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O ensino de progressões aritméticas usando metodologias distintas / The teaching of arithmetic progressions using different methodologies

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Academic year: 2020

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Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 8, p. 59003-59012 aug. 2020. ISSN 2525-8761

O ensino de progressões aritméticas usando metodologias distintas

The teaching of arithmetic progressions using different methodologies

DOI:10.34117/bjdv6n8-350

Recebimento dos originais:08/07/2020 Aceitação para publicação:19/08/2020

Cristiane Schlagenhaufer

Graduação em Licenciatura Matemática

Universidade do Estado de Santa Catarina-UDESC, Joinville.

Endereço: Rua Paulo Malschitzki, 200, Zona Industrial Norte, Joinville / SC E-mail: cristianeschlag@yahoo.com.br

Silvia Teresinha Frizzarini

Doutorado em Educação para a Ciência e a Matemática Universidade do Estado de Santa Catarina-UDESC, Joinville.

Endereço: Rua Paulo Malschitzki, 200, Zona Industrial Norte, Joinville / SC E-mail: stfrizzarini@hotmail.com

RESUMO

Este relato de experiências apresenta duas aulas sobre progressões aritméticas, uma utilizando a metodologia tradicional e outra utilizando a metodologia diferenciada. Na metodologia tradicional o professor busca ser o detentor do conhecimento já na metodologia diferenciada o professor é o orientador, responsável em fazer com que o aluno reflita e assim adquira o conhecimento esperado. A primeira aula aqui relatada seguiu o método tradicional, já na aula diferenciada os alunos utilizaram materiais manipuláveis, usando tampas de garrafas PET1 para a construção dos números

figurados triangulares.Verificou-se que em ambas as aulas os alunos foram participativos e conseguiram chegar a formula do termo geral, porém ao utilizar a metodologia diferenciada verificou-se que todos os alunos capazes de deduzir a fórmula desejada.

Palavras-chave: Metodologia tradicional, Metodologia diferenciada, Progressão aritmética. ABSTRACT

This experience report presents two classes on arithmetic progressions, one using traditional methodology and the other using differentiated methodology. In the traditional methodology, the teacher seeks to be the holder of knowledge, while in the differentiated methodology, the teacher is the advisor, responsible for making the student reflect and thus acquire the expected knowledge. The first class reported here followed the traditional method, while in the different class the students used manipulable materials, using PET bottle caps to build the triangular figured numbers. It was found that in both classes the students were participative and managed to arrive at of the general term, however when using the differentiated methodology it was found that all students able to deduce the desired formula.

Keywords: Traditional methodology, Differentiated methodology, Arithmetic progression.

1 PET é uma sigla que significa "poli tereftalato de etila", que é um tipo de polímero plástico (ENGLISH MADE IN

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1 INTRODUÇÃO

Alunos do curso de Licenciatura em Matemática da universidade Estadual do Estado de Santa Catarina –UDESC possuem como disciplina obrigatória a disciplina de Laboratório de Ensino de Matemática IV, disciplina esta cursada pelos alunos da 5ªfase do curso.

A disciplina Laboratório de Ensino de Matemática IV tem como objetivo proporcionar ao aluno futuro professor a experiência de exercer durante duas aulas a função de professor, onde o aluno deve ser capaz de elaborar e ministrar sua própria aula.

Num primeiro momento a aula elaborada e ministrada deve seguir os modelos tradicionais, usando o quadro e giz. Já a segunda aula deve ser uma aula diferenciada que vá além da utilização apenas do quadro e giz.Ao final de cada uma das aulas alunos e professor discutem sobre a aula ministrada destacando os pontos positivos, negativos e dando sugestões de melhorias.

A aula ministrada pela primeira autora, apresentada nesse relato de experiência, é sobre progressões aritméticas, um dos temas trabalhados no primeiro ano do Ensino Médio. Para a aula tradicional foi preparado um plano de aula contendo uma revisão sobre sequências, partindo depois para a definição de progressão aritmética e apresentação da fórmula do termo geral de uma progressão aritmética. Já na aula diferenciada seguiu-se a mesma sequência da aula tradicional usando a manipulação de tampas de garrafas pets, onde os alunos foram capazes de manipular as tampas para que chegassem a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética.

