Matemática. R&A Editora Cursos e Materiais Didáticos Ltda.(setor gráfico) Printed in Brazil

Matemática

© 3ª Edição - 2002

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Autor:

Professor Joselias Santos da Silva

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Editoração Eletrônica:

Valquíria Farias dos Santos

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Impresso no Brasil Printed in Brazil

Matemática

Concursos Públicos

MATEMÁTICA

T

EORIA

Com mais de 500 questões

resolvidas e comentadas

Matemática

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Silva, Joselias Santos da,

1957-Concursos Públicos: matemática : teoria, com mais de 500 questões resolvidas e comentadas / Joselias Santos da Silva. -- São Paulo : R&A Editora Cursos e Materiais Didáticos, 1999.

Bibliografia.

1. Matemática - Concursos públicos I. Título

99-2008 CDD-510.76

Índices para catálogo sistemático:

Matemática

Índice

1. As quatro operações com números inteiros, fracionários e decimais;

Números Pares, Ímpares, Primos e Compostos; ... 7

• Operações e propriedades com números inteiros ... 8

• Números Pares ... 11 • Números Ímpares ... 11 • Divisibilidade ... 11 • Múltiplos e Divisores ... 14 • Números Primos ... 14 • Números Compostos: ... 15

• Máximo Divisor Comum (MDC) ... 15

• Mínimo Múltiplo Comum (MMC) ... 15

• Números Fracionários e Decimais ... 18

• Operações nas Formas Fracionárias e Decimais ... 20

2. Sistema Métrico Decimal (medidas de comprimento, área, volume, capacidade, massa e tempo) ... 32

• Sistema Métrico Decimal ... 32

• Medidas de Superfície (área) ... 36

• Medida de Volume ... 37

• Medidas de Capacidade ... 38

• Medidas de Massa ... 39

• Medidas não decimais ... 39

3. Juros e Porcentagem ... 51

• Conceitos de Matemática Financeira ... 51

• Regime de Capitalização ... 53

• Capitalização Simples ... 55

• Porcentagem ... 63

4. Razão e Proporção; Regra de Três Simples e Composta; Divisões Proporcionais ... 71

• Razões e Proporções ... 71

• Série de Razões iguais ou porporções em série ... 74

• Razões ... 76

Matemática

• Regra de Sociedade ... 80 • Regra de Três Simples ... 90 • Regra de Três Composta ... 92 5. Sistema do 1º grau ... 98 6. Potenciação e Radiciação ... 104 • Potenciação ... 104 • Radiciação ... 105 • Produtos Notáveis ... 105 7. Equação do 2º grau ... 107 • Trinômio do 2º grau ... 107 • Inequação do 2º grau ... 110

8. Questões Resolvidas e Comentadas ... 117

Matemática

As quatro operações com Números Inteiros,

Fracionários e Decimais;

Números Pares, Ímpares, Primos e Compostos;

MMC e MDC; Divisibilidade.

A matemática desenvolvida nesta apostila não terá o compromisso de ensinar os verdadeiros princípios de numeração que motivaram a criação dos números. Lembramos ao leitor que este material está voltado aos candidatos aos concursos públicos que exigem o segundo grau completo, portanto partimos da premissa que o aluno já possui a iniciação matemática necessária ao entendimento dos assuntos abordados, não sendo precisos detalhes triviais do 1° grau.

Representaremos inicialmente os números naturais: 0, 1, 2, 3, 4,...

A coleção de todos os números naturais representaremos pela letra N e chamare-mos de conjunto dos números naturais, então :

N = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ... }.

Assim, o leitor já observou que os números naturais servem para contar, e este foi o grande salto da humanidade no sentido matemático, quando as primeiras civiliza-ções começaram a contar seus rebanhos.

A seguir, traremos a idéia de números inteiros; suponha que na reta marquemos os pontos como na figura:

... –3 –2 –1 0 1 2 3 4 ...

Os pontos marcados representam os números inteiros e observe que teremos intei-ros positivos, negativos, não positivos e não negativos.

Então, Z é o conjunto dos números inteiros. Daí:

Z = { ... –4 , –3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... }

Representaremos por Z_– o conjunto dos números não positivos. Daí :

Z_– = { ... –4 , –3 , –2 , –1 , 0 }

Se no conjunto dos inteiros considerarmos apenas os números não negativos, tere-mos a notação Z₊.

Logo :

Z₊ = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... }

Matemática

Vamos introduzir a notação com (*), para dizer que o conjunto não possui zero, isto é,

Z* = Z – { 0 } = {... –3 , –2 , –1 , 1 , 2 , 3... }

Então, representaremos por conjunto dos números inteiros negativos a :

Z*_– = { ... , –3, –2, –1 }

Analogamente representaremos por conjunto dos inteiros positivos a :

Z*₊ = {1 , 2 , 3 , 4 , ... }

OPERAÇÕES E PROPRIEDADES COM NÚMEROS INTEIROS

A.

ADIÇÃO

Chamaremos de adição à operação de reunir em um só número as quantida-des representadas por dois ou mais números.

Representaremos a operação de adição pelo símbolo “+”. Ao resultado da adição chamaremos de soma.

Exemplo :

Seja uma caixa A com 10 canetas Seja uma caixa B com 20 canetas

Então, o total de canetas será a adição das quantidades das caixas A e B representaremos por 10 + 20 = 30.

Ao resultado da adição chamaremos de soma, isto é, 30 canetas é o resultado da adição de 10 canetas com 20 canetas.

PROPRIEDADES

Sejam os números inteiros: Então:

I. a + 0 = a ( Existência do neutro).

O número não se altera quando adicionamos o 0 (zero).

II. a + b = b + a

A adição é comutativa.

III. a + b + c = a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

A adição é associativa.

Exemplo:

Uma pessoa tinha x livros.

Comprou mais 5 livros, com quantos livros ficou ? Resposta : ( x + 5 ) livros.

Exemplo:

Uma microempresa possui 3 funcionários ( A, B e C ). Se A ganha R$ 300,00,

B ganha R$ 400,00 e C ganha R$ 500,00, qual o valor da folha de pagamento

Matemática

SOLUÇÃO

A adição entre 300, 400 e 500 é 300 + 400 + 500 = R$ 1.200,00

B.

SUBTRAÇÃO

Chamaremos subtração à operação de achar a quantidade que um número excede o outro e esta operação representaremos pelo símbolo “ – “. Ao resul-tado da subtração chamaremos de diferença.

Exemplo:

Suponhamos que uma pessoa tinha 40 canetas e perdeu algumas ficando com 30 canetas ao final. Quantas canetas ela perdeu ?

SOLUÇÃO

A subtração entre 40 e 30 é 40 – 30 = 10 canetas perdidas.

Exemplo:

Suponha que um vendedor ambulante tinha 50 canetas para vender. Se du-rante a manhã ele vendeu 15 canetas e à tarde vendeu 18 canetas, com quantas canetas acabou o dia ?

SOLUÇÃO

50 – 15 – 18 = 35 – 18 = 17 Canetas

C.

MULTIPLICAÇÃO

Chamamos de multiplicação à operação de realizar a adição de um número quantas vezes for o outro.

A operação de multiplicação representaremos pelo símbolo “×”. Ao resultado da multiplicação chamaremos de produto. Aos números envolvidos na opera-ção chamamos de fatores.

Exemplo:

a. 3 × 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 b. 7 × 4 = 7 + 7 + 7 + 7 = 28

c. 10 × 6 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60

PROPRIEDADES

1. A ordem dos fatores não altera o produto (Comutativa). Exemplo:

a. 2 × 3 = 3 × 2 = 6

b. 5 × 4 × 3 = 4 × 3 × 5 = 3 × 4 × 5 = 60

2. Associativa

Matemática

3. Qualquer número multiplicado por “0” tem como resultado zero.

2 × 0 = 0 3 × 4 × 0 = 0

4. O produto de qualquer número por 1 é igual ao próprio número.

a × 1 = a 120 × 1 = 120

D.

DIVISÃO

Chamamos de divisão de um número (dividendo) por outro número (divisor) à operação de achar um terceiro número (quociente) tal que multiplicado pelo divisor produza o dividendo. A operação de divisão será representada pelo símbolo “ : ”

Exemplo

Dividir 650 por 13 é encontrar um número (50) tal que 50 multiplicado por 13 produza 650.

650 50 13

dividendo quociente divisor x 1 24 34 =1 24 34 124 34

PROPRIEDADES

1. O quociente da divisão de um número por 1 é o próprio número:

30 ÷ 1 = 30 27 ÷ 1 = 27

2. Um número, diferente de zero, dividido por ele mesmo é sempre igual a 1. 20 ÷ 20 = 1 47 ÷ 47 = 1

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01. Efetue os produtos : a. 9 × 9 = b. 9 × 98 = c. 9 × 987 = d. 9 × 9876 = e. 9 × 987.654.321 = RESPOSTA a. 81 b. 882 c. 8883 d. 88.884 e. 8.888.888.889.

