Teoria de Números

Matemática 2

Teoria de Números

Preparada por Paul Cheqe

African Virtual university

Université Virtuelle Africaine

Universidade Virtual Africana

Aviso

Este documento foi publicado nas condições de Creative Commons http://en.wikipedia.org/wiki/Creative_Commons

Atribuição

http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/ Licença (abreviada “cc-by”), Versão 2.5.

ÍNDICE

I. Matemática 2, Teoria de Números ________________________________________3 II. Cursos ou conhecimentos prévios _______________________________________ 3 III. Tempo _____________________________________________________________3 IV. Materiais ___________________________________________________________3 V. Importância do Módulo _________________________________________________3 VI. Visão Geral do Módulo________________________________________________ 3

6.1 O Plano de Estudos ____________________________________________ 4 6.2 A Organização Gráfica __________________________________________ 4 VII. Objectivo Geral ______________________________________________________ 5 VIII. Objectivos Específicos de Aprendizagem _________________________________ 5 IX.Teste Diagnóstico _____________________________________________________ 7 9.1 Importância do teste diagnóstico ___________________________________ 7 9.2 Chave de Respostas ____________________________________________ 9 9.3 Comentário Pedagógico para os Estudantes __________________________ 9 X. Conceitos Chave (Pequeno Dicionário) _____________________________________10 XI. Leituras Obrigatórias ___________________________________________________11 XII. Recursos Obrigatórios _________________________________________________12 XIII. Conexões Utéis ______________________________________________________13 XIV. Actividades de Aprendizagem ___________________________________________16 XV. Resumo do Módulo ____________________________________________________53 XIV. Avaliação Sumativa ___________________________________________________54 XVII. Referências _________________________________________________________55 XVIII. Resultados do Estudante ______________________________________________56 XIX. Principal Autor do Módulo _______________________________________________57 XX. Estrutura do Ficheiro ___________________________________________________58

I. Matemática 2, Teoria de Números

Por Paul Cheqe, Amoud University

II. Cursos ou Conhecimentos Prévios

Matemática Básica

III. Tempo

120 horas

IV. Materiais

Livro de Estudos online ou em Disco Compacto; ficheiros de actividades em

ICT online ou em Disco Compacto, Referências online, materiais de auto-avaliação, software distribuido gratuitamente.

V. Importância do Módulo

“Teoria de Números” é um Módulo essencial na ajuda aos professores na percepção e interpretação das propriedades dos números. É o pano de fundo para muitas

demonstrações e para muitas soluções de diversas equações matemáticas. É a espinha dorsal e a principal teoria inerentes ao ensino da matemática no nível secundário e é um elemento importante pelo qual se constroem e efectuam os estudos de matemática no nível superior.

VI. Visão geral do Módulo

O Módulo “Teoria de Números” consiste em duas unidades para as quais o formando deve aplicar conhecimentos de Matemática Básica.

A primeira unidade trata das propriedades dos números inteiros e de equações diofantinas lineares. Sucessivamente são tratadas as propriedades dos números inteiros, tais como, divisibilidade com resto, números primos e a sua distribuição, a demonstração de Euclides, que defende a existência de um número infinito de números primos, o algoritmo de Euclides e a aplicação desse algoritmo na resolução de equações diofantinas lineares.

aplicado para potências de expoente maior que dois, e da demonstração deste Teorema por Wiles.

A segunda unidade pressupõe o domínio, pelos formandos, da primeira unidade. A segunda unidade introduz o corpo dos números inteiros: módulo p, quadrados e resíduos quadráticos, o critério de Euler, o símbolo de Legrendre, o Lema de Gauss e a Lei de Reciprocidade Quadrática, o algoritmo de Euclides e a unicidade de factorização para os números inteiros de Gauss, a aritmética de corpos quadráticos e a sua aplicação nas equações diofantinas. Finalmente é tratado o Último Teorema de Fermat aplicado para potências de expoente três, a equação de Pell e as unidades em anéis de números inteiros em corpos quadráticos reais.

6.1 Plano de Estudos

Unidade 1: Propriedades de números inteiros e equações diofantinas lineares

Nível 1, Prioridade B, que pressupõe o domínio pelo estudante da Matemática Básica 2. Nesta unidade há a destacar:

Propriedades de números inteiros; Divisibilidade com resto; Números primos e a sua distribuição; A demonstração de Euclides, segundo a qual há um número infinito de números primos; O algoritmo de Euclides; Consequências, classes de restos e os

números inteiros de módulo n; O caso do n primo; Raízes primitivas e índices; A utilização do algoritmo de Euclides para a resolução de equações diofantinas lineares; Ternos pitagóricos e o Último Teorema de Fermat aplicado para potências de expoentes maiores que dois.

Unidade 2: Teoria de congruências e corpos quadráticos.

Nível 2, Prioridade B, que pressupõe o domínio pelo estudante da Teoria de Números 1. Nesta unidade destacam-se os seguintes conteúdos:

O corpo dos números inteiros módulo p; Quadrados e resíduos quadráticos; O critério de Euler; O símbolo de Legendre; O Lema de Gauss e a Lei de Reciprociade Quadrática; Corpos quadráticos; Norma e traço; O algoritmo de Euclides e unicidade de factorização para números inteiros de Gauss; Aritmética de corpos quadráticos e a sua aplicação nas equações diofantinas; O Último Teorema de Fermat aplicado para potências de expoente três; A equação de Pell e unidades em anéis de números inteiros em corpos quadráticos reais.

6.2 Organização Gráfica

VII. Objectivo Geral

Fornecer conhecimentos sobre as propriedades necessárias dos números e sobre as relações entre eles, para permitir o ensino eficaz da matemática no nível secundário.

VIII. Objectivos Específicos de Aprendizagem

(Objectivos de Instrução)

Unidade 1:

No fim desta unidade, os formandos devem ser capazes de:

- Demonstrar conhecimentos e habilidades inerentes aos conceitos básicos relacionados com as propriedades de números;

- Dominar os aspectos atinentes às relações entre os números e os padrões desses números;

- Ilustrar as propriedades dos números inteiros e da divisibilidade com restos;

- Calcular o maior divisor comum e o menor múltiplo comum por meio da factorização; - Calcular o maior divisor comum usando o algoritmo de Euclides;

- Ilustrar as propriedades dos números primos e a sua distribuição;

- Aplicar a demonstração de Euclides quanto à existência de um número infinito de números primos;

- Calcular números inteiros módulo n, em casos de n ser um número primo, raízes e índices primitivos;

- Aplicar o algoritmo de Euclides para resolver equações diofantinas lineares; - Ilustrar ternos pitagóricos e o Último Teorema de Fermat;

- Analisar ternos pitagóricos e o Último Teorema de Fermat; Unidade 2:

No fim desta unidade, os formandos devem ser capazes de:

- Ilustrar o corpo de números inteiros módulo p, quadrados e resíduos quadráticos; - Saber dar o perfil do critério de Euler;

- Usar o símbolo de Legendre, o Lema de Gauss e a Lei de Reciprocidade Quadrática; - Calcular caracteres quadráticos por meio da Lei de Reciprocidade Quadrática;

- Definir Normas;

- Aplicar o algoritmo de Euclides na factorização dos números inteiros de Gauss; - Explorar a aritmética de corpos quadráticos e aplicá-la na resolução de equações diofantinas;

IX. Teste Diagnóstico

Título do Teste Diagnóstico: Revisão de Matemática Básica

9.1 Importância do teste Diagnóstico

A Matemática Básica é o conhecimento básico para Teoria de Números, pelo que é necessário o seu domínio.

