INFLACAO EM 1983: ENSAIO DE PREVISAO NAO CAUSAL

Estudos de Economia, vol. Ill, n.' 3, Abr.·Jun., 1983

INFLACAO EM 1983: ENSAIO DE PREVISAO NAO CAUSAL

George H. J. Black

Bento J. F. Murteira

1

-lntroduc;ao

«The world scene is characterised by increasing uncertainty about the future [ ... ] In parallel with this increasing uncertainty, the consequences of bad decisions are becoming more costly in human, environmental and finan-cial terms. As a result of these tendencies, and of growing sofinan-cial pressures for better planning, the importance of forecasting [ ... ] is likely to increase» (Jenkins, 1979).

Em semelhante contexto, o objectivo do presente artigo e prever a in-fla<;ao portuguesa no ano de 1983. Acresce que o estudo do crescimento do nfvel geral de pre<;os - infla<;ao - dispensa justifica<;ao face as conse-quemcias s6cio-econ6micas que lhe sao reconhecidas.

Trata-se de simples ensaio, conduzido com as reservas que a complexi-dade do fen6meno aconselha, nao sendo por isso surpresa verificar que os resultados a que se chegou se traduzem mais por interroga<;oes do que por afirma<;6es. Para alem desta limita<;ao, espera-se ainda que seja relevado o academismo de algumas questoes postas.

0 fndice de pre<;os no consumidor - IPC- respeitante ao continents parece ser a alternativa mais valida para medir o nfvel geral de pre<;os em tal espa<;o econ6mico. Vai dar-se particular enfase ao perfodo de Janeiro de 1968 a Setembro de 1982; no quadro n. o 1 apresentam-se os dados e

assinalam-se as fontes.

Daqui para o futuro,

t

designa o tempo, e x (t), o IPC observado no mo-menta ou perfodo t. A estimativa da infla<;ao no intervalo [t, t+h] e definida pela expressao (em percentagem)

[1] l[t, t+hl= ([X (t+h)-X (t)] I X (t)J. 100

Qualquer metodo de previsao tem por base Um «COnjunto-informa<;aO» consistindo em dados estatfsticos e outras formas de conhecimento (hip6te-se, teorias, etc.) acumuladas ate ao momento presente (seja T). Os metodos que vao adoptar-se tem uma caracterfstica comum: o «conjunto-informa<;ao», seja r, e bastante restrito e compreende somente os valores observados de uma unica variavel, o IPC:

Sao, como usa dizer-se, metodos univariaveis ou nao causais. Nao cabe no ambito do estudo o emprego ou discussao de metodos multivariaveis ou cau-sais, o que nao implica, como e 6bvio, qualquer jufzo de valor sobre a sua importancia ou posic;:ao face aos primeiros.

2 - Projec(:ao da tendencia exponencial

A observac;:ao do cronograma da sucessao dos valores mensais do IPC no perfodo de Janeiro de 1968 a Setembro de 1982 (v. fig. 1) mostra uma forte tendencia exponencial, sobretudo depois de alguns anos de crescimen-to mais Iencrescimen-to.

Assim, a primeira ideia sugerida pela «classica» analise das sucessoes cronol6gicas e, naturalmente, a extrapolac;:ao do trend ajustado pelo metodo dos mfnimos quadrados.

371

331

285

238

192

146

99

53

Janeiro

1968

268

FIGURA 1

indice de pre~os no consumidor

(Continente)

-.

..

·-.

-·

. .

...

...

...

-··

....

...

..

...

..

.

.

-·

-.

..

.

..

..

.

..

.

..

.

.

..

.

.

..

.

.

..

.

..

.

Setembro

Media A nos

anual

Janeiro Fevereiro Mar9o

1968 .. 37,8 37,0 37,1 37,5 1969 .. 40,6 39,5 40,0 40,6 1970 . 42,5 42,3 41,9 42,8 1971 45,7 43,8 43,6 44,6 1972 .. 49,7 48,5 48,9 49,7 1973. 54,9 51,8 52,8 53,5 1974. 70,2 60,1 64,3 66,1 1975 .. 84,6 77,7 79,8 82,4 1976 ... ... 100,0 96,5 95,0 97,2 1977. 127,3 109,5 113,0 123,0 1978 .. 155,4 140,8 141,2 142,6 1979. 193,0 173,3 176,5 179,6 1980. 225,0 (b) 212,5 (b) 216,7 219,7 1981 269,9 245,8 249,4 252,6 1982 .... 304,0 {b) 312,9 321,0

QUADRO N.0 ₁

indices de pre~;os no consumidor

Continente - Total sem habita(;ljo

Meses

Abril Maio Junho Julho

37,4 37,4 37,2 37,6 40,6 40,6 40,0 40,2 42,6 42,2 41,9 42,1 44,6 44,8 45,0 45,5 49,7 51,2 49,8 49,7 53,8 54,0 53,8 54,5 67,9 68,2 68,5 70,2 83,7 83,6 84,6 84,6 97,1 97,0 96,6 96,9 127,7 128,7 128,5 128,6 152,3 154,1 154,2 156,5 185,1 191,0 191,5 192,2 (b) 221,2 {b) 220,9 223,5 {b) 225,7 259,6 261,1 262,9 270,4 327,2 327,5 330,8 330,5

Base: 1976 = 100

Agosto Selembro Oulubro Novembro Dezembro

38,0 38,2 38,5 "39,0 39,0 40,1 40,8 41,3 . 41,7 42,1 42,4 42,6 42,8 42,9 43,1 45,9 46,6 47,3 47,8 48,3 49,5 49,6 49,9 49,7 50,6 55,1 56,2 56,7 57,7 58,7 71,2 76,4 76,3 76,4 77,2 86,2 86,9 86,6 88,4 90,3 100,2 102,3 104,5 106,9 109,8 130,7 130,1 133,0 134,8 137,8 159,3 161,7 167,2 169,2 172,6 196,6 (a) 202,7 205,8 208,3 211,3 {b) 228,0 228,4 230,7 232,2 239,0 277,8 282,4 287,5 291,1 298,7 336,4 341,0

-Nota: De 1968 a 1976, fndice media ponderado para o conjunto das 6 cidades- Lisboa, Porto, Coimbra, Evora, Viseu e Faro. Os pesos utilizados

foram os da populaQao residente em cada um dos anos considerados e em cada distrito a que pertencem as 6 cidades (Estudos, n. o 54, do IN E).