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02. Efetue os produtos : a. 12.345.679 × 9 = b. 12.345.679 × 18 = c. 12.345.679 × 27 = d. 12.345.679 × 45 = RESPOSTA a. 111.111.111 b. 222.222.222 c. 333.333.333 d. 555.555.555 03. Efetue a divisão. 888.888.888 ÷ 98.765.432 RESPOSTA 9 (veja exercício 01)

NÚMEROS PARES

Chamamos de números pares aos números que terminam com 0, 2, 4, 6 ou 8.

NÚMEROS ÍMPARES

Chamamos de números ímpares aos números que terminam com 1, 3, 5, 7 ou 9.

DIVISIBILIDADE

Esta parte do material irá tratar das regras que permitem dizer se um número é divisível por outro sem precisar efetuar os cálculos.

DIVISIBILIDADE POR 2

Um número é divisível por 2 quando é par ( termina em 0 , 2 , 4 , 6 , 8 ). Exemplos: 10 , 24 , 1.208

DIVISIBILIDADE POR 3

Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos produz como resultado um número múltiplo de 3.

Exemplo:

a. 36 (3 + 6 = 9)

b. 147 (1 + 4 + 7 = 12)

DIVISIBILIDADE POR 4

Um número é divisível por 4 quando os 2 últimos algarismos formam um número divisível por 4.

Exemplo:

a. 840 (40 é divisível por 4)

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DIVISIBILIDADE POR 5

Um número é divisível por 5 quando termina em zero ou cinco.

Exemplo: a. 1.230 b. 1.345

DIVISIBILIDADE POR 6

Um número é divisível por 6, quando é divisível por 2 e 3, simultaneamente. Portanto, tem que ser par e divisível por 3.

Exemplo: a. 324 b. 126

DIVISIBILIDADE POR 7

Não há regra, porém vou apresentar um algoritmo que certa vez um professor me apresentou.

Exemplo:

315 é divisível por 7. Veja como verificar:

1º Sempre separe a casa das unidades.

n n

31 n 5

n n

2º Multiplique o algarismo à direita da separação por 2, e subtraia do algarismo

à esquerda. Logo:

31 – 2 X 5 = 31 – 10 = 21

3º Se o resultado for divisível por 7, então o número original é divisível por 7. Exemplo: 8.638 é divisível por 7. n n 863 n 8 n n 863 – 8 X 2 = 863 – 16 = 847.

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n n 84 n 7 n n

84 – 7 X 2 = 70 é divisível por 7. Logo 8.638 é divisível por 7.

DIVISIBILIDADE POR 8

Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismos formam um número divisível por 8.

Exemplo:

a. 12.160 é divisível por 8, pois 160 é divisível por 8. b. 23.800 é divisível por 8, pois 800 é divisível por 8. DIVISIBILIDADE POR 9

Um número é divisível por 9, quando a soma dos seus algarismos formam um número divisível por 9.

Exemplo:

a. 297 é divisível por 9, pois 2 + 9 + 7 = 18 é divisível por 9. b. 1.107 é divisível por 9, pois 1 + 1 + 0 + 7 = 9 é divisível por 9. c. 8.883 é divisível por 9, pois 8 + 8 + 8 + 3 = 27 é divisível por 9. DIVISIBILIDADE POR 10

Um número é divisível por 10 quando termina em 0 (zero).

Exemplo:

a. 12.340 é divisível por 10. b. 987.650 é divisível por 10. DIVISIBILIDADE POR 11

Um número é divisível por 11, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem par e a soma dos algarismos de ordem ímpar é divisível por 11.

Exemplo:

a. 14.927 é divisível por 11 pois,

• soma dos algarismos de ordem par: 4 + 2 = 6

• soma dos algarismos de ordem ímpar: 1 + 9 + 7 = 17 Diferença: 17 – 6 = 11 é divisível por 11.

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Exemplo:

a. 909.293 é divisível por 11.

• soma dos algarismos de ordem par: 0 + 2 + 3 = 5 • soma dos algarismos de ordem ímpar: 9 + 9 + 9 = 27 Diferença: 27 – 5 = 22 é divisível por 11.

MÚLTIPLOS E DIVISORES

Sendo x e y números inteiros; x é múltiplo de y, se x é produto de y por um outro número inteiro z. Exemplo: a. 21 é múltiplo de 7, pois 21 = 7 . 3 b. 21 é múltiplo de 3, pois 21 = 3 . 7 c. –9 é múltiplo de 3, pois –9 = 3 . (–3) d. 0 é múltiplo de 10 pois 0 = 10 . 0

Observamos que zero é múltiplo de qualquer número inteiro, pois 0 = x . 0, para qualquer número x∈Z.

Se x , y são números inteiros, definimos que x é múltiplo de y ou z , tal que x = y . z, nestas condições y e z são divisores de x.

Exemplo: a. 3 é divisor de 21, pois 21 = 3 . 7 b. 7 é divisor de 21, pois 21 = 7 . 3 c. 3 é divisor de –9, pois 9 = 3 . (-3) d. 10 é divisor de 0, pois 0 = 10 . 0 Observação:

Indicaremos por D(x) o conjunto dos divisores de x. Indicaremos por M (x) o conjunto dos múltiplos de x. D (x) = { d∈ Z | d divide x } M (x) = { m∈ Z | m é múltiplo de x } Exemplo: a. D(6) = { –6 , –3 , –2 , –1 , 1 , 2 , 3 , 6 } b. D(3) = { –3 , –1 , 1 , 3 } c. M(5) = { ... –15 , –10 , –5 , 0 , 5 , 10 , 15,...} d. M(–2) = { ... –4 , –2 , 0 , 2 , 4 , 6 ,.... }

NÚMEROS PRIMOS

Um número inteiro x , x ≠ ±1 é primo, se e somente se, seus únicos divisores são –

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Observação:

Por esta definição observe que 0 , –1 , 1, não são primos.

NÚMEROS COMPOSTOS:

Chamamos de números pares aos números que possuem mais de dois divisores positivos.

MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)

Dados dois inteiros x e y, não nulos, seu máximo divisor comum, que se indica por MDC(x , y), é o maior elemento do conjunto D x( )ID y( ).

Exemplo:

Sejam os inteiros 15 e 24 Então, temos:

D (15) = { –15 , –5 , –3 , –1 , 1 , 3 , 5 , 15 }

D (24) = { –24 , –12 , –8 , –6 , –4 , –3 , –2 , –1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24} O máximo divisor comum de 15 e 24 será o maior elemento de

D (15) I D (24) = { –3 , –1 , –1 , 3 }, logo: MDC (15 , 24) = 3.

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Dizemos que dois inteiros são primos entre si, quando o MDC entre eles é um.

Exemplo:

5 e 9 são primos entre si, pois o MDC (5 , 9) = 1

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)

Dados dois inteiros x e y, não nulos, o mínimo múltiplo comum entre x e y, é o menor elemento positivo do conjunto M (x) I M (y)

Exemplo:

Considere os inteiros 6, 8.

M (6) = { ... –36 , –30 , –24 , –18 , –12 , –6 , 0 , 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , .... } M (8) = { .... –40 , –32 , –24 , –16 , –8 , 0 , 8 , 16 , 24 , 32 , 40 , 48 , .... } M (6) I M(8) = { .... –24 , 0 , 24 , 48 .... }

O MMC (6, 8) é o menor inteiro positivo do conjunto M (6) I M (8), logo o MMC (6 , 8) = 24.

Matemática

Nota importante:

Para se calcular o MDC ou MMC, consideramos a decomposição nos fatores primos. Sendo assim teremos:

a. O MDC será o produto dos fatores primos comuns tomados com os menores

expoentes

b. O MMC será o produto de todos os fatores primos tomados com os maiores

expoentes. Exemplo: Considere os inteiros 40 e 72. 40 2 72 2 20 2 36 2 10 2 18 2 5 5 9 3 1 3 3 1 40 = 2³ x 51 _{72 = 2³x 3²} Logo: MDC (40, 72) = 2³ = 8 MMC (40, 72) = 2³ x 3²x 51 _{= 8 x 9 x 5 = 360} Exemplo: Calcule: MDC (72, 120) e MMC (72, 120) 72 2 120 2 36 2 60 2 18 2 30 2 9 3 15 3 3 3 5 5 1 1 72 = 2³x 3² 120 = 2³x 31 _{x 5}1 MDC (72, 120) = 23 _{x 3}1 _{= 8 x 3 = 24} MMC (72, 120) = 23 _{x 3}2 _{x 5}1 _{= 8 x 9 x 5 = 360} Exemplo:

Três satélites artificiais giram em torno da Terra, em órbita constante.

O tempo de rotação do primeiro é de 42 minutos, o do segundo 72 minutos e o do terceiro 126 minutos.

Em dado momento eles se alinham no mesmo meridiano, embora em latitudes diferentes.