Questões

1. Encontre o valor de x in 2(2x + 2)= 64 a) 3 b) 5 c) 1 d) 2

2. Resolva o sistema de equações 3x + 2y = 22 x + y = 9 a) 7, 2 b) 1, 8 c) 4, 5 d) 6, 2 3. Resolva a equação quadrática x2– 3x – 10 = 0

a) -5, 2 b) 5, -2 c) -5, -2 d) 5, 2 4. Encontre a função inversa à dada: g(x) = 2x – 3 a) g-1_{(x) = Error!}

b) g-1_{(x) = Error!}

c) g-1_{(x) = Error!}

d) g-1_{(x) = Error!}

5. Encontre o maior divisor comum de 986 e 289 a) 17 b) 58 c) 9 d) 3 6. Resolva a equação Error! = Error!  Error!

a) Não tem solução b) 4 c) 2 d) 3 7. Elabore (2 – í)(4 + 3 í)

8. Encontre Error!

a) 6 b) 26 c) 84 d) 96 9. Evaluate8C2

a) 20 b) 28 c) 16 d) 4

10. O terceiro termo de uma progressão geométrica é igual a 1 e o quinto termo é igual a 16 Encontre o sétimo termo

a) 4 b) 128 c) 256 d) 4096 11. Seja s= ut + ½ at². Calcule s se u = –3, a = 10 e t = 5 a) 30 b) 60 c) 110 d) 140

12. Dada a expressão y = x2_{+ 5x – 14, encontre o vértice.}

a) -2, 7 b) -7, 2 c) -2½, 14 1/8 d) -2½, -20 1/4 13. Ao factorizar 36j – 48 transforma-se em:

a) 12(3j – 4) b) 12(24j – 36) c) 9(4j – 7) d) 8(4j – 6) 14. A solução de Error! - 11 = - 2 é igual a

a) 56 b) 64 c) 72 d) 96

15. Ao resolver a equação 6(7+y) - 2(5y-1) = 12(3y+5) - 16(y-5) a resposta será a) -2 b) -4 c) -3 d) 2

16. Um pau de 20 cm é o mais comprido que cabe numa lata cilíndrica de raio igual a 6 cm. A altura da lata em centímetros é mais próximo de:

a) 8 b) 15 c) 16 d) 9 17. Dada a expressão y = - x² + 2x + 8, encontre os zeros. a) - 2, 4 b) 2, - 4 c) 2, 4 d) -2, - 4 18. 73 cm 67 cm 65 cm I Q R

O valor do ângulo  RIQ é igual a

a) 0,57

b) 55,1  c) 43 d) 67,2

19. Seja dada a sucessão7, 16, 25, 34, …. ……… O termo de índice 56 é igual a a) 495 b) 640 c) 55 d) 502

20. Cada ângulo interior de um polígono regular é igual a 1400_{. Quantos lados tem este} polígono? a) 5 b) 9 c) 11 d) 7

9.2 Chave de Respostas

9.3 Comentários Pedagógicos para os Formandos

O perfil com que entra o formando é que determina o sucesso na percepção do Módulo “Teoria dos Números”.

“Teoria de Números” é um ramo de matemática abstracta que usa muitas notações matemáticas, por isso, este Módulo está construido na base da Matemática Básica.

O teste diagnóstico é um instrumento para avaliar as habilidades do formando em Matemática Básica, pois este indica o nível de preparação do estudante na área. Assim, os estudantes devem rever os conteúdos de Matemática Básica caso não consigam ter um bom resultado no referido teste, bem como para consolidar os seus conhecimentos nesta área.

X. Conceitos Chave

(Pequeno Dicionário)

1. ALGORITMO:

Um algoritmo é um procedimento de resolução de um problema num número finito de passos 2. NÚMERO INTEIRO:

Números inteiros são os elementos do conjunto { …-3, -2, -1, 0, 1,2,3,…} 3. NÚMEROS PRIMOS:

Um número primo é um número que tem apenas dois divisores: 1 e si próprio. 4. NÚMEROS PARES:

Números pares são números inteiros que são divisíveis por 2, sem resto. 5. NÚMEROS ÍMPARES:

Números ímpares são números inteiros que ficam com resto se forem divididos por 2. 6. ALGORÍTMO DE EUCLIDES:

É um procedimento sistemático para encontrar o maior divisor comum de dois números inteiros. Euclides era um matemático Grego ( 400 antes de Cristo) que desenvolveu o algoritmo

7. UMA EQUAÇÃO DIOFANTINA:

É uma equação polinomial com coeficientes inteiros onde só são admitidas soluções inteiras. Por exemplo mx = k, onde m e k são números inteiros e m 0, é uma equação diofantina linear de grau 1. ( As Equações diofantinas são assim chamadas em honra ao matemático grego Diofantos do 3 século depois de Cristo)

8. LEMA, TEOREMA, COROLÁRIO: Significa uma “afirmação verdadeira”. 9. UM NÚMERO INTEIRO DE GAUSS:

É um número complexo cujas partes real e imaginária são ambas números inteiros, ou seja, a + b onde a e b são números inteiros.

10. A NORMA DE UM NÚMERO INTEIRO DE GAUSS: É o número natural definido por N(a + b) = a² + b²

11. O MÓDULO DE UM NÚMERO INTEIRO DE GAUSS: É simplesmente o seu módulo complexo | a + b | = a2 _{+ b}2 12. O CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO: O conjugado de ( a + b ) é ( a – b)

XI. Leituras Obrigatórias

Leitura nº 1 - Wolfram MathWorld ( visto no dia 03.11.06)

Resumo: Esta referência fornece o material de leitura necessário para aprender o básico sobre a Teoria de Números, mas recomenda-se aos estudantes o controlo e seguimento das

demonstrações de Lemas com uma apurada e crítica atenção. Além disso, a referência fornece ilustrações que capacitam o estudante em metodologias variadas de abordagem.

Importância: A referência capacita os estudantes em análise da teoria de números, para além de apresentar abordagens abstractas que muitos estudantes não conseguem visualisar. Ao longo da leitura, o estudante tem acesso às inferências técnicas para Lemas, Corolários, Teoremas e Proposições que são usados nas demonstrações.

Leitura nº 2 - Wikipédia (visto no dia 03.11.06)

Referência completa : http://en.wikipedia.org/wiki/Number_Theory

Resumo: A Wikipédia devia ser a fonte de referência mais próxima para a Teoria de Números. É uma fonte importante à qual todos os estudantes têm que aceder para perceber a matemática abstracta. Além disso, a fonte fornece ao estudante argumentos que desafiaram matemáticos durante séculos.

Importância: A fonte fornece definições, explicações, e exemplos que estudantes não podem encontrar em outras fontes. O facto é que a wikipédia é frequentemente actualizada, fornecendo, assim, ao estudante as últimas abordagens, argumentos abstractos, ilustrações e referências a outras fontes para o estudante poder conseguir outras abordagens em teoria de números.

Leitura nº 3 - MacTutor History of Mathematics (visto no dia 03.11.06)

Referência completa : http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/Indexes/Number_ Theory.html

Resumo: MacTutor é uma referência chave a ser lida se se tiver interesse ou quiser conhecer a história da Teoria de Números.

Esta fonte relata como os teoremas, proposições, corolários e lemas preocuparam os

matemáticos durante séculos. O último teorema de Fermat é uma boa ilustração de conceitos básicos e fáceis de se perceber. Porém, a demonstração do teorema trouxe grandes dificuldades aos matemáticos durante mais de 300 anos, desde o ano 1637 até ao ano 1995.

Importância: A história da matemática como abordada em MacTutor não só fornece aspectos históricos da teoria de números mas também apresenta um desafio aos estudantes para a demonstração de teoremas, proposições, lemas e corolários que ainda não foram

demonstrados.Para o efeito, o estudante pode adoptar estratégias como indução e redução para efectuar as referidas demonstrações.

Assim, a referência apresentada é útil no fornecimento de uma variedade de abordagens matemáticas de que o estudante de teoria de números precisa para aumentar os seus conhecimentos e consolidar as noções em matemática abstracta.

XII. Recursos Obrigatórios

Recurso nº 1 - Máxima

Referência completa: Uma cópia do Programa Máxima num disco que acompanha este curso. Resumo: Os estudantes à distância são às vezes confrontados com uma matemática difícil sem poderem, por quaisquer meios, fazerem face a esse aspecto. A ausência de aulas diárias onde os estudantes estariam em contacto directo e presencial com os docentes pode criar condições para que haja deficiências no domínio dos conhecimentos se os estudantes não possuírem meios eficazes na resolução dos problemas matemáticos com que se deparam. Esta deficiência pode ser resolvida por meio do recurso que acompanha este curso: O Programa Máxima.

Importância: Máxima é um programa de software de fontes abertas que pode capacitar

estudantes para resolverem equações lineares e quadráticas, sistemas de equações, integração e derivação, para executar manipulações algébricas: factorização, simplificação,

elaboração/expansão etc.

Este recurso é obrigatório para os formandos à distância, uma vez que permite uma aprendizagem mais rápida usando as habilidades já adquiridas no ICT.

