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(1)Análise Multidimensional Versão preliminar e não necessariamente corrigida. Igor Leite Freire 7 de abril de 2017.

(2) Sumário. 1 Topologia em Rn 1.1 Distâncias, normas e produtos interno em Rn 1.1.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Alguns conjuntos em Rn . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Compactos em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Sequências em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. 5 6 10 11 14 16 20 20 23. 2 Funções contínuas 2.1 Funções contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24 24 33. 3 Diferenciabilidade de funções de várias variáveis 3.1 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36 36 44. 4 Derivadas parciais e diferenciabilidade 4.1 Caminhos . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Exercícios . . . . . . . . . . 4.2 Derivadas direcionais e parciais . . 4.2.1 Exercícios . . . . . . . . . .. . . . .. 46 46 47 48 53. 5 Classes de diferenciabilidade e matriz Jacobiana 5.1 Classes de diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 A matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55 55 63 66. . . . .. 1. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . ..

(3) SUMÁRIO. 5.2.1. 2. Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6 Aplicações difeomorfas 6.1 Difeomorfismos . . . . . . . . . . 6.1.1 Exercícios . . . . . . . . . 6.2 Difeomorfismos uniparamétricos 6.2.1 Exercícios . . . . . . . . .. 69. . . . .. 71 71 75 76 77. 7 O Teorema da Função Inversa 7.1 Máximos, mínimos, pontos críticos e Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Condições para existência de uma função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79 79 83 87. 8 O Teorema da Implícita 8.1 Forma local das submersões . . . 8.1.1 Exercícios . . . . . . . . . 8.2 O Teorema da Aplicação Implícita 8.2.1 Exercícios . . . . . . . . . 8.3 Forma Local das Imersões . . . . 8.3.1 Exercícios . . . . . . . . . 8.4 O Teorema do Posto . . . . . . . . 8.4.1 Exercícios . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 89 89 91 92 93 94 96 96 100.

(4) Prefácio. A Análise de várias variáveis é a porta de entrada para vários campos da Matemática. Os conceitos fundamentais deste curso propiciam, não somente ao estudante, mas também ao pesquisador desta área do conhecimento, embrenhar-se por diversas áreas da Matemática, tais como Topologia, Geometria, Otimização e Equações Diferenciais, para ficar apenas em poucos, mas representativos, exemplos. Originalmente este texto fora idealizado para ser material de apoio para um curso de Análise no Rn que ministrei no 1º quadrimestre de 2010 para a turma recém-ingressada no curso de Mestrado em Matemática Aplicada da UFABC. Tempos difícieis aqueles. Por um lado, àquela época a biblioteca da universidade não tinha material didático o suficiente para suprir a demanda de alunos de cursos mais avançandos na área de Matemática, situação hoje que, se não é ideal, ao menos é muito mais confortável que antigamente. Por outro, havia a dificuldade em ministrar, num quadrimestre, temas fundamentais dessa disciplinas. Isso propiciou o surgimento desse material. Ao longo do tempo a monografia original também serviu de subsídio a alguns cursos de Análise no Rn ministrados no Bacharelado em Matemática da UFABC. Durante este período o texto foi sendo aprimorado. A versão atual preserva o “DNA” que norteou a escrita do primeira manuscripto. Todavia, o que agora é apresentado é uma edição mais direcionada e focada nos tópicos centrais do curso. O pré-requisitos básicos para uma leitura compreensível destas notas são Álgebra Linear, Cálculo de Várias Variáveis e Análise na Reta. O presente texto foi lido e relido diversas vezes, a fim de eliminar eventuais erros. Não considero o material, neste estágio, livre de erros ou pequenas imprecisões, mas não posso deixar de ressaltar e agradecer as várias correções e sugestões que me foram enviadas por muitos dos alunos que utilizaram esse material ao longo do tempo, em especial, agradeço ao Diego Kian, ao Rian Lopes, à Priscila Leal da Silva e à Vanessa Steindorf pelas várias correções que me enviaram. Não posso negar que fui fortemente influenciado por dois autores ao fazer esta monogra3.

(5) SUMÁRIO. 4. fia: Elon Lages Lima e Michael Spivak. O primeiro autor possui textos matemáticos tradicionais, que vem influenciado há décadas gerações de matemáticos em terras tupiniquins. Não se pode deixar de reconhecer que sua obra na literatura matemática nacional foi hercúlea e dificilmente alguém produzirá textos à sua altura. A Matemática do Brasil está em grande débito com o Prof. Elon Lages Lima. O segundo autor possui um texto clássico na área: o conciso, mas delicioso e fundamental, Calculus on Manifolds1 . Tal livro é uma obra ímpar nesse campo e deveria fazer parte da biblioteca de qualquer pessoa que se sinta atraída pela matemática. Não tenho a pretensão de que estas notas dispensem a consulta de outras obras, especialmente aquelas dos autores já mencionados. No entanto, acredito que o presente texto possa ser um complemento a estes já consagrados, e insubstituíveis, livros. Por fim, cabe uma palavra aos exercícios apresentados neste material. Se por um lado parte deles é pensada para fixação dos conteúdos apresentados, um número significativo deles é imprescindível para o texto, tanto apresentado como para o que está por vir. Desta forma, o estudante deve se ater aos exercícios destacados com Z: eles são resultados que foram usados ou cuja demonstração foi omitida na seção em que aparecem, ou serão utilizadas em seções subseqüentes. Tais exercícios devem ser considerados como atividade obrigatória, uma vez que o entendimento da matéria sem eles se torna quase impossível. Desnecessário dizer que é altamente recomendável que todos os demais exercícios também sejam feitos.. 1 Há uma versão traduzida para o português desse livro, a qual fortemente não recomendamos que seja lida, pois contém muitos erros, alguns dos quais extremamente básicos..

(6) 1 Topologia em Rn. Neste capítulo revisaremos os conceitos básicos essenciais para Análise no Rn . Aqui introduziremos os conceitos de métrica, distância, norma, produto interno e medida. Os tópicos aqui tratados são generalizáveis para espaços mais gerais, tais como espaços métricos, topológicos, de medida, normados e de Hilbert. Porém todos têm algo em comum: o protótipo de cada um desses espaços é o próprio Rn munido de uma estrutura matemática adequada. Enquanto conjunto, Rn nada mais é que um conjunto infinito de pontos onde os elementos constituem uma n−upla. Entretanto, tratá-lo como apenas um conjunto não é algo desejável. Por isso esse espaço é equipado de uma regra que a cada par de elementos associa um terceiro, ainda no próprio conjunto, chamada soma. Mais ainda, para cada elemento desse conjunto e cada número real, podemos associar um outro elemento de Rn , que é obtido via multiplicação de cada componente da n−upla pelo número real em questão, chamado de escalar. Com essas duas operações, Rn torna-se um espaço vetorial. Uma vez possuindo a estrutura de espaço vetorial, podemos construir uma forma de medir cada elemento de Rn . Essa operação, chamada norma permite que definamos distâncias com boas propriedades. A partir daí, podemos definir aplicações de Rn em Rm e podemos nos questionar o que ocorre quando fixamos um ponto no domínio dessas aplicações e estudamos seu comportamento naquela região. Isso nos leva aos conceitos de continuidade e diferenciabilidade, que serão discutidos posteriormente. Ao iniciarmos este capítulo, assumimos que o aluno seja familiar com os conceitos básicos de Álgebra Linear, tais como transformações lineares, isomorfismos e produto interno. Embora vários desses elementos sejam aqui definidos apenas para compor uma estrutura lógica, várias de suas propriedades são assumidas sem maiores explicações. Uma noção básica de funções em conjuntos abstratos, bem como alguns rudimentos de Análise Real também são pressupostos.. 5.