Além das atividades de elaboração e aplicação dos planos de aula, a disciplina de Laboratório de Ensino de Matemática IV possibilita leituras e reflexões sobre diferentes metodologias de ensino de matemática e ainda análises de livros didáticos utilizados no Ensino Médio. Portanto, a disciplina de Laboratório de Ensino IV não busca apenas ensinar o aluno a elaborar planos de aula, mas busca também inserir os alunos da graduação como professores, simulando aulas para o Ensino Básico, as quais após aplicadas foram discutidas e analisadas e foram apresentadas todas as análises e reflexões feitas durante o semestre neste relato de experiências.

Nesse contexto, o objetivo geral foi analisar e apresentar os resultados obtidos durante a aplicação e elaboração de duas aulas sobre progressões aritméticas para alunos do Ensino Médio, utilizando a metodologia tradicional e outra utilizando a metodologia diferenciada através da manipulação de tampas de garrafas pets.

Já, os objetivos específicos foram:

• Apresentar duas aulas sobre progressões aritméticas, utilizando a metodologia tradicional e a diferenciada.

• Relatar as experiências vividas antes, durante e após a aplicação das aulas. • Analisar as experiências vividas durante a aplicação de cada uma das aulas.

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2 REFERENCIAL TEÓRICO

Na primeira aula aplicada seguiu-se o modelo de uma aula tradicional. Segundo Grando e Macedo (2017), uma aula tradicional é onde “professor eradetentor e os alunos os acumuladores de conhecimentos pré-estabelecidos pelas instituições e pelo poder público” (GRANDO e MACEDO, 2017, p.1) , ou seja, os alunos poucas vezes são estimulados a questionarem, discutirem, refletirem e exporem suas ideias durante as aulas, perante o professor e demais alunos. Neste método de Ensino, o aluno torna-se mais um aluno passivo, pois conforme Mizukami (1986 apud LEÃO 1999, p.190):

[...] atribui-se ao sujeito um papel irrelevante na elaboração e aquisição do conhecimento. Ao indivíduo que está “adquirindo” conhecimento compete memorizar definições, enunciados de leis, sínteses e resumos que lhe são oferecidos no processo de educação formal a partir de um esquema auto místico.

No processo de Ensino seguindo os métodos tradicionais o aluno comporta-se como um receptor do conhecimento, onde sua maior preocupação está na memorização de conceitos, formulas e resolução de exercícios, já o professor desenvolve um papel mais autoritário mostrando ao aluno que ele detém o conhecimento, conhecimento este que deve ser adquirido pelos alunos. Ainda, conforme afirma os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN de 1997, “A “pedagogia tradicional” é uma proposta de educação centrada no professor, cuja função se define como a de vigiar e aconselhar os alunos, corrigir e ensinar a matéria” (BRASIL, 1997, p.30).

Outro documento nacional que também aponta como de extrema importância de formarmos cidadãos críticos é a Base Nacional Curricular Comum (BNCC) ao afirmar que “é importante fortalecer a autonomia desses adolescentes, oferecendo-lhes condições e ferramentas para acessar e interagir criticamente com diferentes conhecimentos e fontes de informação” (BRASIL, 2017, p.60).

A Base Nacional Curricular Comum também afirma que além de formarmos cidadãos críticos “também é imprescindível que a escola compreenda e incorpore mais as novas linguagens em seus modos de funcionamento, desvendando possibilidades de comunicação (e também de manipulação)” (BRASIL, 2017, p.61), pois segundo o mesmo documento a utilização da manipulação e da comunicação e até mesmo a inserção de novas tecnologias pode ser algo bastante proveitoso pois “Ao aproveitar o potencial de comunicação do universo digital, a escola pode instituir novos modos de promover a aprendizagem, a interação e o compartilhamento de significados entre professores e estudantes” (BRASIL, 2017, p.61).

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Além da utilização da manipulação e da comunicação entre professor e aluno outros meios também podem ser utilizados em sala de aula para que desenvolva-se nos alunos a busca pelo conhecimento, pela reflexão. Ao ensinarmos matemática uma das alternativas para que atinjamos este objetivo pode ser a utilização da história da matemática e ainda a utilização de materiais concretos que permitam ao aluno fazer manipulações, pois conforme afirma a Base Nacional Curricular Comum (BRASIL, 2017, p. 298):

[...] é importante incluir a história da Matemática como recurso que pode despertar interesse e representar um contexto significativo para aprender e ensinar Matemática. Entretanto, esses recursos e materiais precisam estar integrados a situações que propiciem a reflexão, contribuindo para a sistematização e a formalização dos conceitos matemáticos.