Recurso nº 2 - Graph

Referência completa : Uma cópia de Graph num disco que acompanha este curso

Resumo: É difícil desenhar gráficos de funções, especialmente de funções complicadas, e ainda mais concretamente de funções em 3 dimensões. Os formandos vão sem dúvida encontrar situações em que precisem de fazer gráficos matemáticos enquanto estudam à distância. Este curso é acompanhado por um software chamado Graph para ajudar os estudantes a fazerem gráficos. Porém, é necessário que o estudante se familiarize primeiro com o software Graph para ser capaz de usá-lo.

Importância: Graph é um software dinâmico de fontes abertas que fica acessível para os estudantes mediante o Disco Compacto dado. Este programa ajuda todos os aprendentes de matemática a fazerem o gráfico de operações deveras complicadas. O Graph é simples de usar desde que o estudante invista tempo para aprender a manipulá-lo e é útil no ensino da

matemática no nível secundário bem como para outras disciplinas ligadas a esta área, pelo que, os estudantes deviam procurar dominar este software.

XIII. Conexões úteis

Conexão útil nº 1

Título : Fermat’s Last Theorem (Último Teorema de Fermat)

URL : http:www. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk~history/HistTopics/Fermat’s last theorem.html

Descrição: O último teorema de Fermat advoga que para nenhum dos três números inteiros x,y e z maiores que zero é verdade que x3 _{+ y}3 _{= z}3_{. Apesar desta aparente simplicidade, a}

demonstração deste Teorema criou grandes dificuldades para os matemáticos durante trezentos anos, de 1637 até 1995. Porque é que uma equação cúbica simples de executar e perceber criou dificuldades aos matemáticos? Encontre a resposta no website.

Importância: Ternos pitagóricos foram usados desde os tempos antigos dos Babilónios e

Egípcios na indústria de construção. O matemático Pitágoras documentou a teoria com base nos ternos pitagóricos. Porém, ele não investigou as equações cúbicas, assunto este que tanto complicou a vida dos matemáticos depois da Proposição de Fermat. A história por detrás desta teoria é fascinante para a mente de um matemático e é um dever para os estudantes de Teoria de Números ler esta história.

Conexão útil nº 2

URL : http:www. http://en.wikipedia.org/wiki/Number_Theory

Descrição: Wikipedia é o dicionário para qualquer matemático. É um site de fontes abertas que é actualizado frequentemente. A maioria dos estudantes de Teoria de Números por vezes se deparará com a ausência de fontes bibliográficas, uma vez que a maioria dos livros disponíveis sobre Teoria de Números englobam apenas partes ou secções do Módulo de Teoria de Números. Esta falta de materiais de referência pode ser colmatada pelo uso de Wikipedia. O acesso é facilitado pelo “Google search”.

Importância: Dada a fácil acessibilidade ao Wikipedia, o problema de ausência de bibliografia básica para a aprendizagem em matemática e seus ramos pode ser minimizado, mas o estudante deve dominar esta ferramenta para que realmente lhe seja útil na aprendizagem.

É um recurso gratuito muito útil que não só resolve os problemas do estudante em eceder a materiais de referência mas também dirige os estudantes para websites relacionados, através do “clique” em ícones dados. Mais uma evidência da utilidade deste recurso.

Conexão útil nº 3

URL : http://www.bbc.co.uk/education/asguru/maths/13pure/01proof/01proof/ 05induction/index.shtml

Descrição: Mathsguru é um website que ajuda os estudantes a perceberem os diferentes ramos do Módulo da Teoria de Números.

Este site pode ser facilmente acedido por meio da Procura Google e fornece informação pormenorizada sobre as várias questões sobre a teoria de números.

O site oferece explicações e exemplos que estudantes podem entender facilmente.

Importância: Mathsguru fornece caminhos alternativos para assuntos relacionados com o módulo em estudo, fornece sugestões e soluções que podem ser bastante úteis para os estudantes que não consigam obter livros capazes de apoiá-los na resolução dos problemas com os quais se possam deparar ao longo da formação.

O site faz uma abordagem que ajuda nos cálculos associados à teoria de números, bem como sobre os diferentes ramos do Módulo de Teoria de Números.

Conexão útil nº 4

Título : Mathworld Wolfram

URL : http:www. http://mathworld.wolfram.com/NumberTheory.html

Descrição: Mathworld Wolfram é um website de distinção cheio de soluções para a teoria de números. O site fornece tanto os corolários, lemas, bem como as proposições e as suas demonstrações.

O acesso é fácil para os estudantes por meio da Procura Google e assim é fácil também aceder à referência dada. Wolfram conduz os estudantes também para outros websites que abordam os mesmos assuntos para melhorar a percepção dos estudantes.

Importância: Wolfram é um site útil com uma aboradagem profunda sobre os novos desafios e as novas metodologias inerentes à teoria de números. O site é igualmente útil na modelagem

matemática e é altamente recomendado para estudantes que queiram estudar teoria de números e/ou outros ramos da matemática.

O site permite a conexão a outros websites e deste modo fornece aos estudantes informação de que eles precisam para melhor perceberem a teoria de números.

Conexão útil nº 5

Título : Proof of Fermat’s last Theorem by Wiles (A demonstração do Último Teorema de Fermat por Andrew Wiles)

URL : http:www. http://www.pbs.org/wgbh/nova/proof/wiles.html

Descrição: O último teorema de Fermat preocupou os matemáticos durante mais que trezentos anos, de 1637 até 1995, quando Professor Wiles conseguiu demonstrá-lo.

O site relata os passos dados até ao último teorema de Fermat, teorema este que muitos

matemáticos do mundo tentaram formular sem êxito. O próprio Wiles tentou, várias vezes e sem sucesso, chegar às conclusões inerentes ao teorema, cujas bases surgiram das dificuldades que ele encontrou enquanto aluno do ensino primário. Em 1995, Wiles, entretanto Professor de Matemática, conseguiu realizar o seu sonho de infância: demonstar o último teorema de Fermat. Importância: O website dá luz às dificuldades intrigantes atinentes à tentativa de demostração de proposições matemáticas e abre portas para outras proposições ainda não abordadas que qualquer estudante pode tentar demonstrar e assim contribuir para o mundo sempre desafiante da matemática. É importante que os estudantes saibam que “nem toda a Matemática” já foi descoberta e, por isso mesmo, eles próprios têm espaço para melhorar a Matemática

demonstrando as proposições matemáticas cujas demonstrações estão pendentes desde há muitos anos.

XIV. Actividades de aprendizagem

Actividade nº 1

Título: Unidade 1 (60 Horas): Propriedades do Números Inteiros e

Equações Lineares Diofantinas

Resumo da Unidade 1 (Actividades Múltiplas)

A abordagem usada neste Módulo consiste na ligação entre as situações do quotidiano e a Teoria de Números. Devido à natureza abstracta da Teoria de Números, nos materiais referência, há uma abordagem teórico-prática dos lemas, teoremas, havendo também, nos referidos materiais, demonstrações. Os

estudantes podem ser convidados a instalar programas simples de computador para executar cálculos baseados no pensamento matemático e nas fórmulas. Não é necessário que estudantes já tenham habilidades de trabalho com computadores para executarem as actividades.

Embora os teoremas já tenham sido enunciados, é necessária a apresentação de demonstrações, tais que podem ser encontradas nos materiais de referência ou encontradas em actividades de trabalho em grupo. É de se salientar que este Módulo trata de matemática abstracta, pelo que, as actividades do Módulo são organizadas à volta dos aspectos ligados ao cálculo na teoria de números, aos teoremas, aos lemas, às proposições, aos corolários e às demonstrações desses.

Textos de leitura

Todos os textos de leitura para o Módulo vêm de livros de textos de Fontes Abertas, isso significa que os autores disponibilizaram esses livros para acesso livre (sem qualquer pagamento), e nós fornecemos cópias completas desses textos no CD que acompanha este curso. Haverá, quando se justificar, referência a secções específicas desses livros neste guião de estudos:

1. Elementary Number Theory, By W. Edwin Clark, University of South Florida, 2003. (File name on CD: Elem_number_theory_Clarke)

2. Elementary Number Theory, By William Stein, Harvard University, 2005 (File name on CD: Number_Theory_Stein)

3. MIT Open Courseware, Theory of Numbers, Spring 2003, Prof. Martin Olsson (Folder name on CD: MIT_Theory_of_Numbers)

Recursos na Internet

Esses recursos são gerais e são aplicáveis ao Módulo completo. Eles dão oportunidades para leituras adicionais e para estudos relacionados aos assuntos do curso. Os recursos específicos da internet a serem usados neste módulo, serão pormenorizadamente apresentados na secção apropriada deste guião de estudos.