(7) CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA EM RN. 1.1. 6. Distâncias, normas e produtos interno em Rn. Seja n ∈ N um número fixado e E o conjunto dos números reais. Considere então n números reais x1 , · · · , xn , e definamos x = (x1 , · · · , xn ). Um tal elemento é chamado n−upla. Considere o conjunto En = {(x1 , · · · , xn ), x1 , · · · , xn ∈ R} de todas as n−uplas. O caso particular n = 1 é denotado simplesmente por E. Podemos equipar En com uma soma definida por x + y := (x1 + y 1 , · · · , xn + y n ), onde x = (x1 , · · · , xn ) ∈ E e y = (y 1 , · · · , y n ) ∈ E, e um produto que, a cada número real λ associa uma outra n−upla, definida por λx := (λx1 , · · · , λxn ), obtemos o espaço vetorial (En , +, ·), o qual denotaremos por Rn . Observe que a reta real R possui essas mesmas propriedades. Definição 1.1. Uma métrica em En é uma função d : En × En → R satisfazendo as seguintes propriedades, para quaisquer x, y, z ∈ Rn : 1. (não-degenerescência) d(x, y) = 0 se, e somente se, x = y; 2. (positividade) d(x, y) ≥ 0; 3. (simetria) d(x, y) = d(y, x); 4. (desigualdade triangular) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y). Uma métrica nada mais é que uma maneira de medir a distância entre elementos de um conjunto. Dessa forma, ao se equipar um determinado conjunto com uma métrica, munimolo de uma estrutura matemática mais forte que o conjunto abstrato no qual se mede a distância. Definição 1.2. O par (X, d), onde d é uma métrica sobre o conjunto X, é chamado espaço métrico. Exemplo 1.1. A função d : En × En → R, definida por d(x, y) = 1, se x , y, e d(x, x) = 0, é uma métrica, chamada métrica 0 − 1. Exemplos mais interessantes de métricas são obtidas em Rn e, sempre que não houver perigo de confusão, identificaremos o par (Rn , d) com Rn . Mais geralmente, abandonaremos a notação En e utilizaremos indistintamente Rn daqui em diante. Exemplo 1.2. A reta real R munida da função módulo é um espaço métrico..

(8) CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA EM RN. 7. Exemplo 1.3. O conjunto Rn munido de qualquer uma das funções d1 (x, y) = |x1 − y 1 | + · · · + |xn − y n |, p d2 (x, y) = (x1 − y 1 )2 + · · · (xn − y n )2 ,. (1.1). d∞ (x, y) = max{|xi − y i |, 1 ≤ i ≤ n} é um espaço métrico. Os exemplos acima podem sugerir ao leitor que um mesmo conjunto, equipado com métricas diferentes, produz diferentes espaços métricos. Essa é uma questão profunda, cuja resposta foge ao escopo deste texto. Contudo, uma resposta parcial e bastante satisfatória a esta pergunta será fornecida em breve. Definição 1.3. Uma norma em Rn é uma função k·k : Rn → R satisfazendo as seguintes propriedades, para quaisquer x, y ∈ Rn : 1. (não-degenerescência) kxk = 0 se, e somente se, x = 0; 2. (positividade) kxk ≥ 0; 3. (homogeneidade) kλxk = |λ| kxk;. 4. (desigualdade triangular) x + y ≤ kxk + y . O par (Rn , k · k) é chamado espaço normado o qual, sempre que não houver perigo de confusão, será denotado simplesmente por Rn . O leitor mais atento deve observar uma diferença fundamental entre norma e distância, embora esta última possa ser definida em termos da primeira. Para a definição de distância precisamos apenas de um conjunto arbitrário. Qualquer conjunto pode se tornar um espaço métrico. Basta observar o Exemplo 1.1. Por outro lado, para se definir uma norma é necessário que o conjunto esteja munido de uma soma entre seus elementos (na desigualdade triangular) e uma multiplicação por escalar (como se nota na homogeneidade). Mais precisamente, uma norma é definida sobre um espaço vetorial. Definição 1.4. Relação de equivalência Considere A um conjunto. Dizemos que ∼ é uma relação de equivalência em A se possui as seguintes três propriedades, qual sejam a, b, c ∈ A:.

(9) CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA EM RN. 8. 1. Reflexiva: a ∼ a. 2. Simetria: se a ∼ b, então b ∼ a. 3. Transitiva: se a ∼ b e b ∼ c, então a ∼ c. Definição 1.5. Sejam d e d 0 duas métricas em Rn . Dizemos as métricas d e d 0 são equivalentes se existem números reais positivos α, β tais que αd(x, y) ≤ d 0 (x, y) ≤ βd(x, y), para quaisquer x, y ∈ Rn . Por sua vez, se |·| e |·|0 são normas em Rn , dizemos que |·| e |·|0 são equivalentes se existem números reais positivos α, β tais que α |x| ≤ |x|0 ≤ β |x|, para qualquer x ∈ Rn . É uma tarefa interessante e razoavelmente simples mostrar que as métricas dadas em (1.1) são todas equivalentes entre si. Igual raciocínio mostra que as seguintes normas também são equivalentes. Exemplo 1.4. As funções k · k1 , k · k2 e k · k∞ : Rn → R, dadas por kxk1 = |x1 | + · · · + |xn |, kxk2 = p (x1 )2 + · · · + (xn )2 e kxk∞ = max{|x1 |, · · · , |xn |} são normas em Rn . Definição 1.6. Sejam V1 ⊆ Rn1 , · · · , Vk ⊆ Rnk , V ⊆ Rn subespaços vetoriais e b : V1 × · · · × Vk → V uma aplicação linear em cada entrada, isto é, dados vi , wi ∈ Vi e para todo λ ∈ R, b(v1 · · · , vi + λwi , · · · , vn ) = b(v1 · · · , vi , · · · , vn ) + λb(v1 · · · , wi , · · · , vn ), 1 ≤ i ≤ n. A aplicação b é dita ser multilinear, ou k-linear. Quando V = R, então b é chamada forma multilinear. Os casos particulares k = 1, 2 ou 3 são chamados, simplesmente, linear – nesse caso a aplicação nada mais é que uma transformação linear –, bilinear e trilinear, respectivamente. Exemplo 1.5. Sendo V1 , · · · , Vk , V subespaços vetoriais quaisquer, a função b : V1 × · · · × Vn → V , definida por b(v1 , · · · , vn ) = 0 é uma aplicação n−linear. E totalmente desinteressante. Exemplo 1.6. A multiplicação entre dois números reais é um exemplo de aplicação bilinear. De fato, seja m : R × R → R definida por m(x, y) = xy. Então m(x + λz, y) = (x + λz)y = xy + λzy = m(x, y) + λm(x, z). Definição 1.7. Uma forma bilinear simétrica em Rn é uma função b : Rn × Rn → R satisfazendo as seguintes condições, para quaisquer x, x0 , y ∈ Rn e λ ∈ R: 1. b(x, y) = b(y, x);.

(10) CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA EM RN. 9. 2. b(x + x0 , y) = b(x, y) + b(x0 , y); 3. b(λx, y) = b(x, λy) = λb(x, y). O leitor certamente conhece exemplos não triviais de formas simétricas, além daquela dada no Exemplo 1.6: produto interno. Do ponto de vista formal, um produto interno h·, ·i em Rn é uma forma bilinear simétrica não-degenerada tomando valores na reta, isto é,. x, y ∈ R e hx, xi > 0 sempre que x , 0. Neste caso, o par (Rn , h·, ·i) é chamado espaço vetorial com produto interno, o qual identificaremos com Rn . Um produto interno é uma estrutura matemática muito forte. Tal como a norma, não pode ser definido num conjunto puramente, mas em um espaço vetorial. O leitor é con√ vidado a mostrar que se h·, ·i é um produto interno em Rn , então kxk = hx, xi define uma norma neste espaço. Tal norma é chamada norma induzida pelo produto interno h·, ·i. Em p. particular, o produto interno x, y 2 = x1 y 1 + · · · + xn y n é chamado produto interno canônico. Este último adjetivo, canônico, também é empregado à norma k · k2 e à distância d2 , respectivamente, que são todas induzidas pelo produto interno canônico. Teorema 1.1. Desigualdade de Cauchy-Schwarz Seja h·, ·i um produto interno em Rn . Então, para quaisquer dois elementos x, y de V , tem-se . | x, y | ≤ kxk y ,. (1.2). √ onde kxk = hx, xi. Demonstração. Primeiro observemos que se x ou y é o vetor 0, então (1.2) se torna uma igualdade e nada há a fazer. Então, suponhamos que ambos os vetores sejam diferentes de 0. Neste caso, consideremos a função real f : R → R, definida por 2. f (t) = x − ty, x − ty = t 2 y − 2t x, y + kxk2 . As seguintes observações sobre f nos ajudarão a demonstrar o Teorema:. • f (t) ≥ 0, por construção. Em particular, f (t) = 0 ⇔ x − ty, x − ty = 0 ⇔ x − ty = 0 ⇔ x = ty ⇔ {x, y} é um conjunto LD.. x, y 0 • f (t) = 0 ⇔ t = 2 . y .