Ao longo da aplicação da segunda aula busquei ensinar o conteúdo de Progressões aritméticas utilizando a história da matemática e a manipulação de tampinhas de garrafas PET, onde a manipulação e o uso da história da matemática resultaram em uma aula com alunos mais participativos.

3 CONSIDERAÇÕES METODOLÓGICAS

A metodologia utilizada é de caráter qualitativo com o desenvolvimento e aplicação de duas aulas, ambas sobre o mesmo assunto progressões aritméticas. A primeira delas foi desenvolvida segundo os métodos tradicionais. Nesta aula ao assumir o papel de professora, a primeira autora buscou utilizar apenas o quadro e o giz, como escrito no referencial teórico. Já na aplicação da segunda aula utilizou-se a metodologia diferenciada, a aula foi iniciada contando sobre a história dos números e suas diferentes representações, com foco maior na representação dos números figurados. Após explicar aos alunos o que são os números figurados e como podemos construir solicitou-se a eles que construíssem os números triangulares, os quais ainda não haviam sido construídos. Para a realização da construção destes números foi utilizado tampas de garrafas PET onde cada uma das tampas representava uma pedrinha usada na construção dos números figurais. Os números figurados são construídos conforme mostra a figura 1.

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Figura 1: Números figurados

Fonte: arquivo das autoras

Com a construção pronta foi realizado questionamentos aos alunos com relação a quantidade de tampas usadas questionou-se, a quantidade usada na construção representava uma sequência? Qual seria a expressão que representaria esta sequência? A sequência apresenta uma variação constante? Após realizadas todos os questionamentos solicitou-se aos alunos que retirassem todas as tampas que estavam no interior do triângulo (Figura 2), foi explicado a eles que agora não seria mais analisada a quantidade que formou o número figurado, mas sim o perímetro do triangulo formado pelo número figurado.

Figura 2: triângulo em números figurados

Fonte: arquivo das autoras

Com todas as tampas retiradas do interior de cada um dos triângulos foi realizado os seguintes questionamentos, a quantidade de tampas usada na construção do triângulo representa uma sequência? Essa sequência apresenta a mesma variação? Quais são as quantidades de tampas usadas no primeiro, no segundo, no terceiro e quarto triângulo?

Com as respostas dadas pelos alunos sobre as variações das quantidades de tampas conseguiu-se explicar o que é uma progressão aritmética, já com as respostas sobre as quantidades

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de tampas usadas no primeiro, no segundo, no terceiro e quarto triângulo foi desenvolvida no quadro a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética dada por: 𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)𝑟

Utilizando o mesmo material manipulável, as tampas, foi apresentado com o auxílio de um vídeo a soma dos termos de progressão aritmética. Onde solicitou-se que os alunos somassem a quantidade de tampas usadas para a construção dos quatro primeiros triângulos, usando apenas o primeiro e último, após foi questionado, como poderíamos fazer para determinar a quantidade de tampas necessárias para a construção do 100º triângulo? Os alunos foram deixados a pensarem um pouquinho e então foi apresentado um vídeo contando sobre a história de Gauss, quando ele descobriu a relação que permite determinar a soma dos n termos de uma progressão aritmética.

4 DESCRIÇÃO DA ANÁLISE

As duas aulas aplicadas durante a aula de LEM IV trataram do assunto de progressões aritméticas, onde em ambas as aulas (tradicional e diferenciada) buscou-se revisar o conhecimento sobre sequências, definir o que é uma progressão aritmética e como chegamos ao termo geral de uma progressão aritmética.

Com relação aos temas trabalhados em cada uma das aulas, houve uma pequena diferença, onde na primeira aula foi possível além de definir e apresentar o termo geral de uma progressão aritmética, foi possível também classificar as progressões aritméticas (crescente, decrescente e constante) e ainda construir o gráfico de uma progressão aritmética. Já na segunda aula, utilizando a metodologia diferenciada não foi possível realizar a construção dos gráficos, mas pôde-se apresentar a fórmula da soma dos n termos de uma progressão aritmética e ainda mostrar um vídeo contando como Gauss chegou até a fórmula da soma dos n termos de uma progressão aritmética.