Origem: 1968 a 1976-estimativas efectuadas pelo Banco de Portugal (1976 = 1 00) com base nas seguintes publicaQCies do INE: n.os 23, 27,

30, 35, 37, 53 e 54 da serie Estudos, Anuario Estatistico e Bole tim Mensa/ de Estatfstica. A partir de 1977, Indices de pre9os no consumidor (1976 = 1 00)

publicados pelo INE.

Considerando o ja referido perfodo, Janeiro de 1968 a Setembro de 1982, obteve-se

[2] Lnx(t}=3,301410+0,013645t+e(t), t=1, 2, ... , 177

ou

[3] x(t)=27,15 exp [0,013 645 t+e (t)]

onde e (t) representa a sucessao dos «erros» ou «residues» do ajustamento da melhor recta aos pontes [t, Ln x (t)].

Os intervalos de confian<;:a (95%) para os parametres da exponencial, respectivamente

[4] (26, 18 - 28, 16} e (0,013 289 - 0,014 001)

indicam que as estimativas sao (muito) significativamente diferentes de zero. Por outre lado, o fndice de correla<;:ao estimado, ₁₁ = 0,970 448, mostra que o tempo (linear) descreve ou «explica» cerca de 97% da variancia do Ln IPC. Note-se que o tempo (linear) explica somente cerca de 84,5% da variancia do IPC.

A partir da fun<;:ao [3], fazendo

e

(t) = 0, pode extrapolar-se a tendencia exponencial para os valores de

t

desejados (t = 178, 179, ... ). No entanto, ao ensaiar uma outra exponencial no perfodo de Janeiro de 1972 a Setem-bro de 1982, depara-se com um ajustamento apreciavelmente melhor. De facto, ao abandonar os anos 1968-1971, em que a evolu<;:ao

e

mais linear do que exponencial, o fndice de correla<;:ao so be de 0,970 448 para 0,996 197.

A nova tendencia assume a forma

[5] Ln x (t) = 2,973 993 + 0,016 243

t

+

e

(t),

t

= 49, 50, ... , 177

ou

[6] x (t) = 19,57 exp [0,016 243

t

+ e (t)]

sendo os intervalos de confian<;:a (95 %)

(19,16- 19,99) e (0,016 066 5-0,016 419 8)

bastante mais apertados, como era de esperar.

No quadro n. o 2 apresentam-se os valores projectados para o horizonte

QUADRO N.0 ₂

Projecc;:io da tendincla exponenclal

t

178 ... 179 ... 180 ... 181 ... 182 ... 183 ... 184 ... 185 ... 186 ... 187 ... 188 ... 189 ... ...

190 ... 191 ...•... 192 ...

500

400

300

200

!PC

Jane1ro 1981

PrevisOes

Data

-Fun9i!o [6]

Outubro de 1982 ... 352,6

Novembro de 1982 358,4

Dezembro de 1982 364,2

Janeiro de 1983 .... 370,2

Fevereiro de 1983 .. 376,2

Marc;:o de 1983 .... 382,4

Abril de 1983 ... 388,7

Maio de 1983 ... 395,0

Junho de 1983 ... 401,5

Julho de 1983 ... 408,1

Agosto de 1983 .... 414,8

Setembro de 1983 .. 421,6

Outubro de 1983 ... 428,5

Novembro de 1983 435,5

Dezembro de 1983 442,6

FIGURA 2

Projecc;:iio da tendencia exponencial

Janeiro

1982

Janeiro 1983

lntervalos de confian9a (95 %)

Limite inferior

326,8 332,2 337,6 343,1 348,7 354,4 360,2 366,1 372,1 378,2 384,3 390,7 397,0 403,5 410,1

Limite superior

380,4 386,6 393,0 399,4 406,0 412,6 419,4 426,3 433,3 440,4 447,6 454,9 462,4 470,0 477,7

Umites

de conliancta (95%)

Janeiro

'---"'

(C::J

"'"'

1\) =~: 0

'

'

' '

--- ---

---:---,----'

'

'

'

I I

I I

I I I I

I

:.0 (I)

VI

a:

c::

0

VI

(I) 3

~

I»

.n

I» I

,

0 _Q

I»· c

i II )>

:::s _w

Q.

CD•

:::s.

() ;· (I) )(·

"C

0

:::s

(I)

:::s

Tome-se y (t)

=

Ln x

(t) e designe

Yh

(T) a previsao da sucessao y (t), no momenta T, h perfodos para diante. Como e sabido, os intervalos de con-fian<;:a (95%) do quadro n. o 2 sao obtidos at raves da expressao

Yh(177)±1,96u(yh(177)J, h=1, 2, ... , 15

com

[7]

9h

(177) = 2.973 993 + 0,016 243 (177 +h)

e

[8] u2

[9h

(177) J = o.oo1 395 [ 1 + _1_{_} + _{(177 + h -113)}2]

129 198 880

onde 0,001 395

=

u~ e a estimativa da variancia residual, 129 e o numero de observa<;:oes considerado no ajustamento

177 177

113

=

L; t/129, 198 880

=

L; (t- 113)2

1=49 1=49

A analise dos resfduos

[9]

e (f)=

y (f)-(2,973 993 + 0,016 243 t),

t

= 49, 50, ... , 177

e do respective cronograma (fig. 3) levam a suspeitar de uma forte autocor-rela<;:ao, efectivamente confirmada pela imagem do correlograma (fig. 4). A estrutura deste, bern como a das autocorrela<;:oes parciais (fig. 5), sugere que urn modele auto-regressive de 1. a ordem (pouco significado das

auto-correla<;:oes parciais ¢kk, para k ~ 2) ou de 2. a ordem (oscila<;:ao

amorteci-da patenteaamorteci-da pelo correlograma) pode explicar bern os efeitos «sistematicos» presentes nos resfduos.

Para explorar esta ideia foram ajustados

a

sucessao dos resfduos mo-delos auto-regressivos de 1. a e 2. a ordens - AR(1) e AR(2)- com os

se-guintes resultados:

AR(1):

[1 0] [1 - 0,9391 8]

e

(t)

=

€1 (t), €1 (f)= «rufdo branco»,

(0,0264)

u;1

=

0,000 237, u;1 I u~

=

0,169 911

Variancia explicada - 83,00%.