(11) CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA EM RN. 10. x, y Uma vez que t0 = 2 é o ponto crítico de f , segue que y . 2 x, y. . 0 ≤ f (t0 ) = kxk − 2 ⇐⇒ x, y 2 ≤ kxk2 y ⇐⇒ | x, y | ≤ kxk y . y 2. Relembramos que um subconjunto {x1 , · · · , xk } ⊆ Rn é chamado linearmente independente, abreviado por LI, se a equação a1 x1 + · · · ak xk = 0 implicar sempre em a1 = · · · = ak = 0. Caso contrário, o conjunto é dito ser linearmente dependente (LD). Note que uma condição necessária, mas não suficiente, para que o conjunto {x1 , · · · , xk } seja LI é que k ≤ n. Corolário 1.1. A desigualdade em (1.2) é estrita se, e somente se, os vetores são LI. Demonstração. Segue imediatamente da primeira observação acerca da função f (t).. 1.1.1. Exercícios. Exercício 1.1. Seja d : Rn × Rn → R uma função satisfazendo as seguintes condições 1. d(x, y) = 0 ⇔ x = y. 2. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z). Prove que d é uma métrica em Rn . Exercício 1.2. Mostre que toda norma k·k na reta real R é da forma kxk = a|x|, onde a > 0 é uma constante e |x| = max{x, −x}. Exercício 1.3. Z Dado um espaço vetorial real V , uma norma é uma função k·k : V → R satisfazendo as condições da Definição 1.3 com V em lugar de Rn . Mostre que a norma satisfaz . . x − y ≤ kxk + y e | kxk − y | ≤ x − y . Exercício 1.4. Dado um produto interno h·, ·i em Rn , dizemos que os vetores x e y são ortogonais,. 2 2. . e escrevemos x ⊥ y, quando x, y = 0. Mostre que se x, y = 0, então x + y = kxk2 + y . Exercício 1.5. Z Seja A a coleção de todos os espaços métricos (Rn , d). Mostre que (Rn , d) ∼ (Rn , d 0 ) se, e somente se, d e d 0 são equivalentes define uma relação de equivalência em A. Analogamente, mostre que (Rn , k · k) ∼ (Rn , k · k0 ) define uma relação de equivalência no conjunto B := {(Rn , k · k), tal que k · k é uma norma}. Exercício 1.6. Z Mostre que as funções do Exemplo 1.4 são, de fato, normas. Prove ainda que vale kxk∞ ≤ kxk2 ≤ kxk1 ≤ n kxk∞ e conclua, então que elas são equivalentes.

(12) CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA EM RN. 1.2. 11. Alguns conjuntos em Rn. Nesta introduziremos ou formalizaremos alguns conceitos geométricos que nos acompanharão até o fim do curso. Para muitos, inclusive, serão conceitos que os acompanharão durante toda a vida profissional. Diversos dos conceitos aqui discutidos serão a formalização matemática de objetos quase ordinários de nossas vidas. Sejam a e b números reais com a < b. O comprimento do intervalo aberto I = (a, b) ou do ¯ := b − a. intervalo fechado I¯ = [a, b] é definido por `(I) = `(I) Sejam ai , bi , i = 1, · · · , n, números reais tais que ai < bi e definamos Ii := (ai , bi ) e I¯i := [ai , bi ]. Chamaremos de bloco, retângulo ou paralelepípedo aberto n−dimensional o conjunto B = I1 × · · · × In , enquanto o conjunto B¯ = I¯1 × · · · × I¯n é chamado bloco, retângulo ou paralelepípedo fechado n−dimensional. Os volumes de B e B¯ são definidos, respectivamente, como ¯ := `(I¯1 ) × · · · × `(I¯n ). Usualmente omitimos o n−dimensional, vol(B) := `(I1 ) × · · · × `(In ) e vol(B) embora os adjetivos aberto ou fechado podem ser bastante importantes. Isso ficará mais claro um pouco mais adiante. Dada uma métrica d, um número real r > 0 e a ∈ Rn um ponto fixado, a bola aberta de centro a e de raio r, é definida como sendo o conjunto B(a; r) = {x ∈ Rn : d(x, a) < r}. De modo análogo, definimos a bola fechada centrada em a e de raio r como sendo o conjunto B[a; r] = {x ∈ Rn : d(x, a) ≤ r}. Finalmente a esfera, de centro a e raio r, é definida como sendo S(a; r) = B[a; r] \ B(a; r). A terminologia acima empregada é fortemente influenciada pelas noções geométricas que temos do Rn munido da métrica canônica d2 em (1.1). Exemplo 1.7. Munido da métrica d2 de (1.1), o que chamamos de esfera unitária, centrada na origem, em Rn , nada mais é que o conjunto dos pontos x = (x1 , · · · , xn ) ∈ Rn tais que (x1 )2 + · · · + (xn )2 = 1. A bola aberta de raio 1 e de centro 0 é o interior da esfera unitária. Finalmente, a bola fechada de raio 1 e centro 0 é a união da esfera e da bola aberta de raio 1 e centro 0. Por outro lado, considerando a métrica d∞ em (1.1), a bola centrada no ponto a e raio r se resume ao conjunto dos pontos x ∈ Rn tais que |xi − ai | < r, ou seja, temos xi ∈ (ai − r, ai + r)..

(13) CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA EM RN. 12. Geometricamente significa que a é o centro de um cubo de arestas 2r. Exemplo 1.8. Considere a métrica d(x, y) = 1, se x , y e d(x, x) = 0 em Rn . Seja a ∈ Rn . Então, B(a; 1) = {a} e B[a; 1] = Rn . Mais: se r < 1, então B(a; r) = B[a; r] = {a}. Se for r > 1, tanto a bola aberta quanto a fechada são equivalentes a Rn . Por fim, S(a; r) = ∅, se r , 1 e S(a; 1) = Rn \ {a}. Os exemplos acima mostram que uma bola pode ser algo muito diferente daquela que nossa intuição esperaria, ao menos à primeira vista. É compreensível o desconforto, num primeiro momento, pensar um cubo como uma bola. Definição 1.8. Seja X ⊆ Rn . Dizemos que x ∈ X é ponto interior de X se existe um número rx > 0 tal que B(x, rx ) ⊆ X. Se todos os pontos de X são pontos interiores, então X é dito ser um conjunto aberto. O conjunto dos ponto interiores de X será denotado por int(X). Um subconjunto Y ⊆ Rn é dito ser fechado se Rn \ Y é aberto. Cabe aqui uma pequena análise sobre o conjunto vazio. Se ele não fosse aberto, deveríamos mostrar a existência de um elemento nele que não fosse ponto interior. Como um tal elemento não existe, segue que o conjunto vazio é, então, vacuamente aberto. Observe que se um ponto a é interior a um conjunto X em qualquer uma das métricas (1.1), então a será ponto interior em todas as outras. Isso é conseqüência do Exercício 1.11. Note ainda que se o a ponto é interior, então existe uma infinidade de bolas contidas em X que contém o ponto a. Para ver isto, note que se a é interior a X, então existe rx > 0 tal que x ∈ B(x, rx ) ⊆ X. Assim, como qualquer r ∈ (0, rx ) satisfaz a ∈ B(x, r) ⊆ B(x, rx ) ⊆ X, provando a afirmação. Definição 1.9. A fronteira do conjunto X ⊆ Rn , denotada por ∂X, é o conjunto dos pontos de x ∈ Rn tais que B(x; r) ∩ X , ∅ e B(x; r) ∩ (Rn \ X) , ∅, para todo r > 0. Exemplo 1.9. Considere o conjunto dos números racionais Q ⊆ R. Nenhum intervalo aberto, na reta, pode ser formado apenas por racionais. Logo int(Q) = ∅. Por outro lado, dado um racional q, qualquer intervalo centrado em q contém números racionais e irracionais. Logo ∂Q = R. Definição 1.10. Seja X um subconjunto de Rn . O fecho de X, denotado por X, é dado pela união X = X ∪ ∂X. Teorema 1.2. Seja X um subconjunto de Rn . Então x ∈ X se, e somente se, B(x; r) ∩ X , ∅, para todo r > 0..