Eles voltarão a passar, em seguida, simultaneamente, pelo meridiano depois de :

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a. 16h e 24 min b. 7h e 48 min c. 140 min d. 126 min e. 8h e 24 min SOLUÇÃO

O tempo de rotação do satélite A = 42 min. O tempo de rotação do satélite B = 72 min. O tempo de rotação do satélite C = 126 min.

Houve uma coincidência, a próxima coincidência ocorrerá daqui a: MMC (42, 72, 126) = 23 _{x 3}2 _{x 7}1 _{= 8 x 9 x 7 = 504 min.} 42 2 72 2 126 2 21 3 36 2 63 3 7 7 18 2 21 3 1 9 3 7 7 3 3 1 1 42 = 21 _{X 3}1 _{X 7}1 _{72 = 2}3 _{X 3}2 _{126 = 2}1 _{X 3}2 _{X 7}1

Logo, decorrerão 504 minutos para que os satélites passem simultaneamente pelo mesmo meridiano.

Dai,

504 min 60 24 min 8h

Resposta: 8h e 24 min. “E”

Exemplo:

Dois ciclistas saem juntos, no mesmo instante e no mesmo sentido, do mesmo ponto de partida de uma pista circular. O primeiro dá uma volta em 132 segundos e o outro em 120 segundos. Calcule os minutos que levarão para se encontrar novamente. a. 1.320 b. 132 c. 120 d. 60 e. 22

Matemática

SOLUÇÃO

O primeiro dá uma volta em 132 seg. O segundo dá uma volta em 120 seg.

Houve uma coincidência, a próxima coincidência ocorrerá em : MMC (132, 120) = 23 _{x 3}1 _{x 5}1 _{x 11}1 _{= 1.320 seg.} 132 2 120 2 66 2 60 2 33 3 30 2 11 11 15 3 1 5 5 1 132 = 22 _{x 3}1 _{x 11}1 _{120 = 2}3 _{x 3}1 _{x 5}1 MMC (132, 120) = 1.320 seg. 1.320 seg 60 120 seg 22 min

0 Resposta: 22 min. “E”

NÚMEROS FRACIONÁRIOS E DECIMAIS

Suponha que temos uma pizza e a dividimos em 8 pedaços iguais.

Cada pedaço representa 1

8 (um oitavo) da pizza.

Matemática

Logo, os três pedaços apresentados na figura acima representam 3 oitavos da pizza (3

8 da pizza).

Então o leitor tem que começar a entender que uma fração representa uma parcela (ou várias parcelas) de um todo.

Seja então a fração a

b.

Chamamos de a o numerador da fração e de b o denominador da fração.

Quando o denominador da fração for igual a 10 ou múltiplo de 10 a fração será chamada de fração decimal, caso contrário de fração ordinária.

Exemplo: a. 1 8 fração ordinária. b. 4₅ fração ordinária. c. ₁₀3 fração decimal. d. ₁₀₀7 fração decimal.

Quando o numerador for menor que o denominador, a fração será chamada de fração própria, caso contrário será chamada de fração imprópria (ou mista).

Exemplo: 3 4 (própria) 4 5 (própria) 9 5 (imprópria) 10 3 (imprópria)

obs: As frações impróprias são também chamadas de mistas e escritas da forma qr b.

Matemática

Exemplo: a. 10 3 3 1 3 = 10 3 1 3 b. 7₄ 13 4 = 7 4 3 1 c. 19₅ 34 5 = 19 5 4 3 Onde: 31

3 lê-se 3 inteiros e 1 terço. 13

4 lê-se 1 inteiro e três quartos. 34

5 lê-se 3 inteiros e quatro quintos.

OPERAÇÕES NAS FORMAS FRACIONÁRIAS E DECIMAIS

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES

Devemos primeiramente reduzir as frações a um denominador comum para depois realizar as operações necessárias.

Exemplo: a. 2 3 4 6 3 5 + +

• Vamos achar o denominador comum:

3 - 6 - 5 2 3 - 3 - 5 3 1 - 1 - 5 5 1 - 1 - 1 MMC (3, 6, 5) = 30 Logo: 2 3 4 6 3 5 2 x 10 + 4 x 5 + 6 x 3 30 20 + 20 + 18 + + = = = 30 58 30 30:3 = 10 30:6 = 5 30:5 = 6

(

(

(

Matemática

Logo, o resultado é 58

30

, que pode ser simplificado por 2 (dividindo numerador e denominador por 2). 58 30 29 15 1 14 15 15 29 = = Exemplo: 4 5 3 7 2 21 3 15 + + −

Vamos calcular o denominador comum: 5 - 7 - 21 - 15 3 5 - 7 - 7 - 5 5 1 - 7 - 7 - 1 7 1 - 1 - 1 - 1 105 MMC ( 5, 7, 21, 15 ) = 105 Logo: 105 : 5 = 21 105 : 7 = 15 105 :21 = 5 105 :15 = 7

Logo, a resposta será a fração: 118

105 1 13 105

=

MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES

Basta lembrar o esquema :

a b c d a c b d ⋅ = ⋅ ⋅ Exemplo: 4 7 5 8 4 5 7 8 20 56 x x x

= = que pode ser simplificada: basta dividir o numerador e o denominador por 4. 20 56 5 14 = ⇒ + + − = + + − = = + + − = 4 3 2 3 4 21 3 15 2 5 3 7 105 84 45 10 21 105 118 105 5 21 715 215 157 x x x x

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DIVISÃO DE FRAÇÕES

Basta lembrar o esquema:

a b c d a bx d c : = Exemplo: 2 5 3 7 2 5 7 3 14 15 : = x =

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

04. Calcule 3 4 de 160. Resposta : 3 4 x 160 = 3 x 40 = 120 05. Calcule 3₅ de 200. Resposta : 3 5 x 200 = 3 x 40 = 120 06. Qual o valor de X para que3

5 seja 60.

Resposta : 3

5X = 60

∴ X= 60 5x ∴ X= x ∴ X=

3 20 5 100

07. Qual o valor do produto : 1 1 3 1 1 4 1 1 5 1 1 n −    −  − L −  a. 1 n b. 2 n c. 2(n 1) n − d. ₍2 ₎ 1 n n+ e. ₍3 ₎ 1 n n+

Matemática

Solução: 1 1 3 1 1 4 1 1 5 1 1 2 3 3 4 4 5 1 2 −    −  −   − = ⋅ ⋅ − ₌ L L n n n n Resposta: “B” 08. Calcular 2 5de 3 4

Resposta: = 2₅⋅ =3_{4 20}6 simplificando por 2 temos : ₂₀6 =₁₀3

09. Um comerciante vende uma mercadoria por R$ 1.200,00, ganhando nessa transação 1

5do preço de custo; por quanto deveria vender a mercadoria

para ganhar ½ do preço de custo? Solução

Seja x o preço de custo. Logo, x+1x 5 representa R$ 1.200,00 portanto,6 5 x representa R$ 1.200,00 Isto é, 6₅x = 1.200,00 ∴ x=1200 5⋅ 6 . x = 200 . 5 x = R$ 1.000,00

O preço de custo é R$ 1.000.00; como quero ganhar₂1do preço de custo 1

2de .1000



 , temos que o preço de venda será: R$ 1.000,00 + R$ 500,00

= R$ 1.500,00.

10. (FUVEST) – Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo por :

a. ₁₂₅1 b. 1 8 c. 8 d. 12,5 e. 80

Matemática

Solução:

Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo pelo inverso 1

0 0125, ,

Logo 1

0 0125, = 80. Resposta : “E”

11. O produto de dois números inteiros positivos, que não são primos entre si, é igual a 825. Então, o máximo divisor comum desses dois números é: a. 1 b. 3 c. 5 d. 11 e. 15 Solução:

Sejam x e y os números inteiros positivos dados. Como x e y não são primos entre si, existe um fator primo comum na decomposição deles.

Como x . y = 825 = 3 . 52 . 11, então, o fator primo comum só pode ser 5. Daí o MDC ( x , y ) = 5

Resposta: “C”

12. Numa corrida de automóveis, o primeiro corredor dá uma volta completa na pista em 10 segundos, o segundo, em 11 segundos e o terceiro em 12 segundos.

Quantas voltas terá dado cada um, respectivamente, até o momento em que passarão juntos na linha de saída ?

a. 66, 60, 55 b. 62, 58, 54 c. 60, 55, 50 d. 50, 45, 40 e. 40, 36 e 32 Solução:

Corredor A - dá uma volta em 10 segundos. Corredor B - dá uma volta em 11 segundos. Corredor C - dá uma volta em 12 segundos. Dado que partiram juntos, passarão juntos em:

Matemática

MMC ( 10, 11, 12 ) = 660 segundos 10 - 11 - 12 2 5 - 11 - 6 2 5 - 11 - 3 3 5 - 11 - 1 5 1 - 11 - 1 11 1 - 1 - 1 660 Logo, em 660 seg. A - dará 660 10 =66voltas B - dará 660 11 =60voltas C - dará 660 12 =55voltas Resposta: “A”

13. Quantos divisores positivos possui o número 216? Solução:

Vamos decompor o número 216 216 2 108 2 54 2 27 3 9 3 3 3 1 216 = 23 . 33

Para achar o número de divisores positivos, basta somar 1 a cada expoente e multiplicá-los (3 + 1) . (3 + 1) = 4 . 4 = 16 divisores positivos.