AR(2):

[11] [1 - 1,0862 8 + 0,1703 82_]

_e

_(t)

₌

_{€2 (t), €2 (t)}

=

_{«rufdo bran co»,}

(0,0857) (0,0851)

u;

2

=

0,000 230,

u;

2 I u~

=

0,164 585

Variancia explicada - 83,54 %.

Nas expressoes [1 0] e [11] 8 e o opera dar habitual - 8k y (t)

=

=

y (t - k) - e os valores indicados dentro de parentesis sao os erros·

FIGURA 4

Correlograma dos residuos obtidos

por diferen~;a entre os valores do Ln IPC e a tendincla linear

e {t)

=

Ln x (t)-2,973 993 - 0,016 243 t

k rk -1 -0.5 0 +0,5 +1

+ - + - + - + - + - + - + - + - + - + - 1 - + - + - + - + - + - + - + - + - + - +

1 0,87 ₊

.

'* * * * * * * * * *

*

* * * * * *

2 0,73 ₊

.

'* * * * * * * * * * * * * * *

3 0,59 +

.

_{'************}

4 0,48 ₊

.

'**********

5 0,37 +

.

_'*******

6 0,27 ₊

.

'* * * * *

7 0,19 +

.

_'****

8 0,09

.

'**

9 0,02

10 -0,03

.

*

11 -0,06

.

*

12 -0,08

.

**

13 -0,12

.

**

14 -0,18

-****

15 -0,26

-*****

16 -0,30

-******

17 -0,35

-*******

18 -0,35

-*******

19 -0,35

-*******

20 -0,33

-*******

21 -0,29

-******

22 -0,23

-*****

23 -0,15

"***

24 -0,09

.

**

25 -0,03

.

*

26 -0,02

27 -0,02

28 -0,00

29 0,03

.

_I*

30 0,08

.

'**

31 0,10

.

'**

32 0,12

.

'**

33 0,09

.

'* *

34 0,08

.

'* *

35 0,08

.

'**

36 O,Q7

.

k q)lck

1 0,87

2 -0,13

3 -0,09

4 0,05

5 -0,09

6 -0,00

7 -0,03

8 -0,14

9 0,04

10 0,01

11 0,03

12 -0,03

13 -0,14

14 -0,11

15 -0,12

16 0,06

17 -0,16

18 0,07

19 0,02

20 -0,02

21 0,11

22 0,01

23 0,09

24 -0,05

25 -0,05

26 -0,10

27 -O,Q1

28 O,Q?

29 0,05

30 0,11

31 -0,09

32 -0,01

33 -0,13

34 -0,05

35 0,04

36 -0,11

+

FIGURA 5

Autocorrela~oes parciais dos residuos obtidos

por diferen~a entre os valores do Ln _{IPC e a tendencia linear}

e (t)= Ln x(t)-2,973 993-0,016 243 t

-1 -0.5 0 +0.5 +1

+ - + - + - + - + - + - + - + - + - + - ! - + - + - + - + - + - + - + - + - + - +

I*****************

"***I

**I

I*

**I

I

*I

"***I

I*

I

I*

*I

• ***I

**I

**I

'*

• ***I

I*

I

I

I**

I

I**

*I

*I

**I

I

I*

I*

I**

**I

I

• ***I

E

curiosa assinalar que, apesar do correlograma da fig. 4, o modelo AR(2) pouca vantagem oferece em comparac;ao com AR(1). Primeiro, a va-riancia explicada apresenta um acrescimo desprezavel, sucedendo que em [11] a estimativa que figura como coeficiente de 82 _{esta no limiar da}

signi-ficancia. Segundo, as raizes da equac;ao caracterfstica

"12

- 1 ,0862 'Y

+

0,1703

=

0

nao sao complexas e, portanto, contrariamente ao que seria interessante, o correspondente correlograma nao e uma sinus6ide amortecida (1). Terceiro, o correlograma dos residuos (2_{) E,(t) mostra que se trata praticamente de} «ruido branco», pois dos 36 valores calculados para rk (E,) apenas um e sig-nificativamente diferente de zero (3). Quarto, o valor de

36

Q

=

(129) b

rt

(E1)

=

38,20 k=1

confrontado com a distribuic;ao do

x

2 _{com 36- 1}

=

_{35 graus de liberdade,}

mostra que o ajustamento do modelo AR(1) satisfaz o ensaio portmanteau (Box-Pierce).

Em face do exposto, pode concluir-se que o modelo y (t)

=

2,973 993

+

0,016 243 t

+

e (t)

[12]

e

(t)- 0,9391

e

(t- 1)

=

E,(t)

E1 (t):=«ruido branco» com media zero e variancia 237x1o-s

explica 99,935% da variancia de y (t) [

=

Ln I PC].

Se se atender apenas ao erro quadratico medio do ajustamento, nao pa-rece facil melhorar o modelo [12]. Antes de entrar em problemas de con-cepc;ao, podia-se investigar em que medida a razoavel explicac;:ao consegui-da para os residues consegui-da tendencia exponencial permite melhorar os interva-los de confianc;a das previsoes indicadas no quadro n. o 2. No entanto, uma abordagem pormenorizada, que inclui naturalmente a revisao da formula [8], nao cabe no presente estudo; nota-se somente - supondo as estimativas dos parametres da exponencial nao sujeitas a erro - que os limites de con-fianc;a (95%) sao, nos extremes do horizonte de previsao, aproximadamente os seguintes:

AR(1) AR(2)

Limite inferior Limite superior Limite inferior Limite superior

Outubro de 1982 . ... 336,8 357,8 337,0 357,6

Dezembro de 1983 . ... 407,8 479,4 409,4 479,7

(1) A forte «impressao>> causada pela figura 4 levou ao ajustamento de modelos AR(3) e AR(4), os quais foram imediatamente abandonados, face as variancias explicadas, respectiva-mente 83,61 % e 83,65%.

(2) «Residuos» dos «residuos».

Quer dizer, confrontando com o quadro n. o 2, verifica-se maior aperto

inicial e quase coincidencia no final.

As previsoes sao comparadas no quadro n. o 3, devendo real<;ar-se que o facto de se ter entrada em conta com a autocorrela<;ao dos resfduos da tendencia exponencial implica, pelo menos inicialmente, avalia<;oes menos se-veras do crescimento do IPC.