(14) CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA EM RN. 13. Demonstração. Seja x ∈ X. Então, ou x ∈ X, ou x ∈ ∂X. Na primeira opção, para toda bola B(x; r) ∩ X , ∅, qualquer que seja r > 0. Se for a segunda, pela própria definição de fecho, temos B(x; r) ∩ X , ∅, qual seja r > 0. Suponha agora a recíproca, ou seja, B(x; r) ∩ X , ∅, qualquer que seja r > 0. Então, ou x ∈ X, ou x ∈ ∂X. De qualquer forma, x ∈ X ∪ ∂X = X. Definição 1.11. Um subconjunto X ⊆ Rn é chamado fechado se Rn \ X é aberto. Exemplo 1.10. O fecho de um conjunto é sempre um conjunto fechado. De fato, seja X = X ∪ ∂X e considere Y = Rn \ X. Tome x ∈ Y . Isso quer dizer que x < X, ou seja, existe r > 0 tal que B(x; r) ∩ X = ∅, o que implica que B(x; r) ⊆ Y . Então Y é aberto. Observação 1.1. Aberto e fechado não são conceitos mutuamente opostos, tampouco excludentes. Por exemplo, o conjunto dos números racionais Q não é aberto em R, pois int(Q) = ∅. Da mesma forma, o seu conjunto complementar R \ Q não é aberto, pois int(R \ Q) = ∅. O argumento para provar esta afirmação é análogo ao utilizado para provar que int(Q) = ∅. A seguinte observação será de capital importância na demonstração do teorema abaixo: se (Rn , d) é um espaço métrico, então, para quaisquer três pontos x, y, z ∈ Rn , vale a seguinte relação

(15)

(16) d(x, y) ≥

(17)

(18) d(x, z) − d(z, y)

(19)

(20) . (1.3) Para ver isso, basta notar que d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). Por simetria, temos d(z, y) ≤ d(z, x)+d(x, y). Isolando d(x, y) nas expressões acima, concluímos que d(x, y) ≥ d(x, z)−d(y, z) e d(x, y) ≥ d(z, y) − d(x, z). Logo, d(x, y) ≥ max{d(x, z) − d(y, z), d(z, y) − d(x, z)}, que nada mais é que a definição da função módulo, ou seja, obtemos a equação (1.3). Teorema 1.3. Seja (Rn , d) um espaço métrico. Então 1. Rn é aberto e fechado. 2. ∅ é aberto e fechado. 3. Qualquer bola aberta é um subconjunto aberto de Rn . 4. Qualquer bola fechada é um subconjunto fechado de Rn . Demonstração. 1. É claro que dado a ∈ Rn , então B(a, r) ⊆ Rn , para qualquer r > 0. Então Rn é aberto. Como seu complementar é o conjunto vazio e este é aberto, segue que Rn é fechado..

(21) CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA EM RN. 14. 2. Segue do fato que Rn é aberto e fechado. 3. Seja x ∈ B(a; r) ⊆ Rn e ρ =. r−d(x,a) . 2. É claro que ρ > 0 e B(x; ρ) ⊆ B(a; r).. 4. Seja B[a; r] uma bola fechada qualquer de Rn e x ∈ Rn \ B[a; r]. Então sx = d(x, a) > r e tx = sx2−r > 0. Se mostrarmos que, dado z ∈ B(x, tx ), z < B[a; r], concluiremos que z ∈ Rn \ B[a; r] e então, todo ponto x ∈ Rn \ B[a; r] pertence a uma bola contida neste conjunto, logo, Rn \ B[a; r] é aberto e por conseguinte, B[a; r] é fechado. Seja z ∈ B(x, tx ). Pela desigualdade (1.3), concluímos que d(z, a) ≥ |d(x, a) − d(x, z)| = sx −. sx − r sx + r = > r ⇒ z < B[a; r], 2 2. que é o que queríamos demonstrar.. Definição 1.12. Seja x ∈ Rn . Um conjunto V ⊆ Rn é uma vizinhança do ponto x se existe r > 0 tal que B(x; r) ⊆ V . Se V é aberto, dizemos que V é uma vizinhança aberta de x. Analogamente, se V é fechado, dizemos que V é uma vizinhança fechada de x. Exemplo 1.11. Rn é uma vizinhança aberta de x, para todo x ∈ Rn . Exemplo 1.12. As famílias de conjuntos Vn = (− n1 , n1 ) e Cn = [− n1 , n1 ] são vizinhanças da origem. A primeira é uma família aberta, ao passo que a última é uma família fechada. Teorema 1.4. Seja F ⊆ Rn . F = F se, e somente se, Rn \ F é aberto. Demonstração. A prova é direta. Observe que F = F ⇔ para todo x ∈ Rn \ F, existe um número rx > 0 tal que B(x; rx ) ∩ F = ∅ ⇔ para todo x ∈ Rn \ F, existe um número rx > 0 tal que B(x; rx ) ⊆ Rn \ F ⇔ Rn \ F é aberto.. 1.2.1. Exercícios. Exercício 1.7. Z Sejam Ai , 1 ≤ i ≤ m, subconjuntos abertos, não vazios, de Rn . Suponha que x ∈ Ai , 1 ≤ i ≤ m. Mostre que m \ Ai i=1. é um aberto não vazio. Mostre que isso não necessariamente é válido quando a intersecção é infinita..

(22) CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA EM RN. 15. Exercício 1.8. Z Seja Λ um conjunto de índices, não necessariamente finito, e Aλ , λ ∈ Λ, uma família de abertos. Mostre que [ Aλ λ∈Λ. é um aberto. Exercício 1.9. Z Sejam Fi , 1 ≤ i ≤ m, subconjuntos fechados, não vazios, de Rn . Mostre que m [. Fi. i=1. é um fechado. Mostre que isso não necessariamente é válido quando a união é infinita. Exercício 1.10. Z Seja Λ um conjunto de índices, não necessariamente finito, e Fλ , λ ∈ Λ, uma família de fechados. Mostre que \ Aλ λ∈Λ. é um fechado. Exercício 1.11. Z Seja a ∈ Rn um ponto fixado. Mostre que existem números positivos r1 , r2 , r3 e r4 tais que B1 (a; r1 ) ⊆ B2 (a; r2 ) ⊆ B∞ (a; r3 ) ⊆ B1 (a; r4 ), onde B1 (a; R), B2 (a; R) e B∞ (a; R) denotam as bolas de centro a e raio R induzidas pelas métricas d1 , d2 e d∞ , respectivamente. Exercício 1.12. O exterior de um conjunto A ⊆ Rn , denotado por ext(A), é o conjunto formado pelos pontos x tais que existe um aberto B ⊆ Rn \ A, tal que x ∈ B. Determine o interior, o exterior a fronteira dos conjuntos A = {x ∈ Rn : kxk ≤ 1}, B = {x ∈ Rn : kxk = 1}, A = {x ∈ Rn : x = (x1 , · · · , xn ), xi ∈ Q, 1 ≤ i ≤ n}, onde k·k é a norma induzida pelo produto interno canônico de Rn . Exercício 1.13. Prove que X ∪ Y = X ∪ Y e X ∩ Y ⊆ X ∩ Y , para quaisquer que sejam X, Y ⊆ Rn . Exercício 1.14. Prove que X × Y = X × Y ..

(23) CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA EM RN. 1.3. 16. Compactos em Rn. Uma importante observação deve ser feita antes do que se inicia: embora a métrica d∞ (x, y) = max{|xi − y i |, 1 ≤ i ≤ n} não advenha de um produto interno, ela é extremamente útil em várias demonstrações e será empregada nos teoremas abaixo. Lembramos que as bolas induzidas por esta métrica são cubos e que o produto de cubos são retângulos. Definição 1.13. Seja X ⊆ Rn . Uma cobertura de X é uma família C = {Cλ , λ ∈ Λ}, tal que Cλ ⊆ Rn , para todo λ ∈ Λ, e [ X⊆ Cλ . λ∈Λ. Se X⊆. [. Cλ ,. λ∈∆. C0. onde ∆ ⊆ Λ, dizemos então que = {Cλ , λ ∈ ∆} ⊆ C é uma subcobertura, ou refinamento, de C. Se #(Λ) < ∞, dizemos que a cobertura C é finita. Se os conjuntos Cλ são abertos, dizemos que a cobertura C é aberta. É importante destacar que o conjunto de índices Λ na definição acima é arbitrário, podendo, inclusive, ser não-enumerável. Definição 1.14. Um subconjunto X ⊆ Rn é dito ser compacto se toda cobertura aberta C = {Cλ , λ ∈ Λ}, tal que [ X⊆ Cλ λ∈Λ. admite um refinamento finito, isto é, existem índices λ1 , · · · , λn , tais que X ⊆ Cλ1 ∪ · · · ∪ Cλn . Teorema 1.5. Seja X um subconjunto compacto de Rn e F ⊆ X. O subconjunto F é fechado se, e somente se, é compacto. Demonstração. Suponha X compacto e F fechado. Então Rn \ F é aberto. Seja C = {Cλ, λ∈Λ } S uma cobertura aberta de F. Logo F ⊆ Cλ e então X ⊆ ∪Cλ ∪ (Rn \ F)..