Requisitos para o curso

Supõe-se, neste Módulo, que os estudantes estejam familiarizados com números e operações ligados à Matemática Básica.

Supõe-se que o estudante conheça as seguintes propriedades dos números: 1) Leis de comutatitividade: p + q = q + r e pq = qp 2) Leis de associatividade: p + (q + r) = (p + q) + r = p + q + r 3) Leis de expoentes: a) am_an_{= a}m + n b) am_an_{= a}m  n c) (am₎n _{= a}mn _{se m e n são diferentes de 0.} d) Error! = a-m e) a0_{=1 se a0} f) a-n _{= Error!} g) aError! = Error! se n0. h) aError! = Error! se n0. i) am_bm _=(ab)m j) Error!= Error!





4) O valor absoluto ou o módulo |p| do número real p é igual a: |p| = p se p é positivo e |p| = p se p é negativo .

A função módulo dá o valor numérico do “input”. Essa função transforma números negativos em números positivos e é escrita como: y = |x| , o que se pronuncia como: “y é igual ao módulo de x”.

Exemplo:

Forneça o valor de |7 - x| se x = 15.

Solução: Se x =15 então teremos |7 -15| = |-8| = 8.

5) Para a solução de equações quadráticas é preciso que o estudante seja capaz de resolver sistemas de equações lineares e quadráticas por meio de um método algébrico.

Avaliação formativa 1

Exercício sobre expoentes

Resolva as seguintes equações de incógnita x: 1. 4x+2_{= 8}2x 2. 22x+1_{- 5(2}x_{) +2 = 0} 3. logx(6) = ½ Calcule: 4. Error! 5. log10(0,001) Respostas 1. x=1 2. x=1, x = -1 3. x=36 4. Error! 5. x= -3 Notas

1) Se p for divisível por q, escrevemos p q. Se pnão for divisível por q, escrevemos p |;/ q 2) significa “para todos”, “para qualquer”

3)  significa “tal que”

4) sse significa “ se e somente se” 5) significa “é elemento de”

6) ℤ significa “o conjunto dos números inteiros” 7) significa “ implica “

8) significa “existe”, “há” 9) significa “ é equivalente a” 10)  significa “ não é elemento de“

Sejam p,q e r números inteiros. Então: a) (p|q  p>0  q>0) p q b) p|q  p|qr ,  r ℤ c) (p|q  p|r) p|(qx + ry) , x,y ℤ d) (p|q  q|p) p = ± q e) (p|q  q|r) p|r

Demonstrações matemáticas: por Indução e por Redução

O Módulo de Teoria de Números usa frequentemente a indução matemática e demonstrações indirectas, ou seja, demonstrações de redução.

Exemplo 1: Demonstração por Indução

Demonstre por indução matemática que 1 + 2 + ……… + m = Error! Demonstração:

Passo 1: Técnica de Indução

Demonstrar por indução matemática significa verificar se a proposição é válida em caso de m ser igual a 1, e depois supõe-se que a proposição seja válida em caso de m ser igual a k e verifica-se se a proposição também será válida em caso de m ser igual a k+1. Se a resposta nestas duas verificações for positiva, então a proposição é válida para todos os valores inteiros positivos 1,2,3,4,... de m.

Passo 2: Faça a substituição de m = 1 na igualdade: 1= Error!, é verdade!

Passo 3: Suponha que a fórmula seja válida se m= k 1 + 2 + …… + k = Error!

Passo 4: Mostre agora que a fórmula é válida se m = k+1: Mostre que 1 + 2 + …… + k + (k+1) = Error!.

Escreve-se:

1 + 2 + ……+ k + (k+1) = Error! + (k+1) (segundo o Passo 3)

= Error! = Error! (factorização) = Error! = Error! [ C.Q.D.] Exemplo 2:

Demonstre usando a indução que para qualquer número inteiro positivo n é verdade que:

1² +2² + 3² + 4² +…………. + n² = Error! Passo 1: Técnica de Indução

Demonstrar por indução matemática significa verificar se a proposição é válida no caso em que n é igual a 1, e depois supõe-se que a proposição seja válida no caso em que n é igual a k e verifica-se se a proposição também será sempre válida no caso em que n é igual a k+1. Se a resposta nestas duas verificações for positiva, então a proposição é válida para todos os valores inteiros positivos 1,2,3,4,... de n.

Passo 2: Faça a substituição n = 1 na igualdade: 1= Error! , é verdade!

Passo 3: Suponha que a fórmula seja válida se n = k: 1² + 2² + 3² + 42 _{+ …+ k}2 _{= Error!}

Passo 4: Mostre agora que a fórmula também será válida se n= k+1. 1² + 2² + 3² + 4² +……k2 _{+ ( k + 1)² = Error!}

Escreve-se 1² +2² + 3² + 4² +…… k2 _{+ (k + 1)² =} (1² + 2² + 3² + 4² +... + k²) +(k + 1)² = Error!+ (k+1) (passo 2) 2 = Error! = Error!(factorização) = Error! = Error! (factorização) [DEMONSTRADO] A demonstração foi feita por indução matemática.

Leia: Demonstrações de Indução Matemática

1. Elementary Number Theory

By W. Edwin Clark, 2003, pag. 2-7

Recurso na internet

http://www.bbc.co.uk/education/asguru/maths/13pure/01proof/05induction/index. shtml

Leia as duas páginas sobre demonstração por indução neste website.

Avaliação Formativa 2

Exercício de demonstração por Indução

1. Demonstre que 1 + 2 + 22 _{+……. + 2}n_{= 2}n+1_{– 1 for n ≥ 1.}

2. Demonstre que 1 + 3 + 5 + 7 +… + (2n – 1) =n2

3. Demonstre que a + ar + ar2+…+ arn= Error! para qualquer número inteiro positivo n

4. Demonstre que 14 _{+ 2}4 _{+ 3}4 _{+ 4}4 _{+ ... + n}4 _{= Error!}

5. Demonstre que n < 2n _{qualquer que seja o número inteiro positivo} n_.

6. Demonstre que (ab)n _{= a}n_bn _.

Números Pares e Ímpares

Actividade sobre números pares e ímpares

Caso 1

O que é que percebe de números pares e ímpares?

Forneça uma maneira simples para distinguir números pares de ímpares. Quantos meses no ano têm um número ímpar de dias?

Quantos anos pares existiam entre 1960 e 2010?

Resposta

Números divisíveis por 2 são chamados pares e números que não são divisíveis por 2 são chamados ímpares.

INÍCIO LEIA O NÚM ERO INTEIRO N CALCULE M = (N/2)x2 SEM OLHAR PARA O RESTO M = N ? CASO SIM ESCREVA "N É PAR" CASO NÃO ESCREVA "N É ÍM PAR" PARAR

Procedimento:

1. Introduza um número inteiro N 2. Calcule M como foi indicado

3. Faça a decisão se N é par ou ímpar.

A actividade é uma representação por cartão de corrente para distinguir números pares de ímpares.

Faça uma tabela dos seus resultados: Número N Par Ímpar

Avaliação Formativa 3

Modifica o cartão de corrente para testar se um número é ou não divisível por 3.

Resposta

Mude a frase M=N/2*2 em M=N/3*3. Também é preciso mudar as frases entre aspas para escrever as mensagens apropriadas.

Reflexão

1. Como futuro professor, como ensinaria expoentes e números inteiros para que esses reflictam situações da vida real? Pense em abordagens práticas de ensino de números inteiros que envolvam experiências diárias do aluno. 2. Rectas graduadas são usadas para ensinar cálculo com números inteiros positivos e negativos. Como é que um

professor pode usar a recta graduada sem perder o significado real das operações básicas da divisão, adição subtracção e multiplicação e a forma como essas são relacionadas com a vida real? Por exemplo, 22 = 4

Divisor

Um divisor de um número inteiro n, também chamado factor de n, é um número inteiro que divide n igualmente, sem deixar um resto.

Exemplo:

7 é um divisor de 35 porque 35:7 = 5. Diz-se também que 35 é divisível por 7 ou 35 é um múltiplo de 7 ou sete divide 35 e escreve-se 7|35.

Em geral, diz-se m|n (leia: m divide n) para números inteiros diferentes de zero, se existir um número inteiro k tal que n = km .