As estimativas da infla<;ao em 1983, baseadas nos valores centrais que constam do quadro n. o 3, sao:

Tendencia exponencial .... 21,5% IC 95% (12,6%, 31,2%)

Tendencia exponencial

+

«resfduos»

AR(1f ... 22,9% IC 95% (13,4%, 33,3 %)

Tendencia exponencial

+

«resfduos>>

AR(2) ... 23,1% IC 95% (13,7%, 33,3%)

Os intervalos de confian<;a - se assim se podem chamar - foram cal-culados ad hoc, admitindo, em cada caso, que o valor central correspon-dente a Dezembro de 1982 nao estava sujeito a erro.

QUADRO N.o 3

Comparac;iio de projecc;oes

T endencia exponencial +11residuosn auto-regressivos

Data

Outubro de 1982 ... Novembro de 1982 . Dezembro de 1982 ... Janeiro de 1983 . Fevereiro de 1983 Marc;:o de 1983 . Abril de 1983 ... . Maio de 1983 .

Junho de 1983 ... . Julho de 1983 ..

Agosto de 1983 ... Setembro de 1983 ... Outubro de 1983 .. Novembro de 1983 . Dezembro de 1983 ... .

3 -Alisamento

Tendencia exponencial 352,6 358,4 364,2 370,2 376,2 382,4 388,7 395,0 401,5 408,1 414,8 421,6 428,5 435,5 442,6

Tendencia Tendencia

exponencial + exponencial +

+({residues,, +<<residues,,

AR(1) AR(2)

347,2 353,4 359,7 366,0 372,5 379,0 385,7 392,4 399,2 406,1 413,1 420,2 427,4 434,7 442,1 347,1 353,5 360,0 366,6 373,2 379,9 386,6 393,3 400,2 407,2 414,2 421,3 428,5 435,8 443,1

Pode concluir-se precipitadamente que sim, ao criticar a rigidez da exponencial, na medida em que pressup6e uma taxa de infla<;:ao constante, hip6tese que implica insensibilidade do fen6meno a evolu<;:ao da conjuntura interna e externa e a quaisquer polfticas anti-inflacionistas. Semelhante crftica representa, porem, um desvio para a analise de rela<;:6es causa-efeito e abre caminho, quando muito, a metodos de previsao causais. Na 6ptica dos mo-delos nao causais parece eventualmente mais fecundo assinalar outro tipo de rigidez: o modelo exponencial e, no que se refere a tendencia, do tipo global e, consequentemente, e ajustado considerando todas as observa<;:6es no mesmo pe de igualdade.

Como alternativa aos modelos globais de estrutura rfgida parece entao natural ensaiar modelos locais cuja estrutura e estavel a curta prazo, pon-dendo evoluir lentamente, e cuja estima<;:ao se faz dando as observa<;:6es tanto mais peso quanta mais recentes sao. Antes de prosseguir, advirta-se (Gilchrist, 1976) que nao ha diferen<;:a na formula<;:ao matematica e estatfs-tica dos modelos globais e locais, resultando a distin<;:ao da forma como sao usados.

No quadro dos modelos lineares locais tem-se, na forma mais geral,

[13] y (f)= b1 Z1 (t) + ... + bm Zm (f)+~ (t)

onde b; (i

=

1, 2, ... , m) sao parametros, Z; (t) (i

=

1, 2, ... , m) sao fun<;:6es s6 de t e ~ (t) e a componente aleat6ria. No caso presente, como e natural,

y(t)=Ln IPC

Convem, muitas vezes, deslocar a origem para o momenta

T

- normalmente o presente - , caso em que a expressao [13] assume, em qualquer momenta posterior a T, a forma

[14] y (T +h)= a1 (7) Z1 (h)+ ... + Bm (7) Zm (h)+~ (T +h)

onde os coeficientes se designam agora par a; (7) (i

=

1, 2, ... , m) para indicar que sao baseados na origem T e para os distinguir dos b; (i

=

1, 2, ... , m).

No caso mais simples

[15] y (t)

=

b1

+

b2 t

+

~ (t)

ou

[16] y (T +h)= a1 (7) + a2 (7) h + ~ (T +h)

com a1 (7)=b1 +b2 T.

A previsao no momenta T do valor de y (t) em T

+

h e dada pel a expressao

onde a, (T) e a2(T) sao estimativas no momento T do «nfvel» e da «tendencia».

[18]

Usando duas constantes de alisamento, a e {3, as relac;:oes

a, (t}=ay(t)+(1 -a)[a, (t-1}+a2(t-1)], 0<a<1 a2(t)=f3[a, (t)-a, (t-1}]+(1 -f3)adt-1}, O<f3<1

permitem obter por recorrencia, a partir de valores iniciais a, (O} e a2 (0} cal-culados sobre um segmento inicial de sucessao y (t), as estimativas

a,

{T) e

a2 (7). As constantes «6ptimas» a e {3 sao fixadas de forma a minimizar o

somat6rio dos erros de previsao, quadrados ou tornados em modulo.

0 metodo citado deve-se a Holt [v. Gilchrist (1976}]. Metodo

semelhan-te, mas usando apenas uma constants de alisamento, deve-se a Brown (1962};

trata-se, de facto, de um caso particular do primeiro, pois se

a= 2

-Jf3-

{3

entao as duas constantes de alisamento estao relacionadas com a

cons-tants (mica de Brown, _{1 ,} pelas expressoes

a=2'Y- 'Y2, f3='Y2

Winters (1960) alargou o ambito de aplicac;:ao do modelo de Holt com

o prop6sito de abranger efeitos sazonais. Segundo o modelo de Holt-Winters,

a previsao no momento T do valor de T

+

h

[19] 9h (1) = [a,(7) + a2(7) h] a3 (T + h - S), h

=

1. 2 ....

compreende-se facilmente por comparac;:ao com [17], ao notar que a3 e a

estimativa do movimento sazonal - no caso presente multiplicativo, mas

po-dendo ser aditivo- e que S e o perfodo de sazonalidade (S

=

12 quando

os dados sao mensais e S

=

4 quando sao trimestrais).