(24) CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA EM RN. 17. Da compacidade de X segue que existe uma subcobertura finita tal que X ⊆ Cλ1 ∪ · · · ∪ Cλn ∪ (Rn \ F), ou seja, F ⊆ Cλ1 ∪ · · · ∪ Cλn . Isso conclui a compacidade de F. Suponha agora que F seja compacto. Façamos a prova por absurdo, supondo que F não seja fechado. Neste caso, o conjunto F \ F é não vazio. Dado x ∈ F \ F e, para cada m ∈ N, seja Am = Rn \ B[x;. 1 ]. m. É claro que F⊆. [. Am .. m∈N. Observe que Ai é aberto, para qualquer i e Ai ⊆ Aj , para i < j. Com isso, a reunião finita desses conjuntos é igual ao conjunto com o maior índice. Como x ∈ F, então B[x; n1 ] contém algum ponto de F, o que nos leva a concluir que a subcobertura An não admite subcobertura finita, contrariando a compacidade de F. Logo F é fechado. Definição 1.15. Seja d uma métrica em Rn . Dizemos que um conjunto X ⊆ Rn é limitado se existe uma bola B(x; r), para algum x ∈ Rn e algum r > 0, tal que X ⊆ B(x; r). Teorema 1.6. Seja C ⊆ Rn um compacto. Então C é limitado. Demonstração. É claro que a cobertura {B(x; 1), x ∈ C} é uma cobertura aberta de C. Por hipótese, C é compacto, então, é possível extrair-se uma cobertura finita {B(x1 ; 1), · · · , B(xn ; 1)} tal que C ⊆ B(x1 ; 1) ∪ · · · ∪ B(xn ; 1). Logo C é limitado. Teorema 1.7. Teorema de Heine-Borel O intervalo fechado [a, b] ⊆ R é compacto. Demonstração. Seja A uma cobertura aberta do intervalo [a, b] e A = {x : x ∈ [a, b], tal que [a, x] admite um cobertura finita com elementos de A}..

(25) CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA EM RN. 18. Claramente o conjunto A é não vazio, visto que a ∈ A. Seja c = sup A. Como A é uma cobertura aberta, existe A0 ∈ A tal que c ∈ A0 . Logo, o conjunto {t : t < c} possui intersecção não vazia com A0 e, então, existe x ∈ {t : t < c} ∩ A0 tal que x ∈ A. Consequentemente [a, x] possui uma cobertura finita de abertos de A, ao passo que o aberto A0 contém [x, c]. Logo [a, c] admite uma cobertura finita com elementos de A, de onde concluímos que c ∈ A. Para terminarmos a demonstração, basta mostrar que c = b. Se assim não fosse, existiria 0 x ∈ (c, b) tal que [c, x0 ] ⊆ A0 . Assim, teríamos que [a, c] admite uma cobertura finita e, por outro lado, [c, x0 ] ⊆ A0 , o que implicaria x0 ∈ A, o que contradiz o fato de ser c = sup A. Lema 1.1. Seja B ⊆ Rm um subconjunto compacto e x ∈ Rn . Então {x} × B é compacto. Demonstração. Seja O = {Wλ , λ ∈ Λ}, uma cobertura aberta arbitrária de {x} × B. Então, para cada elemento (x, y) ∈ {x} × B, existe Wλ ∈ O tal que (x, y) ∈ Wλ . Então existem conjuntos abertos Vλ e Aλ tais que Vλ é uma vizinhança de x e Aλ forma uma cobertura para B, com Vλ × Aλ ⊆ Wλ , λ ∈ Λ. Por hipótese, sendo B compacto, a cobertura {Aλ , λ ∈ Λ} possui uma subcobertura finita, formada pelos conjuntos A1 , · · · , An . Logo {V1 × A1 , · · · , Vn × An } é uma cobertura finita de {x} × B. Tomando os correspondentes conjuntos Wi tais que Vi × Ai ⊆ Wi , 1 ≤ i ≤ n, obtemos a subcobertura finita {W1 , · · · , Wn } de {x} × B, de onde se conclui a compacidade desse conjunto. Teorema 1.8. Seja B ⊆ Rm um subconjunto compacto, x ∈ Rn , e A uma cobertura aberta de {x}×B. Então é possível encontrar um aberto U ⊆ Rn tal que: 1. x ∈ U ; 2. U × B seja coberto por um conjunto finito de abertos de A. Demonstração. Primeiro observe que {x} × B é um compacto. Sendo compacto, podemos assumir que a cobertura A é finita. Basta, então, encontrar um aberto U tal que U × B seja coberto pela cobertura A. Seja y ∈ B. Então (x, y) ∈ W , onde W ∈ A. Como W é um aberto, existe um retângulo Uy × Vy tal que (x, y) ∈ Uy × Vy ⊆ W . Observe que os conjuntos Vy formam uma cobertura aberta para B. Sendo este compacto, é possível encontrar uma coleção finita Vy1 , · · · , Vyn que ainda cobre B. Assim, os conjuntos Uy1 × Vy1 , · · · , Uyn × Vyn cobrem {x} × B. Seja U = Uy1 ∩ · · · ∩ Uyn . Então este conjunto satisfaz as propriedades que desejamos. Corolário 1.2. Se A ⊆ Rn e B ⊆ Rm são compactos, então A × B ⊆ Rn+m é compacto..

(26) CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA EM RN. 19. Demonstração. Seja O uma cobertura aberta de A × B. Para cada x ∈ A, O cobre {x} × B. Pelo Teorema 1.8, existe um aberto Ux , com x ∈ Ux , tal que Ux ×B é coberto por uma coleção finita de elementos da cobertura O. Observe que a coleção {Ux , x ∈ A} forma uma cobertura aberta de A. Como A é compacto, podemos obter daquela cobertura uma subcobertura finita {Ux1 , · · · , Uxn } cuja reunião contenha A. Novamente pelo Teorema 1.8, para cada i fixado, o conjunto Uxi × B é coberto por um número finito de elementos de O. Logo basta uma coleção finita de elementos de O para cobrir o conjunto (Ux1 × B) ∪ · · · ∪ (Uxn × B). Como A × B ⊆ (Ux1 × B) ∪ · · · ∪ (Uxn × B), segue que A × B é compacto. Corolário 1.3. Sejam Ai ⊆ Rni , 1 ≤ i ≤ k, compactos. Então A1 × · · · × Ak é compacto. Em particular, os retângulos de Rn são compactos. Demonstração. Consequência imediata do resultado anterior. Teorema 1.9. Seja A ⊆ Rn um compacto. Então A é fechado. Demonstração. Seja x ∈ Rn \ A. Para cada a ∈ A, sejam Ua e Va abertos disjuntos, tais que a ∈ Ua e x ∈ Va . Note que Ua ∩ A ⊆ A e que A=. [. (Ua ∩ A).. a∈A. Por hipótese, A é compacto. Logo, é possível encontrar pontos a1 , · · · , an ∈ A tais que A ⊆ Ua1 ∪ · · · ∪ Uan . Seja U = Ua1 ∪ · · · ∪ Uan . Por outro lado, sabemos que o conjunto V = Va1 ∩ · · · ∩ Van é um aberto não vazio. Além disso, U ∩ V = ∅. Ou seja, mostramos que qualquer ponto x ∈ Rn \A pertence a um aberto V ⊆ Rn \A. Logo Rn \ A é aberto, ou seja, A é fechado. Teorema 1.10. Um subconjunto A ⊆ Rn é compacto se, e somente se, for fechado e limitado. Demonstração. Suponha A compacto. Pelo Teorema 1.6, A é limitado. Pelo Teorema 1.9, A é fechado. Mostremos agora que todo fechado e limitado em Rn é compacto. Supondo que A ⊆ Rn seja um subconjunto fechado e limitado, então existe um retângulo fechado B ⊆ Rn que contém A. Seja O uma cobertura aberta de A. Por conseguinte, O0 = O ∪ {Rn \ A} é uma cobertura aberta de B. Pelo Corolário 1.3, B é compacto. Isso quer dizer existem elementos U1 , · · · , Un ∈ O tais que B ⊆ U1 ∪ · · · ∪ Un ∪ (Rn \ A), de onde se conclui que A ⊆ U1 ∪ · · · ∪ Un e a compacidade de A é concluída..