Portanto, divisores podem ser negativos tal como positivos. Por exemplo, os divisores de 6 são 1,2,3,6,-1,-2,- 3,-6 mas geralmente mencionam-se apenas os divisores positivos 1,2,3 e 6. 1 e –1 são divisores de cada número inteiro; cada número inteiro é um divisor de si mesmo e cada número inteiro é divisor de 0 .

Um divisor de n que não seja igual a 1,-1, n ou –n é chamado divisor não trivial; os números inteiros que têm divisores não triviais são chamados números compostos e os números primos têm apenas divisores triviais.

Se a : b = c, então a é o dividendo, b é o divisor e c é o quociente.

O Resto para números naturais.

Se a e d são números naturais, com d diferente de zero, é possível mostrar que existem números inteiros únicos q e r tal que a = qd + r enquanto 0 ≤ r < d.

O número q é chamado quociente, enquanto r é chamado resto.

Exemplo:

1) Ao dividir 17 por 10, 1 é o quociente e 7 é o resto porque 17 = 1 × 10 + 7.

2) 22 ; 4 ;-20 ;5;2; 5 é o quociente e 2 é o resto. 3) Ao dividir 42 por 7, 6 é o quociente e 0 é o resto, porque

42 = 7 × 6 + 0.

O caso de números inteiros em geral.

Se a e d são números inteiros, e d é diferente de 0, então um resto é um número inteiro r tal que exista um número inteiro q e a=qd + r enquanto 0 |r| < |d|

Com esta definição, há dois possíveis restos:

Exemplo:

A divisão de – 37 por 5 pode ser expressa como –37 = 8 × (-5) +3 ou –37 = 7 × (-5)+(-2). Portanto, o resto será 3 ou –2.

Observação: Ao dividir por d, se o resto positivo for r1, e o resto negativo r2, então r1 = r2 + d.

A operação “módulo”.

A operação módulo encontra o resto de uma divisão de um número por um outro.

Dados dois números a e n, a módulo n { abreviado a mod n} é o resto quando se dividir a por n. Por exemplo, 10 mod 3 é igual a 1 e 12 mod 3 é igual a 0, ou seja, 1 e 0 são os restos depois da divisão.

Divisibilidade

Definição: Um número inteiro p é divisível por um número inteiro qsse existir um número inteiro r tal que  p = q × r

O Teorema de Divisão

Sejam m e n números inteiros e seja n  0.

Existe exactamente um único número inteiro q e um único número inteiro r tal que 0 ≤ r < |n| e  m = qn + r. Os números inteiros a) m é chamado dividendo b) q é chamado quociente c) n é chamado divisor d) r é chamado resto Caso 1

Divide-se um terreno de 11 ha entre 5 pessoas. Qual é a parcela que cada pessoa obtém? Cada pessoa obtém um número inteiro e uma fracção.

Neste caso, determine o dividendo(a), o quociente(q), o divisor(b) e o resto(r).

Exemplos:

Sejam m e n números inteiros, e n0. Existe um único número inteiro q e um único número inteiro r tal que 0 ≤ r < |n| e  m = qn + r.

Os inteiros n q r m = qn + r m é chamado dividendo 2 7 1 m = 7(2) + 1 q é chamado quociente 5 6 3 m = 5(6) + 3 n é chamado divisor 9 5 8 m = 9(5) + 8

Avaliação Formativa 4

TAREFA: Determinação de factores 1.Preencha esta tabela

m n Q r Solução 7 2 7 3 7 3 7 3 Definição:

Um número natural que divide um outro número natural, num número exacto de vezes é chamado um factor.

Exemplos:

Factores de 24 são 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24. Factores de 15 são 1, 3, 5 e 15.

Avaliação Formativa 5

Exercício sobre factores

Quais são os factores de: 1. 20 2. 28 3. 36 4. 120 5. 169 6. 180 Múltiplos comuns

Um número inteiro que é divisível pelos números inteiros p e q é chamado múltiplo comum de p e q. Os múltiplos comuns de 2 e 3 são 0, 6, 12, 18, 24,…. E os múltiplos comuns de 4 e 5 são 0,20,40,60,...

Avaliação Formativa 6

Exercício sobre Múltiplos Comuns

Faça uma lista dos primeiros 8 múltiplos de:

1). 3 2). 7 3). 11 4). 23 5). 61 6). 138 Menor Múltiplo Comum (m.m.c.)

Uma estória no mercado.

A Dona Safia vai fazer compras no centro comercial mais próximo à sua casa. Nas lojas desse centro, têm-se medido as quantidades por meio de latas.

Ela passa por três lojas e em cada loja usa-se um diferente tipo de lata. A Loja A usa latas de dois litros, a loja B usa latas de 4 litros e a loja C usa latas de 5 litros.

Ela precisa de levar consigo um cesto para as suas compras tal que entre um número inteiro de latas, qualquer que seja a loja onde vá fazer compras. Qual é o volume mínimo do cesto?

Definição

O menor múltiplo comum de p e q é definido como o menor número inteiro positivo que é divisível por p e q. Pode-se notar o m.m.c. de p e q como [p, q].

Exemplos: [4, 9] = 36  [-3, 4] = 12  [7, 8] = 56

Cálculo do m.m.c. usando factores primos

Exemplo: Determine o m.m.c. de 16, 24 e 840.

Passo 1: Decomponha cada número em factores primos: 16 = 24

24 = 23_3

840= 23 _{3 5 7}

Passo 2: Escolha o expoente maior para as potências de qualquer factor primo que aparece. Não é necessário que esses factores sejam comuns. Por exemplo, os expoentes maiores que

Exercício do cálculo do m.m.c. Encontre o m.m.c. de 1. 18, 20 e 24 2. 30, 45 e 50 3. 252, 990 e 3150 4. 450, 2100 e 990

Divisores comuns

Um número inteiro p é divisor comum de q e r se p|q e p|r.

Maior Divisor Comum

Sejam dados os três números 20,24, e 28. Qual é o maior número inteiro que pode dividir cada um desses números? Como é que se pode calcular esse número?

Definição:

Cada dois números inteiros p e q têm pelo menos um divisor positivo em comum, chamado divisor comum. Se pelo menos um dos números inteiros p e q é diferente de zero, então existe um maior número inteiro d que divide p e q. Este número inteiro d é chamado maior divisor comum (m.d.c.) de p e q e tem-se: m.d.c.(p,q)= d. Exemplos: m.d.c.(6,12) = 3 m.d.c.(0,18) = (0,-18)=18 m.d.c.(9, 27) = 9 m.d.c.(14, 28) = 7

Cálculo do m.d.c. usando factores primos

Exemplo:

Determine o m.d.c. de 60, 100 e 840. Passo 1:

Decomponha cada número em factores primos 60 = 2² × 3 × 5

100= 2² × 5²

Passo 2:

Procure a potência comum de maior expoente para cada factor primo comum. O produto dessas potências maiores é o m.d.c.

Por exemplo, os factores primos comuns são 2 e 5. As potências comuns de expoente maior de 2 e 5 são 2² e 51_{. O seu produto é 2}2 _{ 5}1 _{= 20 será o m.d.c. de 60,100 e 840.}

Avaliação Formativa 7

1. Elementary Number Theory, por Stein, October 2005, páginas 5 -7

2. Greatest Common Divisor MIT: Units 1 & 2 Apontamentos, ambos, páginas 1-2 3. Elementary Number Theory, por W. Edwin Clark, página 10 -14

Avaliação Formativa 8

Exercício de demonstração de corolários:

1. Para qualquer número inteiro m > 0 é verdade que mmdc(b,c)= mdc(mb,mc) 2. If d|a, d|b, d > 0,then mdc(Error!,Error!) = Error!mdc(a,b)

Demonstre as seguintes Proposições:

1. Se mdc(a,m)= mdc(b,m)= 1 então mdc(ab,m)=1 2. Se c|ab e mdc(b,c) =1 então c|a

Reflexão

1. Pense em exemplos práticos aplicáveias ao ensino de m.d.c. e m.m.c., que alunos possam rapidamente identificar como partes da vida diária deles.

2. A boa prática do ensino ajuda o aluno a integrar a teoria à prática. Como é que o professor pode integrar as noções e operações m.d.c. e m.m.c. na “matemática doméstica” de medições em casa?

O algoritmo de Euclides

O algoritmo de Euclides é um algoritmo para determinar o maior divisor comum (m.d.c.) de dois números inteiros numa sequência de divisões com resto, começando pelos dois números dados.