14. Temos 3 caixas com igual número de balas e mais uma com 10 balas apenas, tirando-se 6 balas de cada uma das caixas, ficamos com 61 balas. Quantas balas tinha cada uma das 3 primeiras ?

a. 23 b. 25 c. 28 d. 31

Matemática

Solução:

Seja x a quantidade de balas em cada caixa. Logo, temos ( 3x + 10 ) balas nas 4 caixas. Se tirarmos 6 de cada caixa, ficaremos com:

3x + 10 – 24 = 3x – 14 Logo, 3x – 14 é igual a 61. 3x – 14 = 61 3x = 61 + 14 ∴ 3x = 75 x = 75_{3 ∴} x = 25 Resposta : ”B”

15. Dois concursos têm o mesmo número de candidatos. Os3

4dos candidatos

do primeiro concurso excedem de 560 os2

5dos candidatos do segundo.

O número de candidatos de cada concurso é: a. 2.000 b. 1.800 c. 1.600 d. 800 e. 400 Solução:

Seja x o número de candidatos em cada concurso. Logo

3 45 2 54 560 560 20 7 15 8 20 560 80 20 7 20 560 x x x x x x x − = = ⋅ − _{= = ⋅} = x=1.600 candidatos Resposta: “C” 16. O salário do Sr. Agenor é11

2vezes o salário do Sr. Antenor. Então, o Sr.

Antenor ganha que fração do salário do Sr. Agenor ? a. 1 2 b 1 3 c. 2 3 d. 5 6

Matemática

Solução:

Se o salário do Sr. Agenor é 11

2 vezes o salário do Sr. Antenor, então, o salário do Sr. Agenor é3

2do Sr. Antenor, isto é, o salário do Sr. Agenor =32 salário do Sr. Antenor. Logo, o salário do Sr. Antenor =2

3 salário do Sr. Agenor. Resposta : “C” 17. Resolva a expressão: ( –25.308 ) + ( –9.080 ) – ( +767 ) + ( +49 ) – ( –6 ) a. 35.210 b. 15.406 c. –16.952 d. –33.578 e. –35.100 Resposta : “E” 18. Efetuar os cálculos: ( + 57 ) . ( –722 ) : ( –19 ) a. 13.718 b. 2.166 c. 114 d. 35 e. –684 Resposta : “B”

19. O maior divisor e o menor múltiplo dos números 12, 18 e 30 são, respectivamente: a. 6 e 180 b. 1 e 30 c. 2 e 90 d. 60 e 60 e. 3 e 360 Resposta : “A”

20. Resolver a seguinte expressão :

2 3 1 6 1 2 : 3 4 1 2 1 2 −    +         + −    a. 3 b. 4 c. 4 11

Matemática

d. 5 3 e. 3 16 Resposta: “A” 21. A expressão5 6 3a 10 2 15 +   é idêntica a : a. a 4 1 9 + b. 15 60 2 15 a + c. 3 10 10 90 a + d. a 2 1 3 + e. 13 36 Resposta: “A” 22. Efetuar as operações : 65,90 – ( 57,40 : 2 ) 1,4 + 7,88 a. 13,83 b. 33,60 c. 37,52 d. 39,44 e. 53,28 Resposta: “B” 23. Calcular : 0,0525 10 10 8 3 ⋅ a. 52,5 b. 5,25 c. 525 d. 5.250 e. 52.500 Resposta: “D”

Matemática

24. Sabendo-se que A = 2x . 32 . 5 , B = 22x . 3 . 52 e que MMC ( A , B ) tem 45 divisores, o valor de x será:

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 Resposta : “B”

25. O terço e a metade de um número fazem juntos 860. Qual é esse número? a. 1.002 b. 1.022 c. 1.032 d. 1.042 e. 1.052 Resposta : “C”

26. Qual é o número cujo 1

25 aumentado de 600 dá 1.000 como soma ?

a. 100 b. 1.000 c. 10.000 d. 100.000 e. 1.000.000 Resposta : “C”

27. Viviane quer comprar 4 pacotes de biscoitos que custam R$ 0,57 cada um. Pagando com uma nota de R$ 10,00, quanto receberá de troco? a. R$ 2,28 b. R$ 7,30 c. R$ 7,72 d. R$ 9,43 e. R$ 9,72 Resposta : “C”

28. João é 4 anos mais velho que seu irmão José. Se em 1995 José completou 22 anos, então João nasceu em:

a. 1.969 b. 1.970 c. 1.973 d. 1.975 e. 1.977 Resposta : “A”

Matemática

29. Um produto que custa R$ 2,60 estava sendo vendido a R$ 1,70. Viviane aproveitou a oferta e comprou 6 unidades do produto. Quanto Viviane economizou? a. R$ 0,90 b. R$ 4,30 c. R$ 5,40 d. R$ 5,60 e. R$ 25,80 Resposta : “C”

30. João e Maria são irmãos. Maria nasceu em 1972 e João completou 18 anos em 1995. Qual era a idade de Maria quando João nasceu ?

a. 2 anos b. 3 anos c. 5 anos d. 7 anos e. 8 anos Resposta : “C”

31. Quero comprar 3 lápis ao preço de R$ 0,42 cada um. Pagando com uma nota de R$ 10,00, quanto receberei de troco ?

a. R$ 8,58 b. R$ 8,74 c. R$ 9,04 d. R$ 9,58 e. R$ 9, 74 Resposta : “B”

32. Augusto é 7 anos mais novo que seu irmão Antônio. Se Antonio nasceu em 1971, quantos anos Augusto completou em 1995?

a. 17 b. 19 c. 24 d. 31 e. 33 Resposta: “A”

33. (CESGRANRIO) – Numa cidade de 248.000 habitantes, a razão entre o número de mulheres e de homens é igual a 3

5. A diferença entre o número

de homens e o número de mulheres é de: a. 62.000

b. 124.000 c. 93.000

Matemática

d. 155.000 e. 208.000 Resposta : “A”

34. (CESGRANRIO) – Um pequeno agricultor separou para consumo de sua família 1

8de sua produção de feijão. Se ainda sobraram 112 Kg para serem

vendidos, a produção, em Kg, foi de: a. 128 b. 160 c. 360 d. 784 e. 846 Resposta : “A”

35. (CESGRANRIO) Quatro amigos compraram 850 arrobas de carne. Três ficaram com18

25do total e o quarto com o restante. O 1o ficou com o

dobro do 3o mais 100 arrobas; o 2o, com a metade do que coube ao lo mais 40 arrobas. Quantas arrobas couberam, ao que comprou mais e ao que comprou menos, respectivamente?

a. 612 e 238 b. 612 e 105,5 c. 311 e 195,5 d. 311 e 105,5 e. 238 e 105,5 Resposta : “D”

Matemática

Sistema Métrico Decimal

(medidas de comprimento, área, volume, capacidade, massa e tempo)

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

O sistema métrico decimal é o conjunto de medidas que têm como base a unidade padrão de comprimento chamada de metro, e seus múltiplos e submúltiplos, que são: 10,100,1000, etc, vezes maiores ou menores.

MEDIDAS DE COMPRIMENTO

A unidade padrão de medida de comprimento é o metro e representamos por m. Então teremos seus múltiplos e submúltiplos.

Múltiplos do metro

Km - quilômetro (1000 metros) hm - hectômetro (100 metros) dam - decâmetro (10 metros)

Submúltiplos do Metro

dm - decímetro (0,1 metro) cm - centímetro (0,01 metro) mm - milímetro (0,001 metro)

Matemática

EXEMPLOS:

Completar : a. 0,1234 km = ... m b. 2,3456 hm = ... m c. 0,3678 km = ... cm d. 789,2 m = ... mm e. 1.234,5 mm = ... m f. 89.765,43 cm = ... hm g. 765,3 dm = ... km h. 23 m = ... cm i. 23 m = ... hm

a. Observe que vamos transformar km em m, logo, vamos descer três graus em nossa escada, e no sentido da direita.

Portanto, vamos deslocar a vírgula três posições para a direita. Logo: 0,1234 km = 123,4 m.

b. Observe que vamos transformar hm em m, logo, vamos descer dois degraus em nossa escada, e no sentido da direita.

Portanto, vamos deslocar a vírgula duas posições para a direita. Logo: 2,3456 hm = 234,56 m

Matemática

c. Observe que vamos transforrnar km em cm, logo, vamos descer cinco degraus em nossa escada e no sentido da direita.