(27) CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA EM RN. 1.3.1. 20. Exercícios. Exercício 1.15. Caracterize todos os conjuntos compactos da reta real R. Exercício 1.16. Mostre que Rn não é compacto. Exercício 1.17. Z Mostre que se B(x1 ; 1), · · · , B(xn ; 1) são bolas em Rn , então B(x1 ; 1)∪· · ·∪B(xn ; 1) é um conjunto limitado. Mais geralmente, mostre que a reunião finita de conjuntos limitados é um conjunto limitado. Exercício 1.18. Seja A ⊆ Rn e d uma métrica em Rn . Mostre que A é ilimitado com respeito à métrica d se, e somente se, para todo r > 0, existem elementos xr e yr de A tais que d(xr , yr ) > r. Exercício 1.19. Z Um conjunto X ⊆ Rn é dito ser completo se, para toda sequência de Cauchy (xn )n∈N ⊆ X, existe a ∈ X tal que a = lim xn . Mostre que: a) Um subconjunto aberto próprio de Rn não é completo. b) Um conjunto de Rn é completo se, e somente se, é fechado.. 1.4. Sequências em Rn. Uma sequência em Rn nada mais é que uma função x : N → Rn , que a cada natural k ∈ N, associa o ponto xk ∈ Rn . Usaremos as notações (xk )k∈N ou (xk ) para denotarmos a sequência x : N → Rn , onde xk = (xk1 , · · · , xkn ). Uma sequência (xk )k∈N é dita ser limitada se existe uma bola que contenha todos os seus pontos. Uma subsequência de (xk ) é a restrição desta sequência a um subconjunto infinito N ⊆ N, a qual denotaremos por (xkj )j∈N ou, simplesmente, (xkj ). Dizemos que o ponto x ∈ Rn é o limite da sequência (xk ) quando, para todo ε > 0, existe um número natural k0 tal que, para todo k > k0 , d(x, xk ) < ε. A convergência ou não de uma sequência depende da métrica que usamos, veja exercícios a seguir. Em outras palavras, dizer que x ∈ Rn é o limite da sequência (xk ) equivale a dizer que para todo ε > 0, existe um número natural k0 tal que, para todo k > k0 , xk ∈ B(x; ε). A sequência (xk ) ⊆ Rn é dita ser convergente se existe x ∈ Rn tal que x = lim xk . Pelos exercícios abaixo, se uma sequência é convergente em uma das métricas (1.1), então ela é convergente em todas as outras..

(28) CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA EM RN. 21. Teorema 1.11. A sequência (xk ) ⊆ Rn converge para o ponto a = (a1 , · · · , an ) se, e somente se, para cada i = 1, · · · , n, tem-se xki → ai .

(29)

(30) Demonstração. Provemos este resultado usando a norma do máximo, isto é, kxk∞ = max

(31)

(32) xi

(33)

(34) , 1≤i≤n. onde x = (x1 , · · · , xn ). Assim, d(x, y) = x − y . ∞. Suponha que a sequência (xk ) convirja para o ponto a = (a1 , · · · , an ). Isto quer dizer que, dado ε > 0, existe k0 ∈ N tal que, para todo k > k0 , teremos xk ∈ B(a; ε), ou seja, d(xk , a) = max |xki − ai | < ε. Logo, |xki − ai | < ε, ∀ i ⇒ xki → ai , 1 ≤ i ≤ n. Suponha agora que, para cada i = 1, · · · , n, tenhamos xki → ai . Isto quer dizer que, para todo ε > 0, existe um número natural k0 tal que, para todo k > k0 , teremos |xki − ai | < ε. Em. particular, teremos xki − ai ∞ < ε. Logo a sequência (xk ) é convergente. Enunciaremos, sem provar, um resultado bastante conhecido da Análise Real. Lema 1.2. Teorema de Bolzano-Weierstrass na reta Toda sequência limitada em R admite uma subsequência convergente. Teorema 1.12. Teorema de Bolzano-Weierstrass em Rn Toda sequência limitada em Rn admite uma subsequência convergente. Demonstração. A demonstração desse resultado é mera aplicação do Teorema de BolzanoWeierstrass da reta. Para tanto, usemos a norma do máximo novamente. Sejam (xk ) uma sequência limitada em Rn , onde xk = (xk1 , · · · , xkn ). Logo, existe c > 0 tal que kxk k < c, ou seja, |xki | < c, para cada i = 1, · · · , n. Isto quer dizer que temos n sequências numéricas limitadas (xki ), 1 ≤ i ≤ n. Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, para i = 1, existe um subconjunto N1 ⊆ N tal que (xk1 )k∈N1 é uma subsequência convergente de (xk1 ), cujo limite chamaremos de a1 . Da mesma forma, com respeito à sequência xk2 , sendo ela limitada, existe um subconjunto N2 ⊆ N1 tal que (xk2 )k∈N2 converge para um número real, o qual chamaremos a2 . Prosseguindo com este raciocínio, encontraremos uma sequência de conjuntos N3 , · · · , Nn , tais que N ⊇ N1 ⊇ · · · ⊇ Nn , e números ai , 1 ≤ i ≤ n, de modo que lim xki = ai .. k∈Ni.

(35) CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA EM RN. 22. Pondo a = (a1 , · · · , an ), vemos que a subsequência (xk )k∈Nn converge para a, que é o resultado almejado. Uma conseqüência bastante importante deste teorema é apresentada a seguir. Teorema 1.13. Quaisquer duas normas em Rn são equivalentes. Demonstração. Primeiramente, note que ser equivalente define uma relação de equivalência. Então é suficiente mostrar que qualquer norma em Rn é equivalente à norma k.k1 e, então, o resultado geral segue por transitividade. Por simplicidade, seja {e1 , · · · , en } a base canônica de Rn , x = x1 e1 + · · · + xn en e k.k uma norma arbitrária. Então segue diretamente que kxk = kx1 e1 + · · · + xn en k ≤ (|x1 | + · · · + |xn |) max{ke1 k, · · · , ken k} ≤ akxk1 , onde a := max{ke1 k, · · · , ken k} > 0. Suponha agora, por absurdo, que não exista b > 0 tal que kxk1 ≤ bkxk. Isso significa que para cada k ∈ N, existe um elemento xk ∈ Rn tal que kxk k1 > kkxk k. Definindo yk = xk /kxk k1 , segue que kyk k1 = 1, enquanto que kyk k = kxk k/kxk k1 < 1/k. Pela norma da soma segue que tal sequência é limitada. Pelo Teorema de BolzanoWeierstrass existe uma subsequência (ykj ) convergente a um ponto y pertencente à esfera induzida pela métrica k.k1 . Logo kyk1 = 1. Por outro lado, da desigualdade triangular segue que 1 kyk ≤ ky − ykj k + kykj k ≤ aky − ykj k + , kj de onde se conclui que kyk = 0, o que implicaria y = 0, contradizendo kyk1 = 1. Definição 1.16. Uma sequência (xk ) ⊆ Rn é chamada sequência de Cauchy, relativa à métrica d se, para todo ε > 0, existe k0 ∈ N tal que, m, n > k0 , tenhamos d(xm , xn ) < ε. Exemplo 1.13. É fato conhecido da Análise na reta que toda sequência (na reta) convergente é uma sequência de Cauchy. Exemplo 1.14. Ser ou não uma sequência de Cauchy depende da métrica adotada. Por exemplo, para métricas equivalentes, uma sequência é sequência de Cauchy em uma métrica se, e somente se, o for em outra. Exemplo 1.15. Para ilustrar a observação anterior, consideremos a reta real R munida da métrica d(x, x) = 0 e, se x , y, d(x, y) = 1. Embora a sequência xn = n1 convirja para 0 com respeito à função.

(36) CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA EM RN. 23. módulo, ela não é sequência de Cauchy na métrica d. Isso se deve ao fato que a função módulo e a métrica d não são equivalentes.. 1.4.1. Exercícios. Exercício 1.20. Seja (xk ) ⊆ Rn uma sequência limitada. Mostre que existe c > 0 tal que |xki | ≤ c, para todo k ∈ N e 1 ≤ i ≤ n. Exercício 1.21. Considere Rn munido da métrica d(x, y) = 1, se x , y e d(x, x) = 0. Mostre que uma sequência (xk ) ⊆ Rn só é convergente no espaço métrico (Rn , d) se, e somente se, existe um índice k0 tal que, para todo k > k0 , xk = x. Exercício 1.22. Z Seja (xk ) ⊆ Rn uma sequência, k.k e k.k0 duas normas equivalentes em Rn . Mostre que a sequência (xk ) é limitada na norma k.k se, e somente se, ela é limitada na norma k.k0 . Exercício 1.23. Z Seja (xk ) ⊆ Rn uma sequência, k.k e k.k0 duas normas equivalentes em Rn . Mostre que a sequência (xk ) é convergente na norma k.k se, e somente se, ela é convergente na norma k.k0 . Exercício 1.24. Sejam (xk ), (yk ) sequências convergentes em Rn , tais que lim xk = a e lim yk = b, e α ∈ R. Mostre que 1. lim(xk + yk ) = a + b. 2. lim(αxk ) = αa. Exercício 1.25. Seja (xk ) uma sequência em Rn . Suponha que a = lim xk e b = lim xk . Prove que a = b. Exercício 1.26. Mostre que uma sequência em Rn é convergente se, e somente se, ela é uma sequência de Cauchy. Exercício 1.27. Mostre que se (xk )k é uma sequência convergente para x, então toda subsequência de (xk )k é convergente e seu limite é x. Exercício 1.28. Z Seja X um conjunto. Mostre que a ∈ X¯ se, e somente se, existe uma sequência (xn ) ⊆ X tal que lim xn = a. n→∞.