As relac;:oes de recorrencia correspondentes a [18] sao

a, (t) = {3, [y (t) 1 a3 (t-S)J+ (1-f3,)[a, (t-1} +adt-1}], O<f3, < 1

[20] a2(t)=f32(a, (t)-a, (t-1}]+(1-f32Ya2(t-1}, O<f32<1

as (t) ={33 [y (t) I a, (t)] +(1-{33) a3 (t-S), 0<{33< 1

havendo agora a considerar tres constantes de alisamento (Montgomery e

Johnson, 1976}.

Os modelos de Holt [17]-[18] e de Holt-Winters [19]-[20] foram aplicados no alisamento de y (t) = Ln x (t)[x (t)= I PC]. No quadro n. a 4 apresentam-s.e as

0 ajustamento foi feito no perfodo de Janeiro de 1972 a Setembro de 1982, havendo, em termos do desvio media relativo, uma ligeira melhoria quando se passa do modelo de Holt para o de Holt-Winters. De facto, tem-se: Holt: com ex= 0,20 e {3

=

0,1 0, desvio media relativo

=

0,018 177; Holt-Winters: com {3,

=

0,30, {32

=

0,30 e {33 = 0,05, desvio media

relativo

=

0,010 313.

QUADRO N.0 ₄

Previsoes e intervalos de confian~a (95 %)

Modelo de Holt

Data Limite inferior PrevisOes Limite superior

Outubro de 1982 . ... 332,4 351,6 372,0 Novembro de 1982 ... 334,4 357,6 383,0

Dezembro de 1982 . 336,7 363,6 392,6

Janeiro de 1983 ... 339,3 369,7 402,9

Fevereiro de 1983 .... 341,9 376,0 413,6

Marr,:o de 1983 .. 344,4 382,4 424,5

Abril de 1983 ... 346,8 388,8 435,9

Maio de 1983 .. 349,2 395,4 447,6

Junho de 1983 ... 351,7 402,1 459,6

Julho de 1983 ... 354,3 408,9 471,8

Agosto de 1983 . ... 356,9 415,8 484,3

Setembro de 1983 359,4 422,8 497,4

Outubro de 1983 . 361,7 429,9 511 '1

Novembro de 1983 . ... 363,9 437,2 525,3

Dezembro de 1983 ... 366,3 444,6 539,7

Modelo de Holt-Winters

Data Limite inferior Previs5es Limite superior

Outubro de 1982. 332,9 347,1 361,9

Novembro de 1982 . 333,0 351,3 370,5

Dezembro de 1982 . 336,7 359,3 383,4

Janeiro de 1983 338,3 365,1 394,0

Fevereiro de 1983 341,1 372,4 406,7

Marr,:o de 1983 . ... 344,3 380,9 421,3

Abril de 1983 344,0 385,8 432,8

Maio de 1983 ... 344,6 392,3 446,6

Junho de 1983 338,0 390,0 450,1

Julho de 1983 .. 336,9 393,9 460,4

Agosto de 1983 .. 336,7 398,5 471,5

Setembro de 1983 338,2 404,9 484,8

Outubro de 1983 ... 337,8 410,2 498,0

Novembro de 1983 ... 336,7 415,1 511,7

SB6l oJqwazao

--·---·--

---·-

--·--/

/

/

/

/

i I I I I

I

I I

I

I

/ /

/

/

/

/

,·

/

/

/ --~~

/.

h

/

/ /

/ / I /

(% 96) e:lue!JUO:> ap

/

/

I

SB6l oJI_auer

/

/

/

/

/

/

/

/ _,.

G86l oJqnlno

--~·

...

/

/

/

/

/

I

/'

/

/

SOiefiJaJU! a SJaiU!M·IIOH ,a IIOH SaQS!flaJd

OSE

oov

osv

oos

No infcio do horizonte de previsao, os intervalos de confian<;:a, quer no caso de Holt, quer no caso de Holt-Winters, sao mais apertados do que os resultantes da tendencia exponencial. Depois dos primeiros mementos, a ex-ponencial passa a conduzir a intervalos de menor amplitude, devido a lenti-dao com que evolui a variancia dos correspondentes erros em compara<;:ao com a variancia decorrente dos outros modelos.

0 modelo de Holt fornece previsoes que sao praticamente coincidentes com as obtidas atraves da exponencial global.

0

modelo de Holt-Winters for-nece inicialmente previsoes um tanto inferiores as do de Holt e come<;:a ver-dadeiramente a divergir a partir de Maio de 1983. Trata-se, naturalmente, da consequencia da queda, a partir de 1977, dos coeficientes sazonais (rela<;:ao entre os valores do IPC e uma media m6vel dupla de 12 meses) correspon-dentes aos meses de Maio e Junho.

Em resumo, dos dais modelos parece ser mais sensato, no caso pre-sante, o de Holt, vista a sazonalidade pouco caracteristica [os coeficientes sazonais calculados pelo metoda de Shiskin simplificado situam-se entre um minima de 0,9890 (Novembro) e um maximo de 1 ,0200 (Abril)] p6r algo em duvida o de Holt-Winters.

As estimativas da infla<;:ao em 1983, baseadas nos valores centrais apre-sentados no quadro n. o 4, sao:

Modelo de Holt . . . 22,3 % Modelo de Holt-Winters 18,2%

IC 95% ( 0,7 %, 48,4 %);

IC 95% ( - 5,8 %, 48,2 %).

Mais uma vez os intervalos de confian<;:a representam uma for<;:a de ex-pressao, tendo sido calculados admitindo que o valor central previsto para Dezembro de 1982 nao esta sujeito a erro.

4 - Modelo de Box-Jenkins

A partir dos anos setenta, o modelo de Box-Jenkins tem ocupado Iugar central na metodologia da previsao nao causal a curta prazo.

lnspirando-se na anterior experiencia de Girao (1979) e nos trabalhos de von Lanzenauer e Sprung (1980), o presente estudo encerra com um ensaio de aplica<;:ao daquele modelo.

As inumeras exposi<;:oes hoje existentes (par exemplo, Anderson, 1975), a come<;:ar pelo extenso estudo de Box e Jenkins (1976), dispensam a perda de muito tempo com a introdu<;:ao.