Portanto, vamos deslocar a vírgula cinco posições para a direita e neste caso preenchemos as posições com zero quando necessário, logo: 0,3678 km = 36.780 cm

d. Observe que vamos transformar m em mm, analogamente aos itens anteriores e concluímos que 789,2 m = 789.200 mm

e. Observe que vamos transforrnar mm em m, logo, vamos subir três degraus em nossa escada, e, portanto, agora no sentido da esquerda.

Portanto, vamos deslocar a vírgula três posições para a esquerda, logo: 1.234,5 mm = 1,2345 m

Matemática

f. Observe que vamos transformar cm em hm, logo, vamos subir quatro degraus em nossa escada, e no sentido da esquerda, é claro.

Portanto, vamos deslocar a vírgula quatro posições para a esquerda. Logo : 89.765,43 cm = 8,976543 hm

g. é fácil verificar que: 765,3 dm = 0,07653km

h. é fácil verificar que: 23 m = 2.300 cm

i. é fácil verificar que: 23 m = 0,23 hm

EXERCÍCIO

Calcule em metros. a. 0,02 km + 0,1 hm + 2 m = b. 0,234 hm + 0,l dam + 30 cm = c. 0,045 km + 1000 m + 12.345dm = d. 0,25 hm + 200 dm + 1.000cm = e. 12,34 km + 300 m + 13.456 mm = Resposta: a. 32 m b. 24,7 m c. 2.279,5 m d. 55 m e. 12.653,456 m

Matemática

MEDIDAS DE SUPERFÍCIE (ÁREA)

A unidade padrão de medida de superfície é o metro quadrado e representamos por

m2.

Então teremos seus múltiplos e submúltiplos.

MÚLTIPLOS DO METRO QUADRADO

km2 - quilômetro quadrado (1000.000 m2) hm2 - hectômetro quadrado (10.000 m2) dam2 - decâmetro quadrado (100 m2)

SUBMÚLTIPLOS DO METRO QUADRADO

dm2 - decímetro quadrado (0,01 m2) cm2 - centímetro quadrado (0,0001 m2) mm2 - milímetro quadrado (0,000001 m2)

Na prática é interessante construir a escada abaixo, e lembrar que cada degrau equivale a duas casas decimais.

Exemplo:

Completar: a. 0,001234 km2 = ... m2 b. 0,002356 km2 = ... m2 c. 0,000036 hm2 = ... cm2 d. 0,789 m2 = ... mm2 e. 87.965,4 cm2 = ... hm2 Respostas: a. 1.234 m2 b. 2.356 m2 c. 3.600 cm2 d. 789.000 mm2 e. 0,000879654 hm2

Matemática

MEDIDA DE VOLUME

A unidade padrão de medida de volume é o metro cúbico e representamos por m3. Teremos, então, múltiplos e submúltiplos.

MÚLTIPLOS DO METRO CÚBICO

km3 - quilômetro cúbico ( 1.000.000.000 m3 ) hm3 - hectômetro cúbico ( 1.000.000 m3 ) dam3 - decâmetro cúbico ( 1.000 m3 )

SUBMÚLTIPLOS DO METRO CÚBICO

dm3 - decímetro cúbico (0,001 m3) cm3 - centrímetro cúbico (0,000001m3) mm3 - milímetro cúbico (0,000000001 m3)

Na prática é interessante construir a escada abaixo, e lembrar que cada degrau equivale a três casas decimais.

EXEMPLO:

Completar a. 0,000.123.4 km3 = ... m3 b. 0,000.234 km3 = ... m3 c. 0,000.000.036 hm3 = ... cm3 d. 0,000.789 m3 = ... mm3 e. 879.656,4 cm3 = ... m3 Resposta: a. 123.400 m3 b. 234.000 m3 c. 36.000 cm3 d. 789 000 mm3 e. 0,8.796.564 m3

Matemática

MEDIDAS DE CAPACIDADE

A unidade padrão de capacidade é o litro e representamos por

l

. Então teremos seus múltiplos e submúltiplos.

MÚLTIPLOS DO LITRO k

l

- Quilolitro (1.000 litros) h

l

- Hectolitro (100 litros) da

l

- Decalitro (10 litros) SUBMÚLTIPLOS DO LITRO d

l

- decilitro (0,1 do litro) c

l

- centilitro (0,01 do litro) m

l

- mililitro (0,001 do litro) Analogamente, teríamos:

Obs.: A relação entre a medida de capacidade e de volume é :

1l = 1 dm3

Exemplo:

Completar a. 2l = ... dm3 b. 3 dm3 = ...l c. 3.243 l = ... m3 d. 8.426,7 m3 = ... dm3 e. 5.000 l = ... m3 Resposta: a. 2 dm3 b. 3 l c. 3,243 m3 d. 8,4267 dm3 e. 5 m3

Matemática

MEDIDAS DE MASSA

A medida de massa tem como unidade padrão o grama e representamos por g. Análogamente, temos os múltiplos e submúltiplos

MÚLTIPLOS Quilograma (kg) - 1.000 g Hectograma (hg) - 100 g Decagrama (dag) - 10 g SUBMÚLTIPLOS Decigrama (dg) - 0,1 g Centigrama (cg) - 0,01 g Miligrama (mg) - 0,001 g

MEDIDAS NÃO DECIMAIS

TEMPO

1 Dia = 24 Horas 1 Hora = 60 min. 1 Minuto = 60 Seg. Ano Comercial = 360 Dias

Ano Civil = n° exato de Dias = 365 dias (ou 366 dias) Mês Comercial = 30 Dias

Mês Civil = n° exato de Dias = 28/29, ou 30, ou 31 dias

EXEMPLO:

Uma pessoa caminha com passadas iguais de 80 cm e com velocidade constante de 2m/s. Quantos passos ela dará em 60 segundos ?

Solução: v = 2m/s t = 60 seg. s = v

⋅

t s = 2

⋅

60 s = 120 m s = 12.000 cm O número de passos é 12 000 80 150 . = passos

Matemática

EXEMPLO:

Uma indústria possui, em seu reservatório, 0,25dam3 + 150m3 + 22.000dm3 + 3.000.000cm3 de óleo de soja. A empresa pretende embalar o produto em latas de 900 m

l

. Sabendo-se que no processo de embalagem há uma perda de 1% do líquido, qual o número de latas de soja que a indústria produzirá ?

Solução: 0,25 dam3 = 250.000 dm3 = 250.000 l 150 m3 = 150.000 dm3 = 150.000 l 22.000 dm3 = 22.000 dm3 = 22.000 l 3.000.000 cm3 = 3.000 dm3 = 3.000 l Total = 425.000 dm3 = 425.000 l 1% de perda Resta 4.250 420.750 = l l Distribuímos em latas de 900 ml. Teremos: 420.750l : 900 ml = 420.750l : 0,9l = 467.500 latas.

EXEMPLO:

100 dm x 0,1 dam x 100 mm = Solução: 100 dm x 0,1 dam x 100 mm = 10 m x 1 m x 0,1 m = 1m3

EXEMPLO:

Uma sala de 0,007 km de comprimento, 80 dm de largura e 400 cm de altura, tem uma porta de 2,40 m2 de área e uma janela de 2m2 de área. Sabendo-se que com 1 litro de tinta pinta-se 0,04 dam2, indique a quantidade de tinta necessária para pintar a sala toda, inclusive o teto.

Solução:

Dados do problema:

comprimento: 0,007 km = 7 m largura: 80 dm = 8 m

altura: 400 cm = 4 m

Então a área total da sala, sem considerar o chão, é: 2 x 7 x 4 + 2 x 8 x 4 + 8 x 7 =

= 56 + 64 + 56 = 176 m2

Deduzindo a área da porta e janela, temos: 176 m2 – 2,40 m2 – 2 m2 =

Matemática

O problema diz que "com 1 litro de tinta pinta-se 0,04 dam2 (4 m2 ), fazendo a regra de três, temos: 1l _____ 4 m2 xl _____ 171,6 m2 x=1716 4 , x = 42,9 litros

EXEMPLO:

Uma região retangular de 20 km por 15 km está sendo mapeada em uma escala em que 1 km : 300 km. Qual o menor número de folhas de papel de 5m x 2m que são necessárias para fazer tal mapa?

Solução: 20 km x 15 km Mapeada a região 20 km 300 15 km 300 ⋅ que usa 0,06666 km x 0,05 km isto é: 66,666 m x 50 m Folhas de papel 5 m x 2 m

Se considerarmos 5 m x 2 m, teremos: 14 x 25 = 350 folhas Se considerarmos 2 m x 5 m, teremos: 34 x 10 = 340 folhas

Resposta: 340 folhas

EXEMPLO:

Para percorrer totalmente uma ponte de 100 m de comprimento, um trem de 200 m, a 60Km/h, leva: Solução: Ponte: 100m Trem: 200m v 60.000 m 3.600 s 50 3m / s = = s v t t s v t t = ⋅ ⇒ = =300 3⋅ ⇒ = 50 900 50 t = 18 s

Matemática

EXEMPLO:

Se 300 cm3 de uma substância têm uma massa de 500g, quanto custarão 75 d

l

dessa substância, sabendo-se que é vendida R$ 25,50 o quilograma?

