X

EIL

M

X

Y

(18)

Caso 3 Para X=1.2

0094657

.

0 )

2 .

1 *

6 .

3

2 .

1 (

6 .

3 *

53 .

1825

*

6

27 )

(

6

2 3 2 3

=

⇔

−

=

⇔

−

=

Y

X

L

X

EIL

M

Y

(

)

00591609

.

0 )

6 .

3

2 .

1 *

3 (

6 .

3 *

53 .

1825

*

6

27 )

3 (

6

2 2 2 2 ' 2 3

=

∂

⇔

−

=

∂

⇔

−

=

∂

⇔

−

=

∂

X

Y

X

Y

L

X

EIL

M

X

Y

X

L

X

EIL

M

X

Y

01293656

.

0

3

2

1 −

=

⇔

+

=

YTotal

Ycaso

YTotal

0128839

.

0

3

2

1 −

=

∂

⇔

∂

+

∂

+

∂

=

∂

Total

X

Y

caso

X

Y

caso

X

Y

caso

X

Y

Total

X

Y

(19)

Comparação de resultados:

Estudo analítico Estudo numérico

Momento flector máximo 28.2783KN 28.272KN Esforço transverso máximo 66.5KN 66.5KN

Rotação máxima em B -0.8921139E-2 -0.89399E-02 Flecha máxima em B -0.1293318E-1 -0.12937E-01

Rotação máxima em x=1.9375 -0.1429621E-1 0.13298E-01 Flecha máxima em x=1.9375 -0.1384356E-1 -0.16143E-01

RAy 29.5KN 29.5KN

RCy 66.5KN 66.5KN

Análise critica:

Através da anterior tabela, verifica-se que os resultados obtidos em ambos os métodos são muito próximos, o que significa que qualquer discrepância entre os valores se deve apenas a arredondamentos de cálculo, não sendo este, um valor significativo.

Após a realização deste trabalho, verifica-se que ambos os métodos utilizados se mostram bastante fiáveis para este tipo de estudo, no entanto o método numérico, (Programa Ansys) mostra-se mais eficiente, rápido, com uma margem de erro mais reduzida.

Por fim, damos por concluído o trabalho, pedindo mais uma vez desculpa por qualquer erro ou lapso não detectados.