0 modelo de Box-Jenkins e da forma

[21] cpp (B) <Pp (BS) (~d ~~ [x (t)f' - J.t)

=

Oq (B) eo (BS) E (t)

onde ~ e ~s sao operadores conhecidos

[22]

282

~X (t) =X (t) - X (t- 1)

=

(1 - 8) X (t)

r/Jp (B) e <l>p (Bs) sao polin6mios auto-regressivos de ordem p e P

[23]

8q (B)

e

[24]

r/Jp (B)= 1 - ¢1 8 - ¢2 82 - ... - rjJp BP <l>p (BS)

=

1 - <I>1

as-

<I>2 828 - . . . - <l>p BPS

80 (Bs) sao polin6mios de medias m6veis de ordem q e Q

Oq (B)= 1 -01 8-02 8 - ... - fJq Bq 8o (BS)= 1 - 81

as-

82 828 - . . . - 8o

aos

x

(t) e a sucessao original -

x=

I PC, E (t) e rufdo bra nco e p, e uma

constan-te (=media de f:..d t:..~ [x (t}Y"). A transformac;:ao

f:..d t:..~ [x (t)t'-p,

destina-se, como e sabido, a operar a conversao da sucessao original numa sucessao estacionaria de media zero. A estacionariedade em variancia con-segue obter-se muitas vezes com a transformac;:ao [x (t)t' e a estacionarie, dade em media com t:.,d [x (t)t' au, no caso de haver sazonalidade, com

t:.,d t:..~

tx

(t)t.

Para detectar o valor de ~ conveniente (~ = 1 se a sucessao

e

estaciona-ria em vaestaciona-riancia de infcio) utiliza-se correntemente um gratico cartesiano, onde, depois de dividir a sucessao original em troc;:os e de calcular a media e o desvio padrao de cada troc;:o, sejam X; e s;,

i

= 1, 2, ... , se localizam os pontos (x;, s;).

Na fig. 7 encontra-se o gratico de dispersao correspondente

a

suces-sao IPC, obtido considerando troc;:os de 12 meses. A situac;:ao dos pontos (x;, s;) sugere uma relac;:ao de proporcionalidade que, como e sabido, aponta pa-ra a tpa-ransformac;:ao logarftmica (~ = 0) para estabilizar a variancia. Em face dos resultados anteriores, semelhante conclusao era esperada.

Para determinar ate que ordem se deve ir na operac;:ao de diferencia-c;:ao tomaram-se as primeiras e segundas diferenc;:as e calcularam-se as va-riancias das sucessoes transformadas (quadro n. o 5).

QUADRO N.0 ₅

Variancia das sucessoes transformadas

Sucessao

X (t)

Ln X (t)

Ll Ln X (t)

Ll2 Ln x (t)

LlLl12 Ln X (t)

Ll2 Ll12 Ln X (t}

Variancia

7 492,04

0,500 837 940 (a) 0,000 220 134 0,000 364 523 0,000 368 7 46 0,000 689 362

Desvio padriio

52,900

39,113

25,327

11,540

~

~

30

284

...

T

FIGURA 7

Grilfico de dispersao da sucessao do indice de. pre~;os no consumidor

Os valores do quadro n. o 5 mostram que importa atender em primeiro Iugar

a

sucessao A Ln x (t), vindo eventualmente a considerar M12 Ln x (t) se houver indfcios de sazonalidade nao estacionaria.

lmporta entao analisar o correlograma da sucessao A Ln x (t) (fig. 8) e o grafico das autocorrela96es parciais (fig. 9) como primeiro passo para a eventual identificavao de um modelo ARIMA.

0 correlograma e as autocorrela96es parciais nao sao muito esclarece-dores e merecem alguns comentarios.

FIGURA 8

Correlograma da sucessiio a Ln _IPC

k Fk -1 -0.5 0 +0,5 +1

+ - + - + - + - + - + - + - + - + - + - ! - + - + - + - + - + - + - + - + - + - +

1 0,18 +

.

I****

2 0,11

.

I** •

3 -O,G3

.

*I

4 0,03

.

I*

5 0,12

.

I** •

6 0,11

.

I** •

7 0,19 +

.

I****

8 0,02

.

I

9 -0,01

10 0,02

11 0,06.

.

I*

12 0,19 +

.

I****

13 0,15

.

_I***

14 0,19 +

.

I****

15 -0,09 • **I

16 0,20 +

.

I****

17 -0,06

.

*I

18 0,02

.

I

19 0,02

20 -0,03

.

*I

21 0,02

.

I

22 -0,06

.

*I

23 0,18 +

.

I****

24 0,15 +

.

I***

25 0,11

.

I** •

26 0,09

.

I** •

27 -0,04

.

*I

28 0,06

.

I*

29 0,02

.

I

30 0,19 +

.

I****

31 0,06

.

I•

32 0,06

.

I*

33 0,02

.

I

34 0,02

35 0,11

.

I** •

k

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

FIGURA 9

Autocorrelac;oes parciais da sucessio t:.. Ln IPC

q,kll. -1 -0,5 0 +0.5 +1

+ - + - + - + - + - + - + - + - + - + - ! - + - + - + - + - + - + - + - + - + - +

0,18 +

.

I****

0,08

.

I** •

-0,06

.

*I

0,04

.

I*

0,12

.

_{I** •}

0,05

.

I*

0,15 +

.

I***

-0,04

.

*I

-0,04

.

*I

0,03

.

I*

0,04

.

I*

0,14

.

_I***

0,08

.

I** •

0,12

.

_{I** •}

-0,15 _***I

0,24 +

.

I*****

-0,17

-

_***I

-0,04

.

*I

-0,03

.

*I

-0,07

.

_*I

-0,02

.

I

-0,02

.

I

0,17

.

_I***

0,11

.

_{I** •}

0,06

.

I*

0,02

.

I

-0,06

.

_*I

-0,01

.

I

-0,00

.

I

0,07

.

I*

0,09

.

I** •

-0,03

.

*I

0,10

.

_{I** •}

0,04

.

I*

0,04

.

I*

0,05

.

I*

autoco--variancia (nao esquecer a interac<;:ao). Par outre lado, sao datas em que

hou-ve

factos influentes [adop<;:ao de novas pre<;:os do «cabaz de compras» (7 de Abril de 1978), etc.], mas casuais.

Nem as autocorrela<;:oes nem as autocorrela<;:oes parciais sugerem mo-delos s6 AR au s6 MA, vista que as graticos respectivos nao apresentam nftido decaimento para zero au anulamento a partir de certa ordem, tendo em conta,

e

clara, erros de amostragem. A haver alguma sugestao, ela vai no sentido dos modelos ARMA.