Descrição do algoritmo

Sejam dados os números naturais m e n. Verifique primeiro se n = 0. No caso afirmativo, m é o m.d.c.

Se não, repita o processo, agora com n e o resto depois da divisão com resto de m por n. (O resto escreve-se como m mod n)

Teorema: Algoritmo de Euclides Há duas possibilidades:

Oum é um múltiplo de n ou existe um número inteiro positivo k e números inteiros q1,q2,…,qk,

r1,r2,.rk-1( e rk = 0) tal que m= q1n + r1 (0 ≤ r1 < |n| ) n= q2r1 + r2 (0 ≤ r2 < r1) …… rk-3= qk-1rk-2+ rk-1 (0 ≤ rk-1< rk-2) rk-2= qkrk1 (0 ≤rk)

Exemplo: Calcule o m.d.c. de 1071 e 1029.

Euclides ( 400 antes de Cristo) desenvolveu um procedimento sistemático para encontrar o maior divisor comum de dois números inteiros. Este procedimento é chamado o algoritmo de Euclides. a B Expressão Explicação

1071 1029 Passo 1: Ponha o maior número à esquerda e o menor número à direita.

1071 1029 1071 = 10291 + 42 Passo 2: O resto da divisão de 1071 por 1029 é igual a 42. Este resto é posto à direita e o divisor à esquerda.

1029 42 1029 = 4224 + 21 Passo 3: Repita o passo anterior, dividindo 1029 por 42, e vai obter 21 como resto. 42 21 42 = 212 + 0 Passo 4: Volte a repetir o passo 2. Porque 42

é divisível por 21, vai obter 0 como resto e o algoritmo chegou ao seu fim.

21 0 O número 21 é o m.d.c. procurado.

Examples: Illustration of Euclid’s algorithm in computing gcd

Exemplos: Ilustração do Algoritmo de Euclides para calcular m.d.c. (Algoritmo de Divisão)

Exemplo 1 Exemplo 2 Determine o m.d.c. de 5775 e 1008 Determine o m.d.c. de 2261 e 1275 Solução. Solução. m = 5775 e n = 1008. m = 2261 e n = 1275 5775 = 5  1008 + 735 2261 = 11275 + 986 1008 = 1  735 + 273 1275= 1 986 + 289 735 = 2  273 + 189 986=3  289 +119 189 = 2  84 + 21 289=2 119+51 84 = 4  21 119=2  51+17 Portanto, o m.d.c. é igual a 21, ou 51 = 3  17 seja, 21 é o maior número inteiro que divide

5775 e também 1008.

Avaliação Formativa 9

Exercício de cálculo do m.d.c. usando o Algoritmo de Euclides

Determine em cada uma das situações abaixo, o maior divisor comum, usando o algoritmo de Euclides

1. ( 276, 336, 396, 468, 972 ) 2. ( 1387, 1292,722,836) 3. (924, 798, 1358,1827) 4. (60,84) 5. ( 190,72) Soluções: 1). 12 2). 19 3). 7 4). 12 5). 2

Avaliação Formativa 10

Tarefa: utilise o livro Elementary Number Theory por William Stein. Tente resolver a questão 2.1, do exercício 2.6 na página 38

Leituras a efectuar:

1. Elementary Number Theorem, por Stein, October 2005, páginas 8 -10 2. Euclidean Algorithm & Common Multiples MIT Unit 3, páginas 1& 2 1. Elementary Number Theory, por W. Edwin Clark, páginas 1 -33

Reflexão

Compare o Algoritmo de Euclides e os passos da Divisão Longa bem conhecida. Quais são pontos comuns, quais são as diferenças entre os dois algoritmos? Se dermos significado aos diferentes passos no Algoritmo de Euclides, esse Algoritmo vai ficar mais concreto para os aprendentes? Invente palavras apropriadas para cada passo do Algoritmo de modo a que um colega possa entender o algoritmo.

Números primos e a distribuição desses sobre os números naturais

Introdução

O conjunto dos números naturais é ℕ= {1,2,3,4,…}e

O conjunto dos números inteiros é ℤ = {……-2,-1,0,1,2…..}

Definição: Primo e Composto

Um número inteiro p > 1 é primo se p não tem divisores d tal que 1< d< p. Em outras palavras, os únicos divisores positivos de p são 1 e p. Dizemos que p é composto se p não for primo. O número 1 nem é primo nem é composto. Os primeiros números primos em ℕ são

2,3,5,7,11,13,17,23,29,31,37,42,43,47,…… e os primeiros números compostos são 4,6,8,9,10,12,14,16,18,20,21,22,24,26,27,….

Definição:

Dois números inteiros p e q são co-primos (primos entre si) se m.d.c.( p,q) = 1. Theorem

Teorema

Se p é composto, então p tem um factor primo. Exemplo:

O número composto 12 pode ser factorizado em factores primos ou seja 12 = 223, e 90 = 2  3  3  5

Fundamental Theorem of Arithmetic Teorema Principal de Aritmética

Cada número inteiro maior que 1 é primo ou pode ser escrito como produto de números primos.

Corolário:

Há equivalência entre as três afirmações abaixo:

1. a e b não têm divisores próprios comuns ou seja ( n|a  n|b)n = ± 1.

2. o m.d.c. de a e b é igual a 1, ou seja,o sub-grupo gerado por a e b é todo o conjunto ℤ. 3. Existem números inteiros m e n tal que ma + nb = 1.

Definição:

Se alguma dessas três condições for satisfeita, diz-se que a e b são

co-primos (primos entre si).

Teorema:

Demonstração:

Suponha que a e b sejam co-primos. Seja c ℤ e suponha que a|bc. Existem números inteiros m,n tal que ma+nb =1, e isso significa que mac + nbc = c. Agora, é verdade que a|mac e a|nbc. Portanto, a|(mac + nbc) e isso significa que a|c.

Theorem Teorema

Suponha que p é um número primo.

1. Se a é um número inteiro que não é um múltiplo de p, então m.d.c.(p,a) = 1. Em outras palavras, para qualquer número inteiro a é verdade que m.d.c.(p,a)=p ou m.d.c.(p,a)=1.

2. Se p|ab então p|a ou p|b.

3. Se p|a1a2…an então p divide pelo menos um desses factores ai . Portanto, se cada ai é um

primo, então p é igual a um desses factores ai. O Teorema da Factorização Única

Seja a um número inteiro diferente de 0,1 e -1. Então a pode ser factorizado num produto de números primos e com excepção da ordem, esta factorização é única. Isso significa que existe uma colecção única de números primos distintos:

p1,p2,……,pke números inteiros positivos s1,s2,….,sk

tal que a=±p1s1p2s2...pksk.

{E.H Connell, 2004} Trabalho em Grupo.

1. Analisa a demonstração do Teorema Fundamental da Aritmética e procura demonstrá-lo em testes.

Referência: Demonstração de Euclides que defende a existência de um número infinito de números primos, em Stein,2005, páginas 13 e 14

2. Qual é o maior número primo conhecido? 3. Forneça exemplos de números primos da forma a. ax + b

b. 4x -1

4. Enuncia o Teorema sobre Números Primos

Resolução de Equações Diofantinas Lineares

Definição

Uma Equação Diofantina é uma equação polinomial (por exemplo, mx = k, mx + ny = k ,etc) com coeficientes inteiros (m e n) para a qual procuram-se apenas soluções inteiras.

Equação Diofantina Linear do Primeiro Grau

É exemplo de uma equação Diofantina do Primeiro Grau, a equação de uma incógnita mx = k, onde m e k são números inteiros e m0.

A equação Diofantina linear tem uma solução inteira, x = k/m, se k for divisível por m.

Equações Diofantinas em duas variáveis

Essas são do tipo mx ny k . ( m,n e k são números inteiros e m ≠ 0,n ≠ 0 ) Esta equação tem solução se k for divisível pelo mdc (m,n).

Ts

Teoremas

1. Dados os números inteiros m 0 e n0, existem números inteiros x e y tais que x e y satisfazem a equação Diofantina mx + ny = mdc(m,n)

2. A equação Diofantina mx+ny = k, tem a solução inteira se e somente se mdc (m,n) é divisor de k.

Actividade: Resolução de equações Diofantinas

Exemplo 1: Siga bem o exemplo

Resolva a equação Diofantina 2772x + 390y = mdc(2772,390)

Solução:

Passo 1: Aplica o algoritmo de Euclides para encontrar o mdc de 2772 e 390 ==> 2772 = 7 × 390 + 42……….( i)

==> 390 = 9 × 42 + 12……….( ii ) ==> 42 = 3 × 12 + 6……….( iii) O maior divisor comum é igual a 6

Passo 2: Faça a substituição desse mdc na equação:2772x + 390y = 6.