Ao iniciar a aula foi apresentado alguns conjuntos numéricos e questionado aos alunos se estes conjuntos eram ou não sequências, onde os alunos responderam corretamente ao desejado, sendo assim já pode-se partir para a definição de progressão aritmética, onde novamente apresentou-se algumas apresentou-sequências questionando apresentou-se estas eram ou não apresentou-sequências, como a resposta foi que eram todas sequências, questionou-se a eles novamente sobre quais as semelhanças e diferenças existentes em cada uma das progressões aritméticas. Todos os alunos conseguiram enxergar que em algumas dessas progressões a razão era crescente, outras decrescentes e outras apresentavam sempre o mesmo termo, sendo uma progressão constante.

Como a aula deveria seguir o modelo tradicional achei interessante passar no quadro um resumo sobre a classificação de uma progressão aritmética, o que após ter dado a aula foi percebido que poderia ter feito um resumo bem menor, que ocuparia bem menos tempo e talvez

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possibilitaríamos de resolver os exercícios que acabou não dando tempo, porém como foi uma primeira aula com aquela turma, não se tinha muita noção de como os alunos se comportariam, qual seria o rendimento e outros fatores.

Concluída a etapa de classificação de uma progressão aritmética partiu-se então para a construção da fórmula do termo geral, este foi o momento mais construtivo da aula, em que se percebeu que os alunos (no caso meus colegas da disciplina) também gostaram. Não chegamos a deduzir formalmente a fórmula do termo geral da progressão aritmética, mas conseguimos “construir” a fórmula utilizando uma sequência com um número finito de elementos e fazendo questionamentos aos alunos, questionamentos como: dado o primeiro termo e a razão, como podemos construir o segundo, o terceiro, o quarto e o enésimo termo da progressão?

Para o primeiro termo os alunos perceberam que bastava pegarmos o primeiro pois a1=a1, já para construirmos o segundo, era necessário somarmos ao primeiro termo e uma vez a razão, para construirmos o terceiro termo somamos ao primeiro termo duas vezes a razão, e assim sucessivamente, algebricamente fica assim, dada uma sequência de números pares:

(4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40) a1=4, 𝑎2 = 8 𝑟 = 6 – 4 = 2

a2=6= 4+2

a3= 8 = 6+2= 4+2+2

a4= 10= 8+2 = 4+2+2+2

E a formula do termo geral da PA é dada por:

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)

Verificou-se que os alunos não tiveram dificuldade em construir os primeiros termos, houve um pouco de dificuldade no enésimo termo, onde foi necessário mostrar que a razão é sempre multiplicada (𝑛 − 1) vezes e assim foi possível chegar a fórmula do termo geral da progressão. Verificou-se que os alunos conseguiram entender como chegarmos a fórmula. Acreditamos que apresentar aos alunos como chegamos em determinadas fórmulas seja algo bastante válido, pois permite a eles entenderem aquela expressão não apenas como uma fórmula a ser usada, mas como algo que possui um significado matemático.

O que faltou nesta aula foi a resolução de alguns exercícios, que acreditamos que ao trabalhar com alunos da Educação Básica seja algo importante para que o aluno consiga visualizar aplicações e como utilizar a fórmula dada, porém caso ele tenha acompanhado e entendido como se chegou a fórmula ele terá poucas dificuldades ao resolver problemas de aplicação, pois ao entender a “construção” da fórmula ele já visualizou também uma “aplicação” e além disso ao ver uma

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demonstração o aluno também acaba desenvolvendo o raciocínio que é de extrema importância para a resolução de exercícios. Faria (2002, p.59) em seu artigo “Demonstrações no Ensino Fundamental e Médio” afirma “a exposição de demonstrações deve fazer parte das aulas de matemática e assim explorar o potencial de raciocínio dos alunos”

Na segunda aula ao utilizarmos a metodologia diferenciada conseguimos organizar melhor o tempo, pois agora já tínhamos uma ideia de como eram os alunos, o nível de participação da turma e outros fatores. Porém ao ministrar esta aula a autora que ministrou a aula sentiu-se muito mais nervosa que na anterior, tanto durante a aula como também nas semanas que usou para prepara-la, pois como era uma metodologia nova, uma aula que nunca tinha visto ninguém aplicar, estava bastante preocupada se esta aula iria dar certo ou não, caso não desse certo acredito que não haveria grandes problemas, pois conforme um dos textos lidos na disciplina, o laboratório é o local onde podemos acertar e errar quantas vezes forem necessárias, pois o laboratório é o local da experimentação.