FIGURA 10

Correlograma da sucessao t.ll12 Ln IPC

k rk -1 -0,5 0 +0,5 +1

O,Q7

+ - + - + - + - + - + - + - + - + - + - ! - + - + - + - + - + - + - + - + - + - +

I*

2 -0,01

3 0,02

4 -0,11

5 0,06

6 0,04

7 0,15

8 0,01

9 -0,00

10 0,00

11 -0,14

12 -0,48

13 0,01

14 0,10

15 -0,07

16 0,20

17 -0,16

18 -0,15

19 -0,14

20 -0,09

21 0,01

22 -0,11

23 0,12

24 -0,02

25 -0,08

26 -0,00

27 -0,02

28 -0,09

29 0,14

30 0,23

31 0,10

32 0,04

33 0,05

34 0,05

35 0,01

36 0,07

+

+

I

• **I

I*

I*

I***

I

***I

**********I

_I

I** •

*I

I****

***I

***I

***I

• **I

• **I

I** •

• **I

"**I

I***

I*****

I** •

I*

I*

I*

I

k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 ~Ide 0,07 -0,02 0,02 -0,11 0,08 0,03 0,15 -0,03 0,02 -0,01 -0,12 -0,52 0,06 0,08 -0,08 0,16 -0,09 -0,07 -0,04 -0,11 -0,07 -0,12 -0,04 -0,29 0,03 0,12 -0,03 0,06 0,10 0,10 0,12 -0,15 0,08 -0,06 0,02 -0,19

FIGURA 11

Autocorrelagoes parciais da sucessao llll12 Ln IPC

-1 -0,5 0 +0,5 +I

+ - + - + - + - + - + - + - + - + - + - 1 - + - + - + - + - + - + - + - + - + - +

I*

I

o

**I

I**

0

I*

I***

o

*I

I

o

**I

**********I

I*

I**

0

o

**I

I***

0**1

o

*I

o

*I

o

**I

o

*I

o

**I

o

*I

******I

I*

I**

0

*I

I*

I**

0

I**

0

I**

0

***I

I**

0

o

*I

****I

Assim, atendendo ao princfpio da parcim6nia, procedeu-se ao ensaio de alguns modelos ARIMA (p, 1, q) x (P, 0, 0)12, tendo os resultados sido mui-to desapontadores. De mui-todos os ajustamenmui-tos, o melhor foi conseguido com um ARI MA (1, 1, 1)

x

(1, 0, 1 )12, que explica somente cerca de 12,6% da variancia da sucessao transformada e diferenciada.

Para a hip6tese de existencia de sazonalidade nao estacionaria estudaram-se as autocorrelac;6es e as autocorrelac;oes parciais da sucessao

.d.d12 Ln x (t). Na analise do correlograma (fig. 1 O) ressalta o elevado valor de

r12, consequencia, em parte, da diferenciac;ao sazonal, e o facto de r24 e r 36

deixarem de ser significativos; as autocorrelac;oes parciais (fig. 11) apontam

para uma media m6vel sazonal, dada a evoluc;ao dos valores significativos, $,2. 12 =-.52, $24.24 = - . 29, $36.36 = - . 19. Dos varios modelos ensaia-dos o melhor resultado foi conseguido com o modelo ARIMA (0, 1, 2)

x

x

(1, 1, 1)12 , que explica 48,9% da variancia da sucessao transformada e diferenciada. Tem-se, no entanto, a sensac;ao de que aumenta a capacidade explicativa, na medida em que se explica alga que toi introduzido com a ope-rac;ao de diterenciac;ao. Por outro !ado, a variancia inexplicada, 0,000 188 429, e pouco inferior

a

obtida com o modelo do paragrato anterior, 0,000 192 397. Os maus resultados conseguidos com os modelos ARIMA parece de facto apontarem para uma situac;ao ja comentada por Chatfield (1975): «However it should be clearly recognized that when the variation of the systematic part of the time series is dominant, the effectiveness of the ARIMA model is mainly determi-ned by the initial differencing operations and not by the subsequent fitting of an ARMA model to the differenced series, even though the latter operation is much more time-consuming».

Concorda-se tambem com Chatfield quando afirma que os modelos simples - como o modelo [12] do presente estudo - sao perfeitamente adequados pa-ra sucessoes cronol6gicas com uma forte tendencia, possuindo a vantagem de serem claros e faceis de interpretar, alem de serem razoavelmente robustos.

k rk

1 0,02 2 0,22 3 -0,11 4 -0,01 5 -0,16 6 0,08 7 -0,14 8 0,07 9 -0,16 10 0,10 11 -0,08

12 0,36 ₊

13 -0,05 14 0,07 15 -0,21 16 -0,04 17 -0,20 18 -0,02 19 -0,22 20 0,05 21 -0,14 22 0,08 23 0,01 24 0,26

FIGURA 12

Correlograma da sucessiio .L\ _JPC

no periodo de Janeiro de 1968 a Dezembro de 1971

-I -0,5 0 + 0,5

+ - + - + - + - + - + - + - + - + - + - ! - + - + - + - + - + - + - + - + - + - +

I****

**I

I

***I

I**

***I

I*

***I

I**

**I

I*******

*I

I*

. ****I

*I

****I

I

****I

I*

***I

I**

I

I*****.

k lk

0,16

2 0,17

3 0,13

4 -0,06

5 O,Q3

6 0,11

7 0,08

8 0,13

9 -0,01

10 0,08

11 -0,13

12 -0,21

13 -0,08

14 -0,02

15 -0,08

16 O,Q3

17 -0,12

18 -0,04

19 -0,20

20 -0,06

k <i>kk

1 0,16

2 0,14

3 0,09

4 -0,12

5 O,Q3

6 0,13

7 0,06

8 0,06

9 -0,08

10 0,08

11 -0,16

12 -0,20

13 -0,04

14 0,10

15 -0,06

16 -0,02

17 -0,10

18 O,Q7

19 -0,15

20 O,Q3

290

FIGURA 13

Residuos do modelo (1 - 0,6191 B12) x (t)