(37) 2 Funções contínuas. Neste capítulo lidaremos com funções, ou aplicações, de Rn em Rm . Usaremos indistintamente a terminologia aplicação ou função. Em verdade, o que faremos durante este capítulo é, por um lado, transportar para o ambiente multidimensional o conceito de continuidade. Por outro, faremos tal transposição usando a estrutura topológica de Rn de forma mais profunda que aquela usualmente empregada no caso unidimensional. Dada a equivalência de normas em Rn assegurada pelo Teorema 1.13, a partir de agora qualquer distância a ser considerada, a menos que explicitamente dito o contrário, será induzida por norma.. 2.1. Funções contínuas. Uma função f : X ⊆ Rn → Y ⊆ Rm é uma regra que associa a cada ponto x ∈ X um único ponto y ∈ Y , chamado de imagem de x por f , o qual freqüentemente denotamos f (x) ou y = f (x). Não raramente, escreveremos f = (f 1 , · · · , f m ), onde as funções f i : X ⊆ Rn → R, 1 ≤ i ≤ m, são chamadas funções coordenadas, ou componentes, de f . Uma função f : X → Y é dita ser sobrejetiva, ou uma sobrejeção, se f (X) = {f (x), x ∈ X} = Y . Ela é dita ser injetiva, ou uma injeção, se f (x) = f (y) ⇒ x = y. Por fim, se f : X → Y é injetiva e sobrejetiva, ela é chamada bijetiva, ou uma bijeção de X em Y . Seja Z ⊆ Y e f : X → Y . O conjunto f −1 (Z) é o conjunto dos elementos x ∈ X tais que f (x) ∈ Z. Salvo menção contrária, sendo f : X ⊆ Rn → Y ⊆ Rm uma função, assumiremos sempre que o conjunto X é aberto. Definição 2.1. Uma função f : X ⊆ Rn → Y ⊆ Rm é contínua no ponto a ∈ X quando, para todo ε > 0, existe um número positivo δ, possivelmente dependente de ε, tal que x ∈ X, kx − ak < δ ⇒ kf (x) − f (a)k < ε. Uma função f : X ⊆ Rn → Y ⊆ Rm é dita ser contínua em X 0 ⊆ X quando é contínua em todo 24.

(38) CAPÍTULO 2. FUNÇÕES CONTÍNUAS. 25. ponto a ∈ X 0 . Reciprocamente, se f não é contínua em a ∈ X, dizemos que f é descontínua no ponto a, ou ainda, que a é um ponto de descontinuidade de f . Se f é descontínua em todo ponto de um subconjunto X 0 ⊆ X, dizemos que X 0 é formado por pontos de descontinuidade de f ou que X 0 é um conjunto de descontinuidades de f . A definição acima pode ser reformulada do seguinte modo: f : X ⊆ Rn → Y ⊆ Rm é contínua no ponto a ∈ X quando, para cada bola B(f (a); ε) dada, existe uma bola B(a; δ) tal que f (B(a; δ) ∩ X) ⊆ B(f (a); ε) ∩ Y . Teorema 2.1. Uma função f : X ⊆ Rn → Y ⊆ Rm é contínua no ponto a ∈ X se, e somente se, para toda sequência de pontos (xk ) ⊆ X convergentes para a, tem-se f (xk ) → f (a). Demonstração. Supondo f : X ⊆ Rn → Y ⊆ Rm contínua no ponto a ∈ X, seja (xk ) ⊆ X uma sequência tal que xk → a. Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que f (B(a; δ) ∩ X) ⊆ B(f (a); ε) ∩ Y . A este δ, existe k0 ∈ N tal que, para todo k > k0 , temos xk ∈ B(a; δ), o que implica que f (xk ) ∈ B(f (a); ε), sempre que k > k0 , de onde se conclui que lim f (xk ) = f (a). Provemos agora a recíproca. Para tanto, façamos por absurdo, supondo que lim xk = a implique f (xk ) = f (a), mas que f seja descontínua nesse ponto. Se assim o for, existe ε > 0 tal que, para todo k ∈ N, existe xk ∈ X tal que kxk − ak < 1k e kf (xk ) − f (a)k ≥ ε. Logo, temos xk → a, mas lim f (xk ) , f (a). Contradição. Exemplo 2.1. Se k · k : Rn → R é uma norma, então k · k é contínua. Isso decorre do fato que |kxk − kyk| ≤ kx − yk, para todo x, y ∈ Rn . Exemplo 2.2. Considere a função f : R2 → R, definida por   x2 y   , se (x, y) , (0, 0),     x2 + y 2 f (x, y) =        0, se (x, y) = (0, 0). Note que.

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46) x2 y

(47)

(48)

(49)

(50)

(51) x2

(52)

(53)

(54)

(55)

(56) 2

(57) = |y|

(58)

(59) 2

(60) ≤ |y|. x + y2

(61) x + y2

(62). Tomando (xk , yk ) uma sequência arbitrária convergindo a 0, segue que lim f (xk , yk ) = 0 = f (0, 0),. k→∞.

(63) CAPÍTULO 2. FUNÇÕES CONTÍNUAS. 26. pois, em particular, yk → 0 quando k → ∞. Pelo Teorema 2.1 segue que f é contínua na origem. Exemplo 2.3. Seja f : R2 → R a função dada por !   1   x sin , se y , 0,    y  f (x, y) =        0, se y = 0. Como |f (x, y)| ≤ |x|, segue que lim. (x,y)→(0,0). |f (x, y)| = 0 ⇔ f (x, y) = 0,. de onde se conclui a continuidade de f na origem. Por outro lado, note que lim f (x, y) = 0 e, então, x→0 lim lim f (x, y) = 0. Este último limite é chamado de limite iterado. Note que é possível consi-. y→0 x→0. derar um outro limite iterado, que é analisar o comportamento quando fazemos y → 0 primeiro e, em seguida, tomamos x → 0. No primeiro caso, temos que lim f (x, y) não existe. Isto pode ser y→0. visto fixando x = x0 , 0 e considerando a sequência convergente a 0 dada por yk = 2/(kπ). Neste caso, teremos lim f (x0 , y2k ) = 0, enquanto lim f (x0 , y2k−1 ) = (−1)k x0 , que não converge para k→∞ k→∞ " # qualquer valor, pois x0 , 0. Logo, também não existe o limite iterado lim lim f (x, y) . x→0 y→0. Os exemplos anteriores concentram-se em funções do tipo f : X ⊆ Rn → R. À primeira vista eles parecem muito particulares. Entretanto, o próximo resultado mostra que entender continuidade de funções com este contra-domínio é o suficiente para se tratar do caso geral. Teorema 2.2. Uma função f = (f 1 , · · · , f m ) : X ⊆ Rn → Y ⊆ Rm é contínua no ponto a ∈ X se, e somente se, cada função coordenada f i : X ⊆ Rn → R, 1 ≤ i ≤ n, for contínua. Demonstração. Seja (xk ) uma sequência convergente para a ∈ Rn . Para provar este resultado, usemos em Rn a norma do máximo e notemos que, qualquer ε > 0, existe k0 ∈ N tal que, k > k0 , kf (xk ) − f (a)k∞ = maxi |f i (xk ) − f i (a)| < ε ⇔ |f i (xk ) − f i (a)| < ε, 1 ≤ i ≤ n ⇔ cada f i é contínua. Teorema 2.3. Sejam X ⊆ Rn , Y ⊆ Rm , Z ⊆ Rp , f : X → Y , g : Y → Z, a ∈ X e b = f (a). Suponha que f seja contínua em a e que g seja contínua em b. Então g ◦ f : X → Z é contínua em a. Demonstração. Seja ε > 0. A continuidade de g no ponto b assegura a existência de um. número positivo η tal que, para y ∈ Y e y − b < η, temos g(y) − g(b) < ε. Lembrando.