Solução: Obs.: 1l = l dm3 , logo: 300 cm3 = 0,3 dm3 = 0,3 l = 3dl Capacidade Massa 3 dl 0,5 kg 75 dl x kg 3 75 0 5 = , x x = 12,5 kg

Logo, o custo total será: 12,5 kg x 25,50 = R$ 318,75

EXEMPLO:

Uma tartaruga percorreu, num dia, 6,05 hm. No dia seguinte, percorreu mais 0,72 km e, no terceiro dia, mais 12.500 cm. Podemos dizer que essa tartaruga percorreu nos três dias uma distância de :

Solução:

Distância percorrida no primeiro dia: 6,05 hm = 605 m Distância percorrida no dia seguinte: 0,72 km = 720 m Distância percorrida no terceiro dia: 12.500 cm = 125 m logo:

605 m + 720 m + 125 m = 1.450 m

EXEMPLO:

Num mapa, cuja escala é 1

3.000.000a estrada Belém-Brasília tem 67 cm. Calcular,

em km, a distância real. Solução:

1 cm no mapa equivale a 3.000.000 cm na estrada

logo: 67cm no mapa equivalem a 67 x 3.000.000 cm na estrada.

Matemática

EXEMPLO:

Um automóvel percorre a distância de Brasília a Belo-Horizonte, de 729 km, em 7 horas e 30 minutos. Qual a sua velocidade média?

Solução:

Velocidade média = distancia_tempo Velocidade média = 729 km_7,5h

Velocidade média = 97,2 km/h

EXEMPLO:

Na planta de um apartamento, as dimensões da sala são: 9 cm de largura e 12cm de comprimento. Ao construir o apartamento, a sala ficou com uma largura de 7,5 m. A medida do comprimento dessa sala é :

Solução: Na planta, temos: largura: 9cm comprimento: 12cm Na construção, temos: largura: 7,5m comprimento: x

Trata-se de um problema de regra de Três. largura comprimento 9 cm 12 cm 7,5 m x m x=12 7 5⋅ 9 , x = 10m ^

Matemática

EXEMPLO:

Um automóvel, com velocidade de 80 km/h, percorre uma estrada em 1h 30min. Em quanto tempo o mesmo automóvel percorrerá 3/5 da mesma estrada com 25% da velocidade inicial ? Solução: V₁ = 80 Km/h t₁ = 1,5 h S₁ = v₁

⋅

t₁ S₁ = 80 x 1,5 S₁ = 120 km S₂ = 3 5⋅120 S₂ = 72 km V₂ = 25%

⋅

80 V₂ = 20 km/h T S V T 2 2 2 2 72 20 = ⇒ = T₂ = 3,6 h Logo: T₂ = 3 h + 0,6 h T₂ = 3 h + 0,6 x 60 min. T₂ = 3h e 36 min.

EXEMPLO:

Um arquiteto planejou uma caixa de água de base quadrada, para 2.000 litros de capacidade, com altura igual ao dobro do lado. Na execução da obra, o construtor fez o lado igual à altura planejada.

Sabendo-se que a caixa de água continuou com a mesma capacidade, a nova altura mede :

Solução:

A caixa de água planejada:

Como a capacidade era 2.000 litros Temos:

capacidade = 2.000l = 2.000 dm3 = 2 m3 capacidade = 2 m3

Matemática

logo: capacidade = 2x

⋅

x2 = 2 m3 2x3 = 2 m3 x3 = 1 m3 x = 1 m

Conclusão: a altura planejada era 2x, portanto:

altura planejada = 2m

A caixa de água construída com o lado igual à altura planejada,

logo: a capacidade é 22

⋅

y = 2 4y = 2 y=2 4 y = 0,5 m

Obs.: Entendemos como lado, a aresta da base.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01. Se a velocidade média de um veículo é 12m/seg., quantos quilômetros ele percorrerá em 3 horas? (Dado: 1 hora equivale a 3.600 segundos).

a. 129,60 b. 130 c. 132,50 d. 135 e. 148,40 Resposta: A

02. As dimensões de um terreno retangular são: 80m de comprimento por 12m de largura. Em um outro terreno, a medida do comprimento é 80% da medida do comprimento do primeiro. Se ambos têm a mesma área, a largura do segundo terreno é? (em metros)

a. 9 b. 10

Matemática

c. 12 d. 15 e. 18 Resposta: D

03. (BANESPA) - Dois ciclistas saem juntos, no mesmo instante e no mesmo sentido, do ponto de partida em pista circular. O primeiro dá uma volta em 132 segundos e o outro em 120 segundos. Calcule os minutos que levarão para se encontrar novamente.

a. 1.320 b. 132 c. 120 d. 60 e. 22 Resposta: E

04. O pátio de um colégio é retangular e mede 104m de comprimento e 56m de largura. Quer-se plantar eucaliptos em volta, mantendo entre as árvo-res a mesma distância, que deve ser a maior possível. Determinar o nú-mero de pés de eucaliptos, sabendo que se planta um pé em cada canto.

a. 40 b. 38 c. 35 d. 29 e. 18 Resposta: A

05. Um indivíduo compra um terreno retangular que tem um perímetro de 64 metros e cuja largura é 5 metros maior do que a metade do comprimento. Pode-se concluir que a relação entre a largura e o comprimento do terre-no é: a. 3/5 b. 7/9 c. 5/7 d. 6/8 e. 4/6 Resposta: B

Matemática

06. Duas vasilhas contêm, em conjunto, 36 litros de água. Se transferísse-mos, para a que tem menos água, 2/5 da água contida na outra, ambas ficariam com a mesma quantidade de água. Quantos litros de água con-tém cada vasilha? a. 30 e 6 b. 29 e 7 c. 28 e 8 d. 27 e 9 e. 31 e 5 Resposta: A

07. Dois viajantes estão distantes, um do outro, 400 km. Se um deles viaja de primeira classe e o outro de segunda classe, quanto deverá viajar cada um para que as suas despesas sejam as mesmas, sabendo-se que o pre-ço, por km, é R$ 75.000,00 para a primeira classe e R$ 50.000,00 para a segunda classe. a. 160 km e 240 km b. 150 km e 250 km c. 140 km e 260 km d. 130 km e 270 km e. 120 km e 280 km Resposta: A

08. Um automóvel consome 8 litros de gasolina quando funciona durante 40 minutos seguidos. Se funcionasse durante 3 horas e 20 minutos, quantos litros de gasolina consumiria?

a. 40l b. 60l c. 38l d. 55l e. 72l Resposta: A

09. Uma caixa leva 900 litros de água, uma torneira a enche em 9 horas e outra a esvazia em 18 horas. Abrindo-se as duas torneiras a caixa ficará cheia em : a. 18 horas b. 12 horas c. 06 horas d. 03 horas e. 08 horas

Matemática

10. (TTN) - Uma caixa de água com capacidade de 960 litros, possue uma tubulação que a enche em 7 horas. Possue um "ladrão" que a esvazia em 12 horas. Com a água jorrando, enchendo a caixa e o "ladrão" funcionan-do simultaneamente, em quanto tempo a caixa ficará cheia?

a. 16h e 8min. b. 14h e 8min. c. 16h e 28min. d. 16h e 48min. e. 14h e 48min. Resposta: D

11. Um gramado de 720 m2 foi podado por dois homens, que trabalharam 6 horas por dia, durante 2 dias. Quantos metros quadrados três homens conseguiriam podar se trabalhassem 8 horas por dia durante 3 dias?

a. 2.160 b. 2.560 c. 2.060 d. 2.000 e. 2.560 Resposta: A

12. (TTN) - No interior de um colégio há um grande pátio quadrado composto de uma área calçada e outra não calçada, destinado aos alunos. A área calçada está em redor à área não calçada e tem uma largura de 3m nos seus lados paralelos. A área da parte não calçada está para a área total do pátio, assim como 16 está para 25. O lado do pátio mede:

a. 36m b. 24m c. 18m d. 32m e. 30m Resposta: E

13. (TTN) - Uma pessoa caminha com passadas iguais de 80cm, com veloci-dade constante de 2m/s. Quantos passos ela dará em 60s?

a. 240 b. 180 c. 150 d. 120 e. 90 Resposta: C

Matemática

14. Uma roda faz 4.590 rotações em 27 minutos. Quantas rotações fará em 2horas e 24 minutos? a. 24.480 voltas b. 28.440 voltas c. 24.840 voltas d. 24.880 voltas Resposta: A

15. Duas torneiras são abertas juntas, a primeira enchendo um tanque em 5 horas, a segunda outro tanque de igual volume em 4 horas. No fim de quanto tempo, a partir do momento em que as torneiras são abertas, o volume que falta para encher o segundo tanque é 1/4 do volume que falta para encher o primeiro tanque?