Faça substituição na ordem contrária: primeiro( iii), depois (ii) e finalmente (i) para obter soluções dessa equação Diofantina.

 6 = 42 – 3 × 12  = 42 – 3 × ( 390 – 9 × 42) = 42 - 3(390)  = 42 + 27(42) - 3(390)  = 28(42) - 3(390)  = 28(2772 – 7× 390) – 3(390)  = 28 (2772) – 196(390) – 3(390)  = 28(2772) – 199(390) ou seja( mx + ny)  x = 28, y = -199 Exemplo 2:

Resolva a equação Diofantina 7472x + 2624y = mdc(7472, 2624)

Passo 1: Aplica o algoritmo de Euclides para encontrar o mdc de 7472 e 2624 7472 = 3 _ 2624 + 80………( i)

2624 = 30 _ 80 + 64………( ii ) 80 = 1 _ 64 + 16……….…. ( iii) O mdc é igual a 16

Passo 2: Faça a substituição do mdc na equação: 7472x + 2624y = 16

Faça a substituição na ordem contrária: primeiro em ( iii), depois (ii) e finalmente em (i) para obter soluções para a equação Diofantina

16 = 80 – 1 × 64  = 80 – 1 (2624 – 30 × 80)  = 80 - 1(2624) + 30 × 80  = (1)80 + 30(80) – 1(2624)  = 31(80) – 1(2624)  = 31(7472 – 3 × 2624) – 1(2624)  = 31(7472) – 93(2624) – 1(2624)  = 31(7472) – 94(2624)  ou seja (mx + ny)  x= 31, y = -94. Exemplo 3:

Resolva a equação Diofantina 803x + 154y = mdc(803,154)

Passo 1: Aplica o algoritmo de Euclides para encontrar o mdc de 803 e 154 803 = 5 × 154 + 33…….……… (i)

154 = 4 × 33 + 22……… (ii) 33 = 1 × 22 + 11..……….…. (iii) O maior divisor comum é igual a 11

Passo 2: Faça a substituição do mdc na equação: 803x + 154y = 11

Faça substituição na ordem contrária: primeiro em( iii), depois em (ii) e finalmente em (i) para obter soluções da equação Diofantina

11 = 33 – 1 × 22  = 33 – 1(154 – 4 × 33)  = 33 -154 + 4(33)  = 5(33) – 154  = 5(803 - 5(154)) – 154  = 5(803) – 25(154) – 154  = 5(803) - 26(154)  5(803) - 26(154) 803x + 154y  uma solução é x = 5 and y = -26

Avaliação Formativa 11

TAREFA : RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIOFANTINAS

Exercício

Resolva as equações Diofantinas

1. mx + ny = mdc(m,n) se m =5775, n= 1008. 2. 18203x – 9077y = 17 3. 32x + 14y = 22 4. 35x + 61y =1 Soluções 1. x = 11, y =-63 2. x = 17 x 742 = 12.597 y = 17 x 1486 = 25.262

3. Há várias soluções: x = -33, y = 77. A solução geral é x= -33 +7i, y = 77 –16i ( i =0, ±1, ±2, ±3,± 4,……)

4. x=7, y= -4

Avaliação Formativa 12

CONGRUÊNCIAS e NÚMEROS INTEIROS MÓDULO N

Se dois números inteiros b e c cuja diferença (b-c) é divisível por um número inteiro m { ou seja (b-c)m e m é um número inteiro}, então diz-se que b e c são “congruentes módulo m”. O número m é que nomeia o módulo, e a afirmação“b é congruente a c (módulo m)” é escrita

matematicamente como b c (mod m)

Se a diferença de b e c (b-c) não é divisível por m nos números inteiros, diz-se que “b não é congruente a c(módulo m)” e escreve-se b c (mod m)

Às vezes, a quantidade b é chamada “base”, enquanto a quantidade c é chamada “resíduo ou resto”.

( Wikipedia)

Definição: Se m 0 é um número inteiro positivo e a, b ℤ então diz-se que a é congruente a b

módulo m se m|a-b.

Nota: Na relação a b (mod m), o número inteiro m é chamado módulo.

Trabalho em Grupo : Resolução de equações Diofantinas

Encontra todas as soluções x, y de cada uma das seguintes equações Diofantinas:

1. 64x +108y = 4

2. 64x + 108y = 2

3. 64x + 108y =12

1. Na sua própria visão, quais são os passos essenciais para resolver equações Diofantinas? Qual é a melhor abordagem que um professor pode adoptar na resolução de equações Diofantinas?

2.Identifique as áreas principais que um professor precisa de destacar ao ensinar a resolução de equações Diofantinas.

Exemplos:

45 3 mod 6 ou seja m|a-b Error! = Error! 72 0 mod 12 ou seja m|a-b Error!= Error! -27 1 mod 4

A ideia de congruência e a notação a b(mod m) devem-se a Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

PROPRIEDADES DAS CONGRUÊNCIAS MÓDULO M

Se a a’(mod m) e bb’(mod m), então algumas propriedades importantes das congruências são: 1) Equivalência: a b(mod 0) a _ b.

2) Determinação: ou a b(mod m) ou a ;/ b(mod m) 3) Reflexão: a a(mod m)

4) Simetria: a b(mod m) b a(mod m)

5) Transitividade: a b (mod m)  b c(mod m) a c (mod m) 6) a+b a’+b’(mod m)

7) a-b a’-b’(mod m) 8) ab a’b’(mod m)

9) a b(mod m) ka kb(mod m) 10) a b(mod m) an_bn_{(mod m)}

11) a b ( mod m1)  a b(mod m2) a b (mod[m1,m2]), onde

[m1,m2] é o menor múltiplo comum (mmc)

12) ak bk(mod m) a b (mod

(

Theorem Teorema

Se a,b,c e d ℤ, então:

1) a b (mod m) sse b a (mod m) sse b  a 0 ( mod m) 2) Se a b ( mod m ) e b c, então a c ( mod m)

3) Se a b ( mod m) e d|m, d ≠ 0, então a b (mod d) 4) Se a b (mod m) e c ≠ 0, então ac bc (mod mc)

5) Se a b (mod m) e c d (mod m), então a+c b+d (mod m) 6) Se a b (mod m) e c d (mod m), então ac bd (mod m) Theorem (Cancellation Law)

Teorema (Lei de Cancelamento)

Seja m um módulo fixo qualquer e suponha que ab ac (mod m). Então b c (mod Error!), onde d = mdc(a, m).

Se a e m são co-primos (primos entre si), então ab ac(mod m), o que significa que b c(mod m).

Proposições

1. Cancelamento

Se mdc(c, n)=1 e ac bc (mod n), então a b (mod n) 2. Unicidade de soluções

Se mdc(a,n)=1, então a equação ax b(mod n) tem solução, e a solução é única no módulo n. 3. Existência de soluções

A equação ax b(mod n ) tem solução ssemdc(a,n) é divisor de b.

Algorítmo (Inverso Módulo n)

Suponha que a e n são números inteiros co-primos (primos entre si). O algorítmo encontra um x tal que ax 1 (mod n)

Procedimento: Use o Algoritmo de Euclides Extendido para calcular números inteiros x,y tal que ax + ny = 1

Exemplo: Encontre um número inteiro x tal que 37x 1(mod 101)

Solução

Passo 1: Forme a equação 37x + 101y = 1

Passo 2: Encontre o mdc = 1 usando o Algorítmo de Euclides Extendido, 101= 2  37 + 27 ………(i) 37 = 1 × 27 + 10……….(ii) 27 = 2 × 10 +7 .……… (iii) 10 =1 × 7 + 3 ………(iv) 7 = 2 × 3 + 1……….(v) Portanto mdc(101,37) = 1

Passo 3: Elabore os passos (i) ,(ii),(iii),(iv) e finalmente(v), mas na ordem contrária; i. 27 = 101 – 2(37)

ii. 10 = 37 – 1(27)

= 37 – 1[101 - 2(37)] ou seja substitui-se o valor 27 em (i) em cima. = 37 – 1(101) + 2(37)

= -101 + 3(37) iii. 7 = 27 – 2(10)

= 101 – 2(37) - 2[-101 + 3(37)]

ou seja substituem-se os valores finais 27 e 10 em (i) & (ii) em cima = 101 - 2(37) + 2(101) – 6(37)

= 3(101) - 8(37) iv. 3 = 10 - 1(7)

= -101 + 3(37) – 1[3(101) - 8(37)]

ou seja substituem-se os valores de 10 e 7 em (ii) e (iii) em cima = -101 - 3(101) + 3(37) + 8(37) = -4(101) + 11(37) v. 1 = 7 – 2  3 = 3(101) - 8(37) - 2[-4(101) + 11(37)] = 3(101) +8(101) – 8(37) -22(37) = 11(101) -30(37) Logo 37x + 101y -30(37) + 11(101)

Avaliação Formativa 13

Trabalho em Grupo : Resolução de equações Lineares módulo n

1. Verifique a demonstração da Lei de Cancelamento, da Unicidade e Existência de Soluções em Stein 2005, páginas 21- 26

2. Como resolver ax 1 ( mod n)? Veja Stein 2005, páginas 29 – 31. Resolva a questão 2.9 no exercício 2.6 na página 39.

Classe de resíduos

O número b na congruência a b (mod m) é chamado resto ou resíduo de a(mod m).