=

E (t)

no periodo de Janeiro de 1968 a Dezembro de 1971

Autocorrelac;oes

-1 -0,5 0 +0,5 +1

+ - + - + - + - + - + - + - + - + - + - ! - + - + - + - + - + - + - + - + - + - +

I***

-1

I***

I***

*I

I*

I**

I**

I***

I

I**

***I

****I

**I

I

**I

I*

**I

*I

****I

*I

Autocorrelac;oes parciais

-0,5 0 +0,5 +1

+ - + - + - + - + - + - + - + - + - + - 1 - + - + - + - + - + - + - + - + - + - +

I***

I***

I**

**I

I*

I***

I*

I*

**I

I**

***I

****I

*I

I**

-!-·; I

!*

***I

k l'k

FIGURA 14

Correlograma da sucessao .6. Ln IPC

no periodo de Janeiro de 1972 a Dezembro de 1982

-1 -0.5 0 + 0,5 +1

0,11 + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - ! - + - + - + - + - + - + - + - + - + - +

I**

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 0,01 -0,12 -0,05 0,05 0,02 0,14 -0,09 -0,09 -0,09 -0,01 0,09 0,09 0,08 -0,18 0,11 -0,15 -0,07 -0,06 -0,12 -0,06 -0,17 0,12 0,05 0,05 -0,01 -0,09 -0,04 -0,07 0,15 0,02 0,05 0,01 -0,03 0,07 0,08 I

**I

*I

I*

I

I*** •

**I

**I

**I

I

I**

I**

I**

****I

I**

• ***I

*I

*I

**I

*I

• ***I

I**

I*

I*

I

**I

*I

*I

I*** •

I*

I

I*

I**

seguin-te: no primeiro, a sucessao .::l x (t) apresenta um correlograma em que o unico valor significative e r12

=

0,36, sendo ainda de notar que r24

=

0,26 e

relativamen-te elevado (fig. 12). Ajustando um modelo ARIMA (0, 1, 0)

x

(1, 0, 0)12, obtem-se «rufdo branco»- na fig. 13 encontram-se as autocorrela<;:6es e autocorrela<;:6es parciais dos respectivos resfduos - e uma explica<;:ao da variancia da ordem dos 26%, que e razoavel quando comparada com o que se obteve com as apli-ca<;:6es a toda a sucessao; no segundo, a sucessao A Ln x (t) nao apresenta ate

a

ordem 36 (fig. 14) nenhuma autocorrela<;:ao significativa, podendo considerar--se «rufdo branco»! Como era de esperar, este ultimo resultado nao se afasta muito do que prescreve o modelo [12] (4_{); alem disso, justifica que se abandone} qual-quer tentativa de previsao com base no modelo de Box-Jenkins.

5 - Conclusoes

A sucessao do fndice de pre<;:os no consumidor - continente - apre-senta, no perfodo de Janeiro de 1968 a Setembro de 1982, dois regimes, o primeiro cobrindo os 4 ou 5 anos iniciais, o segundo cobrindo o perfodo que seguiu aos primeiros anos setenta. Tr2ta-se, alias, de facto bem conhe-cido, patente em dados sobre indices de pre<;:os respeitantes a outros pafses.

No segundo tro<;:o, aquele que naturalmente interessa para efeitos pre-visionais, a tendencia exponencial

e

dominante e, por isso, todos os meto-dos de previsao sao bans desde que partam dessa conclusao, diferindo ape-nas em termos da variancia dos erros de previsao e, consequentemente, em termos das «mangas» de confian<;:a.

0 modelo [12], pela sua simplicidade e facil interpreta<;:ao, parece bas-tante superior ao modelo Box-Jenkins. No caso presente parece especialmente relevante a conclusao de Chatfield (1975): «[ ... ] when the variation of the systematic part of the time series is dominant, the effectiveness of the ARIMA model is mainly determined by the initial differencing operations and not by the subsequent fitting of an ARMA model to the differenced series [ ... ]» Enfim, no contexto da previsao nao causal parece que pouco mais se pode fazer do que aceitar a «ditadura» do crescimento exponencial do IPC ... , pelo menos

a

face dos dados que vao ate Setembro de 1982 ... , apontando em 1983 para uma infla<;:ao nao muito Ionge dos 22% a 23%.

(4) A sucessao ~ Ln x (t) tem, no perfodo de Janeiro de 1972 a Setembro de 1982, va·

6 - Agradecimentos

Os autores agradecem ao Prof. Doutor J. A. Girao ter fornecido os da-dos em que se baseia o presente estudo e ter-se prestado

a

troca de im-pressoes com um deles. Agradecem

a

Empresa Geral do Fomento, S. A. R. L., ter posto

a

sua disposi9ao poderosos meios de computa9ao, sem os quais o estudo nao se podia ter realizado. Obviamente, a responsabilidade por quais-quer erros resta inteiramente com os autores.

7 - Referencias

ANDERSON, 0. D.-Time Series Analysis and Forecasting, The Box-Jenkins Approach, Butter-worths, Londres, 1975.

BOX, George E. P., e JENKINS, Gwilyn M.-Time Series Analysis: Forecasting and Control,

Holden-Day, Inc., Sao Francisco, 1976 (2. • ed.}.

BROWN, R. G.-Smoothing, Forecasting and Prediction of Discrete Time Series, Prentice-Hall Int., Englewood Cliffs, N. J., 1962.

CHATFIELD, C.-The Analysis of Time Series: Theory and Pratice, Chapman and Hall, Londres,

1975.

Gl LCHRIST, Warren - Statistical Forecasting, J. Wiley and Sons, Nova lorque, 1976.

GIRAO, J. A.- «Modelos de previsao de curta prazo para os pre9os no consumidor>>, Econo· mia, vol. 111, n. o 2, 1979.

JENKINS, Gwilyn M. - «Pratical experiences with modelling and forecasting time series»,

FORECASTING, Proceedings of The Institute of Statiscians Annual Conference, Cambridge,

1976, Ed. 0. D. Anderson, North-Holland Publishing Company, Amsterdao, 1979.

LANZENAUER, Christoph H. von, e SPRUNG, Michel R. -Projecting Inflation: A Time Series Approach, School of Business Administration The University os Western, Ontario, 1980.

MONTGOMERY, D. C., e JOHNSON, L. A.-Forecasting and Time Series Analysis, McGraw--Hill Book Company, Nova lorque, 1976.