A aula saiu como o planejado, pois esperávamos “construir” a fórmula do termo geral utilizando as quantidades de tampas, o que foi possível, porém ao ministrar a aula pôde–se perceber que a utilização da quantidade de tampas usadas no perímetro do triângulo para mostrar a formula do termo geral pode causar equívocos, uma vez que para determinarmos a quantidade de tampas necessárias para a construção do enésimo termo bastava fazermos n vezes três, sem haver a necessidade de utilizarmos a fórmula do termo geral. Para utilizar a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é necessário que o aluno verifique que no primeiro triângulo utilizamos três tampas, já no segundo usamos a quantidade do primeiro mais três tampas, no terceiro iremos utilizar a quantidade do primeiro mais seis tampas, ou seja, duas vezes três, fazendo isso, até que se perceba que a formula que representa a quantidade de tampas é: 𝑎𝑛=3+(𝑛−1)3

Onde 𝑎𝑛 é quantidade de tampas do enésimo triangulo, n o número de triângulos a serem representados, 3 a quantidade de primeiro triângulo e também três é a razão com que o número de tampas vai aumentando.

Ao solicitarmos que os alunos determinassem a soma das quantidades de tampas necessárias para a construção dos quatro primeiros triângulos, percebeu-se que talvez fosse mais interessante pedir uma quantidade impar como o cinco, por exemplo, pois ao solicitar quantidades impares existem chances de fazer algumas simplificações, o que pode fazer com que o aluno não visualize a fórmula, como foi o caso de um dos alunos que ao solicitar que determinasse a quantidade das tampas usadas na construção dos quatro triângulos realizou a seguinte raciocínio: (3+12)2=36

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O que não está errado, porem o aluno deve ter visto que o 2 da multiplicação surgiu de uma simplificação, onde caso fosse aplicada a fórmula, a expressão seria: (3+12)42=36

A utilização do vídeo foi de extrema importância, pois com o vídeo explicando como Gauss chegou a fórmula pôde-se perceber que os alunos tiveram um entendimento maior de como a fórmula deve ser aplicada.

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

A elaboração e aplicação das duas aulas sobre progressões aritméticas utilizando a metodologia tradicional e diferenciada possibilitou-nos enxergar os pontos positivos, pontos negativos e as diferenças existentes em cada uma delas. Tanto a metodologia tradicional como a diferenciada apresentaram pontos positivos e negativos.

Na aula diferenciada foi possível construir a fórmula do termo geral de uma maneira muito mais rápida, já na diferenciada, pelo fato dos alunos manipularem as tampas, o tempo necessário gasto para essa aula foi maior, porém possibilitou que os próprios alunos manipulassem as quantidades de tampas e pudessem realizar suas próprias conjecturas.

A utilização do vídeo de Gauss vez com que os alunos entendessem a fórmula de Gauss em aproximadamente 3 minutos e de uma forma mais divertida.

Apesar de a aula tradicional ser desenvolvida usando apenas o quadro, o giz e a fala ela também possibilitou, através dos questionamentos realizados pela professora que os alunos refletissem sobre o tema da aula, progressões aritméticas, pois ao longo de toda a aula os alunos discutiram e apresentaram suas ideias quando solicitado.

REFERÊNCIAS

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Diferenciada: A opinião dos alunos. Universidade Federal de Pelotas. Capão do Leão: RS.

Disponivel em:

https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=3&ved=2ahUKEwieson3 gtreAhXBk5AKHX3wB3kQFjACegQIBhAC&url=https%3A%2F%2Fpublicacoeseventos.unijui. edu.br%2Findex.php%2Fedeq%2Farticle%2Fview%2F2735%2F2311&usg=AOvVaw2opWwg-bBdOan_wfwYdsPK. Acesso em: 15.Nov.2018.

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BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Introdução aos parâmetros curriculares. Brasilia.1997. Disponível em < http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro01.pdf>. Acesso em: 30.nov.2018.

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uma prática formativa: O narrar-se professor em um laboratório de ensino de matemática.

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FARIA, Juliano Espezim Soares. Demonstrações no Ensino Fundamental e Médio. Universidade Federal de Santa Catarina: SC. Disponível em: < https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/97063/Juliano%20Espezim%20Soares%20 Faria0.PDF?sequence=1>. Acesso em: 30.Nov.2018.

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LEÃO, Denise Maria Maciel. Paradigmas contemporâneos de educação: escola tradicional e escola construtivista.

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Figura 1: Números figurados

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