Resíduo Comum

É o valor de b, onde a b(mod m) tal que b não seja negativo e menor que m.

Resíduo Mínimo

O resíduo mínimo de a(mod m) é o valor de b ou b-m, dependendo do nº que tiver menor valor absoluto, onde a b(mod m). Se m = 2b , e portanto b=|b-m|, então o resíduo mínimo é definido como –b. A tabela abaixo ilustra os resíduos comuns e mínimos para 0, 1, 2, e 3(mod 4)

n Resíduo Comum (mod 4) Resíduo Mínimo (mod 4)

0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 1 Exemplo Encontre 3713_{(mod 17).} Solução 37 3 372_32_{9 - 8} 374_{8113 - 4} 378_{16 -1,} Portanto 3713_371+4+8_{3( - 4 )( -1) 12(mod 17).}

SISTEMA REDUZIDO DE RESÍDUOS

Qualquer sistema de (n) números inteiros, onde (n) é a função de tociente, que representa todos as classes residuais co-primas com n, chama-se sistema reduzido de resíduos.

CLASSES RESIDUAIS

As classes resíduais de uma função f(x) mod n são todos os possíveis valores do resíduo f(x) (mod n).

Exemplo:

As classes residuais para x² (mod 6) são { 0,1,3,4} pois 0² 0 (mod 6)

1² 1 (mod 6) 2² 4 (mod 6) 3² 3 (mod 6) 4² 3 (mod 6)

5² 1 (mod 6), são todos os resíduos possíveis.

Um sistema completo de resíduos é um conjunto de números inteiros que contêm um único elemento de cada classe, portanto {0,1,9,16} podia ser um sistema completo de resíduos para x² (mod 6).

( Wolfram MathWorld )

Definições

1) Se a b (mod m), então b chama-se resíduo de a mod m.

2) Um conjunto { x1, x2, x3,……….. xm } chama-se sistema completo de resíduos módulo m se

_{nℤ x}i

[

]

3) A classe de congruência (a classe de resíduos) de n(mod m) é o conjunto {n+mx|xℤ}. 4) Um sistema reduzido de resíduos (mod m) é um conjunto de números inteiros ri tal que

mdc(ri,m)=1  tal que para qualquer número inteiro n co-primo com m exista ri tal que n = ri

(mod m).

A FUNÇÃO  DE EULER Definição: Função aritmética ( f )

Uma função aritmética é uma função cujo domínio é o conjunto de números inteiros positivos. Definição: Função multiplicativa

Uma função G é multiplicativa se G (pq) = G (p) G (q) para quaisquer p e q que são co-primos, e G é completamente multiplicativa se G(pq)=G(p)G(q) para todos os números inteiros positivos p e q.

Definição: Função  de Euler ( Função de tociente)

O símbolo (phi) é usado para representar a função de Euler.

Para p>1, (p) indica o número de números inteiros positivos menores que p que são co-primos a p.

Exemplo: (15)= 8 ou seja há 8 números inteiros positivos, 1,2,4,7, 8,11, 13, 14 menores que 15 que são co-primos a 15. Se se combina que (1) = 1, então é uma função aritmética.

Esta função é chamada função  de Euler ou função do Tociente (Leonhard Euler 1701 – 1783, matemático suiço)

Propriedades da função 

1. Para qualquer número primo p, (p) = p -1

 é multiplicativa ou seja (pq) =(p)(q) se p e q são co-primos.Theorem 

Teorema

(m) é o número de classes residuais distintas módulo m que são co-primos a m, ou seja, o número de r , 0  r < m, que são co-primos a m.

Fermat’s Little Theorem Pequeno Teorema de Fermat

Se p é um número primo e a é qualquer número inteiro, então 1. ap_{a(mod p).}

2. Se a e p são co-primos, então ap-1_{1(mod p).} Theorem

Teorema

O sistema de congruências x a(mod m)

x b(mod n)

tem soluções se e somente se mdc(m, n) for divisor de b – a. Caso exista uma solução x0 então o

número x é também solução se e somente se x x0(mod[m,n]), onde

[ m, n] é o menor múltiplo comum de m e n. (Kirch, 1974 )

Leituras a efectuar:

1. Elementary Number Theorem, por Stein, Outubro 2005, páginas 21- 37

2. Tente resolver o exercício na página 38 No. 2.1,2.2,2.4(b) 3. Congruences MIT Units 5 e 6, páginas 1 & 2 em cada

4. Elementary Number Theory, por W. Edwin Clark, páginas 58 - 80

Avaliação Formativa 15

TRABALHO EM GRUPO:

1. Demonstre o Teorema: ax ay(mod m) sse x y (mod mdc(a,m)m) 2. Demonstre a Proposição: Se b c (mod m), então mdc(b,m)  mdc(c,m). Referência: MIT notes, Congruences 21 Feb 2003, páginas 1e 2.

RAÍZES PRIMITIVAS

Em geral, se mdc(g,n)=1 { g e n são co-primos} e se g tem ordem (n) módulo n onde (n) é a função de tociente,então g é uma raíz primitiva de n.

Se n tiver uma raíz primitiva, então n tem exactamente [ (n)] dessas raízes primitivas, o que significa que se p é um número primo, então existem exactamente

(p-1) raízes primitivas não congruentes de p. Para

n=1,2,3,…., os primeiros poucos valores de [ (n)] são 1,1,1,1,2,1,2,2,2,2,4,2,4,2,4,4,8. n tem uma raíz primitiva se n for da forma 2,4,pa_{ou 2p}a_{, onde p é primo ímpar e a ≥ 1. Os}

primeiros números n para os quais existem raízes primitivas são

2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,13,14,17,18,19,22,…….., portanto o número de raízes primitivas de n,n=1,2,….são 0,1,1,1,2,1,2,0,2,2,4,0,4,……. A raíz primitiva menor para os primeiros números primos são

Tabela das raízes primitivas dos primeiros números n para quais uma raíz primitiva existe. N g(n) 2 1 3 2 4 2 5 2,3 6 5 7 3,5 9 2,5 10 3,7 11 2,6,7,8 13 2,6,7,11

As raízes primitivas maiores para n=1,2,…… são 0,1,2,3,5,5,0,5,7,8,0,11,……… (Wolfram Mathworld)

Seja m um número inteiro positivo. Seja a qualquer número inteiro positivo co-primo a m e seja k o menor número inteiro positivo tal que ak_{1 (mod m). O número k é chamado} ordem _{de a}

módulo m. Exemplo:

7 tem ordem 2 módulo 4 pois 7² 1 (mod 4) Theorems

Teoremas

1) Se k é ordem de a módulo m, então k é divisor de (m).

2) Para qualquer número primo p existem exactamente (p – 1) raízes módulo p primitivas não congruentes entre si.

3) Se p for qualquer número primo e g uma raíz primitiva módulo p, então as potências g, g2_,….,gp-1_{formam um sistema reduzido de resíduos módulo p.}

4) Seja m qualquer número inteiro maior que 1, as raízes primitivas existem módulo m se e somente se m=2, m=4, m=pn_{, m=2p}n_{onde p é um número primo ímpar.}

Avaliação Formativa 16

Trabalho em grupo: Estudo da demonstração do teorema sobre raízes primitivas. Certifique-se que seja capaz de demonstrar esse teorema durante os exames.