a. 3h e 54 min b. 3h e 45 min c. 4h e 53 min d. 4h e 35 min e. 5h e 34 min Resposta: B

16. (MPU) - Uma peça de certo tecido foi dividida em 4 partes proporcionais aos números 10, 12, 16 e 20. Sabendo-se que a peça tinha 232 metros, o comprimento do menor corte foi de:

a. 20 metros b. 40 metros c. 30 metros d. 48 metros e. 64 metros Resposta: B

17. (MPU) Sabe-se que o comprimento, a largura e a altura de um depósito de água, cuja capacidade é de 7.680.000 litros são proporcionais, respec-tivamente, aos números 10, 6 e 2, nessas condições a medida da largura desse depósito é de:

a. 8 metros b. 12 metros c. 40 metros d. 16 metros e. 24 metros Resposta: E

Matemática

19. (TRT) - Um trem de 400 metros de comprimento, tem velocidade de 10 km/h. Quanto tempo ele demora para atravessar completamente uma ponte de 300 metros de comprimento?

a. 1min e 48seg b. 2min e 24seg c. 3min e 36seg d. 4min e 12seg e. 5min Resposta: D

Matemática

Juros e Porcentagem

CONCEITOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

1.1

INTRODUÇÃO

O pouco tempo disponível para o perfeito e ideal desenvolvimento dos alunos de Matemática Financeira em classe, além da necessidade de oferecer aos candidatos aos cargos públicos e privados um material prático provocou o nascimento desse material. Nas próximas páginas, o leitor terá a oportunidade de conhecer e manipular diversas formas de aplicações financeiras e, conse-qüentemente, analisar as relações entre elas e as respectivas evoluções com o decorrer do tempo.

1.2

DEFINIÇÕES

JURO(J)

Podemos definir juro como sendo a remuneração do empréstimo de um

re-curso financeiro, isto é, podemos encarar o juro como sendo o aluguel pago(ou recebido) pelo uso de um recurso financeiro.

Por exemplo, suponhamos que pedimos um empréstimo de R$ 1000,00 ao Banco da Praça, para pagamento de 10% de juro daqui a um mês . É evidente que o dinheiro não é nosso, porém ele está a nossa disposição e podemos fazer o que bem entendermos com ele durante um mês. No fim do mês deve-mos devolver a quantia de R$ 1000,00 e pagar pela disponibilidade dessa quantia nesse período; este pagamento , da disponibilidade, é chamado de juro. (neste caso é R$ 100,00)

CAPITAL(C)

Chamamos de Capital ou Principal ao recurso financeiro transacionado. No

exemplo anterior o capital foi a quantia de R$ 1000,00.

TAXA DE JURO(i)

É o valor do juro, em uma unidade de tempo, e será expresso como

porcen-tagem do capital, logo chamaremos de taxa de juro durante essa unidade de tempo.

Sendo assim, teremos:

a. A taxa de juro de 10% a.d.(dez por cento ao dia) significa que o valor do juro

é igual a 10% do capital, por dia.

b. A taxa de juro de 20% a.a.(vinte por cento ao ano) significa que o valor do

Matemática

Sendo assim, teremos:

J = Juro C = Capital

i = Taxa de Juro expressa como porcentagem do capital.

Daí, pela definição, temos: i J C

=

Observe que podemos concluir que juro em uma unidade de tempo é o

produto do capital pela taxa de juro, isto é: J = C . i

MONTANTE(M)

Chamaremos de montante o capital acrescido do juro, e denotaremos por M,

isto é: M= C+J Resumo

a. A definição de juro é equivalente ao pagamento de um aluguel de dinheiro. b. Observamos a definição taxa de juro(no singular), em uma unidade de

tem-po, isto é, taxa de juro é definida para uma unidade de tempo.

EXEMPLO

Qual o juro e o montante obtido em uma aplicação de R$ 1.000,00, duran-te um ano, a uma taxa de juro de 25% a.a.?

Solução:

Como a taxa de juro está expressa no período anual temos: C= R$ 1.000,00

i= 25% a.a.

Logo o juro em um ano será

J = C.i J = 1000 . 25% J = 1000 . 25 100 J = 10 . 25 J = R$ 250,00 • montante será M = C + J M = 1.000 + 250 M = R$ 1.250,00

Matemática

REGIME DE CAPITALIZAÇÃO

Chamamos de regime de capitalização à maneira como o montante evolui através de vários períodos, aos quais a taxa se refere. Sendo assim, teremos dois conceitos:

a. Regime de Capitalização Simples

É o regime em que a taxa de juro incide somente sobre o capital inicial. Portanto, em todos os períodos de aplicações, os juros serão sempre iguais ao produto do capital pela taxa do período.

EXEMPLO

Seja a aplicação de um capital de R$ 1.000,00, à taxa de juro igual a 10% a.m., durante 3 meses. Qual os juros totais e qual o montante dessa aplicação, se o regime é o de capitalização simples?

Solução:

Seja J₁ o juro no fim do primeiro mês:

J₁ = 1.000 x 10%

J₁ = R$ 100,00

Seja J₂ o juro no fim do segundo mês:

J₂ = 1.000 x 10%

J₂ = R$ 100,00

Seja J₃ o juro no fim do terceiro mês:

J₃ = 1.000 x 10%

J₃ = R$ 100,00

Assim teremos o Juro Total (J): J = J₁+J₂+J₃ J = 100,00 + 100,00 + 100,00 J = R$ 300,00 O montante (M) será: M = C+J M = 1.000,00 + 300,00 M = R$ 1.300,00

b. Regime de Capitalização Composta

É o regime em que a taxa de juro incide sobre o montante obtido no período anterior, para gerar juros no período atual.

EXEMPLO

Seja a aplicação de um capital de R$ 1.000,00 à taxa de juro igual a 10% a.m., durante 3 meses, no regime de capitalização composta.

Matemática

No fim do 1º mês teremos o Juro e o Montante:

J₁ = 1.000 x 10% J₁ = R$ 100,00 M₁ = R$ 1.100,00

No fim do 2º mês teremos o Juro e o Montante:

J₂ = 1.100 x 10% J₂ = R$ 110,00 M₂ = R$ 1.210,00

No fim do 3º mês teremos o Juro e o Montante:

J₃ = 1.210 x 10% J₃ = R$ 121,00 M₃ = R$ 1.331,00

FLUXO DE CAIXA

É a representação gráfica de um conjunto de entradas e saídas de dinheiro relativas a um determinado intervalo de tempo, na seguinte forma:

a. Coloca-se na linha horizontal o período considerado

b. Representam-se as entradas por setas de sentido para cima, e as saídas

com setas de sentido para baixo.

c. Evidentemente haverá sempre dois pontos de vista.

EXEMPLO

Um carro, que custa RS 500.000,00 é vendido a prazo por 5 prestações mensais e iguais a R$ 120.000,00, com a primeira prestação vencendo 1 mês após a venda.

No ponto de vista do vendedor a diferença entre a soma das entradas e o valor do carro, corresponde aos juros relativos à aplicação de R$ 500.000,00, também representada no gráfico.

C = R$ 500.000,00

No ponto de vista do comprador a diferença entre a soma das saídas e o valor do carro, corresponde ao juro relativo ao empréstimo de R$ 500.000,00, também representada no gráfico

Matemática

C = R$ 500.000,00

R$ 120.000,00

CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

1.

CÁLCULO DE JUROS SIMPLES E MONTANTE

Seja C um Capital (ou Principal) aplicado à taxa i por período, durante um prazo de n períodos consecutivos, sob o regime de capitalização simples. Conforme vimos no capítulo anterior, os juros serão iguais em todos os perío-dos, e, portanto, teremos:

Onde:

J₁ = J₂ = J₃ = ... = J_n = C.i

daí, o Juro total nos n períodos será J = J₁ + J₂ + J₃ + ... = J_n

J = C.i + C.i + C.i + ... + C.i J = C.i.n

Para o Montante teremos M = C+J

M = C + C.i.n M = C.[ 1 + i . n]

EXEMPLOS

Qual o valor dos juros obtidos por um empréstimo de R$ 2.000,00, pelo prazo de 3 meses, sabendo-se que a taxa de juros simples cobrada é de 5% ao mês?

Solução:

C = R$ 2.000,00 i = 5% a.m. n = 3 meses

Matemática

J = C . i . n J = 2.000 . 5% . 3 J = 2.000 . ₁₀₀5 . 3 J = 20 . 5 . 3 J = R$ 300,00

Um capital de R$ 500.000,00 aplicado durante 5 meses, a juros simples, rende R$ 10.000,00. Determinar a taxa de juros cobrada.

Solução: C = R$ 500. 000,00 n = 5 meses J = R$ 10.000,00 J = C . i . n 10.000 = 500.000 . i . 5 2.500.000 . i = 10.000 i = _{2 500 000.}10 000._. i = ₂₅₀1 = 0,004 i = 0,4% a.m.