(64) CAPÍTULO 2. FUNÇÕES CONTÍNUAS. 27. que b = f (a), a continuidade de f em a assegura que, a este valor de η, existe δ > 0 tal que kx − ak < δ ⇒ kf (x) − f (a)k < η. Logo, kx − ak < δ ⇒ kg(f (x)) − g(f (a))k < ε. Teorema 2.4. Sejam f , g : X ⊆ Rn → Y ⊆ Rm e p : X ⊆ Rn → R contínuas em a ∈ X. Então. são contínuas, no ponto a, as funções (f + g), f , g , kf k, pf , definidas por (f + g)(x) = f (x) +. g(x), f , g (x) = f (x), g(x) , kf k(x) = kf (x)k e (pf )(x) = p(x)f (x). Demonstração. Deixada como exercício. Dizemos que um conjunto Z ⊆ X é um aberto em X, ou aberto relativo a X, ou ainda, relativamente aberto em X, se existe um aberto V tal que Z = X ∩ V . Por exemplo, se X = [0, 1] × [0, 1] e Z = [0, 1) × [0, 1), tanto X quanto Z não são abertos em R2 , embora Z seja relativamente aberto em X, pois Z = (−2, 1) × (−2, 1) ∩ X. Teorema 2.5. Uma função f : X ⊆ Rn → Y ⊆ Rm é contínua se, e somente se, qualquer aberto A ⊆ Rm , f −1 (A) é aberto em X Antes de se demonstrar esse resultado, que muitas vezes é usado como definição de função contínua, vale a pena observar que se exige f −1 (A) aberto em X, não necessariamente em Rn . Demonstração. Podemos assumir que A ∩ Y , ∅, pois, do contrário, a tese é vacuamente verdadeira. Se A ⊆ Rm é um aberto, para todo ponto x ∈ f −1 (A), existe ε > 0 tal que B(f (x); ε) ⊆ A. Por continuidade, existe uma bola aberta, a qual denotaremos por Bx , tal que x ∈ Bx e f (Bx ∩X) ⊆ B(f (x); ε) ⊆ A, o que implica que x ∈ Bx ∩ X ⊆ f −1 (A). Considere agora reunião [ U= Bx . x∈f −1 (A). Então x ∈ Bx ∩ X ⊆ U ∩ X. Por outro lado, como Bx ∩ X ⊆ f −1 (A) implica que [. (Bx ∩ X) ⊆ f −1 (A) = {x : x ∈ f −1 (A)} ⊆ U ∩ X,. x∈f −1 (A). de onde se conclui que f −1 (A) = U ∩ X é aberto. Suponha agora que se A ⊆ Rm é um aberto implique que f −1 (A) seja um aberto em X, ou seja, f −1 (A) = U ∩ X, onde U é um aberto em Rn . Então, dados x ∈ X e ε > 0, tome A = B(f (x); ε) e obtemos U ⊆ Rn aberto tal que U ∩ X = f −1 (B(f (x); ε)). Como x ∈ U ∩ X,.

(65) CAPÍTULO 2. FUNÇÕES CONTÍNUAS. 28. então x ∈ U , de onde se conclui a existência de um número positivo δ para o qual se tenha B(x; δ) ⊆ U e, assim, f (B(x; δ) ∩ X) ⊆ B(f (x); ε). Logo f é contínua. Teorema 2.6. Seja f : X ⊆ Rn → Y ⊆ Rm uma função contínua. Se X é compacto, então f (X) é compacto. Demonstração. Seja {Yλ , λ ∈ Λ} uma cobertura aberta de f (X). Então é claro que f −1 (Yλ ) ⊆ X, para todo λ ∈ Λ e que [ X⊆ f −1 (Yλ ). λ∈Λ. Logo, o conjunto Y = {f −1 (Yλ ), λ ∈ Λ} é uma cobertura aberta de X. Por hipótese, X é compacto. Logo a cobertura Y admite uma subcobertura finita {f −1 (Y1 ), · · · , f −1 (Yn )}, ou seja, X = f −1 (Y1 ) ∪ · · · ∪ f −1 (Yn ), ou seja, {Y1 , · · · , Yn } é uma subcobertura finita de f (X). Corolário 2.1. Se f : X ⊆ Rn → R é uma função contínua e X compacto, então existem x0 , x1 ∈ X tais que f (x0 ) ≤ f (x) ≤ f (x1 ), para todo x ∈ X. Demonstração. Deixada como exercício. Definição 2.2. Um homeomorfismo do conjunto X ⊆ Rn sobre um conjunto Y ⊆ Rm é uma bijeção contínua f : X → Y cuja inversa f −1 : Y → X também é contínua. Exemplo 2.4. Toda transformação linear T : Rn → Rm é contínua. A prova disso é deixada como exercício. Notando que a esfera unitária Sn−1 = {x ∈ Rn ; kxk = 1} é compacta, o número kT k = sup kT xk. (2.1). x∈Sn−1. existe e é chamado de norma da transformação linear T . Em particular, se m = n e T é injetiva, então T é um homeomorfismo de Rn em si mesmo. Exemplo 2.5. Sejam T : Rn → Rm uma transformação linear injetiva e defina g : Rn → R como g(x) = kT xk. Claramente, temos que g é a composição g = k · k ◦ T . Decorre dos exemplos 2.1, 2.4 e do Teorema 2.3 que g é contínua. Pelo Corolário 2.1, existe uma constante c tal que c = min g(x). Uma vez que T é injetiva e x∈. Sn−1 ,. x∈Sn−1. então T x , 0, de onde se conclui, pelo Corolário 2.1, que c > 0. Assim, uma vez que se.

(66) CAPÍTULO 2. FUNÇÕES CONTÍNUAS. 29. x , 0, então x/kxk ∈ Sn−1 , temos x x . ≥ c ⇒ kT xk ≥ c kxk . g ≥ c ⇒ T kxk kxk . Definição 2.3. Uma função f : X ⊆ Rn → Y ⊆ Rm é dita ser limitada se existe δ > 0 tal que f (X) ⊆ B(x0 ; δ), para algum x0 ∈ Rn . Seja f : X ⊆ Rn → R uma função limitada. Para cada a ∈ X, considere o conjunto X(f , a, δ) = {f (x); x ∈ X, kx − ak < δ}. Uma vez que f é limitada, então X(f , a, δ) ⊆ R é um conjunto limitado. Logo, ficam bem definidos os números M(f , a, δ) = sup X(f , a, δ), m(f , a, δ) = inf X(f , a, δ). Observe que, fixado δ > 0, se δ0 < δ, então X(f , a, δ0 ) ⊆ X(f , a, δ) e, então, m(f , a, δ) ≤ m(f , a, δ0 ) ≤ M(f , a, δ0 ) ≤ M(f , a, δ).. (2.2). A desigualdade acima mostra que a função (0, ∞) 3 δ 7→ m(f , a, δ) cresce monotonicamente com o decréscimo de δ e é limitada superiormente, por, digamos, M(f , a, 1). Logo, existe m(f , a) := sup m(f , a, δ) = lim m(f , a, δ). Similarmente, concluímos que existe e é δ∈(0,∞). δ→0. bem definida a quantia M(f , a) := inf M(f , a, δ) = lim M(f , a, δ). δ∈(0,∞). δ→0. Note que, fixado δ, temos M(f , a, δ) ≥ f (x) e m(f , a, δ) ≤ f (y), quaisquer que sejam x, y ∈ B(a; δ). Desta forma, concluímos que M(f , a, δ) − m(f , a, δ) ≥ |f (x) − f (y)|. Podemos agora analisar a função (0, ∞) 3 δ 7→ ω(f , a, δ) := M(f , a, δ) − m(f , a, δ). Ainda mais, para cada δ > 0 fixado, têm-se ω(f , a, δ) ≥ |f (x) − f (y)| para quaisquer x, y ∈ B(a; δ). Mais ainda, o leitor pode provar que se tem ω(f , a, δ) = sup |f (x) − f (y)|. x, y ∈ B(a;δ). Claramente a função definida no parágrafo anterior é não-negativa e se 0 < δ0 < δ, têmse, em virtude de (2.2), que 0 ≤ ω(f , a, δ0 ) ≤ ω(f , a, δ). Geometricamente essa função mede o quanto os valores de f (x) podem variar numa vizinhança de f (a). Definição 2.4. O número ω(f , a) = lim [M(f , a, δ)−m(f , a, δ)] é chamado oscilação de f no ponto δ→0 a..