Calcular o montante da aplicação de R$ 100.000,00, pelo prazo de 6 me-ses, à taxa de juros simples de 5% a.m.

Solução: C = R$ 100.000,00 n = 6 meses i = 5% a.m. M=C.[1+i.n] M = 100.000 . [1 + 5% . 6] M = 100.000 . [1 + 30%] M = R$ 130.000,00

2.

TAXAS PROPORCIONAIS

Duas taxas são ditas proporcionais se mantiverem entre si a mesma razão que os períodos de tempo a que se referem.

Assim, a taxa i₁ a . n₁ é proporcional à taxa i₂ a . n₂ se, e somente se:

i i n n 1 2 1 2 =

Matemática

EXEMPLO

Qual a taxa mensal proporcional à taxa de 36% a.a.? Solução: i i n n 1 2 1 2 = i1 36% 1 12 = i₁ = 3% a.m.

3.

TAXAS EQUIVALENTES

Duas taxas são ditas equivalentes, a juros simples, se aplicadas a um mesmo capital e durante um mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo juro.

Sejam:

i: a taxa de juros simples aplicada no período de 0 a 1

i_k: a taxa de juros simples aplicada a cada intervalo fracionário _k1_do período .

Se i e i_k são equivalentes, temos: J = C.i e J = C.i_k.k

então: i i k k=

EXEMPLO

Qual a taxa mensal simples equivalente a 36% a.a.?

i i k k= ik= 36% 12 ∴i_k = 3% a.m.

Qual a taxa semestral simples equivalente à taxa de 10% a.m.?

i = ? a.s. i_k =10% a.m.

K = 1 semestre = 6 meses i = i . k

Matemática

i = 10% . 6 i = 60% a.s.

Obs.: Observe que no regime de capitalização simples, as taxas equiva-lentes produzem o mesmo conceito que as taxas proporcionais.

EXEMPLO

Calcular o juro simples de uma aplicação de R$ 1.000,00, à taxa de juro de 36% a.a., durante o prazo de 6 meses

C = R$ 1.000,00 i = 36% a.a. n = 6 meses

Observe que o período a que se refere a taxa (ano) não é o mesmo período de aplicação (mês). Portanto, a taxa mensal equivalente a 36% a.a. será 3% a.m. Logo:

J=1.000 . 3% . 6 J = 1.000 . 3

100 . 6

J = R$ 180,00

4.

JURO EXATO E JURO COMERCIAL (ORDINÁRIO)

Quando as aplicações ocorrem por alguns dias será conveniente utilizarmos a taxa equivalente diária. Nesse caso teremos dois enfoques:

a. Ano Civil: 365 dias ou 366 dias para ano bissexto e os meses com o

núme-ro real de dias.

b. Ano Comercial: 360 dias e os meses com 30 dias.

Os juros que seguem o enfoque a são chamados de juros exatos.

Os juros que seguem o enfoque b são chamados de juros comerciais (ou

ordinários).

EXEMPLO

Qual o juro exato de uma aplicação de R$ 365.000,00, à taxa simples de 10% a.a. durante 10 dias?

Solução:

C = R$ 365.000,00 i = 10% a.a. n = 10 dias

Matemática

Taxa diária equivalente a 10% a.a. = 10%₃₆₅ a.d. J = 365.000. 10%₃₆₅. 10

J = 1.000 . 10% . 10 J = R$ 1.000,00

5.

VALOR ATUAL E VALOR NOMINAL

Chamamos de Valor Nominal de um título, ao valor dele na data de vencimen-to. Também é conhecido como valor face.

Chamamos de Valor Atual de um título, ao valor dele em qualquer data anterior ao seu vencimento.

No caso de capitalização simples, o valor atual de um título será o valor que aplicado, a juros simples, durante os n períodos de antecipação ao seu

venci-mento, produzirá como montante o valor nominal do título.

Chamando de N o valor nominal e V o valor atual com n períodos de

antecipa-ção teremos: Dessa forma: N = V . [1 + i.n] V= N i n 1+.

EXEMPLO

O valor nominal de um título é de R$ 1.600,00 sendo que seu vencimento ocorrerá daqui a 3 meses.

Se a taxa de juros simples de mercado é de 20% a.m., determine o valor atual do título hoje.

Matemática

Solução: N = R$ 1.600,00 i = 20% a.m. n = 3 meses de antecipação V = N i n 1+. V = _{1 20%.3+}1600. V = R$ 1.000,00

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Calcule a taxa de juro mensal, proporcional às seguintes taxas: a. 300% a.a. b. 90% a.s. Solução: a. i = 300% 12 = 25% a.m. b. i = 90 6 = 15% a.m. Respostas: a. 25% a.m. b. 15% a.m.

2. Seja um capital de R$ 800.000,00, investido durante 4 meses e a taxa de juros simples de 120% a.a.. Calcule:

a. O juro obtido

b. O montante

Solução:

C = R$ 800.000,00

i = 120% a.a. (equivalente a i = 10% a.m.) n = 4 meses a. J = C.i.n J = 800.000 . 10% . 4 J = R$ 320.000,00 b. M = C + J M = 800.000 + 320.000 M = R$ 1.120.000,00 Respostas: a. J = R$ 320.000,00 b. M = R$ 1.120.000,00

Matemática

3. Em que prazo R$ 12.000,00 rende R$ 1.800,00, se a taxa de juros simples utilizada é 5% a.m.? Solução: C = R$ 12.000,00 J = R$ 1.800,00 i = 5% a.m. J = C . i . n 1.800 = 12.000 . 5% . n n = 1800 12 000 5% . . ⋅ = 3 meses Resposta: 3 meses

4. Calcule a taxa de juros simples de uma aplicação, sabendo que apliquei R$ 5.200,00 e resgatei R$ 6.448,00, depois de 4 meses.

Solução: C = R$ 5.200, 00 M = R$ 6.448, 00 n = 4 meses J = R$ 1.248, 00 (por que ?) J = C . i . n 1.248 = 5200 . i . 4 i = 1248 5200 4 . ⋅ i = 0,06 i = 6% a.m. Resposta: 6% a.m.

5. Em quantos meses um capital de R$ 740.000,00, aplicado a 3,6% a.m., a juros simples, renderá juro necessário para a formação de um montante de R$ 953.120,00? Solução: C = R$ 740.000,00 M = R$ 953.120,00 i = 3,6% a.m. J = R$ 213.120,00 (por que?) J = C . i . n 213.120 = 740.000. 3,6% . n n = _{740 000 3 6%}213 120_. ⋅_{⋅ ,} = 8 meses Resposta: 8 meses

Matemática

6. Um capital aplicado à taxa de juros simples de 8%a.m., triplica em que prazo? Solução: C = Capital aplicado M = 3 C (por que ?) i = 8% a.m. J = 2 C (por que ?) Como: J = C . i . n 2C = C . 8% . n 8% . n = 2 n = 200₈ = 25 meses Resposta: 25 meses

7. Um investidor recebeu R$ 480.000,00 por uma aplicação de R$ 300.000,00 à taxa de juros simples de 10% a.m.. De quantos meses foi essa aplica-ção? Solução: M = R$ 480.000,00 C = R$ 300. 000,00 i = 10% a.m. J = R$ 180.000,00 (por que ?) J = C . i . n 180.000 = 300.000 . 10% . n n = 180 000 300 000 10% . . ⋅ n = 6 meses Resposta: 6 meses

8. Possuo uma letra de câmbio no valor nominal de R$ 1.300.000,00, que é resgatável daqui a 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros simples cor-rente de mercado é de 10% a.m., quanto devo pagar por esta letra hoje? Solução:

N = R$ 1.300.000,00

n = 3 meses (período de antecipação) i = 10% a.m. V = N i n 1+ ⋅ V = 1300 000 1 10% 3 . . + ⋅ V = R$ 1.000.000,00 Resposta: R$ 1.000. 000,00

Matemática

PORCENTAGEM

A porcentagem nada mais é do que uma notação ( % ) usada para representar uma parte de cem partes.

Isto é, 20% – lê-se “20 por cento”, que representa a fração₁₀₀20

30% – lê-se “30 por cento”, que representa a fração ₁₀₀30

EXEMPLO:

Calcule: a. 10% de 200 b. 15% de 300 c. 25% de 400 Solução:

a. A palavra, "de" deve ser entendida como produto. 10% de 200 = 10 200 20 100⋅ = b. 15% 300 4 500 100 45 de 300 = 15 100⋅ = = . c. 25% 400 10 000 100 100 de 400 = 25 100⋅ = = .

Agora vamos ver como são simples os problemas que envolvem porcenta-gem.

Estes problemas geralmente são encontrados no nosso cotidiano.

EXEMPLO:

A média de reprovação em concurso é de 82%. Quantas pessoas serão aprovadas em um concurso público com 6.500 inscritos ?

Solução:

Se a média de reprovação é de 82%, vamos concluir que a média de aprova-ção é de 18%.

Logo, basta calcular :

18% de 6.500 = 18 6 500 1170